Microsoft Word - geogebra3.2使用手冊_小虎_.doc

Transcription

1 GeoGebra 使 用 手 冊 壹 GeoGebra 是 什 麼 : GeoGebra 是 一 套 結 合 幾 何 代 數 和 微 積 分 的 數 學 軟 體, 由 任 教 於 Florida Atlantic 大 學 的 Markus Hohenwarter 為 學 校 數 學 教 育 所 研 發 的 從 一 方 面 來 看,GeoGebra 是 一 套 動 態 的 幾 何 系 統, 您 可 用 點 向 量 線 段 直 線 圓 錐 曲 線 等 工 具 來 繪 圖, 當 您 改 變 圖 形 時, 所 對 應 的 函 數 或 方 程 式 也 隨 之 改 變 另 一 方 面 來 看, 您 可 以 直 接 輸 入 方 程 式 和 坐 標 GeoGebra 可 以 進 行 數 字 向 量 點 坐 標 的 運 算, 並 可 求 出 函 數 的 微 分 及 積 分, 還 有 Root Extremum 等 指 令, 可 用 來 算 方 程 式 的 根 及 函 數 的 極 值 這 種 可 以 直 接 做 代 數 運 算 的 能 力, 儼 然 使 GeoGebra 成 為 處 理 幾 何 圖 形 的 電 腦 代 數 系 統 綜 合 以 上 兩 個 觀 點, 所 以 GeoGebra 外 觀 上 具 有 兩 個 特 徵 : 第 一 是 視 窗 左 邊 的 代 數 區 ( 亦 稱 為 代 數 視 窗 ), 其 中 包 含 了 所 有 幾 何 圖 形 的 代 數 表 示 法 ; 第 二 是 視 窗 右 邊 的 繪 圖 區 ( 亦 稱 為 幾 何 區 或 幾 何 視 窗 ), 這 裡 是 真 正 顯 示 所 有 幾 何 圖 形 的 地 方 貳 下 載 GeoGebra: 依 據 GNU General Public License 條 約, 您 可 以 免 費 使 用 並 散 佈 GeoGebra (1) 安 裝 單 一 工 作 站 : 建 議 您 使 用 GeoGebra WebStart, 保 證 您 可 在 此 下 載 最 新 的 GeoGebra 版 本, 以 減 少 複 雜 的 安 裝 程 序 及 更 新 註 : 您 也 可 以 離 線 使 用 GeoGebra WebStart GeoGebra WebStart: option=com_content&task=blogcategory&id=70&itemid=57 (2) 下 載 GeoGebra: 網 路 電 腦 安 裝 : 若 您 電 腦 的 網 路 伺 服 器 已 經 安 裝 Java1.4.2 或 更 新 的 版 本, 您 可 直 接 使 用 GeoGebra Web- Start, 您 的 網 路 伺 服 器 管 理 員 可 協 助 您 安 裝 Java 參 幾 何 輸 入 : 在 本 章 我 們 將 說 明 如 何 在 GeoGebra 中 使 用 滑 鼠 新 增 或 修 改 物 件 Geogebra 使 用 手 冊 P1

2 一 般 須 知 : 幾 何 視 窗 中 ( 右 方 ) 顯 示 點 向 量 線 段 多 邊 形 函 數 曲 線 直 線 及 圓 錐 曲 線 的 圖 形, 當 滑 鼠 移 到 一 物 件 的 上 方 就 會 出 現 該 物 件 的 說 明 註 : 有 時 幾 何 視 窗 亦 可 稱 為 繪 圖 區 有 幾 種 模 組 可 以 告 訴 GeoGebra 如 何 在 幾 何 視 窗 中 輸 入 物 件 例 如 : 按 下 繪 圖 區 可 新 增 一 點, 相 交 的 物 件, 或 新 增 一 圓 註 : 在 幾 何 視 窗 中 對 物 體 按 兩 下 滑 鼠 以 編 輯 屬 性 1. 滑 鼠 右 鍵 功 能 表 : 對 著 物 件 按 滑 鼠 右 鍵 會 出 現 滑 鼠 右 鍵 功 能 表, 例 如 : 您 可 選 擇 點 坐 標 的 表 現 方 式 ( 極 坐 標 或 直 角 坐 標 ) 方 程 式 的 表 現 方 式 ( 方 程 式 或 參 數 式 ), 改 名 重 新 定 義 或 刪 除 在 滑 鼠 右 鍵 功 能 表 中 選 擇 屬 性, 您 可 改 變 一 些 像 是 物 件 的 顏 色 大 小 線 寬 線 的 式 樣 質 地 等 2. 顯 示 與 隱 藏 : 幾 何 物 件 可 被 顯 示 或 隱 藏, 使 用 顯 示 或 隱 藏 物 件 或 滑 鼠 右 鍵 功 能 表 來 改 變 其 狀 態 小 圖 示 ( 隱 藏 或 顯 示 ) 讓 我 們 得 知 代 數 視 窗 中 的 每 一 物 件 最 新 的 顯 示 狀 態 3. 痕 跡 : 我 們 可 以 設 定 讓 幾 何 物 件 在 移 動 時 留 下 痕 跡, 您 可 使 用 滑 鼠 右 鍵 功 能 表 來 開 / 關 痕 跡 的 顯 示 與 否 註 : 如 果 您 不 要 這 些 痕 跡, 您 可 以 點 選 檢 視 功 能 表 中 的 清 除 所 有 痕 跡 4. 放 大 縮 小 繪 圖 區 : 在 繪 圖 區 按 滑 鼠 右 鍵 後, 即 出 現 讓 您 可 以 放 大 或 縮 小 繪 圖 區 的 功 能 表 註 : 在 繪 圖 區 按 滑 鼠 右 鍵 並 移 動 滑 鼠 滾 輪, 可 直 接 放 大 繪 圖 區 到 你 指 定 的 大 小 5. 坐 標 軸 比 例 : 在 繪 圖 工 作 區 按 滑 鼠 右 鍵, 並 選 擇 屬 性 改 變 x 軸 與 y 軸 間 的 比 例 各 別 隱 藏 / 顯 示 坐 Geogebra 使 用 手 冊 P2

3 標 軸 修 改 坐 標 軸 的 樣 式 ( 例 如 : 線 寬 顏 色 線 的 類 型 ) 6. 作 圖 過 程 : 檢 視 功 能 表 中 的 作 圖 過 程 可 顯 示 所 有 作 圖 的 步 驟, 在 此 視 窗 內, 您 可 利 用 下 方 的 前 進 後 退 ( 或 鍵 盤 上 下 鍵 ) 一 步 一 步 地 觀 察 整 個 作 圖 過 程, 也 可 以 插 入 並 改 變 步 驟 順 序 註 : 在 作 圖 過 程 視 窗 中 的 檢 視 功 能 表 中, 利 用 暫 停 點 欄 位, 您 可 將 一 些 特 定 的 作 圖 步 驟 設 定 為 暫 停 點 當 您 使 用 前 進 後 退 觀 察 作 圖 過 程 時, 它 會 從 前 一 個 暫 停 點 直 接 跳 到 下 一 個 暫 停 點, 而 省 略 中 間 的 作 圖 過 程 7. 前 進 後 退 按 鈕 : GeoGebra 提 供 前 進 後 退 按 鈕, 讓 你 可 以 一 步 一 步 播 放 作 圖 過 程 請 在 檢 視 功 能 表 中 選 擇 顯 示 前 進 後 退 按 鈕 以 顯 示 這 些 按 鈕 8. 重 新 定 義 : 您 可 使 用 物 件 的 滑 鼠 右 鍵 功 能 表 來 重 新 定 義 物 件, 如 果 你 在 作 圖 後 才 想 到 要 改 變 某 些 物 件 的 定 義 時, 這 個 功 能 非 常 有 用, 您 亦 可 選 擇 移 動, 並 在 代 數 視 窗 中 的 自 變 物 件 上 按 兩 下 滑 鼠, 開 啟 重 新 定 義 的 對 話 方 塊 範 例 : 欲 將 一 自 由 點 A 放 到 一 直 線 h 上, 選 擇 對 點 A 重 新 定 義, 並 在 出 現 的 對 話 方 塊 指 令 列 中 輸 入 Point[h]( 或 點 [h]) 欲 將 點 A 從 直 線 h 上 移 除 而 再 變 回 自 由 點, 可 重 新 將 點 A 定 義 為 自 由 坐 標 將 通 過 兩 點 A, B 的 直 線 h 轉 換 為 線 段 選 擇 重 新 定 義 並 在 顯 示 的 對 話 方 塊 中 欄 位 中 輸 入 Segment[A,B]( 或 線 段 [A,B]) 重 新 定 義 物 件 是 改 變 作 圖 時 很 實 用 的 一 種 工 具, 請 注 意 這 樣 很 可 能 會 在 作 圖 過 程 中 改 變 作 圖 步 驟 的 順 序 9. 屬 性 對 話 方 塊 : 屬 性 對 話 方 塊 可 供 您 修 改 物 件 的 屬 性 ( 例 如 : 顏 色 線 的 樣 式 ), 您 可 對 著 物 件 按 滑 鼠 右 鍵 打 開 對 話 方 塊 並 選 擇 屬 性, 或 在 編 輯 功 能 表 中 選 擇 屬 性 物 件 在 屬 性 對 話 方 塊 中 以 類 型 分 類 ( 例 如 : 點 直 線 圓 ), 方 便 處 理 許 多 的 物 件 您 可 在 右 邊 頁 簽 中 修 改 選 取 物 件 的 屬 性, 完 成 修 改 後 按 下 套 用 肆 範 例 : 想 大 致 瞭 解 GeoGebra 的 用 途, 可 從 以 下 的 範 例 中 窺 知 1. 三 角 形 : 首 先, 在 工 具 列 中 選 擇 新 點, 並 在 繪 圖 區 中 按 三 次 作 出 三 角 形 的 三 個 頂 點 A, B, C 然 後, 選 擇 多 邊 形, 並 按 下 點 A, B, C, 再 次 按 下 點 A 圍 出 三 角 形 P, 三 角 形 的 面 積 即 顯 示 在 代 數 視 窗 中 欲 得 知 三 角 形 的 所 有 角 度, 可 於 工 具 列 中 選 擇 測 量 角 度, 然 後 按 一 下 三 角 形 現 在 選 擇 移 動, 並 拖 曳 頂 點 來 調 整 三 角 形 如 您 不 需 要 代 數 視 窗 及 坐 標 軸, 可 用 檢 視 功 能 表 來 隱 藏 之 2. 線 性 方 程 式 y = mx + b : 我 們 可 嘗 試 以 不 同 的 值 代 入 m 和 b, 來 看 看 m 和 b 在 等 式 y = mx + b 中 所 代 表 的 不 同 意 義 我 們 可 以 在 螢 幕 底 端 的 指 令 列 中 輸 入 以 下 的 直 線, 並 在 每 一 行 的 最 後 按 下 Enter a=1 b=2 y=a x+b(a x 中 間 以 空 白 區 隔 表 示 乘 法 ) 現 在 我 們 可 以 在 指 令 列 中 改 變 a 和 b, 或 直 接 在 代 數 視 窗 中 的 一 個 數 按 滑 鼠 右 鍵, 並 選 擇 編 輯, 試 試 代 入 以 下 a 和 b 的 值 Geogebra 使 用 手 冊 P3

