基礎財金統計分析

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须靓马
5 years ago
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1 Chap 4 複迴歸分析 : 推論參數的 OLS 估計量的期望值與變異數為 E( ˆ ) Cov( ˆ ) ( ' ) 2 1 故, 此 OLS 估計量是不偏的根據高斯馬可夫定理, 可證明的 OLS 估計量是最佳線性不偏估計量 (BLUE), 也就是在所有的線性估計量中,OLS 估計量是最精確的在常態與同質的假設下,OLS 估計量為一最小變異數不偏估計量 (UMVE), 這表示是不偏估計量中變異數最小的迴歸之常態與同質的意義見圖 4.1 (p139) Q4_mreg2 1

2 估計量的標準誤上式中代 k = 1, 簡單線性迴歸模式中, 1 估計量的變異數如下 : Var( ˆ 1 ) (x i 2 x) 2 觀察上式得到 : 若解釋變數的變異或波動越大, 則 1 估計量的變異數越?, 而精確度也就越? 標準誤 (standard error): 變異數開根號, 代表估計的誤差 2 (n 1)S 2 x Q4_mreg2 2

3 估計量的分布若 ε~normal, 可證明以矩陣表示的迴歸模式 (n 個觀察值, k 個解釋變數 ) 中, 估計量的分配為 2-1 βˆ ~ N(β, σ (X'X) ) 因此, 可得到 t ˆ i i ~ s.e.(ˆ ) i 2 ( 2 ~ 2 n-1-k n 1 k) ˆ t(n-1- k) 當殘差滿足常態性與同質性時, 可使用 t- 檢定測驗各係數的部份影響, 或用 t- 表得到估計區間 Q4_mreg2 3

4 各係數的檢定 H 0 : i = i0 H 1 : i i0 在常態分配的假設下, 參數的估計量遵循一常態分配, 故可以 t-test 來檢定參數的顯著性常用檢定 :H 0 : i =0 H 1 : i 0, 檢定解釋變數的部份影響力 ˆ i t ~ t(n-1- k) s.e.(ˆ ) i 若 X i 係數之 p- 值 < 0.05,X i 對 Y 的部份影響力顯著, 若 X i 對 Y 的部份影響力不顯著時, 可考慮刪去此解釋變數, 使得到的迴歸式更具意義影響力不顯著的出現, 可能是因為自變數間的共線性產生的, 在第 6 章會討論此問題 Q4_mreg2 4

5 範例 4.1 (p146) 估計的方程式如下 ( 括弧中為對應之標準誤 ) y = educ exper tenure (0.104) (0.007) (0.0017) (0.003) n=526, R 2 = 常數 educ exper Tenure T- 值 P- 值顯著性顯著顯著顯著顯著 ( 自由度 = 522,t 接近常態 ) 若要檢定 β>0,p- 值要除以 2 Q4_mreg2 5

6 雙尾檢定與單尾檢定雙尾檢定 : H 1 : i 0 用報表中的 p-value 單尾檢定 : H 1 : i > 0 ( 或 H 1 : i < 0) 將報表中的 p-value / 2, 為確實的 p- 值注意 : 檢定係數的目的是想知道 X i 對 Y 的影響是否顯著, 但此檢定是在其它解釋變數都已在模式內的情況下做的檢定, 屬於部份的影響, 非 X i 對 Y 的單純影響 Q4_mreg2 6

7 範例 : 研究一個社區相館的營業額 (Y, 千元 ) 是否可用該社區 16 歲以下人口數 (X 1, 千人 ) 和帄均每人可支配所得 (X 2, 千元 ) 來預測? n=21 標準誤 St. Err. B of B t(18) p-level Interpret X X 係數檢定結果 : 已將平均每人可支配所得考慮後, 社區 16 歲以下人口數對相館的營業額的影響是顯著的 (t test p- 值 = ) 已將社區 16 歲以下人口數考慮後, 平均每人可支配所得對相館的營業額的影響是顯著的 (t test p- 值 = ) Q4_mreg2 7

8 對數型態之迴歸模型例 : log(wage) = educ + ε 1 : 多一年教育, 薪資增加的比例 % (wage) (1001 ) (educ) 範例 2.10 : log(wage) = educ n=526, R 2 = 多增加一年的教育, 薪資增加 8.3% educ 大約解釋 log(wage) 之變異的 18.6 % 範例 2.11 : log(salary) = log(sales) n=209, R 2 = 公司銷售增加 1%, 薪資增加約 0.257% log(sales) 大約解釋 log(salary) 之變異的 21.1 % Q4_mreg2 8

9 有對數的函數形式之總結表 2.3 模型應變數自變數 β 之解釋 r Level - level Y X X 增加 1,y 增加之量 Level - log Y Log(x) X 增加 1%,y 增加之量 Log - level Log(y) X X 增加 1,y 增加之 % Log - log Log(y) Log(x) X 增加 1%,y 增加之 % 在 log-level 的模型,100 β 有時稱為 y 對 x 之半彈性 (semi-elasticity) 在 log-log 的模型,100 β 有時稱為 y 對 x 之彈性 (elasticity) Q4_mreg2 9

