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第六章

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P 街游 ~O((/2 萬有引力定律 ~ 1... 續 56 - 句 1. 克 勒行星定, 主 j :~m.'_:{_[1j 蘭 l (1 ) 第一定律 ( 軌道定律 ) : 每一行星均運行於楠 圓形的軌道上, 太陽的位置為此椅圓的 風會 長 之一 行星到太陽的距離並不是 的 行星繞太陽運動時作 動 愛違章 一述三 行星繞太陽時所受的引力 F 指向焦趴 ~t2 點, 故非為一街心力 v. t -:-ß -- 添足三言 - 舟 -- 斗 (2) 第二定律 ( 等面積定律 ) : 太陽與行星的連線名 Y 太陽 ~ 刁 11 在相同時距內, 掃過相同的區椅 - 運 V ' 戶手也早佇星... I ε 已 " /' ~ 寶 正甸 " _L ","" F ' '. r-... 一一 ----...---j \S/ 一, ",......_--.,...-- -t 2-t, ~ðta t 峰 -t,.~ts. Ve>VA 吉 8'" SA l 由 4 的.AtA~.ÜB 林清萃物理( @ 右圍中, b. t=t2-t1 =4 -Ì3 = 今 面椅 A= 面積巴 相等時距內, 在軌道土進行不相嘻的距離, 故速率不相等 t1 --.Jt2 時行星距離太陽較遠, 運行速率軟嫂 Ì3--.J4 時行星距離太陽較近, 運行速率 ~ r 2..1Ð AA 2'...v 1 @ 面積速率一一 = 一一一一 = ~r2 (1) = 常量.1t.1t 2, 曳 '1 喂 --~ 一 -- / f rx bat 叫 r' ~~~ 肉之句是是有 r.s 成城,}\., @ 於近日點或達日點時, 面積速率 L 9 r \ Y t 旅 \. ð..e' ~ / γr aa 1 2 1 \,/ \ 鍋, 全 r- 才青 一 =-rω=-rv = 常量 \--EV- 2.1t 2 2 寸吋叫莖 若遠日點距離 r', 速率 v', 角速率 ω,, 近日點距離 r ' 速率 v ' 角 li-*""48 4 話 ω 司 理

林清華切理2... 萬有引力定律 p ~ y ~[, ~ v...j:.. v' (a) 切線速率比 τ= γ ω v ( 干了 (b) 角速率比 ω,= //', 4 怨 kz-4t 一寸 Ek = ( 如 =(: 手 f (c) 動能比 E7= v _... 司...-.. 團 --- k 制 ) 所受引力比 ;= (4) 在 S / I / 1: 倚重曲的略性質量 ( 特勒崎色 ) ( 圳速度量值比 ;= 爭斗? 100m,,' 茍 L=Iω= nw'ω @ 若速率 v 與 r 夾角為 aa121 1 = 今互 =Erpri = 三 rvs i n9 /,- r1 了的, 心 yiek) (a) 對軌道任意兩點茍 m hv, sìn9, = \'"1\1. (b) 角動量 L=m 戶 ω=mrv.l. = 主主盟動, (c) 綠動量量值 P = mv :;é Pa 州 # 常生 ( 冉的, (3) 第三定律 ( 週期定律 ) : 任一行星繞日運行之軌道半徑的立方與週期的平方之比均相同, 即平 =k (To<{-) 的數值對各行星均相同 v, _IR. 1:. 土 t. _ E _,l., "~_,, 恨, @ 所謂軌道半徑為 R- z = 長軸.. 司 的半是 t~ = 短軸兩端點到焦點的距 離 林 理 @ 對太陽象中兩個不同的行星 ( 設軌道幾乎為 圓形 ), 若軌道半徑分別為恥, R2 弋一 ~!, f (a) 遇期比了一一一一 - (b) 軌道速 J 比去 = 卉 (v= 平副主命令 ) (c) 兩行星分別與本陽連線的掠掃面積速率比為主 = (ff 戶 (.1) 告 -: 撿來 (fs MmS O2 坦 @ 兩繞施球人造衛星週期分別為 T 1 與 T2 ~ 叫道半徑比去 = 4) 尪 (( 1."..\ \~h 號 v. ( t. j, 1. J" (b) 軌道速率比去 = 楠 = 時 )

~ 3 林萃物理萬有引力定律, 週期比為 64: 27, 則下列敘述何者正確? 革物理兩衛星分別以圓形軌道繞地運行 附行星分別與太陽連線的掠掃面積速率比去 = 制 = 則 @ 若公轉軌道面為團一平面, 某時刻兩衛星相距最近, 則下一次相最近 的時間為 t= 手令 的 t=ω2t +2π= 今已 1 合 1) ω1 七一 ωa 屯 =2 凡 ISD P 品 1 次 ~(j~ 之吾 t-p4 有關克卡勒第三定律下列各敘述何者正確? t 民 T.. 4 t=τ 可 R 3 (A) 我們的太陽系各行星可之值與其他行星象之各行星干玄之值相同自 R 3 (8) 行星繞日之干玄值與月球繞地之一言值的比等於太陽與地球質量之比 (C) 平均軌道半徑條指椅團軌道之長軸與短軸的平均值 (D) 所謂平均軌道半徑等於楠圓軌道短軸兩端與太陽之距離 ( 盼各行星繞太陽軌道是楠圓 ' 貝 IJ 早季常量 E 清( 略 ) fj 墨綠 g : 1<5= 平 0( Ms 同叫陵地 : K..= 手叭叭 R 克等旬 ~~ 昌平妞 ~~ 1.-1 ~ ~..""",, r /\1{" 1. (,., 凶 /R' 守 i"'=t<q 手,..k, Ms (A) 兩衛星軌道半徑比為 16 : 9 (8) 兩衛星軌道速度比為 3:4 (C) 兩衛星的向心加速度比 64 : 1 P. Bv t:: 林(D) 兩衛星分別與地心的連線掠掃的面積速率比為 4:3 (E) 若兩衛星萱量生且同, 則對地心的角動量比為 4:3 ( 角 ) 是 =(V= 得 ) 話件 (E) L ",nwr-- ~ xr :: ~ 有 tz 子 清{ 的斗持一 = 土 v... J RL - J 付令 ( 長 )' 什 f= 冬 可 M, 1,,=...~: OJ.. ~τ V t' 的去兩仁 JF= 生