4 a=2 a= 3 b=0 b= 1 相 同 地, 您 可 用 以 下 方 式 輕 易 地 改 變 a 和 b 的 值 滑 桿 : 對 a 和 b 按 滑 鼠 右 鍵 並 選 擇 顯 示 / 隱 藏 物 件 同 樣 的 方 式, 我 們 也 可 檢 驗 圓 錐 曲 線 的 方 程 式, 例 如 : 橢 圓 :x^2/a^2+y^2/b^2=1 雙 曲 線 :b^2x^2 a^2y^2=a^2b^2 圓 :(x a)^2+(y b)^2=r^2 3. 三 點 A, B, C 重 心 : 我 們 現 在 來 作 三 點 的 重 心, 例 如 : A=( 2,1) B=(5,0) C=(0,5) M_a=Midpoint[B,C] M_b=Midpoint[A,C] s_a=line[a,m_a] s_b=line[b,m_b] S=Intersect[s_a,s_b] 另 外, 我 們 可 直 接 算 出 重 心 為 S 1 = ( A + B + C) / 3, 並 用 指 令 Relation[S,S1] 來 比 較 所 產 生 的 結 果 接 著 我 們 再 測 試 A, B, C 在 其 他 位 置 時, S = S1是 否 亦 為 真 點 A 我 們 用 滑 鼠 點 選 移 動, 並 拖 動 點 4. 將 線 段 以 7 :3的 比 例 分 割 : 正 如 GeoGebra 可 讓 我 們 計 算 向 量, 這 也 一 樣 地 簡 單 容 易 例 如 : A=( 2,1) B=(3,3) s=segment[a,b] T=A+7/10(B A) 也 可 換 成 另 一 種 方 式 : A=( 2,1) B=(3,3) s=segment[a,b] v=vector[a,b] T=A+7/10v 下 一 步 我 們 將 引 入 數 值 t, 例 如 : 使 用 滑 桿 並 重 新 定 義 點 T 為 T = A + tv, 改 變 t 時 您 會 看 見 點 T 沿 著 一 直 線 移 動, 此 直 線 可 用 參 數 式 輸 入 :g:x=t+sv 5. 二 元 線 性 方 程 組 : 以 x 和 y 為 變 數 的 二 元 線 性 方 程 式 可 解 釋 為 兩 條 直 線, 代 數 的 解 為 此 兩 條 直 線 的 交 點, 例 如 : g:3x+4y=12 h:y=2x 8 S=Intersect[g,h] 您 可 對 著 它 們 按 滑 鼠 右 鍵 並 選 擇 編 輯 來 修 改 方 程 式, 您 可 用 移 動 用 滑 鼠 拖 動 這 些 直 線 或 用 轉 動 以 一 點 為 中 心 旋 轉 直 線 6. x 函 數 的 切 線 : GeoGebra 提 供 一 指 令 來 做 函 數 f (x) 在 x = a 的 切 線, 例 如 : Geogebra 使 用 手 冊 P4

5 a=3 f(x)=2sin(x) t=tangent[a,f] 沿 圖 形 f 的 切 線 斜 率 來 描 繪 方 程 式 f 圖 形 的 切 線 斜 率 另 一 種 方 法 可 求 出 方 程 式 f 在 特 定 點 T 的 切 線 a=3 f(x)=2sin(x) T=(a,f(a)) t:x=t+s(1,f'(a)) 由 此 可 知 點 T 在 f 圖 形 上, 其 中 切 線 t 是 以 參 數 式 表 示 您 也 可 以 幾 何 方 式 做 出 函 數 的 切 線 : 選 擇 新 點 並 按 下 函 數 f 的 圖 形 以 得 到 新 的 點 A 並 落 在 函 數 f 的 圖 形 上 選 擇 切 線 並 連 續 按 下 函 數 f 和 點 A 現 在, 選 擇 移 動 並 用 滑 鼠 沿 著 函 數 來 拖 曳 點 A, 您 會 發 現 切 線 亦 隨 之 改 變 7. 探 討 多 項 式 函 數 : 您 可 用 GeoGebra 來 探 討 多 項 式 函 數 的 根 極 值 和 轉 曲 點 例 如 : f(x)=x^3 3x^2+1 R=Root[f] E=Extremum[f] I=InflectionPoint[f] 在 移 動 下, 您 可 用 滑 鼠 來 拖 曳 函 數 f 例 如 : Derivative[f] Derivative[f,2] 8. 積 分 : 介 紹 積 分 時,GeoGebra 用 矩 形 來 呈 現 函 數 的 上 下 積 分 和 例 如 : f(x)=x^2/4+2 a=0 b=2 n=5 L=LowerSum[f,a,b,n] U=UpperSum[f,a,b,n] 透 過 修 改 a, b 或 n, 您 可 看 見 這 些 參 數 對 上 和 和 下 和 的 影 響 如 果 要 改 變 n 的 遞 增 值 為 1, 您 可 對 數 值 n 按 下 滑 鼠 右 鍵 並 選 擇 屬 性 有 限 積 分 可 使 用 指 令 Integral[f,a,b] 來 呈 現, 其 中 不 定 積 分 F 是 以 F=Integral[f] 作 出 伍 LaTex 公 式 : 在 GeoGebra 您 亦 可 寫 數 學 式, 在 文 字 模 組 的 對 話 方 塊 中 勾 選 LaTex 數 學 式, 並 以 LaTex 語 法 輸 入 您 的 數 學 式, 若 不 勾 選 擇 表 示 文 字 純 文 字 指 令 間 不 需 空 白 分 開, 指 令 與 文 字 間 則 需 空 白 分 隔 重 要 的 LaTex 指 令 : LaTex 輸 入 結 果 快 取 選 單 a \cdot b a b a \frac{a}{b} 有 b \sqrt{x} x \sqrt[n]{x} n x 有 \vec{v} v 有 \overline{ab} AB 有 Geogebra 使 用 手 冊 P5

6 x^{2} 2 x x_{1} x 1 \sin\alpha+\cos\beta sin α + cos β \int_{a}^{b}xdx b a xdx 有 2 \sum_{k=1}^{k}i^2 k = k 有 1 陸 圖 片 的 屬 性 : 1. 您 可 以 將 圖 片 設 定 背 景 圖, 背 景 圖 會 放 在 坐 標 軸 的 後 面, 且 無 法 用 滑 鼠 或 其 他 來 點 選 欲 改 變 圖 片 的 背 景 圖 成 為 圖 片, 從 編 輯 中 選 擇 屬 性 2. 您 可 以 設 定 圖 片 的 填 色 ( 0 % 到 100% )( 也 就 是 透 明 度 ), 讓 在 它 後 面 的 物 件 或 坐 標 軸 可 以 看 得 3. 圖 片 的 位 置 可 能 是 是 螢 幕 上 的 絕 對 位 置, 或 相 對 於 坐 標 系, 後 者 可 透 過 指 定 最 多 三 個 頂 點 來 完 成, 這 可 提 供 您 更 彈 性 地 縮 放 旋 轉 甚 至 扭 曲 圖 片 其 中 頂 點 1 表 圖 片 的 左 下 角 位 置 頂 點 2 表 圖 片 的 右 下 角 位 置 頂 點 4 表 圖 片 的 左 上 角 位 置 柒 輸 入 代 數 式 : 1. 一 般 須 知 : 代 表 數 值 坐 標 自 變 物 件 或 應 變 物 件 的 代 數 式 都 會 顯 示 在 左 邊 的 代 數 視 窗 中 自 變 物 件 並 不 是 由 其 他 物 件 所 建 構 出 來 的, 所 以 可 被 直 接 更 改 您 可 在 GeoGebra 中, 使 用 視 窗 底 部 的 指 令 列 直 接 輸 入 代 數 式 註 : 當 您 在 指 令 列 中 輸 入 物 件 的 定 義 後, 一 定 要 按 下 Enter 2. 改 變 代 表 值 : 自 變 物 件 可 直 接 作 改 變, 應 變 物 件 則 否 您 可 以 修 改 物 件 值, 在 指 令 列 中 輸 入 新 值 以 覆 寫 舊 值 範 例 : 若 您 想 改 變 數 值 a=3, 在 指 令 列 輸 入 a=5, 並 按 下 Enter 註 : 您 亦 可 在 代 數 視 窗 中 的 任 一 個 物 件 上 按 滑 鼠 右 鍵 功 能 表, 然 後 編 輯 3. 動 畫 : 選 擇 移 動, 再 點 選 數 值 或 角 度, 然 後 按 下 + 或 鍵, 就 可 連 續 改 變 數 值 或 角 度, 讓 您 可 作 出 動 畫 範 例 : 若 點 的 坐 標 是 利 用 數 值 k 所 算 出 來 的, 就 像 P=(2k,k), 則 當 k 連 續 改 變 時, 點 就 會 沿 著 直 線 移 動 您 選 擇 移 動, 然 後 用 方 向 鍵 移 動 任 何 自 變 物 件 註 : 您 可 使 用 物 件 的 屬 性 調 整 遞 增 值 快 捷 法 : (1) Ctrl+ 方 向 鍵 : 可 讓 您 一 次 跳 10 個 單 位 (2) Alt+ 方 向 鍵 : 可 讓 您 一 次 跳 100 個 單 位 註 : 您 也 可 使 用 + 或 鍵 移 動 直 線 上 的 點 捌 直 接 輸 入 : GeoGebra 可 以 處 理 數 值 角 點 向 量 線 段 直 線 圓 錐 曲 線 函 數 和 參 數 曲 線, 我 們 將 說 明 如 何 利 用 指 定 列 再 搭 配 坐 標 或 方 程 式 輸 入 這 些 物 件 註 : 您 亦 可 在 物 件 名 稱 中 使 用 下 標 例 如 : 輸 入 A_1 或 s_{ab} 可 以 得 到 A1 或 AB 1. 數 值 和 角 度 : 範 例 : 輸 入 r=5.32, 您 會 得 到 r 註 : 如 果 要 用 到 某 些 數 學 常 數, 如 圓 周 率 π 或 尤 拉 數 e, 您 可 利 用 指 令 列 右 邊 的 下 拉 Geogebra 使 用 手 冊 P6 n