10 對數函數檢定 β=1 範例 4.4 : 校園年犯罪數 (crime) 與學生註冊數 (enroll) 關連模型, log(crime) = log(enroll) + ε log(crime) hat = log(enroll) (1.03) (0.11) n=97, R 2 = 多增加 1% enroll,crime 增加 1.27% 檢定 H 1 : 1 > 0 ( 增加的犯罪率超過 1%) t 結論 :α=0.05 下, 拒絕 H 0, 犯罪彈性超過 1 是顯著的 Q4_mreg2 10

11 4.3 信賴區間 ˆ cse(ˆ j j ) 上式為係數 β j 以的信賴區間, 因估計量為 t 分布, 故倍數 c 為 t- 分布之臨界值以 95% 信心水準估計時,c = t.025, 自由度 =n-1-k 註 : 信賴區間的結果也可用於檢定當區間包括檢定值時, 檢定的結果是顯著的, 否則是不顯著 Q4_mreg2 11

12 範例 4.8 (p163) 研究發展支出模型由 32 家公司的資料得到迴歸式 : log(rd)-hat = log(sales) eprofmarg (0.47) (0.060) (0.0218) n=32, R 2 = 在利潤加成固定之下,(sale) 增加 1%, 估計平均的 (rd) 增加 1.084% log(sales) 係數的 95% 信賴區間為 ± 2.045(0.060) = (0.961, 1.21) 因 1 包括在此區間中, 代表在 5% 顯著水準下, 估計平均的 (rd) 彈性並未異於 1 Q4_mreg2 12

13 預測以簡單線性迴歸模式為例給一解釋變數的值,x 0, 其最佳估計值 ( 或預測值 ) 為 ˆ ˆ ˆ X Y ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ X Y Y 13 Q4_mreg2 預測誤差為期望值與變異數為 X) (X X) (X n 1 1 ) Var ( 0 ) E( 2 2 i n 很大時

14 影響預測精確度的因素 : 觀察上式得到影響預測值精確度的因素為 : 樣本的大小 (n) ( ) 解釋變數的波動程度 ( t X) X 0 偏離解釋變數樣本帄均值 ( ) 的程度 X 2 Q4_mreg2 14

15 4.5 F- 檢定與判定係數, R 2 ANOVA table ( 變異數分析表 ) 變異來源 SS df MS F p-value 迴歸 SSR k MSR F0 P(F>F 0 ) 誤差 SSE n-k-1 合計 SSTO n-1 SSTO = SSR+SSE SSR k SSE MSE N k 1 MSR MSE H 0 : 1 = 2 = = k = 0 (x 1 x 2 x k 對解釋 y 沒有幫助 ) 對立假設為至少有一個 j 不為 0 使用 F- 檢定, 根據 ANOVA table 中的 p-value 作結論 Q4_mreg2 15

16 判定係數 (coefficient of determination) In ANOVA Table, SSTO = SSR+SSE R 2 SSR 1 SSTO SSE SSTO 在統計上, 我們常使用判定係數 (R 2 ) 來說明 Y 之總變異由整個迴歸式解釋的能力 0 R 2 1 只有一解釋變數時,R 2 = r 2, 此處 r 是 Y 與 X 的相關係數, 但不能用於多個解釋變數模型注意 : 增加 X 變數個數, 一定會使 R 2 值增加 Q4_mreg2 16

17 社區相館例之 ANOVA table Analysis of Variance DV: Y Sums of Mean Squares df Squares F p-value Regress Error Total R 由 F-test 得到 p- 值 =0, 整體的迴歸式是顯著的營業額的變異可由迴歸式解釋約 91.7%, 即, 營業額的變異可由少年人口數及個人可支配所得解釋 91.7% (8.3% 由其它未考慮的因素解釋 ) Q4_mreg2 17

18 校正複判定係數 R 2 值不能用來做為模型是否適合的參考值, 高的 R 2 值並不一定表示配套的模式適合, 當 X 變數增加時,R 2 值會增加因此, 有些學者建議以 X 變數個數調整後的校正複判定係數 (Adjusted coef. of determination ) 為選擇模式的標準 2 R a SSE/( N k 1) 1 1 SSTO /( N 1) MSE MSTO Regression Summary for Dependent Variable: Y R= R 2 = Adjusted R 2 = F(2,18)= p< Std.Error of estimate: Q4_mreg2 18

19 高的 R 2 值並不一定表示配套的模式適合例研究某林區樹木之高度 (high), 株數 (no) 對樹木直徑的影響迴歸式一迴歸式二 R 2 = 0.617, R a 2 = R 2 = 0.589, R a 2 = Parameter Estimates Variable Intercept no high Parameter Estimate Pr > t Parameter Estimates Variable Intercept high Parameter Estimate Pr > t < 是否合理請問那一模式比較好? Q4_mreg2 19

20 實例 : 美日股市對台股之影響欲分析美日的股市報酬對台灣股市的影響台股 vs 美股 Tindex Usindex 台股 vs 日股 Tindex Jindex Q4_mreg2 20

