第二章守恒定律习题参考解答 质量为 的小球系于绳的一端, 绳长为, 上端 固定,( 如图示 今有水平变力 F 作用在该小球上时, 使小球极其缓慢地移动, 即在所有位置上均处于近似力平衡状态, 直到绳子与竖直方向成 角, ( 试用变力作功方法计算 F 力的功 ;( 重力作功多大? 解 : 根据力的平衡可得 : F T sin g T cos 处于近似力平衡状态的水平变力 : F g tan ( 该变力作功 F Fds Fdscos g tan d cos 均 θ F g sin d g ( cos ( 重力作功 g ds gds cos( g ( sin d g ( cos P 一根均匀链条的质量为, 总长为 ι, 一部分放在光滑的桌面上, 另一部分从桌面 边缘下垂, 下垂的长度为 a, 开始时链条静止, 求链条刚好全部离开桌面时的速率 解 : 根据机械能守恒, 设桌面为重力势能的零点 a a g g g a L-a a 8
3 地球质量 M 半径, 一质量 的质点处于距地心 r= 处, 求质点地球系统在此相对 位置时的引力势能, ( 取无穷远处为零势能参考位置 ; ( 取地球表面为零势能参考位置 解 :( 取 E p 则 质点地球系统在此相对位置时的引力势能 : M GM E P F ds G dr GM 保 r r ( 取 E p 则 : 质点地球系统在此相对位置时的引力势能 : M GM E p F ds G dr GM 保 r r 4 在地球表面上垂直向上以第二宇宙速度 g 发射一物体, 为地球半径,g 为 重力加速度, 试求此物体到达与地心相距为 n 时所需的时间 解 : 设物体运动到距地心 时其速度, 此过程中机械能守恒 M M G G GM g M G G M GM d dt t n dt GM d t ( n 3 3 9
5 弹簧的弹性系数为, 一端固定, 另一端与质量为 的物体相连, 物体与桌面的摩擦 系数为 μ, 若以不变的力 F 拉物体由平衡位置 O 自静止开始运动, 求 : ( 物体到达最远处离平衡位置的距离 ( 物体在什么位置速度最大? 最大速度为多少? 解 :( 物体 弹簧为系统, 根据功能原理 不变的力 F 拉物体得 : ( F g a a (F g ( 速度最大处为水平合力瞬时为 处 ( 即力的平衡位置 此时弹簧伸长为 : F g F g 由功能原理得 : (F g F g f r o F F 6 两木块, 质量分别为, 并排放在光滑的水平面上 今有一子弹水平地穿 过木块, 所用时间分别为 Δt 和 Δt, 若木块对子弹的阻力为恒力 F, 求子弹穿过后 两木块的速度? 解 : 未击穿 时, F t ( Ft 一起运动, 根据动量定理 子弹击穿 进入 后, 保持原速, 受力 变速, 则 : F t Ft Ft
7 一质量 =g 的木箱, 在水平拉力 F 的作用下由静止开始运动, 若拉力 F 随时间变化 关系如图所示, 已知木箱与地面间的摩擦系数 μ=. 试从动量原理求 t=4s,t=7s,t=6 s 时的木箱的速度各为多大? 解 : 由图可知水平力的函数关系 : 3 t 4 F 7 t 4 t 7 4 秒内得到的冲量 : I 4 (Fgdt 4 F(N 3 4 7 t(s 4 4 s 7 秒内得到的冲量 : I IF If 3 4 3 (7 4. 7 7 7.5 s 4 秒到 6 秒得到的冲量 : I 7 t. 6 4 dt (6 4 6 4 s 8 雨天, 大量雨滴以速率 落在表面积为 S 的屋顶上, 已知雨滴下落方向与屋顶平面的法线成 α 角, 雨滴在单位体积内的雨滴数为 n, 每一雨滴的质量为 设雨滴落到屋顶后速率变为零, 求雨滴对屋顶产生的平均正压力 解 : 设 M 为 t 时间内落到屋顶的总质量根据动量定理屋顶对其的冲量为动量的变化 ; f t M cos ( n t cos S cos n n cos S t f n n cos S 屋顶受到的压力大小与 f n 相同, 方向相反 f ' 平均压力 P s n n cos
9 如图所示, 质量为 M 的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动. 一质量为 的小球水平 向右飞行, 以速度 ( 对地 与滑块斜面相碰, 碰后竖直向上弹起, 速率为 ( 对地. 若碰撞时间为 t, 试计算此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小. 解 :( 碰撞中小球 给 M 的竖直方向冲力在数值上应等于 M 对小球的竖直冲力. 