7 式 選 單 角 可 用 或 rad 輸 入, 常 數 π 弳 度 值 很 好 用, 也 可 以 用 pi 輸 入 範 例 : 角 α 可 用 度 數 (α =60 ) 或 弳 度 (α =pi/3) 輸 入 註 :GeoGebra 用 弳 度 作 所 有 的 內 部 運 算, 這 個 符 號 只 是 代 表 π / 180 這 個 常 數 的 常 用 符 號 而 已 2. 滑 桿 和 方 向 鍵 : 一 個 數 值 或 角 度 的 自 變 物 件 可 在 幾 何 視 窗 中 以 滑 桿 來 表 示, 您 亦 可 使 用 方 向 鍵 在 幾 何 視 窗 中 改 變 數 值 與 角 度 物 件 3. 限 制 數 值 範 圍 : 你 可 以 指 定 一 個 數 值 或 角 度 的 自 變 物 件 的 數 值 範 圍 此 區 間 亦 可 用 於 滑 桿 如 果 某 角 度 是 一 個 應 變 物 件, 則 您 可 指 定 它 是 否 可 以 變 成 優 角 ( 大 於 180 度 的 角 ) 4. 點 和 向 量 : 點 和 向 量 可 以 用 直 角 坐 標 或 極 坐 標 來 輸 入 註 : 英 文 大 寫 名 稱 代 表 點, 小 寫 名 稱 代 表 向 量 範 例 : 若 用 直 角 坐 標, 請 以 P=(1,0) 或 v=(0,5) 輸 入 點 P 或 向 量 v 若 用 極 坐 標, 請 輸 入 P=(1;0 ) 或 v=(5;90 ) 5. 直 線 : 直 線 可 以 用 方 程 式 或 參 數 式 來 輸 入 在 這 兩 種 情 況 下, 事 先 定 義 過 的 變 數 皆 可 使 用 ( 例 如 : 數 值 點 向 量 ) 註 : 直 線 名 稱 後 面 須 加 上 冒 號 (:) 範 例 : 輸 入 g:3x+4y=2, 可 以 得 到 直 線 g 先 定 義 參 數 t ( 如 :t=3), 再 輸 入 g:x=( 5,5)+t (4, 3) 注 意 : 上 式 中, t 和 ( 4, 3) 之 間 有 一 個 空 白 不 可 省 略, 否 則 會 出 現 錯 誤 訊 息 另 外, 變 數 名 只 能 用 X, 使 用 其 他 變 數 名,GeoGebra 只 會 幫 你 算 出 另 外 一 個 點 或 向 量 先 定 義 參 數 m=2 和 b= 1, 然 後 輸 入 g:y=mx+b 注 意 : 上 式 中, m 和 x 之 間 有 一 個 空 白 不 可 省 略 6. 坐 標 軸 的 指 令 名 : 在 使 用 指 令 時, 兩 坐 標 軸 的 名 稱 分 別 為 x Axis 和 y Axis 範 例 : 在 指 令 列 中 輸 入 Perpendicular[A,xAxis] 可 作 出 通 過 點 A 並 垂 直 於 x x 軸 的 垂 直 線 7. 圓 錐 曲 線 : 圓 錐 曲 線 可 以 用 x 和 y 的 二 元 二 次 方 程 式 來 輸 入, 方 程 式 裡 面 也 可 以 使 用 事 先 定 義 過 的 變 數 名 稱 ( 例 如 : 數 值 點 向 量 ) 輸 入 圓 錐 曲 線 的 方 程 式 時, 你 可 同 時 指 定 它 的 名 稱, 只 要 你 使 用 名 稱 : 方 程 式 這 樣 個 格 式 就 可 以 範 例 : (1). 橢 圓 a::a:9x^2+16y^2=144 (2). 雙 曲 線 b:b:9x^2 16y^2=144 (3). 拋 物 線 c:c:y^2=4x (4). 圓 d:d:x^2+y^2=25 (5). 圓 e:e:(x 5)^2+(y+2)^2=25 註 : 若 您 事 先 定 義 兩 參 數 a=4 且 b=3, 您 可 輸 入 橢 圓 為 a:b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 Geogebra 使 用 手 冊 P7

8 8. x 的 函 數 : 您 可 以 用 已 有 的 變 數 或 函 數 來 輸 入 一 個 新 的 函 數 範 例 : (1). 函 數 f:f(x)=3x^3 x^2 (2). 函 數 g:g(x)=tan(f(x)) (3). 未 命 名 之 函 數 :sin(3x)+tan(x) 在 數 學 運 算 這 一 章 節 中, 有 所 有 內 建 函 數 ( 例 如 :sin,cos,tan) 的 詳 細 說 明 在 GeoGebra 中 您 可 用 指 令 求 出 函 數 的 積 分 和 微 分 您 可 用 f '( x) 或 f ''( x), 求 出 f (x) 的 一 次 微 分 與 二 次 微 分 範 例 : 首 先 定 義 函 數 f(x)=3x^3 x^2, 然 後 您 可 輸 入 g(x)=cos(f (x+2)) 定 義 新 的 函 數 g 更 進 一 步 地, 函 數 可 用 一 向 量 來 作 平 移, 而 且 如 果 一 個 函 數 是 自 變 物 件 的 話, 你 也 可 用 滑 鼠 來 移 動 它 9. 限 制 函 數 區 間 : 如 果 要 限 制 函 數 的 定 義 域, 請 使 用 指 令 Function 10. 物 件 集 合 : 大 括 號 可 以 用 來 定 義 包 含 一 些 物 件 的 集 合 ( 例 如 : 點 線 段 圓 ) 範 例 : (1). L={A,B,C} 為 包 含 三 點 A, B, C 的 集 合 (2). L={(0,0),(1,1),(2,2)} 為 包 含 三 個 未 命 名 點 的 集 合 11. 數 學 運 算 : 欲 輸 入 數 值 坐 標 或 等 式, 您 可 以 用 算 數 表 示 法 及 括 號, 以 下 各 種 的 運 算 : 運 算 結 果 度 2 平 方 ^ 或 3 次 方 圓 周 率 π 開 平 方 根 sqrt(x) 開 立 方 根 cbrt(x) 絕 對 值 函 數 abs(x) 符 號 函 數 sgn(x) 對 數 ( 自 然 ) 函 數 ln(x) 或 log(x) 以 10 為 底 的 對 數 函 數 lg(x) 正 弦 函 數 sin(x) 反 正 弦 函 數 asin(x) 雙 曲 正 弦 函 數 sinh(x) 小 於 或 等 於 x 的 最 大 整 數 floor(x) 大 於 或 等 於 x 的 最 小 整 數 ceil(x) 四 捨 五 入 函 數 round(x) 0 與 1 之 間 的 隨 機 亂 數 random(x) 等 於 ( 數 值 點 直 線 圓 錐 曲 線 ) ab 或 a==b 不 等 於 ( 數 值 點 直 線 圓 錐 曲 線 ) a b 或 a!=b 小 於 ( 數 值 ) a<b 大 於 ( 數 值 ) a>b 小 或 等 於 ( 數 值 ) a b 或 a<=b 大 或 等 於 ( 數 值 ) a b 或 a>=b Geogebra 使 用 手 冊 P8

9 非 ( 布 林 變 數 ) 或! 且 ( 布 林 變 數 ) ab 或 ( 布 林 變 數 ) ab 平 行 於 ( 直 線 ) a b 垂 直 於 ( 直 線 ) a b 加 法 + 減 法 乘 法 * 或 空 白 除 法 / 階 乘! 括 號 () x 坐 標 x() y 坐 標 y() 指 數 函 數 exp(x) 或 x 以 2 為 底 的 對 數 函 數 ld(x) Gamma 函 數 gamma(x) 反 雙 曲 正 弦 函 數 asinh(x) 餘 弦 函 數 cos(x) 反 餘 弦 函 數 acos(x) 雙 曲 餘 弦 函 數 cosh(x) 反 雙 曲 餘 弦 函 數 acosh(x) 正 切 函 數 tan(x) 反 正 切 函 數 atan(x) 雙 曲 正 切 函 數 tanh(x) 反 雙 曲 正 切 函 數 atanh(x) 範 例 : (1). A 和 B 中 點 M 可 以 如 此 輸 入 :M=(A+B)/2 (2). 向 量 v 的 長 度 可 用 sqrt(v*v) 來 計 算 註 : 在 GeoGebra 中, 點 和 向 量 也 可 以 直 接 用 來 計 算 12. 布 林 變 數 : 在 GeoGebra 中 您 可 使 用 布 林 變 數 true 與 false 範 例 : 在 指 令 列 中 輸 入 a=true 或 b=false 並 按 下 Enter 鍵 13. 核 選 方 塊 及 方 向 鍵 : 自 由 的 布 林 變 數 在 繪 圖 區 中, 用 核 選 方 塊 的 方 式 來 呈 現, 利 用 方 向 鍵 您 亦 可 在 繪 圖 區 中 改 變 布 林 變 數 14. 布 林 運 算 : 您 可 在 GeoGebra 中 使 用 布 林 運 算 : 運 算 範 例 ab 的 類 型 等 於 or== ab 或 a==b 數 值 點 直 線 圓 錐 曲 線 不 等 於 or!= a b 或 a!=b 數 值 點 直 線 圓 錐 曲 線 小 於 < a<b 數 值 大 於 > a>b 數 值 小 或 等 於 or<= a b 或 a<=b 數 值 大 或 等 於 or>= a b 或 a>=b Geogebra 使 用 手 冊 P9 數 值

10 運 算 範 例 ab 的 類 型 且 ab 布 林 變 數 或 ab 布 林 變 數 非 or! a 或!a 布 林 變 數 平 行 於 a b 直 線 垂 直 於 a b 直 線 玖 列 印 和 輸 出 : 1. 繪 圖 區 : 您 可 在 File 功 能 表 中 發 現 繪 圖 區 的 選 項, 您 可 在 此 指 定 名 稱 作 者 日 期 和 列 印 刻 度 大 小 ( 以 公 分 表 示 ) 註 : 作 任 何 改 變 之 後 按 下 Enter 鍵 以 更 新 預 覽 視 窗 2. 作 圖 過 程 : 首 先 您 必 須 開 啟 作 圖 過 程 ( 檢 視 功 能 表 ) 來 開 啟 作 圖 過 程 的 預 覽 列 印, 您 可 在 顯 現 視 窗 的 檔 案 功 能 表 中 找 到 預 覽 列 印 選 項 註 : 您 可 在 作 圖 過 程 + 檢 視 中 開 / 關 作 圖 過 程 中 欄 位 名 稱 定 義 指 令 代 數 中 斷 點 等 在 作 圖 過 程 + 預 覽 列 印 視 窗, 您 可 在 列 印 前 輸 入 標 題 作 者 日 期 在 作 圖 過 程 視 窗 的 底 部 有 一 個 操 控 列, 可 讓 您 一 步 步 地 操 作 控 制 作 圖 註 : 使 用 column Breakpoint( 檢 視 功 能 表 ) 您 可 定 義 特 定 的 作 圖 步 驟 為 中 斷 點, 以 供 您 作 物 件 群 組, 當 您 用 控 制 列 在 作 圖 區 四 處 移 動 時, 群 組 物 件 就 會 同 時 出 現 3. 繪 圖 區 以 圖 檔 輸 出 : 您 可 在 檔 案 功 能 表 中 找 到 繪 圖 區, 您 可 指 定 輸 出 檔 案 的 大 小 (cm) 及 解 析 度 (dpi), 輸 出 圖 形 的 真 實 大 小 顯 示 於 視 窗 下 方 當 您 以 圖 形 輸 出 繪 圖 區 時, 您 可 從 下 列 格 式 輸 出 : PNG Portable Network Graphics 這 是 一 種 畫 素 的 圖 形 格 式, 解 析 度 愈 高 (dpi), 品 質 愈 好 (300dpi 一 般 就 夠 好 了 ), 避 免 對 PNG 圖 形 作 縮 放 而 降 低 影 像 品 質 PNG 圖 形 檔 案 適 合 用 於 網 頁 (html) 及 Microsoft Word 註 : 無 論 您 是 否 在 Word 文 件 中 使 用 PNG 圖 形 檔 ( 檔 案 中 的 圖 形, 插 入 功 能 表 ) 請 確 認 大 小 設 定 為 100%, 否 則 給 定 的 大 小 ( 以 cm) 將 被 改 變 EPS Encapsulated Postscript 這 是 一 個 向 量 圖 形 格 式 EPS 圖 片 縮 放 後 可 保 持 原 有 品 質 EPS 圖 形 檔 很 適 合 用 在 向 量 圖 形 程 式 例 如 :CorelDraw, 和 專 業 的 文 字 處 理 軟 體 如 LATEX EPS 圖 形 的 解 析 度 都 是 72dpi, 此 數 值 只 用 在 以 公 分 計 算 圖 形 的 真 實 大 小, 且 不 影 響 圖 形 的 品 質 註 : 使 用 EPS 在 多 邊 形 和 圓 錐 曲 線 區 內 質 地 的 透 明 度 是 無 效 的 4. 繪 圖 區 複 製 到 剪 貼 簿 : 您 可 在 檔 案 清 單 中 找 到 輸 出 的 選 項 繪 圖 工 作 區 到 剪 貼 簿, 即 可 將 繪 圖 工 作 區 的 資 料 複 製 到 您 系 統 的 剪 貼 簿 上 成 PNG 圖 形, 此 圖 形 可 任 意 貼 到 其 他 程 式 中 ( 例 如 : Microsoft Word 文 件 ) 註 : 為 指 定 作 圖 的 特 定 大 小 ( 以 cm), 請 使 用 檔 案 清 單 中 輸 出 選 項 的 繪 圖 區 輸 出 為 圖 形 5. 作 圖 過 程 以 網 頁 輸 出 : 為 開 啟 輸 出 作 圖 過 程 視 窗, 首 先 您 必 須 從 檢 視 功 能 表 中 開 啟 Construction protocol, 您 可 在 檔 案 清 單 中 找 到 以 網 頁 輸 出 的 選 項 Geogebra 使 用 手 冊 P10

