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1 高 中 數 學 必 修 部 分 教 育 局 課 程 發 展 處 數 學 教 育 組

2 前 言 目 錄 頁 數 i 學 習 單 位 1 一 元 二 次 方 程 1 學 習 單 位 函 數 及 其 圖 像 4 學 習 單 位 3 指 數 函 數 與 對 數 函 數 6 學 習 單 位 4 續 多 項 式 8 學 習 單 位 5 續 方 程 10 學 習 單 位 6 變 分 1 學 習 單 位 7 等 差 數 列 與 等 比 數 列 及 其 求 和 法 13 學 習 單 位 8 不 等 式 與 線 性 規 畫 14 學 習 單 位 9 續 函 數 圖 像 16 學 習 單 位 10 圓 的 基 本 性 質 18 學 習 單 位 11 軌 跡 19 學 習 單 位 1 直 線 與 圓 的 方 程 0 學 習 單 位 13 續 三 角 1 學 習 單 位 14 排 列 與 組 合 學 習 單 位 15 續 概 率 3 學 習 單 位 16 離 差 的 度 量 4 學 習 單 位 17 統 計 的 應 用 及 誤 用 6 學 習 單 位 18 數 學 的 進 一 步 應 用 7 學 習 單 位 19 探 索 與 研 究 8 鳴 謝 9

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4 前 言 數 學 課 程 及 評 估 指 引 ( 中 四 至 中 六 ) ( 007)( 以 下 簡 稱 課 程 及 評 估 指 引 ) 是 為 009 年 9 月 實 施 的 新 高 中 學 制 而 編 訂 高 中 數 學 課 程 包 括 必 修 部 分 及 延 伸 部 分 延 伸 部 分 包 括 兩 個 單 元, 分 別 是 單 元 一 ( 微 積 分 與 統 計 ) 及 單 元 二 ( 代 數 與 微 積 分 ) 在 課 程 及 評 估 指 引 中, 必 修 部 分 的 學 習 重 點 以 表 列 形 式 歸 於 不 同 學 習 單 位 內 表 中 注 釋 欄 的 內 容 為 學 習 重 點 的 補 充 資 料 本 小 冊 子 內 的 課 程 闡 釋 旨 在 進 一 步 解 釋 : ( 一 ) 必 修 部 分 學 習 重 點 的 要 求 ; ( 二 ) 必 修 部 分 的 教 學 建 議 ; ( 三 ) 必 修 部 分 學 習 單 位 之 間 的 關 係 和 結 構 ; ( 四 ) 必 修 部 分 與 其 他 學 習 階 段 ( 如 第 三 學 習 階 段 ) 的 發 展 脈 絡 ; 及 ( 五 ) 必 修 部 分 與 延 伸 部 分 的 課 程 銜 接 本 小 冊 子 內 的 課 程 闡 釋 連 同 課 程 及 評 估 指 引 內 每 一 學 習 單 位 的 注 釋 欄 及 教 學 時 數, 可 顯 示 該 學 習 單 位 處 理 的 闊 度 和 深 度 教 師 宜 在 施 教 必 修 部 分 時, 把 內 容 視 為 連 貫 的 數 學 知 識, 並 培 養 學 生 運 用 數 學 解 決 問 題 推 理 及 傳 意 的 能 力 此 外, 教 師 須 留 意, 課 程 及 評 估 指 引 中 的 學 習 單 位 及 學 習 重 點 的 編 排 次 序 並 不 等 同 於 學 與 教 的 次 序, 教 師 可 因 應 學 生 需 要 有 系 統 地 編 排 學 習 內 容 歡 迎 各 界 人 士 就 本 小 冊 子 提 供 意 見 和 建 議 來 函 請 寄 : 九 龍 油 麻 地 彌 敦 道 405 號 九 龍 政 府 合 署 4 樓 教 育 局 課 程 發 展 處 總 課 程 發 展 主 任 ( 數 學 ) 收 傳 真 : 電 郵 :ccdoma@edb.gov.hk i

