Microsoft PowerPoint - Ch8_Polarization

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1 光學 / Optics Ch 8 偏振 Polarization 成功大學物理學系 朱淑君

2 Ch 8, Polarization 序言 光可看成是橫電磁波 (transverse lectromagnetic wave), 已經討論了線偏振光 (linearly polarized or plane-polarized p light), 其電場的方位是固定的, 僅隨時間變化其大小及正負值 對線偏振光而言, 其電場 (or 光擾動 ) 落在震盪平面 (plane-of-vibration) 上, 即包含電場 及傳播向量 k 之平面 假想兩個同頻率的 沿同方向傳播之線偏振諧和波, 當通過空間中同一區域時, 若兩個電場向量是共線的 (colinear), 則兩擾動的疊加會結合為一個線偏振光 若兩個電場向量是相互垂直的, 則兩擾動的疊加有可能是線偏振光也有可能不是線偏振光 本章將探討光的偏振態及如何觀測 產生 改變 使用光的偏振

3 Ch 8, Polarization 大綱 8. 偏振光的本質 /The Nature of Polarized Light 8. 偏振器 /Polarizers 8.3 二色性 /Dichroism 8.4 雙折射 /Birefringence 8.5 散射及偏振 /Scattering and Polarization 8.6 由反射引起偏振 /Polarization by Reflection 8.7 相位延遲器 /Retarders 8.8 圓形偏振器 /Circular Polarizers 8.9 多色光的偏振 /Polarization of Polychromatic Light 8.0 旋光性 /Optical Activity 8. 光調變器 /Induced Optical ffects--optical Modulators 8. 液晶 /Liquid Crystals 8.3 描述偏振的一種數學方式 /A Mathematical Description of Polarization 3

4 8. 偏振光的本質 The Nature of Polarized Light 本節將光的偏振分成三類五種介紹 完全偏振 : 線偏振光 (liner polarization) 圓偏振光 (circular polarization) 橢圓偏振光(lliptical polarization) 無偏振 : 自然光 (Natural light) 部分偏振光 (Partially polarized light) 兩個相互垂直的光擾動可表示為 : 合成光擾動為兩光擾動的向量和 : Note: >0 則表示 y 落後 x 需 時間後之 y 才與 x 目前的函數值相同 <0 則表示 y 領先 x 4

5 線偏振 (linear polarized) 當 =0 0 or± 整數倍 y 與 x 同相, 合成波為 : 合成波也是線偏振光, 震幅為, 可看成單一個合成電場 沿傾斜方向震盪, 向 z 方向傳播 反過來看, 我們也可以將一個線偏振光看成兩個相互垂直 同相的線偏振光的組合 5

6 當 = ± 奇數倍 y 與 x 80 0 反相, 合成波為 : 合成波仍是線偏振光, 但是其震盪平面 (plane-of-vibration) 旋轉了一個方向 6

7 圓偏振 (Circular Polarization) 若兩組成波有相同震幅 : 0x = 0y = 0, 且 兩波的相位差 = - / + m (m=±, ±, ) - 整數倍差 /, 則 : 兩波 : 合成波 : 合成波的震幅 ( ) / = 0 為定值 朝向光源看時, 方向以角頻率 順時針旋轉 稱之為右旋偏振 (rightcircular-polarized), 或 簡稱為右旋光 (right-circular light) 7

8 兩波的相位差 = / + m (m=±, ±, ), 則合成波為 : 合成波震幅不變 朝向光源看時, 以角頻率 逆時針旋轉, 稱之為左旋偏振 (leftcircular-polarized), 或簡稱為左旋光 (left-circular light) Note: 一個線偏振光可以看成是由兩個相同震幅的圓偏振光的組合兩波 : 右旋偏振光 : 左旋偏振光 : 合成波 : 震幅為 的線偏振光 8

9 橢圓偏振 (elliptical Polarized) 上述線偏振及圓偏振均為橢圓偏振之特例 橢圓偏振光 (elliptically polarized light) 或稱橢圓光 (elliptical light): 其合成電場向量 會旋轉, 同時其大小不斷改變 當光通過一固定空間時, 橢圓偏振光的 的末端在垂直傳播向量 k 的平面上的軌跡成一橢圓軌跡 末端軌跡的曲線為 : 說明 : 兩波 : cos( kz t) x / 0 x 左右平方得 : 展開移項得證 9

10 圖示 : 此為橢圓主軸與 ( x, y ) 座標軸夾 角的橢圓方程式 夾角 滿足 : 特例 : 當橢圓的主軸與座標軸平行, =0,( 0 ( 即 =±/, ± ±3/, ±5/, ) ) 橢圓方程式成為 : 當 0x = 0y = 0, 橢圓方程式可化 : 末端之軌跡為圓形 圓偏振 當 為 的奇數倍, 橢圓方程式可化 : 當 為 的偶數倍, 橢圓方程式可化 : 末端之軌跡為直線 線偏振 0

11 末端軌跡隨 值之變化情形 ; 兩波 : <0 <0 = >0 = x 領先 y (or y 落後 x ) /, 或說 : y 領先 x (or x 落後 y ) 3/ Note: 表示光波的偏振態 (state of polarization): 線偏振光 (linearly polarized or plane-polarized light): 左旋或右旋光 (left- or right-circular light): 橢圓偏振光 (elliptical):

12 自然光 (Natural light) 一般的光源由大量的混亂排列的輻射原子所構成, 每個激發態的原子輻射出持續約 0-8 秒的偏振波陣列 所有的輻射中同頻率的波會合成為單一偏振光, 但持續不超過 0-8 秒 新的波陣列不斷的產生, 因此整個光束的偏振態不停的改變而完全無法預測 偏振態的變化非常快速而使得某一瞬間的偏振態難以辨識, 這樣的光稱之為自然光 (Natural light), 或稱無偏振光 (unpolarized light) Note: 無偏振光 (unpolarized light) 為誤稱 事實上自然光為快速變化的許多偏振態所構成 無規則偏振 (Randomly polarized) 應是較好的稱謂 數學上可以用兩個完全非同調 正交 等震幅的線偏振光來表示自然光 ( 即, y 與 x 的相對相位差 快速混亂變化 ) 一個理想的單色光 (monochromatic light) 總是偏振光 想 : 理想單色光的波陣列為無窮長, 若將其電場分解成兩個正交的電場向量, 兩個同頻率 無窮長的電場擾動其相對相位 總是固定的 疊加必為偏振光

13 部分偏振 (Partially polarized) 無論是天然的或是人造的光源, 光通常不是完全偏振也非完全不偏振, 其電場向量 的變化非完全無序也非完全有序, 這樣的光源稱之為部分偏振的 (Partially polarized) 描述部分偏振光的特性時可以想像其為部分自然光及部分偏振光的疊加 3

14 8. 偏振器 Polarizers 偏振器 (Polarizers) 使通過的自然光成為偏振光的光學元件 x: 線偏振器 (linear polarizer) 自然光可看成由兩個完全非同調 正交 等震幅的線偏振態所組成, 線偏振器可將通過其中一個線偏振態排除, 使一線偏振態通過 取決於通過的光的偏振態, 可定義不同的元件 : 圓偏振器 (circular polarizer), 橢圓偏振器 (elliptical polarizer), 部分偏振器 (partial polarizer) 偏振器有許多不同的結構, 主要基於四大基本物理機制 : 二色性 (dichroism)8-3 反射(reflection)8-6 散射(scattering)8-5 雙折射 (birefringence)8-4 i 偏振器利用這些物理機制中的不對稱特性, 選擇特定偏振態, 而排除其他偏振態 4

15 Malus's Law 由定義, 自然光通過線偏振器 (polarizer) 時, 只有單一線偏振態可以通過 此時, 此線偏振態的電場向量方向平行於線偏振器的透射軸 (transmission axis) 當旋轉圖中的線偏光片時, 通過線偏光片的幅照度值不會改變 5

16 Malus s Law 引入第二個線偏振器或稱檢偏器 (analyzer), 其透射軸沿垂直方向, 若通過第一個線偏振器的光場震幅為 0, 則只有分量 0 cos 能通過檢偏器, 則偵測器 (Detector) 上測得的幅照度值為 : 線偏振器於與檢偏器兩者的透射軸夾角為 0 時, 可測得幅照度極大值 I(0)=c 0 0 /, 上式可改寫為 : (Malus s Law) 6

17 Note: I(0) 為落在檢偏器 (analyzer) 的幅照度值 (a) 若入射自然光 I=000W/m, 通過線偏振器的幅照度值為 500W/m, 則 I(0)=500W/m (b) 若入射光為線偏振光 I=000W/m, 又線偏振光偏振方向平行線偏振器透射軸, 則 I(0)=000W/m I(90 0 )=0, 此時通過線偏振器 (polarizer) 的電場完全垂直於檢偏器 (analyzer) 的透射軸 兩元件這樣的擺設稱之為十字交錯 (crossed) 7

18 8.3 二色性 Dichroism 二色性 (Dichroism) 二色性指選擇性吸收入射光中兩個 P-state 組成的一個 P-state 說明 : 二色性偏振器 (dichroic polarizer) 通常本身為物理所謂的非各向同性 (anisotropic), 而能不均勻地對其中一個 P-state 產生強吸收, 使另一個 P-state 通過 金屬柵欄偏振器 (The Wire-Grid Polarizer) 金屬柵欄偏振器為一群平行的導線 金屬柵欄將入射光中平行金屬線的電場分量排除, 垂直金屬線的電場分量則可通過 8

19 說明 : 入射光的電場可看成由兩 個相互垂直的偏振分量所組成 一個垂直導線 一個平行導線 平行導線的電場 y- 分量 : 能驅動導線上的電子使其形成電流, 過程中電子碰撞原子晶格, 將能量傳給原子, 而形成部分熱散失 此外, 電子沿 y- 軸加速過程輻射出電磁波 入射光的電場 y 分量抵銷金屬線內原子震盪朝前輻射的部分 (ch4), 金屬線內原子震盪朝後輻射的部分則形成反射波 垂直導線的電場 x- 分量 : 金屬線內的電子無法沿 x 方向自由移動, 因此此部分的電場不受影響, 通過金屬柵欄 金屬柵欄的透射軸 (transmission axis) 垂直柵欄的金屬線 9