11 註 : 您 可 在 以 網 頁 輸 出 之 前 開 / 關 作 圖 過 程 中 的 不 同 欄 位 在 輸 出 作 圖 過 程 的 視 窗 中, 您 可 輸 入 標 題, 作 者 和 日 期, 以 及 您 是 否 要 以 圖 檔 輸 出 繪 圖 區, 以 及 作 圖 過 程 的 代 數 視 窗 註 : 您 可 用 任 何 瀏 覽 器 檢 視 輸 出 的 HTML 檔 案 ( 例 如 :Mozilla,Internet Explorer), 且 許 多 的 文 字 處 理 軟 體 都 可 作 編 輯 ( 例 如 :Frontpage,Word) 6. 動 態 工 作 底 稿 以 網 頁 輸 出 : 在 檔 案 清 單 中, 您 可 找 到 動 態 工 作 底 稿 以 網 頁 輸 出 (html) 在 輸 出 的 視 窗 的 上 方 您 可 為 您 的 動 態 工 作 底 稿 輸 入 標 題 作 者 日 期 Tab General 可 讓 您 作 圖 過 程 的 上 下 加 入 一 些 文 字 ( 例 如 : 作 圖 過 程 和 一 些 工 作 的 描 述 ), 作 圖 過 程 的 本 身 也 可 直 接 置 於 網 頁 或 以 按 鈕 來 開 啟 Tab Advanced 可 讓 您 改 變 動 態 作 圖 的 功 能 ( 例 如 : 重 設 圖 示 鍵 按 兩 下 滑 鼠 以 開 啟 application 視 窗 ), 修 改 使 用 者 介 面 也 是 一 樣 ( 例 如 : 顯 示 工 具 列 修 改 高 度 及 寬 度 ) 註 : 動 態 建 構 的 長 度 和 寬 度 不 要 太 大, 在 瀏 覽 器 中 才 能 夠 完 全 顯 示 輸 出 動 態 工 作 底 稿 時 會 產 生 三 種 檔 案 : (1).html 檔 案,( 例 如 :circle.html) 此 檔 案 會 包 括 工 作 底 稿 本 身 (2).ggb 檔 案,( 例 如 :z.b.circle.ggb) 此 檔 案 會 包 括 您 的 GeoGebray 作 圖 (3).geogebra.jar( 一 些 檔 案 ) 此 檔 案 會 包 括 GeoGebra 並 使 您 的 工 作 底 稿 更 為 互 動 式 所 有 三 種 檔 案 ( 例 如 :circle.html circle_worksheet.ggb 及 geogebra.jarfiles) 必 須 要 放 在 同 一 個 檔 案 夾 ( 目 錄 ), 動 態 的 建 構 才 會 有 效 當 然, 您 也 可 以 拷 貝 所 有 三 種 檔 案 到 另 一 個 檔 案 夾 中 註 : 輸 出 的 HTMLfile ( 例 如 :circle.html) 可 用 瀏 覽 器 觀 看 ( 例 如 :Mozilla,Internet Explorer) 為 使 動 態 的 作 圖 有 效 運 作, 您 必 須 安 裝 Java 您 可 到 找 到 免 費 的 Java 若 您 想 在 學 校 網 路 的 電 腦 上 使 用 您 的 工 作 底 稿, 請 要 求 您 學 校 的 電 腦 網 路 管 理 員 在 電 腦 上 安 裝 Java 註 : 大 多 數 的 文 字 編 輯 器 都 可 用 來 開 啟 輸 出 的 HTML 檔 案 來 修 改 工 作 底 稿 的 文 字 ( 例 如 :Frontpage,Word) 壹 拾 選 項 : Global 選 項 可 在 選 項 功 能 表 中 修 改, 欲 改 變 物 件 設 定, 請 使 用 Contextmenu 1. 點 的 吸 附 功 能 : 決 定 開 / 關 或 點 被 吸 附 於 格 子 點 2. 角 度 單 位 : 決 定 決 定 角 度 是 否 以 度 數 或 ( ) 或 弳 度 (rad) 顯 示 註 : 輸 入 時 兩 種 方 式 皆 可 ( 度 數 或 弳 度 ) 3. 小 數 位 數 : 可 供 您 調 整 小 數 點 位 數 從 0 到 5 4. 連 續 性 :GeoGebra 可 讓 您 在 選 項 功 能 表 中 開 / 關 註 : 預 設 heuristic 為 關 閉, 對 於 使 用 者 自 訂 工 具 連 續 性 也 都 是 關 閉 狀 態 5. 點 的 類 型 : 決 定 點 是 否 以 或 x 來 顯 示 6. 直 角 的 類 型 : 決 定 直 角 是 否 以 矩 形 點 或 就 像 其 他 所 有 的 角 來 顯 示 7. 坐 標 軸 : 決 定 點 坐 標 是 否 以 A=(x,y) 或 A(x y) 的 形 式 表 示 8. Labelling: 您 可 指 定 新 增 物 件 的 label 是 否 該 顯 示 與 否 註 : 當 開 啟 代 數 視 窗 並 新 增 物 件 時, 自 動 設 定 可 顯 示 labels 9. 字 體 大 小 : 決 定 labels 字 體 大 小 及 文 字 inpoints(pt). 10. 語 言 :GeoGebra 使 用 多 種 與 語 言, 在 此 您 可 以 改 變 現 有 的 語 言 設 定, 如 此 會 改 變 所 有 的 輸 入 和 輸 出 的 指 令 名 稱 11. 繪 圖 區 : 開 啟 繪 圖 區 屬 性 的 對 話 窗 ( 例 如 : 坐 標 軸 格 子 點 軸 及 背 景 顏 色 ) 12. 儲 存 設 定 : 若 您 在 選 項 功 能 表 中 選 擇 了 儲 存 設 定,GeoGebra 會 記 憶 您 ( 在 選 項 功 能 表 目 前 工 具 列 及 繪 圖 區 的 設 定 ) 的 偏 好 設 定 壹 拾 壹 工 具 與 工 具 列 : Geogebra 使 用 手 冊 P11

12 1. 使 用 者 自 訂 工 具 : 根 據 已 有 的 作 圖 您 可 在 GeoGebra 中 製 作 您 要 的 工 具, 當 準 備 好 建 構 您 的 工 具 後, 在 工 具 功 能 表 中 選 擇 新 增 工 具, 在 出 現 的 交 談 窗 中 指 定 工 具 的 輸 入 及 輸 出 物 件, 並 選 擇 工 具 列 之 圖 示 鍵 的 名 稱 與 指 令 範 例 : 正 方 形 工 具 由 兩 點 A, B 開 始 作 出 正 方 形, 用 Polygon 工 具 作 出 其 他 頂 點 並 連 接 起 來 產 生 正 方 形 poly1 在 工 具 功 能 表 中 選 擇 新 增 工 具 指 定 輸 出 物 件 : 按 下 正 方 形 或 在 下 拉 清 單 中 選 取 之 指 定 輸 入 物 件 :GeoGebra 自 動 地 為 您 指 定 輸 入 物 件 ( 在 此 是 :: 點 A, B ), 您 也 可 以 在 下 拉 清 單 中 修 改 已 選 取 的 輸 入 物 件, 或 在 您 的 作 圖 上 直 接 按 下 它 們 為 您 的 新 工 具 指 定 工 具 名 稱 及 指 令 名 稱, 工 具 名 稱 將 顯 示 在 GeoGebra 的 工 具 列, 指 令 名 稱 可 用 於 GeoGebra 的 指 令 列 您 亦 可 選 擇 圖 形 作 為 工 具 列 的 圖 示 鍵,GeoGebra 會 自 動 幫 您 調 整 圖 形 大 小 成 適 合 工 具 列 上 的 按 鈕 註 : 您 的 工 具 可 使 用 滑 鼠 或 在 指 令 列 中 以 指 令 輸 入, 所 有 工 具 都 自 動 存 成 ggb 建 構 檔 使 用 管 理 工 具 交 談 窗 ( 工 具 功 能 表 ) 您 可 刪 除 工 具 或 修 改 其 名 稱 或 圖 示 鍵, 您 也 可 儲 存 選 取 工 具 到 一 個 GeoGebra 工 具 檔 ( ggt ), 此 檔 案 可 留 待 以 後 使 用 ( 檔 案 功 能 表, 開 啟 ) 來 下 載 工 具 到 另 一 個 作 圖 註 : 開 啟 ggt 檔 不 會 改 變 您 目 前 的 作 圖, 但 開 啟 ggb 時 則 會 改 變 2. 自 訂 工 具 列 : 您 可 在 工 具 功 能 表 中 選 取 自 訂 工 具 列, 即 可 在 GeoGebra 的 工 具 列 中 自 訂 工 具 列 這 對 dynamic worksheets 特 別 好 用, 當 您 只 想 限 制 一 些 工 具 出 現 在 工 具 列 中 時 註 : 目 前 的 工 具 列 設 定 以 ggb 的 檔 案 與 您 的 作 圖 一 起 儲 存 壹 拾 貳 工 具 與 工 具 列 : JavaScript 介 面 : 註 : 那 些 有 網 頁 編 寫 經 驗 的 使 用 者 會 對 GeoGebra 的 Java Script 介 面 感 興 趣 為 提 升 dynamic worksheets 並 增 加 其 互 動 性,GeoGebra applets 提 供 Java Script 介 面, 例 如 : 您 可 新 增 一 按 鈕 來 隨 機 性 地 產 生 動 態 作 圖 的 新 架 構 請 參 見 GeoGebra Appletsand Java Script 文 件, 看 看 更 多 範 例 及 如 何 使 用 Java Script with GeoGebra applets 的 資 訊 壹 拾 參 模 組 : 下 列 的 模 組 可 由 工 具 列 或 幾 何 功 能 表 來 啟 動, 按 下 工 具 按 鈕 右 下 角 的 小 箭 頭, 你 會 看 到 其 他 模 組 工 具 註 : 在 所 有 的 作 圖 模 組 中, 只 要 您 在 繪 圖 區 上 按 滑 鼠 一 下, 都 會 自 動 產 生 新 的 點 (1). 一 般 模 組 : (1). 移 動 : 您 可 利 用 此 模 組 以 滑 鼠 來 拖 曳 自 變 物 件, 若 您 選 取 物 件 並 按 下 移 動, 您 可 以 : (a). 按 下 Del 鍵 來 刪 除 之 (b). 使 用 方 向 鍵 來 移 動 之 註 : 按 下 Esc 鍵 亦 可 啟 動 移 動 模 組 按 住 Ctrl 鍵 您 可 同 時 選 取 數 個 物 件 另 一 種 同 時 選 取 數 個 物 件 的 方 式, 是 按 住 滑 Geogebra 使 用 手 冊 P12