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6 數 與 代 數 範 疇 1. 一 元 二 次 方 程 1.1 以 因 式 法 解 二 次 方 程 由 已 知 根 建 立 二 次 方 程 1.3 由 繪 畫 拋 物 線 y = ax + bx + c 的 圖 像 及 讀 取 該 圖 像 的 x 截 距 解 方 程 ax + bx + c = 以 二 次 公 式 解 二 次 方 程 1.5 理 解 二 次 方 程 的 判 別 式 與 其 根 的 性 質 之 關 係 1.6 解 涉 及 二 次 方 程 的 應 用 題 1.7 理 解 根 與 係 數 的 關 係 及 以 此 關 係 建 立 二 次 方 程 1.8 欣 賞 數 系 ( 包 括 複 數 系 ) 的 發 展 1.9 進 行 複 數 的 加 減 乘 及 除 運 算 學 生 在 第 三 學 習 階 段 已 學 會 建 立 及 解 一 元 一 次 方 程, 並 懂 得 以 代 數 方 法 及 圖 解 法 建 立 及 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 必 修 部 分 則 要 求 學 生 能 進 一 步 解 一 元 二 次 及 其 他 較 複 雜 的 代 數 方 程 在 本 學 習 單 位, 學 生 須 能 運 用 : 因 式 法 二 次 公 式 拋 物 線 y = ax + bx + c 的 圖 像 解 一 元 二 次 方 程 ax + bx + c = 0, 並 能 由 已 知 根 建 立 一 元 二 次 方 程 學 生 應 能 選 用 合 適 的 策 略 解 二 次 方 程 圖 解 法 在 學 習 重 點 9. 中 有 進 一 步 的 推 廣, 教 師 須 留 意 學 習 單 位 9 的 闡 釋 學 生 應 能 解 涉 及 二 次 方 程 的 應 用 題, 惟 該 等 問 題 應 盡 量 與 學 生 經 驗 有 關 至 於 可 變 換 為 二 次 方 程 的 問 題 諸 如 = 5 及 有 關 的 應 用 題 以 因 式 x x 1 定 理 或 由 函 數 的 圖 像 解 二 次 以 上 的 方 程 等 課 題, 則 分 別 在 續 方 程 續 1