4... 萬有引力定律 P γ~ cs. / 一範例 3 Av 假如太陽系中發現一個小行星, 其公轉週期為 27 年, 而近日點到太陽的距離為 6A. U, 則下列敘述何者正確? (A) 其平均軌道半徑為 9A. U 林 (8) 遠日點距太陽 15A. U (C) 若於遠日點峙, 行星的動能為 Ek' 引力對行星作功 3E k 則由遠日點運行到近日點時間內, 太陽 (D) 若於遠日點時, 行星的角動量為 L' 則在近日點峙, 行星的角動量為 4L (E) 若於遠日點峙, 行星繞日的角速率為 ω, 則在近日點時, 行星繞日的角速 理 率為 8ω 州仰 t 吋也叫憾繞目之字吶向棘州通荊特全為 IA 削 u 週辦草蝴見蝸竟 -~ 斗勾斗千 -( :f 吊于研悍 ) f 戶斗 9) 61'" :; 斗司句付 y' = 咐 1 口 z 川 ι.) 'tj-:: ~ E k= 牛 Ek -E~.. 3Ek 苟 ( 可 1Þ 角 L l&) 特 ω 範例 4 Bι 毛 一人造衛星繞地球運行時, 其間最小距離典最大距離之比為 1 : 2 ' 則在最小 距離典最大距離時衛星 : (A ) 運動速率比 1 : 2 (8) 對應角速率的比 4 : 1 (C) 對地球加速度大小比 4: 1 (D) 同一短時距內, 其與地球連線謗 掃面積比 2 : 1 (E) 角動量大小比為 1 : 1 但線動量大小的比為 2 : 1 理 的斗 =izi Vl. \,", I ( 仿古 :=( 們 = 于 叫 frz( 有 = 午 "... -F (þ) 嘻 ~L 串串嘻司已穗 的 )L

3 明獨時 S 萬有引力定律 ~ 5 ~ 們 Bιpε 人造衛星繞地球運行的軌道如右圖.E 為地球.A B 分別是近地點與遠地點, 若 AE : 8E =1 : 4. 而 C 點為半短軸上的點 : (A) 衛星在 A 及 B 附近時, 其速率比 4 : 1 (8) 衛星在 B 及 C 附近時, 其速率比 1 : 2 林(C) 若 B 點處衛星動量量值為 p. 由 B 到 A 衛星共受衝量 5P (0) 若 B 點處衛星動能為丸, 由 B 到 A 地球的引力對衛星共作功 15E k (E) 衛星由 A 到 B 的時間與衛星由 B 到 A 的時間相同 清草物理i;1i 咽 -tþ' t'''i~ ( 的.::iA.:. 主!.:. 土 V" γ 啊! ( 昀主 " '!- Vø = ().. ').. Vc,c. si" 弓 3 0 苟 V_ :_!_ 一 Vι 立 f H= 去 mv 'L 且 - 外叭 8 -T H<><.v ~ t;~",:: 他一, 一 H a: t s 再 $1>,,'- (l.) J = AP'" 斗 P+ f -SP ~ 如暐有愛的 ( 柵量刑 1.) ( 的 W" ð.ek= lbe \c. -H=15 E" ------ ----... -... t "E:) t~ -:= 1: 8 句 A ) t c... 冉冉 p th 斗 範例 6 DE; 可 有質量同為 m 的甲 乙兩衛星, 甲衛星以距地心 2R 的圓形軌道繞地球運轉, 乙衛星以精圓形軌道繞地球運轉, 其遠地點距地心 2R 近地點為 R. 則下列敘述何者正確? /24, 計 ') =: - ~ _~ IØ (A) 甲 乙兩衛星繞地運行週期比為 8:3.jF - m 乙 \ ~".&'Yt (8) 甲 乙兩衛星的總力學能相同 " /...--~ '\'; 悅于! /_8 ~_ 2R -i, 1=_ ~ 也糊 (C) 乙衛星在遠地點時速率與甲衛星的速率相同 ---t 一 一 - 34 史 f ak -ZM 州 l\e 丸 li --... 斗 E,: 明 (0) 乙衛星在遠地點峙的加速度量值與甲衛星的加速 \ \--tfj i 句子 度量值相同 (E 叭地敝球而仿言, 甲衛星的角動量大於乙衛星的角動量 \ 一 / / 主 的主 :l 音芋..( 音? 雪白 Z z 厚包裝 = 竿 ( \3) 甲 7 毛 ( L-)1 金像相間 = 步勤快甲 7 志今 i 安哥 : 甲九 物 理 的 ) G.= 土堅持搞 (lr)- ( 毛 )-z. 備星在這 9tH! 苦角動章 (t.j L,,.I.J 己 Lü:: "" V1 心 R L, :mv, IC2R_

林清林清華物已知水星與金星公轉太陽的週期分別為 0.24 年典 0.60 年, 則水星與金星連續 6... 萬有引力定律 P 8 兩次接近的時間間隔為多少年? t TfkI-obekm 峙 _._... 每 T.. _ T, O,60-ø.1't \ 色地 :t= 叮叮時範例 8 Ac,t) E (A) 1!. 8 點處的率為? (8) 1!. 8 (C) 在軌道上任何位置對地心的角動量均為 m vr 1 K 警 (D) 1!. 8 點時對地心的的為? ωv. ( 叭 i,=,.!!.. 苟,,~ " 恤 'V, r1 y 理(A)0.10 (8)0.20 (C)0.30 (0)0.40 (E)0.50 :: ;;0 ::: V.'ι() iliι 一質量為 m 的人造衛星以精圓軌道繞地球運行 設 A B 分別為衛星距地球最 遠及最近的位置 ( 如圖 ), 到地球質心距離分別為 r1 r2 ' 若忽略其他星體的影 響, 已知衛星在 A 處速率為 v, 則下列敘述何者正確? F 斗,/ /' / //, t v,:o.v B 仁令 :L-1A _ l'iy l=τ' 可言 --_ 一一 徊在軌道上任何位置與地峙線掃過的品斟均為 inv ( 句 ) Ek. = +w 'J: ::. m l',"" 二 - '2\", (c,) Lτ 開 1'/,T, = n'\'v r, ( 守性 ) W-=2mS lp)tfz 啥? 刊 Fdfwlz(fb 良品 ) 雷蒂 te) 令 'f.'j ~ 考生 = 起 = 恭 )