13 鼠 左 鍵 以 指 定 選 取 的 矩 形 區, 您 可 用 滑 鼠 拖 曳 其 中 某 個 物 件 來 移 動 整 個 被 選 取 的 物 件 群 組 選 取 的 矩 形 區 亦 可 用 來 指 定 要 列 印 輸 出 圖 檔 或 輸 出 動 態 網 頁 的 部 分 (2). 轉 動 : 首 先 選 取 旋 轉 的 中 心 點, 然 後 您 可 以 此 點 為 中 心, 用 滑 鼠 拖 曳 自 變 物 件 來 轉 動 它 (2). 點 : (1). 新 點 : 按 下 繪 圖 區 以 新 增 點 : (a). 按 下 一 線 段 直 線 多 邊 形 圓 錐 曲 線 函 數 或 曲 線, 您 便 在 這 些 物 件 上 新 增 一 點 (b). 按 下 兩 物 件 的 相 交 處 便 新 增 此 交 點 (2). 交 點 : 兩 物 件 的 交 點 可 由 兩 種 方 式 產 生 : (a). 點 選 兩 物 件 :( 盡 可 能 ) 產 生 所 有 交 點 (b). 按 下 兩 物 件 的 交 點 : 只 產 生 此 一 交 點 對 於 線 段 射 線 或 弧, 您 可 指 定 是 否 要 落 在 外 部 的 交 點, 這 可 用 於 作 出 落 在 某 物 件 的 延 伸 處 的 交 點, 例 如 : 線 段 或 射 線 的 延 伸 就 是 一 條 直 線 (3). 中 心 點 : 按 下 : (a). 兩 點 以 找 出 其 中 點 (b). 一 線 段 以 找 出 其 中 點 (c). 一 圓 錐 曲 線 以 找 出 其 中 心 (3). 線 段 : (1). 直 線 ( 過 兩 點 ): 點 選 兩 點 A 和 B, 並 調 整 此 線 使 其 通 過 A 和 B 點, 此 線 的 方 向 向 量 即 為 射 線 AB (2). 線 段 ( 過 兩 點 ): 點 選 兩 點 A 和 B, 並 調 整 線 段 AB 長 度, 即 可 在 代 數 視 窗 中 顯 示 線 段 (3). 線 段 ( 指 定 起 點 長 度 ): 按 下 線 段 的 起 點 A, 在 出 現 的 視 窗 中 指 定 想 要 的 長 度 註 : 此 模 組 作 出 長 度 a 且 端 點 B 的 線 段, 並 可 以 移 動 沿 著 起 點 A 而 旋 轉 (4). 射 線 ( 過 兩 點 ): 點 選 兩 點 A 和 B, 作 出 起 點 從 A 到 B 的 射 線, 在 代 數 視 窗 中 您 即 可 看 到 相 關 直 線 的 方 程 式 (4). 向 量 : Geogebra 使 用 手 冊 P13

14 (1). 向 量 ( 過 兩 點 ): 點 選 向 量 的 起 點 和 終 點 (2). 向 量 ( 指 定 起 點 向 量 ): 點 選 點 A 及 一 向 量 v 以 作 出 點 B = A + v, 可 以 做 出 從 A 到 B 的 向 量 (5). 多 邊 形 : (1). 多 邊 形 : 標 出 至 少 三 個 點 當 作 多 邊 形 的 頂 點, 然 後 再 按 下 第 一 個 點 以 圍 成 一 多 邊 形, 在 代 數 視 窗 中 您 可 看 見 多 邊 形 的 面 積 (2). 正 多 邊 形 : 點 選 兩 點 A 和 B 並 在 出 現 的 對 話 方 塊 中 輸 入 一 整 數 n, 您 即 得 到 一 個 有 n 個 頂 點 的 正 多 邊 形 ( 包 括 點 A 和 B ) (6). 直 線 : (1). 垂 直 線 : 點 選 出 一 線 g 和 一 點 A, 產 生 一 直 線 通 過 A 且 垂 直 於 g, 此 線 的 方 向 向 量 即 等 於 g 之 法 向 量 (2). 平 行 線 : 點 選 出 一 直 線 g 和 一 點 A, 可 畫 出 一 直 線 通 過 A 且 平 行 於 g, 此 線 的 方 向 向 量 即 為 直 線 g 的 方 向 向 量 (3). 中 垂 線 : 中 垂 線 指 的 是 通 過 一 線 段 s 或 兩 點 A 和 B 的 中 點 並 垂 直 於 此 線 段 的 直 線, 此 線 的 方 向 即 等 於 線 段 s 或 AB 的 法 向 量 (4). 角 平 分 線 : 有 兩 種 方 式 可 定 義 角 平 分 線 : (a). 點 選 出 三 點 A, B, C, 並 作 出 此 三 點 圍 成 之 角 的 角 平 分 線, 其 中 B 為 頂 點 (b). 點 選 出 兩 條 線, 並 作 出 其 兩 角 平 分 線 註 : 所 有 的 角 平 分 線 的 方 向 向 量 長 度 都 為 1 (5). 切 線 : 一 圓 錐 曲 線 的 切 線 可 由 兩 種 方 式 產 生 : (a). 點 選 出 一 點 A 及 一 圓 錐 曲 線 c, 並 作 出 通 過 A 且 切 於 c 的 所 有 切 線 (b). 點 選 出 一 線 g 及 一 圓 錐 曲 線 c, 並 作 出 平 行 於 g 且 切 於 c 的 所 有 切 線 (c). 點 選 出 一 點 A 及 一 函 數 f, 可 作 出 f 在 x = x(a) 的 切 線 ( A 點 可 以 不 用 在 函 數 圖 形 上 ) (6). 極 線 或 徑 線 : 此 模 組 作 出 一 圓 錐 曲 線 的 極 線 或 徑 線, 您 可 用 : (a). 點 選 一 點 及 一 圓 錐 曲 線 以 作 出 極 線 Geogebra 使 用 手 冊 P14

15 (b). 點 選 直 線 或 一 向 量 及 一 圓 錐 曲 線 以 作 出 徑 線 (7). 圓 錐 曲 線 : (1). 圓 ( 指 定 圓 心 與 一 點 ): 點 選 出 一 點 M 和 一 點 P, 可 畫 出 一 圓 心 為 M 且 通 過 點 P 的 圓, 此 圓 的 半 徑 即 為 MP 的 距 離 (2). 圓 ( 指 定 圓 心 與 半 徑 ): 點 選 圓 心 後, 在 出 現 的 視 窗 中 輸 入 半 徑 (3). 圓 ( 過 三 點 ): 點 選 出 三 點 A, B, C, 可 畫 出 通 過 此 三 點 的 圓 若 這 三 點 落 在 一 直 線 上, 此 圓 即 退 化 為 直 線 (8). 圓 弧 與 扇 形 : (1). 半 圓 ( 過 兩 點 ): 點 選 兩 點 A 和 B, 在 線 段 AB 上 作 出 一 個 半 圓 (2). 圓 弧 ( 指 定 圓 心 與 兩 點 ): 點 選 三 點 M, A 和 B, 作 出 圓 心 為 M, 起 點 為 A 終 點 為 B 的 圓 弧 註 : 點 B 可 以 在 圓 弧 外 (3). 圓 弧 ( 過 三 點 ): 點 選 三 點 作 出 通 過 此 三 點 的 圓 弧 (4). 扇 形 ( 指 定 圓 心 與 兩 點 ): 點 選 三 點 M, A 和 B, 作 出 圓 心 為 M, 起 點 為 A 終 點 為 B 的 扇 形 註 : 點 B 可 以 落 在 扇 形 外 (5). 扇 形 ( 過 三 點 ): 點 選 三 點 作 出 通 過 此 三 點 的 扇 形 (6). 圓 錐 曲 線 ( 過 五 點 ): 點 選 五 個 點, 作 出 通 過 此 五 點 的 圓 錐 曲 線 若 無 其 中 四 點 或 五 點 呈 一 直 線 時, 即 可 定 義 出 一 圓 錐 曲 線 (9). 數 值 與 角 度 : (1). 測 量 角 度 : 此 模 組 可 作 出 : (a). 三 點 間 的 角 度 (b). 兩 線 段 間 的 角 度 (c). 兩 直 線 間 的 角 度 (d). 兩 向 量 間 的 角 度 (e). 多 邊 形 的 所 有 內 角 Geogebra 使 用 手 冊 P15