7 多 項 式 續 函 數 圖 像 學 習 單 位 內 處 理 本 學 習 單 位 中 所 有 二 次 方 程 的 係 數 及 學 習 重 點 程 中 的 已 知 根, 均 應 只 限 於 實 數 1. 由 已 知 根 建 立 二 次 方 在 表 達 方 程 的 解 時, 由 於 第 三 學 習 階 段 中 根 式 的 運 算 及 以 較 簡 潔 方 式 表 達 根 式 均 屬 非 基 礎 部 分, 所 以 沒 有 修 讀 這 些 課 題 的 學 生, 當 以 二 次 公 式 解 諸 如 x 4x 4 = 0 等 二 次 方 程 時, 毋 須 簡 化 諸 如 3 ± 等 根 式 除 解 二 次 方 程 外, 學 生 須 理 解 二 次 方 程 的 判 別 式 與 其 根 的 性 質 之 關 係 在 課 程 及 評 估 指 引 中, 理 解 的 要 求 一 般 比 認 識 高 例 如, 學 生 理 解 二 次 方 程 的 判 別 式 與 其 根 的 性 質 之 關 係 意 謂 學 生 須 懂 得 該 關 係 的 內 容 和 該 關 係 成 立 的 理 由, 並 能 利 用 這 關 係 作 進 一 步 的 運 算 及 解 決 問 題 由 於 在 學 習 重 點 1.8 中 已 引 入 複 數, 學 生 判 斷 根 的 性 質 時, 若 判 別 式 的 值 為 負 數, 學 生 必 須 指 出 方 程 無 實 根, 或 更 具 體 地 說 明 方 程 有 兩 個 非 實 數 根, 而 非 僅 指 出 方 程 沒 有 根 或 方 程 有 兩 個 複 數 根 不 修 讀 學 習 重 點 1.9( 非 基 礎 課 題 ) 之 學 生, 當 以 二 次 公 式 解 二 次 方 程 時, 毋 須 以 a ± bi 的 形 式 表 示 非 實 數 根 學 生 須 理 解 根 與 係 數 的 關 係, 包 括 : b α + β = 及 α β = a 根 且 a 0 c, 其 中 α 和 β 為 方 程 ax + bx + c = 0 的 a 教 師 可 與 學 生 討 論 或 讓 他 們 探 索 其 他 根 與 係 數 的 關 係, 例 如 而, 學 生 毋 須 背 誦 有 關 結 果 α + β 然 數 學 概 念 的 發 展 並 非 一 蹴 而 就, 其 過 程 往 往 受 文 化 思 想 等 因 素 影 響, 數 系 的 發 展 亦 不 例 外 教 師 可 透 過 不 同 活 動, 如 展 板 製 作 或 閱 讀 計 畫, 讓 學 生 欣 賞 數 系 如 何 從 自 然 數 系 發 展 到 有 理 數 系 實 數 系 及 複 數 系 例 如, 為 甚 麼 古 希 臘 畢 達 哥 拉 斯 學 派 否 認 無 理 數 的 存 在? 虛 數 為 甚 麼 要 到 十 六 世 紀 才 得 到 確 認? 等 都 是 可 討 論 的 有 趣 課 題 此 外, 教 師 亦 可 引 導 學 生 討 論 諸 如 數 系 的 分 層 有 限 位 小 數 及 循 環 小 數 的 分 數 表 示 式 為 無 理 數 的 證 明 等 課 題

8 修 讀 學 習 重 點 1.9( 非 基 礎 課 題 ) 的 學 生, 須 懂 得 進 行 複 數 的 加 減 乘 及 除 的 運 算, 其 中 複 數 只 限 於 a ± bi 這 標 準 形 式, 而 複 數 的 極 式 阿 根 圖 棣 美 弗 定 理, 均 非 課 程 所 需 有 關 如 何 運 用 共 同 建 構 式 教 學 教 授 以 二 次 公 式 解 二 次 方 程, 可 參 考 課 程 及 評 估 指 引, 頁

9 數 與 代 數 範 疇. 函 數 及 其 圖 像.1 認 識 函 數 定 義 域 上 域 自 變 量 及 應 變 量 的 直 觀 概 念 10. 認 識 函 數 的 記 法 及 使 用 表 列 代 數 和 圖 像 方 法 來 表 達 函 數.3 理 解 二 次 函 數 圖 像 的 特 徵.4 以 代 數 方 法 求 二 次 函 數 的 極 大 值 和 極 小 值 學 生 在 第 三 學 習 階 段 已 初 步 認 識 數 列 的 概 念, 而 數 列 可 視 為 函 數 的 雛 形 在 本 學 習 單 位, 學 生 須 認 識 函 數 自 變 量 和 應 變 量 的 直 觀 概 念, 並 能 分 辨 函 數 與 非 函 數 的 例 子 此 外, 學 生 須 認 識 定 義 域 和 上 域 的 直 觀 概 念, 因 為 它 們 在 界 定 函 數 時 是 不 可 或 缺 的 認 識 這 兩 個 概 念 將 有 助 學 生 更 深 入 地 比 較 不 同 函 數 ( 見 學 習 重 點 3.4 的 注 釋 ), 但 利 用 集 合 語 言 嚴 格 界 定 函 數 或 表 達 值 域, 則 不 屬 課 程 所 需 此 外, 複 合 函 數 亦 不 屬 課 程 所 需 當 學 生 接 觸 諸 如 f ( x) = sin x 的 函 數 時, 函 數 值 的 計 算 可 視 之 為 一 系 列 連 續 的 運 算, 如 上 例 : 先 取 平 方 再 取 正 弦 教 師 在 闡 釋 函 數 的 記 法 時, 可 引 入 啞 變 量 的 概 念 表 達 函 數 的 方 式 不 拘 一 格, 除 可 因 應 個 別 情 況 使 用 表 列 代 數 和 圖 像 方 法 外, 也 可 採 用 以 下 較 直 觀 的 表 達 方 式 : 1 4