20 二色性晶體 (Dichroic Crystals) 二色性 (Dichroic): 又指有兩種顏色 由來 : 二色性的晶體具有兩種顏色, 起因於是其本身的晶體結構 物質在晶體內有特殊的方向性, 稱之為主軸或光軸 (principle or optical axis), 光軸由晶體的原子結構決定 入射光波垂直於光軸的電場分量會被晶體劇烈吸收 當晶體越厚, 則此電場分量被吸收的越完全 二色性晶體平行光軸切割成平板成數 mm 厚時可當作線偏振器 缺點 :a. 晶體尺寸有限 b. 晶體對光的吸收與頻率有關, 導致晶體通常有顏色 x: 垂直電氣石光軸看入射的白光時, 電氣石露出漂亮的綠色, 當沿著光軸看入射的白光時, 電氣石則為黑色 ( 各偏振均垂直光軸 強吸收 ) 電氣石晶體 (tourmaline crystals) 化學式 : NaFe 3 B 3 Al 6 Si 6 O 7 (OH) 4 0

21 二色性的性質說明 : 晶體內的原子由近距力 (short-range range force) 強力束縛住, 而決定材料光學特性的電子則相對於原子處於平衡位置, 但仍受到鄰近的其他原子影響 然而, 電子的鄰近原子可能不成對稱分佈 電子所受到的彈性束縛力因而具有方向性 因此電子對於入射電磁波的諧和場的響應因此電子對於入射電磁波的諧和場的響應, 會因 的方向不同而異 材料導電率 (conductivity) 也與其方位有關 (orientation-dependent) 入射的諧和場在材料內產生電流時, 會形成焦耳熱 (joule heat), 入射場因而形成衰減, 然而此衰減除了與方位有關外, 還可能與頻率相關, 因此當入射白光時, 材料可能會顯現顏色, 且顏色與入射電場 的方位有關 Note: 非各向同性的晶體材料可能有兩種或是三種顏色, 稱為二色性 (dichroic) 或是三色性 (trichroic)

22 人造偏光板 (Polaroid) 938 年, Land 發明 H-sheet, 是目前最被廣泛使用的線偏振器 H-sheet 並沒有使用二色性晶體 (dichroic crystals) 而是使用類似金屬柵欄 (wire grid) 的分子結構 製作 : 將一片乾淨的聚乙烯醇 (polyvinyl alcohol) 板加熱並沿指定的方向拉長, 其常碳氫化合物分子 (hydrocarbon molecules) 在此過程中變成有序 再將聚乙烯醇板浸入富含碘的油墨溶劑 (ink solution rich in iodine), 碘會飽和塑膠, 並附著在直的長鏈聚合物分子 (long-chain polymeric molecules) 上, 有效地形成長鏈 人造偏光板的作用 : 碘傳導電子 (conduction electrons) 能沿著長鏈移動, 就如同長鏈是細長的金屬線一般 平行於分子鏈的入射光的電場分量能驅策電子, 對電子做功, 而被劇烈吸收 因此人造偏光板的透射軸 (transmission axis) 為垂直聚乙烯醇板拉長的方向

23 8.4 雙折射 Birefringence 結晶的介質 (crystalline substances): 固體內的原子的排列方式為特定的 規則週期反覆的陣列, 稱其為光學的非各向同性 (optically anisotropic) 非結晶固體 (amorphous) 與結晶固體電子震盪模型的比較 非結晶固體 結晶固體 非結晶 (amorphous) 物質 : 束縛電子有如在所有的方向都用相同的彈簧固定住 電子沿各方向偏移平衡點, 震盪的自然頻率相同 非各向同性 (anisotropic) 物質 : 束縛電子有如在不同的方向由具有不同勁度 (stiffness) 的彈簧固定住 電子沿各方向偏移平衡點, 震盪的自然頻率不同 說明 : 雙折射 (birefringence) 光通過介質時, 電子受外加電場驅策, 再輻射的次波源 (secondary wavelet) 會影響最後的折射波 (refracted wave) 的波速 折射率 非各向同性的束縛力會導致材料的折射率也是非各向同性 3

24 當 驅策電子沿較硬的彈簧方向 (x 方向 ) 震盪時, 電子的震盪頻率較高 對應的折射率如右圖所示 : 對電子若沿 x 方向較沿 y 方向有較強的束縛力 : 彈力常數 :k x >k y 自然頻率 : x > y 當材料具有兩種折射率時, 稱此材料為雙折射的 (birefringent) 4

25 Note: 雙折射材料的二色性 (dichroic): 若入射光的頻率鄰近 d, 其落在折射率 n y () 的吸收帶內 因此對材料而言, 入射光中沿 y 方向偏振的部分會被劇烈吸收, 而入射光中沿 x 方向的偏振部分則是透明的 ( 二色性 : 對正交的兩 P-state, 一個吸收 一個通過 ) x: 若晶體沿 y z 方向是對稱的, 則電子沿兩方向的震盪的自然頻率及損耗皆相同, 此時定義 x 方向為光軸 (optical axis) 方向 說明其二色性 : 當頻率 d 的光沿光軸方向 (x 方向 ) 傳播時, 會被強烈吸收 當垂直光軸傳播時, 會形成線偏振光 5

26 由色散方程式知折射率與自然頻率成反比, 材料沿具有較強束縛力的方向有較低的極化 (polarization) 較低的介電常數(dielectric constant) 較低的折射率 色散方程式 : 一般雙折射材料的共振頻率均高於可見光的範圍 (ex: = b ), 所以均為透明的, 但兩正交的偏振態的折射率不同 採用雙折射特性的線偏振器, 使兩 p-state 走不同的路徑分開而成為線偏振光 6

27 x: 雙折射晶體 方解石 (Calcite), 化學式 :CaCO 3 原子結構圖 : 每個碳酸鹽 CO 3 叢聚成一組三角形, 光軸垂直其平面 以通過任一 CO 3 中心的光軸為軸旋轉, 每轉一圈會出現相同的結構三次, 為結晶學排列中的三重對稱 (3-fold symmetry) 沿著光軸看晶體的俯視圖 其雙折射特性源自於結構的不對稱性 碳酸鹽類均落在垂直光軸的平面上, 垂直光軸或平行光軸電場於晶體引起的效應會極不相同 7

28 方解石的解理 (cleavage) 方解石能輕易的沿平滑的解理面 (cleavage plane) 分裂開 由於這些面間的原子間的束縛力很微弱 所有方解石的解理面均垂直於三個方向, 當晶體形成時, 原子沿著這些面一層一層的疊加上去 層的疊加上去解理面的型態主要取決原子內部的排列結構 方解石的解理形式 (cleavage form) 為菱 形六面體, 其每一個面都是平行四邊形 銳角 頓角

29 方解石的光軸 : 方解石的菱形六面體解理中, 有兩個頓角其三個面的夾角均為 頓角, 此兩頓角的連線與三個解理面的夾角均為 , 與每個邊的夾角均為 呈現明顯的三重對稱(3-fold symmetry) 兩頓角的連線即為方解石之光軸 雙折射現象 : 當垂直方解石解理面入射一束細的自然光束時, 光束會分裂成兩道平行光束出射 當旋轉晶體時光軸 其中一條光束維持不變, 如同通過平行玻璃板, 稱之為尋常光線 (Ordinary rays, or o-ray) 另一條光線在旋轉晶體時, 會相對 o-ray 旋轉, 稱之為非尋常光線 (extraordinary rays, or e-ray) Note: 使用檢偏器檢測, 發現兩道光束均為線偏振的, 且兩 P-state 相互垂直 9

30 方解石的主平面 (principle plane): 任一個包含光軸的平面稱之 若主平面恰好與方解石的兩平行解理面垂直時, 稱此平面為主截面 (principle p section) 方解石的主截面為一個銳角 7 0, 頓角 09 0 的平行四邊形 說明 : 方解石的雙折射現象當光打在方解石表面時, 會驅策電子震盪, 因而輻射出次子波 ( Secondary wavelets), 子波 (wavelet) 疊加後形成折射波, 此程序不斷重複, 直到光通過晶體 將自然光分成兩部分討論 : 主截面 (principle section) () 偏振垂直主截面 ( 光軸 ) 的部分 () 偏振平行主截面的部分 30

31 入射平面波, 光偏振垂直主截面 ( 光軸 ) 的部分 O-ray 入射電場驅策表面無窮多的電子, 各自輻射出球面子波, 彼此同相 由於各子波 (wavelet) 的電場均垂直於光軸, 如同各向同性介質般, 子波朝各方向以相同速率 v () 擴散開來 C.P. O-ray 表現出各向同性的特性 各子波的包絡線 (envelope) 形成平面波的一部份, 再次 激發新的球面次子波 此程序不停重複, 光直線通過晶體 An incident plane wave polarized perpendicular to the principal section. 3

32 波前 入射平面波, 光偏振平行主截面的部分 e-ray 此時入射光同時包含 垂直光軸的成分及 平行光軸的成分 由於介質為雙折射的, 偏振平行於光軸的光以 v // 速率傳播, 而偏振 垂直於光軸的光則以 v 速率傳播且 v // v x: 方解石中鈉黃光滿足 :.486 v // =.658 v =c v // > v 方解石中 v // > v, 因此子波在垂直光軸方向會被拉長, e-ray 的子波 (wavelet) 應為以光軸為軸之橢球 e-ray 通過晶體時產生橫向位移 An incident plane wave polarized parallel to the principal i section. 光線方向 Note: 光線方向 (ray direction) 指的是能量傳播的方向 在非各向同性材料中, 光線方向不再垂直於波前 (wavefront) Wavelets within calcite. 3