16 所 有 的 角 度 範 圍 都 限 於 0 到 180, 但 你 可 以 在 角 度 的 屬 性 視 窗 中 設 定 允 許 優 角 ( 大 於 180 的 角 ) (2). 畫 指 定 角 : 點 選 兩 點 A, B, 並 於 對 話 方 塊 中 輸 入 角 度 的 大 小, 此 模 組 作 出 點 C 及 角 度 α, 其 中 α 為 角 ABC (3). 測 量 距 離 : 此 模 組 可 測 量 出 兩 點 兩 直 線 或 一 點 與 一 直 線 間 的 距 離, 亦 可 求 出 線 段 的 長 度 及 圓 周 (4). 測 量 面 積 : 此 模 組 可 求 出 多 邊 形 圓 或 橢 圓 的 面 積, 並 顯 示 於 幾 何 視 窗 中 (5). 斜 率 : 此 模 組 可 求 出 直 線 的 斜 率, 並 顯 示 於 幾 何 視 窗 中 (6). 滑 桿 : 按 下 繪 圖 區 的 任 意 位 置 作 出 一 數 值 或 角 度 的 滑 桿, 在 它 的 屬 性 視 窗 中, 您 可 以 指 定 其 名 稱 數 值 或 角 度 的 範 圍 區 間 [ 極 小 值, 極 大 值 ], 以 及 滑 桿 的 寬 度 ( 以 點 畫 素 為 單 位 ) 註 : (a). 在 GeoGebra 中 滑 桿 只 是 一 種 數 值 或 角 度 的 圖 示 法 (b). 您 可 為 任 意 數 值 或 角 度 作 出 滑 桿 (c). 滑 桿 的 位 置 可 為 螢 幕 的 絕 對 位 置 或 相 對 於 坐 標 軸 (10). 顯 示 與 隱 藏 物 件 群 組 : (1). 物 件 群 組 隱 藏 顯 示 鈕 : 在 繪 圖 區 按 一 下 滑 鼠, 就 會 作 出 一 個 可 以 顯 示 或 隱 藏 許 多 物 件 的 核 選 方 塊 請 您 在 對 話 方 塊 中 指 定 在 此 群 組 內 的 物 件 (11). 軌 跡 : (1). 軌 跡 : 請 點 選 一 個 會 隨 著 點 A 而 變 的 點 B, 然 後 點 選 A, 就 會 畫 出 B 的 軌 跡 註 : 點 A 應 為 一 線 型 物 件 上 之 一 點 ( 例 如 : 直 線 線 段 圓 ) 範 例 : 在 指 令 列 中 輸 入 f(x)=x^2 2x 1, 在 x 軸 上 加 一 個 新 的 點 A, 作 B=(x(A),f (x(a))), 選 擇 軌 跡, 並 依 序 點 選 B 和 A, 沿 著 x 軸 拖 曳 點 A, 請 觀 察 點 B 沿 著 其 軌 跡 線 而 動 的 方 式 (12). 幾 何 變 換 : 下 列 的 幾 何 變 換 適 用 於 點 直 線 圓 錐 曲 線 多 邊 形 與 圖 片 (1). 點 對 稱 : 首 先 點 選 要 作 對 稱 的 物 件, 然 後 點 選 對 稱 中 心 Geogebra 使 用 手 冊 P16

17 (2). 線 對 稱 : 首 先 點 選 要 作 對 稱 的 物 件, 然 後 點 選 對 稱 軸 (3). 旋 轉 : 首 先 點 選 要 作 旋 轉 的 物 件, 再 點 選 旋 轉 中 心, 隨 後 您 可 在 對 話 方 塊 中 指 定 旋 轉 角 (4). 平 移 : 首 先 點 選 要 作 平 移 的 物 件, 然 後 點 選 平 移 向 量 (5). 伸 縮 : 首 先 點 選 要 作 縮 放 的 物 件, 再 點 選 縮 放 中 心, 隨 後 您 可 在 對 話 方 塊 中 指 定 縮 放 倍 率 (13). 文 字 : (1). 揷 入 文 字 : 您 可 以 用 此 模 式 在 幾 何 視 窗 中 產 生 靜 態 文 字 動 態 文 字 或 Latex 數 學 式 在 繪 圖 區 中 按 一 下 滑 鼠, 即 可 新 增 文 字 方 塊 點 選 某 點, 即 可 在 此 點 上 新 增 文 字 方 塊 然 後 您 可 在 隨 後 顯 示 的 對 話 方 塊 中 輸 入 文 字 註 : 您 可 以 用 物 件 名 稱 來 產 生 動 態 文 字 輸 入 輸 出 結 果 這 是 靜 態 文 字 這 是 靜 態 文 字 A 點 坐 標 = +A A 點 坐 標 =(3.05,2.54) 線 段 a= +a+ cm 線 段 a=5.87cm 文 字 的 位 置 可 能 是 螢 幕 的 絕 對 值, 或 相 對 於 坐 標 系 (14). 圖 片 : (1). 揷 入 圖 片 : 此 模 組 可 供 您 於 作 圖 時 加 入 圖 片 在 繪 圖 區 上 按 一 下, 此 點 會 成 為 圖 片 的 左 下 角 點 選 某 點, 以 指 定 此 點 為 圖 片 的 左 下 角 然 後 出 現 檔 案 開 啟 的 對 話 方 塊, 您 在 此 選 擇 要 插 入 的 圖 檔 (2). 判 斷 物 件 關 係 : 點 選 兩 物 件 以 得 知 其 關 係 (3). 移 動 繪 圖 區 : 以 滑 鼠 拖 曳 繪 圖 區 來 移 動 坐 標 系 統 的 原 點 註 : 您 亦 可 按 Shift 鍵 移 動 繪 圖 區 (Ctrl 鍵 也 可 以 ) 並 以 滑 鼠 拖 曳 您 亦 可 以 此 模 組 拖 曳 坐 標 軸, 來 改 變 坐 標 軸 的 刻 度 比 例 註 : 您 也 可 使 用 其 他 模 組 改 變 坐 標 軸 的 刻 度 比 例, 只 要 你 拖 曳 坐 標 軸 時, 一 面 按 住 Shift 鍵 (Ctrl 鍵 也 可 以 ) 不 放 即 可 Geogebra 使 用 手 冊 P17

18 (4). 放 大 : 在 繪 圖 區 中 任 意 處 按 下 滑 鼠 以 拉 近 檢 視 窗 (5). 縮 小 : 在 繪 圖 區 中 任 意 處 按 下 滑 鼠 以 拉 遠 檢 視 窗 (6). 顯 示 或 隱 藏 物 件 : 對 著 物 件 按 一 下 以 顯 示 或 隱 藏 之 註 : 請 先 點 選 要 切 換 隱 藏 狀 態 的 物 件, 一 旦 您 轉 換 到 工 具 列 其 他 任 何 模 組 時, 您 所 作 的 修 改 就 會 被 套 用 (7). 顯 示 或 隱 藏 標 籤 : 按 下 物 件 以 顯 示 或 隱 藏 其 標 籤 (8). 複 製 格 式 : 此 模 組 可 讓 您 由 一 物 件 複 製 其 樣 式 ( 例 如 : 顏 色 大 小 線 的 樣 式 ) 到 數 個 其 他 的 物 件 首 先 選 取 您 想 複 製 其 樣 式 的 物 件, 然 後 再 點 選 其 他 物 件 (9). 刪 除 : 按 下 任 意 您 欲 刪 除 的 物 件 壹 拾 肆 指 令 : 藉 由 指 令 我 們 可 以 產 生 新 物 件 或 改 變 一 物 件 1. 一 般 指 令 : (1) Relation[ 物 件 a, 物 件 b ]: 顯 示 一 訊 息 框 讓 我 們 得 知 a 和 b 之 間 的 關 係 註 : 此 指 令 讓 我 們 得 知 是 否 一 點 在 一 直 線 上 ( 或 一 圓 錐 曲 線 上 ) 一 直 線 是 否 切 於 一 圓 錐 曲 線 一 直 線 是 否 與 一 圓 錐 曲 線 相 交 兩 物 件 是 否 相 等 兩 物 件 是 否 相 交 等 (2) Delete[ 物 件 a ]: 刪 除 一 物 件 a 及 所 有 由 它 產 生 的 子 物 件 (3) Element[ 集 合 L, 數 值 n ]: L 集 合 中 的 第 n 個 元 件 2. 布 林 指 令 : (1) If[ 條 件 式, a,b ]: 若 條 件 式 為 真 時 得 a, 為 假 時 可 得 b (2) If[ 條 件 式, a ]: 若 條 件 式 為 真 時 得 a, 為 假 時 視 為 未 定 義 物 件 3. 數 值 指 令 : (1) 長 度 : (a). Length[ 向 量 v ]: 向 量 v 的 長 度 (b). Length[ 點 A ]: A 與 原 點 的 距 離 (c). Length[ 函 數 f, 數 值 x1, 數 值 x2 ]: f 函 數 圖 形 從 x1 到 x2 之 間 的 長 度 (d). Length[ 函 數 f, 點 A, 點 B ]: f 函 數 圖 形 從 圖 形 上 的 點 A 到 點 B 之 間 的 長 度 (e). Length[ 曲 線 c, 數 值 t 1, 數 值 t2 ]: 曲 線 c 從 數 值 t 1 到 t2 之 間 的 長 度 (f). Length[ 曲 線 c, 點 A, 點 B ]: 曲 線 c 從 曲 線 上 的 點 A 到 點 B 之 間 的 長 度 (g). Length[ 集 合 L ]: L 集 合 的 長 度 ( 集 合 的 元 素 個 數 ) (2) 面 積 : (a). Area[ 點 A, 點 B, 點 C,...]: 點 A, B, C, 所 圍 成 的 多 邊 形 面 積 (b). Area[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 面 積 ( 圓 或 橢 圓 ) Geogebra 使 用 手 冊 P18

19 (3) 距 離 : (a). Distance[ 點 A, 點 B ]: A 和 B 點 間 的 距 離 (b). Distance[ 點 A, 直 線 g ]: 點 A 到 直 線 g 的 距 離 (c). Distance[ 直 線 g, 直 線 h ]: 直 線 g 和 h 間 的 距 離 注 意 : 相 交 的 線 間 的 距 離 為 0 (4) 模 數 : (a). Mod[ 數 值 a, 數 值 b ]: a 除 以 b 的 餘 數 (5) 整 數 除 法 : (a). Div[ 數 值 a, 數 值 b ]: a 除 以 b 的 商 數 ( 整 數 ) (6) 斜 率 : (a). Slope[ 直 線 g ]: 直 線 g 的 斜 率 註 : 此 指 令 會 同 時 畫 出 一 個 斜 率 三 角 形 (7) 曲 率 : (a). Curvature[ 點 A, 函 數 f ]: 函 數 f 在 點 A 的 曲 率 (b). Curvature[ 點 A, 曲 線 c ]: 曲 線 c 在 點 A 的 曲 率 (8) 半 徑 : (a). Radius[ 圓 c ]: 圓 c 的 半 徑 (9) 周 長 : (a). Circumference[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 周 長 ( 圓 或 橢 圓 ) (b). Perimeter[ 多 邊 形 p ]: 多 邊 形 p 的 周 長 (10) 參 數 : (a). Parameter[ 拋 物 線 p ]: 拋 物 線 p 的 參 數 ( 準 線 和 焦 點 間 的 距 離 ) (11) 主 軸 長 度 : (a). FirstAxisLength[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 長 軸 半 長 或 貫 軸 半 長 (12) 次 軸 長 度 : (a). SecondAxisLength[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 短 軸 半 長 或 共 軛 軸 半 長 (13) 偏 心 率 : (a). Excentricity[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 偏 心 率 註 :Excentricity 是 個 錯 字, 正 確 的 拼 字 應 為 Eccentricity (14) 積 分 : (a). Integral[ 函 數 f, 數 值 a, 數 值 b ]: 計 算 f (x) 從 a 到 b 的 面 積 ( 積 分 ) 註 : 此 指 令 會 同 時 畫 出 函 數 與 x 軸 間 的 面 積 (b). Integral[ 函 數 f, 函 數 g, 數 值 a, 數 值 b ]: 計 算 從 a 到 b 之 間, f (x) 與 g(x) 所 夾 的 面 積 註 : 此 指 令 也 可 畫 出 f 和 g 函 數 之 間 的 面 積 (c). LowerSum[ 函 數 f, 數 值 a, 數 值 b, 數 值 n ]: 函 數 f 在 [ a, b] 區 間 以 n 個 長 條 區 求 出 的 面 積 下 和 註 : 此 指 令 會 同 時 繪 出 這 些 下 和 的 長 方 形 (d). UpperSum[ 函 數 f, 數 值 a, 數 值 b, 數 值 n ]: 函 數 f 在 [ a, b] 區 間 以 n 個 長 條 區 求 出 的 面 積 上 和 註 : 此 指 令 亦 可 繪 出 這 些 上 和 的 長 方 形 (15) 迭 代 : (a). Iteration[ 函 數 f, 數 值 x0, 數 值 n ]: 將 x0 重 複 代 入 f 函 數 n 次, 也 就 是 計 算 f f ( f ( K f ( x )))) ( 範 例 : 在 定 義 f ( x) = x^2之 後,Iteration[ f,3, 2 ] 指 令 的 結 果 為 (3 ) = 81 Geogebra 使 用 手 冊 P19