e (., 萃物理清萃物理人 p!{) 獨 il~ 萬有引力定律 ~ 7 地球以精圖軌道繞太陽運行時, 有關其軌道上借一點之運動及能量變化的敘 述, 方列何者正確? (A)J{; 動量守恆 (C) 面積速度一定 (8) 力學能守恆 (0) 對捕風爭, 世角動量守恆 -t 點 (E) 距楠圍半啥等進各位置處速率必相等 {F. ω} 林.清範例 / 戶 - 向 9ιp 如圖為太陽象中, 某一行星的精圓形軌道, 其中 B 點為行星由近日點 A 運行至遠日點 C 之軌跡的中點.0 點為行星由遠日點 C 運行至近日點 A 之軌跡的中點, 則下列敘述何者錯誤? 林(A) 行星自 A 運行至 B 之時間小於行星自 B 運行至 C 之時間 (8) 行星自 A 運行至 C 期間, 因行星與太陽 的距離漸增, 因此萬有引力漸弱, 故總力 學能減小 (C) 近日點 A 為軌道上動能最大處 /r 一千 \ 咕于星 c4- 一一一一 ι 帶一午 A \ 太陽 /..._ I _;(' _-+-_- D (0) 行星在近日點 A 的角動量小於遠日點 B 的角動量 (E) 行星自 C 運行至 D 期間, 太陽的萬有引力對行星作正功 ( 內心..8 < SII ι tá 啥 <t 慨 1 9 有 Pt. 主 (C) VA 芳 ~ Mo.l<..\ 去 Y1l'J; 丸 MM 'E\c. A (17) L A '= L~ =' 導全 t 的 <:,...p : Ek 漸哼 1S\ 有 ~~ 月 1 農作 íi: ÍI~

清華物理州平一閑人卜刊林林清華物理 ~ 8 萬有引力定律 PHYS CS 範例 " ABι 地球與太陽的平均距離為一個天文單位, 若某行星的運動週期為 216 年, 該星與太陽最接近的距離約為 8.0 個夭文單位 設其他行星對該星的影響均可忽略不計, 則 (A) 該星與太陽的最遠距離約為 64 個天文單位 (8) 該星的平均軌道半徑為 36 天文單位 (C) 該星在近日點與遠日點時所受太陽引力比為 64: 1 (0) 該星在近日點與遠日點峙的速率比為 8 : 1 (E) 該星在近日點與這日點時對太陽的角動量比為 4: 1 τ, 可 H \,' ='1'1. r' ", 也 't A.U R'" 冉丸 'H..N.J 的毛司豹三 "'(. 字 f- 帥 i f 的主 z 工 - '" 些 ~ ~, I 'νγ -ih ', g hu -EJFE '亨 - Ð',

林清華物華物理 P 獨自 ~ 萬有引力定律... 9 ~ S6-2 -E 噩噩噩. 1. 反平方引力的推詞,, (1 ) 為簡單起見, 假設各行星的軌道是以太 // 一 -...', _m 陽為中心的諸圓, 並為等速率運動, 假 ;/ I R / 仁 設某一行星的軌道半徑肘, 週期為 f r:x 卜 i T' 此行星質量為 m' 則該行星的 : 1 MhJ Jl @ 向心加速度 a= 崢手 \ /' @ 所受向心力 F =m0.= 且將豆 z 村 (4;) 早 \ -JJ/ @ 根據克博第三定律旱 =K 持 F= '+è( 缸 I = '1-1C \<: R~ 此式子顯示維持行星在軌道上運轉所需的淨力與行星的質量成 正忱 與行星至太陽閉的距離平 75 亂反伐 = 今稱為 平方反比定律 (2) 又假設促使行星運動的力是大略的已有引起, 即此力依行星和太陽的質量 及它們間的距離而定 理 在叫做 )( 是 ), m 是表行星的質量 太陽的質量應包含於 斗.7C k 部份中 (3) 牛頓認為 4π2K 這一數值為引力對物體的共同性質 最簡單的假設是與 引力源的物體的噓,L 成正比 設太陽的質量為 M = 今鈕坐三五些 = 今 林 由 F= 的 2K-EL 與 4 1t 2 K = G M(G 為比例常數勻稱為萬有引力常數 ) R 司推得維持行星在其軌道上運轉的引力方程式為 Fz 主學 (4) 在誘導此方程式時, 牛頓先作了幾項大膽的假設 : @ 假設行星的軌道是 圍略 @ 維持行星在其軌道上的力是求精街奇 \h @ 太陽質量 M 應含於斗 1L"K 中, 而 4~K= = 今 由這些假設最後推得曰 : 乎 G 叭 清 此方程式同樣能正確地應用於環繞太陽軌道上的諸 環繞行星軌道土的諸 4 前是 行是 和

