極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 從幾何觀點討論微分

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1 微 分 2

2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極 限 微分與積分 而本章所討論 的函數極限與連續性 是建立微 積分的根本原理 圖片來源 達志影像 97 97

3 -1 極 限 的 概 念 * -1 極 限 的 概 念 -1.1 函 數 定 義 域 值 域 例 如 : 1f ( x )x 2 x2 R 2f ( x ) 1 x 2 x2 0 {xx1,2xjr} f ( x )al2xx 2 2xx 2 0 x 2 x2 0 1 x 2 {x1 x 2xjR} 98

4 微 分 1 4f ( x ) al2xx 2 0 2xx 2 0 {x1x2xjr} 區 間 ab ab 1 閉 區 間 [ a,b ]{xa x b} 2 開 區 間 ( a,b ){xaxb} 半 開 區 間 半 閉 區 間 [ a,b ){xa xb} ( a,b ]{xax b} 正 無 限 大 10 負 無 限 大 (,0 ) [ a, ){xa x}( a, ){xax} (,a ]{xx a} (,a ){xxa} R(, ){xx} 1 1{x x 7}2{x0x10}{xx } 1{x x 7}[,7 ] 2{x0x10}( 0,10 ) {xx }{x x}[, ) 99

5 -1 極 限 的 概 念 f ( x )log x 2 f ( x ) x2 1 x1 x2 1 x1 0 x1 f ( x ) {xx1xjr} f ( x ) x2 1 x1 f ( x )x1 x1 f ( x ) x2 1 x1 100

6 微 分 f ( x )x x f ( x )x f ( x ) R (, ) f ( x )x! # % x x 0 x x0 1 x 0 f ( x )x 1 y 2 x0 f ( x )x 1 y 12 f ( x )x f ( x )x 101

7 -1 極 限 的 概 念 4 f ( x ) x x x x 0 x0 f ( x ) {xx0xjr} 1 x0 f ( x ) x x 1 y 2 x0 f ( x ) x x 1 y 12 f ( x ) x x f ( x ) x2 x2 102

8 微 分 合 成 函 數 f ( x )x 2 x a f ( a )a 2 a g ( x )x1 f ( g ( x ) )[ g ( x )] 2 g ( x ) x1 f ( g ( x ) )[ g ( x )] 2 ( x1 ) 2 g ( x ) f ( x ) f ( g ( x ) ) f ( x ) g ( x ) fg ( fg ) ( x )f ( g ( x ) ) g ( x )x1f ( x )x 2 g ( f ( x ) ) g ( x 2 )x 2 1( x1 ) 2 f ( g ( x ) ) ( fg ) ( x )( gf ) ( x ) 5 f ( x )x 2 4g ( x )2x ( fg ) ( x ) ( gf ) ( x ) f ( x ) g ( x ) R g ( x ) f ( x ) f ( x ) g ( x ) fg gf ( fg ) ( x ) f ( g ( x ) )f ( 2x ) ( 2x ) 2 44x 2 12x1 10

9 -1 極 限 的 概 念 ( gf ) ( x ) g ( f ( x ) )g ( x 2 4 ) fggf 2 ( x 2 4 )2x 2 11 f ( x )x 2 x1g ( x )x 2 ( fg ) ( x ) ( gf ) ( x ) -1.2 函 數 的 極 限 f ( x )x1 x 2 f ( x ) x 趨 近 f ( x ) 趨 近 x g ( x ) x2 4 x2 x 2 x2 g ( x ) x 趨 近 g ( x ) 趨 近 x x 2 2 g ( x ) 0 x2 g ( x )x

10 微 分 圖 -1 圖 -2 f ( x ) x a xa f ( x ) L x axa f ( x ) L x a f ( x ) L lim x a f ( x )L 1 lim ( x x1 )2 2 4 lim x 2 x 2 x f ( x ) 1 lim x 1 f ( x )2 lim x 1 f ( x ) 1 f ( x ) x1 f ( 1 ) x 105

11 -1 極 限 的 概 念 1 x 1 1 f ( x ) 1 lim x 1 f ( x )1 2 f ( x ) x1 f ( 1 )2 x 1 x 1 1 f ( x ) f ( 1 )2 lim f ( x )2f ( 1 ) x 1 f ( x ) 1 lim f ( x )2 lim f ( x ) x 0 x 1 lim x 1 ( x1 )2 x 1 x1 2 2 f ( x )x1 x x1 x 2 4 lim x 2 x2 4 x2 x 2 4 x2 0 0 lim f ( x ) x a xa f ( x ) 106

12 微 分 lim f ( x ) f ( x ) x a 1 xa f ( x ) 0 f ( a ) lim x a f ( x )f ( a ) 2 xa f ( x ) 0 0 f ( x ) xa x a xa f ( x ) xa0 xa xa 0 f ( x ) g ( x ) h ( x ) g ( a )0h ( a )0 0 lim x a f ( x ) ( x ) 2 xa lim x 2 xa x1 x 1 x a0 a2 7 f ( x )x 2 x1 lim x f ( x ) f ( x )x 2 x1 x 0 0 f ( ) lim x f ( x )f ( ) 2 17 f ( x )x 2x 2 4x5 lim x 1 f ( x ) 107

13 -1 極 限 的 概 念 8 f ( x ) x2 x2 x1 1 lim x 2 f ( x )2 lim x 1 f ( x ) 1 x2 x1 0 x2 f ( x ) lim f ( x ) lim x 2 x 2 x 2 x2 x x1 x1 0 x1 f ( x ) x 1 x1 x1 x 2 x2 x1 ( x2 )( x1 ) x1 x2 lim x 1 x 2 x2 x1 lim x 1 ( x2 ) 12 f ( x ) x2 1 x1 1 lim f ( x )2 lim f ( x ) x x 1 108

