82 數 學 傳 播 27 卷 2 期 民 92 年 6 月 頁, 可 以 很 快 的 得 到 些 概 念 單 群 的 研 究 在 有 限 群 理 論 (finite group theory) 裡 扮 演 的 角 色, 正 如 質 數 在 數 論 研 究 裡 的 角 色 一 樣 老 爸 是 著 名
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- 组 幸
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1 數 學 人 物 石 厚 高 數 學 家 在 那 裡? 他 她 們 創 作 數 學 無 所 不 在, 在 沙 地 上 或 電 腦 上 畫 圖 在 紙 上 作 在 石 頭 上 或 木 頭 上 刻 下 符 號 在 教 室 黑 板 前 方 面 對 一 大 堆 學 生 在 實 驗 室 在 監 獄 在 燈 塔 也 許 是 盲 人 能 接 觸 到 書 籍 或 不 能 不 論 他 創 造 的 是 甚 麼 數 學, 證 明 又 傳 播 的 能 讓 大 家 明 瞭, 也 就 很 可 以 了 Mathematical People 訪 問 二 十 位 數 學 家, 靠 著 簡 短 生 動 的 訪 談 而 不 是 學 術 傳 記, 來 顯 現 數 學 家 的 日 常 生 活 工 作 與 希 望 除 非 你 的 鄰 居 是 個 數 學 家, 你 絕 不 會 找 到 比 本 書 對 數 學 更 人 性 化 的 介 紹 大 家 都 知 道 數 學 家 就 算 是 對 自 己 人, 一 旦 要 把 自 己 的 想 法 訴 諸 文 字 時, 都 要 把 大 白 話 轉 換 成 難 辨 識 (unrecognizable) 的 學 術 文 字, 所 以, 本 書 以 訪 談 手 法 撰 寫 就 特 別 高 明 了 本 書 篇 篇 精 彩 頁 頁 可 讀, 我 挑 了 十 位 有 趣 的 或 重 要 的 人 與 事 作 簡 介, 為 節 省 數 播 版 面, 概 以 第 一 人 稱 或 第 三 人 稱 方 式 行 之 而 不 一 問 一 答 他 她 們 表 現 傑 出, 只 有 二 位 不 是 學 數 學 的, 有 的 著 墨 多 些, 有 的 略 有 數 行, 沒 有 高 下 之 分, 全 在 於 個 人 感 受 為 了 把 筆 者 感 受 ( 審 稿 人 稱 之 為 chat) 與 原 著 介 紹 有 所 區 別, 每 段 前 方 有 記 號 者 乃 筆 者 chat G. Birkhoff 我 的 興 趣 是 多 方 面 的, 一 開 始 不 知 道 自 己 要 作 甚 麼 進 了 大 學 老 爸 對 我 說 畢 業 之 後 要 自 謀 生 活, 在 以 後 的 四 年 裡 要 為 就 業 作 準 備 就 在 那 時 我 決 定 要 作 數 學 家, 他 是 數 學 家, 為 甚 麼 我 不 能 呢? 我 不 認 同 四 色 定 理 已 獲 致 結 論, 也 不 以 為 不 能 讀 的 證 明 真 的 是 證 明 例 如 哈 佛 博 士 Daniel Gorenstein 組 織 (organize) 數 學 家, 找 出 了 所 有 的 有 限 單 群 (finite simple groups) 問 題 是 11,000 頁 類 似 的 論 文 散 見 於 很 多 的 期 刊 裡, 如 果 都 沒 有 錯, 有 限 單 群 也 就 解 決 了, 可 是 誰 又 能 全 部 看 過 呢? 談 到 有 限 單 群, 沒 有 學 過 群 的 讀 者 學 子 可 以 看 看 Mathematical Experience 裡 的 一 篇 Group Theory and the Classification of Finite Simple Groups, 此 文 很 短 只 有 六 81
2 82 數 學 傳 播 27 卷 2 期 民 92 年 6 月 頁, 可 以 很 快 的 得 到 些 概 念 單 群 的 研 究 在 有 限 群 理 論 (finite group theory) 裡 扮 演 的 角 色, 正 如 質 數 在 數 論 研 究 裡 的 角 色 一 樣 老 爸 是 著 名 數 學 家, 對 我 來 說 並 沒 有 甚 麼 壓 力, 我 被 教 的 早 熟 我 直 到 八 歲 都 在 家 裡 學, 十 一 歲 小 學 畢 業 那 時 我 家 很 知 道 Wiener 不 快 樂 的 童 年, 所 以 在 進 中 學 之 前 要 我 輕 鬆 一 年, 我 就 騎 腳 踏 車 踢 球 又 滑 雪, 身 體 很 壯 小 學 畢 業 後 十 七 歲 進 哈 佛 之 前 有 六 年 之 久, 我 參 與 同 學 的 運 動 都 表 現 得 很 行, 尤 其 是 數 學 老 師 要 我 改 考 卷 免 得 我 淘 氣 我 執 教 哈 佛 45 年, 寫 了 或 與 人 合 寫 過 很 多 先 驅 (pioneering) 的 書, 在 數 學 上 貢 獻 的 領 域 很 廣 泛 我 父 親 George D. Birkhoff 也 在 哈 佛 教 了 很 多 年, 為 了 紀 念 (mark) 美 國 數 學 協 會 (American Mathematical Society 創 建 於 1888, 當 時 叫 作 紐 約 數 學 協 會 New York Mathematical Society) 成 立 五 十 周 年, 他 在 一 篇 論 文 五 十 年 來 美 國 的 數 學 (Fifty Years of American Mathematics) 裡 寫 下 了 早 期 的 看 法, 真 的 是 很 有 趣 早 在 1938 年 他 就 已 經 列 舉 (cite) 了 三 十 八 年 後, 兒 子 會 有 的 重 要 貢 獻, 尤 其 是 格 子 理 論 (lattice theory) 一 般 來 說, 小 學 沒 有 讀 或 讀 的 不 完 整 或 斷 斷 續 續 的 人, 他 們 往 往 從 事 三 種 行 業, 文 學 藝 術 與 數 學 陳 省 身 讀 了 三 年 小 學, 高 行 健 只 讀 一 年 小 學, 筆 者 讀 了 不 到 一 年 半 前 二 者 比 較 容 易 自 修, 數 學 比 起 物 理 與 化 學 來 要 單 純 而 自 然 的 多, 不 需 要 甚 麼 設 備 又 不 需 要 多 方 面 的 知 識, 當 然 也 與 個 性 有 關 也 記 得 不 只 一 位 名 作 家 說 過, 成 為 作 家 要 有 個 不 愉 快 的 童 年, 真 的 是 於 我 心 有 戚 戚 焉 陳 省 身 陳 省 身 大 師 訪 問 記 很 短, 文 字 部 分 只 有 三 頁 半, 遠 不 及 大 師 自 己 寫 的 學 算 四 十 年 ( 以 下 簡 稱 學 ) 有 一 點 是 學 文 沒 有 提 到 的, 訪 問 者 說 回 想 陳 的 一 生 讓 我 們 想 起 一 個 老 掉 牙 的 問 題 : 人 是 歷 史 的 產 物 或 歷 史 是 人 的 產 物? 過 去 五 十 年 陳 的 生 涯 與 微 分 幾 何 的 驚 人 成 長 是 不 可 分 的 1930 年 代 多 數 微 分 幾 何 學 家 都 在 作 推 廣 普 通 相 對 論, 也 就 是 在 尋 找 統 一 場 論, 成 效 不 彰 1940 年 代 陳 在 作 微 分 幾 何 時, 這 個 領 域 尚 處 低 潮 大 域 微 分 幾 何 在 起 步 階 段, 甚 至 於 Morse 理 論 的 了 解 與 使 用 也 只 是 一 小 撮 人 今 天 微 分 幾 何 是 數 學 主 題 之 一, 大 部 分 成 就 要 歸 之 於 陳 教 授 學 文 初 刊 於 傳 記 文 學, 又 轉 載 於 數 播 2, 再 轉 載 於 中 國 時 報 副 刊 它 是 經 典 之 作 學 子 必 讀, 數 播 轉 載 是 自 然 的, 傳 記 文 學 與 中 國 時 報 副 刊 也 予 刊 出 就 太 不 容 易 了, 後 二 者 文 學 性 太 高, 讀 了 該 文 才 能 了 解 大 師 的 人 文 素 養 是 多 麼 的 出 眾 大 師 近 況 大 家 都 很 關 切, 民 國 八 十 九 年 一 月 二 十 八 日 中 央 社 台 北 訊 指 出 香 港 大 公 報 有 如 下 報 導 天 津 市 公 安 局 負 責 人 於 本 月 廿 五 日, 將 華 裔 國 際 知 名 數 學 家 陳 省 身 在 大 陸 的 永 久 居 留 證 書 送 到 南 開 大 學 陳 省 身 的 住 所 陳 省 身 於 一 九 八 五 年 在 天 津 南 開 大 學 創 辦 了 大 陸 國 家 級 的 南 開 數 學 研 究 所 一 九 九 五 年, 天 津 市
3 數 學 人 物 83 政 府 授 予 陳 省 身 榮 譽 市 民 四 年 前, 他 表 示 了 要 回 大 陸 定 居 的 打 算, 如 今 得 償 此 願... 其 配 偶 和 子 女 也 獲 准 大 陸 定 居 從 學 文 可 以 看 出 陳 大 師 對 教 育 很 有 理 念, 他 是 了 不 起 的 教 育 家 下 面 的 報 導 無 法 用 文 字 形 容, 只 能 說 讓 學 生 這 麼 仰 慕 是 太 不 容 易 了 不 僅 是 陳 大 師 的 榮 耀 也 是 數 學 界 的 光 榮 民 國 八 十 五 年 四 月 二 十 七 日 聯 合 報 報 導, 二 十 多 年 前 陳 省 身 的 學 生 鮑 伯 尤 米 尼, 去 年 中 了 樂 透 大 獎 二 千 二 百 萬 美 元, 他 很 感 懷 陳 大 師, 就 在 中 獎 的 第 二 天, 他 打 電 話 給 柏 克 萊 數 學 系, 要 捐 給 母 校 一 百 萬 美 金 成 立 陳 省 身 教 授 講 座 消 息 傳 來, 大 家 見 了 陳 省 身 都 會 問 他 教 授! 教 教 我 們 如 何 中 樂 透 好 嗎? 原 來 尤 米 尼 在 柏 克 萊 讀 書 時 選 了 陳 省 身 的 課, 一 堂 微 分 幾 何 下 了 課, 他 就 立 志 要 作 幾 何 學 家 了 民 國 五 十 八 年 大 學 畢 業 時, 他 申 請 進 研 究 院 被 拒, 因 為 成 績 不 好, 陳 大 師 鼓 勵 他 再 申 請 一 次, 並 主 動 為 他 寫 推 薦 信 大 師 說 他 是 個 很 有 自 己 想 法 的 學 生, 這 是 作 學 生 最 可 貴 的 地 方, 第 二 次 申 請 成 功, 民 國 六 十 五 年 獲 數 學 博 士 學 位 他 表 示 能 進 研 究 院 完 全 是 陳 教 授 的 鼓 勵 和 幫 助, 畢 業 後 一 直 在 想, 有 朝 一 日 要 以 陳 教 授 的 名 字 設 立 講 座 尤 米 尼 的 表 現 對 一 些 資 深 教 師 來 說 並 不 意 外, 有 人 長 於 考 試 並 不 宜 於 作 學 問, 也 有 能 作 研 究 可 是 成 績 並 不 好 八 十 五 年 三 月 陳 省 身 教 授 講 座 設 立 了, 第 一 位 應 邀 前 來 演 講 的 是 英 國 劍 橋 大 學 三 一 學 院 Trinity 院 長, 近 代 數 學 領 域 的 權 威 學 者 之 一 的 Atiyah 為 期 一 個 月 陳 大 師 完 全 不 知 道 這 回 事, 他 看 了 電 視 才 知 道, 還 問 這 講 的 是 我 嗎? 二 十 多 年 前 教 的 學 生 還 記 得 自 己 是 很 欣 慰 的 M. Gardner 科 學 美 國 人 (Scientific American) 要 推 出 Mathematics Games 專 欄 之 際, 那 時 還 沒 有 數 學 篇 章 Martin Gardner 的 數 學 只 有 高 中 程 度 1952 年 他 為 科 學 美 國 人 寫 了 篇 Logic Machines, 又 在 1956 年 寫 了 Flexagons, 後 者 使 他 與 數 學 家 John Tukey Bryant Tuckerman A. H. Stone 物 理 學 家 費 因 曼 (Richard Feynman) 搭 上 線 1957 年 是 個 轉 捩 點, 科 學 美 國 人 的 Gerard Piel 對 Gardner 的 作 品 印 象 深 刻, 就 問 他 有 沒 有 足 夠 娛 樂 數 學 (recreational mathematics) 題 材 每 月 一 篇 作 個 專 欄, 答 案 是 肯 定 的 從 此 Gardner 為 科 學 美 國 人 寫 數 學 娛 樂 (Mathematical Recreation) 專 欄, 自 1956 年 十 二 月 至 1986 年 五 月, 每 月 一 篇 一 寫 三 十 年 THE LAST RECREATIONS 共 選 23 篇 Gardner 作 品 他 大 學 讀 的 是 心 理, 可 是 雅 愛 數 學, 他 遺 憾 沒 有 讀 數 學, 其 實 他 的 表 現 是 十 分 傑 出 的, 封 底 John Allen Paulos 說 Martin Gardner never took a mathematics course in college, yet probably has done more to stimulate an appreciation for, curiosity about, and discussion of mathematical ideas than any 213 of us mathematical professors.