33 以電磁理論說明雙折射 : 入射電場會極化介電值, 使介質中產生電偶極 因此介電值內的電場會包 入射電場會極化介電值使介質中產生電偶極因此介電值內的電場會包含感應電偶極產生的電場, 引入電位移 (Displacement) D 來描述之 P D 0 考慮材料的極化, 使用 Maxwell s eq 可以推導出, 此時波前的震盪量為 D 及 B( 非 & B ), 垂直等相位面的傳播向量 k 此時垂直的是 D ( 非 ) k k D f J ) ( 0 B k B B k B B D H D k D D H k t D J H f J f ) ( 0 各向同性介質中,D 及 僅差一個純量常數, D=, 因此 D// 非各向同性介質中,D 及 可用一個張量 (tensor) 關連起來, ex: t 非各向同性介質中及可用個張量 ( ) 關連起來, y x y x y x D D D 此時 D 不再平行於 光線的方向沿著 Poynting vector, 不再與 k 同方向 33 z z z D 0 0

34 波前波前 o-ray: e-ray k D 光線方向光線方向 S B S k D D H k v S k D 光線方向 k S D // // k S D 不平行不平行 Optical axis 34

35 雙折射晶體 (Birefringent crystal) 晶體內的原子以特定的方式排列 (e.g.: 六角形 四角形 三角形 ) 使得沿特定方向傳播的光會遇到不對稱的結構 這類物質是光學的非各向同性的 (anisotropic) 及雙折射的 (birefringent) 光軸 (optical axis): 相對此特定方向上所有的原子的排列是具對稱性的, 稱之 單軸的 (uniaxial): 當晶體只有一個這樣的方向 ( 光軸 ) 時, 稱之為單軸的 自然光在這類晶體中會引起尋常子波 (o-wavelet) 及非尋常子波 (ewavelet), 電場相對於光軸的方位決定了 子波擴張的速率 o-wave: 其電場處處與光軸相垂直, 沿各方向子波的行進方向均為 v e-wave: 其沿光軸傳播的方向的分量以速率 v 傳播 ( 電場垂直光軸 ), 電場 平行光軸的分量以則以速率 v // 傳播 35

36 單軸晶體有兩個主要折射率 (principal indices of diffraction): 兩折射率的差值 :n= (n e -n o ) 表現出了晶體的雙折射特性, 稱之為晶體的雙折射 (birefringence) 當 v // >v n e -n o <0 稱其為負單光軸 (negative uniaxial) x: 方解石 當 v // <v n e -n o >0 稱其為正單光軸 (Positive uniaxial) ial) x: 石英 冰 負單光軸 : o-wavelet 落在 e- wavelet 內 正單光軸 : e-wavelet 落在 0- wavelet 內 36

37 雙軸 (biaxial) 晶體 : 除單軸晶體外的其他晶體系統,( 即 ; 菱形正交的 orthorhombic 單斜晶系的 monoclinic 三斜晶系的 triclinic 晶體 ), 有兩個光軸, 稱之為雙軸晶體 37

38 雙折射的偏振器 (birefringent polarizers) 方法 : 利用 n e n o 的特性, 將 e-wave 及 o-wave 分開 Nicol Prism 製作 : 方解石被硏磨成菱形 體 ( 主截面之銳角介於 68 0 ~ 7 0 ) 垂直主截面切成 塊後, 再用折射率介於 n e ~ n o 間的 膠結材料膠著 (n balsam ~.55) 作用 : 當入射光進入稜鏡時,e-ray 及 o-ray 均發生偏折 o-ray: o-ray 於方解石 - 膠著材料間的全反射角為 69 0, 因此被全反射而被側邊的塗料吸收 e-ray: 產生橫向位移, 但不發生損失 Note: 損失取決於膠著材料 38

39 Optical axis ray Clan-Foucault polarizer 製作 : 由兩塊方解石構成, 光軸方向如圖所示 作用 : 入射光垂直表面入射, 可以分解成電場垂直 平行光軸的兩個部分 製作時, 使落在方解石 - 空氣介面的入射角度 滿足 o-ray: 在介面處被全反射 e-ray: 僅產生橫向偏移 分類 : 若兩方解石被膠著, 稱之為 Clan-Thompson polarizer, 視角 (field of view, FOV) 較大, 約為 30 0 若兩方解石未被膠著, 稱為 Clan-Foucault or Clan-Air prism, 視角約為 0 0 Optical axis 39

40 Wollaston prism 為偏振分光器 (polarizing beam-splitter), 兩個相互正交的偏振態均能通過 製作 : 可利用方解石或石英硏磨成兩個光軸相互垂直的稜鏡組合而成 作用 : 入射光的兩偏振態在介面處分開, 第一塊稜鏡中的 e-ray (o-ray) 在第二塊稜鏡中成為 o-ray (e-ray), 折射率隨之變化, 兩偏振態在介面處發生折射而分開 x: 方解石之 n e < n o, 第一塊稜鏡中的 e-ray: n e n o,n n 小 n 大 折射光線偏向法線大 o-ray: n o n e,n 大 n 小 折射光線偏離法線 Note: 光線的偏離方向取決於稜鏡的頂角 兩稜鏡可膠合或直接用光學接觸 (optically contact) 黏接 法線 40

41 8.5 散射及偏振 Scattering and Polarization 回顧 :Rayleigh Scattering ( 物體尺寸 < 光波長 ) 散射光強度正比於頻率的四次方, 4 電偶極輻射 (Dipole radiation), 通量密度 (irradiance), I: I s 4 I() 4

42 散射光引起的偏振 線偏振平行光 (linearly polarized plane light) 入射大氣分子 散射光的電場方位 ( s) 總是如同電偶極的震盪方向, 且與波映亭相量 (Poynting vector) 共平面 電偶極震盪時, 於其軸方向 ( 震盪方向 ) 不會產生輻射 4

43 入射光為無偏振光 (unpolarized light), 入射大氣分子 無偏振光可以用兩個相互垂直 非同調 等震幅的 P-state 表示, 因此無偏振光的散射光等效於兩 p-state 之散射光的疊加 : 沿入射光方向的散射光為完全無偏振光 (unpolarized light) 離軸方向的散射光為部分偏振 光 (Partially polarized light) 隨著離軸的角度增加, 散射 光的偏振成分增加 與入射光垂直的方向觀測到的 散射光為完全的線偏振光 (linearly polarized light) 43

44 x: 定出太陽的方位後, 沿垂直太陽光約 90 0 的方向 用兩片透射軸 (transmission axis) 正交的人造偏光片 (Polariod) 可以發現太陽光為部分偏振光 Note: 觀測結果非完全偏振的原因是 大氣中存在大分子 分子具非各向同分子具非各向同 性 (anisotropic) 及多次散射 (multiple scatting) 造成的偏振特性消失 多次散射 (multiple scatting) 造成散射的偏振特性消失, x: 兩透射軸正交的人造偏光片中間夾一張紙, 光經過紙時經過多次散射, 會改變其偏振態 44

45 8.6 由反射引起偏振 Polarization by Reflection 其中一個最常見的偏振光的來源就是來自介電材料 (dielectric media) 的反射 可由電子的震盪模型來瞭解何時反射會引起線偏振光 T-polarized wave 入射介電質時, 透射及反射光之偏振態均為垂直入射平面 (plane-of-incidence) 的線偏振態 TM-polarized wave ( 電磁震盪落在入射平面上 ) 入射介電質時, 介質表面處的電磁震盪會受折射波的震盪影響 入射 T-polarized wave 入射 TM-polarized wave 電子震盪方向 45

46 介質表面處的電子震盪同透射波之電場震盪方向 對應的 Dipole radiation pattern 特殊情形 : 當透射波的電場震盪方向與 反射光線的方向一致時 ( 即 =0), 此時 反射波 (TM-polarized wave) 會完全消失 46

47 當滿足 :, 入射光為無偏振光 (unpolarized light) 時, 可看成由兩個非同調 相互垂直的 P-state 所構成, 此時只有垂直入射平面的偏振態 (T-polarized) 會被介電質 平面反射 此時的入射角即為偏振角 (polarization angle) 或稱 Brewster s s angle, p, 滿足 Brewster s Law: 說明 : 又 代入 x: 光自 airglass,n i =, n t ~.5, p ~53 0, 自然光以此角度入射玻璃時, 反射光的電場震盪方向完全垂直入射平面 (T-polarized light) 47

48 透射軸 x: 光自水坑反射的光為部分偏振光 (T>TM) (a) 透過透射軸水平於地面的人造偏光板所見的影透射軸像, 此時大部分的反射光均可通過偏振器 (b) 透過透射軸垂直於地面的人造偏光板所見的影像, 大部分的反射光均消失 應用 : 使用 Brewster s s Law 製作線偏振器 (linear polarizers) 困難處 : 自然光以偏振角 p 入射時, 反射光 ( 完全的線偏振光 ) 較微弱 (R=r T ) 透射光 ( 部分偏振光 ) 較強 解決方式 將透射光再反射 pile-of-plates polarizer 由許多平行排列的載波片組成 ( 可見光 : 玻璃, 紅外光 : 氯化銀 ) 48

49 分光鏡 (beamsplitter) 兩個稜鏡間的對角斜面鍍有多層不同 的透明介電質薄膜 (Note: 反射為 T 偏振態 透射為 TM 偏振態 ) 與 Fresnel equations 的對應 Fresnel equations 給出反射光 透射光相對於入射光其電場震幅的關係式為入射角 i 及透射角 t 的的函數 給出了 : 震幅反射係數 (amplitude coefficient of reflection): 反射光與入射光之電場震幅比,For T-polarized wave ( 電場垂直入射平面 ): TM-polarized wave ( 電場平行入射平面 ): 反射係數 (Reflectance): 反射光對入射光之的幅照度比 (irradiance ratio), 為震幅反射係數之平方 TM-polarized wave: T-Polarized wave: 49

50 R : 永不為 0 R // : 當時, 分母為無窮大時,R R // =0 電場平行於入射平面的線偏振光 (TM-polarized light) 的反射部分會消失, 光束全部通過界面, 此即 Brewster's Law 當入射光為無偏振光 (unpolarized light) 時, 可看成兩個偏振相互 非同調 相相 同震幅的 P-state 的組合 兩偏振態的能量各佔一半, 反射係數為 : I i I r // R// I r // I r R R ( R// R ) Ii I R Ii r n i =, n t =.5 i = p 時, 當 i = p 時, 反射光為 P-state ( 比例很 R=7.5% 小 ) 透射光明顯為部分偏振光 當 i p 時, 反射 透射光均為部分偏振光 50