林清華物理林清華物理... ( 了 )" - "'l'-:... 10... 萬有引力定律 PHYSICS 牛頓萬有引力定, 在此種假設之條件下, 重力質量分別為 M 和 m 的兩個物體, 相距為 R 峙, 彼此間的引力應為 F= 一堂 (1 ) 於 1798 年卡文狄西 (Lo 叫 Cavendish) 以儀器在實驗室中測定普通大小 的物體間的引力宣告成功, 證實了牛頓由假設推得的萬有引力定律, 並 測得引力常數 G 值 1. 單位因,,~~ 1M L T - 11_.. _211 2 Mt ~~.. 牛憾的草色色帶吋是喝 (2) 由實驗可計算 G 常數之值 G=6.67 叫 O - "nt-m~/kg w 叫 1 '1 空白 G 的單位因次式 : 寸干 ~ n 叫 ( 單位 : 來 31 特色 -M )1 : 命吋 i 扎吧也 C.g.S 制峙, 其值為 G= b. 叮叮 '( 哨 J) 0 1<,' M,., 誰 "tl' J u!. =6.WKJImk.-t M -MT'I. R 半徑 R 的一鉛球, 質量為 M, 今縷成一內部有半徑為一的中空的球形空腔後, 2 7 如圖所示, 剩餘斜線的部份質量為一 M, 今將質量 m 的質點置於 8 GMm (A) A 點峙, 受鉛球的重力為 F 1 = 一...? 2R L 17 GMm (8) 8 點時, 受鉛球的重力為 F2= -:-:- x 一 τ 一 18 R l A GMm (C)C 點峙, 受鉛球的重力為 F3= 一,...? 4R L GMm (0) 0 點時, 受鉛球的重力為 F4 = 一...? 3R L (E) 置於空腔內任一點時, 受鉛球的重力必為 _-- 一 - 一句, F= GM 2R L ~M n'l ~ (1r)'" ( 的 1=.-= 主寄 : 石 t 仟 = 了 F 哥騙哥哥話聶軒 (S)F1, 臼( 幸 )m 可 C. M... :: 旦旦旦 -~ 二 = 一主且也 ~ tt..~ ( 寺 r - I'i' Gt (.!f)m, ( 一 ι 冷 = 0-( 一 r)= 帶 ( 毛 ) GA)m 的正 = 一一..... 一 0=τþ 'l 一 + 閃閃一點 ~", h""f, 持有 =42L 可 E 慣例 B

8GMm 萃物理[A 剖獨自 ~ 萬有引力定律 ~ 11.. 已知某行星的質量為其月球質量的 64 倍, 行星與其月球的距離為行星半徑的 24 倍, 則在行星與其月球之間單行星表面多遠的 4 身體所受的重力為零?( 行星 的半徑為 R) 叫 R (B)5R (C)6R 25 ( 閻王 R ( 咚 R 林清 幣 4 且萃峰, 的物尋 l 常 FtF 曹長品品 ; 三位叫 :L 寸 k F 範例 3 一質量為 M. 半徑為 R 的均勻球體, 位於另一質量為 M. 半徑為 2R 的簿球殼 的中心, 如右圍所示, 則下列敘述何者正確? (A) 一質量 m 的質點置於球心 0 點處, 所受重力為無 限大 (8) 一質量 m 的質點置於距球心 O.5R 處, 所受重力為 GMm 2R 2 (C) 一質量 m 的質點置於距球心 1.5R 處, 所受重力為 4GMm 9R 2 (D) 一質量 m 的質點置於距球心 2.5R 處, 所受重力為一 -~? 一逞 R" (E) 一質量 m 的質點置於距球心 1.2R 與 2.4 R 兩處, 所受重力比為 2 : 1 f 內 F:O (P,)F=- ~f 學 )m 圳叭 ~\/I 實了一 = 一一一 l+î ( 已 )Fzim4 一 = 且學 t 等 ) 可叭 仰 ) 下 = 彎且 = 主虹 ~) 問 JtF 法帶 f: 1.: I 七 每 )1. 林清

12 ~ 萬有引力定律 p 如圈, 內半徑 r2 ' 外半徑們的空心球蝕, 質量為 捕令 ( 苦衷 M' 平均密度為 P' 有 - 質量 m 的小物種距球心為 r 處, 則 (a) 若 這 r1 ' 小物體受球殼的萬有引力? (b) 若括巴, 小物體受球殼的萬有引力? F" g l>t 例 丹子的 Ð == 啥? 主 _ ~M ", r 原一 川. (~ 牟利 的功呼叫 M-ll~ 種 + 惜.'I4....F" 包子乎重.j-1t m~ 阿拉 ) 州的 / 冊, /" rualh ιfz= 導主 咐哼哼 ) 在!:l-4.afJhz ( 南 範例 5, ~ 可川 一 L - w a 苦 7lJ f',, (γ',l_tl~ 8 如圖所示, 在 xy 平面上半徑為 R 的圖上, 其圓心在原點, 每隔 60 f= I:"Ftos6 h 叭 r 句 m 固定放置 一質量為 m 之質點, 在通過圓心 0 的 +z 軸距圓心為而 R 處有一質量為 M 的 質點, 則該質點所受的萬有引力 (Fx' Fy, Fz) 為何? 軍 清 (A)(0, 0, 3G Mm 2R 2 / m,- - (8) (0 ' 0 ' ~ J3GMm ~~;_... ) (C) (0 ' 0 ' ~ J3GMm 8R2) (D)(0, 3G Mm 2R4 ', 0) w1/ f? me>,. 1m ~m 咽 \ x 'k 理 2R'd, 0, 0) 心 =-0 J 干 ~'; 0 JFzz4 千 CD~30. ':. b ><G.MII\ J 吉 b 吋日眠了 1.{j "'M n'\ t R_\..

m 革物理G(l-JMf 叭 ~~"' 萃物理3 羽獨自 ~ 萬有引力定律 AIII 13... 林6 如圈, 半徑為 R 的實心球體, 平均密度 P' 質 量 M. 一物體 m 距球心為 r 則 (a)r; 這 R = 今物體所受引力 F? (b)r<r = 今物體所受引力 F? (c)r=o = 今物體所受引力 F? (d)r=;r = 今 物體所受引力 F? 排 jr = 今物體所受引力 F? - --- - r 清~) f-= 帶頭想 :Eimz 多的 fm 莘 心,) F'", 型旦 = 迅色已 = 是旦 '(~ ~ K' = rr dan 即=( 苦的 r m ~J) 是立京 f/''' 等 n. m~py Lι) f~o 叫 ) f- ~ 血 -- - 且也 (:~ {{ r 句時 dz-y; 工林~e) F- ~J ( 去 ~ y- l l\~ 清