14 微 分 9 f ( x ) x9 ax 1 lim x 4 f ( x )2 lim x 9 f ( x ) 1 x4 ax 0 x4 f ( x ) lim f x9 ( x ) lim x 4 x 4 ax 49 a4 5 2 x9 ax 0 x9 f ( x ) x 9 x9 x9 x9 ax ( x9 )( ax ) ( ax )( ax ) ( x9 )( ax ) x9 ax lim x 9 f ( x ) lim x 9 x9 ax lim x 9 ( ax ) a9 6 lim x 4 ax 2 x4 109

15 -1 極 限 的 概 念 lim x a f ( x )L lim x a g ( x )M 1 lim x a ccc 2 lim x a cf ( x )c lim x a f ( x )clc lim x a ( f ( x )g ( x ) ) lim x a f ( x ) lim x a g ( x )LM 4 lim x a ( f ( x ) g ( x ) ) lim x a f ( x ) lim x a g ( x )LM 5 lim x a f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) x a lim g ( x ) L M M0 x a 10 1 lim ( x 2 7x )2 lim ( x4 ) 2 lim x 2 x 2 x 1 lim ( x 2 7x ) lim x 2 7 lim x x 2 x 2 x lim x 2 ( x4 ) 2 ( lim x 2 x4 ) 2 lim x ( 24 ) x 2 2x1 6x7 lim ( 5x 2 2x1 ) x ( 6x7 ) lim x x 2 2x1 6x7 110

16 微 分 1 lim x 1 ( 5x ) 2 2 lim x 1 7x 2x 2 1 6x4 11 lim x 1 ( 1x 2x x2 ) 1x lim 2x x2 ) x 1 ( lim x x 2x 2 1 lim x 1 4 x2 1 (1 ) lim x 1 ( 5x4 x 2 x1 x2 ) 111

17 -1 極 限 的 概 念 12 lim x ( lim x 2x10 x 2 2x x2 x ) 2x10 x 2 2x lim x lim x ( 2x10 x 2 2x x2 x ) 2x10( x1 ) ( x2 ) lim x ( x ) ( x1 ) lim x lim x x 2 x12 ( x ) ( x1 ) x4 x1 7 4 x2 x 2x10 x 2 2x x2 x lim x 2 ( 1 x2 2x x 2 4 ) 112

18 微 分 -1. 左 極 限 與 右 極 限 lim x a f ( x ) f ( x ) x xa xa x a f ( x ) xa xa xa x a f ( x ) L L f ( x ) a 右 極 限 lim x a f ( x )L xa x a f ( x ) M M f ( x ) a 左 極 限 lim x a f ( x )M 1 lim x a f ( x ) lim x a f ( x )Ll lim x a f ( x )L 2 lim x a f ( x ) lim x a f ( x ) lim x a f ( x ) 例 如 : f ( x )x - lim f ( x )0 lim f ( x )0 x 0 x 0 x 0 0 f ( x ) 0 lim x 0 f ( x )0 圖 - 11

19 -1 極 限 的 概 念 1 f ( x ) x x0 lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) x x 0 x 0 x 0 f ( x ) x x x0 x 0 f ( x ) 1 lim x 0 f ( x )1 x0 x 0 f ( x ) 1 lim x 0 f ( x )1 x 0 0 f ( x ) lim x 0 f ( x ) lim x 0 f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) x x 1 lim f ( x )2 lim f ( x ) lim f ( x ) x x 2 x

20 微 分 14 f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) x 1 x 1 x 1 x1 x 1 f ( x ) 2 lim x 1 f ( x )2 x1 x 1 f ( x ) 1 lim x 1 f ( x )1 lim x 1 f ( x ) lim x 1 f ( x ) lim x 1 f ( x ) f ( 1 )1 f ( x )! # % x 2 2 x 1 lim x 1 f ( x ) 4x1 x1 x1 115

21 -1 極 限 的 概 念 -1.4 函 數 的 連 續 性 lim x a f ( x ) f ( a ) f ( x ) f ( x ) xa 1f ( a ) 2 lim x a f ( x ) lim x a f ( x )f ( a ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) [ a,b ] f ( x ) xa xb f ( x ) [ a,b ] xa xb lim f ( x ) lim ( x ) x a x b f ( a )f ( b ) lim g ( x ) f ( x ) x x a lim f ( g ( x ) )f x a ( lim g ( x ) x a ) 例 如 :f ( x ) 1 x g ( x )x 2 1 lim x 1 g ( x )112 f ( x ) x2 f ( x ) g ( x ) f ( g ( x ) )f ( x 2 1 ) 1 x 2 1 lim f ( g ( x ) ) lim f ( x ) lim x 1 x 1 x 1 x f ( lim g ( x ) x 1 ) f ( 2 ) 1 lim 2 f ( g ( x ) )f x 1 ( lim x 1 g ( x ) ) 116

22 微 分 15 f ( x ) 1 x x0 x0 f ( x ) 1 x f ( 0 ) f ( x ) x0 f ( x ) x4 x4 x4 16! 1 $ f ( x ) # x2 x2 f ( x ) x2 $ % x2 1f ( 2 ) 2 lim x 2 f ( x ) lim x 2 1 x2 f ( x ) x2! $ f ( x )# x5 x5 f ( x ) x5 $ % 2 x5 117