4 84 數 學 傳 播 27 卷 2 期 民 92 年 6 月 ( 馬 丁 加 德 諾 讀 大 學 時 完 全 未 修 數 學 課, 或 許 在 挑 起 大 家 欣 賞 好 奇 與 討 論 數 學 觀 念 上 來 說, 比 我 們 213 位 數 學 教 授 作 的 更 多 ) 這 一 本 Gardner 的 專 集 有 一 篇 Non-Euclidean Geometry 介 紹 非 歐 幾 何, 娓 娓 道 來 風 趣 雋 永, 值 得 初 學 者 參 閱, 本 文 讓 人 很 快 就 掌 握 非 歐 幾 何 重 點, 能 有 整 體 概 念 歐 幾 里 德 聲 名 狼 藉 的 第 五 假 設 並 不 是 定 理, 只 是 個 公 設 ; 講 的 囉 哩 囉 嗦, 其 實 用 下 列 方 式 就 比 較 容 易 接 受 : 平 面 上 過 直 線 外 一 點, 只 有 一 直 線 平 行 此 直 線 多 年 來 不 乏 傑 出 數 學 家 作 了 數 百 種 證 明, 可 是 這 些 證 明 不 是 與 平 行 公 設 等 價 就 是 用 了 平 行 公 設 他 舉 的 例 子 很 有 趣 值 得 參 考, 結 尾 很 妙, Gardner 說, 親 愛 的 讀 者, 如 果 你 能 證 明 平 行 公 設, 請 不 要 告 訴 我 我 很 想 加 上 一 句 留 著 自 個 兒 欣 賞 罷! 專 集 另 有 一 篇 計 程 車 幾 何 (Taxicab Geometry) 或 格 子 點 幾 何, 用 圖 形 解 說 非 歐 幾 何 明 白 清 楚 淺 顯 易 懂, 舉 了 很 多 例 子 附 有 格 子 圖, 在 這 裡 三 角 形 兩 邊 之 和 大 於 第 三 邊 是 不 成 立 的 最 引 人 入 勝 的 是 橢 圓 雙 曲 線 拋 物 線 的 圖 形 是 那 種 樣 子, 令 人 不 可 思 議, 可 又 完 全 合 於 定 義 習 於 歐 氏 幾 何 的 學 子, 在 計 程 車 幾 何 作 出 三 種 圓 錐 曲 線 的 圖 形, 雖 然 不 一 定 要 花 很 多 時 間, 是 要 用 些 腦 筋 的 有 趣 的 是 幾 何 學 家 H. S. M. Coxeter 說 : 愛 麗 絲 在 漫 遊 記 裡 吃 塊 小 餅 乾 就 可 以 改 變 身 材, 我 可 不 能 接 受, 在 邊 長 趨 近 於 無 限 時, 三 角 形 的 面 積 能 保 持 有 限 他 的 想 法 可 以 由 M. C. Escher 的 畫 Circle Limit III 掌 握 要 領 畫 作 是 雙 曲 平 面 上 歐 氏 模 型 的 嵌 石 裝 飾, 一 個 圓 內 有 無 數 條 魚, 從 中 心 往 圓 周 作 重 複 而 愈 來 愈 小, 在 圓 周 就 成 為 零 了, 可 是 它 們 永 遠 到 不 了 圓 周, 這 個 圖 是 圓 而 不 是 球, 請 參 閱 拙 著 數 學 畫, 原 載 數 播 86 P. Halmos Paul Halmos 15 歲 讀 大 學, 他 個 子 高 假 裝 年 紀 大 和 大 家 處 的 好 本 來 是 讀 化 工, 覺 得 無 聊 兩 手 弄 的 很 髒, 就 轉 而 往 數 學 與 哲 學 發 展 只 用 了 三 年 拿 到 學 士, 被 詢 及 那 一 點 使 他 作 了 數 學 家? 他 答 的 很 妙 : 我 從 未 想 到 要 走 學 院 的 路, 只 不 過 這 裡 摸 摸 那 裡 看 看 罷 了 讀 碩 士 時 哲 學 被 當 (flunking), 我 還 是 繼 續 選 課 研 究 院 第 一 年 我 選 了 Pierce Ketchum 的 複 變 函 數 論 當 時 毫 無 概 念, 我 不 知 道 甚 麼 是 epsilons (ǫ), 我 覺 得 吹 毛 求 疵 無 聊, 我 真 的 不 懂 那 天 下 午 在 數 學 大 樓 213 教 室 黑 板 前 和 Warren Ambrose 談 話, 突 然 的 我 懂 epsilons(ǫ) 了, 也 瞭 解 極 限 是 甚 麼 了, 教 材 的 點 點 滴 滴 都 清 楚 了 我 拿 著 Granville Smith 與 Longley 的 微 積 分 課 本 坐 著 讀, 以 前 覺 得 沒 有 意 義 的 都 變 的 明 白 了, 我 也 能 證 明 定 理, 那 個 下 午 我 成 了 數 學 家 看 到 這 裡 想 必 有 很 多 讀 者 覺 得 很 親 切, 原 來 Halmos 也 為 極 限 與 epsilons (ǫ) 煩 惱 過, 他 居 然 記 得 數 學 大 樓 213 教 室, 可 見 印 象 是 多 麼 深 刻
5 數 學 人 物 85 數 學 是 甚 麼? 他 說 數 學 是 保 障 確 定 真 理 美 洞 察 力 結 構 (security certainty truth beauty insight structure) 在 訪 問 記 裡 很 有 些 發 人 深 省 的 話 : 我 不 認 為 數 學 需 要 支 持 如 果 從 來 就 不 曾 有 過 NSF, 如 果 政 府 從 未 為 美 國 數 學 提 供 研 究 經 費, 美 國 數 學 家 就 只 有 現 在 的 一 半 了, 我 覺 得 那 也 沒 甚 麼 不 好 電 腦 重 要, 可 不 是 對 數 學 而 言 如 果 所 有 的 男 人 與 女 人 都 知 道 些 數 學, 他 們 會 更 喜 愛 生 命, 他 們 更 瞭 解 生 命, 他 們 會 有 較 大 的 洞 察 力 ( 其 中 NSF 是 否 為 National Science foundation 文 中 並 未 提 及 ) 數 播 第 42 期 謝 爾 訪 問 記 裡, 在 被 詢 及 如 何 才 能 鼓 勵 年 青 人 學 數 學? 謝 爾 (Jean-Pierre Serre) 答 以... 起 先 最 好 不 要 鼓 勵 年 青 人 學 數 學, 因 為 並 不 需 要 太 多 的 數 學 家 但 是, 往 後 他 們 仍 堅 持 學 數 學, 就 要 確 實 鼓 勵 他 們 幫 助 他 們 他 與 Halmos 對 數 學 教 育 都 極 有 理 念 談 到 寫 作 他 說 : 寫 作 是 一 輩 子 的 事, 書 論 文 紙 草 (papyrus) 上 的 符 號, 永 遠 是 放 諸 四 海 而 皆 準 寫 作 是 件 辛 苦 事, 可 是 我 愛 它 實 感 深 獲 我 心 D. E. Knuth 冼 鏡 光 漫 談 Micro : 讀 計 算 機 的 人 很 少 有 人 不 知 道 Knuth 這 個 名 字 的, 或 許 您 沒 有 讀 過 他 的 The Art of Computer Programming 或 者 是 Tex 與 METAFONT, 但 是 從 課 本 中 大 概 不 難 找 到 他 的 名 字, 或 者 是 掛 上 了 他 的 名 字 的 內 容 雖 然 Knuth 不 是 那 些 造 機 器 的 先 鋒, 也 不 是 開 山 立 派 的 大 宗 師, 但 是 他 對 計 算 機 科 學 的 貢 獻 卻 也 不 下 於 在 他 之 前 的 大 師 們 在 書 本 或 雜 誌 中 介 紹 Knuth 的 文 章 並 不 多, 因 為 他 還 健 在, 也 還 在 不 斷 創 作 他 的 知 名 度 也 不 如 一 些 由 微 電 腦 發 跡 的 人 物 如 Kildall Gates... 不 過, 多 了 解 一 些 他 的 事 蹟, 總 是 對 隱 身 幕 後 學 者 的 貢 獻 多 一 些 認 識, 看 到 他 的 名 字, 幾 乎 就 會 聯 想 到 世 界 上 最 重 要 的 計 算 機 科 學 家, 似 乎 Knuth 的 光 芒 把 其 他 人 都 蓋 過 去 了 雖 然 他 是 個 典 型 的 教 授, 可 是, 他 同 時 也 是 天 生 的 作 家 作 曲 家 排 版 印 刷 專 家 等 等 他 最 有 名 的 著 作 就 是 那 一 套 The Art of Computer Programming, 通 常 人 們 都 認 為 這 是 計 算 機 科 學 的 經 典 之 作 曾 有 一 位 評 論 者 這 麼 說 過, 這 本 書 對 計 算 機 科 學 的 重 要 性, 不 亞 於 歐 基 里 得 幾 何 原 本 對 幾 何 學 的 貢 獻 Donald E. Knuth 讀 高 中 時 擔 心 自 己 有 讀 完 大 學 的 能 力, 四 年 後 1960 以 特 優 成 績 畢 業 於 Case 理 工 學 院 (Case Institute of Technology), 獲 學 士 學 位 1963 於 加 州 理 工 學 院 (California Institute of Technology) 獲 數 學 博 士 這 些 年 來 獲 獎 無 數, 1979 年 他 行 年 40, 卡 特 總 統 頒 與 國 家 科 學 獎 (National Medal of Science) Knuth 的 訪 問 記 有 三 點 最 為 激 盪 人 心, The Art of Computer Programming 編 寫 的 緣 起 Surreal Numbers 的 寫 作 以 及 數 學 與 電 腦 的 對 比 前 二 者 可 以 知 道 他 喜 歡 寫 作, 尤 其 是
6 86 數 學 傳 播 27 卷 2 期 民 92 年 6 月 寫 Surreal Numbers 時, 簡 直 是 狂 熱 到 極 點 他 回 憶 說 : 我 在 加 州 理 工 學 院 研 究 所 二 年 級 時, 曾 在 私 人 公 司 當 顧 問 寫 編 譯 器 (compiler) 那 時 請 軟 體 公 司 寫 個 編 譯 器 要 十 幾 萬, 可 是 我 不 知 道, 我 寫 了 個 只 得 五 千 元 1962 年 一 月 Addison-Wesley 公 司 的 顧 問 Richard Varga 問 我 願 不 願 意 寫 一 本 如 何 編 寫 編 譯 器 的 書, 我 當 然 很 樂 意 我 把 這 個 好 消 息 告 訢 太 太, 那 時 我 倆 都 不 知 道 它 改 變 我 們 的 生 活 有 多 大 就 在 那 時 我 擬 了 個 大 綱, 列 出 12 章 的 綱 目 一 開 始 我 就 從 排 序 (sort) 寫 起, 雖 然 很 有 趣 我 對 它 卻 完 全 陌 生, 我 和 卷 帙 浩 繁 的 論 文 打 交 道 那 時 電 腦 科 學 是 新 領 域, 完 全 沒 有 一 致 性, 出 版 界 要 求 不 高, 很 多 論 著 寫 錯 了 錯 的 情 況 有 三 種 : 錯 誤 方 法 得 來 錯 誤 答 案, 錯 誤 方 法 得 來 正 確 答 案, 正 確 方 法 得 來 錯 誤 答 案 就 算 是 在 年 間 大 家 都 想 有 個 正 確 的 總 結, 可 是 出 版 品 那 麼 糟, 也 都 雅 不 欲 找 出 其 中 正 確 的, 那 太 花 時 間 了, 所 以 就 自 己 作 我 愈 寫 愈 來 勁 兒 愈 寫 愈 多, 所 以 不 得 不 請 教 Richard Varga 會 不 會 介 意 寫 的 長 些? 