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洞屈
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文章编号 :1674 77(215)6 54 8 1 毛学荣 2 李晓月金融领域的随机建模与基于软件 R 的 Mone Carlo 模拟 (6) : 其他随机微分方程模型摘要主要研究金融领域中的多种数学模型, 重点是利用 R 软件进行数值模拟.

1 文章编号 : (215) 毛学荣 2 李晓月金融领域的随机建模与基于软件 R 的 Mone Carlo 模拟 (6) : 其他随机微分方程模型摘要主要研究金融领域中的多种数学模型, 重点是利用 R 软件进行数值模拟. 继续讨论更多的随机微分方程 ( SDE) 模型, 包括均值回归过程均值回归的 Orn sein Uhlenbeck(OU) 过程平方根过程 CIR 模型以及 Θ 过程. 进一步, 将对当前 SDE 数值解的研究给出更深入的建议. 关键词均值回归过程 ; 均值回归的 OU 过程 ; 平方根过程 ;CIR 模型 ;Θ 过程中图分类号 F83;O211 文献标志码 A 收稿日期资助项目国家自然科学基金 ( , ) 作者简介毛学荣, 男, 博士, 教授, 研究方向为随机分析, 随机微分方程理论及应用. x.mao@ srah.ac.uk 李晓月 ( 通信作者 ), 女, 博士, 教授, 研究方向为随机微分方程理论及应用. lixy29@ nenu.edu.cn 1 斯特莱斯克莱德大学数学系, 格拉斯哥, G1 1XT, 英国 2 东北师范大学数学与统计学院, 长春,1324 引言文献 [1] 讨论了 Black Scholes 模型 [2 4] Black Scholes 偏微分方程 (PDE) 以及欧式期权定价公式. Black Scholes 模型是由线性 SDE ( 随机微分方程 ) 描述的,SDE 的线性性使我们能够获得潜在资产价格的显式表达式, 从而给出欧式期权定价公式. 然而,Black Scholes 模型仅适用于描述某一阶段的资产价格. 为了对利率汇率金融指数波动率等金融量建模, 更多的 SDE 被建立和发展. 本文致力于研究这些 SDE 模型, 包括均值回归过程 [5] 均值回归 Ornsein Uhlenbeck (OU) 过程 [6] 平方根过程 [7] [8] CIR 模型以及 Θ 过程 [7,9]. 1 均值回归过程均值回归是一个数学概念, 它有的时候被用于股票投资 [1 12], 有的时候也被用于其他领域, 如种群系统 [9,13]. 一般地, 该定义的本质在于假设股票的高价位和低价位都是临时的, 股票价格总是要趋近于时间的平均值. 在股票价格分析中使用回归分析主要包含两个方面 : 辨别股票交易的价格范围和利用分析技巧 ( 如考虑利润因素等 ) 计算平均股票价格. 考虑均值回归模型, 形式为线性 SDE: ds() = λ(μ - S())d + σs()db() (1) 满足初值条件 S() = S >. 特别地, 它也常用于利率和汇率动力学行为的建模. 从该模型中可以看出, 当 S() 高于平均值 μ( > ) 时, 漂移项 λ(μ - S()) 是负的, 导致 ds() 更多的可能成为负值,S() 递减. 另一方面, 当 S() 低于值 μ 时,λ(μ - S()) 是正的, 导致 ds() 更多可能为正值,S() 递增. 因此, 预测 S() 将最终趋于 μ. 事实上, 可以看到当时,ES() μ. 由于该 SDE 具有显式解 S() = S exp[ - (λ + σ 2 / 2) + σb()] + λμ exp[ - (λ + σ 2 / 2)( - s) + σ(b() - B(s))]ds, 因此通过解的显式表达式可知只要 S >,S() 就保持正性. 注意到对 s <, æ é E exp - σ2 ù ö ç (-s) +σ(b() -B(s)) è ë ê 2 û ú = 1. ø