23 -1 極 限 的 概 念 17 f ( x )! $ # $ % 1f ( 1 )8 x 2 1 x1 x1 f ( x ) x1 8 x1 2 lim x 1 f ( x ) lim x 1 lim x 1 f ( x )f ( 1 ) f ( x ) x1 x 2 1 x1 lim ( x1 )2 x 1! $ x 2 2x15 x5 f ( x )# x5 f ( x ) x5 $ % x5 18 f ( x )! x 2 1 x 1 # % ax x1 a f (x) f (x) x1 lim x 1 f (x) lim x 1 f (x)f (1) lim x 1 f (x) lim x 1 (x 2 1)2 lim x 1 f (x) lim x 1 (ax)a lim x 1 f (x) lim x 1 f (x) lim x 1 f (x) 2a a5 118

24 微 分! $ x 2 4 x2 f ( x )# x2 $ % a x2 a f ( x ) x2 f ( x )a n x n a n1 x n1 a 1 xa 0 sin xcos x a x a0a1 (, ) log a xa0a1 ( 0, ) 連 續 函 數 ( ) f ( x )! # % x5x 0 x 2 kx0 lim x 0 (x 2 k) lim x 0 (x5) f ( 0 )5 k5 119

25 -1 極 限 的 概 念 -1 一 基 礎 型 1 lim x 4 alx 2 5x42 lim x 7 15a 4 lim x 2 5 lim x ( x.1416 ) 6 lim 7 lim x 8 x x 9 lim x al( x ) 2 x q lim x 0 x alx lim x 2 alx4 4x1 x 4 x 2 x2 ( x2 ) 2 x sin x lim x x x lim x 16 w lim x 2 x16 ax 4 x x 2 5x6 x 2 x2 1 f ( x )log ( x )2f ( x ) x1 x 2 4x 二 研 究 型 lim x 2 f ( x ) 1 f ( x )! x x 2 # % x 2 x2 2 f ( x )! x x 2 # % 42x x2! x $ x5 x 2 8x15 $ f ( x ) # $ 1 x 2 $ % 2 x5 f ( x ) x x5 120

26 微 分 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 -2.1 導 數 的 定 義 ( 5050 ) 平 均 速 率 / 51 4 f ( 5 )f ( 4 ) 54 50f ( 4 ) 54 f ( t ) t f ( 5 )f ( 4.5 ) f ( 4.5 ) 54.5 f ( 5 )f ( ) 50f ( ) f ( 5 )f ( t ) f ( t )f ( 5 ) lim lim t 5 5t t 5 t5 1 f ( b )f ( a ) f ( x ) [ a,b ] 平 均 變 化 率 ba f ( b )f ( a ) 2 lim f ( x ) a 瞬 時 變 化 率 ba ba 121

27 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 f ( x )f ( a ) a f ( x ) lim x a xa f ( x )f ( a ) lim f ( x ) xa 導 數 f ' ( a ) x a xa f ( x )f ( a ) f ' ( a ) lim x a xa 1 f ( x )x 2 1x 1 f ( x ) 2f ( x ) x1 1x 1 f ( x ) f ( )f ( 1 ) ( 2 )( 1 2 ) f ( x ) x1 f ' ( 1 ) f ( x )f ( 1 ) f ' ( 1 ) lim x 1 x1 x 2 1 lim x 1 x1 lim x 1 lim x 1 ( x 2 )( 1 2 ) x1 ( x1 )2 f ( x )x 1x 1 4 f ( x ) 2f ( x ) x4 f ( x )f ( a ) f ' ( a ) lim xah xah x a xa x a h 0 f ( x ) xa f ( ah )f ( a ) f ' ( a ) lim h 0 h 122

28 微 分 2 f ( x )x 2 x1 x f ' ( ) f ( h )f ( ) f ' ( ) lim h 0 h ( h ) 2 ( h )1( 2 1 ) lim h 0 h h 2 5h lim lim ( h5 )5 h 0 h h 0 h 0 f ( x )1x x1-2.2 導 數 的 意 義 幾 何 意 義 A ( a, f ( a ) ) yf ( x ) B ( x, f ( x ) ) AB x a f ( x ) f ( x )f ( a ) xa 圖 -4 12

29 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 AB -4 A B A B A x a xa 0 f ( x )f ( a ) f ' ( a ) lim x a xa x a AB f ( x )f ( a ) xa f ' ( a ) A f ' ( a ) yf ( x ) xa f ' ( a ) yf ( x ) ( a, f ( a ) ) yf ( x ) ( a, f ( a ) ) yf ( a )f ' ( a )( xa ) f ( x )x 2 yf ( x ) x2 ( 2, f ( 2 ) )( 2,4 ) f ( x )x 2 x2 f ' ( 2 ) f ' ( 2 ) lim x 2 x x2 4 yf ( 2 )f ' ( 2 )( x2 ) y44 ( x2 ) 4xy4 f ( x )1x 2 1f ' ( 4 )2 yf ( x ) x4 124

30 微 分 物 理 意 義 f ( t ) f ( t 2 )f ( t 1 ) t 2 t 1 t 1 t 2 f ( t )f ( a ) f ( t ) ta f ' ( a ) lim t a ta a v ( t ) v ( t 2 )v ( t 1 ) t 2 t 1 t 1 t 2 v ( t )v ( a ) v ( t ) ta v' ( a ) lim t a ta a 4 f ( t )7t 2 f ' ( ) f ( t )f ( ) f ' ( ) lim t t 7t lim t t lim t 7 ( t )42 v ( t )2t 125