51 常使用偏振程度 (polarization degree), V, 來描述光束的偏振特性 其中 I p I n 為構成光束的偏振的部分 (polarized) 及非偏振部分 (unpolarized) 的通量密度 (flux density) x: I p =4 W/m I n = 6 W/m V=40% ( 光束為部分偏振 ) 無偏振光 (unpolarized light):i p =0 V=0 完全偏振光 (completely polarized light): I n =0 V= 0<V< x: 利用線偏振器分析光束的偏振程度 旋轉檢偏器, 得到最大透射幅照度為 I max = I p + I n /, 得到最小透射幅照度為 I min= I n /, I p = I max -I min I p +I n = I max +I min 偏振程度為 : + 5

52 8.7 延遲器 Retarders 延遲器 (Retarders) 能改變入射光的偏振狀態的一種光學元件 作用 : 入射光可看成由兩個 P-state 所構成, 延遲器能在兩 p-state 間引入一定量的相位延遲 經過延遲器後, 兩偏振態間的相對相位改變, 因此合成波的偏振狀態也隨之改變 波片 (wave plates) 與菱形晶體 (Rhombs) 平面波入射一般晶體時, 通常會分成 e-ray, o-ray 兩道光線 如右圖, 將方解石晶體切成平板狀, 使其正 反兩 面均與光軸相垂直 作用 : 兩 p-state 引起的次子波 (secondary wavelet) 完全一致, 兩 P-state 間沒有相位沒有產生相位偏移, 出射光仍是單一平面波 5

53 如右圖, 將方解石晶體切 成平板狀, 使其正 反兩 面均與光軸相平行 作用 : 當入射光之 有 垂直及平行光軸的分量時, 因 e-wavelet 與 o-wavelet aelet 的傳播速率不 同 : v // >V,n e <n o, 通過晶體時,e-wave 較 o-wave 快, 合成波的 e-wave, o-wave 間會產生相位延遲 晶體厚 d, 則兩偏振正交的 e-wave, o-wave 間 引入的相對光程差 ( relative optical path length difference) 為 : 引入的相對相位差 (relative phase difference) =k 0 : Note: 出射晶體的偏振態取決於 () 入射光的兩正交 P-state 的分量 () 值 53

54 全波片 (The Full-Wave Plate) 延遲片引入的 = (+m), 兩 p-state 間的延遲為波長的整數倍 又稱為相位延遲 (retardance), 此時相位延遲為 360 0, 此光學元件稱為全波片 (Full-Wave plate) 或全波延遲器 (Full-Wave retarder) 對單色光 (monochromatic light) 而言 :e-wave 與 o-wave 出射晶體時再次回到原先的入射時的相位關係, 因此通過全波片時單色入射光的偏振狀態沒有改變 Note: 全波片只能對特定波長產生延遲波長整數倍的功能, 其中 n o -n e 對整個波長範圍變化很小, 因此 約正比於 / 這樣的特性光學上稱之為有色差的 (chromatic) x: 在兩個十字交錯的偏振器間放入全波片, 只有波長滿足 = (+m) 的波長會被檢偏器擋住, 其他波長經過全波片後都會變成橢圓光, 而有部分通過檢偏器 54

55 晶體的快慢軸 負單光軸 (negative uniaxial) 晶體 :v v // >v, 因此負單光軸晶體製成的波片其光軸方向常被稱為波片之快軸 (fast axis) ( 想 : 偏振沿此方向的光傳播較快 ) 正單光軸 (Positive uniaxial) 晶體 : v // <v, 因此正單光軸晶體製成的波片其光軸方向常被稱為波片之慢軸 (fast axis) ( 想 : 偏振沿此方向的光傳播較慢 ) 負單光軸 (negative uniaxial) 快軸 正單光軸 (positive uniaxial) 慢軸 55

56 半波片 (The Half-Wave plate) 延遲片對 e-wave, o-wave 引入的相對相位差 = (+m) 時, 稱此光學元件為半波片 (Half-Wave plate) 或半波延遲器 (Half-Wave retarder) x: 當入射光的偏振面 (plane-of-vibration) 與晶體的快軸 (fast axis) 夾 角時,( 假設晶體為負單光軸材料 ) 相同頻率下 e-wave 較 o-wave 速率 快, 通過半波片時, 產生的偏移為半波長 ( 即 : 相位偏移為 ) 效應 : 入射線偏振光 : 半波片會將偏振 方向選轉了 角度 因此半波 片有時又稱為偏振旋轉器 (polarization rotator) 56

57 入射橢圓光 : 半波片會旋轉橢圓偏振的方位 左旋光 右旋光 Note: 下圖又可看成當 e-wave, o-wave 通過半波片時, 改變, 光的偏振態隨位置處處改變的情況 + = = 57

58 製作 : 當材料厚度 d 滿足 :, m=,, 3 此時材料會表現出半波片的特性 ( ) x: 方解石易碎不易處理其厚度, 較少用於製作波片 石英光軸不平行解理面, 因此製作較貴 較常使用的是 灰棕色的雲母 (pale brown muscovite), 其兩個主軸幾乎平行其解理面 聚乙烯醇 (polyvinyl alcohol), 其延展時會使其長鏈分子排列, 由於其明顯的非各向同性, 電子沿垂直或平行分子鏈感受到的束縛力也具有不對稱性, 這樣的物質也會具有永久性的雙折射特性, 即便其不是晶體結構 58

59 ¼ 波片 (The Quarter-Wave Plate) 延遲片對 e-wave, o-wave 引入的相對相位差 = (+m) 時, 稱此光學元件為 ¼ 波片 (Quatter-Wave plate) 特性 : e-wave, o-wave 引入 90 0 相位差能將 P-state 入射光轉為 -state, 或將 -state 入射光轉為 P-state 當入射光為線偏振光且其偏振方向與 ¼ 波片之快 慢軸均夾 45 0 時, 此時入射光 e- 分量與 o- 分量有相同震幅,¼ 波片在 e-wave, o-wave 引入 90 0 相位差, 可將線偏振光轉為圓偏振光 反之, 圓偏振光通過 ¼ 波片, 則會轉為線偏振光 ; ox = oy = = 59

60 製作 : 當材料厚度 d 滿足 :,m=m,, 3 此時材料會表現出 ¼ 波片的特性 ( ) Note: 波片的一些特性 : 自然光通過各種波片, 仍為自然光 ( 想 : 非同調的 e-, o-wave 相對相位偏移後仍然非同調 ) 波片只對單一波長滿足固定的相位延遲波長滿足固定的相位延遲 (retardation) 當旋轉波片時可能會使得此特定的相位延遲增加或減少 相對快軸旋轉 相位延遲 增加 ( 相當於波片厚度增加 ) 相對慢軸旋轉 相位延遲 減少 ( 偏振沿 y 軸的波速 <v // ) 相對快軸旋轉 相對慢軸旋轉 可微調波片的使用波長範圍 y d d d d x 60

61 波片按製作可分成三類 : zero-order order retarder: m=0, 波片為滿足相位延遲之最薄厚度 缺點 : 很薄 易碎難製作 優點 : 視場角 FOV 較大 x : 對波長 550nm, 石英的雙折射 n e -n o 為 0.009,¼ 波片之 zeroorder retarder 僅厚 5 m Multiple-order retarder: 其厚度對應之相位延遲為 整數倍再加上所需之相位延遲 優點 : 較容易製作 缺點 : 但對入射角度 溫度 波長變化敏感, 視場角 FOV 較小 Compound zero-order wave plate: 結合兩個 Multiple-order retarder, 將延遲片之快軸平行另一延遲片之慢軸 但整體的相位延遲滿足所需之相位延遲 優點 : 因溫度變化造成的影響可以相互相補償 缺點 : 視場角 FOV 仍較 zero-order retarder 小 雙折射聚合物 (Birefringent polymers) 因具有較小的雙折射 n e -n o, 因此很容易製成 zero-order retarder 6

62 The Fresnel Rhomb 發生內全反射時,T-polarized wave 與 TM-Polarized wave 的相位變化不同 因此入射光垂直入射平面與平行入射平面的兩電場分量在發生內全反射時會產生相對相位延遲 (Relative phase shift) x: The Fresnel Rhomb 玻璃 n=.5, 當入射角為 時,T- 與 TM- 偏振態間會產生 45 0 的相位延遲,Fresnel 稜鏡設計使入射光以入射角為 發生兩次內全反射, 於兩偏振態間引入 90 0 的相位延遲 當入射線偏振光, 其偏振與入射平面夾 45 0, 兩偏振態的分量相同, 發生一次全反射時成為橢圓光, 再發生一次全反射成為圓偏振光 優點 : 由全內反射引起的相位延遲在很大的頻率範圍均與頻率無關, 稱 Fresnel Rhomb 為無色差的 (achromatic) 90 0 retarder The Fresnel Rhomb 6

63 補償器 (Compensators) 與可調的相位延遲器 (Variable Retarders) 補償器 (Compensator): 是一個可以對波施加可調的相位延遲的光學元件 x: Babinet compensator 結構 : 如圖, 將雙折射晶體製成兩個楔形板 (wedges), 光軸方向正交疊合 原理 : 上 下層 :e-waveo-wave 相較於 Wollaston prism 不同的是, 此處 的楔形板頂角很小, 光線的偏折不大 對應上層厚度 d, 下層厚度 d 處, 對 e-wave, o-wave 引起的相對相位延遲為 : 63

64 相位延遲 : 若補償器為負單光軸材料 (ex: 方解石 ) v // >v d >d :e-wave e 領先 o-wave d < d :o-wave 領先 e-wave d = d : 對所有波長而言 =0 此處 o-, e-wave 是對第一塊晶體而言 若晶體為正單光軸晶體, 則結果恰相反 使用 : 補償器處處提供的相位延遲 均不同 在很窄的寬度 內引起的相位延遲約可視為定值, 若入射光落在狹窄的範圍內, 可任意選擇需要的 值 x: Soleil compensator 結構 : 如圖, 雙折射晶體製成兩個楔形板, 及一個平板, 兩楔形板的光軸方向同方向疊合 平板的光軸方向與楔形板光軸方向正交 作用 : 可提供整個面均勻的相位延遲, 利用 推動楔形板即可控制相位延遲 值 64

