第 卷第 3 期太赫兹科学与电子信息学报 Vo.No.3 203 年 6 月 Jornal of erahertz Scence and Electronc Informaton echnology Jn.203 文章编号 :2095-4980(203)03-0429-06 基于子空间投影的信道阶数盲估计算法 孙有铭 刘洛琨 杨正举 郭虹 ( 解放军信息工程大学信息工程学院 河南郑州 450002) 摘要 : 根据联合阶数估计最小二乘平滑算法 (J-LSS) 中投影误差矩阵的特点 利用其零空间向量形成的特殊矩阵的秩与信道阶数的关系 分别构造 2 个阶数估计代价函数 将 2 个代价函数归一化后联合构建成新的代价函数 新的代价函数较使用单一代价函数提升了在低信噪比下的辨识率 仿真结果表明 与传统算法相比 该算法在较低的信噪比和小样本观测数据条件下 有很好的估计性能 关键词 : 盲辨识 ; 信道阶数 ; 子空间投影 ; 代价函数中图分类号 :N9.7 文献标识码 :A do:0.805/kyda20303.0429 Blnd channel order estmaton algorthm based on sbspace proecton SUN Yo-mngLIU Lo-nYANG Zheng-GUO Hong (Insttte of Informaton EngneerngInformaton Engneerng Unversty of PLAZhengzho Henan 450002Chna) Abstract:hs paper proposes a blnd channel order estmaton algorthm based on sbspace proecton. In the bass of property of the proecton error matrx n the Jont order detecton and blnd channel estmaton by Least Sqares Smoothng(J-LSS) algorthm and by explotng the ran of the specal matrx formed by the nll space vectors of proecton error matrx contanng the channel order nformaton two order estmaton cost fncton are constrcted separately and then these two normalzed cost fnctons are onted nto a new one. he new cost fncton shows better performance nder low Sgnal Nose ato (SN) compared wth st a sngle cost fncton mentoned above. he smlaton proves that the proposed algorthm can realze the order estmaton nder low SN and small sample observaton data compared wth tradtonal algorthms. Key words:blnd channel dentfcaton;channel order;sbspace proecton;cost fncton [] 随着 ong 等人开创性地提出利用二阶循环统计量进行时不变信道盲辨识之后 出现了一系列的盲辨识算法及其扩展应用 [2] [3-4] 信道阶数估计是信道盲辨识的关键环节 经典的估计方法是信息论准则和 Lavas 准则及其改进算法 [5-7] 但在低信噪比下其性能并不稳健 文献 [8] 提出了一种联合阶数估计和盲信道辨识的最小二乘平滑算法 (J-LSS) 利用得到的投影误差矩阵的零空间向量形成一个特殊 Hanel 矩阵 并对其秩检测 从而获得信道的有效阶数和信道系数 ; 文献 [9] 在文献 [8] 的基础上 提出了一种利用投影误差矩阵的范数信息估计阶数的方法 但在较低信噪比时性能恶化 本文在文献 [9] 的基础上利用投影误差矩阵的范数信息构建第 个代价函数 结合投影误差零空间所张成的 Hanel 矩阵的秩与信道阶数的关系构建第 2 个代价函数 再将 2 个代价函数归一化 提出了一种新的联合代价函数 新的代价函数较使用单一代价函数提升了在较低信噪比下的辨识率 算法模型 考虑单天线以 L 倍波特率进行过采样或 L 根天线以波特率接收 则可得到单输入多输出 (Sngle-Inpt Mltple- OtSIMO) 信道 在算法建模中将其等效为 M 阶有限脉冲响应 (nte Implse esponsei) 信道 收稿日期 :202--29; 修回日期 :203-0-28 基金项目 : 国家 863 计划基金资助项目 (2009AA0205) M x( n) = h s ( n ) () = 0