31 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 -2. 導 函 數 f ( x ) a f ( x ) f ' ( a ) a 對 應 於 f ' ( a ) f ' ( x ) f ' ( x ) f ( x ) 導 函 數 f ( x ) 可 微 分 函 數 yf ( x ) y'f ' ( x ) dy dx df ( x ) dx d dx f ( x ) 5 f ( x )x 2 x15 f ' ( x ) d dx ( x 2 x15 ) lim h 0 f ( xh )f ( x ) h ( xh ) 2 ( xh )15( x 2 x15 ) lim h 0 h 2xhh 2 h lim h 0 h lim ( 2xh ) h 0 2x f ( x )1xx 2 126

32 微 分 可 微 分 的 函 數 必 定 是 連 續 說 明 : f ( x ) xa lim x a f ( x )f ( a ) xa lim x a ( f ( x )f ( a ) ) lim f ' ( a ) f ( x )f ( a ) xa f ( x )f ( a ) x a x a [ lim xa f ' ( a )( aa )0 lim x a f ( x )f ( a ) f ( x ) xa ( xa ) ] lim x a ( xa ) 連 續 函 數 不 一 定 可 微 分 說 明 : f ( x )x f ( x ) x0 f ( x )f ( 0 ) f ' ( 0 ) lim x 0 x0 lim x x 0 x 1 lim x lim x x 0 x f ( x ) x0 x 1 x 0 x lim x 0 x f ( x )x x0 x0 f ( x )x x0 x0 127

33 -2 多 項 函 數 的 導 數 與 導 函 數 一 基 礎 型 -2 f ( x )x 2 x2 1 x1 x2 f ( x ) 2 f ( x ) x1 f ( x )x 2 x2 lim h 0 f ( 1h )f ( 1 ) h f ( x )( x2 ) 2 lim h 0 f ( 2h )f ( 2 ) 2h P f ( t )t 2 1 t1 tp 2 t1 P t P 二 研 究 型 f ( x )x 2 x1 yf ( x ) x2 f ( x )x yf ( x ) x1 128

34 微 分 - 微 分 公 式 -.1 微 分 公 式 微 分 公 式 f ( x )x n f ' ( x )nx n1 n 說 明 : ( xh ) n x n nx n1 hc 2 n x n2 h 2 C n x n h nxh n1 h n f ( xh )f ( x ) f ' ( x ) lim h 0 h x n nx n1 hc n lim 2 x n2 h 2 nxh n1 h n x n h 0 h lim ( nx n1 n n2 n2 C2 x hnxh h n1 ) h 0 nx n1 f ' ( x )nx n1 f ( x )x n n 129

35 - 微 分 公 式 1 f ' ( x ) 1f ( x )x 2f ( x ) 1 x f ( x )ax 1f ' ( x )x 1 x 2 2f ( x ) 1 x x f ' ( x )x 1 x 4 1 f ( x )ax x 2 f ' ( x ) x x 1 2ax x 4 f ' ( x ) 1f ( x )x 2f ( x ) 1 x f ( x )xax ( x ) ' = x -1 f ( x ) g ( x ) 可 微 分 函 數 f ( x )k f ' ( x )0k 說 明 :f ' ( x ) lim h 0 f ( xh )f ( x ) h lim h 0 kk h 0 10 F ( x )kf ( x ) F ' ( x )kf ' ( x )k 說 明 :F ' ( x ) lim h 0 F ( xh )F ( x ) h k lim h 0 f ( xh )f ( x ) h lim h 0 kf ( xh )kf ( x ) h kf ' ( x )

36 微 分 F ( x )f ( x )g ( x ) F ' ( x )f ' ( x )g' ( x ) 說 明 :F ' ( x ) lim h 0 F ( xh )F ( x ) h [ f ( xh )g ( xh ) ][ f ( x )g ( x ) ] lim h 0 h f ( xh )f ( x ) g ( xh )g ( x ) lim lim h 0 h h 0 h f ' ( x )g' ( x ) F ( x )f ( x )g ( x ) F ' ( x )f ' ( x )g' ( x ) 說 明 : 2 f ( x )4x 6x 2 7x5 f ' ( x ) f ' ( x ) 4x 1 62x x 2 12x7 f ( x )( 2x5 ) 2 f ' ( x ) 1 ( k )'=0(k 為 常 數 ) 2 ( x )'= x -1 ( + )'= '+ ' F ( x )f ( x ) g ( x ) F ' ( x )f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) 11

37 - 微 分 公 式 說 明 : F ( xh )F ( x ) f ( xh ) g ( xh )f ( x ) g ( x ) F ' ( x ) lim lim h 0 h h 0 h lim h 0 f ( xh ) g ( xh )f ( x ) g ( xh )f ( x ) g ( xh )f ( x ) g ( x ) h lim h 0 [ f ( xh )f ( x ) ] g ( xh )f ( x ) [ g ( xh )g ( x ) ] h f ( xh )f ( x ) lim lim g ( xh ) h 0 h h 0 lim h 0 f ( x ) lim h 0 g ( xh )g ( x ) h lim h 0 g ( xh )g ( x ) f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) y( x 2 x4 ) ( 5x7 ) dy dx dy dx d dx [ ( x2 x4 ) ( 5x7 ) ] [ d dx ( x2 x4 ) ] ( 5x7 )( x 2 x4 ) [ d dx ( 5x7 ) ] ( 2x1 )( 5x7 )( x 2 x4 )5 15x 2 24x27 y y ( x 2 x4 )( 5x7 ) 5x 12x 2 27x28 dy dx 15x2 24x27 ( )'= ' + ' y( 7x8 ) ( 2x ) dy dx 12