答 覆 竟 然 是 沒 問 題, 想 寫 多 長 都 可 以, 我 終 於 在 1965 年 完 成 了 12 章 的 草 稿 就 在 寫 本 書 時, 1972 年 十 二 月 有 天 晚 上 午 夜 夢 迴 搖 醒 太 太, 跟 她 說 我 要 另 寫 一 本 書, 大 約 一 個 星 期 可 以 完 成 我 要 去 飯 店 租 間 房 來 寫, 這 其 間 她 來 看 我 二 次, 我 們 常 想 在 飯 店 巫 山 雲 雨 這 個 構 想 是 劍 橋 大 學 的 康 威 (John Horton Conway) 告 訢 我 的 原 來 1972 年 有 天 午 餐 後, 康 威 簡 單 的 給 我 解 釋 了 一 種 新 系 統 來 造 數 (to construct numbers), 這 個 革 命 性 新 方 法 給 我 寫 下 來 的 動 機 Gardner 表 示 我 相 信 這 是 唯 一 的 一 次, 數 學 重 要 發 現 用 小 說 的 方 式 出 版 書 名 是 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness, 由 Addison-Wesley 公 司 出 版 在 訪 談 中 Knuth 有 一 大 段 話 談 電 腦 科 學 家 與 數 學 家 的 不 同 簡 言 之, 就 是 數 學 家 一 個 式 子 解 決 所 有 的 問 題, 而 電 腦 科 學 家 一 個 式 子 ( 程 式 ) 解 決 一 個 問 題 電 腦 系 的 興 起 是 由 於 很 多 人 的 思 考 空 間 接 近 我 們 的 焦 點 過 去 的 歲 月 裡, 現 在 我 們 稱 之 為 電 腦 科 學 家 (computer scientists) 的, 以 往 是 叫 作 數 學 家 物 理 學 家 化 學 家 醫 生 與 生 意 人, 現 在 他 們 有 了 個 自 己 的 家 大 約 15 年 前 筆 者 聽 資 策 會 一 位 先 生 演 講 說 過, 電 腦 界 只 有 百 分 之 十 九 是 本 科 系 畢 業 的, 現 在 當 然 不 同 了, 它 需 要 各 行 各 業 各 盡 所 能, 為 Knuth 這 段 話 作 了 最 佳 詮 釋 有 人 以 為 數 學 是 電 腦 科 學 的 一 部 分, 也 有 人 說 電 腦 科 學 是 數 學 的 一 部 分, Knuth 認 為 二 者 雖 有 很 多 重 疊, 可 就 是 兩 回 事 他 提 及 : 當 我 從 數 學 思 考 模 式 進 入 電 腦 思 考 模 式 時, 我 能 感 受 到 它 的 改 變 對 思 維 處 理 的 性 質 二 者 是 完 全 不 同 的, 也 可 以 這 麼 說, 它 們 是 用 兩 種 不 同 的 觀 點 來 看 這 個 世 界 兩 種 不 同 的 抽 像 方 式 來 組 織 知 識, 有 共 同 點 也 都 有 自 己 的 領 域 M. Kline
7 數 學 人 物 87 克 萊 茵 (Morris Kline) 從 新 數 學 一 開 始 就 率 先 抨 擊, 一 系 列 的 論 文 與 書 對 新 數 學 大 張 撻 伐 對 中 學 生 來 說 數 學 的 呈 現, 要 儘 量 直 觀 而 不 是 它 的 邏 輯 嚴 密 (rigor) 對 嚴 密 性 的 欣 賞, 是 學 生 年 齡 的 函 數 不 要 讓 學 生 睡 不 著 覺, 去 煩 惱 一 條 直 線 能 否 把 一 個 平 面 分 成 兩 部 分, 只 證 明 那 些 學 生 認 為 需 要 證 明 的, 這 是 他 對 中 學 數 學 老 師 的 建 議 訪 問 人 提 出 個 饒 有 趣 味 的 問 題, 偉 大 研 究 者 往 往 不 是 個 好 老 師, 就 以 訪 問 人 的 感 受 而 論, 有 些 大 學 生 是 助 教 來 教 是 很 幸 運 的 克 萊 茵 答 覆 的 很 有 道 理, 不 論 大 學 部 或 研 究 所 的 教 授 同 時 又 是 好 老 師 的 很 少, 並 不 是 說 研 究 作 的 好 就 不 能 教 的 好, 而 是 優 秀 研 究 者 要 花 很 多 的 時 間 去 開 會 探 索 學 生 問 的 有 意 義 的 問 題, 還 要 看 或 參 考 很 多 文 獻, 只 有 少 數 精 力 過 人 的 才 能 作 得 到 我 很 喜 歡 他 的 答 覆, 記 得 李 永 平 為 寫 海 東 青 辭 去 中 山 大 學 教 職, 用 四 年 時 間 嘔 心 瀝 血, 寫 一 部 長 達 五 十 萬 字 的 小 說, 社 會 大 眾 很 難 理 解, 他 是 精 神 異 常 嗎? 尤 其 是 在 公 立 教 職 難 覓 的 今 天, 真 的 是 匪 夷 所 思 某 公 立 大 學 徵 教 師 一 名, 就 有 一 百 二 十 多 位 博 士 應 徵 他 不 是 始 作 俑 者, 英 國 人 霍 克 斯 為 了 翻 譯 紅 樓 夢, 辭 去 牛 津 大 學 教 職 ; 可 是 收 入 沒 有 了 難 以 糊 口, 又 去 應 徵 郵 差, 郵 局 說 他 的 學 歷 太 高, 小 廟 容 不 下 大 菩 薩 未 予 接 納 大 家 又 不 明 白 了, 放 著 教 授 不 作 要 作 郵 差 為 了 甚 麼? 道 理 很 簡 單, 教 授 上 課 前 要 準 備 教 材, 郵 差 上 班 前 不 需 要 準 備, 人 到 就 成 了 寫 作 與 教 書 都 是 需 要 很 專 注 的, 不 能 兩 全 就 只 好 選 擇 其 中 之 一 了 H. S. M. Coxeter H. S. M. Coxeter 的 際 遇 很 有 趣, 下 面 是 他 的 自 白 : 有 人 說 我 雖 然 在 多 倫 多 (Toronto) 44 年, 可 還 是 個 英 國 孩 子 又 說 我 的 名 字 來 自 圓 錐 諜 犬 (cock setter) 真 的 是 匪 夷 所 思 數 與 幾 何 二 者 我 早 年 是 傾 向 數 的, 母 親 說 我 大 約 二 三 歲 時 就 注 意 看 報 紙 的 股 票 市 場 的 報 告 進 了 學 校 就 很 喜 歡 歐 氏 幾 何, 至 於 喜 歡 正 多 面 體, 一 定 是 有 某 個 人 給 我 的 那 本 幾 何 書 上 面 有 正 多 面 體 的 圖 片 我 很 小 就 離 開 學 校, 為 了 學 足 夠 的 數 學 拿 到 進 劍 橋 的 獎 學 金, 我 進 了 名 校 Marlborough 學 德 文 外, 更 密 集 的 學 數 學 我 不 是 正 式 生, 該 校 規 定 很 嚴, 過 了 16 歲 就 不 行 每 天 騎 自 行 車 去 學 校, 數 學 老 師 Alan Robson 為 我 私 人 開 班, 每 天 給 我 作 業 第 二 天 交 因 為 我 沒 有 按 步 就 班 學 數 學, 代 數 幾 何 解 析 甚 至 於 應 用 數 學 我 知 道 的 不 多 能 進 這 個 學 校, 那 是 有 人 把 我 介 紹 給 羅 素 (Bertrand Russel), 他 又 把 我 介 紹 給 E. H. Neville 後 者 就 是 說 服 Ramanujan 來 英 國 的, 我 得 到 這 些 重 量 級 人 物 的 認 可, 真 是 太 幸 運 了 甚 麼 是 幾 何 可 是 個 困 難 問 題, 要 是 說 幾 何 學 家 作 的 就 是 幾 何, 那 是 推 卸 責 任 的 說 法 ; 也 有 教 授 闡 釋 幾 何 是 邏 輯, 好 比 研 究 公 理 (axioms), 我 可 不 這 樣 想 如 果 把 數 學 世 界 侷 限 於 幾 何, 從 古 到 今 最 偉 大 的 數 學 家, 當 然 是 阿 基 米 德 (Archimedes) Apollonius 高 斯 (Gauss) 與 Lobatchevsky 為 甚 麼 沒 有 歐 幾 里 德 (Euclid), 他 只 是 個 編 輯 沒 作 甚 麼 原 創 性 的 工 作, 再
8 88 數 學 傳 播 27 卷 2 期 民 92 年 6 月 近 代 些 就 是 Veblen 了 他 的 主 要 貢 獻 在 幾 何 與 拓 樸 間 的 連 繫, 他 與 Young 在 1918 合 寫 的 Projective Geometry 是 經 典 之 作, 處 處 都 交 代 的 清 楚 易 讀, 今 天 讀 來 仍 然 是 歷 久 彌 新 最 高 雅 漂 亮 又 巧 妙 的 數 學 片 段 當 然 是 克 萊 因 (Kline) 列 舉 的 旋 轉 有 限 群, 他 們 正 是 循 環 的 (cyclic) 二 面 角 (dihedral) 四 面 體 (tetrahedral) 八 面 體 (octahedral) 二 十 面 體 (icosahedral) 我 一 有 機 會 就 會 津 津 樂 道 的 是 Steiner-Lehmus 問 題, 有 二 分 角 線 相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 證 法 很 多 也 許 上 百 種, 我 想 其 中 以 Forder 的 證 法 最 高 明 從 附 圖 可 以 看 出 此 一 證 法, 他 是 從 證 明 大 角 分 角 線 小 於 小 角 分 角 線 證 出 來 的 筆 者 讀 初 三 時 數 學 老 師 禚 恩 壽 講 過 這 一 題 Forder 的 證 法 幾 何 教 得 最 好 的 國 家, 當 然 是 蘇 俄, 其 次 是 德 國 與 奧 地 利, 因 為 他 們 認 為 這 是 個 值 得 持 續 研 究 的 主 題 至 於 說 英 語 的 國 家, 則 興 趣 在 它 方 面, 不 把 幾 何 放 在 較 高 地 位 很 是 遺 憾 美 國 與 加 拿 大 是 乏 善 可 陳 的, 也 看 不 出 來 有 改 善 的 跡 像 說 英 語 的 民 眾 為 甚 麼 放 棄 幾 何, 當 然 是 教 的 乏 味, 或 許 是 太 長 時 期 強 調 公 理 化, 學 子 對 幾 何 得 不 到 生 動 活 潑 的 感 覺, 受 到 的 傷 害 就 很 大 了 教 得 爛, 學 得 就 爛, 如 此 惡 性 循 環 以 至 無 窮 談 到 這 裡 筆 者 有 同 感, 初 中 二 年 級 一 學 到 證 明, 那 時 是 要 寫 敘 述 理 由 的, 理 由 一 寫 一 大 堆 讓 人 很 煩 除 了 筆 者 與 三 四 位 同 學 外, 都 很 討 厭 幾 何 當 時 有 首 打 油 詩 : 幾 何 幾 何 人 生 幾 何, 學 了 幾 何 又 能 幾 何 有 人 說 幾 何 已 經 死 了, 它 的 一 切 都 知 道 了 Coxeter 不 以 為 然, 它 和 其 它 數 學 發 展 的 一 樣 快, 只 是 大 家 沒 注 意 罷 了 P. Erdös 民 國 58 年, 陳 省 身 大 師 來 台, 記 者 訪 問 他 : 據 說 您 是 當 代 最 頂 尖 的 數 學 家?, 大 師 答 以 數 學 家 的 高 下 不 能 和 打 棒 球 一 樣, 一 賽 決 勝 負 因 為 有 人 長 於 組 合, 有 人 長 於 分 析... 沒 有 辦 法 說 誰 第 一 誰 第 二