2 学报 : 自然科学版,215,7(6): Journal of Nanjing Universiy of Informaion Science and Technology:Naural Science Ediion,215,7(6): 计算期望这意味着 ES() = S e -λ + λμ e -λ( -s) ds = (2) S e -λ +μ[1-e -λ ] = μ+(s -μ)e -λ. (3) limes()= μ. 另一种获得期望的有效方式是对方程 (1) 两边取期望, 有 dm 1 ()= λ(μ-m 1 ())d, 其中 m 1 ()= ES(), 即 dm 1 () = λ(μ-m d 1 ()). 众所周知, 该微分方程解具有显式表达式 m 1 () = e -λ ( m 1 () + λμ e -λ m 1 () + μ(1 - e -λ ), e λs ds ) = 和 (2) 相同. 为了得到二阶矩 m 2 ( ) = E( S 2 ( )), 利用 Iô 公式, 有 d(s 2 ())= 2S()[λ(μ-S())d+σS()dB()]+ 两端取期望得 (σs()) 2 d, dm 2 () = 2λμ m d 1 () -(2λ-σ 2 )m 2 (). (4) 对 λ>σ 2 的情形, 微分方程 (4) 有显示解 m 2 () = e -(2λ-σ2 ) ( m 2 () + 2λμ 利用等式 (3), 有 e (2λ-σ2 )s [μ + (S - μ)e -λs ]ds = 因此 e (2λ-σ2 )s m 1 (s)ds ). (5) μ 2[e(2λ-σ2) - 1] + S - μ 2[e(λ-σ2) - 1]. 2λ - σ λ - σ 的样本路径 : > mrp <-funcion( S,D,M,a,b,c){ +## give S,D,M,a,b,c,for ds( ) = a( b-s) d +csdb (), D M + <-1:M + <-D +S <-numeric() +S[1] = S +for (i in 2:M){ +S[i] = S[i-1] +a (b-s[i-1]) D+c S[ i-1] sqr (D) rnorm(1)} +plo(,s,pch = ".",ype = " l",col = " black",xlab = " ", ylab = " S()" )} R 中函数的设计基于文献 [ 14] 中讨论过的 Euler Maruyama( EM) 方法 ( 也可参见文献 [ 9,13, 15]). 均值回归过程 (1) 满足线性 SDE, 显然满足全局 Lipschiz 条件, 因此有限时间强收敛定理保证了步长充分小时,EM 方法得到的数值解能够很好地逼近真实解. 例如, 对给定的均值回归过程 ds() = 3(1 - S())d + 2S()dB(), 2, 满足初值条件 S = 4, 可以选择步长 D = 1, 在 R 中, 两次执行命令 > mrp(4, 1,2,3,1,2) 就可以获得图 1 中给出的解的两条样本路径. 由图 1 可以清晰地看出显式解围绕着均值 1 波动. m 2 ()= e -(2λ-σ2 ) ( S 2 + 2λμ2 2λ-σ 2[e(2λ-σ2) -1] + 上式意味着 2λμ(S -μ) λ-σ 2 [e (λ-σ2) -1] ). (6) 因此 limm 2 ()= 2λμ2 2λ-σ 2. limvar(s())= 2λμ2 2λ-σ 2 -μ2 = μ2 σ 2 2λ-σ 2. 对于 λ σ 2 的情形留给读者自行考虑. 本文设计软件 R 中程序 ( 定义为函数 ) 模拟解图 1 均值回归过程的两条样本路径 Fig 1 Two sample pahs of he mean revering process 假设潜在资产价格遵循时刻价格为 S 的均值回归过程 (1), 考虑在到期日 T 执行价格为 E 的欧式看涨期权, 看涨期权在到期日 T 的平均收益用 MP call