38 微 分 F ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x )0 F ' ( x ) f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) [ g ( x ) ] 2 說 明 :F ' ( x ) lim h 0 F ( xh )F ( x ) h lim h 0 lim h 0 g ( x ) f ( xh )f ( x ) g ( xh ) hg ( xh ) g ( x ) f ( xh ) g ( xh ) f ( x ) g ( x ) h g ( x ) f ( xh )g ( x ) f ( x )g ( x ) f ( x )f ( x ) g ( xh ) lim h 0 hg ( xh ) g ( x ) f ( xh )f ( x ) g ( x ) [ lim h ]f ( x ) [ g ( xh )g ( x ) h ] h 0 g ( xh ) g ( x ) f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) [ g ( x ) ] 2 4 f ( x ) x2 2 2x1 f ' ( x ) f ' ( x ) [ d dx ( x 2 2 ) ] ( 2x1 )( x 2 2 ) [ ( 2x1 ) 2 ( 6x )( 2x1 )( x 2 2 )( 2 ) ( 2x1 ) 2 6x2 6x4 ( 2x1 ) 2 d dx ( 2x1 ) ] f ( x ) 4x5 1x f ' ( x ) ( ) ' ' ' = 2 ( ) f (x)t 4 f ' ( x )4t 1

39 - 微 分 公 式 -.2 連 鎖 規 則 連 鎖 規 則 F ( x )g ( f ( x ) ) f ' ( x )g' ( f ( x ) ) F ' ( x )g' ( f ( x ) )f ' ( x ) f ( xh )f ( x ) F ( xh )F ( x ) g ( f ( xh ) )g ( f ( x ) ) 說 明 :F ' ( x ) lim lim h 0 h h 0 h g ( f ( xh ) )g ( f ( x ) ) lim f ( xh )f ( x ) h 0 f ( xh )f ( x ) h g ( f ( xh ) )g ( f ( x ) ) f ( xh )f ( x ) lim lim h 0 f ( xh )f ( x ) h 0 h g' ( f ( x ) ) f ' ( x ) 5 y( x 2 x1 ) 4 y' f ( x )x 2 x1g ( x )x 4 ( gf ) ( x )g ( f ( x ) )g ( x 2 x1 )( x 2 x1 ) 4 yg ( f ( x ) ) f ' ( x )2x1g' ( x )4x y' g' ( f ( x ) ) f ' ( x )g' ( x 2 x1 ) ( 2x1 ) 4 ( x 2 x1 ) ( 2x1 ) y( 1x ) 5 y' 14

40 微 分 d dx ( x n )nx n1 n f ( x ) F ( x )( f ( x ) ) n F' ( x )n ( f ( x ) ) n1 f ' ( x ) 6 f ( x )( 2x 2 x5 ) f ' ( x ) f ' ( x ) ( 2x 2 x5 ) 1 d ( dx 2x2 x5 ) ( 2x 2 x5 ) 2 ( 4x ) f ( x )( 8x7x 2 ) 4 f ' ( x ) 7 f ( x )( 2x5 ) 6 1 f ' ( 2 )2 f ( x ) x2 1 f ' ( x )6 ( 2x5 ) 61 d dx ( 2x5 ) 6 ( 2x5 ) ( 2x5 ) 5 f ' ( 2 )12 ( 45 ) f (x) x2 yf ( 2 ) f ' ( 2 )( x2 ) 15

41 - 微 分 公 式 y112 ( x2 ) 12xy250 f ( x )( x1 ) 10 1 f ' ( 1 )2 f ( x ) x1 8 f ( x ) 1 x 2x 2 5x4 f ' ( x )0 x f ' ( x )x 2 4x5 f ' ( x )x 2 4x50 ( x5 ) ( x1 )0 x5 1 f ( x )x 2x 2 f ' ( x )0 x 16

42 微 分 -. 高 階 導 函 數 yf ( x ) f ' ( x ) f ( x ) d dx f ( x )y' dy dx f ' ( x ) ( f ' ( x ) )' f ( x ) f " ( x ) d 2 dx f ( x )y" d 2 y 2 dx 2 f " ( x ) ( f " ( x ) )' f ( x ) f "' ( x ) d dx f ( x )y"' d y dx f ( x ) n f ( n ) ( x ) d n dx f ( x )y ( n ) d n y n dx n 9 f ( x )x x 2 4x5 f ( 4 ) ( x ) f ' ( x )x 2 6x4 f " ( x )6x6 f "' ( x )6 f ( 4 ) ( x )0 f ( x )x 4 f ( n ) ( x )0 n 17

43 - 微 分 公 式 10 f ( x )( 2x1 ) 5 f " ( 1 ) f ' ( x )5 ( 2x1 ) 51 d dx ( 2x1 ) 5 ( 2x1 ) ( 2x1 ) 4 f " ( x )104 ( 2x1 ) 41 d dx ( 2x1 ) 40 ( 2x1 ) 280 ( 2x1 ) f " ( 1 )80 [ 2( 1 )1 ] 80 f ( x )( 12x ) 4 f "' ( 1 ) 18

44 微 分 - 一 基 礎 型 f ' ( x ) 1 f ( x )( x 1 ) ( x 2 x1 ) 2 f ( x )( 2x1 ) ( 4x5 ) ( 1x ) f ( x )( x 2 1 ) 4 4 f ( x ) 2x5 5x 1 f ( x )( x1 ) 4 2 f ( x )2x 5 x 4x7 f ( x )( 1x ) 10 f ( x )x x 2 9x1 f ' ( x )0 x 二 研 究 型 f ( x )x x 2 f " ( a )0 a f ( a ) f ( x )x 2x 2 7x5 1 f ' ( x ) 2 f ' ( ) f ( x ) x 19

45 -4 微 分 的 應 用 -4 微 分 的 應 用 -4.1 遞 增 函 數 與 遞 減 函 數 遞 增 函 數 f ( x ) x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x ) -5 圖 -5-5 f ( x ) mf ' ( x )0 0 遞 減 函 數 f ( x ) x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 140