430 太赫兹科学与电子信息学报第 卷 y( n) = x( n) + v ( n) (2) () (2) ( L) () (2) 式中 : x ( n) = x ( n) x ( n) x ( n) 为无噪的观测向量 ; s ( n) 是统计独立发射信号序列 ; h = h ( ) h ( ) ( L ) () () () () h ( ) = 02 M 其中 h = h (0) h () h ( M) = 2 L 为第 子信道的冲激响应 ; v ( n) = v ( n) v ( n) v ( n) 为独立于发送信号的高斯白噪声 ; y ( n) 为叠加了噪声后的观测向量 将连续 w 个采样 向量 ( n) [ ] 2 L Yw y n y n y n w 可得 : y 放在一起 即 ( ) = ( ) ( ) ( + ) 式中 : ( ) Yw = Η ws + V (3) = ( n) ( n ) ( n w+ ) S = s( n) s( n ) s ( n w M + ) ; 滤波矩阵 Η w 是一个 Lw ( M + w) h0 h hm 维的 oepltz 矩阵 Η w = 假定发射信号 s ( n) 满足线性复杂度要求 Η w 满足信道可辨 h0 h hm 识性条件 [8] 本文辨识的目标就是 h= hm h h 0 V v v v ; ( ) 2 信道阶数估计算法 2. 投影误差矩阵的构建 参考文献 [8] 给出相关的关键变量 子空间和同构关系的定义 定义输入符号行向量 s [ s ( ) s+ ( ) ] 噪的输出符号矩阵 x [ ( ) ( ) ] 将长度为 w ( 0) 和无 x x+ w > 的向量张成的输入空间 S w 和输出空间 χ w 定义如下 其中 w 为预测窗口长度 s s+ w sp{ w+ } = oepltz S s s s = { [ sw( ) sw( + ) ]} s w+ (4) x ( ) x ( + ) χw sp{ x x x w+ } = Bloc = { [ xw( ) xw( + ) ]} x( p + ) oepltz 式中 : sp{ s s2 s n} 表示由向量 s s2 s n 张成的线性子空间 ; ( A ) 和 C( A ) 分别表示由矩阵 A 的行张成的空间和列张成的空间 由输入输出空间的同构关系即 χw S M + w 定义 S = sp{ s } sp{ s+ } = S S + 为包含了过去和未来的输入数据张成的子空间 当信道阶数 M 已知时 可将输出数据投影到 S 空间 得到投影误差矩阵 : x M + M S h.. E = sˆ S = hsˆ S (5) x h + S h0 由于输入空间与输出空间存在同构关系 则投影误差矩阵可以等价为将 x 投影到输出空间 χ E h ˆ (6) 当信道阶数未知 仅知上界为 M ( M > M )l 为平滑参数 ( l = 0 M ) 则可推导得 : 0 l < M hm sˆ + l M χ ˆ l s+ l M χ l El Hl( h) = h0 hm l M sˆ ˆ s s l s l h0 l M+ 列 s χ (7)
第 3 期孙有铭等 : 基于子空间投影的信道阶数盲估计算法 43 实际中对于样本总数为 的接收数据 窗长为 w 的观测数据矩阵 Z 为 : y(2w+ l+ ) y( ) y( w+ l+ 2) y( w+ l+ ) Zwl = Ywl (8) y( w + ) y( w) P () y 式中 : 表示 " 将来的数据 "; Y 表示 " 现在的数据 "; P 表示 " 过去的数据 "; Dwl 表示 " 过去和将来的 Pwl 数据 " 并且 D 的秩满足式 (9) 2w+ l+ M + l < M ran( D ) = (9) 2w+ 2M M l w 由于真实阶数 M 未知 D 的秩在有噪情况下不能精确获得 可将 ran( D ) = 2w+ 2M作为 D 的秩的近似值 为了计算简便 选取 w= l 在无噪声情况下且 l M 时满足 : C{ Ell } = C{ Hl( h )} (0) 对 D 进行奇异值分解 可求得 D 的行空间正交基为 4l 个右奇异向量 { V V2 V 4l} 根据正交投影定理 将 " 现在数据 " 矩阵 Y ll 投影到 sp{ V V2 V 4l} 由 Ell = P D { Y } ll ll 可得 : Ell = Yll Yll V ' V () 式中 V = ( V ) V2 V 4l 令 Q = { Q0 Q Q l} 为 E ll 的 Ll ( + ) ( l M+ ) 个较小的左奇异向量 定义 : Q0 Q ( Q) = Bloc 其中 0 l 仅当 = M 时 ( Q ) 有非平凡解 其他情况 ( Q ) 为列满秩 Hanel Ql 文献 [8] 给出了式 (9) 和 ( Q ) 的秩的证明 2.2 阶数估计算法描述 按照上述算法 建立第 个观测矩阵 Z (0 l M w= M) 由式 (7) 不难得到在无噪情况下的 2 个结论 : ) 对于任意 l 满足 0 l < M 则 ran( E wl) = 0 即 E = 0 2) 对于任意 l 满足 M l M 则 ran( Ewl) = ( l M + ) 即 E > 0 基于上述分析定义第 个代价函数 ( + ) J () l = Ε E / E 0 l M 使 J () l 取得最大的 l 满 E w l w l w l 足 l = M 图 为在一个实际阶数为 7 的信道条件下 第 个代价函数在 l=6 处出现了一个最大值 由此可确定信道的阶数为 M = l+ = 7 在信噪比较低的情况下 第 个代价函数在阶数欠估计 ( 0 l < M ) 时投影误差矩阵 E 的 零奇异值 受噪声影响而不为零 ( E 的取值反映出噪声引起的波动性 ) 导致 J () E l 可能取较大的值 而这种波动性对于阶数过估计和正确估计影响较小 故第 个代价函数在低信噪比下趋向于阶数的欠估计 选定 w' = l' = M 建立第 2 个观测矩阵 Z w' l' 当 = M 时 ( Q ) 有非平凡解 其他情况下 ( Q ) 列满秩 定义 H 矩阵 Q = ( Q) ( Q ) 由矩阵理论可知 Q 的秩与 ( Q ) 的列秩相等 [0] H 对 Q 进行特征值分解 Q = USV 令 λ 和 λ 为 Q 的最小特征值和次小特征值 当 ( Q ) 有非平凡解 ( = M) 时 对应 Q 的零空间是一维的 即在理想情况下 Q 有 个最小的特征值 λ = 0 而 λ > 0 考虑噪声影响后 λ 不再为零 但 非零特征值 和 零特征值 之间存在明显的分界线 即 λ / λ 会取比较大的值 ( Q ) 列满秩 ( M) 时 Q 是满秩矩阵 即不存在 零特征值 λ 和 λ 数值在同一数量级 所以 λ / λ 相对不会很大 E
432 太赫兹科学与电子信息学报第 卷 vale of the frst cost fncton 2.5 2.0.5.0 0.5 0 2 3 4 5 6 7 8 vale of smoothng factor g. Performance of the frst cost fncton 图 第 个代价函数示意图 vale of the second cost fncton 40 20 00 80 60 40 20 0 2 3 4 5 6 7 8 9 vale of smoothng factor g.2 Performance of the second cost fncton 图 2 第 2 个代价函数示意图 基于上述分析 定义第 2 个代价函数 JQ( ) = λ / λ 0 M 其中 λ 和 λ 分别为 不同的取值下对应的 Q 的最小特征值和次小特征值 使 JQ ( ) 取得最大的 即为真实的信道阶数 图 2 为在图 条件下第 2 个代价函数随参数 的变化图 可以看到 在 =7 处有一个很大的值 这是在 Q 秩亏为 时 其 最小非零特征值 和 零特征值 的比值 对应的位置就是真实的信道阶数 在较低信噪比情况下 受噪声以及估计误差引起的矩阵扰动影响 Q 的 零特征值 此时不为零 导致 最小非零特征值 和 零特征值 的值很接近 判决的阶数趋向于过估计 基于前述分析 联合使用 2 个代价函数以提升在较低信噪比时的辨识率 为联合使用上述 2 个代价函数 首先将 2 个代价函数做归一化处理 即 : M E E E m= J () l = J ()/ l J ( m)0 l M (2) M Q( ) Q( )/ Q( ) 0 m= J = J J m M (3) 定义如下简单加权形式下的联合代价函数 : J( ) = J ( ) + J ( + ) 0 M 不难得到 当 = M 时 J ( ) 取得最大值 通过找到 J ( ) 的最大值来确定真实信道阶数 E Q 3 仿真分析为验证算法的性能 选取最小描述长度准则 (Mnmm Descrpton LengthMDL) 算法 [4] Lavas 算法和文献 [9] 提出的阶数估计算法 ( 简称 DK 算法 ) 做性能对比 仿真时采用文献 [9] 中 2 组实信道模型 如表 和表 2 所示 信道 的实际阶数为 4 信道 2 的实际阶数为 7 发射信号为均匀分布的 6QAM 信号 叠加的噪声为高斯白噪声 每次的实验结果均为 00 次蒙特卡罗实验后取平均值 表 信道 系数 able Channel coeffcents of channel h(0) h() h(2) h(3) h(4) -0.25 0.086-0.688 0-0.688 0.868 0-0.496 0 0 表 2 信道 2 系数 h(0) able2 Channel coeffcents of channel 2 h() h(2) h(3) h(4) h(5) h(6) h(7) 0.40 0.8 0.22 0.50 0.40 0.6 0.43 0.38 0.25 0.3 0.6 0.4 0.20 0.6 0.43 0.22 3. 辨识率随信噪比的变化实验从图 3 中可见 在信道 条件下 本文提出的算法在较低信噪比下 (>6 db) 辨识率就能达到 00% 比 DK 算法对信噪比的要求降低了约 5 db Lavas 算法要在 20 db 以上的信噪比条件下才能使辨识率达到 00%;MDL 算法需在较高信噪比下 (>20 db ) 才能准确辨识并且性能仍不稳定 从图 4 中可以看出 在样本数目一定的情况下 信道 2 的阶数正确估计需要较高的信噪比 原因在于子信道存在近零点 MDL 算法在较低信噪比下失效 在较高信噪比下性能仍然浮动 Lavas 算法准确辨识所需信噪比大于 30 dbdk 算法对信噪比的要求比 Lavas 算法降低了约 6 db 而本文提出的算法完成准确辨识所需的信噪比较 DK 算法降低了约 4 db 且性能稳定