65 8.8 圓偏振器 Circular Polarizers x: 當線偏振光的電場方向與 ¼ 波片的主軸 (principle axes) 夾 45 0 時通過 ¼ 波片, 出射光為圓偏振的 任一種線偏振器與 90 0 的相位延遲器的適當組合能形成圓偏振器 Note: 產生的圓偏振光為左 or 右旋光取決於線偏振器的透射軸 (transmission axis) 與相位延遲器的快軸夾角為 or

66 可以利用圓偏振器檢測入射圓偏振光為 R-state 或 說明 : 圖中 A D 為兩個線偏振器,B C 為兩個 90 0 的相位延遲器,A 與 B 組成一個圓偏振器 C 與 D 也組成相同的圓偏振器 假設 B C 的快軸相平行 自然光通過 A ( 成線偏振光 ), 接著通過 B 後相位延遲 90 0 ( 成圓偏振光 ), 經過 C 後相位再延遲 90 0 ( 成線偏振光 ) --- 兩 ¼ 波片相當於 ½ 波片之作用, 將線偏振光旋轉 = 而能通過線偏振器 D Note: 當 B C 快軸方向垂直時, 則通過 C 後兩 p-state 之相位延遲回到 0 0, 形成之線偏振光與線偏振器 D 成 90 0 垂直, 不能通過 若 A+B 能產生左旋光 左旋光自左旋圓偏振器的輸出端進入時能通過 右旋光自左旋圓偏振器的輸出端進入時不能通過 同理 : 右旋光自右旋圓偏振器的輸出端進入時能通過 左旋光則不行 66

67 8.9 多色光的偏振 Polarization of Polychromatic Light 純單色光 (purely monochromatic light)--- 假想的光 不符合物理事實 純單色必為完全偏振的 其兩個正交的偏振組成成分有相同的頻率 兩偏兩偏振成分有固定的震幅 兩偏振成分間有固定的相位差 ( 同調 ) 一單色光的擾動為無窮長的波陣列, 於任意時間均維持相同的特性, 無論其為 P-, R-, L-, 或 -state 均為完全偏振 準單色光 (quasi-monochromatic light) 準單色光具有 << 特性 ( 頻寬 遠小於其平均頻率 ) 可以用兩個正交的諧和線偏振波表示 : 其頻率及傳播數對應於準單色光頻譜的的平均值, 然而震幅及相位均為時間的函數 特色 : 窄頻寬對應長同調時間 準單色光之偏振態及其對應的震幅 ox (t) oy (t) 及相位 x (t) y (t) 皆變化緩慢 經過多次震盪仍維持定值 67

68 多色光 (polychromatic light)--- 一般光源均為多色光 一般光源由大量的輻射原子構成 每個單一原子輻射出有限延續長度原子輻射出有限延續長度 l c 的波陣列, 在波陣列延續的時間 t c = l c /c 內, 此波陣列的偏振可視為固定的 各原子有不同的相位以其主要頻率震盪 在遠小於各原子的平均同調時間 (average coherence time) 的一段時間內, 各原子輻射出的波陣列之震幅及相位可視為定值 在此一時間內可看見各波陣列形成的合成波有一定的偏振方向 此偏振的持續時間會小於原子的同調時間 因此若光源的頻寬 (bandwidth) 很寬, 其同調時間 (t~/) 會很小, 因此其偏振態的生命期很短 光的偏振與同調特性基本上是相關聯的 Note: 將多色光通過線偏振器, 可以移除兩正交偏振態的其中一個偏振組成, 則合成波的偏振不再取決於多色光的頻寬, 此時光是多色的, 但為完全偏振的 68

69 干涉色彩 (Interference color) 在兩個十字正交的 (crossed) 線偏振片中置入 具雙折射特性材料時, 會出現許多充滿色彩的區域, 且色彩隨著偏振片的旋轉而變化 偏振片的旋轉 69

70 成因 : 干涉色彩的成因為雙折射材料具有相位延遲與色彩相關的特性 說明 : 當光通過線偏振片時, 形成線偏振光, 當經過雙折射材料時, 光分成兩個部分, 各自有不同的相位延遲, 當經過第二片偏振片時, 只有平行透射軸的部分能通過, 在第二片偏振片後得到兩個具有相位延遲的共平面震盪量 不同色光對應的相位延遲不同 : 當, 為完全反相, 兩共平面量震盪量彼此相消, 當, 為完全同相, 兩共平面量震盪量彼此相長 (reinforce), 由各色光之相位延遲決定出射光所顯示的色彩 70

71 8.0 旋光性 Optical Activity 旋光性 (Optical Activity) 8, 法國物理學家 F. J. Arago 首度發現當 P-state 光沿著石英的光軸前進時, 在通過石英的歷程中, P-state 光其震盪平面 (plane-of -vibration) 會呈連續地發生旋轉變化的現象 旋光性 : 一材料能使入射的線偏振平面波發生 電場方向旋轉, 稱此材料為旋光性的 (Optically Active) 面向光源, 依電場的旋轉方向可分為 : 右旋光的 (dextrorotatory, or d-rotatory): 震盪平面順時針旋轉 左旋光的 (levorotatory, or l-rotatory): 震盪平面逆時針旋轉 起因 : 石英表現出右旋的或左旋的特性取決其結晶結構 石英分子式為 SiO, 但其結晶卻有兩種分子排列結構 兩分子結構幾乎完全一樣但互為彼此的鏡像, 稱之為對映結構體 (enantiomorphs) 類似石英一般的物質, 有相同的分子式但卻有不同的分子結構, 稱之為同分異構物 (isomers) 石英 7

72 Note: 只有結晶的石英具有旋光性 溶解 (melted) 或熔化 (fused) 的石英則不具有旋光性 許多有機或無機的材料也如同石英一般, 僅在結晶時具有旋光性 所有透明的對映結構體 (enantiomorphs) 均為旋光性的 有些天然的有機化合物, 如糖 酒石酸 (tartaric acid) 松脂 (turpentine), 則在溶解或液態時具有旋光性 Fresnel 對旋光性現象的描述 旋光性發生原因 : 線偏振光可以看成 R-state 與 L-state 的疊加結果, 兩種偏振態在通過具旋光性的介質時具有不同的傳播速率, 即材料具有兩種折射率 :R-state 之折射率為 n R L-state 之折射率為 n L 旋光性材料表現出圓雙折射 (circular birefringence) 特性 當線偏振光通過旋光性材料時光性材料時, 兩個圓偏振光逐漸不同相, 因此合成的線偏振光的偏振方向因而旋轉 7

73 說明 : 線偏振光在旋光性介質中, 可看成具有相同震幅 相同頻率相同頻率, 但具有不同傳播數 (or 折射率 ) 的 L-state 及 R-state 圓偏振光的疊加 : ; 其中 : 合成波 : Cos+Cos=Cos(/+/)Cos(/-/) Sin Sin=Cos(/+/)Sin(/-/) 光於 z=0 處進入旋光性介質時為線偏振光 z=0 73

74 合成波 : ( 震盪方向 ) 於旋光性介質內沿 z 軸任一點, 由於 L-state R-state 有相同的時間相依性 (time dependence), 為完全同調的 旋光性介質內沿 z 軸任一處的合成波均為線偏振的 z=z 朝向光源看合成波 : 若 n R >n L ( 即 k R >k L ) V L >V R, 則合成波為逆時針旋轉的 若 n R <n L ( 即 k R <k L ) V R >V L, 則合成波為順時針旋轉的 傳統上討論電場旋轉的角度 時, 定順時針方向的旋轉角度為正 若 n L >n R 則為右旋光的 (d-rotatory) 若 n R >n L 則為左旋光的 ( l-rotatory) 74

75 R = -(k R z-t) L = (k L z-t) =( R + L )/ =-(k R -k L )z/ L = z=0 z=d 合成波 : =-(k R -k L )z/ R = 75

76 是 0 的函數, 稱之為旋光色散 (rotatory dispersion) x: 將旋光性物質置於兩個十字正交的偏振片 (polarizer) 中, 以白光照射, 旋轉檢偏器 (analyzer) 可以看到不同的色彩 旋光率 (specific rotatory power) 定為 /d 即通過單位長度介質造成入射線偏振光之震盪平面的旋轉角度 x: 石英 : 而當光沿光軸方向傳播時,/d=.7 0 /mm, 此時 n L -n R = 7X 傳統的雙折射特性消失 ( 表現出圓雙折射 ) 而當光垂直光軸入射時, 石英則表現為正單光軸的晶體 尚有其他的單軸或雙軸的晶體舉具有旋光性,ex: 硫化汞 HgS (n o =.854, n e = 3.0): /d=3.5 0 /mm NaCl0 3 具有旋光性, 但不具雙折射特性 液體的旋光率很低, 通常用每十公分來表示,ex: 松脂 turpentine (C 0 H 6 ) /d= /0cm (l0 0 C with = nm). 76

77 The Fresnel composite prism Fresnel 提出如右圖之合成 稜鏡 由許多右旋的及左旋的稜鏡組合, 光軸方向如圖所示 原理 :R-state 在第一塊稜鏡中較第二塊稜鏡中走得快 ( 疏 密介質 ), 因此光線偏向法線, 稜鏡對 L-state 的作用恰相反 ( 密 疏介質 ), 兩光束因而分開 R n L nl nr<nr R 偏向法線 n R n R L n L >n L 偏離法線 77

78 一個有用的模型 旋光性其實非常複雜, 雖然可以利用古典電磁理論來討論, 但事實上需要利用量子力學來解釋 此處我們考慮一個簡單的模型, 可以定性的描述旋光性的現象 在描述各向同性的介質時, 我們使用均勻的 (homogeneous) 各向同性的 (isotropic) 分佈的電磁震盪子, 其震盪平行入射光的 方向 描述光學的非各向同性 (anisotropic) 介質時, 可以用類似的手法, 用非各向同性分佈的電磁震盪子, 以一角度相對驅動 震盪 (P=//) x: 石英 (quartz) 其矽及氧原子相對於光軸的排列呈右旋螺線 (i (right-handed hth d spiral) 或左旋螺線 (left-handed spiral) 晶體對應著許多平行排列的螺線(helices) 入射光與晶體的交互作用將隨著其看見的是右旋螺線或左旋螺線而有所不同 入射光中 R-state L-state 通過介質的折射率應有所不同 78