20 (16) 最 大 最 小 值 : (a). Min[ 數 值 a, 數 值 b ]: 指 a 和 b 中 較 小 者 (b). Max[ 數 值 a, 數 值 b ]: 指 a 和 b 中 較 大 者 (17) 分 點 比 : (a). AffineRatio[ 點 A, 點 B, 點 C ]: 指 共 線 三 點 A, B,C 的, 若 以 A 為 0, B 為 1, 則 C 點 所 在 位 置 的 坐 標 ( C 點 不 一 定 要 在 線 段 AB 內 ) (18) 交 比 : (a). CrossRatio[ 點 A, 點 B, 點 C, 點 D ]: 指 共 線 四 點 A, B, C, D 的 交 比 λ, 其 中 λ =AffineRatio[ B, C, D ]/AffineRatio[ A, C, D ] 4. 角 度 : (1) 角 : (a). Angle[ 向 量 v1, 向 量 v2 ]: v1 和 v 2 兩 向 量 間 的 夾 角 ( 介 於 0 到 360 ) (b). Angle[ 直 線 g, 直 線 h ]: 兩 直 線 之 方 向 向 量 間 的 夾 角 ( 介 於 0 到 360 ) (c). Angle[ 點 A, 點 B, 點 C ]: BA 和 BC 間 的 夾 角 ( 介 於 0 到 360 ), B 為 頂 點 (d). Angle[ 點 A, 點 B, 角 度 t ]: 以 線 段 AB 為 始 邊, 畫 出 大 小 為 t 的 角 註 : 它 會 同 時 畫 出 由 B 點 轉 動 出 來 的 另 一 個 點 (e). Angle[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 主 軸 的 轉 角 (f). Angle[ 向 量 v ]: x 軸 到 向 量 v 之 間 的 夾 角 (g). Angle[ 點 A ]: x 軸 到 點 A 的 夾 角 (h). Angle[ 數 值 n ]: 將 一 數 值 n ( 弧 度 ) 轉 換 成 度 ( 結 果 介 於 0 到 360 之 間 ) (i). Angle[ 多 邊 形 p ]: 畫 出 多 邊 形 p 的 所 有 內 角 5. 點 : (1) 點 : (a). Point[ 直 線 g ( 或 圓 錐 曲 線 c ( 圓 橢 圓 雙 曲 線 ) 函 數 f 多 邊 形 p 向 量 v )]: 畫 出 直 線 g ( 或 圓 錐 曲 線 c ( 圓 橢 圓 雙 曲 線 ) 函 數 f 多 邊 形 p 向 量 v ) 上 一 點 (b). Point[ 點 P, 向 量 v ]: 畫 出 從 點 P 平 移 向 量 v 之 後 的 點 (2) 中 點 或 中 心 : (a). Midpoint[ 點 A, 點 B ]:A 和 B 的 中 點 (b). Midpoint[ 線 段 s ]: 線 段 s 的 中 點 (c). Center[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 中 心 ( 例 如 : 圓 橢 圓 雙 曲 線 ) (3) 焦 點 : (a). Focus[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 焦 點 (4) 頂 點 : (a). Vertex[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 頂 點 (5) 重 心 : (a). Centroid[ 多 邊 形 p ]: 多 邊 形 p 的 重 心 (6) 交 點 : (a). Intersect[ 直 線 g, 直 線 h ]: 直 線 g 和 h 的 交 點 (b). Intersect[ 直 線 g, 圓 錐 曲 線 c ]: 直 線 g 和 圓 錐 曲 線 c 的 所 有 交 點 ( 最 多 2 個 ) (c). Intersect[ 直 線 g, 圓 錐 曲 線 c, 數 值 n ]: 直 線 g 和 圓 錐 曲 線 c 的 第 n 個 交 點 (d). Intersect[ 圓 錐 曲 線 c, 圓 錐 曲 線 d ]: 兩 圓 錐 曲 線 c 和 d 的 所 有 交 點 ( 最 多 4 個 ) (e). Intersect[ 圓 錐 曲 線 c1, 圓 錐 曲 線 c2, 數 值 n ]: 兩 圓 錐 曲 線 c1 和 c2 的 第 n 個 交 點 Geogebra 使 用 手 冊 P20

21 (f). Intersect[ 多 項 式 f1, 多 項 式 f 2 ]: 多 項 式 f1 和 多 項 式 f 2 的 所 有 交 點 (g). Intersect[ 多 項 式 f1, 多 項 式 f2, 數 值 n ]: 多 項 式 f1 和 多 項 式 f 2 的 第 n 個 交 點 (h). Intersect[ 多 項 式 f, 直 線 g ]: 多 項 式 f 和 直 線 g 的 所 有 交 點 (i). Intersect[ 多 項 式 f, 直 線 g, 數 值 n ]: 多 項 式 f 和 直 線 g 的 第 n 個 交 點 (j). Intersect[ 函 數 f, 函 數 g, 點 A ]: 函 數 f 和 g 在 起 始 點 A 的 所 有 交 點 ( 牛 頓 法 ) (k). Intersect[ 函 數 f, 直 線 g, 點 A ]: 函 數 f 和 直 線 g 在 起 始 點 A 的 所 有 交 點 ( 牛 頓 法 ) (7) 求 根 : (a). Root[ 多 項 式 f ]: 多 項 式 f 的 所 有 根 (b). Root[ 函 數 f, 數 值 a ]: 函 數 f 在 起 始 值 a 的 一 個 根 ( 牛 頓 法 ) (c). Root[ 函 數 f, 數 值 a, 數 值 b ]: 函 數 f 在 [ a, b] 區 間 的 根 ( 使 用 錯 位 法 : FalsePositionMethod) (8) 極 值 : (a). Extremum[ 多 項 式 f ]: 多 項 式 f 的 所 有 局 部 極 值 ( 點 ) (9) 反 曲 點 : (a). InflectionPoint[ 多 項 式 f ]: 多 項 式 f 的 所 有 反 曲 點 6. 向 量 : (1) 向 量 : (a). Vector[ 點 A, 點 B ]: 從 點 A 到 點 B 的 向 量 (b). Vector[ 點 A ]: 點 A 的 位 置 向 量 (2) 方 向 向 量 : (a). Direction[ 直 線 g ]: 直 線 g 的 方 向 向 量 (3) 單 位 向 量 : (a). UnitVector[ 直 線 g ( 或 向 量 v )]: 直 線 g ( 或 向 量 v ) 之 單 位 方 向 向 量 (4) 法 向 量 : (a). PerpendicularVector[ 直 線 g ( 或 向 量 v )]: 直 線 g ( 或 向 量 v ) 的 法 向 量 (5) 單 位 法 向 量 : (a). UnitPerpendicularVector[ 直 線 g ( 或 向 量 v )]: 直 線 g ( 或 向 量 v ) 的 單 位 法 向 量 (6) 曲 率 向 量 : (a). CurvatureVector[ 點 A, 函 數 f ( 或 曲 線 c )]: 函 數 f ( 或 曲 線 c ) 在 點 A 的 曲 率 向 量 7. 線 段 : (1) 線 段 : (a). Segment[ 點 A, 點 B ]: 點 A 和 B 間 的 線 段 (b). Segment[ 點 A, 數 值 t2 ]: 以 A 為 起 點, 線 段 長 為 t 2 的 線 段 註 : 會 同 時 產 生 另 一 個 線 段 端 點 8. 射 線 : (1) 射 線 : (a). Ray[ 點 A, 點 B ]: 起 點 A 通 過 B 點 的 射 線 (b). Ray[ 點 A, 向 量 v ]: 起 點 A 且 方 向 向 量 為 v 的 射 線 9. 多 邊 形 : (1) 多 邊 形 : (a). Polygon[ 點 A, 點 B, 點 C,...]: 由 給 定 點 A, B, C, 所 圍 成 的 多 邊 形 (b). Polygon[ 點 A, 點 B, 數 值 n ]: 有 n 個 頂 點 的 正 多 邊 形 ( 包 括 點 A 和 B ) Geogebra 使 用 手 冊 P21

22 10. 直 線 : (1) 直 線 : (a). Line[ 點 A, 點 B ]: 通 過 A 點 和 B 點 的 直 線 (b). Line[ 點 A, 直 線 g ]: 通 過 A 點 且 平 行 於 g 的 直 線 (c). Line[ 點 A, 向 量 v ]: 通 過 點 A 且 方 向 為 v 的 直 線 (2) 垂 直 線 : (a). Perpendicular[ 點 A, 直 線 g ( 或 向 量 v )]: 通 過 點 A 且 垂 直 於 直 線 g ( 或 向 量 v ) 的 直 線 (3) 中 垂 線 : (a). LineBisector[ 點 A, 點 B ]: 線 段 AB 的 平 分 線 (b). LineBisector[ 線 段 s ]: s 線 段 的 平 分 線 (4) 角 平 分 線 : (a). AngularBisector[ 點 A, 點 B, 點 C ] (b). ABC的 角 平 分 線 (c). 註 : B 為 角 的 頂 點 (d). AngularBisector[ 直 線 g, 直 線 h ] (e). 直 線 g 和 h 的 角 平 分 線 (5) 切 線 : (a). Tangent[ 點 A, 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 過 點 A 的 ( 所 有 的 ) 切 線 (b). Tangent[ 直 線 g, 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 所 有 平 行 於 直 線 g 的 切 線 (c). Tangent[ 數 值 a, 函 數 f ]: f (x) 在 x = a 時 的 切 線 (d). Tangent[ 點 A, 函 數 f ]: f (x) 在 x = x(a) 時 的 切 線 (e). Tangent[ 點 A, 曲 線 c ]: 曲 線 c 過 點 A 的 切 線 (6) 漸 進 線 : (a). Asymptote[ 雙 曲 線 h ]: 雙 曲 線 h 的 兩 漸 近 線 (7) 準 線 : (a). Directrix[ 拋 物 線 p ]: 拋 物 線 p 的 準 線 (8) 對 稱 軸 : (a). Axes[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 對 稱 軸 (9) 主 軸 : (a). FirstAxis[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 長 軸 或 貫 軸 (10) 副 軸 : (a). SecondAxis[ 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 的 短 軸 或 共 軛 軸 (11) 極 線 : (a). Polar[ 點 A, 圓 錐 曲 線 c ]: 點 A 相 對 於 圓 錐 曲 線 c 的 極 線 (12) 徑 線 : (a). Diameter[ 直 線 g ( 或 向 量 v ), 圓 錐 曲 線 c ]: 圓 錐 曲 線 c 平 行 於 直 線 g ( 或 向 量 v ) 的 徑 線 11. 圓 錐 曲 線 : (1) 圓 : (a). Circle[ 點 M, 數 值 r ]: 圓 心 M 且 半 徑 為 r 的 圓 (b). Circle[ 點 M, 線 段 s ]: 圓 心 M 且 半 徑 為 s 的 長 度 (c). Circle[ 點 M, 點 A ]: 圓 心 M 且 通 過 點 A 的 圓 (d). Circle[ 點 A, 點 B, 點 C ]: 通 過 三 點 A, B, C 的 圓 (2) 密 切 圓 : Geogebra 使 用 手 冊 P22