14 萬有引力定律 16-3 軍力增 t.. 力塌強度可定.. 將單位質量的物體置於重 D 場中某點, 其所受之重力稱為該點之重力場強度, 以才表之 古 = 情 - 0 ( 單位 : 悅,. ("'js.) ) 2. 地球肉外部軍力塌分布 設地球質量 Me ' 地球半徑 Re' 平均密度 ρ' 於距地心為 r 處 理 (1) r> Re( 外部 ) : 學 重力場強度 g= 一一二互 與到地心距離的一豆豆成反比 (2) r= Re( 地表面 ) : 4fr1. 重力場強度 g= 一一 EZ 或 g= 舍的 p Rt. 0 與地球的平均哇! 全與幸住 R~ 的乘積成正比 (3) r< Re( 內部 ) : 一 重力場強的 = ( 知 r 或 g g= 主坐立 與到 $ 也心的距離成正比 (4) 地心處 (r=o) : 重力場強度 g= Ø( 零 '%er ) Re r 清 理

4As- 萃物理j 主主 這 IJ~ 萬有引力定律 ~ 15 嗎守 ' > 一文精有 -t 辛的質量為熱料, 由地面鉛直向上發射, 在燃料全部總燒成廢氣噴 出後, 其剩餘的重量為地面峙的土, 則此時火請離地面高度為 ( 故地球的半徑 50 R) (A)2R (B)3R ~ML. 學 ) - I 已叭叭一 "... 一 = 一次一 -7 信 o K 理為 (C)4R hsreh 斗 R (D)5R Wzjtbw (E)6R 萃物/' ""'" 句訓 m / ' W 苓 Z, l' R /j"1 究 1.,,- ç, tv\ ~ -+-r 吋早一一 τ- : 1- t" 一一一一 (1 ) 物體在地表所受重力為 WO' 則在距離地面高 h 處 ( h ~ 地球半徑 Re) 物體所 受重力為? 此物鍾的重量減少多少倍? (2) 在離地球表面土高度為若干公里處, 其重力加速度為地球表面土的 99%? (.\)W=Wo( \- 是 ), tl 減少 1 是偉 W=Wo( 合仰 {I- R~" 叫 11- 誌 1"( 忘了 糊 (1- ~:) 洛因告 的是, 己了句 hzr km,-- 範例 3 設地球為一質量均勻的正圓球, 其半徑約 6.4 x10 6 m ' 當地球繞極軸的轉速變快後, 恰使地表面赤道土的物體其重量變為零, 則下列敘述何者正確? 林(A) 地表面上赤道處一點的向心加速度為 9.8m/s 2 (B) 如果自轉一週為一天, 則所謂一天約等於 8000 秒 (C) 此時地球自轉速度是原來的 9.8 倍 (D) 在南北極處的物體的重量亦減為零 (E) 不計空氣阻力, 地表面赤道上的物體將以 7.9x10 3 m/s 的初速度被拋到太空中去 ( 圳 EF A( 口芽 1 (l3 )T:2 屯 JEZS 何快科 tnì 叭 清的搗 Lz 牛 = 苦祥等! 咱 丸 ) 不變 t t: )v= 持有 = 可. 句祉 10 1 % :

林清華物( 叫 (MZ 可 tt 林清華物理~ 16 萬有引力建律 P YSICS AE 甲 乙兩大星球相距 d, 遠離其他大的質量, 甲的質量為 M' 乙的質量為 9M, 則在兩星球球心連線上, 兩星球所組成的質心 A 點與重力場強度為零處 B 點, 下列敘述何者正確? (A)A 13 20 B 兩點相距 "':'="'d (8) A 點距離甲星球立 10 間點距離乙星球 jd 理(0) 若有一小星球通過 A 點峙, 受到甲 乙兩大星球萬有引力量值的比為 1 : 81 (E) 若有一小行星通過 B 點時, 受到甲 乙兩大星球萬有引力量值的比為 1 : 1 一一一一一一一一刻 ; 有 r : 3 "+ 立 d "3.D ( 毛 ) \:, g 二二二二 ~ ~. ~~ ~ιl=._ B F.. Fn =r5t.. (J-'i): X" 1: 3 仁 '..",~ 言已仇雪主 1 且... (J-')()' 叩有 Aþt= 若地球與行星 A B 與 C 都是質量均勻的正圓球, 下表所列為它們的半徑與密度的資料, 已知地表面的重力場強度為 g' 則下列敘述何者為正確? (A) 行星 A 表面處重力場強度為 2g 附星 B 表面處重力場強度為 jg (C) 行星 C 表面重力場強度為 g (D) 地球上一週期 2 秒的秒擺移到行星 C 上時, 週期變為 1 秒 (E) 地面土重 65kgw 的太空人登陸到行星 B 表面上, 重量變為 130kgw 守 z5 也 ~FR C>( R_ ( ~) 弘 ='2 告 { 憶 ) 守.,"''] 苛 Cι)díι"''\~ { 切 TzmJI KFrb (E)W'= '2 泌的 =130 ~ 們

BGD 革物理清革物理神 範例 6 下列有關地面上物體的重量變化何者正確? PJJ'/- 可 ~ 幸(A) 當地球的質量與半徑同時加倍後, 物體的重量增為原來 2 倍 (8) 當地球的半徑與密度同時加倍後, 物體重量增為原來 4 倍 (C) 當地球的質量與密度同時加倍後, 物體重量將增為原來 2 倍 (D) 若地球體積與密度均加倍, 物體重量將增為 2% 倍 (E) 若地球體積與質量均加倍, 物體重量將增為原來 2% 倍 ω) ~" 導茍 73= 的 a= 抖 '""pr...,.,,, 2 均 已 θr 平羹,~ 力.1 主 ('2. 1 書 ) t \?) Y1J"ft ~ R + 曾為他 ) 站司 (íf '1"2. -(2 但 7 (t) ( 毛 )f 付, R 哼起 (.Jf 可 ( 台 t 啥 2 某行星的密度為地球的一, 但半徑為地球的一倍, 則 3 (A) 地球上重 72kgw 的太空人登陸到該行星土, 重量變成 124kgw 萬有引力定律.1II1II 17... (8) 在地球土可舉重 180 公斤的人, 到該行星上可舉重 320 公斤 ( 的海 f (C) 在地球上可舉重 180 公斤重的人, 到該行星上可舉重 320 公斤重 (ti 汗費 (D) 在地球上水平拋射的水平射程為 R. 在該行星上以相同初速與高度水平拋 射的水平射程為 :R 在月( 恥地球上週期 T 的單擺到該行星上的週期變為 :T 林~.~I= 所 - 等 )~ 斗? (A) 可 2)(~ '" 1'1 '8 k1''''' ( 的 Ifh,: "" 平均 (V</''' h\ t =1'1\'1 ' ) 今叫 4 (ι) I~o k,w ω~ 寸 R R"'V., 哼哼 S 棉. ( 相同可./.a 間的 R~.C.S'.) 戶手 ) 吋 Tr 一一寸一一 χ= 叫 K 七 ( 的 í ::'2. 几 ~ o<.r,. :J T':: ( 耳 )1 = 如

