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1 算法分析与设计 Analysis and Design of Algorithm 任课教师 : 熊润群 办公室 : 计算机楼 368 室 rxiong@seu.edu.cn

2 先来看几个生活中的例子 随机算法 寻路算法 图像识别算法 2

3 什么是算法 (Algorithm) 百度百科 : 算法是指解题方案的准确而完整的描述, 是一系列解决问题的清晰指令, 代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制 算法和程序设计技术的先驱者 Donald Knuth: 算法是带有输入输出的 有限的 确定的 有效的过程 3

4 算法有哪些应用 互联网 : 网页搜索 网络路由 BitTorrent 生物信息 : 人类基因组计划 蛋白质结构分析 计算机图形 : 电影 游戏 虚拟现实 计算机安全 : 手机 电子商务 投票系统 多媒体 :MP3 JPG HDTV 人工智能 : 人脸识别 AlphaGo 聊天机器人 社会网络 : 推荐系统 新闻推送 广告 物理学 : 粒子对撞机 反物质和暗物质探测 4

5 本科生学算法有什么用 求职面试 :GFM BAT TMD 读研深造 : 考研面试 论文专利 创新创业 : 开发产品 性能优化 5

6 本课程与其他课程的关系 编译原理 操作系统 计算机网络 数据库原理 算法分析与设计 数据结构与算法 程序设计基础及语言 面向对象程序设计 6

7 本课程的内容 NP 完全性理论与近似算法 算法高级理论 随机化算法 线性规划与网络流 高级算法 递归分治 动态规划 贪心算法 回溯与分支限界 基础算法 算法分析与问题的计算复杂性 算法基础理论 7

8 参考书目 主要教材 王晓东. 算法设计与分析. 电子工业出版社 参考教材 1. Alfred V. Aho, John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman. The Design and Analysis of Computer Algorithms 年影印本, 铁道出版社 2. Alfred V. Aho, John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman. 数据结构与算法 年影印本, 清华大学出版社 3. Thomas H. Cormen 等 4 人. 算法导论.MIT 第 2 版影印本, 高教出版社 4. 沈孝钧. 计算机算法基础. 机械工业出版社 8

9 课程信息 考核方式 平时 ( 点名 课堂练习 课后作业):30% 期末 ( 考试 ):70% 作业要求 习题类型 : 算法分析题 + 算法实现题 (C++) 截止日期 : 一周之内完成 提交方式 : 电子版 ( 学号 - 姓名 - 第 * 次 ) 作业格式 : 建议用 LaTex 编写作业 ( 下载 CTex 并自学 LaTex) 答疑方式 课程 QQ 群 ( ) 计算机楼 368 室 课程助教 : 郭晓琳 (QQ: , 邮箱 :xlinguo@seu.edu.cn ) 9

10 10

11 第一章算法概述 学习要点 : 理解算法的概念 理解什么是程序, 程序与算法的区别和联系 掌握描述算法的方法 掌握算法的计算复杂性概念 掌握算法渐近复杂性的数学表述 了解 NP 类问题的基本概念 11

12 基础知识 12

13 什么是算法 算法 (Algorithm) 一个 ( 由人或机器进行 ) 关于某种运算规则的集合 输入 特点 : 规则 确定性有限性 执行时, 不能包含任何主观的决定 ; 不能有类似直觉 / 创造力等因素 输出 清晰 无歧义 指令执行次数 时间 13

14 例子 : 日常生活中做菜的过程, 可否用算法描述? 如 : 淡了 放点盐 再煮一会 可否用计算机完成? 算法必须规定明确的量与时间 ; 不能含糊字眼 算法描述 : if ( 咸度 <5){ 放 1 克盐 ; 煮半分钟 ; } 11

15 随机算法与近似算法 当然不是所有算法都有明确的选择, 有些按照一定的概率进行选择 随机 不等于 随意 有些问题没有实用算法 ( 算精确解需要多年 ) 去寻找 { 规则集 } 近似算法 可以预测误差, 且误差足够小 启发式算法 误差无法控制, 但可预计误差大小 在可接受的时间内可以算出足够好的近似解 15