9 數 學 人 物 89 高 行 鍵 得 了 諾 貝 爾 文 學 獎, 大 陸 文 學 界 有 人 說 很 失 望, 大 陸 比 他 好 的 作 家 不 止 二 百 位 其 實 應 該 說 成 和 他 不 相 上 下 的 作 家 不 止 二 百 位 高 的 得 獎 當 然 和 馬 悅 然 有 絕 對 的 關 係, 馬 是 首 席 評 審 委 員, 太 太 是 中 國 人, 他 精 通 中 文 又 熟 諳 左 傳, 他 了 解 又 欣 賞 高 的 作 品, 所 以 高 得 了 獎 由 以 上 二 段 chat, 下 面 一 段 話 也 就 很 明 白 了 艾 狄 胥 (Paul Erdös) 說 諾 貝 爾 獎 不 適 宜 數 學, 數 學 的 高 下 是 很 難 評 比 的 Bers 說 : 我 不 認 為 我 們 應 該 拿 錢, 如 果 拿 到 了 我 也 不 高 興, 因 為 那 可 就 要 打 起 來 只 要 每 四 年 有 那 麼 二 座 或 最 多 四 座 費 爾 茲 獎 就 夠 了, 只 要 是 比 自 己 強 的 人 得 獎 誰 也 不 在 意 有 時 因 為 委 員 會 不 像 樣, 好 比 Szemerèdi 應 該 得 一 座 組 合 學 (combinatorics) 的 獎, 可 是 決 定 得 獎 人 的 委 員 可 沒 有 誰 對 組 合 學 有 興 趣 諾 貝 爾 為 甚 麼 沒 有 數 學 獎, 本 文 並 未 提 及 民 國 67 年 12 月 27 日 美 國 紐 約 時 報 報 導, 數 學 家 喜 歡 說 諾 貝 爾 的 太 太 曾 被 當 時 聞 名 的 瑞 典 數 學 家 高 斯 塔 美 它 雷 夫 諾 (Gosta Mittag- Leffler) 所 引 誘, 這 就 是 諾 貝 爾 獎 沒 有 數 學 獎 的 原 因 這 種 說 法 實 在 是 匪 夷 所 思, 真 正 的 原 因 是 單 純 的 諾 貝 爾 希 望 對 科 學 上 最 重 要 的 發 現 或 發 明 中 特 別 是 立 即 (immediately) 有 益 於 人 類 者 表 示 崇 敬 原 來 是 這 樣 的, 我 把 它 譯 成 中 文 發 表 於 民 國 70 年 1 月 11 日 大 華 晚 報, 又 蒙 數 播 轉 載 這 些 年 來 常 有 人 引 用, 很 有 成 就 感, 請 參 閱 數 播 18 拙 譯 諾 貝 爾 數 學 獎 問 題 先 覺 出 版 曾 蕙 蘭 譯 的 不 只 一 點 瘋 狂, 介 紹 四 年 前 剛 過 世 天 才 數 學 家 艾 狄 胥 一 生 的 傳 奇 故 事 民 國 88 年 12 月 20 日 中 央 日 報 有 此 書 書 評, 儲 三 陽 作 流 浪 的 數 學 家 艾 狄 胥 一 文 裡 有 如 下 文 字 : 綜 其 一 生 可 說 艾 氏 的 生 命 是 為 了 數 學 他 沒 有 工 作, 靠 演 講 費 和 其 他 數 學 家 接 濟, 訪 問 世 界 各 數 學 重 鎮, 在 每 個 地 方 挑 選 新 的 合 作 伙 伴, 拜 訪 舊 友, 每 一 站 不 待 過 一 週, 即 轉 往 下 一 站, 這 種 居 無 定 所 的 日 子 居 然 可 以 維 持 四 十 多 年 之 久 和 他 共 同 發 表 論 文 的 數 學 家 多 達 五 百 位, 前 後 發 表 一 千 五 百 篇 論 文... 雖 然 沒 有 固 定 收 入, 沒 有 家 產, 仍 常 資 助 經 濟 困 難 的 數 學 學 生, 他 和 陳 省 身 合 作 得 渥 爾 夫 獎 時, 幾 乎 全 數 捐 出 五 萬 美 金 作 獎 學 金, 自 己 保 留 七 百 二 十 美 金 喜 歡 為 小 學 生 演 講 數 學, 為 中 學 生 數 學 期 刊 撰 稿, 激 發 許 多 年 青 學 生 投 入 數 學 界 我 們 倒 不 必 以 聖 人 來 看 艾 氏 但 是 可 以 確 認 他 是 熱 愛 數 學... 他 的 熱 力 四 射, 直 接 感 染 到 五 百 多 位 合 作 者, 也 間 接 影 響 到 整 個 數 學 界
10 90 數 學 傳 播 27 卷 2 期 民 92 年 6 月 O. Taussky-Todd Mathematical People 最 長 的 一 篇 是 Olga Taussky-Todd 的 自 白, 全 文 長 達 26 頁 最 為 特 殊 小 註 裡 Mary Terral 說 : 這 篇 回 憶 錄 是 Olga Taussky-Todd 應 Caltech Archives 口 述 歷 史 計 畫 之 邀 而 作 本 來 我 們 是 請 她 作 口 述 會 面, 可 是 她 要 自 己 寫, 以 便 用 之 於 1979 年 春 季 班 的 課 程 裡 我 和 她 密 切 合 作 了 一 年, 把 初 稿 編 輯 又 修 正 成 本 文 這 篇 自 傳 體 散 文 (An Autobiographical Essay) 下 方 有 一 段 話 很 有 趣 實 話 真 的 是 實 話 可 不 是 實 話 全 部 The truth, nothing but the truth, but not all the truth. 說 實 話, 我 非 常 喜 歡 這 本 鉅 著, 這 篇 自 傳 尤 其 讓 我 很 受 用, 所 以 把 它 推 介 給 大 家 她 怎 麼 會 記 得 那 麼 多 事, 從 孩 提 時 代 直 到 1979, 讀 書 時 代 與 各 學 校 同 事 相 處 的 種 種 趣 事 巨 細 靡 遺 道 理 簡 單, 數 學 家 生 活 單 純, 只 有 家 庭 數 學 與 學 校, 所 以 就 記 的 真 切 了 也 許 她 作 了 日 記, 本 文 並 未 提 及 C. Reid 蕾 德 (Constance Reid) 不 是 學 數 學 的, 大 學 時 代 專 攻 英 文, 是 加 州 柏 克 萊 分 校 的 碩 士 可 是 她 來 自 數 學 家 庭, 姐 姐 與 姐 夫 都 是 柏 克 萊 的 數 學 教 授 她 自 出 版 希 爾 伯 特 (Hilbert) 之 後, 常 被 數 學 圈 請 去 演 講, 都 會 問 她 同 樣 問 題, 學 文 學 的 怎 麼 會 去 寫 數 學 大 師 希 爾 伯 特 的 生 涯 呢? 說 來 有 趣, 婚 後 離 開 學 校 開 始 投 稿, 一 九 五 一 至 一 九 五 二 年 間, 姐 姐 說 起 姐 夫 用 電 腦 解 決 一 個 數 論 的 問 題, 我 覺 得 很 好 玩, 問 題 簡 單 連 我 都 懂, 就 寫 了 篇 文 章 投 給 科 學 美 國 人, 一 九 五 二 年 十 月 刊 出 沒 想 到 出 版 商 看 了 書 評 與 科 學 美 國 人 上 的 文 章, 就 寫 信 給 她, 要 她 寫 本 數 學 小 書, 真 是 喜 出 望 外 所 以 就 以 一 二... 九 共 九 個 數 各 為 篇 名 寫 了 一 本 書, 就 是 從 零 到 無 限 (From Zero to Infinity) 後 來 有 人 抗 議 科 學 美 國 人 用 她 的 文 章, 原 來 有 人 不 吃 味 兒 寫 讀 者 投 書, 他 們 強 調 : 咱 們 科 學 美 國 人, 應 該 多 登 內 行 人 的 文 章, 為 甚 麼 要 刊 登 管 家 婆 兒 的 作 品! 後 來 出 版 公 司 一 再 要 她 寫 書, 1965 年 完 成 了 歐 幾 里 得 路 漫 漫 (A Long Way From Euclid) 與 從 零 到 無 限 後, 就 決 定 要 寫 希 爾 伯 特 (Hilbert) 希 的 卷 首 有 重 讀 Hilbert 答 客 問 寫 於 1995 年 11 月 30 日, 對 本 書 推 出 之 原 委 娓 娓 道 來 蠻 有 趣 味 原 來 蕾 德 完 成 了 從 與 歐 二 書 之 後, 對 希 爾 伯 特 這 位 不 尋 常 又 影 響 深 遠 的 數 學 家 很 有 興 趣 所 以 就 去 找 還 在 世 的 希 爾 伯 特 的 朋 友 與 學 生 其 中 二 名 與 希 大 師 很 熟 識, 蕾 德 和 他 們 一 談, 物 理 學 家 波 恩 (Born) 立 即 表 示 很 歡 迎 為 希 爾 伯 特 立 傳, 可 是 他 懷 疑, 一 位 不 是 德 國 人 的 女 士? 不 是 數 學 家? 不 認 識 希 爾 伯 特? 另 一 位 是 庫 朗, 很 久 沒 有 回 音, 最 後 終 於 打 了 一 趟 太 極 拳, 回 信 說 他 想 我 的 計
11 數 學 人 物 91 畫 已 經 完 成 了, 他 幫 不 上 忙 了! 答 應 和 我 談 談 希 爾 伯 特, 他 懷 疑 我 承 認 我 一 點 也 不 知 道 妳 要 如 何 進 行! 她 姐 姐 知 道 她 的 計 畫 以 後, 馬 上 就 給 她 一 套 大 師 論 文 集 ; 如 此 一 來 若 有 人 存 疑 她 的 能 力, 姐 姐 就 可 以 說 妹 妹 看 過 論 文 集 可 是 她 不 是 數 學 家 又 不 懂 德 文, 所 以 先 搞 德 文, 再 去 了 解 大 師 她 和 多 位 與 希 爾 伯 特 認 識 或 有 交 往 的 人 士 通 信, 有 了 回 音 就 去 訪 問 他 們, 在 國 內 或 歐 州 有 了 他 們 的 解 說, 蕾 德 完 成 了 手 稿, 把 手 稿 複 印 給 數 位 數 學 家 反 應 極 為 熱 烈, 庫 朗 堅 持 要 Spring-Verlag 出 版, 這 位 科 學 出 版 家 在 一 次 戰 後 對 德 國 科 學 之 重 建 貢 獻 良 多 庫 朗 與 希 爾 伯 特 都 是 德 國 人 記 者 問 她 : 如 果 我 知 道 讀 者 群 會 是 甚 麼 人, 我 會 把 書 寫 得 不 一 樣 嗎? 答 案 是 否 定 的, 我 根 本 不 敢 寫 它 了 我 吃 了 豹 子 膽 也 很 難 想 像, 一 個 像 我 這 樣 兒 的 非 數 學 家 能 寫 一 部 有 關 數 學 家 的 書, 數 學 家 會 讀 又 問 : 我 會 再 度 寫 希 爾 伯 特 嗎? 當 然 不 會, 它 是 數 學 圈 外 人 興 之 所 至 信 手 拈 來 的 書, 如 果 真 如 戴 森 (Dyson) 所 說 讚 美 數 學 的 詩 實 在 是 大 喜 過 望 了 蕾 德 對 希 爾 伯 特 有 興 趣, 更 重 要 的 是 她 主 修 文 學, 英 文 好 表 達 能 力 強, 所 以 作 品 受 到 肯 定 數 學 家 的 軼 事 妙 聞, 像 白 頭 宮 女 談 天 寶 舊 事 文 字 讀 來 順 暢 激 盪 人 心, 不 僅 是 圈 內 人, 學 文 法 的 一 樣 可 以 讀 Hilbert 與 Courant 是 兩 本 完 全 不 一 樣 的 書, 因 為 二 人 是 十 分 不 一 樣 的 人, 也 是 十 分 不 一 樣 的 數 學 家 對 希 爾 伯 特 是 一 致 的 讚 美, 而 對 庫 朗 是 愛 恨 交 織, 他 是 個 爭 議 性 人 物, 曾 有 人 證 明 Courant doesn t exist 他 的 一 生 充 滿 插 曲 他 由 窮 小 子 而 富 有 打 過 仗 寫 過 編 過 有 影 響 力 的 書, 和 政 府 軍 方 以 及 工 商 界 闊 人 有 來 往, 他 在 很 多 行 業 裡 都 會 很 成 功 而 希 爾 伯 特 專 注 於 數 學 以 及 發 掘 年 青 數 學 家 蕾 德 又 說 : 我 和 大 家 一 樣, 以 為 數 學 家 是 很 快 (quick) 的, 尤 其 是 作 與 數 學 有 關 的 事 兒 可 是 在 Hans Lewy 告 訴 我 希 爾 伯 特 不 快 而 且 瞭 解 的 很 慢, 真 的 是 吃 了 一 驚 在 Hilbert 一 書 裡 有 下 面 一 段 文 字 很 有 意 思 : 在 哥 廷 根 有 個 非 正 式 的 數 學 會, 只 要 有 博 士 學 位 就 能 與 會 每 次 演 講 的 講 員 都 是 哥 廷 根 圈 內 教 師 或 學 子 新 來 乍 到 的 都 很 驚 訝 頂 頂 大 名 的 希 爾 伯 特 反 應 很 慢, 年 青 人 都 是 一 聽 就 懂, 而 大 師 不 行 演 講 人 要 一 再 解 釋, 然 後 又 有 人 講 給 他 聽, 最 後 似 乎 是 全 體 出 席 人 都 來 幫 助 他 了 解 他 自 己 解 釋 能 在 數 學 上 作 點 兒 事 兒, 就 是 靠 著 執 著 我 國 大 數 學 家 祖 沖 之 也 說 自 己 很 笨, 看 看 希 爾 伯 特 大 家 都 能 理 解 筆 者 執 教 中 等 學 校 共 三 十 八 年, 不 會 打 麻 將 一 直 以 為 數 學 老 師 打 麻 將 一 定 贏 的 最 多, 後 來 一 打 聽 才 知 道 數 學 老 師 這 方 面 很 不 行, 原 來 最 強 的 是 國 文 歷 史 三 民 主 義 與 社 會 科 老 師 蕾 德 自 稱 高 中 畢 業 後 就 沒 有 再 讀 數 學 了, 不 過 她 的 數 學 絕 不 止 高 中 程 度, 看 完 本 書 讀 者 當 然 就 會 明 白 作 家 韓 韓 說 寫 作 就 好 像 當 眾 解 衣, 讓 讀 者 把 作 家 瞭 解 的 一 清 二 楚 經 典 名 著 七 俠 五 義 的 作 者 石 玉 崑 的 數 學 只 有 小 學 程 度, 例 如 書 中 談 到 的 數 學 只 有 二 一 添 作 五 的 家 當, 如 今 弄 成 三 一 三 十 一 了 這 二 百 兩 銀 子, 除 了 賞 項... 共 費 去 銀 八 九 十 兩, 下 剩 仍 有 一 百 多 兩 小 人 今 年 才 十 五 歲, 三 年 前 小 人 十 二 歲 石 玉 崑 的 數 學 素 養 比 蕾 德 差 多 了 當 然 Gardner 的 數 學 比 蕾 德 更 是 高 明 太 多 了, 各 位 讀 者 你 們 說 是 嗎?