79 x: 若為混亂排列的螺線陣列 --- 如具旋光性的液體 考慮其中一個螺線分子 若其軸平行入射諧和電磁波的 方向, 則 時變電場會在平行軸的方向產生時變的電偶極矩 (dipole moment) p(t) 由於電流會伴隨著做螺線運動的電子而產生, 因而產生沿分子軸方向的震盪的磁偶極矩 (magnetic dipole moment) m(t) 產生 m B 逆時針電流 順時針電流 79

80 若其軸平行入射諧和電磁波的 B 方向, 則產生 m B 時變磁場引起時變磁通量, 而產生沿著分子的感應電流, 因而再次地產生時變的電偶極矩 (dipole moment) p(t) 及震盪的磁偶極矩 (magnetic dipole moment) m(t) i 上述兩情形中,p(t) 及 m(t) 會呈平行 (parallel) 或反向平行 (anti- i parallel), 取決於分子的螺線分佈情形 逆時針電流 震盪的 p(t) 及 m(t) 會散射電磁波, 兩者之電場相互垂直 : p m, 兩電場之其合成電場 s 將不再平 B i 行入射電磁波之電場 i 方向 取決於分子螺線的情形, 透射光 i ( s + i ) 的震盪平面會隨傳播而旋順時針轉 旋轉的量值隨著分子的方位電流而改變, 但震盪平面旋轉方向與螺線方向相同 80

81 實例 : 將波長為 3cm 的微波入射一個裝滿許多平行排列的銅螺線 (e.g., cm 長 0.5cm 寬 ) 的箱子 透射波的震盪射平面會隨著傳播而改變 8

82 8. 光調變器 Induced Optical ffects--optical Modulators 光調變器 (Optical modulators) 許多牽涉到光偏振的物理效應是人為誘致的, 下列例子中, 分別利用外加機械力 磁場 電場於光介質而改變透射光的偏振 光彈性 (Photoelasticity) 光彈性 :86 年, Sir David Brewster 發現垂直入射光的各向同性介質, 可經由施加機械應力 (mechanical stress) 於介質上而變成非各向同性 此現象稱之為機械雙折射 (mechanical birefringence) 光彈性 (photoelasticity) 或應力雙折射(stress birefringence) 在壓力或張力的作用下, 材料會表現出如同正單光軸或負單光軸晶體的特性 光軸的方向為機械應力施加的方向 誘致的雙折射正比於外加應力值 應用 : 光彈性是用來檢測透明 不透明機械結構的應力的基本技術 x: 未適當退火的機械或未適當固定的擋風玻璃均會於材料內部產生內部應力 不透明介質表面的應力可以藉由黏合的光彈性鍍膜來分析 8

83 說明 : 由於介質各點的應力不同 各點的雙折射皆不相同, 當放置在兩個十字正交的 (crossed) 偏振片中間時, 顯現的複雜條紋反映了介質內部的應力情況 介質任一點的相位延遲 (retardence) 正比於其主應力差 (principal stress difference), - 為兩正交的主應力值 x: 當一平板垂直方向受到應力時, 為沿垂直方向之 maximum principal stress 為沿水平方向之 minimum principal stress 在較複雜的情況, 主應力差 - 隨位置變化 兩偏振片中的塑膠片 改變應力, 條紋改變 83

84 在白光的照射下, 所有具有相同主應力差值 - 之處稱為等色區域 (isochromatic regions) 不同主應力差值 - 對應不同顏色 當入射光的電場平行該點任一主應力軸時 (principle stress axis), 所有波長都不受影響地通過介質 若放在十字正交的兩偏振片中觀察, 會形成黑色區域, 稱為等傾區域 (isoclinic band) 透明塑膠材料的光彈性效應 透明塑膠材料的光彈性效應 84

85 >0 磁光效應 -- 法拉第效應 (The Faraday ffect) 發現 :845, Michael Faraday 發現光通過介質時, 會受到外加磁場的影響 入射線偏振光到玻璃板時, 若沿光行進方向外加強磁場時, 線偏振光的震盪平面 (plane-of-vibration) 會旋轉 法拉第效應是第一個指出電磁理論與光之間有相互關連的人 經驗公式 : 震盪平面的旋轉角度 與外加磁通量密度 (magnetic flux density) B 通過介質的長度 d (unit: cm) 滿足 (Unit: 弧分 ) 式中的比例係數中, 稱為 Verdet constant 一介質的 Verdet constant 與溫度及入射光頻率有關 ( 下降 下降 ) x: H O, =0.03, 外加 B=0 4 gauss, 線偏振光通過厚 d=cm 的 H O 時, 震盪平面旋轉 0 [= =3 = (60 +) ] 當 >0 若 B//k 表現出的法拉第效應為左旋光的 (l-rotatory) 若 B // -k 表現出的法拉第效應為右旋光的 (d-rotatory) 記憶法 : 假想外加磁通量由螺線管造成, 震盪平面的旋轉方向同螺線管線圈內的電流方向 Note: 震盪平面的旋轉方向與光行進方向為何 (±z) 無關, 因此旋光效應可以經由多次往返而放大 85

86 說明 : 入射線偏振光可看成 L-state R-state 圓偏振光的組合 介質內彈性的束縛電子受到入射光的電場驅動而震盪 ( 順 or 逆時針 ) 此時於垂直電場末端軌道的平面方向上外加強磁場, 會對電子施加軸向力 (radial force), F M 電子受力方向取決於入射光的旋光方向(handedness) 及外加定磁場的方向 對一個給定的外加磁場大小會產生兩種可能的電偶極矩 偏振 介電常數, 對入射光而言有兩種折射率 : n R n L 因此當 R-state L-state 行經介質時的相位延遲不同, 而造成其合成的線偏振光方向轉動 Note: 上述的討論是針對非磁性材料, 若對鐵磁性 (ferromagnetic) 材料, 其 正比於材料沿光傳播方向的磁化 (magnetization), 而非單純正比於外加直流磁場 B e - e - 86

87 A Faraday ffect Modulator Faraday 效應被應用在光調變器 (optical modulator) 的設計上, 下圖為一個紅外光的調變器 線偏振的紅外雷射光通過 YIG(yttrium-iron garnet) 晶體 晶體橫向上外加一直流磁場使 YIG 晶體的磁化飽和, 而晶體的總磁化向量 (magnetization vector) 由外加定磁場及線圈的磁場構成 總磁化向量方向與光軸的傾角可經由控制線圈內的電流決定 由於 Faraday rotation 正比於晶體於軸方向的磁化, 因此經由控制線圈內的電流可以決定入射線偏振光通過調變器震盪平面的旋轉角度 而檢偏器再 根據 Malus s Law 將偏振調變轉為對光場的震幅調變 87

88 操作 : 將輸入訊號加在線圈的外加電壓上, 則出射晶體的雷射光震幅會載有調變訊號 其他磁光效應 (magneto-optic effects) 操作 : 於垂直光行進的方向上外加定磁場於透明介質上 Voigt ffect --- 發生在蒸汽中 (vapor) Cotton-Mouton ffect --- 發生在液體中 (liquid) 效應 : 此時介質會出現類似於單光軸晶體的雙折射的特性, 其光軸方向即外加直流磁場方向 此時介質的兩個主要折射率 :n // n 分別對應於入射光的震盪平面平行外加磁場方向或垂直外加磁場方向時介質的折射率 n 正比於 B 說明 : 部分成因為氣體或液體內非各向同性的磁性分子受到外加磁場而排列造成 88

89 電光效應 The Kerr ffects 發現 : 875, 蘇格蘭物理學家 John Kerr 發現當透明的 各向同性的介質置於外加電場中時, 介質會出現雙折射特性 效應 : 介質出現類似單光軸晶體的特性, 外加電場方向為光軸方向 此時介質的兩個主要折射率 :n // n 分別對應於入射光的震盪平面平行外加電場方向或垂直外加電場方向時介質的折射率 兩折射率的差值 n=n n e -n o 滿足 : 其中 K 為 Kerr constant 當 K >0 時, 通常 n e -n o >0, 此時介質的特性猶如正單光軸晶體 Note: Kerr ffects 正比於, 常稱作 二次的電 - 光效應 (secondary electrooptic effect) Kerr constant 通常用 cgs 制單位表示 單位為 :statvolt/cm ( statvolt~300v) 89

90 x: Kerr shutter or optical modulator 裝置 : 包含了一個內含兩個電極的玻璃腔 (glass cell), 玻璃腔內裝滿極性液體 (polar liquid) 玻璃腔放在兩個十字正交的線偏振片中, 兩偏振片的透射軸方位為 ±45 0 操作 : 當兩電極外加電壓差為 0 時, 入射光無法通過 Kerr shutter 而當外加調制電壓差於兩電極時, 於玻璃腔內產生調變電場, 此時玻璃腔的作用猶如可調相位的波片 (wave plate), 而能控制出射光的變化 相位延遲, : 若電極長 l 寬 d 則通過玻 璃腔可引入的相位延遲為 : 玻璃腔對應於半波片的作用時的外加電壓, V, 稱半波電壓 (half-wave voltage) 優點 : 調變頻率可以到 0 0 Hz d l 90

91 電光效應 The Pockels ffects 發現 :893, 德國物理學家 Friedrich Carl Alwin Pockels 深入研究此現象 效應 : 一些不具有對稱中心的晶體, 在外加電場時, 引起的雙折射正比於外加電場大小 ( 或外加電壓差值 ) 不具有對稱中心的晶體 : 晶體內部找不到一個點能將所有的原子映射到相同的原子上 晶體有 3 種對稱結構, 有 0 種能產生 Pockels ffects n 正比於 Pockels ffects 為一種線性的電光效應 (linear electrooptical effect) 操作 : 由控制外加電壓改變晶體的雙折射 可依需求控制入射光通過晶體的相位延遲 ( 猶如可調 wave plate), 進而改變入射線偏振光的偏振態 x:pockels cell 裝置 : 將適當的無中心對稱的 (noncentrosymmetric) 有序的單晶(ex: KDP, ADP, KD*P ) 放在可調電場中 Cell 通常有兩種結構 : 橫向的 (transverse) 或縱向的 (longitudinal ), 取決外加電場垂直或平行於光的傳播方向 9