46 微 分 f ( x ) -6 圖 -6-6 f ( x ) mf ' ( x )0 0-7 f ( x ) ( a,b )( c,d )( e,f ) f ( x ) ( a,b )( c,d )( e,f ) f ( x ) ( b,c )( d,e ) f ( x ) ( b,c )( d,e ) 圖 -7 f ( x ) f ' ( x ) 141

47 -4 微 分 的 應 用 f ( x ) ( a,b ) 1 xj( a,b )f ' ( x )0 f ( x ) ( a,b ) 2 xj( a,b )f ' ( x )0 f ( x ) ( a,b ) 說 明 :1 x 1 x 2 ( a,b ) ax 1 x 2 b f ' ( f ( x x 0 ) lim 0 h )f ( x 0 ) x h 0 h 0 j( x 1,x 2 ) f ' ( x 0 )0 1 h0 f ( x 0 h ) f ( x 0 )0 f ( x 0 h ) f ( x 0 ) x 0 hx 0 2 h0 f ( x 0 h ) f ( x 0 )0 f ( x 0 h ) f ( x 0 ) x 0 hx 0 x 1 x 2 ( a,b ) f ( x ) ( a,b ) 21 1 f ( x )x x 2 9x5 f ( x ) f ( x ) f ' ( x )x 2 6x9 1 f ' ( x )0x 2 6x90 ( x ) ( x1 )0 x x1 f ( x ) (, )( 1, ) 2 f ' ( x )0x 2 6x90 ( x ) ( x1 )0 142

48 微 分 x1 f ( x ) (,1 ) f ( x )xx -4.2 多 項 函 數 的 極 值 f ( x ) [a,b] -10 圖 -10 f ( x ) E ACE D f ( x ) ABC DE 最 大 值 ( 絕 對 極 大 值 ): f ( x ) x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) -10 E ( e, f ( e ) ) f ( e ) 14

49 -4 微 分 的 應 用 最 小 值 ( 絕 對 極 小 值 ): f ( x ) x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) -10 A ( a, f ( a ) ) f ( a ) 極 大 值 ( 相 對 極 大 值 ): f ( x ) x 0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) -10 CE f ( c )f ( e ) 極 小 值 ( 相 對 極 小 值 ): f ( x ) x 0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) -10 ADB f ( a )f ( d )f ( b ) 2 f ( x )2x 2 4x7 f ( x ) f ( x ) f ( x ) 144

50 微 分 f ( x ) 2 ( x 2 2x )7 2 ( x 2 2x11 )7 2 ( x1 ) 2 5 x1 f ( x ) 5 f ( x )x 2 6x4 f ( x ) xa f ' ( a ) 0 f ( x ) ( a, f ( a ) ) f ( a ) f ( x ) -11 x a f ' ( x ) f ( x ) f ( a ) 極 大 值 圖

51 -4 微 分 的 應 用 f ( x ) xa f ' ( a ) 0 f ( x ) ( a, f ( a ) ) f ( a ) f ( x ) -12 x a f ' ( x ) f ( x ) f ( a ) 極 小 值 圖 -12 ( a,f ( a ) ) f ( x ) ( a, f ( a ) ) 0 mf ' ( a )0-1 ABCD 圖 -1 f ( x ) xa f ' ( a )0 146

52 微 分 說 明 : f ( x ) xa f ' ( a ) f ( x )f ( a ) f ' ( a ) lim x a xa 1 f ( a ) f ( x ) xa x a f ( x ) f ( x ) f ( a ) f ( x )f ( a ) xa 0 f ' ( a ) lim f ( x )f ( a ) 0 x a xa xa x a f ( x ) f ( x ) f ( a ) f ( x )f ( a ) xa 0 f ' ( a ) lim f ( x )f ( a ) 0 x a xa f ' ( a )0 圖 -14 圖 f ( a ) f ( x ) f ' ( a )0 f ' ( a )0 f ( a ) 例 如 : f ( x )x f ' ( x )x 2 f ' ( 0 )0 x f ' ( x )x 2 0f ( x ) f ( 0 )0 ( ) 147

53 -4 微 分 的 應 用 f ( x )x x 2 9x1 f ( x ) f ' ( x )x 2 6x9 f ' ( x )0x 2 6x90 ( x1 ) ( x )0 x1 f ' ( x )0x 2 6x90 1x f ( x ) ( 1, ) f ' ( x )0x 2 6x90 x1 x f ( x ) (,1 )(, ) x -1 f ' ( x ) f ( x ) 6-26 f ( x ) f ( x ) x1 6 x 26 f ( x )x x1 148

54 微 分 f " ( x ) f ( x ) xa f ' ( a )0 f " ( a ) 1 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) 2 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) 說 明 : f ' ( a )0 f " ( a ) f " ( a ) lim x a f ' ( x )f ' ( a ) xa lim x a f ' ( x ) xa 1 f " ( a )0 f ' ( x ) xa 0 xa xa0f " ( a )0 f ' ( x )0 f ( x ) xa xa xa0f " ( a )0 f ' ( x )0 f ( x ) xa f ( x ) xa f ( a ) 2 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) 4 f ( x ) 1 x 2x 2 x4 f ( x ) f ' ( x )x 2 4xf " ( x )2x4 f ' ( x )0x 2 4x0 x1 x1 x f " ( x ) f " ( 1 )2420f " ( )6420 f ( x ) x1 f ( 1 ) 16 f ( x ) x f ( )4 149

