七 統計與機率... 7. 基本統計方法與意義... 7. 機率概論 *... 機率測度...5 事件關係形式...7 條件機率與獨立事件...9 貝氏定理... 7-
七 統計與機率 7. 基本統計方法與意義. 算術平均 x + x +... + x x x i i. 中位數 中位數 ( 又稱中值 代表一個樣本 種群或機率分佈中的一個數值, 其可將數值集合劃分爲相等的上下兩部分 對於有限的數集, 可以通過把所有觀察值高低排序後找出正中間的一個作爲中值 如果觀察值有偶數個, 則中值不唯一, 通常取最中間的兩個數值的平均數作爲中值 一個數集中最多有一半的數值小於中值, 也最多有一半的數值大於中值 如果大於和小於中值的數值個數均少於一半, 那麼數集中必有若干值等同於中值 設連續隨機變數 X 的分佈函數為 F(X, 那麼滿足條件 X mf(m/ 的數稱為 X 或分佈 F 的中位數 對於一組有限個數的數據來說, 它們的中位數是這樣的一種數 : 這群數據里的一半的數據比它大, 而另外一半數據比它小 計算有限個數的數據的中位數的方法是 : 把所有的同類數據按照大小的順序排列 如果數據的個數是奇數, 則中間那個數據就是這群數據的中位數 ; 如果數據的個數是偶數, 則中間那 個數據的算術平均值就是這群數據的中位數 原始資料依大小排列 x 若 為奇數 : Me x + x x... x 若 為偶數 : Me ( x k + xk+. 變異數在統計中, 一個隨機變數的 方差 描述的是它的發散程度, 也就是該變數離其期望值 的距離 即求各項數值與 M( 算術平均數 之差的平方之平均數, 一般以 S 表示之. 標準差假設有一組數值 x,..., x ( 皆為實數, 其平均值為 : x x i i 此組數值的標準差為 : σ ( xi x i 7-
從一大組數值當中取出一樣本數值組合 x,...,x, 常定義其樣本標準差 : s ( xi x i. 變異係數 C.V. S CV M 7. 相關係數 00% ( X i M x ( Yi M y i r S x S y 相關係數 r 之值介於 ~- a. r > 完全正相關 b. r 越趨近於 表高度相關, 反之則否 c. r 0 表零相關 7. 機率概論 * 統計學研究的範圍可分為兩大部份 : 敘述統計 (descriptive statistics: 將其所得到的資料, 歸納整理之後, 進而單單描述並分析它們的特性 推論統計 (statistical iferece: 以抽樣方法獲得樣本, 並根據樣本實際資料的分析來推論或判斷母體的狀態, 進而預測未來, 做出決策 EX. 擲一不公正的骰子 ( 有瑕疵, 出現 點的機率未知, 可以投擲骰子 N 次, 若出現 次 點, 則以作為出現 點的機率之估計值 N 機率學 : 以已知的母體來測知樣本特徵 ( 和推論統計恰好相反 EX. 擲一公正的骰子一次, 則出現 點的機率為 點的可能性會接近, 可以知道投擲骰子次數過多時, 出現 定義 機率即為衡量某一事件在未來發生的可能性, 並將此可能性數量化 7-
定義 一機率實驗所可能產生的結果, 稱為此實驗的某一樣本點 (sample poit 所有樣本點所構成的集合, 稱為此實驗的樣本空間 (sample space, 通常以大寫英文 S 表之 定義 事件(evet 即樣本空間 S 的子集合 只包含一個樣本點的事件稱為單一事件 (simple evet 含有兩個樣本點以上的事件稱為複合事件(compoud evet EX. 樣本空間, 樣本點, 及事件 投擲一公平的骰子, 其樣本空間為 S{,,,,5,} 定義 A, 兩事件為 : A: 面朝上的點數, 正好出現 點的事件 : 面朝上的點數, 出現超過 點的事件 A{}, 為一單一事件 {,5,}, 為一複合事件 隨機抽取 顆電燈泡, 我們就以良好 (G, 損壞 ( 為符號, 試著以樹狀圖列出此實驗所有可能的樣本點 第一顆 G 第二顆 GG G G 第三顆 GGG GG GG G G GG G 樣本空間為 : S{GGG,GG,GG,G,GG,G,G,} 定義 A, 兩事件為 : A: 抽取之 顆燈泡都為良好的事件 : 抽取之 顆燈泡中, 至少有兩顆損壞的事件 則 A{GGG}, 為一單一事件 {G,G,G,}, 為一複合事件 7-
機率測度 定義 若 A 為某一機率事件,A 可能發生的機率以 A 表示 若 A0: 表示 A 不可能發生 若 A: 表示 A 必然發生 一般而言,A 會介於 0 與 之間 即 0 A 定義 計算事件所可能發生的機率, 可先算出此事件所包含的每一樣本點, 其個別所可能發生的機率, 再將其加總即是 EX. 投擲一公平的硬幣兩次, 試算出其剛好出現正面一次的機率 解 : 第一次投擲 H T 第二次投擲 HH HT TH TT E E E E E: 第一次出現正面第二次出現反面的事件 E: 第一次出現反面第二次出現正面的事件 E E 故 P ( E E + E 定義 ( 古典法 : 當某一隨機實驗的樣本空間是有限的, 且每一樣本點所可能發生的機率是相等的, 則 N( A 一事件 A 所可能發生的機率 P ( A N( S 其中,N(S 為樣本空間所包含的樣本點個數,N(A 為事件 A 本身所包含的樣本點個數 EX. 投擲一公平的硬幣兩次, 試算出其剛好出現正面一次的機率 解 :S{HH,HT,TH TT} N( A 每個樣本點出現的機率相同,A 表剛好出現正面一次的事件, 則 P ( A N( S 7-5