12 92 數 學 傳 播 27 卷 2 期 民 92 年 6 月 感 謝 本 書, 讓 我 在 心 情 很 低 落 時 走 出 陰 霾 參 考 文 獻 1. Donald J. Albers and G. L. Alexanderson, editors, Mathematical People 2. Philip J. Davis Reuben Hersh 合 著, Mathematical Experience 3. 民 國 七 十 七 年 九 月 號, 資 訊 傳 真 雜 誌 (MICROTECH) 4. 中 央 研 究 院 數 學 研 究 所 主 編, 數 學 傳 播 5. Gardner, THE LAST RECREATIONS 6. Reid, Hilbert Courant 7. 中 央 日 報 聯 合 報 中 國 時 報 8. 凡 異 出 版 社, 數 學 圈 雜 誌 9. 石 玉 崑, 七 俠 五 義 本 文 作 者 為 建 國 中 學 退 休 教 師 更 正 : 本 刊 105 期 窺 視 大 千 於 數 瞥 之 間 淺 談 部 份 因 子 實 驗 設 計 一 文 pp 表 格 有 部 份 更 正, 詳 見 本 刊 網 站 :
第 37 卷 第 5 期 科 学 人 物 学 院 的 硕 士 学 位, 但 最 终 未 果, 于 是 开 始 了 他 自 由 撰 稿 的 创 作 生 涯 他 先 后 在 绅 士 (Esquire) 矮 胖 子 (Humpty-Dumpty) 等 杂 志 上 发 表 文 章, 并 以 此 维 持 生
doi:10.3969/j.issn.0253-9608.2015.05.011 马 丁 加 德 纳 : 数 学 科 普 大 师 曾 甘 霖 华 中 科 技 大 学 教 育 科 学 研 究 院, 武 汉 430074 摘 要 马 丁 加 德 纳 是 20 世 纪 享 誉 世 界 的 数 学 科 普 大 师, 他 在 数 学 界 的 地 位 独 一 无 二 他 没 有 数 学 博 士 学 位, 但 他
大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 31 經 等 經 典 可 以 遵 循 所 謂 基 本 教 義 派, 對 我 來 說, 指 的 是 : 去 想 一 些 最 根 本 最 底 層 的 問 題, 希 望 從 那 些 問 題 出 發 去 了 解 紛 雜 的 現 象 幾 十 年 來, 我 從 數
黃 武 雄 教 授 演 講 及 其 回 響 一 一 大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 一. 緣 起 演 講 : 黃 武 雄 時 間 : 2004 年 2 月 5 日 地 點 : 交 通 大 學 應 用 數 學 系 整 理 : 詹 宗 智 許 元 春 教 授 大 約 三 四 年 前, 交 通 大 學 應 用 數 學 系 執 行 教 務 處 推 動 的 世 界 性 數 學 課 程 調 查
批 准 了 一 場 大 膽 的 戰 爭, 鴉 片 戰 爭 ; 他 們 竟 然 膽 敢 向 雄 踞 遠 東 的 大 清 帝 國 宣 戰 而 工 業 和 經 濟 急 速 發 展 所 造 成 的 重 大 環 境 和 社 會 問 題, 在 卡 洛 的 時 代 都 還 來 不 及 處 理 愛 麗 絲 裝 扮
3 卡 洛 的 遊 戲 人 生 路 易 思 卡 洛 (Lewis Carroll) 是 英 國 數 學 家 道 奇 森 (Charles Lutwidge Dodgson, 1832 98) 的 筆 名, 現 在 卻 成 為 他 的 傳 世 之 名 了 1 卡 洛 22 歲 從 牛 津 大 學 基 督 書 院 (Christ Church, Oxford) 獲 得 數 學 學 位, 並 留 在 院
星象儀的過去、現在與未來
I M A X 123 1970 Giant Screen 1923 8 P l a n e t a r i u m 1923 1913 Max Wo l f O s c a r von Miller 20 1926 11 I I Z e i s s 1947 Carl Zeiss H a g a r, 1980 18 Walther Bauersfeld 1919 5 16 10 I 12 1 8
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高 中 高 職 及 五 專 免 試 入 學 實 施 方 案 101.1.6 臺 參 字 第 1000241244C 號 函 壹 緣 起 教 育 部 ( 以 下 簡 稱 本 部 ) 自 民 國 90 年 起, 全 面 推 動 實 施 高 中 高 職 五 專 多 元 入 學 方 案, 改 變 傳 統 聯 考 以 單 一 智 育 成 績 分 發 篩 選 的 入 學 方 式 並 自 96 學 年 度 起 推
XXX专业本科人才培养方案
计 算 机 科 学 与 技 术 专 业 本 科 人 才 培 养 方 案 (Computer Science and Technology 080901) 一 培 养 目 标 本 专 业 培 养 德 智 体 美 全 面 发 展, 具 有 良 好 的 科 学 与 人 文 素 养, 熟 悉 经 济 管 理 法 律 等 相 关 基 础 知 识, 系 统 地 掌 握 计 算 机 硬 件 软 件 方 面 的 基
品 业 可 提 供 能 治 愈 的 药 然 而 怀 特 豪 斯 和 乔 治 却 认 为 我 们 如 果 专 注 在 改 善 大 脑 健 康, 承 认 我 们 身 体 的 极 限, 对 抗 我 们 变 老 时 最 大 的 敌 人 - 恐 惧, 这 样 对 我 们 比 较 好 他 们 写 道 : 把 阿
正 向 老 化 电 子 报 (The Positive Aging Newsletter) 网 址 :www.taosinstitute.net/chinese 2010 年 3~4 月, 第 61 期 本 正 向 老 化 电 子 报 是 由 肯 尼 斯 与 玛 莉 葛 根 (Kenneth and Mary Gergen) 所 编 写, 以 致 力 于 研 究 与 实 务 间 建 设 性 的 对
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卢 昌 海 : 科 学 哲 学 短 文 集 p.1 科 学 哲 学 短 文 集 卢 昌 海 http://www.changhai.org/ 2009 卢 昌 海 : 科 学 哲 学 短 文 集 p.2 作 者 声 明 本 文 件 的 内 容 来 自 本 人 主 页 http://www.changhai.org/ 上 的 下 列 文 章 : 1. 什 么 是 科 学 (http://www.changhai.org/
中國的科學與中國的公民：大陸研究在台灣的困境\\
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《益善行道 ─ 東華三院歷史專題文集》
益 善 行 道 東 華 三 院 歷 史 專 題 文 集 一. 著 書 背 景 二. 獲 香 港 書 展 名 家 推 介 評 為 四 十 套 好 書 之 一 三. 益 善 行 道 的 九 個 專 題 四. 相 關 活 動 五. 訂 購 資 料 為 研 究 香 港 歷 史 提 供 珍 貴 文 獻 理 想 通 識 教 育 素 材 東 華 三 院 早 前 委 託 香 港 大 學 亞 洲 研 究 中 心 開
Theory of Groups is another course for undergraduates; and Module Theory will be a basic course of graduates). The main contents include the basic str
抽 象 代 数 课 程 教 学 大 纲 课 程 基 本 信 息 (Course Information) 课 程 代 码 (Course Code) * 学 时 MA20 (Credit Hours) 6 * 学 分 (Credits) * 课 程 名 称 抽 象 代 数 (Course Name) Abstract Algebra 课 程 性 质 (Course Type) 必 修 课 授 课 对
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2010, spring, v12, n1
2010, spring, v12, n1 Confronting the Baby Blues: A Social Constructivist Reflects on Time Spent in a Behaviorist Infant Classroom 正 视 婴 儿 的 沮 丧 : 一 个 社 会 建 构 主 义 者 对 行 为 主 义 婴 儿 课 堂 的 反 思 Mary Benson
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R. [Richard Courant & Herbert Robbins. What is Mathematics 1978. 1985.] = (Logical Knowledge) C.Delaunay 1867 (Heuristic Knowledge) [B. Russell: Recent Work on the Principle of Mathematics, Intemational,
国学思想与大学数学
Pure Mathematics 理 论 数 学, 2013, 3, 201-206 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.33030 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Chinese Traditional Culture and College Mathematics
图 1 北京临时政府唐绍仪内 阁教育部总长蔡元培 与出 席全国临时教育会议的代表 们在开幕式后合影 1912 年 7 月 10 日 北京此照 实 集民初中国教育界一时之选 拍此照后第五日 蔡元培辞 教育总长职获准 图 2 蔡元培在自己的名片上以 短函致王云五王云五参加教 育部工作 即为蔡元培力邀 蔡
赏鉴 APPRECIATION 1 岁月遗珍 民国名人老照片 四 文 图 臧伟强 蔡元培与 临时教育会议 北京临时政府唐绍仪内阁教育部总长蔡元培 与出席 全国临时教育会议的代表们在开幕式后合影 1912 年 7 月 10 日 会议延至 8 月 10 日闭幕 北京此照 实集民初 接着又解释了总理唐绍仪辞职 而同盟会阁员坚持负连带责 中国教育界一时之选 任辞职 是以国家为前提 绝非 闹党见 蔡元培在开幕式上恳切地指出
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物 理 生 活 化 教 學 經 驗 談 鄧 鴻 源 真 理 大 學 通 識 教 育 中 心 au1194@mail.au.edu.tw 摘 要 物 理 首 重 觀 念, 而 觀 念 的 啟 發 應 從 觀 察 著 手, 從 遊 戲 中 學 習, 畢 竟 就 人 類 吸 收 知 識 的 效 率 而 言, 數 字 與 符 號 不 如 文 字, 文 字 不 如 圖 片, 圖 片 不 如 有 聲 音 與 動
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應 用 GeoGebra 數 學 軟 體 於 數 學 課 程 的 教 學 Using Dynamic Mathematical Software GeoGebra in Mathematical Course 姜 正 雄 Cheng-Hsiung Chiang 玄 奘 大 學 資 訊 管 理 學 系 Department of Information Management, Hsuan Chuang