55 -4 微 分 的 應 用 f ( x )x 12x1 f ( x ) [ a,b ] f ( x ) f ( a ) f ( b ) f ' ( x )0 f ( x ) [ a,b ] 5 f ( x )xx f ( x ) 0 x f ' ( x )x 2 f " ( x )6x f ' ( x )0x 2 0 x1 1 x1 0 x x1 0 x x0 x x1 f ( x ) f ( 0 )0f ( )18f ( 1 )2 f ( x ) x1 2 f ( x ) x 18 f ( x )2x 2 8x1 f ( x ) x 1 150

56 微 分 6 abc f ( x )x ax 2 bxc x1 5 x abc f ' ( x )x 2 2axb x1 x f ' ( x )x 2 2axb0! 1( ) 2a $ # $ 1( ) b % ab9 f ( x )x x 2 9xc f ( x ) x1 5 f ( 1 )19c5 c10 f ( x )x 6x 2 9xa f ( x ) a 151

57 -4 微 分 的 應 用 7 24 x 242x V ( x ) x ( 242x ) 2 4x 96x 2 576x V' ( x )12x 2 192x576 V" ( x )24x192 V' ( x )0 12x 2 192x5760 x4 x12 x12 0 x4 V" ( 4 ) V ( x ) x4 V ( 4 )

58 微 分 -4. 多 項 函 數 圖 形 的 描 繪 f ( x ) ( a,b ) c ( a,b ) ( c, f ( c ) ) f ( x ) L f " ( x ) f ( x ) ( a,b ) L 凹 口 向 上 -16 圖 -16 f ( x ) ( a,b ) L 凹 口 向 下 -17 圖

59 -4 微 分 的 應 用 f ( x ) ( a,b ) f ( x ) ( a,b ) acb f ( x ) ( c, f ( c ) ) P yf ( x ) ( c, f ( c ) ) P -18 圖 ( c, f ( c ) ) xc f ' ( x ) f ' ( x ) ( a,b ) f " ( x )0-19 f ( x ) ( c, f ( c ) ) ( c, f ( c ) ) xc f ' ( x ) 圖 -19 f ' ( x ) ( a,b ) f " ( x )0 154

60 微 分 f ( x ) ( a,b ) c ( a,b ) 1 f " ( c )0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) 2 f " ( c )0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) 8 f ( x )x f ' ( x ) f " ( x ) f ' ( x )x 2 f " ( x )6x 1 f " ( x )06x0 x0 f ( x ) (,0 ) 2 f " ( x )06x0 x0 f ( x ) ( 0, ) f ( x )x 2 8 f ( x )x x0 f ( x ) 反 曲 點 拐 點 ( c, f ( c ) ) f ( x ) xc f ( x ) f " ( x ) f " ( c ) 0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) f ( x ) f " ( c )0 155

61 -4 微 分 的 應 用 9 f ( x )x 6x 2 9x1 f ' ( x ) f " ( x ) f ' ( x )x 2 12x9 f " ( x )6x12 f ' ( x )0x 2 12x90 ( x1 ) ( x )0 x1 x 1 f ' ( x )0 ( x1 ) ( x )0 1x f ( x ) ( 1, ) f ' ( x )0 ( x1 ) ( x )0 x1 x f ( x ) (,1 )(, ) 2f " ( 1 ) f ( x ) x1 f ( 1 ) f " ( )61260 f ( x ) x f ( )1 f " ( x )0 6x120 x2 f ( x ) ( 2, ) f " ( x )0 6x120 x2 f ( x ) (,2 ) f " ( x )0 x2 ( 2, f ( 2 ) )( 2,1 ) f ( x ) 156

62 微 分 x 1 2 f ' ( x ) f ( x ) 增 減 減 增 f " ( x ) 凹 口 向 下 凹 口 向 下 凹 口 向 上 凹 口 向 上 f ( x ) 極 大 值 1 反 曲 點 -1 極 小 值 f ( x ) f ( x )x 12x10 157

63 -4 微 分 的 應 用 -4 一 基 礎 型 1 f ( x )2x 2 8x52 f ( x )x 6x 2 7 A ( 1 )B ( )C ( 8 ) P ( x ) P #AP 2 #BP 2 #CP f ( x )x x f ( x )212xx 二 研 究 型 1 f ( x )2x 2 2x1 x 1 2 f ( x )109x4x 2 x x abc f ( x )x ax 2 bxc x1 5 x abc 158

64 -1 重 點 摘 要 [ a,b ]{xa x b} ( a,b ){xaxb} [ a,b ){xa xb} ( a,b ]{xax b} g ( x ) f ( x ) ( fg ) ( x )f ( g ( x ) ) f ( x ) g ( x ) x a xa f ( x ) L x a f ( x ) L lim x a f ( x )L lim x a f ( x )f ( x ) 1 xa f ( x ) 0 lim f ( x )f ( a ) x a 2 xa f ( x ) xa xa 0 f ( x ) g ( x ) h ( x ) g ( a )0h ( a )0 0 lim x a f ( x ) 159

65 lim f ( x )L lim g ( x )M x a x a 1 lim ccc x a 2 lim cf ( x )c lim f ( x )clc x a x a lim ( f ( x )g ( x ) ) lim f ( x ) lim g ( x )LM x a x a x a 4 lim ( f ( x ) g ( x ) ) lim f ( x ) lim g ( x )LM x a x a x a lim f ( x ) f ( x ) 5 lim x a g ( x ) x a lim g ( x ) L M M0 x a xa x a f ( x ) L L f ( x ) a lim x a f ( x )L xa x a f ( x ) M M f ( x ) a lim x a f ( x )M f ( x ) f ( x ) xa 1 f ( a ) 2 lim x a f ( x ) lim x a f ( x )f ( a ) -2 重 點 摘 要 f ( b )f ( a ) ba f ( x ) [ a,b ] 160

