求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为 3 n S n n n S n 3 n n S n S n 3 如果存在, 2,..., n 的一个排列 a, a 2,..., a n, 使得 k + a k k =, 2,..., n 都是完全平方数, 则称 n 为 好数 问 : 在集合 {, 3, 5, 7, 9} 中, 哪些是 好数, 哪些不是 好数? 说明理由 ( 苏淳供题 ) n a, a 2,..., a n, 2,..., n k + a k {, 3, 5, 7, 9} k n, 2,..., n a, a 2,..., a n k + a k k =, 2,..., n n {, 3, 5, 7, 9} 已知 p q 为互质的正整数,n 为非负整数 问 : 有多少个不同的整数可以表示为 ip + jq 的形式, 其中 i j 为非负整数, 且 i + j n ( 李伟固供题 ) p q n ip + jq i j i + j n p q n ip + jq i j i + j n 求出所有的正实数 a, 使得存在正整数 n 及 n 个互不相交的无限整数集合 A, A 2,..., A n 满足 A A 2... A n = Z, 而且对于每个 A i 中的任意两数 b > c, 都有 b c a i ( 袁汉辉供题 )
a n A, A 2,..., A n A i A i A j A, A 2,..., A n A i, A i a i. a n n A, A 2,..., A n A A 2... A n = Z A i b > c b c a i 设 m n 是整数 m > n 2 S = {, 2,..., m} T = {a, a 2,..., a n } 是 S 的一个子集 已知 T 中的任两个数都不能同时整除 S 中的任何一个数 求证 a + fraca 2 +... fraca n < m + n m. m n m > n 2 S = {, 2,..., m}, T = {a l, a 2,..., a n} S S T n < m + n a i m. i= m, n m > n 2 S = {, 2,..., m} T = {a, a 2,..., a n} S T S + fraca 2 +... fraca n < m + n a m. 求证 : 对 i =, 2, 3, 均有无穷多个正整数 n, 使得 n, n + 2, n + 28 中恰有 i 个可表示为三个正整数的立方和 ( 袁汉辉供题 ) i =, 2, 3 n n n + 2 n + 28 i i =, 2, 3 n n, n + 2, n + 28 i 设 p 为大于 3 的质数 求证 : 存在若干个整数 a, a 2,..., a t 满足条件 p/2 < a < a 2 <... < a t < p/2, 使得乘积 p a a p a 2 a 2 是 3 的某个正整数次幂 ( 纪春岗供题 )... p a t a t
p 3 a, a 2, a k p 2 < a < a2 < < a k < p 2 p a a 3 m m p a2 a 2 p a k a k p 3 a, a 2,..., a t p/2 < a < a 2 <... < a t < p/2, p a a p a 2 a 2... p a t a t 3 设 m 为正整数 如果存在某个正整数 n 使得 m 可以表示为 n 和 n 的正约数个数 包括 和自身 的商 则称 m 是 好数 求证, 2,..., 7 都是好数, 8 不是好数 ( 李胜宏提供 ) m n m n n n, 2,..., 7 8 m n m n n n m, 2,..., 7 8 对于正整数 n, 令 f n = 2 n 2008 + 2 n 2009 求证 : 数列 f, f 2,... 中有无穷多个奇数和无穷多个偶数 x 表示不超过实数 x 的最大整数 ( 冯祖呜供题 ) n f n = 2 n 2008 + 2 n 2009 f, f 2,... n f n = 2 n 2008 + 2 n 2009 f, f 2,... x x 求证 : 方程 abc = 2009(a + b + c) 只有有限组正整数解 (a, b, c) ( 梁应德供题 ) (x, y, z) abc = 2009(a + b + c). abc = 2009(a + b + c) (a, b, c)
设 a n = n 5 n 5 求数列 a, a 2,..., a 2009 中的最大项和最小项, 其中, x 表示不超过实数 x 的最大整数 ( 王志雄供题 ) n a n = n 5 n 5 a, a 2,..., a 2009. a n = n 5 n 5 a, a 2,..., a 2009 x x 求证 : 对于每个正整数 n, 都存在满足下面三个条件的质数 p 和整数 m: p 5 ( 6) p n n m 3 ( p) ( 付云皓供题 ) n p m p 5 ( 6) p n n m 3 ( p) 3 p m p 5 ( 6) p n n m 3 ( p) 试求满足下列条件的大于 5 的最小奇数口 : 存在正整数 m n m 2 n 2, 使得 a = m 2 + n 2, a 2 = m 2 2 + n 2 2, 且 m n = m 2 n 2 ( 朱华伟供题 ) a > 5 m, m 2, n, n 2 a = m 2 + n 2 a 2 = m 2 2 + n 2 2 m n = m 2 n 2 5 m, n, m 2, n 2 a = m 2 + n 2 a 2 = m 2 2 + n 2 2 m n = m 2 n 2 求出所有的正整数 n, 使得关于 x, y 的方程 x + y = n 恰有 20 组满足 x y 的正整数解 (x, y) n + = x y n (x, y) x y 20 n x, y x y (x, y) + = 20 x y n