3 56 毛学荣, 等. 金融领域的随机建模与基于软件 R 的 Mone Carlo 模拟 (6): 其他随机微分方程模型. MAO Xuerong,e al.sochasic Modelling in Finance and Mone Carlo Simulaions wih R Par 6:Oher SDEs Models. 表示, 则 MP call = E(max(S(T) - E,)). 尽管可以求出 S(T) 的显式表达式, 但仍得不到平均收益的显式公式, 这与在文献 [ 1] 中研究的 Black Schole 模型完全不同. 此时,Mone Carlo 模拟将起到重要作用. 事实上, 设计 R 中获得看涨期权平均收益近似值的函数 : > MPcall <-funcion( S,D,M,a,b,c,N,E){ +## give S,D,M,a,b,c,N,E for ds = a( b-s) d+csdb, +## T = M D,N = sample size,e = exercise price +x <-numeric() +XT <-numeric() +x[1] = S +for (j in 1:N){ +for (i in 2:M)x[i] = x[i-1] +a (b-x[i-1]) D+c x[i-1] sqr(d) rnorm(1)} +XT[j] = x[m]} +payoff <-XT-E +payoff[ payoff<] <- +mean( payoff) 此时, 有限时间强收敛定理和大数定律保证了步长充分小且样本足够多时,EM 方法得到的数值解具有足够好的精度. 类似地, 考虑在到期日 T 执行价格为 E 的欧式看跌期权. 看跌期权在到期日 T 的平均收益用 MP pu 表示, 则 MP pu = E(max(E - S(T),)). 设计 R 中获得看跌期权平均收益近似值的函数 : > MPpu <-funcion( S,D,M,a,b,c,N,E){ +## give S,D,M,a,b,c,N,E for ds = a( b-s) d+csdb, +## T = M D,N = sample size,e = exercise price +x <-numeric() +XT <-numeric() +x[1] = S +for (j in 1:N){ +for (i in 2:M)x[i] = x[i-1] +a (b-x[i-1]) D+c x[i-1] sqr(d) rnorm(1)} +XT[j] = x[m]} +payoff <-E-XT +payoff[ payoff<] <- +mean( payoff) 实例 1 考虑均值回归过程 ds() = 5(1 - S())d + 3S()dB(), S() = 1. 在时刻签订到期时间 T = 1, 执行价格 E = 9 9 的欧式看涨期权和看跌期权. 选定步长 D = 1, 模拟 N = 1 条均值回归过程的样本路径去获得看涨和看跌期权平均收益的近似值. 即在 R 中, 输入命令 > MPcall(1, 1,1, 5,1, 3,1,9 9) > MPpu(1, 1,1, 5,1, 3,1,9 9) 就可以获得平均收益不难证明 MP call = ,MP pu = ES(T) + MP pu - MP call = E. (7) 利用式 (3), 有 μ + (S - μ)e -λt + MP pu - MP call = E. (8) 对实例 1, 有 μ + (S - μ)e -λt + MP pu - MP call = = , 它非常接近 E = 9 9. 由此可以说明均值收益的近似值精度足够高. 2 均值回归的 Ornsein Uhlenbeck 过程本节开始讨论均值回归的 Ornsein Uhlenbeck (OU) 过程, 它从形式上与前一节讨论的均值回归模型非常接近, 满足 SDE ds() = λ(μ - S())d + σdb(). 均值回归的 OU 过程是一个随机过程. 粗略地讲, 它描述了在摩擦力影响下大量布朗粒子的运动速度. 该过程是平稳的高斯的马尔科夫的, 是唯一满足这 3 条性质的非平凡过程, 它还允许对空间和时间变量做线性变换. 随着时间的增长, 这个过程的均值将趋于漂移项中的平均值 ( 均值回归 ). 在这个模型中, 扩散项并不依赖于 S(), 因此, 可以看到 S() 可以是负的. 均值回归的 OU 过程经常用于商品 ( 如电力 ) 供需差异的建模. 它满足的 SDE 具有显式解 S() = e -λ ( S + λμ e λs ds + σ e λs db(s) ) = μ + e -λ (S - μ) + σe -λ e λs db(s). 显然,S() 是正态分布, 期望且方差 ES() = μ + e -λ (S - μ) μ, 当时, var(s()) = σ2 2λ (1 - e -2λ ) σ2 2λ, 当时. 因此, 注意到对任意初值 S, 当时,S() 的分布总是趋于正态分布 N(μ,σ 2 / 2λ). 也要注意到 S() 有可能是负的, 但如果 μ > 1 5 σ 2 / λ, 对充分大的,