第 3 期孙有铭等 : 基于子空间投影的信道阶数盲估计算法 433 probablty of correct channel order.0 0.8 0.6 0.4 0.2 MDL algorthm 算法 Lavas algorthm 算法 DK DK algorthm 算法 proposed 本文算法 algorthm 0 5 0 5 20 25 30 35 0 5 0 5 20 25 30 35 SN /db g.3 Probablty of correct channel order detecton for channel 图 3 信道 条件下辨识率随信噪比变化曲线 probablty of correct channel order.0 0.8 0.6 0.4 0.2 MDL algorthm 算法 Lavas algorthm 算法 DK DK algorthm 算法 proposed 本文算法 algorthm 0 5 20 25 30 35 0 5 20 25 30 35 SN /db g.4 Probablty of correct channel order detecton for channel 2 图 4 信道 2 条件下辨识率随信噪比变化曲线 3.2 辨识率随样本个数 的变化 图 5 为在 SN =20 db 时信道 2 条件下 Lavas 算法 MDL 算法 DK 算法和本文提出算法的辨识率随样本个数 变化的情况 从图 5 中可以看出 Lavas 算法性能已经失效 ;MDL 算法在 =700 时 辨识率达到 00% 且在样本数继续增加时辨识率存在浮动 ; DK 算法的性能随着样本数目的增加不断提高 当 =500 时 DK 算法的辨识率达到 00% 相比之下 本文算法在 =300 处辨识率就已经达到 00% 并且辨识率不随样本个数的变化而变化 性能稳定 4 结论 本文根据投影误差矩阵的特点 利用其零空间向 g.5 Channel order detecton performance wth changng 量形成的 Hanel 矩阵的秩与信道阶数的关系 分别构 npt data length(channel 2 SN =20 db) 图 5 辨识率随样本数目变化曲线图 ( 信道 2 造 2 个阶数估计代价函数 将 2 个代价函数归一化后 SN =20 db) 联合构建成新的代价函数 新的代价函数中 2 个归一化代价函数在较低信噪比条件下 一定程度可以相互纠正阶数错判 较使用单一代价函数提升了辨识率 通过理论分析和仿真结果证明 : 该算法在较低信噪比和样本数目较小时 对信道阶数的辨识率要优于 MDL 算法 Lavas 算法和 DK 算法 对于信噪比的变化有较好的鲁棒性 但本文算法需要构建 2 个观测矩阵和相应的奇异值分解 较 DK 算法的计算量有所增加 参考文献 : Lavas 算法 algorthm MDL 算法 algorthm DK 算法 algorthm proposed 本文算法 algorthm 00 300 500 700 900 [ ] ong LX G HKalath. Blnd dentfcaton and eqalzaton based on second-order statstcs:tme doman approach[j]. IEEE rans. on Inform. heory99440(2):340-349. [ 2 ] 熊彦铭 魏旻 龚耀寰 等. 一种新的基于子空间的盲信道估计方法 [J]. 信息与电子工程 20075(6):428-43. (XIONG YanmnWEI MnGONG Yaohanet al. A Novel Sbspace-Based Channel Estmaton Method[J]. Informaton and Electroncs Engneerng 20075(6):428-43.) [ 3 ] Aae H. A New Loo at the Statstcal Model Identfcaton[J]. IEEE rans. on Atomatc Control 9749(6):76-723. [ 4 ] ssanen J. A Unversal Pror for Integers and Estmaton by Mnmm Descrpton Length[J]. Ann. Stat 983(2):46-43. [ 5 ] Lavas A Pegala P A. On the behavor of nformaton theoretc crtera for model order selecton[j]. IEEE rans. on Sgnal Processng 20049(8):689-695. [ 6 ] Zhao. A Channel Order Determnaton Scheme Based on Nose Power Estmaton[C]// Proceedngs of 4 th Internatonal Conference on Mcrowave and Mllmeter Wave echnology. NanngChna:[s.n.] 2004:25-28. [ 7 ] 刘媛涛 葛临东 王彬. 一种基于噪声功率的信道有效阶数盲估计算法 [J]. 计算机工程 200834(9):33-35. (LIU YantaoGE LndongWANG Bn. Blnd Channel Order Estmaton Based on Nose Power[J]. Compter Engneerng 200834(9):33-35.) probablty of correct channel order.0 0.8 0.6 0.4 0.2
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