定義 ( 相對次數法 : N ( A 在相同的情況下, 一直重覆某實驗 N 次, 而事件 A 出現的次數為 N(A, 則為 N 事件 A 發生機率 A 的一個很好的估計值 EX. 欲估計某一不公平的骰子出現 點的機率 重複擲骰子 N 次, 發現 點出現 N(A 次, N ( A 則出現 點的機率之估計值為 N 定義 ( 主觀法 : 單由個人的經驗, 觀點, 相當主觀的推算事件發生的機率 7-
事件關係形式 A 表 A 發生或 發生的事件 A (A 發生 不發生 (A 不發生 發生 (A 發生 發生 A S S 即整個大長方形, 其代表著整個實驗的樣本空間 而兩圓形, 則代表著 A, 兩事件 A 表 A 發生且 發生的事件 c A 表 A 不發生的事件 EX. 假設某一機率實驗其樣本空間包括 7 個樣本點 : S { e }, e, e, e, e5, e, e7 A 為 ; A { e, e e }, { e, e e } (b 求 解 :(a, c A,, 7, c A, A 5 定義兩事件 ; (a 以作圖方式將 A 兩事件表現出來 S e e e e A e 5 e e 7 7-7
(b c A {e} { e, e, e, e } 7 c A, 7 A { e e } A { e, e, e, e e } 5, 7 EX. 投擲三枚公平的硬幣 ( 視同投擲一枚公平的硬幣 次 並觀察其正反面情形 定義兩事件 A, 為 A: 至少有一正面的事件 : 至少有一反面的事件 則 S HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT AS-{TTT},S-{HHH}, { } S { TTT HHH} A, A S S; 因此, 7 7 P ( A, P (, P ( A, P ( A 8 8 8 8 8 8 定義 設 A, 為兩事件且 A ψ, 則稱 A, 互斥 (mutually exclusive 公理. 對任一事件 A,0 A.S 為樣本空間, 則 S. 對於兩兩彼此互斥的事件 A,A,,A, 則 A A... A A i i EX. 假設某一機率實驗, 其樣本空間包含了 5 個樣本點 { e, e, e, e, e 5 } (a 如果 P ( e e 0. 5, e 0. P 和 P ( e e, 試求 P e 及 { } ( 5 ( P (b 如果 P e e 0., 且其餘樣本點機率皆相同, 試求其餘樣本點之機率 解 : (a 假設 P ( e 5 P, 則由題目可知 e P P 而 P s e + e + e + e + e 0.5 + 0.5 + 0. + P + P ( 5 因此 p 0. p 0. 故 P ( e 0. P ( e 5 0. e 5 (b 假設 P e e e p 5 (, 則知 P ( S 0. + 0. + p p 0. P ( e P e P e5 故 ( ( 0. 7-8
條件機率與獨立事件. 聯合機率及邊際機率 考慮兩個以上事件同時發生的機率, 稱為聯合機率 考慮單一事件發生的機率, 稱為邊際機率 例題 某班學生( 樣本空間 S, 將 S 分割成男生 (A 女生(Ac 兩大塊 並將 S 分成統計學及格 ( 與不及格 (c 聯合機率表 : 分數及格 ( 不及格 (c 合計性別 AA 男生 (A A A c +A c 女生 (Ac Ac Ac c AcAc + Ac c 合計 A + Ac ca c+ Ac c 00%. 條件機率 定義 給定一事件 已經發生, 則事件 A 的條件機率 (coditioal probability 記為 A, 並定義為 A A,>0 例.9 假設有兩事件 A, 且 A0.5,0.,A 0. 試求 (aa, (b A 解 : (a (b A 0. A 0. A 0. A A 0.5 5 7-9