10 學 生 對 函 數 有 初 步 認 識 後, 須 進 一 步 透 過 他 們 所 熟 悉 的 二 次 函 數 鞏 固 有 關 概 念, 並 認 識 其 圖 像 的 以 下 特 徵 : 頂 點 對 稱 軸 開 口 方 向 與 兩 軸 的 關 係 學 生 須 能 從 二 次 函 數 中 x 項 的 係 數 辨 認 其 圖 像 的 開 口 方 向, 由 常 數 項 找 出 y 軸 截 距 及 利 用 有 關 的 判 別 式 判 斷 圖 像 與 x 軸 是 否 相 交 另 一 方 面, 學 生 亦 應 能 從 二 次 函 數 的 圖 像 讀 出 對 稱 軸 及 頂 點 等 資 料 學 生 須 理 解 二 次 函 數 圖 像 的 頂 點 與 函 數 的 極 大 值 / 極 小 值 的 關 係, 並 能 由 此 以 圖 解 法 求 二 次 函 數 的 極 大 值 / 極 小 值 修 讀 學 習 重 點.4( 非 基 礎 課 題 ) 的 學 生, 須 懂 得 利 用 代 數 方 法 求 二 次 函 數 的 極 大 值 / 極 小 值, 並 解 有 關 的 應 用 題 除 配 方 法 外, 教 師 亦 可 介 紹 其 他 代 數 方 法, 例 如, 對 學 習 能 力 較 高 的 學 生, 教 師 可 引 導 他 們 從 二 次 函 數 圖 α + β 像 的 特 徵, 得 悉 y = x x 的 頂 點 之 x 坐 標 為 = 1, 並 代 入 x = 1 得 出 函 數 的 最 小 值 為 1 (1) = 1 至 於 利 用 求 導 法 求 極 大 值 和 極 小 值, 則 屬 延 伸 部 分 單 元 一 或 單 元 二 中 求 導 法 的 應 用 的 其 中 一 個 學 習 重 點, 並 非 必 修 部 分 所 需 此 外, 教 師 可 引 導 學 生 進 一 步 探 索 二 次 函 數 的 係 數 與 圖 像 的 其 他 關 係 例 如, 從 αβ 所 取 的 正 負 值, 判 斷 圖 像 的 兩 個 x 軸 截 點 在 y 軸 同 側 還 是 異 側 5

11 數 與 代 數 範 疇 3. 指 數 函 數 與 對 數 函 數 3.1 理 解 有 理 數 指 數 的 定 義 3. 理 解 有 理 指 數 的 定 律 3.3 理 解 對 數 的 定 義 及 其 性 質 ( 包 括 換 底 公 式 ) 3.4 理 解 指 數 函 數 與 對 數 函 數 的 性 質 及 認 識 其 圖 像 的 特 徵 3.5 解 指 數 方 程 和 對 數 方 程 3.6 欣 賞 對 數 在 現 實 生 活 中 的 應 用 3.7 欣 賞 對 數 概 念 的 發 展 16 在 第 三 學 習 階 段, 學 生 對 整 數 指 數 定 律 已 有 一 定 程 度 的 認 識, 學 習 本 單 位 時, 應 將 指 數 定 律 的 認 識 由 整 數 指 數 伸 延 至 有 理 數 指 數 在 第 三 學 習 階 段, 學 生 已 掌 握 a n 0 a 和 a n ( 其 中 n 為 正 整 數 ) 的 定 義 在 必 修 部 分, 學 生 須 認 識 其 他 有 理 數 指 數 的 定 義 : n a a 1 m n 和 a n, 其 中 a 為 正 實 數,m 為 整 數 和 n 為 正 整 數 當 n 為 奇 數 及 a 為 負 數 時, 學 生 須 懂 得 計 算 n a( 例 如 3 8 ) 簡 單 數 式 的 值, 而 ( 8) 1 3 的 寫 法 則 應 避 免 此 外, 學 生 須 知 道 當 a 為 負 數 時, 指 數 定 律 並 不 適 用 學 生 學 習 有 理 指 數 定 律 和 對 數 性 質 時, 須 清 楚 了 解 其 成 立 條 件, 例 如 log a 1 = 0 中 a 須 為 正 數 且 a 1 學 生 理 解 換 底 公 式 後, 應 能 以 計 算 機 求 得 任 意 對 數 ( 例 如 3 log ) 的 值, 惟 自 然 對 數 屬 延 伸 部 分 的 學 習 重 點, 並 非 必 修 部 分 所 需 6