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张 冰 这 两 天 我 一 直 在 思 考 一 个 问 题 : 教 师 的 职 责 是 什 么? 当 了 二 十 几 年 的 教 师, 师 者 不 就 是 传 道 授 业 解 惑, 教 书 育 人 但 细 细 想 来, 说 得 容 易 做 到 很 难 有 效 的 品 德 教 育 离 不 开 教 师 与 学 生 的 交 流 与 沟 通, 这 样 学 生 会 亲 其 师, 信 其 道 只 有 学 生 把
积极老龄化通讯（第72期）
积 极 老 龄 化 通 讯 (The Positive Aging Newsletter), 第 88 期 积 极 老 龄 化 通 讯 由 科 尼 斯 格 根 与 玛 丽 格 根 (Kenneth and Mary Gergen) 夫 妇 编 写, 希 望 在 学 术 研 究 与 日 常 实 践 之 间 展 开 建 设 性 对 话 本 通 讯 接 受 陶 斯 研 究 院 (The Taos Institute)
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持 續 國 內 領 先 打 造 國 際 知 名 淡 江 大 學 國 際 事 務 與 戰 略 研 究 所 Graduate Institute of International Affairs and Strategic Studies, TKU 碩 士 班 碩 士 在 職 專 班 博 士 班 105 學 年 度 招 生 資 訊 應 試 參 考 建 議 資 料 如 有 報 考 意 願 請 洽 本 所
運動觀光及休閒產業管理學術研討會論文格式
第 壹 章 緒 論 第 一 節 研 究 背 景 與 動 機 近 年 來 台 灣 面 臨 全 球 化, 許 多 工 業 在 轉 型 或 外 移 後 形 成 閒 置 荒 廢 的 狀 態 因 應 時 代 潮 流 變 化, 台 灣 傳 統 產 業 相 較 於 大 陸 市 場 的 廉 價 勞 工 廉 價 廠 房 所 產 生 的 排 擠 效 應 漸 趨 嚴 重 化, 加 上 年 輕 人 逐 漸 向 都 市 發
; ;. 3 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 提 出 的 数 学 课 程 的 教 学 目 标 包 括 : ; ; 三 个 方 面. 4 皮 亚 杰 (J.Piaget) 提 出 的 儿 童 智 力 发 展 的 阶 段 为 : ; ; ;. 5 数 学 教 育 学 的 主 要 研 究 对 象
数 学 教 育 学 概 论 模 拟 试 题 06 ( 答 题 时 间 120 分 钟 ) 一 判 断 题 ( 每 小 题 1 分, 共 10 分 正 确 划, 错 误 划, 请 将 正 确 答 案 填 在 下 面 的 表 格 内 ) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 1 张 孝 达 先 生 是 人 民 教 育 出 版 社 的 资 深 编 辑, 他 撰 写 的 数 学 教 育
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摘要
國 立 台 南 藝 術 大 學 音 像 動 畫 研 究 所 第 四 屆 碩 士 論 述 後 院 之 創 作 論 述 及 探 索 手 繪 動 畫 結 合 商 業 形 式 之 新 面 貌 The synopsis statement of Backyard and the new discover of hand-drawn animation with commercial act 研 究 生 : 陳
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() () I am delighted to hear that Methodist College is organising a Mentoring Programme to help the Form 4 to Form 6 students to have a more enriched experience in addition to their academic study. I
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中 国 音 乐 学 院 2016 年 招 收 攻 读 博 士 学 位 研 究 生 简 章 欢 迎 报 考 中 国 音 乐 学 院 博 士 学 位 研 究 生! 一 培 养 目 标 培 养 德 智 体 美 全 面 发 展, 在 音 乐 学 科 领 域 掌 握 坚 实 宽 广 的 基 础 理 论 和 系 统 深 入 的 专 门 知 识, 具 有 独 立 从 事 音 乐 艺 术 理 论 研 究 能 力 并
五 研 究 方 向 及 学 制 研 究 方 向 导 师 : 见 附 件 1 学 制 : 三 年 招 生 名 额 : 预 计 招 收 7 名 ( 以 国 家 当 年 正 式 下 达 的 计 划 为 准 ) 2
中 国 音 乐 学 院 2016 年 少 数 民 族 高 层 次 骨 干 人 才 计 划 招 收 攻 读 博 士 学 位 研 究 生 简 章 欢 迎 报 考 中 国 音 乐 学 院 博 士 学 位 研 究 生! 一 培 养 目 标 培 养 坚 定 拥 护 中 国 共 产 党 的 领 导 和 会 主 义 制 度, 坚 定 维 护 民 族 团 结 和 国 家 统 一, 立 志 为 西 部 大 开 发 和
46 數 學 傳 播 26 卷 3 期 民 91 年 9 月 表 演, 有 些 賭 場 還 每 小 時 發 遊 客 1 美 元, 可 連 發 7 小 時 一 個 目 的, 都 是 吸 引 遊 客 流 連 忘 返, 持 續 地 賭 開 賭 場 當 然 是 為 了 賺 錢, 利 用 機 率 來 設 計
賭 國 風 雲 黃 文 璋 1. 天 性 好 賭 ùö ùö 考 古 的 證 據 顯 示, 賭 博 的 歷 史 源 遠 流 長, 幾 乎 自 人 類 文 明 之 始 就 有 了 中 外 歷 史 小 說 及 電 影 裡, 也 常 有 賭 的 情 節, 賭 似 乎 是 與 生 活 分 不 開 的 賭 還 不 一 定 是 賭 錢 如 金 庸 (1996a) 射 鵰 英 雄 傳 中 ( 第 十 九 二 十
* 年 会 报 告 回 响 与 检 讨 * 从 圣 经 及 教 会 历 史 看 双 福 事 奉 * 短 宣 及 会 议 * 职 场 机 会 * 佈 告 栏 * 2015 年 5 月 第 36 期 发 行 : Joshua / 编 辑 : Snow 2015 年 会 报 告 : 深 圳 医 疗 团 契 2015 医 疗 团 契 年 会, 主 题 为 医 疗 传 爱, 一 世 永 生, 于 4 月 3
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台 灣 管 理 學 刊 第 8 卷 第 期,008 年 8 月 pp. 33-46 建 構 農 產 運 銷 物 流 中 心 評 選 模 式 決 策 之 研 究 林 文 晟 清 雲 科 技 大 學 企 業 管 理 系 助 理 教 授 梁 榮 輝 崇 右 技 術 學 院 企 業 管 理 系 教 授 崇 右 技 術 學 院 校 長 摘 要 台 灣 乃 以 農 立 國, 農 業 經 濟 在 台 灣 經 濟
嶺南地區的大開發時期始於宋代 當時 由於陸上絲路無法通行 朝廷特別注重南方 海上貿易發展 於廣州設 市舶司 管理 來華朝貢和貿易的蕃舶 北宋滅亡後 南宋 定都江左 大量北方漢人被迫逃往南方 有 朝廷官宦家眷沿贛江南下 或越過南嶺 定 居南雄地區 或沿北江直下廣州 在珠江三 角洲地區開基立業 繁衍後代
祠堂建築 蕭麗娟 前言 下去 這亦間接鼓勵祠堂建築及文化的傳承 發展和更新 從歷史檔案及田野考察調查的資料顯示 在大埔區延綿約14,800公頃的範圍內 先後 建成的祠堂共約160座 現仍保留的約120 座 它們在形制 歷史及面積方面均有不同之 處 這些祠堂大部分仍保留著傳統功能 是氏 族進行宗族活動的地方 亦是村落的焦點 它 們實在是大埔區的重要文化財產 香港發展迅速 雖然香港島及九龍半島 的傳統村落已不復存在
一 背 景 與 目 的 故 事 是 文 化 創 意 瓹 業 諸 多 子 瓹 業 發 展 的 朘 心 肎 久 遠 以 前, 人 類 文 明 尌 有 神 話 傳 說, 出 現 在 所 有 人 類 居 住 的 地 方 各 個 時 代 和 情 境 中, 且 被 視 為 人 類 身 體 與 心 智 活 動 瓹
英 雄 傳 奇 故 事 與 地 方 特 色 發 展 及 行 銷 以 六 堆 大 總 理 為 例 林 儷 芳 1 葉 亭 儀 2 施 百 俊 3 1 國 立 屏 東 大 學 文 化 創 意 瓹 業 學 系 碩 士 班 研 究 生 2 國 立 屏 東 大 學 文 化 創 意 瓹 業 學 系 大 學 部 四 年 級 3 國 立 屏 東 大 學 文 化 創 意 瓹 業 學 系 教 授 兼 系 主 伕 摘 要
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对 理 解 的 理 解 : 介 绍 海 因 茨 冯 福 尔 斯 特 及 二 阶 事 理 学 学 派 2005 年 5 月 18 日, 应 大 连 理 工 大 学 管 理 学 院 知 识 科 学 与 知 识 管 理 研 究 中 心 主 任 中 国 工 程 院 院 士 王 众 托 教 授 的 邀 请, 胡 继 旋 博 士 在 该 校 做 了 一 个 对 已 故 世 的 美 国 事 理 学 泰 斗 海 因
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考試學刊第10期-內文.indd
misconception 101 Misconceptions and Test-Questions of Earth Science in Senior High School Chun-Ping Weng College Entrance Examination Center Abstract Earth Science is a subject highly related to everyday
謹 將 此 書 獻 給 所 有 和 慶 榮 一 樣 努 力 留 下 屬 於 自 己 生 命 印 記 的 朋 友 們 魏 慶 榮 手 繪 圖
謹 將 此 書 獻 給 所 有 和 慶 榮 一 樣 努 力 留 下 屬 於 自 己 生 命 印 記 的 朋 友 們 魏 慶 榮 手 繪 圖 目 錄 銀 慶 剛 / 序 十 年 一 覺 南 港 夢 吳 美 蓉 / 序 i iii 友 人 篇 李 隆 安 / 朋 友, 我 想 念 你 1 邱 守 榕 / 紀 念 在 過 去 的 殘 光 碎 影 中 尋 覓 探 視 未 來 9 周 宜 家 徐 光 琳 李
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國 立 臺 中 教 育 大 學 特 殊 多 教 媒 育 體 學 教 系 學 方 案 對 國 小 智 能 障 礙 學 生 時 間 概 念 學 習 成 效 之 影 響. 17. 特 殊 教 育 與 輔 助 科 技 學 報, 民 100,3 期,17-36 頁 多 媒 體 教 學 方 案 對 國 小 智 能 障 礙 學 生 時 間 概 念 學 習 成 效 之 影 響 吳 柱 龍 臺 中 教 育 大 學 (
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12 OIST 13 OIST 14 Sango Cluster OIST Operates state of the art high performance computing: 15 2012 2013 OIST Briefing in The University of Tokyo 5/11 OIST Briefing in The University of Tokyo Institute