1. 地球的衛噩林清華物清華物理@ 對恥, 線動量的量值一一, 角動量與質量成反比 t= 一一 林~ 18 ~ 萬有引力定律 P YS CS (1 ) 衛星運轉的向心力 F= 主早已 = 崎 ( 肘 (2) 衛星運轉的向心加速度 a =4~ = 叭乎乎 (3) 衛星運轉的速率 v= [o.t" = 解卜 j 平 :2Pf (4) 衛星運轉的週期 T= 此 Jf,: 且寫 = 吋菜 (5) 角動量量值為 L=mV\' = m.þÿ.r= rl\~ = rnjtj:.'t (6) 面積速率竺 = +r'l 寸 J 否可 γ= 各方研理At 測行星或太間的質量 I ( 特 = 于手制 a a 如能測得某行星之衛星的週期 T 與軌道半徑 R. 即可求出該行星的質量 M m 仆 1{; R Gt M 111 't1t"r:r 的大 )-,~"B~R fu. T 由 j> = 一一市 一 = 今 M= 一百字一 ~f. 皆大啥是叫. 明克 勒第三霆, = 今 R 3 T2 點 =k :!:!lr. 九艾文干弋學\rp叫f晰地計1 九抖(叫% rk下衛星的軌道面必須通過地心 M仙ι一f/ 述\一\~f 哇入用甜地主 R: i 轉 T 有誰也呻軍事 :z. 叭 讀曹長叮叮哺解釋鐘皇連國 (1 ) 設宇宙有一雙星系統, 質量分別為 m1 與 m2 遠離其他大質量, 保持一定的距離, 互相作用之引力大小相等, 方向相反, 彼此當作向心力繞共同質心運轉 CD 過期 @ 向心力量值 ( 即角速率 @ 半徑與質量成反比 t= @ 速率與質量成反比去 = J/', 一 m2 JFar-- r2. 魚 í j 妒, YK\ J' @ 向心加速度大小與質量成反比 2=,'\ I i", \ ll rvybm j j \ : 立了...A ~/ '-1 11 1 --- 可,'" "....'

萃物理 t 't) 斗斗毛 )\. 上 ) z 主立萃物理fA 的故 ~O~ 萬有引力定律 ~ 19 (2) 雙星在宇宙中, 不受任何外力作用, 已知其質量為 m1 與 m2' 相距 d, 則 Q) m1 的半徑 r1= ; m2 的半徑 r2= @m1 的加速度 a1= ; m2 的加速度 a2= @ 互繞的週期 T= @m1 的速率 V1= @ 相對速度大小 v= 繞質心的角速率 ω= ; m2 的速率 V2= 斗 中清(1 ) 一太空船靠近某星球表面作等速率圓周運動, 測得週期 T, 設萬有引力常數 G' 則該星球的平均密度應為? (2) 繞地表運行之低空的人造衛星週期約 84 分鐘, 據此可推知地球的平均密度約為若干? (3) 若某行星有一衛星繞其運轉, 公轉週期為 T, 衛星的軌道半徑是該行星半徑的 n 倍, 則行星的平均密度為? (4) 行星 A 有一衛星繞其運行, 週期為 T, 軌道半徑為行星 A 半徑的 a 倍, 而另一行星 B 有一衛星繞其運行, 週期為 t, 軌期半徑為行星 B 半徑的 b 倍, 則行星 A 與行星 B 之平均密度比為? (1) (À:::'~ 寄予 = 可 = 量的 rr.., 卜素 t 可 f= 吉的峙 ==5ν \D~h/~),.. 的 (tlc",~) I (ι 的眼 10"')( 電帆 于,,,.., J ( ') ().= 4-'lL'>(1\ßl_;: 士會 = 斗 )< : Tl" ~pr 均 ('-= 丘 ><J7ú,,'> 3 -,.,. \ - ~ "'\" 林IJ '-b 電甘 τ 清

林一學物理E3 林清華物理20 萬有引力定律 範例 2 fwgd E: 三個質量均為 m 星球彼此相距.e ' 如右圖所示 互繞其質心作等速率圓周運動, 下列敘述何者正確?.../~ 有.J3Gm 2 ( 的軌道半徑為子.e ( 昀向心力 Eh I~ 司已 m 轉(C) 向心加速度勻 ιmhrul伽道速率為 ~ 享 HRV昕一=GE Rt-z 扒E立JV 3 1= 一',C<<-) 晶 E 主一 _,[J 句 In'l. ~. 1 _ 豆豆血 '',. ',~" 古.t::: 夸 A 付 1...-,~ /1 /? / 1 'i I J...c / -.._...-, 叭叭 - ~"'m --i'l. 詞搭罵几時誼範Z -Fmm EI~6 乙 tìe 力, 則關於甲 乙兩衛星的敘述, 下列何者正確? (A) 繞行地球運轉週期比 8 : 1 (8) 軌道半徑比為 4: 1 (C) 軌道速率比為 1 : 2 (0) 向心加速度量值比為 1 : 16 (E) 分別與地心連線單位時間內掃過面積比為 2 : 1 wh= 斗 L 由毛 = 干 ~') 令 =t 肘, EJ4:1 如圖所示, 甲 乙兩人造衛星以圓形軌道繞地球運轉, 假設運行的軌道在同一 平面土, 且運行的方向相反 甲衛星發現每隔 1 週期就會與乙衛星相遇 ( 及甲 9 乙兩衛星與地球恰在一直線上且在地球同側 ), 若忽略甲 乙兩衛星間的作用 (c.) 斗 =l_t_ = I 立 V. ~ 1", 一 ( 0) 去 = 情 )htjz121l {EMzf 令吟仟仆仆