16 算法和程序的关系 程序是算法用某种程序设计语言的具体实现 算法和程序的区别主要在于 : 在语言描述上, 程序必须是用规定的程序设计语言来写, 而算法很随意 ; 在执行时间上, 算法所描述的步骤一定是有限的, 而程序可以无限地执行下去 例如 : 操作系统是程序, 但不是算法 16

17 算法和数据结构的关系 广义上讲, 算法是一系列的运算步骤, 它表达解决某一类计算问题的一般方法, 对这类方法的任何一个输入, 它可以按步骤一步一步计算, 最终产生一个输出 但是对于所有的计算问题, 都离不开要计算的对象或者要处理的信息, 而如何高效的把它们组织起来, 就是数据结构关心的问题, 所以算法是离不开数据结构的 17

18 编写程序如同建房子 设计图纸 ( 算法 ) 房子 ( 程序 ) 建筑材料 ( 数据结构 ) 18

19 如何描述算法 算法的描述方法 自然语言 流程图 程序设计语言 :C C++ Java Python 伪代码 (Pseudocode) 算法语言 类 C/ 类 Pascal 语言 结构化编程语言 19

20 如何描述算法 类 C 语言 20

21 如何描述算法 类 Pascal 语言 21

22 算法设计 22

23 如何设计一个算法 ( 例 1) 草原上生活着一群可爱的兔子, 有 5 只公兔子和 5 只母兔子, 每只公兔子都对若干母兔子有好感 如何帮助尽可能多的公兔子找到伴侣? Best! 23

24 如何设计一个算法 ( 例 1) 步骤一 : 抽象为数学问题 将公兔子和母兔子看作图中的点 若公兔子 a 喜欢母兔子 b, 则在 a 和 b 之间连一条边 增加一个源点 S 和终点 T S T 最后, 兔子匹配问题抽象成为最大流问题 ( 第 8 章 ) 步骤二 : 将求解过程用计算机语言描述 ( 较为复杂, 此处省略, 见第 8 章 ) 24

25 如何设计一个算法 ( 例 2) 每个月一对成熟的兔子会产生一对后代, 而这对后代 2 个月后又会繁殖 即第 1 个月有 1 对小兔子 ; 第 2 个月仍只有 1 对 ; 第 3 个月有 2 对 假设兔子不死亡, 请问 10 个月后草原有几只兔子? 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 刚出生 一个月 成熟 总数

26 如何设计一个算法 ( 例 2) 兔子数序列 :0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 步骤一 : 抽象为数学问题 序列的表达式 f f 0 n 1 1 n1 fn2, n 2 步骤二 : 将求解过程用计算机语言描述 0; f f Fibonacci 序列 26

27 算法分析与设计 Analysis and Design of Algorithm Lesson 02

28 要点回顾 基础知识 算法和程序的概念及其区别与联系 算法的作用和描述方法 算法设计 举了两个例子说明算法设计的一般过程 算法分析 抽象为数学模型 根据模型特点发掘规律 写出具体求解过程 28

29 算法分析 29

30 如何选择算法 当解决一个问题时, 存在几种算法可供选择, 如何决定哪个最好? 以排序算法为例 : 算法 最坏情况 平均情况 插入排序 O(n 2 ) O(n 2 ) 冒泡排序 O(n 2 ) O(n 2 ) 快速排序 O(n 2 ) O(nlogn) 归并排序 O(nlogn) O(nlogn) 30

31 插入排序算法的插入操作 输入 插入 前面已经排好序, 插入 插入后

32 冒泡排序算法的一次巡回 输入 巡回 巡回后

33 问题的计算复杂度分析 问题 排序问题计算难度如何? 问题计算复杂度的估计方法? 哪个排序算法效率最高? 是否可以找到更好的排序算法? O(n 2 ) O(nlogn)? 插入排序冒泡排序选择排序快速排序 堆排序归并排序 更好的排序算法 哪个排序算法效率最高? 如何分析排序问题计算复杂度? 33