4 学报 : 自然科学版,215,7(6): Journal of Nanjing Universiy of Informaion Science and Technology:Naural Science Ediion,215,7(6): S() 是负的概率是相当小的. 进一步, 如果 μ > 1 5σ 2 / λ, 且 S μ, 则对任意的,S() 是负的概率是相当小的. 设计 R 中程序模拟解的样本路径 : > mroup <-funcion( S,D,M,a,b,c){ +## give S,D,M,a,b,for ds() = a( b-s) d+cdb( ), D M + <-1:M + <-D +S <-numeric() +S[1] = S +for (i in 2:M){ +S[i] = S[i-1] +a ( b-s[ i- 1]) D+c sqr( D) rnorm(1)} +plo(,s,pch = ".",ype = " l",col = " black",xlab = " ", ylab = " S()" )} 给定均值回归的 OU 过程 ds() = 3(1 - S())d + 2dB(), 2 满足初值条件 S = 4, 选定步长 D = 1, 在 R 中两次输入命令 > mroup(4, 1,2,3,1,2) 就可以获得解的两条样本路径, 如图 2 所示. 图 2 清晰地显视尽管解可以是负的但它围绕 1 波动. 图 2 均值回归的 OU 过程的两条样本路径 Fig 2 Two sample pahs of he mean revering OU process 3 平方根过程平方根过程与几何布朗运动模型非常接近 [7,9], 它满足 ds() = λs()d + σ S() db(). (9) 它的均值呈指数增长, 而它的标准差是关于 S( ) 的平方根的函数而不是 S( ) 本身, 这使得误差项的方差正比于 S(). 因此, 随着资产价格 S() 的增长 ( 当然超过 1), 如果资产价格的波动不是太大, 这种情况用平方根过程描述更加恰当. 对于这个 SDE, 读者当然想知道 S( ) 是否为负的. 假设 S( ) 是负的, 则 S() 将成为复数, 就会导致对资产价格的建模失去意义. 接下来我们将证明这种假设不可能发生. 等价地, 我们证明当 S 时,SDE ds() = λs()d + S() db() (1) 的解是非负的. 为了证明解的非负性, 定义 a = 1, 且对任意整数 k 1, 定义 a k = e -k(k+1) / 2, 则 a k-1 a k du u = k. 令 ψ k (u) 是满足 ψ k (u) 2 / ku 的连续函数, 它的支撑包含在区间 (a k,a k-1 ) 内, 且 a k-1 a k ψ k (u)du = 1. 这样的函数显然存在. 对 x, 定义 φ k ( x) =, 且当 x< 时, -x y φ k (x) = dy ψ k (u)du. 因此 φ k C 2 ( R;R), 并且当 - < x < - a k 时, - 1 φ k (x) ; 否则,φ k (x)=. 当 -a k-1 <x<-a k 时, φ k (x) 2 k x ; 否则,φ k (x)=. 进一步可知, 对 x R, 有其中 x - -a k-1 φ k (x) x -, { x - = -x, x<,, x. 对任意, 利用 Iô 公式, 得 φ k (S()) = φ k (S ) + 因此 σ 2 2 S(r) φ k(s(r)) ù û ú ú dr + é ê ë λs(r)φ k(s(r)) + σ φ k (S(r)) S(r) db(r) λs - (r)dr + σ2 k + σ φ k (S(r)) S(r) db(r). ES - () - a k -1 Eφ k (S()) λ ES - (r)dr + σ 2 k.