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民 国 时 期 国 人 对 电 视 的 认 知 谢 鼎 新 ( 安 徽 大 学 新 闻 传 播 学 院 副 教 授 博 士 ) 摘 要 : 在 现 有 的 电 视 史 研 究 中, 都 是 以 1958 年 北 京 电 视 台 ( 中 央 电 视 台 的 前 身 ) 成 立 为 中 国 电 视 史 的 起 点, 在 此 之 前 国 人 对 电 视 的 认 知 如 何 还 是 个 盲 点 本 文 试
當前台灣制憲修憲問題之試析─以中華民國憲法之病理病徵為中心
1. 2. 3. 4. 5. 89 115 913 1 1 civil-military relations democratic consolidation praetorian 44 20 2002.12.30 2 armed forces 3 objective civilian control military professionalism praetorianism civil supremacy
一个数学家的辨白
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的 哈哈
The Artist s Position 艺 术 家 的 立 场 (Interview by Lin Li 林 黎 ) Summary: This interview took place on August 29, 2001 in Wen Pulin s house in Beijing. Occupying an artist s position, Wen introduces his new
究 公 司 内 控 与 公 司 治 理 等 ) 中 国 会 计 学 会 会 计 基 本 理 论 专 业 委 员 会 委 员, 财 政 部 会 计 学 术 领 军 人 才 ( 后 备 ) 班 学 员 ( 第 一 批 ) 1985 年 毕 业 于 江 苏 大 学 动 力 机 械 工 程 系 ( 流 体
上 海 大 学 管 理 学 院 博 士 后 流 动 站 合 作 导 师 简 介 刘 人 怀 ( 男 ), 博 士, 教 授 主 要 研 究 领 域 : 创 新 与 知 识 管 理 工 业 工 程 与 质 量 管 理 1963 年 毕 业 于 兰 州 大 学 数 学 力 学 系,1978 1986 年 任 教 于 中 国 科 技 大 学,1986 1991 任 教 于 上 海 工 业 大 学, 担 任
BIBLID (2009)27:4 pp 漢學研究第 27 卷第 4 期 ( 民國 98 年 12 月 ) * * 147
BIBLID 0254-4466(2009)27:4 pp. 147-178 漢學研究第 27 卷第 4 期 ( 民國 98 年 12 月 ) 1376-1383 * 1310-1381 1357-1402 2008 11 3 2009 10 21 * 147 148 漢學研究第 27 卷第 4 期 1 2 3 1 1993 164 John Dardess John Dardess, Confucianism
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王 充 有 善 有 惡 的 人 性 論 王 充 有 善 有 惡 的 人 性 論 朝 陽 科 技 大 學 通 識 教 育 中 心 副 教 授 中 文 摘 要 王 充 (27-100) 的 人 性 論 本 於 世 碩 公 孫 尼 子, 主 張 人 性 先 天 上 有 善 有 惡, 進 而 批 評 在 其 之 前 諸 家 的 各 種 陳 言, 斷 其 優 劣, 在 中 國 人 性 論 發 展 史 上 十
2. 佔 中 對 香 港 帶 來 以 下 影 響 : 正 面 影 響 - 喚 起 市 民 對 人 權 及 ( 專 制 ) 管 治 的 關 注 和 討 論 o 香 港 市 民 總 不 能 一 味 認 命, 接 受 以 後 受 制 於 中 央, 沒 有 機 會 選 出 心 中 的 理 想 特 首 o 一
220 參 考 答 案 專 題 1. 公 民 抗 命 與 革 命 的 異 同 如 下 : 公 民 抗 命 革 命 相 同 之 處 目 的 兩 種 行 動 都 是 為 了 抗 拒 當 權 政 府 不 受 歡 迎 的 決 定 及 政 策 方 法 兩 者 都 是 在 嘗 試 其 他 合 法 的 抗 爭 行 動 後, 無 可 奈 何 的 最 後 手 段 不 同 之 處 目 的 只 是 令 政 府 的 某 些
202 The Sending Back of The Japanese People in Taiwan in The Beginning Years After the World War II Abstract Su-ying Ou* In August 1945, Japan lost th
201 1945 8 1945 202 The Sending Back of The Japanese People in Taiwan in The Beginning Years After the World War II Abstract Su-ying Ou* In August 1945, Japan lost the war and had to retreat from Taiwan.
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语 言 模 型 在 高 校 保 研 工 作 中 的 应 用 王 洋 辽 宁 工 程 技 术 大 学 理 学 院 信 息 与 计 算 科 学, 辽 宁 阜 新 (3000) E-mail: ben.dan000 @63.com 摘 要 : 问 题 重 述 : 模 糊 性 数 学 发 展 的 主 流 是 在 它 的 应 用 方 面, 其 中 模 糊 语 言 模 型 实 现 了 人 类 语 言 的 数 学
(2) / : self-education awareness / VS McKinsey graduate from McKinsey McKinsey Ph.D human capital (1) /
self-education awareness (1) self-education awareness 10 : ; / : (2) / : self-education awareness / VS McKinsey graduate from McKinsey McKinsey Ph.D human capital (1) / Educational Plan and Resume-oriented
研習會場海報底圖
98 年 教 育 部 閱 讀 推 廣 與 館 藏 充 實 補 助 專 案 計 畫 閱 讀 起 步 走 : 0 3 歲 嬰 幼 兒 閱 讀 推 廣 活 動 規 劃 研 習 手 冊 主 辦 單 位 : 中 央 圖 書 館 臺 灣 分 館 指 導 單 位 : 教 育 部 研 習 日 期 : 2009.6.23/ 北 區 2009.6.25/ 中 區 2009.6.30/ 南 區 98 年 教 育 部 閱
國立中山大學學位典藏
Schoenfeld Sternberg Krutetskii I II An analysis of Mathematics Problem-solving Processes of Gifted Primary School Children with General Intelligent Ability Huang Chia-Chieh Institute of Education National
2011年南臺灣教育論壇
2013 年 南 臺 灣 教 育 學 術 研 討 會 十 二 年 國 教 國 中 數 學 科 有 效 教 學 策 略 探 討 - 國 中 數 學 探 究 教 學 經 驗 分 享 研 究 者 : 高 雄 市 梓 官 國 中 林 雅 雯 高 應 大 電 子 工 程 系 江 柏 叡 副 教 授 蘭 陽 技 術 學 院 數 位 生 活 創 意 系 助 理 教 授 鍾 明 仁 發 表 日 期 :102 年 7
2005 3,? :; ;, ;,,,,,,1 % %,,,,, 1 %,,,, : () ;, ;,,,,,,,,,,,,, (2004) ( GBΠT ) 16 (2004), (2004) 47
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清代賦格著作《賦學指南》考論
2002 10 97-130 Exploration and Analysis of the Idea of Senses in Pre-Qin Confucianism and Daoism Chen Chang-Min National Cheng Kung University Abstract This essay explores mainly the idea of senses in
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教 育 曙 光 學 報 中 文 論 文 的 分 析 及 主 題 索 引 胡 飄 賀 國 強 香 港 浸 會 大 學 自 一 九 六 一 至 二 零 零 三 的 四 十 三 年 間, 教 育 曙 光 學 報 出 版 四 十 七 期 共 刊 登 七 百 篇 論 文, 本 文 將 其 間 以 中 文 發 表 的 三 百 零 六 篇 論 文 按 關 鍵 字 及 主 題 方 法 編 成 索 引 檢 定 本 索
Microsoft Word - EAI Working Paper 中国在东南亚外交 _Dr Sheng Lijun_.doc
中 国 在 东 南 亚 外 交 : 用 势 与 用 力 盛 力 军 东 亚 论 文 第 71 期 ISSN 0219-1415 ISBN 978-981-08-3505-7 版 权 所 有 未 经 同 意 不 得 转 载 出 版 日 期 :2009 年 6 月 17 日 中 国 在 东 南 亚 外 交 : 用 势 与 用 力 * 盛 力 军 国 际 关 系 中 排 座 次 历 来 以 硬 实 力 论
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第 十 三 章 多 元 智 能 與 問 題 解 決 小 團 體 活 動 方 案 273 以 彰 化 縣 大 城 鄉 西 港 國 民 小 學 為 例 第 十 三 章 多 元 智 能 與 問 題 解 決 小 團 體 活 動 方 案 以 彰 化 縣 大 城 鄉 西 港 國 民 小 學 為 例 陳 美 惠 / 彰 化 縣 西 港 國 小 附 設 幼 稚 園 教 師 壹 前 言 依 據 內 政 部 戶 政 司
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國 立 屏 北 高 級 中 學 101 學 年 度 第 2 學 期 第 2 次 校 務 會 議 紀 錄 壹 會 議 名 稱 :101 學 年 度 第 2 學 期 第 2 次 校 務 會 議 貳 時 間 :102 年 6 月 28 日 ( 星 期 五 ) 下 午 13 時 10 分 參 地 點 : 本 校 圖 書 館 四 樓 視 聽 會 議 室 肆 出 列 席 人 員 : 詳 如 簽 到 簿 伍 主
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Microsoft Word - 期末結案報告20130104
元 培 科 技 大 學 資 訊 工 程 系 101 學 年 度 專 題 結 案 報 告 守 塔 遊 戲 設 計 姓 名 : 李 宏 志 陳 文 鴻 何 侑 諺 張 承 恩 指 導 老 師 : 鄭 瑞 恒 教 授 中 華 民 國 101 年 12 月 守 塔 遊 戲 設 計 Tower Defense Game Design 學 生 : 李 宏 志 Student:Hong-Zhi Li 學 生 :