92 x: longitudinal Pockels Cell 操作 : 無外加電壓時, 單光軸晶體的光軸沿光傳播方向 由於晶體的非各向同性的結構, 外加電場時, 引致的光軸方向會落在垂直光傳播的方向上 當入射光通過 Pockels Cell 會引起相位延遲 (Longitudinal Pockels Cell) 相位延遲, : 其中 r 63 為晶體的 electro-optic constant, 單位為 V/m n o 為晶體的尋常折射率 半波電壓 (half-wave voltage): = 時之外加電壓值, V Note: oe 常在低電壓值操作, 響應時間很短 (x: KDP 晶體 <0ns, 調變頻率可到 5 GHz (i.e., 5 X 09 Hz). 9

93 8. 液晶 Liquid Crystals 液晶 (Liquid Crystals, LCs) 發現 :888, 奧地利植物學家 Friedrich Reintzer 發現在熔解膽固醇苯甲酸酯 (cholesteryl benzoate) 時有兩個轉換點 (transition points), 晶體會先轉換為混濁的液體後再轉換為透明的液體 --- 發現了除了物質三相 固相 液相 氣相 外, 介於液相 固相間的新的物質相 (phase of matter)--- 液晶 (liquid crystal) 分子特色 : 液晶分子呈雪茄狀, 有如同液體一般的流動性 及如同固體結晶分子一般的非各向同性 液晶依其分子排列情形可分為三種 : 向列相 (Nematic phase) 近晶相 (Smectic phase) 及膽固醇相 (Cholesteric phase) 此處僅介紹向列相液晶 (Nematic LCs) (Nematic LCs) 93

94 製作平行向列型液晶盒 (parallel nematic cell) 先在兩片透明玻璃的其中一面鍍上透明導電層 (ex: ITO, indium tin oxide 對 450nm~800nm 透光 ), 當作電極 希望貼著玻璃的液晶能平行玻璃排列, 且兩面的液晶分子相互平行 ex: 同方向摩擦兩片玻璃 會在表面處形成微小溝槽 在將兩片玻璃間 ( 間距約 0m) 填充向列相液晶 貼近玻璃表面的液晶分子會順著微小溝槽排列, 鄰近的分子會順著第一層分子排列 整個 cell 的分子都呈同向水平排列 SA( 光軸方向 ) 液晶分子排列的方向稱為指向 (director) 由於全部的分子均朝向同一方向, 因此表現出 FA 來的特性猶如非各向同性的介電質 正單光軸 雙折射特性 即 液晶分子的長軸方向定出非尋常折射率, 為慢軸方向 (Slow axis, SA) --- 平行 LC 指向的線偏振光感受之折射率為 n e 線偏振光震盪平面與 LC 指向夾 45 0 通過 LC 時, 會產生相位延遲 94

95 液晶可調相位延遲器 (The Liquid Crystal Variable Retarder) 在 parallel nematic cell 兩邊外加電壓差 V, 則已存在的或感應產生的電偶極 (dipole) 會順著電場排列, 液晶分子受到力矩而會傾向順著外加電場方向排列 隨著 V 的增加, 越多分子朝向電場方向排列 兩軸的折射率差值 n 下降 (n :0.~0.3) 通過 Cell 之 也下降 n 是電壓差 V 溫度 T 波長 0 的函數 n 隨 T 0 增加而減小 V=0 得延遲 (dn) max ~ 0 / V=0 V 很大時 V 很大時得延遲 (dn) max ~ 30nm or 0 ( 當添加補償物抵銷玻璃面上液 晶分子層的相位延遲時,dn 則為 0) 95

96 FA SA 當作調變器使用 : 相位調變器 (phase modulator) 入射光的偏振平行慢軸 (Slow axis, SA) 調變 V 可調變折射率, 可控制光通過 cell 的 相位 連續變化地相位延遲器 (continuously variable retarder) V=0 V 很大時 當入射光的電場在平行 SA 及垂直 SA 方向均有分量 改變 V 可改變兩軸之 n,parallel nematic cell 的作用猶如可調 之相位延遲器 幅照度調變器 (irradiance modulator) 當 parallel nematic cell 放在十字正交 的兩偏振片間 ( 透射軸在 ±45 0 ) V 可調 可調 通過檢偏器的幅照度可調 96

97 液晶顯示器 (The Liquid Crystal Display, LCD) 扭轉向列型液晶盒 (Twisted nematic cell, TNC) 將 parallel nematic cell 的其中一面玻璃旋轉 90 0 微小溝槽的方向旋轉了 90 0 第一片玻璃上的液晶分子順著微溝槽排列, 逐漸改變方向, 到第二片玻璃處時又順著該處的微溝槽排列 兩面間向列相液晶分子的排列以垂直玻璃為軸方向成螺旋狀旋轉了 ¼ 圈 特性 :TNC 會如同旋光性介質一般旋轉入射光的偏振方向 x: 偏振方向平行第一面液晶分子的 線偏振光 ( 水平 ), 通過 TNC 偏振方向旋轉 90 0 而成垂直 97

98 操作 TNC: 外加電壓時,TNC 內的液晶分子會順著外加電場的方向排列, 因此失去其旋轉入射光震盪平面的能力 將 TNC 置於十字正交的兩個偏振片中, 則成為電壓控制開關 (voltage-controlled switch) V=0, 開關 On V 很大時, 開關 Off 98

99 液晶螢幕 (LCD): x: 最簡單的 LCD, 如手錶 鬧鐘 計算機 等 是利用環境光來照明, 而不需要使用能量來發光 作法 : 在光開關後放反射鏡 TNC 之 V=0, 環境光通過偏振片 成水平偏振光 經過 TNC 成垂直偏振光 通過偏振片 經反射鏡反射後沿原路徑返回 螢幕亮 Mirror V=0, 開關 ON Mirror V 很大時, 開關 Off TNC 加電壓 V, 環境光通過偏振片 成水平偏振光 經過 TNC 成偏振不變 被偏振片 吸收 螢幕暗 適當控制液晶盒前面電極的形狀, 即可控制無反射區域成字母或數字 99

100 LCD 顯示的光為線偏振光, 可用偏振片檢測你的計算機螢幕 00

101 8.3 描述偏振的數學方式 Mathematical Descriptions of Polarization 序言 : 接下來我們將介紹如何利用漂亮的數學方式去求得入射光通過含有許多偏振光學元件的光學系統, 及其偏振態的變化 方法 : 矩陣運算 利用向量描述光場的偏振態 利用矩陣去表示各偏振光學元件的作用 出射光場的偏振態即可由向量經過一連串矩陣運算後的結果得知 兩種數學方式 Jones Vectors (94)&Jones Matrices --- 僅能處理偏振光的偏振變化 Jones Vectors 表示偏振態 Jones Matrices 表示光學元件的作用 Stokes Parameters(85) & Mueller Matrices (943) --- 能處理完全偏振光 部分偏振光 無偏振光的偏振變化 Stokes Vectors 表示偏振態 Mueller Matrices 表示光學元件的作用 0

102 描述偏振態 --Jones Vectors 94, 美國物理學家 R. Clark Jones 所提出 能精準地預測同調光束經過偏振光學元件的變化 僅適用偏振光 部分偏振光 無偏振光不適用 方法 : 用行相量 (column vector) 直接表示偏振光的電場向量, 稱 Jones vector: 其中 x (t) y (t) 即瞬間電場 ( t) i ˆ ( t) ˆj ( t) 之兩純量分量 Note: 知道 Jones vector 即可完全知道光源之偏振態 若保留相位資訊, 則可以處理同調光的偏振變化 使用複數型, 則 Jones vector 表示為 : Jones vector: x y 其中 x y 即兩電場分量之相位 0

103 各偏振態之表示 : ( 通常將 Jones Vectors 歸一化為 I=, 因只關心偏振態的變化而非震幅及實際相位的變化 ) 歸一化 : 水平偏振態 : 垂直偏振態 : 45 0 之線偏振光 : 右旋圓偏振光 : y (t) 領先 x (t) / y = x / 左旋圓偏振光 : y (t) 落後 x (t) / y = x + / 03

104 橢圓偏振光 : ox 可能 oy, 且相位差兩電場分量的相位差不需為 90 0 x: 橢圓主軸平行座標軸的橢圓偏振光即左 or 右旋圓偏振光兩分量 x 橢圓主軸平行座標軸的橢圓偏振光即左 or 右旋圓偏振光兩分量各乘上一常數 : 右旋橢圓偏振光 : 兩偏振態的疊加 : 右旋橢圓偏振光 兩偏振態的疊加 : 兩同調光場疊加, 其電場分量各自相加 疊加光場之 Jones Vector 即兩光場 Jones Vector 相加 x: 水平偏振光 + 垂直偏振光 = 45 0 之線偏振光 45 ~ 0 0 R-state + L-state = P-state 45 0 ~ ~ ~ 04 h L R i i i i ~ 0 ~ ~

105 正交的偏振態 兩複數向量稱為正交的 (orthogonal), 當兩向量滿足 : 兩偏振態的 Jones vector 若正交, 稱此兩偏振態為正交的 (orthogonal) 如 : R-state 與 L-state 正交 R-state 與 L-state 正交 水平偏振與垂直偏振正交 任一偏振態均有對應的正交態 (orthogonal state), 而此兩正交態構成正交集合 (orthogonal set) 如 : R-state 與 L-state 構成正交集合 水平偏振與垂直偏振構成正交集合 任一偏振態均能用一個正交集合完整表示 x: R-state L-state 用及表示 用 R-state 及 L-state 表示 05

106 表示光學元件的作用 -- The Jones Matrix 透射軸 入射光的偏振態可用 Jones Vectors 表示為, 通過光學元件後的偏振態可以用 Jones Vectors 表示為 光學元件將向量自轉為 光學元件的作用可以用一個 矩陣 A 表示 : 轉換過程可用矩陣運算表示 : 一些線性光學元件的 Jones Matrices: Polarizer: 透射軸與 x 軸夾角度 之 polarizer: y i t x 透射光場 : tx ty t sin t cos t ix cos sin iy cos sin cos iy sin cos iy sin t iˆ cos A sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ix tx ix ty A 06 tx ty ˆj ix iy