12 學 習 重 點 3. 中 的 指 數 雖 然 只 局 限 於 有 理 數, 但 學 生 應 認 識 實 數 指 數 是 有 理 指 數 的 推 廣 推 廣 的 詳 情 不 屬 課 程 所 需, 但 可 作 為 學 生 進 一 步 探 索 的 有 趣 課 題 此 外, 學 生 應 留 意 指 數 函 數 的 定 義 域 為 實 數 集, 而 對 數 函 數 的 定 義 域 為 正 實 數 集 後 者 的 定 義 域 與 學 生 所 熟 識 的 二 次 函 數 不 同 教 師 亦 可 引 導 學 生 討 論 當 a >1 或 0 < a < 1 時, 指 數 函 數 ( 及 對 數 函 數 ) 的 圖 像 有 何 不 同 由 於 反 函 數 的 概 念 並 非 課 程 所 需, 當 討 論 y = a x 與 y = log a x 的 圖 像 之 對 稱 關 係 時, 毋 需 引 入 反 函 數 這 詞 彙 學 生 理 解 指 數 函 數 與 對 數 函 數 的 關 係 後, 可 進 一 步 由 指 數 函 數 的 特 徵 推 導 出 對 數 函 數 的 相 關 特 徵 教 師 可 透 過 不 同 的 例 子, 諸 如 x y = y = x 和 3 y = x, 討 論 函 數 圖 像 遞 增 / 減 的 快 慢 學 習 重 點 3.5 主 要 涉 及 諸 如 x = 5 或 log 3 (x+ 4) = 等 簡 單 方 程 諸 如 4 x 3 x 4 = 0 或 log (x+ 1)+ log (x- 3) = 3 等 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程, 則 在 學 習 重 點 5.3 中 處 理 在 這 學 習 單 位, 學 生 除 了 理 解 指 數 函 數 及 對 數 函 數 的 概 念 外, 亦 須 透 過 對 諸 如 以 黎 克 特 制 表 示 地 震 強 度 以 分 貝 表 示 聲 音 強 級 等 討 論, 欣 賞 對 數 在 現 實 生 活 的 應 用 並 理 解 計 算 公 式 中 採 用 對 數 的 目 的 學 生 可 嘗 試 採 用 不 同 的 公 式 計 算 地 震 強 度, 但 毋 須 背 誦 有 關 公 式 教 師 可 透 過 不 同 活 動, 讓 學 生 體 會 在 沒 有 計 算 工 具 幫 助 下, 進 行 複 雜 運 算 的 困 難, 並 由 此 引 導 學 生 討 論 諸 如 對 數 概 念 發 展 的 歷 史 及 如 何 以 對 數 概 念 設 計 昔 日 的 某 些 計 算 工 具 ( 例 如 : 計 算 尺 和 對 數 表 ) 等 課 題 修 讀 延 伸 部 分 單 元 一 或 單 元 二 的 學 生, 將 會 進 一 步 學 習 指 數 函 數 和 對 數 函 數 的 其 他 性 質 及 應 用 7