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黃 庭 堅 遷 謫 時 期 的 戲 作 詩 鍾 美 玲 高 苑 科 技 大 學 通 識 教 育 中 心 摘 要 受 北 宋 新 舊 黨 爭 的 影 響, 黃 庭 堅 於 紹 聖 元 年 責 授 涪 州 別 駕 黔 州 安 置, 從 此 展 開 一 連 串 遷 謫 的 命 運, 最 後 卒 於 遷 謫 地 宜 州 考 察 其 遷 謫 時 期 的 詩 歌, 有 許 多 以 戲 字 為 題 的 作 品,
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2 目錄 5A 5A 5A 5A 高慧冰 譚雅樂 余雅瑩 周子慧 劇本... P.4-P.5 奔跑人生... P.6 唐老師... P.7 唐老師... P.8 5B 5B 5B 5B 5B 5B 徐子盈 呂惠雅 黃智昭 熊雪瑩 鍾詠晴 吳博倫 敬愛的人... P.9 偶像... P.10 冬天... P.11 春夏秋冬... P.12 唐老師... P.13 安南讓決策從此變得簡單... P.14
第十号 上市公司关联交易公告
证 券 代 码 :600696 证 券 简 称 : 匹 凸 匹 编 号 : 临 2016-113 匹 凸 匹 金 融 信 息 服 务 ( 上 海 ) 股 份 有 限 公 司 关 于 出 售 匹 凸 匹 金 融 信 息 服 务 ( 深 圳 ) 有 限 公 司 100% 股 权 暨 关 联 交 易 的 公 告 本 公 司 董 事 会 及 全 体 董 事 保 证 本 公 告 不 存 在 任 何 虚 假 记
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2014 年 全 港 春 華 杯 普 通 話 朗 誦 及 拼 音 认 读 大 賽 朗 誦 誦 材 幼 稚 園 K1- 散 文 組 娃 娃 的 夢 花 兒 的 夢, 是 紅 的, 小 樹 的 夢, 是 綠 的, 露 珠 的 夢, 是 圓 的, 娃 娃 的 夢, 是 甜 的 幼 稚 園 K1- 兒 歌 組 小 白 兔 小 白 兔, 白 又 白, 兩 隻 耳 朵 豎 起 來, 愛 吃 蘿 蔔 和 青 菜,
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公 共 话 语 的 逻 辑 与 说 理 : 中 国 不 高 兴 的 教 训 1 徐 贲 ( 美 国 加 州 圣 玛 丽 学 院 ) 内 容 摘 要 : 我 曾 经 指 出 过 中 国 不 高 兴 一 书 的 一 些 逻 辑 谬 误 和 非 理 性 话 语 特 征, 引 起 了 一 些 读 者 的 积 极 反 馈, 因 此 想 进 一 步 谈 谈 公 共 话 语 理 性 的 环 境 和 逻 辑 首 先,
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教 育 工 作 的 自 我 反 思 及 如 何 介 入 改 變 的 思 考 馮 穎 詩 我 每 天 的 教 學 在 造 就 甚 麼? 因 為 我 是 中 學 教 師, 第 一 課 便 被 用 作 例 子, 問 及 教 學 的 目 標, 於 是 我 回 應 了 一 些 堂 皇 的 答 案, 如 幫 助 學 生 發 現 自 己 的 潛 能, 和 了 解 自 己 與 社 會 的 關 係 等 那 些 確 實
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永遠的革新號－－側論《筆匯》遺漏在文學史上的密碼
屏 東 教 育 大 學 學 報 - 人 文 社 會 類 第 四 十 期 2013 年 3 月 頁 61-88 永 遠 的 革 新 號 側 論 筆 匯 遺 漏 在 文 學 史 上 的 密 碼 及 其 重 要 性 陳 明 成 摘 要 由 於 歷 來 有 關 文 學 雜 誌 與 現 代 文 學 的 研 究 成 果 已 呈 豐 碩, 相 形 之 下, 對 於 栽 種 在 兩 者 之 中 的 革 新 號 筆
女性健美保健（中）.doc
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80 專 題 : 大 學 理 念 與 通 識 教 育 後, 歐 洲 大 學 便 明 確 以 人 文 學 科 主 要 是 古 希 臘 語 和 拉 丁 語, 以 及 用 這 兩 種 文 字 撰 寫 的 文 史 哲 藝 等 經 典 著 作 作 為 自 由 教 育 的 主 要 內 容 1828 年 耶 魯
中 國 大 學 通 識 教 育 : 理 念 與 現 實 曹 莉 * 清 華 大 學 本 文 以 清 華 大 學 為 主 要 實 例, 試 圖 回 顧 和 梳 理 中 國 大 學 通 識 教 育 的 發 展 歷 程, 闡 述 在 不 同 歷 史 階 段 所 發 展 的 理 論 基 礎 和 現 實 訴 求, 並 結 合 國 外 大 學 通 識 教 育 經 驗 中 可 借 鑒 的 元 素, 指 出 在 當
( CIP ) ( )/ :, ISBN C53 ( ) ( ) : : : : : : : (027) : : : : / 32 : : 3 : : : 20
( CIP ) ( )/ :, 1998 2 ISBN 7 5609 1678 3 C53 ( ) ( ) : : : : : :430074 : (027) 87545012 : : : : 850 1168 1/ 32 : 14.125 : 3 : 358 000 : 1998 2 1 : 2000 9 7 : 47 301 53 000 ISBN 7 5609 1678 3/ C 37 : 16.80
大家好
美 国 高 中 课 程 选 课 Betty 2015 年 3 月 8 日 宾 夕 法 尼 亚 大 学 面 试 官, 美 国 大 学 招 生 和 顾 问 协 会 (National Association for College Admission Counseling, NACAC) 专 业 顾 问, 藤 思 国 际 教 育 咨 询 公 司 创 始 人 网 站 :www.ivymind.org; 邮
減災扶貧計劃
福 幼 基 金 會 2015 2016 年 度 項 目 工 作 簡 報 2015 年, 各 專 案 在 有 關 合 作 單 位 的 配 合 下 如 期 完 成 同 時, 第 七 屆 棟 樑 班 在 甘 肅 會 寧 縣 開 辦 ; 第 十 二 屆 雨 林 班 在 甘 肅 會 寧 縣 開 班 在 專 案 執 行 中, 我 們 繼 續 按 照 既 定 的 管 理 流 程, 加 強 專 案 各 環 節 的
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The Study of the Standards for Assessing Golf Courses in Taiwan NSC89-2413-H-003-080 89 8 1 90 7 31 1. 2. 3. ( ) 4. ( ) ( ) ) 82 Babbie(1990) (Reliability) (Validity) Cronbach alpha Cronbach alpha 0.95
第三章 国内外小组合作学习的应用情况
摘 要 论 文 题 目 : 小 组 合 作 学 习 在 上 海 高 中 信 息 科 技 教 学 中 的 应 用 专 业 : 现 代 教 育 技 术 学 位 申 请 人 : 朱 翠 凤 指 导 教 师 : 孟 琦 摘 要 小 组 合 作 学 习 是 目 前 世 界 上 许 多 国 家 普 遍 采 用 的 一 种 富 有 创 意 的 教 学 理 论 与 策 略, 其 在 培 养 学 生 的 合 作 精
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Alan Turing 1912 6 23 1931-1934 1932-1935 1935 Smith 23 1936 1936-1938 1938-1939 1940-1942 U- Alan Turing 1943-1945 1945, 1946 OBE 1947-1948 1948 1949 1950 Alan Turing 1951 39 1952 1953-1954 1954 6 7 42
國立中山大學學位論文典藏.PDF
I II III IV V VI In recent years, the Taiwan s TV talk shows about the political topic have a bias in favour of party. In Taiwan, there are two property of party, one is called Blue property of party,
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( ) [ ] ( 1886 1970 ) ( CIP) /. :, 2006. 5 ISBN 7-80135 - 741-8......... - -. 211 CIP ( 2005) 131430 [ ] 2006 5 1 1 : 1 /32 : 195 : 5066 ISBN 7-80135 - 741-8 : 526. 00 ( 26. 30 ) ( ADD: 10 ) P. C. : 100024
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2012 4 234 THE NORTHERN FORUM No. 4 2012 Total No. 234 999078 I206 A 1000-3541 2012 04-0001 - 15 1 p. 2482 2 p. 48 3 p. 1306 2012-05 - 18 1 10 p. 1008 4 p. 544 5 p. 280 11 p. 1339 6 p. 897 11 p. 731 7
課務組第三次行政會議資料：
1. Healthy Life Healthy y 2. Healthy Promotion Healthy y 92-2 1 92-2 2 92-2 3 92 2 115 1197 543 92-2 4 1. 2. 3. 4. 5. ( ) ( ) ( ) 6. ( ) 7. 8. 92-2 5 93 (. 2 2 Let's talk in Italian () ) (. 2 2 Let's talk
David Faure
300350 2009 2014 K24 K25 A 1005-605X 2016 01-0150- 19 A Summary Study on the Clan of the Ming and Qing Dynasties in Recent Years CHANG Jian - hua Center for Chinese Social History Studies Nankai University
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A BRIEF TALK ON AMERICAN CULTURAL VALUES: REFLECTED ON THE MOVIE THE PURSUIT OF HAPPINESS 浅 谈 美 国 的 文 化 价 值 观 : 以 当 幸 福 来 敲 门 为 例 Temmy( 陈 德 铭 ) Chinese Department, Faculty of Language and Culture, Bina
年報封面封底
一 本 公 司 發 言 人 姓 名 : 許 妙 靜 職 稱 : 資 深 副 總 經 理 電 話 :(02)87588888 E-MAIL:NS-IR@nanshan.com.tw 代 理 發 言 人 姓 名 : 楊 淑 娟 職 稱 : 副 總 經 理 電 話 :(02)87588888 E-MAIL:NS-IR@nanshan.com.tw 二 總 公 司 暨 分 公 司 地 址 及 電 話 1 總