5 58 毛学荣, 等. 金融领域的随机建模与基于软件 R 的 Mone Carlo 模拟 (6): 其他随机微分方程模型. MAO Xuerong,e al.sochasic Modelling in Finance and Mone Carlo Simulaions wih R Par 6:Oher SDEs Models. 从而 ES - () a k -1 + σ 2 k 根据 Gronwall 不等式, 对, 有 ES - æ () a k-1 + σ2 ö ç e λ. è k ø + λ ES - (r)dr. 令 k, 有 ES - ( ). 故对, 有 ES - ( ) =. 因此, 对,P{S() <} =. 由 S() 的连续性, 可知对所有的,S() 在几乎必然 ( a. s.) 意义下成立. 这样就证明了 SDE (1) 解的非负性, 因此 SDE ( 1) 可以改写为 SDE (9) 的形式. 接下来, 建立解 S() 的均值和方差所满足的公式. 定义 m 1 ()= ES( ) 和 m 2 ( ) = E( S 2 ( )). 由方程 (9) 直接可得 dm 1 () = λm d 1 (). 故均值 m 1 ()= S e λ. 进一步, 根据 Iô 公式, 有 d(s 2 ())= [2λS 2 ()+σ 2 S()]d+2σ(S()) 3 / 2dB(). 上式两端同时取期望 dm 2 () = 2λm d 2 () +σ 2 m 1 (), 利用常数变异公式可得 m 2 () = e 2λ ( m 2 () + σ 2 e -2λs m 1 (s)ds ) = e 2λ ( S 2 +S σ 2 e -λs ds ) = e 2λ ( S 2 +S σ 2 λ (1 -e-λ ) ). 因此, 方差 V(S())= m 2 () -(m 1 ()) 2 = S σ 2 λ (e2λ -e λ ). 对方程 (9) 而言, 直接应用数值方法会遭到平方根的负值的破坏. 为了计算的安全性, 自然地想到利用等价形式 (1) 替换 SDE ( 9). 给定步长 Δ >, 对 SDE(1) 应用 EM 方法. 设定 s = S(), k = kδ, 通过 s k +1 = s k (1 + λδ) + σ s k ΔB k, (11) 计算近似值 s k S( k ), 其中 ΔB k = B( k+1 ) -B( k ). 然而,SDE(1) 不是线性的, 也不是全局 Lipschiz 的. 因此无法利用标准的收敛定理 ( 如文献 [15] 中的定理 9 6 2), 推理出小步长近似路径是精确的结论. 由于平方根函数也不是局部 Lipschiz 的, 因此也无法利用文献 [16] 中的结论. 尽管 EM 方法很早就在实践中用于获得平方根过程的近似解, 但直到 25 年, 它的有限时间强收敛理论才被 Higham 和 Mao 证明 [17], 他们的结论给使用 EM 数值方法模拟的研究者和实践者提供了理论支持. 根据 Higham 和 Mao [17] 的理论, 可以编译 R 中程序模拟平方根过程的样本路径 : > sqrp <-funcion( S,D,M,a,b){ +## give S,D,M,a,b,for ds( ) = asd+bσqr( S ) db (), D M + <-1:M + <-D +S <-numeric() +S[1] = S +for (i in 2:M){ +S[i] = S[i-1] +a S[i-1] D+b sqr(abs( S[ i-1]) D) rnorm(1)} +plo(,s,pch = ".",ype = " l",col = " black",xlab = " ", ylab = " S()" )} 例如, 对给定的平方根过程 ds()= 2S()d+ 1 S() db(), 2, 初值 S = 1, 选定步长 D = 1, 在 R 中两次输入命令 > sqrp(1, 1,2, 2, 1) 可以获得解的两条样本路径, 如图 3 所示. 图 3 平方根过程的两条样本路径 Fig 3 Two sample pahs of he square roo process 4 Cox Ingersoll Ross 模型合并平方根和均值回归的想法使我们得到了均值回归的平方根过程 ds() = λ(μ - S())d + σ S() db(). (12)

6 学报 : 自然科学版,215,7(6): Journal of Nanjing Universiy of Informaion Science and Technology:Naural Science Ediion,215,7(6): 这个模型可以用于描述利率的发展, 也经常被用于评价利率衍生品.1985 年由 John C. Cox,Jonahan E. Ingersoll 和 Sephen A.Ross [8] 引入, 因此在金融数学中更多的被称为 CIR 模型. 当 S > 时, 这个过程同样是非负的. 事实上, 利用 Iô 公式, 有 Eφ k (S()) φ k (S ) + E 因此 σ 2 2 S(r) φ k(s(r)) -a k-1 ES - () -a k-1 σ2 k. é ê ë λ(μ - S())φ k(s(r)) + ù ú û dr σ2 k. 令 k, 对所有的, 有 ES - ( ) =. 故对所有的,S(), 几乎必然成立. 也可以借助于对爆炸的 [5,9] 经典 Feller 测试来证明更加精确的结论, 若 σ 2 2λμ, 则对所有的, 有 S() > 几乎必然成立. 