21 觀察 : 美日的股市前日報酬對台股的影響明顯設立模式 : r r r tw, t 0 1 us, t1 2 jp, t1 今日台股前一日美股前一日日股 Q4_mreg2 21

22 SAS 報表輸出 Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total Root MSE R-Square Dependent Mean Adj R-Sq Coeff Var Parameter Estimates Variable Label DF Parameter Estimate Standard Error t Value Pr > t Intercept Intercept lagus lagjp 截距不顯著日股的部份影響不顯著 Q4_mreg2 22

23 迴歸分析 : 刪去日股變數 Root MSE R-Square Dependent Mean Adj R-Sq Coeff Var Parameter Estimates Variable Label DF Parameter Estimate Standard Error t Value Pr > t Intercept Intercept lagus 注意 :R-square 變小, 但是 Adj R-sq 比較大 Q4_mreg2 23

24 美股對台股之影響分析日股前一日的報酬對台股當日的部份影響不顯著 (p=0.754), 故刪去模型中此項估計的迴歸直線為台股報酬 = X, X 為美股前一日的報酬迴歸線標準誤 = ,X 之係數顯著 (p=0.034) 此迴歸線之判定係數 =0.1185, 表示台股報酬的變化可由美股前一日的報酬解釋 11.85% 由此迴歸線得到 : 美股前一日的報酬率每增加 1, 估計台股報酬率增加若美股前一日的報酬為 5%, 預估台股報酬 2.29% 二變數的相關係數 = 0.344, 表示台股報酬與美股前一日報酬是弱相關 Q4_mreg2 24

25 預測區間 Q4_mreg2 25

26 無截距項之迴歸模型假設迴歸分析無截距項表示為 R tw,t =β 1 *r us,t-1 +β 2 *r jp,t-1 +ε t ( 即是少了一項 β 0 ) Root MSE R-Square Dependent Mean Adj R-Sq Coeff Var 只有兩個參數估計沒有截距項的估計 SAS tip Parameter Estimates Variable Label DF Parameter Estimate Standard Error t Value Pr > t lagus lagjp Model no intercept 一般而言, 除非有很強力的理論或是證據認為模型是無截距項, 否則皆應引入截距項, 因為截距項為捕捉模型的解釋變數無法解釋之變異的淨帄均效果 Q4_mreg2 26

27 殘差圖以殘差或 t 化殘差為縱軸的分散圖, 或殘差的分佈圖, 稱為殘差圖殘差 : e i y i yˆ i 用的是資料的標準差, 稱為 t- 化 t 化殘差 : e * i e i MSE t- 化殘差 ( Student residual): 以 MSE 為標準差, 將 e i 標準化得到的值, 在常態情況下其值應介於 -3 與 3 之間殘差圖種類 : t 化殘差的順序圖, 盒形圖, 及常態機率圖對 Y 對 X 的殘差圖 Quan_reg2 27

28 SAS 儲存三種不同的殘差原始殘差 t- 化殘差 Quan_reg2 28

29 殘差圖可檢測迴歸模型之下列假設 1. 應變數 (Y) 之帄均可表達為若干個已知自變數 (X j ) 的線性函數 2. 誤差項 () 遵循一常態分布 3. 誤差項彼此不相關 ( 獨立 ) 4. 每一誤差項的變異數相同 ( 同質 homoskedasticiry) 另外,t- 化殘差圖可以發現離群個案 Q3_mreg1 29

30 社區相館例之殘差常態機率圖 ( 符合迴歸假設 ) 社區相館例之殘差圖 : 95% 在此範圍橫軸為 y 預測值橫軸為自變數 Quan_reg2 30

31 透露偏離模式假設的殘差圖偏離情況殘差圖形狀範例 1. 非直線模式對 X 殘差圖呈曲線 fig1 2. 變異數非固定值對 X 殘差圖呈梯形 fig2 3. 離群值存在對 X 殘差圖, 及殘差盒形圖出現離群值 fig3 4. 誤差項的不獨立殘差順序圖分群呈現 ( 如 : 時間序列資料 ) fig4 5. 誤差項非常態性殘差的常態機率圖偏離直線 Quan_reg2 31

32 fig1 資料散佈圖 e i = 0 殘差圖 fig2 Quan_reg2 32

33 fig3 資料散佈圖殘差圖 fig4 Quan_reg2 33

Microsoft Word - 94_2_stat_handout08_線性迴歸（考古題）.doc

Microsoft Word - 94_2_stat_handout08_線性迴歸（考古題）.doc 8 第八章線性迴歸 ( 考古題 ) 006 年 4 月 9 日最後修改 8.1(94- 逢甲 - 國貿 ) (a) y = 7.776 1.77x (b) 006 陳欣得統計學線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-1 頁 β 表示 x 變動一單位會導致 y 變動 ˆ β = 1.77 單位, 即每增加 1,000 磅重量, 汽車每公升汽油行駛里程會減少 1.77 公里 (c) () (e) SSR 134.717