是否存在正整数 m, n 使得 m 2 0 + n 是完全平方数? 请予以证明 m, n m 20 + n m, n m 20 + n 求所有的整数对 (a, b), 使得存在整数 d(> ) 对任意正整数 n, 都有 d a n + b n + (a, b) d 2 a n + b n + d n d(> ) n d a n + b n + 有一无穷项的正整数数列 a a 2 a 3..., 已知存在正整数 k r s 和 r, 使得 = k +, 求证 : 存在正整数 s, 使得 = k a r a s {a n} r a r = k + k r s s a s = k a a 2 a 3... k r r = k + s s = k a r a s 集合 {0,, 2,..., 202} 中有多少个元素 k, 使得 C k 202 是 202 的倍数? k {0,, 2,, 202} ( ) 202 k 202 {0,, 2,..., 202} k C k 202 202 求同时满足下列两个条件的多项式 f(x) = ax 3 + bx 的个数 : a, b {, 2,..., 203}, f(), f(2),..., f(203) 中任意两数之差都不是 203 的倍数 f(x) = ax 3 + bx a, b {, 2,..., 203} f(), f(2),..., f(203) 203 f(x) = ax 3 + bx a, b {, 2,..., 203}, f(), f(2),..., f(203) 203 设集合 S 是 {0,, 2,..., 98} 的 m 3 元子集, 满足对任意 x, y S, 均存在 z S, 使得 x + y 2z ( 99) 求 m 的所有可能值
S {0,, 2,..., 98} m 3 x, y S z S x + y 2z ( 99) m S {0,, 2,..., 98} m 3 x, y S z S x + y 2z ( 99) m 设正整数 a 不是完全平方数,r 是关于 x 的方程 x 3 2ax + = 0 的一个实根 求证 :r + a 是无理数 ( 李胜宏供题 ) a r x 3 2ax+ = 0 r + a a r x x 3 2ax+ = 0 r + a 设 n 是正整数,S 是 {, 2,..., n} 中所有与 n 互素的数构成的集合, 记 S = S (0, n/3],s 2 = S (n/3, 2n/3],S 3 = S (2n/3, ] 如果 S 的元素个数是 3 的倍数, 求证 :S, S 2, S 3 的元素个数相等 ( 王彬供题 ) n S {, 2,..., n} n S = S ( ] 0, n 3 S2 = S ( n, ] 2n 3 3 S3 = S ( 2n, n] S 3 3 S S 2 S 3 n S {, 2,..., n} n S = S (0, n/3] S 2 = S (n/3, 2n/3] S 3 = S (2n/3, ] S 3 S S 2 S 3 对每个正整数 n, 记 g(n) 为 n 与 205 的最大公约数, 求满足下列条仵的有序三元数组 (a, b, c) 的个数 : a, b, c {, 2,..., 205} g(a), g(b), g(c), g(a + b), g(b + c), g(c + a), g(a + b + c) 这七个数两两不同 g(n) n 205 (a, b, c) a, b, c, 2,..., 205 g(a), g(b), g(c), g(a + b), g(b + c), g(c + a), g(a + b + c) n g(n) n 205 (a, b, c) a, b, c {, 2,..., 205} g(a), g(b), g(c), g(a + b), g(b + c), g(c + a), g(a + b + c) 有多少个不同的三边长为整数的直角三角形, 其面积值是周长值的 999 倍?( 全等的两个三角形看作相同的 ) 999
999 设整数 m, n 互素, 且都大于 证明 : 存在正整数 a, b, c 满足 m a = + n b c, 且 c 与 n 互素 m n m > n > a, b, c m a = + n b c n c m, n a, b, c m a = + n b c c n 求所有正整数 n, 使得对任意奇数 a, 均有 4 整除 a n 求所有正整数 n, 使得对任意奇数 a, 均有 2 207 整除 a n n a 4 a n n a 2 207 a n n a 4 a n n a 2 207 a n