l清萃物{hf= 斗 FE 斗 = 帶有手 =1 豆沫 λ}j Yðj~ 萬有引力定律 21 ~ 範例 4 CD 如圍所示, 有一人造衛星 (8) 環繞地球 (E) 做半徑為 r( 從地球中心算起 ) 的圓軌道 運動時, 下列有關該衛星物理量的量值, 若衛星質量不變, 哪些隨半徑 r 的增 加而增加? /\ J, (A) 圓周運動速率 / (8) 圓周運動的角速率 1 3(C) 圓周運動的週期 1r\\(0) 相對於地球中心點的角動量迪) /(E) 動能 {A)V~ 非圳 (S)ωT 叫 rf~ ω= 平風 (vi 九 T}', 叭 ( 內 L::m VI" 0(./f 句 L1 { 吋 EL zsp k 扒, '1 林.L, i4iip J一E'~\, 川HJJRO.物.f1 史 自 ιe 若萬有引力定律是與距離立方成反比 (k4), A B 為繞地球運行的兩個人造 R' 衛星, 軌道半徑比為 2 : 1 ' 則下列敘述何者正確? 仙 )A B 兩衛星均符合週期 T 與軌道半徑 R 的酬 : 平常量 (K) (8) A B 兩衛星繞地球週期比為 2 : 1 (C)A B 兩衛星繞地球切線速率比為 1 : 2 林(O)A B 兩衛星繞地球運行時, 加速度量值比為 1 : 4 (E) 若 A B 兩衛星質量相等, 則對地心的角動量亦相等 可 1 的手啾 ~T o(. ~=t 州.l- 的 v= 2. 乎風 tr 均 1: 之 { 的仰等句 1: 官 ( 毛 )L= rt1 vr 苛捐嘻試 VR.考生 苦費 t *t 嘻 4 句. L..

/ea時\(0)27/800 叫, 8 林清華物22 萬有引力定律 已知行星 A 的衛星 a' 軌道半徑為 60 萬公里, 環繞一週需時 28 天, 行星 B 的衛星 b ' 軌道半徑 40 萬公里, 但是環繞過期為 2.8 天 A'J 行星 A 與行星 B 的質量比為 (A)21/120 (8)81/1300 (C)9/500 林 1 伴生二句詩作 y( 如 = 腳點 圳特 1l"t:J =--- iil/ E1 -PJBJF- (E)3/400 守,LAb/hdMrf飽例 7 I) E 若地球的密度與半徑同時加倍, 而月球的軌道半徑不變, 則月球繞地球運行時 (A) 加速度變成原來的 4 倍 側期變成原來的 i 倍 (C) 速率變成原來的 2 倍 (0) 對地心的角速率變成 4 倍 (E) 與地心的連線掠掃的面積速率變成 4 倍 ( 仙子 = 月三 F 叮叮剖吋 ::I~ 俺 1 的干叫 3F M 青海卡普 (ι ) 'J :J 平.M =7.(. 停 { 句 )ω 0(. 卡哼斗侖 ( 可 )tf 寸阱 ιj 前叫 範例 I\Bl'\:' 將萬有引力常數當作已知, 則從下面哪些還項中的兩個數據, 就可以估計出地球的質量? (A) 地球與同步衛星間的距離, 地球的自轉週期 (8) 人造衛星的運動速率, 人造衛星的週期 (C) 人造衛星與地球間的距離, 人造衛星的週期 理(0) 地球繞太陽運轉的週期, 地球與太陽間的距離 (E) 月球繞地球運轉的週期, 月球與地球間的距離毅仁叭叭 = 企立 LE 立圳 z 且主 = 立 r~ T~ r ' " ~i' <;. 川同學衛星制 T=" 叫自閥割 T, 備開這非但 γ 均呵呵叭幣 1 )λ 道衛星違章 v 增 "ill1~t~ 咱叫作安去一 - ({))\1!- :ptì 時巴的過鞘 T 旬, 先進學使 r 茍赤鴨 Me41- 立在 r 忱,'1'3....,.. 可 叫材 ; 集 9. é~ 想慨陳都射性叫酬 = 悴 (T=γ)..0;, τyff-r

林Jγ~BG)')E J.P}j 治 J!!S 萬有引力定律 23 範例 9 C Dε 如圖所示, 質量比為 2 : 1 之雙星 A B 在外太空中因萬有引力彼此相吸以圓 形軌道互繞其質心運轉, 保持一定距離, 則下列敘述何者正確? (A)A B 兩星運行動能之比為 1:4 /JF 一 ~ \ (8) A B 兩星動量量值之比為 2:1,Jf' 一 \ \ (C)A B 兩星向心加速度量值之比為 1:2 I, 芷, \ / / \ \ (O)A 8~ J.. 運轉角頻率之比為 1:1 (AOJA 斗 - 但 (E) A B 兩星與質心連線在單位時間內掃過的面 \\ // 積比為 1:4 \\ --// 呵 ( 物 JW ( 的 ( 川 = P,. -=? '4.. 丟吋苟且 A : Ek. = 1:'2. {E)ff= 千叫玄武是均 斗 範例 ' 下列有關地球的 同步衛星 J 敘述, 何者正確? (A) 繞地球的週期和地球的自轉週期相同 (8) 衛星的軌道面與赤道面一致 (C) 由地面上的人觀察, 看起來好像靜止在空中同一位置 (0) 在同步衛星軌道上至少等問隔配置三顆衛星, 就可建立一個除南北極地區外的全球通訊網 (E) 繞地球的方向由西向東. 吋勻τ'?至