和二阶矩进一步, 很容易获得期望 ES() = μ + e -λ (S - μ) (13) E(S 2 ())= μ(2λμ+σ2 ) 2λ æ ç è 因此, 方差特别地 S 2 +μ(2λμ+σ2 ) 2λ + (S -μ)(2λμ+σ2 ) e -λ + λ - S (2λμ+σ 2 ) λ V(S()) = μσ2 2λ + (S - μ)σ 2 λ e -λ ö e -2λ, (14) ø σ 2 λ ( 5μ - S ) e -2λ. (15) limes()= μ, + limvar(s())= μσ2 2λ. 可见这个过程仍然具有均值回归的性质. 特别有趣的是当参数 λ,σ 和 μ 满足关系 λμ = σ 2 时, 平方根过程 4 S() 是一个 OU 过程, 满足 d S() = - λ 2 S() d+ σ 2 db(), 解具有显示表达式 5 Θ 过程 S() = S e -λ / 2 + σ 2 e -λ -s) / 2 db(s). 另一个非常有用的模型是 Θ 过程 [7,9], 满足 SDE ds()= λs()d+σs θ ()db(), (16) 其中常数 θ 5. 注意到当 θ = 1 时,Θ 过程是经典的几何布朗运动 ; 当 θ = 5 时, Θ 过程是平方根过程. 当 θ ( 5,1) 时, 与平方根过程证明方法类似, 当初值 S > 时, 对, 方程 (16) 具有唯一的非负解. 当 θ>1 时, 方程 (16) 的解在有限时间可能爆炸. 然而, 若 θ>1, 可以证明对任意给定的初值 S >, 当时, 方程 (16) 存在唯一全局解 S( ), 且该解以概率 1 为正的. 事实上, 由于方程 (16) 的系数在 [9] (, ) 上是局部 Lipschiz 连续的, 利用横截技巧可以证明该方程在 [,τ) 上存在唯一局部解 S (). 取充分大的正数 k, 使得 S [1 / k,k ]. 定义 τ k = inf{ [,τ):s() (1 / k,k)}, k k, 定义 τ = lim k τ k. 显然只需要证明 τ =,a. s. 如果该结论不成立, 则存在一对常数 T> 和 ε (, 1), 满足 P(τ T) >ε. 因此存在一个足够大的常数 k 1 k, 使得 P(τ k T) ε, 对所有 k k 1. (17) 定义 C 2 函数 V:(, ) R +, V(S)= S -1-5log(S), S>. 若 S() (, ), 利用 Iô 公式, 可知 dv(s())= 5(S - 5 ()-S -1 ())[λs()d+σs θ ()db()]+ 其中 25( - 5S -1 5 () +S -2 ())σ 2 S 2θ ()d = F(S())d+ 5σ(S - 5 ()-S -1 ())S θ ()db(), F(S)= 5λ(S 5-1) + 25σ 2 S 2θ-2-125σ 2 S 2θ-1 5, S (, ). 显然 F(S) 在 S (, ) 是有界的, 记为 K. 因此, 只要 S() (, ), 有 dv(s()) Kd+ 5σ(S - 5 ()-S -1 ())S θ ()db(). 上式两端由到 τ k T 积分, 取期望, 得 EV(S(τ k T)) V(S )+KE(τ k T) V(S )+KT. (18) 对 k k 1, 定义 Ω k = { τ k T }, 由式 ( 17 ) 可知, P(Ω) ε. 注意到每个 ω Ω k,s(τ k,ω) 等于 k 或 1 / k, 因此 V(S(τ k,ω)) 不小于或即 k -1-5log(k) 1 / k -1-5log(1 / k)= 1 / k -1+ 5log(k). V(S(τ k,ω)) [ k -1-5log(k)] [ 1/ k -1+ 5log(k)]. 由 (18) 可知

7 51 毛学荣, 等. 金融领域的随机建模与基于软件 R 的 Mone Carlo 模拟 (6): 其他随机微分方程模型. MAO Xuerong,e al.sochasic Modelling in Finance and Mone Carlo Simulaions wih R Par 6:Oher SDEs Models. V(S ) +KT E[I Ωk (ω)v(s(τ k,ω))] ε([ k -1-5log(k)] [ 5log(k) -1]). 令 k, 则有矛盾 >V(S ) +KT =, 因此 τ = 几乎必然成立. 当 θ>1 时,Θ 过程 (16) 的数值方法是当今研究的热点问题. 大多数现有数值结果, 包括有影响力的文章 [16], 都要求扩散项系数函数满足线性增长条件, 因此这些方法无法应用到 Θ 过程. 最近, 这一问题取得了一些突破性进展. 例如, 文献 [18] 研究了广义 Khasminskii 型条件下 SDE 的数值解, 文献 [19] 利用 [18] 中的方法研究了均值回归的 Θ 随机波动模 [18 19] 型的数值解. 这两篇文献的结论可以用于证明 Θ 过程的 EM 数值解以概率收敛到真实解. 此外, 文献 [2] 研究了具有强非线性的 Ai Sahalia 型利率 [21] 模型 dx() = (α -1 x() -1 - α + α 1 x() - α 2 x() r )d + σx() ρ db(), r,ρ > 1 (19) 的倒向 EM 方法的数值解的强收敛性. 最近, 为了释放扩散项系数函数的条件, 文献 [22] 发展了新的数值方法, 称为倒向前向 EM 数值方法. 