66 a f ( x ) f ( x ) xa f ' ( a ) f ( x )f ( a ) 1 f ' ( a ) lim x a xa f ( ah )f ( a ) 2 f ' ( a ) lim h 0 h 1 f ' ( a ) yf ( x ) ( a, f ( a ) ) ( a, f ( a ) ) yf ( a )f ' ( a ) ( xa ) 2 f ( t ) v ( t ) a( t ) f ' ( t )v ( t )v' ( t )a ( t ) 重 點 摘 要 f ( x ) g ( x ) f ( x )x n f ' ( x )nx n1 n f ( x )k f ' ( x )0k F ( x )kf ( x ) F' ( x )kf ' ( x )k F ( x )f ( x )g ( x ) F' ( x )f ' ( x )g' ( x ) 161

67 F ( x )f ( x ) g ( x ) F' ( x )f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) F ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x )0 F' ( x ) f ' ( x ) g ( x )f ( x ) g' ( x ) [ g ( x ) ] 2 F ( x )g ( f ( x ) ) f ' ( x )g' ( f ( x ) ) F' ( x )g' ( f ( x ) ) f ' ( x ) n f ( x ) F ( x )( f ( x ) ) n F' ( x )n ( f ( x ) ) n1 f ' ( x ) f ' ( x ) d dx f ( x )y' dy dx f " ( x ) d 2 f "' ( x ) d n f ( n ) ( x ) d n dx 2 f ( x )y" d 2 y dx 2 dx f ( x )y"' d y dx dx n f ( x )y ( n ) d n y dx n -4 重 點 摘 要 1 f ( x ) x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x ) ( a,b ) f ' ( x )0 f ( x ) ( a,b ) 162

68 1 f ( x ) x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x ) ( a,b ) f ' ( x )0 f ( x ) ( a,b ) f ( x ) xf ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x ) xf ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x ) x 0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x ) x 0 x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x ) xa f ' ( a )0 f ' ( a )0 f ( a ) f ( x ) 16

69 f ( x ) xa f ' ( a )0 1 xa f ' ( x )0 a f ( x ) xa f ' ( x )0 a f ( x ) f ( a ) f ( x ) 2 xa f ' ( x )0 a f ( x ) xa f ' ( x )0 a f ( x ) f ( a ) f ( x ) f ( x ) xa f ' ( a )0 f " ( a ) 1 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) 2 f " ( a )0 f ( x ) xa f ( a ) f ( x ) ( a,b ) c ( a,b ) ( c, f ( c ) ) f ( x ) L 1 f ( x ) ( a,b ) L 2 f ( x ) ( a,b ) L f ( x ) ( a,b ) c ( a,b ) 1 f " ( c )0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) 2 f " ( c )0 f ( x ) ( c, f ( c ) ) f ( x ) xc f ( x ) xc ( c, f ( c ) ) f ( x ) 164

70 ( c, f ( c ) ) f ( x ) f " ( c )

71 ( ) lim x 0 6x 4x x 2 5x 1 ( ) lim x 1 1x ax ( ) lim x 1 x sin x 1 sin 1 0 sin ( ) lim x 2 x 2 5x6 x ( ) lim x 0 ax 0 lim x 1 x0 x1 x1 lim lim 1 x 1 x1 x 1 x1 lim x 1 x1 1! $ ( ) f ( x )# $ % 2 x0 lim f ( x )2 lim x 0 lim f ( x )1 x 0 x x x0 lim x f ( x ) x 5 f ( x )1 lim x 0 f ( x )0 1 ( ) f ( x ) x2 x2 x

72 ! x 2 1 $ ( ) f ( x1 x ) x1 # f ( x ) x1 a $ % a x ( ) f ( x )x 2 5x4 lim x 11 6 f ( x )f ( ) x ( ) g ( x )x g ( 2h )g ( 2 ) x2 lim h 0 h ( ) f ( x )x x 2 f ( 1h )f ( 1 ) x1 lim h 0 2h ( ) f ( x )2x 2 x2 ( 1, ) 2xy10 x2y10 xy0 xy0 xy90 2 ( ) f ( t )t ( ) f ( x ) x2 2x1 f ' ( 1 ) ( ) f ( x )( 2x ) 7 f ' ( 2 )

73 ( ) f ( x )( x5 ) 8 f " ( 2 ) ( ) f ( x )7x 7 6x 6 5x 5 4x 4 x 2x 2 x1 f "' ( 0 ) ( ) f ( x )7x 5 6x 8 f ( n ) ( x )0 n ( ) f ( x )42xx 2 [ 4,4 ] M m M5m4 M5m M m20 M5m20 M4m20 4 ( ) f ( x )2x 2 8x1 f ( x ) 7 (,2 ) f ( x ) f ( x ) ( 2,7 ) f ( x ) 7 f ( x ) ( 2, ) 4 ( ) f ( x )x x ( ) f ( x ) ( 0,0 ) ( 2,0 ) ( 1,2 ) ( 0,2 ) ( 0,1 ) 4 ( ) f ( x )1012xx x 5 f ( x )

74 ( ) f ( x ) ( ) f ( x )x x 2 9x f ( x ) (,1 ) (,1 ) ( 1, ) ( 1, ) (, ) 4 ( ) f ( x )x ax 2 bx1 ( 1,8 ) a1b6 a1b6 a8b1 ab9 a9b 4 ( ) ( ) f ( x )x x M m Mm27 M0m M m6 M14m0 M m 4 ( ) ( )

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