13 數 與 代 數 範 疇 4. 續 多 項 式 4.1 進 行 多 項 式 除 法 理 解 餘 式 定 理 4.3 理 解 因 式 定 理 4.4 理 解 最 大 公 因 式 和 最 小 公 倍 式 的 概 念 4.5 進 行 有 理 函 數 的 加 減 乘 及 除 學 生 在 第 三 學 習 階 段 已 學 會 多 項 式 的 加 法 減 法 乘 法 和 簡 易 多 項 式 的 因 式 分 解, 亦 掌 握 了 分 母 為 一 次 式 的 分 式 運 算 在 本 學 習 單 位, 學 生 將 進 一 步 學 習 多 項 式 的 除 法 及 較 複 雜 的 因 式 分 解 問 題, 亦 會 接 觸 分 母 高 於 一 次 式 的 有 理 函 數 的 運 算 而 有 理 函 數 的 加 減 乘 除, 則 可 視 為 多 項 式 的 混 合 四 則 運 算 長 除 法 是 進 行 多 項 式 除 法 的 一 個 標 準 程 序, 教 師 可 向 學 生 介 紹 其 他 方 法, 例 如 綜 合 除 法 至 於 多 項 式 的 繁 複 運 算, 則 非 本 課 程 的 重 點 學 生 應 能 理 解 除 法 算 式 f ( x) = g( x) Q( x) + R( x) 的 意 義, 及 於 g ( x) = ax + b 時 如 何 推 導 出 餘 式 定 理 進 一 步 而 言, 因 式 定 理 可 視 為 餘 式 定 理 的 一 個 特 殊 情 況 在 應 用 因 式 定 理 分 解 多 項 式 時, 教 師 可 引 導 學 生 欣 賞 其 功 能 ( 例 如, 解 二 次 以 上 方 程 ) 及 了 解 其 局 限 性 ( 例 如, 不 是 所 有 二 次 以 上 的 方 程 都 能 有 效 地 利 用 這 個 方 法 求 解 ) 為 求 與 延 伸 部 分 銜 接, 本 單 位 以 有 理 函 數 取 代 在 第 三 學 習 階 段 所 採 用 的 分 式 一 詞, 惟 學 生 毋 需 在 必 修 部 分 深 入 學 習 有 理 函 數 的 性 質 在 進 行 有 理 函 數 的 乘 除 和 約 簡 時, 最 大 公 因 式 和 最 小 公 倍 式 的 概 念 頗 為 重 要, 因 此 學 生 對 兩 者 均 須 有 充 分 理 解 教 授 最 大 公 因 式 ( 又 稱 最 高 公 因 式 ) 和 最 小 公 倍 式 ( 又 稱 最 低 公 倍 式 ) 時, 教 師 可 自 由 選 用 任 何 一 個 常 見 的 簡 稱, 例 如, H.C.F. gcd, 或 以 ( a, b ) 表 a 和 b 的 最 大 公 8

14 因 式 除 選 定 一 個 簡 稱 外, 教 師 亦 應 介 紹 其 他 記 法, 方 便 學 生 閱 讀 其 他 參 考 書 籍 為 避 免 過 於 繁 複 的 計 算, 當 進 行 有 理 函 數 的 加 減 乘 除 時, 應 只 限 於 不 多 於 兩 個 變 數 的 有 理 函 數 之 運 算 有 理 函 數 的 除 法 包 括 諸 如 1 x y 除 以 1, 惟 過 於 繁 複 的 運 算 並 非 本 單 位 的 重 點 x + y 9