该方法可以被用于金融数学中出现的高度非线性系统的 Mone Carlo 模拟, 如 dx() = (μ - αx r ())d + βx ρ ()db(). r,ρ > 1, (2) 或种群系统 dx() = diag(x 1 (),x 2 (),,x n ()). [(b + Ax 2 ())d + x()db()], (21) 其中 b = (b 1,,b n ) T, 矩阵 A = (A ij ) n n 满足 λ max (A + A T ) <, 这里 λ max (A) 表示 A 的最大特征根, 且 x 2 = (x 1 2,,x n 2 ) T. 6 结论本系列文章中讨论了很多金融领域中流行的随机模型以及相应的期权定价问题, 演绎了如何在 R 中利用 Mone Carlo 方法模拟潜在资产价格的样本路径以及如何获得期权价值的近似值和平均收益, 给读者提供了很多 R 中的程序, 相信读者可以利用这些程序, 经过简单的修正研究其他的 SDE 模型. 参考文献 References [ 1 ] 毛学荣, 李晓月. 金融领域的随机建模与基于软件 R 的 Mone Carlo 模拟 (5):Black Sdholes 的世界 [ J]. 南京信息工程大学学报 : 自然科学版, 215, 7 ( 5): MAO Xuerong, LI Xiaoyue. Sochasic modelling in finance and Mone Carlo simulaions wih R. Par E:The Black Sdholes world [ J].Journal of Nanjing Universiy of Informaion Science & Technology:Naural Science Edi ion,215,7(5): [ 2 ] Black F,Scholes M.The pricing of opions and corporae liabiliies[ J].The Journal of Poliical Economy,1973,81 (3): [ 3 ] Meron R C.Theory of raional opion pricing[j].the Bell Journal of Economics and Managemen Science,1973,4 (1): [ 4 ] Samuelson P A.Raional heory of warran pricing[ J].In dusrial Managemen Review,1965,6(2):13 39 [ 5 ] Karazas I,Shreve S E. Brownian moion and sochasic calculus[ M].New York:Springer Verlag,1988 [ 6 ] Uhlenbeck G E,Ornsein L S.On he heory of Brownian moion[ J].Phys Rev,193,36(5): [ 7 ] Lewis A L. Opion valuaion under sochasic volailiy: Wih mahemaica code[ M]. Newpor Beach,California: Finance Press,2 [ 8 ] Cox J C,Ingersoll J E,Ross S A. A heory of he erm srucure of ineres raes [ J ]. Economerica, 1985, 53 (2): [ 9 ] Mao X R.Sochasic differenial equaions and applicaions [M].2nd Ed.Chicheser:Horwood Publishing,27 [1] Eheridge A. A course in financial calculus [ M]. Cam bridge:cambridge Universiy Press,22 [11] Higham D J.An inroducion o financial opion valuaion [ M].Cambridge:Cambridge Universiy Press,24 [12] Treyakov M V. Inroducory course on financial mahe maics[ M].London:Imperial College Press,213 [13] Mao X R,Yuan C G.Sochasic differenial equaions wih Markovian swiching [ M ]. London: Imperial College Press,26 [14] 毛学荣, 李晓月. 金融领域的随机建模与基于软件 R 的 Mone Carlo 模拟 (4): 随机微分方程模型 [ J]. 