EX 某一大學金融系大二班, 男生有 0 人, 女生 0 人 統計學期中考,0 分為及格 及格和不及格人數如下所述, 括號中為其佔全班人數比例, 今從此班任抽取一人 : 分數及格 C 不及格 D 總和性別 男同學 A 0(0. 0(0. 0(0. 女同學 0(0. 0(0. 0(0. 總和 0(0. 0(0. 50(00% (a 若已知被抽取此人為一男同學, 試求此男同學不及格的機率 (b 若已知被抽取此人為一女同學, 試求此女同學及格的機率 D A 0. 解 :(a P ( D A A 0. C 0. (b P ( C 0.. 獨立事件 A, 為任二事件, 若有下列情形之一成立 : ( A A ( A ( A A 則稱 A 與 兩事件獨立 (idepedet, 反之則稱 A 與 兩事件相依 (depedet 註 : 兩事件獨立, 意謂著其中一事件發生與否, 都不影響另一事件發生的機率 EX. 性別 分數 及格 C 不及格 D 總和 男同學 A 0(0. 0(0. 0(0. 女同學 0(0. 0(0. 0(0. 總和 0(0. 0(0. 50(00% 試問 A,D 兩事件是否獨立? 解 : A D 0. A D D 0. A 0. 因 A D A 所以此兩事件並不獨立, 而是相依 7-0
互斥 (mutually exclusive 獨立 (idepedet A 0 A A EX. 欲由編號 至 50 號的摸彩卷中抽出 張, 抽中者可獲得黃天受老師簽名照 張 今某君持有 號及 8 號兩張摸彩卷, 令 A 代表抽出為偶數的事件, 事件 {,8} 則 P ( A {8} φ A 50 P ( A A 5 5 50 知 A 和 為獨立的, 但 A 和 不為互斥. 機率法則 定義 ( 加法法則 A A+-A 若兩事件互斥, 則此法則改寫為 : A A+ 例. 舉行期中考, 已知班上同學有 50% 數學不及格, 有 0% 英文不及格, 而有 0% 數學與英文均不及格 今從此班級中隨機抽取一人, 試問此同學在這兩科中, 至少有一科不及格的機率為何? 解 : 若令事件 A: 抽取此同學, 數學不及格的事件 : 抽取此同學, 英文不及格的事件 A50%,0% 數學與英文均不及格事件的機率為 A 0% 至少有一科不及格事件的機率為 A A+-A 50%+0%-0% 0% 推廣 : 任意三事件 A,,C A CA++C-A - C-C A+A C 若三事件互為互斥事件, 則 A CA++C 7-
定義 ( 乘法法則 A A A A 若兩事件獨立, 則此乘法法則改寫為 : A A EX. 在一不透明的桶子中, 裝有 顆白球 (W 及 顆黑球 ( 試求抽取的兩顆球中, 一顆為白球, 一顆為黑球的機率 解 : 定義 Wi: 抽取之第 i 顆球為白色的事件 i: 抽取之第 i 顆球為黑色的事件 i, a. 抽取不放回 (without replacemet 一個白球, 一個黑球 ( W P ( W + P W W + W (/0(/9 + (/0(/9 + 5 5 8 5 b. 抽取放回 (with replacemet 一個白球, 一個黑球 W + W W W + W (/0(/0 + (/0(/0 + 5 5 5 5. 餘集法則 7-
定義 ( 餘集法則 對任一事件 A, 則 : A - A 或 Ac - A c EX. 有一神射手, 其槍法十分準確, 有 90% 的機率可射擊命中 今對此目標連續射發十次, 並假設十次擊發彼此皆為獨立事件 試問此神射手至少失誤一發的機率 解 : A: 至少失誤一發的事件 Ac: 十發完全命中無失誤的事件 A c (0.90 A - A c - (0.90 0.5 貝氏定理 定理 ( 全機率法則 假設 SA A Ak;Ai>0,i,, k, 且對 i k 而言,Ai Akψ 則對任意事件 : k i A i A i 註 : A, A,... A 為 S 的一個分割 (partitio k 舉例證明 : A A A A A 5 A S (A A A + A i A + A i A i +... + A A +... + A A 7-
EX. 有 部機器 (A, A, A, A 生產同一產品, 各機器出產產品數量各佔總產量之比為 0.,0.,0.,0. 再令產品為不良品的事件為 各部機器產品的不良率分別為 0.0,0.05,0.0,0.0 試問若隨機抽取一產品, 其為不良品的機率為? 0. A 0.0 0. A 0.05 0. A 0.0 0. A 0.0 0. A 0.0 0. A 0.05 0. A 0.0 0. A 0.0 解 : i P ( A i A + A A A + A A + (A A + A A 0. 0.0 + 0. 0.05 + 0. 0.0 + 0. 0.0 0.07 A A A A A A A A A A k Ak A k 7-
定理 ( 貝氏定理 ;ayes' Theorem 假設事件 {A,A,,Ak} 為樣本空間 S 之一分割,Ai>0,i,, k, 則對其他任意事件 而言 : P ( A j P ( A j P ( k P i ( A j P ( A P ( i P ( A j A i EX. 前例中, 若從工廠的成品中, 隨機抽取一產品 假若已知此抽取之產品為不良品, 試問它是由機器 A 所生產的機率為何? 解 : 0. A 0.0 0. A 0.05 0. A 0.0 0. A 0.0 A A 條件機率 P ( A A 乘法法則 A A i A i A i 全機率法則 (0.(0.0 0.07 8 7 0.9 7-5