24 萬有引力定律 司正 ; 可 範例竹 衛星 A 為地球的同步衛星, 衛星 B 為繞地表運行之低空的人造衛星, 已知地球半徑為 6400km' 則 (a)a B 兩衛星的週期比? (b) 衛星 A 的軌道半徑為何? 林 (c) 衛星 A 的高度為何? 理 / 一範例 12 一系統由可視為質點的甲 乙兩星球組成, 其質量分別為 m 與 M (M>m), 在彼此間的重力作用下, 分別以半徑 r 與 R 繞 ~ 統的質心 O 做圓周運動 若質心 O 靜止不動, 兩星球相距無窮遠時, 系統的 林 總重力位能為零, 則下列敘述哪些正確? (G 為 重力常數, 亦即萬有引力常數 ) (A) 兩星球的動量和為零 (8) 兩星球的動能相等 (C) 兩星球繞 O 運動的週期相等 1 1 (D) 兩星球的總重力位能為一 GMm( 一 + 長 ) (E) 兩星球的質量與繞行半徑有 mr=mr 的關條 /f/',',-- 行 1 戶 1 "",--... ι/ 門 X! Y,'>-: ' Jf 0,/' i, ~ JI J ;, I'r"\ I, \. 'cl 1"\ ~A./ " M -_-.' / ' ---."".;"

þjj 治 jbj 萬有引力定律 25 / 一範例 13 過地心沿直徑挖一小隧道, 一小石由隧道的洞口靜止自由釋放, 設地球表面之 重力加速度為 g' 地球半徑為 R' 則 (A) 此一小石作簡諧運動 (8) 此小石作變加速度運動 伽利一端運動叩門需恥元 LAr -,中,丑句 (D) (E) 此小石的最大加速度為 g 此小石通過地心峙的速率為而頁 3 範例可 4 月 8ιE 一質量 m 之人造衛星在距地面 R(R 為地球半徑 ) 之上空繞地球運轉, 若地球表面之重力場強度為 g' 有關人造衛星一些物理量, 下列敘述何者正確? 似的屁 ( 間為 4 仔 (C) 對地心的角速度為,/,..~ (D) 對地心的角動量為, /~m2gr3 V8R ".. -.,...- 'V2 (E) 衛星與地心連線的掠掃面積為 J ~ gr 3 d ~ ~~ ~ _ I ~ J 林 V2~' 妥加運厚 (). $*ï ( 的 'J:J4r = 瓜否可 = Jf 汞 { 仰而 "' 'l1l>f 去 = 呀 ι ω= 辛 =J 妄 v 吼叫 = m. jii 附 "'014 2t~r= 同 't'f? tei f 生 t 州 -=)1;?R S ( 通報輯 ) $'" 毛主 = 幸而,

--26 萬有引力定律 範例 15 一半徑為 R, 自轉過期為 T 之行星, 若其同步衛星甲的軌道半徑等於 3R, 另一衛星乙繞此行星作精圓形軌道運行如右圖所示, A 點距行星中心最遠距離為 3R, 8 點距行星中心最近距離為 R, 下列敘述何者正確? 理 108π 2R 3 (A) 行星的質量為呵, GT~ 6πR (8) 衛星甲的軌道速率為 -T (C) 衛星乙的週期為 :T (D) (E) 甲衛星通過 A 點峙的速率與乙衛星在 A 點時速率相同 乙衛星在 B 點峙的加速度是甲衛星加速 度大小的 3 倍 /IP\ 餒, 乙 \ I _--<-~ \ I ", (BL 斗 )B--iA \ 亡三 -4 \ ;( / 的且且 = 坐牢 ~ M'" 旦掌 {l 吋 r~ "~1 / 一範例 16 設一質量和月球相等之彗星, 因與月球互撞而熔合成大小和原月球相同之新月球, 若新月球繞地球軌道半徑為原來的 2 倍, 則下列敘述何者正確? 削球對新月球之引力減為原來之 ; 倍 (8) 新月球繞地球之向心加速率增為原來之 2 倍 (C) 新月球的表面之重力場變為原來之 2 倍 ( 晰月球繞地球之速率變成原來之 j 倍 (E) 新月球繞地球的週期變為原來的 2 / 三倍 ( h 吋 汗弘 F 斗 μ 手今吟忘 = 去抖倦 t 叭 R 吋 h 肛已弓莘 ι 祉卡苟 倍 1 的 \}= J 罕臥 3 卡吟詩 惜 剛當吼 l* o<..x~ 心時 @~ 哩 mhm,m ' 宮 -枷 pf 呵呵Z R

一-7, 1. 行星以精圓形軌道繞太陽運行, 於軌道上各處, 不變的物理量值為 : 革物理(E)2 : 抒華物理P: 獨自 ~ 萬有引力定律 ~ 27 111r.. dn 苟明明申可尸 1. 團噩噩 ~ 圖 r" L Gw';'w';W_;'w';w~ 內心肉也包戶一 (A) 切線速率 (8) 面積速率 (C) 角動量 (0) 總力學能 (E) 與太陽的距離 答案 (8)(C)(0) 2. 繞同一星球中心做圓周運動的二顆等質量的衛星週期比為 27 : 1 ' 則下列敘述何 者正確? (A) 軌道半徑比為 3 : 1 (C) 向心加速度之大小比為 1 : 81 (E) 面積速率比為 3 : 1 (8) 速率比為 1 : 3 (0) 向心力之大小比為 1 : 9 答案 (8)(C)(E) 27 旬, 限制 (A)(7)ZI3=9:1 例 ;)2=1:81 林清3. 有兩人造衛星 A B 以不同軌道同繞地球作圓周運動, 若 A B 兩衛星對地心的 角速度比為而 : 1 ' 則 A B 兩衛星軌道半徑比為 (A) 而 : 1 (8)1 : 而 (C)2 : 1 (0)1 : 2 (E)1 :4 答案 (0) 提示 R.. T..'),'> 的 I"J.."''l :..., = (~' )ω=( 一三 )ω=- R 2 'T 2 叫 4. 某一星球繞恆星運行, 其與恆星之最近距離與最遠距離比為 4 : 7 ' 則此星球在該 兩處對恆星的角速度比為 (A)4 : 7 答案 (0) (8)16 : 49 (C)7 : 4 (0)49 : 16 林 提示 21=(42=49:16 W. r 5. 行星繞日作精圓軌道運動, 當星日間距離為 r 時, 切線速率為 v, 而 v 與 r 之間的夾角為 37 0, 則此時行星之角速度為? A v)(8) 字 (C) ~V (0) ~v (E) 平 r r or Jr 4r << 答E東-Ea-Ea BW ), 提示qd ωve m 清