34 评估算法的执行效率 两种评估方法 : 经验 (Empirical): 对各种算法编程, 用不同实例进行实验 ; 理论 (Theoretical): 以数学化的方式确定算法所需要资源数与实例大小之间函数关系 时间 / 空间 某些方法实例中某些构件数的数量 排序 : 以参与排序的项数表示实例大小 ; 图论 : 常用图的节点 / 边来表示 34

35 基于经验的评估方法 实验方案 生成 n 个随机数并进行排序 (n=100,200,,50000) 记录各个算法的排序时间 用图的形式画出来 35

36 基于经验的评估方法 插入排序 选择排序 归并排序 快速排序 36

37 经验法存在的问题 经验法的问题 依赖于计算机 依赖于语言 / 编程技能 需要一定的编程 / 调试时间 只能评估部分实例的效率 理论法优点 : 既不依赖于计算机, 也不依赖于语言 / 编程技能 节省了无谓编程时间 ; 可研究任何在实例上算法效率 37

38 基于理论的评估方法 执行时间的估计 定义评估函数 T(n),n 为输入数据规模 如果存在一个正的常数 c, 而该算法对每个大小为 n 的实例的执行时间都不超过 ct(n) 秒 该算法的开销在 T(n) 级内 为什么定义常数 c? Apple I CPU MOS 1 MHz 2018 imac Pro CPU Intel Xeon 3.2GHz 八核 38

39 平均和最坏情况分析 一个算法的时间耗费, 对于不同的实例都会 有所不同 可以定义两种时间复杂度 : 最坏情况下的时间复杂度 W(n) 算法求解输入规模为 n 的实例所需要的最长时间 平均情况下的时间复杂度 A(n) 在给定同样规模为 n 的输入实例的概率分布下, 算法求解这些实例所需要的平均时间 39

40 平均和最坏情况分析 A(n) 的计算公式 设 S 是规模为 n 的实例集 实例 I S 的概率是 P I 算法对实例 I 执行的基本运算次数是 t I An ( ) Pt I I IS 在某些情况下可以假定每个输入的实例概率相等 40

41 例子 : 检索 / 查找 检索问题 输入 : 非降顺序排列的无重复数值 L, 元素数 n, 数 x 输出 :j 若 x 在 L 中,j 是 x 首次出现的下标 ; 否则 j=0 基本运算 :x 与 L 中元素的比较 41

42 顺序检索算法 j=1, 将 x 与 L[j] 比较, 如果 x=l[j], 则算法停止, 输出 j; 如果不等, 则把 j 加 1, 继续比较, 如果 j>n, 则停止并输出 0. 实例 : x=4, 需要比较 4 次 x=2.5, 需要比较 5 次 42

43 最坏情况的时间估计 不同的输入有 2n+1 个, 分别对应 : x 在 L 中, 有 n 种情况 ; x 不在 L 中, 在每个元素之间, 有 n+1 种情况 最坏的输入 : x=l[n] 或者不在 L 中, 要做 n 次比较 最坏情况下时间 :W(n)=n 43

44 平均情况的时间估计 输入实例的概率分布 : 假设 x 在 L 中的概率是 p, 且每个位置概率相等 n p p( n1) An ( ) i (1 p) n (1 pn ) n 2 i1 当 p=1/2 时 An ( ) n1 n 3n

45 思考 如何改进之前的顺序检索算法? 并分析其最坏情况和平均情况的时间复杂 度 顺序检索算法改进 : j=1, 将 x 与 L[j] 比较, 如果 x=l[j], 则算法停止, 输出 j; 如果 x>l[j], 则把 j 加 1, 继续比较 ; 如果 x<l[j], 则停机并输出 0 ; 如果 j>n, 则停机并输出 0. 45

46 算法好坏的衡量尺度 用所需的计算时间来衡量一个算法的好坏, 不同的机器相互之间无法比较 能否有一个独立于具体计算机的客观衡量标准 常见的衡量标准 问题规模 基本运算 计量函数 衡量标准 46