根 据动量定理得 f t 对 M, 由牛顿第二定律, 在竖直方向上 N Mg f, N Mg f 又由牛顿第三定律,M 给地面的平均作用力也为 F f Mg Mg 方向竖直向下. t ( 解法 M 受小球的水平方向冲力为 f, 方向与 原运动方向一致 t 对 M 用动量定理 fm, / M t 解法 : 小球和木块碰撞过程中, 在水平方向动量守恒, 设木块碰撞前的速度为, 有方程 M( M, M 利用上式的 f, 即可得 / M 两条船, 质量都为, 静止在平静的湖面上, 船上有一质量为 / 的人, 以水 平速度 u 相对 船从 船跳到 船上 如果忽略水对船的阻力, 求人跳到 船后, 船和 船 的速度 解 : 设 为 船对地的速度, 为 船对地速度, 在人跳出 船的过程中, 水平方向无外力作用 人 船系统动量守恒定理, 即 船 : (u 得 u 方向与人跳出速度方向相反 3 同理人跳入 船过程, 人 船系统水平方向动量守恒 船 : 得 人地 (u u 3 ( u 方向与人跳入速度方向相同 9
水平桌面上铺一张纸纸上放一个均匀球, 球的质量为.5g, 将纸向右拉时会有 f. N 摩擦力作用在球上 求该球的球心加速度 a c 以及在从静止开始的. 秒内, 球心相对桌面移动的距离 解 : 匀质球球心为质心 水平方向的合力 : f ac a c 匀加速运动 : s act. 4 f. / s 滑块 和 的质量分别为, 用弹性系数为 的弹簧相连, 并置于光滑的水平面上, 最初弹簧处于自由长度 质量为 的子弹以速度 沿水平方向射入滑块 内, 试求弹簧 的最大压缩量 解 :( 子弹击中木块 到他们取得共同速度 为止 此时弹簧还未被压缩 ( 冲 力, 子弹 系统动量守恒, 即 ( ( 子弹与木块 取得同速度 到弹簧达到最大压缩为止, 这时 具有共同速度, 子弹 弹簧 和 系统动量守恒和机械能守恒 : ( ( ( ( ( ( 由 ( ( ( 3 解得 (3 ( ( 3
3 有两个质量分别为 的行星, 开始相距为无限远处, 可看作静止, 由于万有引力作用, 它们彼此接近, 当它们接近相距为 d 时, 它们接近的相对速度为多大? 解 : 为系统, 仅有内力为保守力, 所以系统动量守恒, 机械能守恒 ( G ( d 由 ( ( 解得 G ( d G ( d 两粒子的相对速度 r ( 地地 地 地 r ( G( d 3 7 4 质量为 7. Kg 速率为 6 / s 的粒子 与另一个质量为其一半而静止的粒 7 子 发生二维完全弹性碰撞, 碰撞后粒子 的速率为 5 / s, 求 : ( 粒子 的速率及相对粒子 原来速度方向的偏角 ; ( 粒子 的偏转角 解 : 动量的水平分量守恒 : V V cos V' cos ( 动量的竖直分量守恒 : 弹性碰撞能量守恒 : 由 ( ( (3 式得 V V sin V' sin ( V ( V V' (3 7 4.69 / s ' 54 6' V V V 4
5 已知两根长为 的绳子, 一端固定于 o 点, 质量分别 和 的小球系于它们的另 一端 如把 拉至水平位置放下, 使 发生对心碰撞 ( 完全弹性碰撞, 设 =3 求碰后 沿圆周上升的高度 解 : 小球下落机械能守恒 : g = ; = g 对心碰撞水平方向动量守恒 对心碰撞能量量守恒 3 解得 :,, 将跃过 O 点! M 小球上升机械能守恒 : g( cos M 小球法向力 : O θ O θ h h Tgcos 跃过 O 点重力法向分力与拉力组成法向合力 : 5 T ; g cos ; cos ; 得到 : h 6 6 6 一质量为 的质点沿空间曲线运动, 该曲线在直角坐标下的位置矢量为 r acos ti bsintj ( a,b,均为常数 求 : 相对于坐标原点, 质点所受力矩及质点的角动量 解 : 质点的速度 : dr = a sint i b cos t j dt 质点的加速度 : d a= a cos t i b sint j r dt M r F r a M r F 相对于坐标原点, 质点所受力矩 : 相对于坐标原点, 质点的角动量 : L r ab cos t ab sin ab t( 5
7 火箭以第二宇宙速度 = g 沿地面表面切向飞出, 在飞离地球过程中, 火箭发 动机停止工作, 不计空气阻力, 则火箭在距地心 4 的 处速度的大小和方向? 解 : 火箭在万有引力的作用下运动, 对地心的角动量守恒 4sin ( 火箭 地球系统机械能守恒 M M G G 4 M g G (3 由 ( ( ( 3 联立解得 g 3 ( 4 8 质量为 =.g 的框子, 用一弹簧悬挂起来, 弹簧伸长., 今有质量为 =.g 的油灰由距离框底.3 高处的位置自由落到框上 ( 如图 求: 油灰冲撞框子而使框向下移动的最大距离? 解 :( 自由落体 ( 完全非弹性碰撞 (3 弹簧 地球系统机械能 守恒 ( 设 E P 弹 原长, E P D g g 重 N gh ( (V ( ( V ( g( ( 又 g (4 (3 ( g 由 ( (5 联立解得 (5 g gh (. g... 3 6