23 (a). OsculatingCircle[ 點 A, 函 數 f ( 或 曲 線 c ]]: 函 數 f ( 或 曲 線 c ) 在 點 A 的 密 切 圓 (3) 橢 圓 : (a). Ellipse[ 點 F, 點 G, 數 值 a ]: 焦 點 為 F,G 且 長 軸 半 長 為 a 的 橢 圓 註 : 2a 必 須 大 於 FG 的 距 離 (b). Ellipse[ 點 F, 點 G, 線 段 s ]: 焦 點 為 F,G 且 長 軸 半 長 等 於 線 段 s 的 長 度 的 橢 圓 (4) 雙 曲 線 : (a). Hyperbola[ 點 F, 點 G, 數 值 a ]: 焦 點 為 F,G 且 長 軸 半 長 為 a 的 雙 曲 線 註 : 條 件 : 0 < 2a < FG 的 距 離 (b). Hyperbola[ 點 F, 點 G, 線 段 s ]: 焦 點 為 F, G 且 長 軸 半 長 為 線 段 s 長 度 的 雙 曲 線 (5) 拋 物 線 : (a). Parabola[ 點 F, 直 線 g ]: 焦 點 為 F 且 準 線 為 g 的 拋 物 線 (6) 圓 錐 曲 線 : (a). Conic[ 點 A, 點 B, 點 C, 點 D, 點 E ]: 通 過 五 點 A, B,C, D, E 的 圓 錐 曲 線 註 : 任 四 點 不 同 在 一 直 線 上 12. 函 數 : (1) 導 函 數 ( 微 分 ): (a). Derivative[ 函 數 f ]: 函 數 f (x) 的 微 分 (b). Derivative[ 函 數 f, 數 值 n ]: 函 數 f (x) 的 n 次 微 分 註 : 您 也 可 用 f '( x) 替 代 Derivative[ f ], 也 可 用 f ''( x) 替 代 Derivative[ f, 2 ] (2) 積 分 : (a). Integral[ 函 數 f ]: 函 數 f (x) 的 不 定 積 分 (3) 多 項 式 : (a). Polynomial[ 函 數 f ]: 函 數 f 的 展 開 式 2 範 例 : 多 項 式 ( x 3)^2 產 生 x 6x + 9 (4) 泰 勒 展 開 式 : (a). TaylorPolynomial[ 函 數 f, 數 值 a, 數 值 n ]: 函 數 f (x) 對 點 x = a 的 n 次 泰 勒 展 開 式 (5) 函 數 : (a). Function[ 函 數 f, 數 值 a, 數 值 b ]: 產 生 一 函 數, 將 函 數 f 的 定 義 域 限 制 於 [ a, b] 區 間 (6) 條 件 式 函 數 : (a). If[ 條 件, 函 數 f1, 函 數 f 2 ]: 您 可 使 用 布 林 指 令 If 來 新 增 函 數, 若 條 件 式 為 真 則 為 函 數 f1, 若 條 件 式 為 假, 則 為 函 數 f 2 註 : 您 可 對 這 些 函 數 使 用 微 分 和 積 分, 並 求 出 與 其 他 函 數 的 交 點, 正 如 一 般 的 函 數 一 樣 13. 參 數 曲 線 : (1) 參 數 曲 線 : (a). Curve[ 數 學 式 e1, 數 學 式 e2, 參 數 t, 數 值 a, 數 值 b ]: 產 生 坐 標 為 ( e1, e2 ) 的 曲 線, 其 中 e1, e2 為 參 數 式 ( 使 用 參 數 t, a t b ) 範 例 : c =Curve[ 2cos( t ), 2sin( t),t, 0, 2 π ] (b). Derivative[ 曲 線 c ]: 曲 線 c 的 微 分 曲 線 註 : 參 數 曲 線 可 以 像 函 數 一 樣 使 用 Geogebra 使 用 手 冊 P23

24 範 例 : 輸 入 c(3) 會 回 傳 t = 3時 的 點 坐 標 註 : 您 可 用 新 點 在 曲 線 上 放 一 個 新 點 由 於 參 數 a 和 b 為 動 態 的, 您 可 在 此 使 用 滑 桿 變 數 14. 圓 弧 和 扇 形 : (1) 半 圓 : (a). Semicircle[ 點 A, 點 B ]: 線 段 AB 上 的 半 圓 (2) 弧 : (a). CircularArc[ 點 M, 點 A, 點 B ]: 圓 心 為 M, 起 點 為 A 終 點 為 B 的 圓 弧 註 : 點 B 不 需 落 在 圓 弧 上 (b). CircumcircularArc[ 點 A, 點 B, 點 C ]: 通 過 三 點 A, B, C 的 圓 弧 (c). Arc[ 圓 錐 曲 線 c, 點 A, 點 B ]: 介 於 圓 錐 曲 線 c ( 圓 或 橢 圓 ) 上 的 兩 點 A, B 間 的 弧 (d). Arc[ 圓 錐 曲 線 c, 數 值 t 1, 數 值 t2 ]: 介 於 圓 錐 曲 線 c 上 兩 參 數 t 1 和 t2 值 間 的 弧, 圓 錐 曲 線 c 為 下 列 的 參 數 式 : 圓 :( r cos(t), r sin(t) ) 其 中 r 為 圓 的 半 徑 橢 圓 :( a cos(t), bsin(t) ) 其 中 a 和 b 為 長 軸 和 短 軸 半 長 (3) 扇 形 : (a). CircularSector[ 點 M, 點 A, 點 B ]: 圓 心 為 M, 起 點 為 A, 終 點 為 B 的 扇 形 註 : 點 B 不 需 落 在 弧 上 (b). CircumcircularSector[ 點 A, 點 B, 點 C ]: 通 過 三 點 A, B, C 的 扇 形 (c). Sector[ 圓 錐 曲 線 c, 點 A, 點 B ]: 介 於 圓 錐 曲 線 c ( 圓 或 橢 圓 ) 上 的 兩 點 A, B 間 的 圓 錐 曲 線 扇 形 區 (d). Sector[ 圓 錐 曲 線 c, 數 值 t 1, 數 值 t2 ]: 介 於 圓 錐 曲 線 c 上 兩 參 數 t 1 和 t2 值 間 的 圓 錐 曲 線 扇 形 區, 圓 錐 曲 線 c 為 下 列 的 參 數 式 : 圓 :( r cos(t), r sin(t) ) 其 中 r 為 圓 的 半 徑 橢 圓 :( a cos(t), bsin(t) ) 其 中 a 和 b 為 長 軸 和 短 軸 半 長 15. 圖 片 : (1) 圖 片 的 頂 點 : (a). Corner[ 圖 片 pic, 數 值 n ]: 圖 形 pic 的 第 n 個 頂 點 註 : n = 1表 左 下 角, n = 2 表 右 下 角, n = 3表 右 上 角, n = 4 表 左 上 角 16. 軌 跡 : (1) 軌 跡 : (a). Locus[ 點 Q, 點 P ]: 點 Q 的 軌 跡 線 ( P 為 控 制 點 ) 註 : 點 P 必 須 為 物 件 ( 如 : 直 線 線 段 圓 ) 上 的 一 點 17. 序 列 : (1) 序 列 : (a). Sequence[ 數 學 式 e, 變 數 i, 數 值 a, 數 值 b ]: 將 數 學 式 e 計 算 出 來,i = a 到 b 範 例 : L =Sequence[ ( 2i ), i,1,5 ] 會 產 生 點 集 合 { ( 2,1), ( 2,2),, (2,5) } (b). Sequence[ 數 學 式 e, 變 數 i, 數 值 a, 數 值 b, 數 值 s ]: 將 數 學 式 e 計 算 出 來,i = a 到 b, 且 每 次 遞 增 s 範 例 : L =Sequence[ ( 2i), i,1,5,0.5 ] 會 產 生 點 集 合 { ( 2,1), ( 2,1.5), ( 2,2), ( 2,2.5),, (2,5) } 註 : 由 於 參 數 a 和 b 可 以 是 變 數, 您 也 可 使 用 滑 桿 變 數 (c). Element[ 集 合 L, 數 值 n ]: L 集 合 的 第 個 n 元 素 (d). Length[ 集 合 L ]: L 集 合 的 長 度 ( 元 素 個 數 ) Geogebra 使 用 手 冊 P24

25 (e). Min[ 集 合 L ]: L 集 合 的 最 小 元 件 (f). Max[ 集 合 L ]: L 集 合 的 最 大 元 件 18. 迭 代 : (1) 迭 代 : (a). IterationList[ 函 數, 數 值 x, 數 值 n ]: 會 產 生 長 度 為 n + 1的 集 合, 其 中 元 素 f 0 { K 為 x, f ( x ), f ( f ( x )), } 範 例 : 定 義 函 數 f ( x) = x^2之 後, 輸 入 指 令 L =IterationList[ f,3, 2 ], 您 將 得 到 L = {3,3,(3 ) }={3,9,81} 19. 幾 何 轉 換 : (1) 平 移 : (a). Translate[ 點 A ( 或 向 量 v 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 函 數 c 多 邊 形 p 圖 片 p ), 向 量 v ]: 以 向 量 v 平 移 點 A ( 或 向 量 v 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 函 數 c 多 邊 形 p 圖 片 p ) (2) 旋 轉 : (a). Rotate[ 點 A ( 或 向 量 v 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 p ), 角 度 ϕ ]: 以 原 點 為 旋 轉 中 心, 將 點 A ( 或 向 量 v 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 p ) 旋 轉 ϕ 角 (b). Rotate[ 點 A ( 或 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 pic ), 角 度 ϕ, 點 B ]: 以 B 為 旋 轉 中 心, 將 點 A ( 或 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 pic ) 旋 轉 角 度 ϕ (3) 對 稱 : (a). Mirror[ 點 A ( 或 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 p ), 點 B ]: 以 B 為 對 稱 中 心, 將 點 A ( 或 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 p ) 作 對 稱 (b). Mirror[ 點 A ( 或 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 p ), 直 線 h ]: 以 h 為 對 稱 軸, 將 點 A ( 或 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 p ) 作 對 稱 (4) 縮 放 : (a). Dilate[ 點 A ( 或 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 p ), 數 值 f, 點 S ]: 以 S 為 縮 放 中 心, 以 f 的 倍 率 縮 放 點 A ( 或 直 線 g 圓 錐 曲 線 c 多 邊 形 p 圖 片 p ) Geogebra 使 用 手 冊 P25