47 问题的规模 问题的规模 : 一个或多个整数, 作为输入 数据量的测度 数表的长度 ( 数据项的个数 ),( 问题 : 在一个长度为 n 的数组中寻找元素 x); 矩阵的最大维数 ( 阶数 ) ( 问题 : 求两个实矩阵相乘的结果 ) 输入规模通常用 n 来表示, 也可有两个以 上的参数 图中的顶点数和边数 ( 图论中的问题 ) 47

48 基本运算 概念 : 也称为 元运算 指执行时间可以被一个常数限定, 只与环境有关 因此, 分析时只需要关心执行的基本运算次数, 而不是它们执行确切时间 例子 : 机器 语言编译 a 次加法, 一个加 t + ; m 次乘法, 一个乘 t ; s 次赋值, 一个赋值 t ; t at mt st max( ats,, ) ( t t t ) 只和基本运算相关 48

49 基本运算 一般可以认为加法和乘法都是一个单位开 销的运算 理论上, 这些运算都不是基本运算, 因为操作数的长度影响了执行时间 实际, 只要实例中操作数长度相同, 即 可认为是基本运算 49

50 基本运算 例如 在一个表中寻找数据元素 x:x 与表中的一个项进行比较 ; 两个实矩阵的乘法 : 实数的乘法 ( 及加法 ) C=AB; 将一个数表进行排序, 表中的两个数据项进行比较 通常情况下, 讨论一个算法优劣时, 我们 只讨论基本运算的执行次数 因为它是占支配地位的, 其他运算可以忽略 50

51 怎样提高效率 硬件速度增加, 算法效率还那么重要吗? n 大小为 n 的实例的执行, 需要秒 则: n 10 n 20 n 扩大 2 10 倍扩大 倍 一年至多解 n=38 n 假设计算机性能提高 100 倍, 则需要 秒 一年时间还是求不出 n=45 的实例即, 新的计算机最多解决 n+log 的实例,n+7 51

52 怎样提高效率 10 n 2 3 假设改进算法, 在原来计算机上, 需秒 n 10 n 20 n 30 10s 1 ~ 2min 4.5min 因此, 用一天可以解决大小超过 200 的实例, 一年处理 n 1500 实例 52

53 怎样提高效率 n n 计算时间 (s) n 实例大小 53

54 怎样提高效率 数据来源 :Princeton University 本科算法兴趣小组实验 深深地印在脑海里! 54

55 算法的计算量函数 用输入规模的某个函数来表示算法的基本运算量, 称为算法的时间复杂性 ( 度 ) 用 T(N) 或 T(N, M) 来表示, 例如 : T(N)=5N T(N)=3Nlog N T(N)=4N 3 T(N)=2 N T(N, M)=2(N+M) 55

56 算法的复杂性 算法的复杂性是算法运行所需计算机资源的量 需要时间的 时间复杂性 (Time Complexity) 需要空间的 空间复杂性 (Space Complexity) 反映算法的效率, 并与运算计算机独立 依赖于问题的规模, 输入和算法本身, 用 C 表示 C=F(N, I, A) 是一个三元函数 时间 T S 空间复杂度 简化 : 让 A 隐含到函数中 两者类似, 但 S 简单 所以通常研究 T(N,I) 在一台抽象计算机上运行所需时间 56

57 T(N, I) 的概念 设抽象计算机的元运算有 k 种, 记为 O 1,, O k, 每执行一次所需时间为 t 1,, t k 对算法 A, 用到元运算 O i 的次数为 e i 与 N, I 相关 T k N, I t e N, I i1 i i 57

58 58 T(N, I) 的概念 不可能规模 N 的每种合法输入 I 都去统计 e i (N, I), 对于 I 分别考虑 : 最坏情况 最好情况 平均情况 * * max 1 1 max, max,,, N N k k i i i i I D I D i i T N T N I te N I te N I T N I I N T I N e t I N e t I N T N T k i i i k i i i D I D I N N ~, ~,, min, min 1 1 min N D N I k i i i D I avg I N e t I P I N T I P N T 1,, 合法输入集