15 數 與 代 數 範 疇 5. 續 方 程 5.1 使 用 圖 解 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程, 其 中 二 元 二 次 方 程 只 限 於 y = ax + bx + c 的 形 式 使 用 代 數 方 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程 5.3 解 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 ( 其 中 包 括 分 式 方 程 指 數 方 程 對 數 方 程 及 三 角 方 程 ) 5.4 解 涉 及 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 之 應 用 題 在 第 三 學 習 階 段, 學 生 已 學 會 建 立 二 元 一 次 的 聯 立 方 程, 運 用 代 數 方 法 及 圖 解 法 解 二 元 一 次 的 聯 立 方 程 在 本 學 習 單 位, 聯 立 方 程 的 類 型 將 擴 展 至 其 中 之 一 為 二 元 二 次 方 程, 而 學 習 重 點 1.6 解 涉 及 二 次 方 程 的 應 用 題 亦 會 延 伸 至 涉 及 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 之 應 用 題 學 生 應 留 意 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程 的 解 之 數 目, 與 兩 個 方 程 均 為 二 元 一 次 時 有 何 分 別 鑑 於 學 生 在 必 修 部 分 毋 須 學 習 諸 如 x = y 3y + 6 或 xy + y =1 等 二 元 二 次 方 程 的 圖 像, 因 此 在 學 習 重 點 5.1 中 利 用 圖 解 法 解 聯 立 方 程 時, 其 中 二 元 二 次 方 程 只 限 於 y = ax + bx + c 的 形 式 至 於 使 用 代 數 方 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程, 則 沒 有 此 限 制 學 生 處 理 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 時, 須 留 意 解 的 合 理 性, 例 如, 解 方 程 sin θ 5sinθ + = 0 時, 學 生 須 留 意 sin θ = 沒 有 實 解 此 外, 涉 及 三 角 函 數 的 方 程, 其 解 只 限 於 0 至 360 的 區 間 ( 參 考 學 習 重 點 13.) 10

16 為 提 升 學 生 的 學 習 興 趣, 教 師 在 學 習 重 點 5.4 中 可 多 選 取 與 學 生 經 驗 有 關 的 應 用 題 在 討 論 過 程 中, 教 師 可 引 導 學 生 發 現 解 題 方 法 的 多 樣 性 學 生 應 探 討 不 同 的 解 難 策 略, 並 能 從 中 選 擇 最 恰 當 的 方 案 11

17 數 與 代 數 範 疇 6. 變 分 6.1 理 解 正 變 ( 正 比 例 ) 和 反 變 ( 反 比 例 ) 及 其 在 解 現 實 生 活 問 題 時 的 應 用 9 6. 理 解 正 變 和 反 變 的 圖 像 6.3 理 解 聯 變 和 部 分 變 及 其 在 解 決 現 實 生 活 問 題 時 的 應 用 在 第 三 學 習 階 段, 學 生 已 透 過 學 習 單 位 率 及 比 認 識 量 與 量 之 間 的 某 些 關 係, 亦 在 必 修 部 分 學 習 單 位 已 學 習 函 數 的 初 步 概 念, 認 識 變 量 與 變 量 之 間 亦 可 有 某 些 關 係 本 學 習 單 位 將 進 一 步 討 論 不 同 形 式 的 變 量 之 間 的 關 係, 包 括 正 變 反 變 聯 變 和 部 分 變 等 概 念 及 它 們 在 日 常 生 活 中 的 應 用 討 論 正 變 y = kx 和 反 變 k y = 的 圖 像 時, 教 師 可 提 示 學 生 留 意 該 兩 函 數 x 的 定 義 域 均 可 包 含 負 實 數 當 教 師 講 解 正 變 和 反 變 時, 不 妨 向 學 生 介 紹 正 比 例 和 反 比 例 這 兩 個 在 日 常 生 活 中 常 用 的 名 詞 然 而, 教 師 應 向 學 生 釐 清 一 般 人 對 正 比 例 和 反 比 例 常 見 的 誤 解, 例 如, 如 果 x 遞 增, y 隨 之 遞 增 ( 遞 減 ), 則 x 與 y 必 成 正 ( 反 ) 比 例 教 師 可 利 用 反 例 證 明 上 述 斷 言 為 假, 例 如 : x y 其 中 x 和 y 並 不 能 滿 足 任 何 正 變 的 關 係 另 一 方 面, 如 果 x 與 y 成 正 ( 反 ) 比 例, 命 題 當 x 遞 增, 則 y 隨 之 遞 增 ( 減 ) 不 一 定 為 真, 例 如, 當 k 為 負 數 時, 此 命 題 為 假 學 生 在 解 決 涉 及 部 分 變 的 問 題 時, 往 往 須 要 運 用 解 二 次 或 以 上 方 程 的 技 巧 因 此, 學 生 學 習 這 單 位 前, 須 修 讀 學 習 單 位 1 和 4 的 內 容 1