107 x: Phase retarder: x x x x i i i i i i e e e x: ¼ 波片 =/ 快軸沿 y 軸 : =/ =+/4 = /4 x y y y i A i i e e e 快軸沿 y 軸 : =/ x =+/4, y = -/4 i e e e e e A i i i i i 快軸沿 x 軸 : =/ x = -/4, y = +/4 i e e e i i i i e e e e e A i i i i

108 Rotator : 偏振方向 : +, cos sin sin - cos A y sin cos cos sin sin - cos 說明 : x y k sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos x Rotator Circular polarizer: / / ~ ~ i i b a i di c bi a i i d c b a A R R RCP H / / / ~ i i A d i c i b di c bi a i d c b a A i di c i i d c RCP H L RCP H 同法可得 08

109 Note: 計算時, 先計算, 再計算, 以此類推 09 操作實例 : 45 0 的線偏振光通過快軸垂直的 ¼ 波片 ( 右旋圓偏振光 ) 若偏振光通過一連串的光學元件的作用, 可用一連串的矩陣運算來表示, 即 : 運算不具交換性 (commute) 即必須依序運算 ( 通過第一個元件 ), 再運算 ( 通過下一個元件 ) 以次類推 45 0 的線偏振光通過兩片快軸垂直的 ¼ 波片 ( 如同通過半波片 ) 多個光學元件的作用可以看成單一系統對偏振態的作用 可將多個矩陣的運算化成單一系統矩陣 (system matrix) (-45 0 的線偏振光 )

110 x: 45 0 的線偏振光通過兩片快軸垂直的 ¼ 波片 ( 如同通過半波片 ) 系統矩陣 0 0 系統矩陣 (system matrix) = = 0 0 x: 45 0 的線偏振片 +¼ 波片圓偏振器 (Inhomogeneous) = 0 0 (-45 0 的線偏振光 ) x: 45 0 的線偏振片 +¼ 波片 = 圓偏振器 (Inhomogeneous) ¼ 波片 FA 沿 y 軸 Inhomogeneous RCP i i e i e A i i RCP A i i ¼ 波片 FA 沿 x 軸 Inhomogeneous LCP 0 i i e i e A LCP 0 4 4

111 表示偏振態 The Stokes Parameters 85, G. G. Stokes 提出 利用四個對電磁波的測量參量, 可以表示任意偏振態 ( 完全偏振 部分偏振 無偏振 ) 四參數 : 想像有四個濾波器 (filter), 對自然光皆能濾去一半的能量 Filter : 可通過所有的偏振態, 但能量僅剩一半 Filter : 透射軸成水平的偏振片 Filter 3: 透射軸成 的偏振片 Filter 4: 濾去所有的 L-state 通過所有的 R-state 的濾波片 (ex: 反向入射右旋圓偏振器 ) 入射光通過四片濾波器得到的幅照度值各為 :I 0, I, I, I 3 Stokes parameters:

112 The Stokes parameters: S 0 = I 0 = I i S 0 即入射光的幅照度值, I i S =I - I 0 =I x - I i =I x (I x + I y )=I x I y S >0 I x I y >0 入射光有水平偏振光 S 為其幅照度值 S <0 I x I y <0 入射光有垂直偏振光 S 為其幅照度值 S =0 I x I y =0 光源非水平偏振光 非垂直偏振光 S = I I 0 = I +45 度 I i = I +45 度 (I +45 度 + I -45 度 ) = I +45 度 -I -45 度 S >0 I I >0 入射光有 的偏振光幅照度值 S S >0 I +45 度 - I -45 度 >0 入射光有 的偏振光 幅照度值 S S <0 I +45 度 -I -45 度 <0 入射光有 的偏振光 幅照度值 S S =0 I +45 度 -I -45 度 =0 光源非 的偏振光 非 的偏振光 +45 度 45 度 S 3 = I 3 - I 0 = I R -I i = I R (I R + I L ) = I R -I L S 3 >0 I R -I L >0 入射光有 R-state 幅照度值 S 3 S 3 <0 I R - I L <0 入射光有 L-state t 幅照度值 S 3 S 3 =0 I R -I L =0 光源非 R-state 及 L-state 的偏振光

113 x: 準單色光 (quasi-monochromatic light) 之 Stokes parameters 可表示為 : ; ( ox oy x y ; 是緩慢變化的時間 t 函數 ) 其 Stokes parameters 為 : ; 其中 = x - y, 且略去了計算幅照度 I 之常數 0 c/ 因此此處之 Stokes parameter 為 正比於幅照度值, 而 證明 : S 0 = I 0 = I i I c i 0 S = I - I 0 I 0c 0c I0 x T ox c I i 0 c 0c 消去 c x y ox oy ox oy T T T T T T 0 ox T 0c 消去 0c S I I0 ox oy ox oy T T T T oy T T T 0 3

114 S = I - I 0 45 I ( t ) c 45 0 ˆ ˆ i j ( t ) ox cos( kz t x ) oy cos( kz t y ) T 45 T ox oy T 其中 : cos( kz t y ) cos kz t x x y coskz t cos sinkz t I ox cos( kz t ) ox ox oy cos cos oy cos c c T x oy T ( kz t ) 0 x ox cos( kz t ) x T cos( kz t ) ox y oy T x oy cos( kz t ) 令 x sin sin cos( kz t )sin( kz t ) 0c cos 0 I0 ox oy ox oy T ox T T T cos 0 消去 0 c ox oy T ox oy cos T x x oy T y y T x T 4

115 S 3 = I 3 - I 0 : 假設 filter 3 即反向使用右旋圓偏振器 先通過快軸沿 y 方向之 ¼ 波片 y 領先 x 相位 / ( t) ox cos( kz t x)ˆ i oy cos( kz t y ) ˆj cos( kz t )ˆ i sin( kz t ) ˆj ox x oy y ( 右旋圓偏振器 ) y=y x 再通過 的偏振片 x ( t) iˆ ˆj ( t) cos( kz t ) sin( kz t ) 45 ox x oy y I 3 c 0 45 T 45 T ox 其中 : sin( kz t ) T y sin oy T ox cos( kz t ) sin( kz t ) sinkz t x x y 令 x y kz t cos coskz t sin x x x oy y T 5

116 I 3 ox cos( kz t ) ox 0 oy x oy cos( kz t ) cos cos( kz t )sin( kz t ) ox oy 0c I0 c sin T x y T x T ox oy sin cos 0c sin ox T sin oy 0 消去 0 c ox oy T T ox oy T sin ox T oy ( kz t ) x: 理想的單色光 (monochromatic light) 之 stokes parameters 若為理想單色光, 則 ox oy x y 皆非時間的函數, 單色光表示為 : Stokes parameters: ˆ x iox cos( kz t x ) S0 ox oy ; y ˆj oy cos( kz t y ) S ox oy S oxoy cos ( (t) x y S sin 3 ox oy ox oy T T x T 類似準單色光之情形, 但其結果移除 <> T 6

117 x: 無偏振光 自然光 (Natural light) 此時 : x: 完全偏振光 =I i /( 0 c/) =0 =0 0( ( 為隨時間亂數變化項 ) =0 ( 為隨時間亂數變化項 ) x: 部分偏振光 偏振程度 (polarization degree): 7

118 Note: 常將 Stokes parameters 對 S 0 做歸一化 (Normalized), 相當於入射光幅照度 I i = 之情形, 則 自然光 :(S 0, S, S, S 3 )=(,0,0,0) (000) 水平偏振光 : (S 0, S, S, S 3 )=(,,0,0) 垂直偏振光 : (S 0,S,S,S 3 )=(,-,0,0),0,0) 常用行向量 (column vector) 表示 Stokes parameters x: 右方 Table 非同調光束之疊加例 : 兩準單色光光束彼此為非同調的, 兩光束 Stokes parameters 分別為 (S 0, S, S, S 3 ) (S 0, S, S, S 3 ), 則合成的光束的 Stokes parameters 即兩光束各參數的相加, 即 (S 0 + S 0, S + S, S + S, S 3 + S 3 ) 8

119 x: 通量密度 (flux density) I= 的垂直 P-state (,-,0,0) 與非同調的通量密度 I= 的 L-state (,0,0,-),, 疊加, 合成波之 Stokes parameter : (,-,0,0)+ (,0,0,-)= (3,-,0,-) 表示: 通量密度 :I = 3 較接近垂直偏振態及左旋偏振的 偏振程度 :VV ( ) ( ) 表示光學元件的作用 -- The Mueller Matrices 943, 美國物理學家 Hans Mueller, 想出處理 Stokes vectors 的矩陣運算方法 起因於 Stokes vectors 能涵蓋偏振光 部分偏振光 及無偏振光 Mueller Matrix 是一個 4 4 的矩陣 A, 其對 Stokes vectors 的作用如同 Jones Matrices 對 Jones Vectors 的作用一般 ; 其中入射光的偏振態可用 Stokes vectors 表示為, 通過光學元件後的偏振態可以用 Stokes vectors 表示為 光學元件將向量自轉為 9

120 一些線性光學元件的 Mueller Matrices: 0

121 操作實例 : 幅照度 I= 的無偏振光, 通過水平線偏振片 出射光的 Stokes Parameters 為 : 出射光 :I=½ 水平偏振 (S >0) V=, 為完全的水平線偏振光 部分偏振橢圓光通過快軸水平的 ¼ 波片 入射光 Stokes Parameters 為 (S 0, S, S, S 3 )=(4,,0,3):I=4 含有水平偏振 (S >0) 及右旋圓偏振 (S 3 >0) V~90%, 為部分偏振橢圓光 通過快軸水平的 ¼ 波片, 出射光的 Stokes Parameters 為 : 出射光 : 幅照度 I= 4 含有水平偏振 (S >0) 及 的偏振 (S <0) V~90%, 為部分的線偏振光

122 Homework, 3, 4, 6, 9,,, 7, 3, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 4, 4, 43, 45, 46, 48, 50, 5, 53, 54, 58, 65, 66, 69, 70, 7 ( 共 3 題 )