59 复杂性渐进性态 设 T N 是前面定义的算法 A 复杂性函数 N 递增到无限大,T(N) 递增到无限大 如存在 T ~ ~ T N T N N, 使 N 时, 有 T N 称 T ~ N 是 T N 当的渐进性态 在数学上, 是当的渐进表达 式, 通常是中略去低阶项所留下 的主项 N N T ~ N T N T ~ N T N 比 T N 简单 T ~ N 0 59

60 复杂性渐进性态 例如 : 由 T T ~ T ~ N T N T N 因为, T N 3N 2 4N log N 7 2 N 3N 4N log N 7 3N 4N log N 7 2 ~ N N T N 0 T ~ 所以有理由用 N 来替代 T N 来度量 A 60

61 衡量算法的效率 当比较两个算法的渐近复杂性的阶不同时, 只要确定各自的阶, 即可判定哪个算法效率高 等价于 只要关心 N 的阶即可, 不必考虑其中常数因子 T ~ 简化算法复杂性分析的方法和步骤, 只要 考察问题的规模充分大时, 算法复杂性在 渐近意义下的阶 61

62 回顾一下排序算法性能比较 62

63 渐近分析的记号 渐近上界记号 O 渐近下界记号 紧渐近界记号 非紧上界记号 o 非紧下界记号 下面的讨论中, 对所有 n,f(n) 0,g(n) 0 63

64 渐近分析的记号 渐近上界记号 O 若存在两个正的常数 c 和 n 0, 使得对所有 n n 0, 都有 :f (n) c g(n), 则称 f (n) = O(g(n)) 执行次数 c g(n) f(n) n 0 之前的情况无关紧要 例子 : f (n) =32n 2 +17n+1 c n 0 g(n) =? n 0 问题规模 n 64

65 渐近分析的记号 渐近下界记号 若存在两个正的常数 c 和 n 0, 使得对所有 n n 0, 都有 :f (n) c g(n), 则称 f (n) = Ω(g(n)) 执行次数 f(n) c g(n) n 0 之前的情况无关紧要 例子 : f (n) =32n 2 +17n+1 c n 0 g(n) =? n 0 问题规模 n 65

66 渐近分析的记号 紧渐近界记号 若存在三个正的常数 c 1 c 2 和 n 0, 使得对所有 n n 0, 都有 :c 1 g(n) f (n) c 2 g(n), 则称 f (n) = (g(n)) 执行次数 c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) n 0 之前的情况无关紧要 例子 : f (n) =32n 2 +17n+1 c 1 c 2 n 0 g(n) =? n 0 问题规模 n 66

67 渐近分析的记号 非紧上界记号 o o(g(n))={ f (n) 对于任何正常数 c>0, 存在正数 n 0 >0 使得对所有 n n 0 有 :0 f (n)<cg(n) } 等价于 f (n) / g(n) 0,as n 非紧下界记号 (g(n)) = { f (n) 对于任何正常数 c>0, 存在正数 n 0 >0 使得对所有 n n 0 有 :0 cg(n) < f (n) } 等价于 f (n) / g(n),as n f (n) (g(n)) g(n) o (f (n)) 67

68 例 : 渐近意义下的 O 如果存在正的常数 C 和自然数 N 0, 使得当 N N 0 时, 有 f(n) C g(n), 则称函数 f(n) 当 N 充分大时上有界, 且 g(n) 是它的一个上界, 记为 f(n)=o(g(n)) 也即 f (N) 的阶不高于 g(n) 的阶 N 1 3N 4N 3N ON 1 N N N+1024 O N, ; N, ; N 10, N 11N 10 3N 2N 11N 10 O N N 1 3 N N N O N 3 2 N O N 3 N N0 N CN, ;, 无使得 ; 反例 2 N C ; 68

69 O 的运算性质 O f Og Omaxf, g Of Og Of g O f O g O f g 如果 g O cf N f O f N Of N Of Og Of Of N 其中 c 是一个正的常数 下面考察性质的证明 : 69

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