南京信息工程大学学报 : 自然科学版,215,7(4): MAO Xuerong, LI Xiaoyue. Sochasic modelling in finance and Mone Carlo simulaions wih R. Par D:So chasic differenial equaion model[ J].Journal of Nanjing Universiy of Informaion Science & Technology:Naural Science Ediion,215,7(4): [15] Kloeden P E, Plaen E. Numerical soluion of sochasic differenial equaions[ M].Berlin:Springer Verlag,1999 [16] Higham D J,Mao X R,Suar A M.Srong convergence of Euler ype mehods for nonlinear sochasic differenial equaions [ J ]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 22,4(3): [17] Higham D J,Mao X R.Convergence of Mone Carlo simu laions involving he mean revering square roo process [J]. Journal of Compuaional Finance, 25, 8 ( 3 ): [18] Mao X R. Numerical soluions of sochasic differenial delay equaions under he generalized Khasminskii ype condiions[ J]. Applied Mahemaics and Compuaion, 211,217(12): [19] Baduraliya C, Mao X R. The Euler Maruyama approximaion for he asse price in he mean revering hea sochasic volailiy model[ J].Compuers & Mahe maics wih Applicaions,212,64 (7):

8 学报 : 自然科学版,215,7(6): Journal of Nanjing Universiy of Informaion Science and Technology:Naural Science Ediion,215,7(6): [2] Szpruch L,Mao X R,Higham D J,e al.numerical simu laions of a srongly nonlinear Ai Sahalia ype ineres rae model [ J]. BIT Numerical Mahemaics, 211, 51 (2): [21] Ai Sahalia Y.Tesing coninuous ime models of he spo ineres rae [ J]. Review of Financial Sudies, 1996, 9 (2): [22] Mao X R,Szpruch L. Srong convergence and sabiliy of implici numerical mehods for sochasic differenial equaions wih non globally Lipschiz coninuous coeffi ciens[ J]. Journal of Compuaional and Applied Mahe maics,213,238(1):14 28 Sochasic modelling in finance and Mone Carlo simulaions wih R Par 6:oher SDEs models MAO Xuerong 1 LI Xiaoyue 2 1 Deparmen of Mahemaics and Saisics,Universiy of Srahclyde,Glasgow,G1 1XT,Scoland,UK 2 School of Mahemaics and Saisics,Norheas Normal Universiy,Changchun 1324 Absrac The key aim of his serial is o sudy various sochasic models in finance wih emphasis on he Mone Carlo simulaions wih R for hese models.in his paper,we will discussmore SDE models,including he mean rever ing process,he mean revering Ornsein Uhlenbeck process,he square roo prosess,he CIR model and Θ process. Moreover,we will make some furher commens on he curren sudy of he numerical soluionsof SDEs. Key words mean revering process;ornsein Uhlenbeck process;square roo process;cir model;θ process

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untitled Sock Volailiy Models and he Pricing of Warrans 36005 005 0 Hong & Li 005 Absrac This paper used a lo of popular volailiy models o sudy he dynamic behavior of underlying sock and hen used Hong & Lee (005)