18 數 與 代 數 範 疇 7. 等 差 數 列 與 等 比 數 列 及 其 求 和 法 7.1 理 解 等 差 數 列 的 概 念 及 其 性 質 7. 理 解 等 差 數 列 的 通 項 7.3 理 解 等 比 數 列 的 概 念 及 其 性 質 7.4 理 解 等 比 數 列 的 通 項 7.5 理 解 等 差 數 列 和 等 比 數 列 的 有 限 項 求 和 公 式 及 使 用 該 公 式 解 有 關 問 題 7.6 探 究 某 些 等 比 數 列 的 無 限 項 求 和 公 式 及 使 用 該 公 式 解 有 關 問 題 7.7 解 有 關 現 實 生 活 中 的 應 用 題 17 在 第 三 學 習 階 段, 學 生 在 學 習 數 的 規 律 時 應 已 掌 握 數 列 的 基 本 概 念 本 學 習 單 位 將 進 一 步 討 論 其 中 兩 類 常 見 數 列 ( 等 差 數 列 和 等 比 數 列 ) 的 概 念 性 質 求 和 公 式 及 其 應 用 教 師 可 引 導 學 生 討 論 當 T 1, T, T 3, 為 等 差 數 列 時, 若 a 和 k 是 任 何 兩 個 實 數, 數 列 T 1 + a, T + a, T 3 + a, 與 數 列 k T 1, k T, k T 3, 都 是 等 差 數 列, 並 由 此 得 出 數 列 k T 1 + a, k T + a, k T 3 + a, 亦 必 為 等 差 數 列 學 生 亦 應 發 現, 當 T 1, T, T 3, 為 等 比 數 列 及 k 0 時, 數 列 k T 1, k T, k T 3, 亦 必 為 等 比 數 列 至 於 0, 0, 0, 是 否 等 差 數 列 的 討 論 則 不 屬 必 修 部 分 所 需 處 理 涉 及 等 差 數 列 或 等 比 數 列 求 和 的 幾 何 題 時, 學 生 可 能 須 應 用 學 習 單 位 續 三 角 的 內 容, 教 師 應 留 意 有 關 學 習 單 位 的 教 學 次 序 討 論 等 差 數 列 的 性 質 T n = ½ ( T n 1 + T n+1 ) 和 等 比 數 列 的 性 質 T n = T n 1 T n +1 時, 毋 須 介 紹 等 差 中 項 和 等 比 中 項 這 兩 個 名 稱 13

19 數 與 代 數 範 疇 8. 不 等 式 與 線 性 規 畫 8.1 解 複 合 一 元 一 次 不 等 式 8. 以 圖 解 法 解 一 元 二 次 不 等 式 8.3 以 代 數 方 法 解 一 元 二 次 不 等 式 8.4 在 平 面 上 表 示 二 元 一 次 不 等 式 的 圖 像 8.5 解 聯 立 二 元 一 次 不 等 式 8.6 解 線 性 規 畫 應 用 題 16 學 生 在 第 三 學 習 階 段 已 學 習 解 一 元 一 次 不 等 式 並 以 數 線 表 示 所 求 得 的 解 在 本 學 習 單 位, 學 生 將 解 涉 及 和 或 或 的 複 合 一 元 一 次 不 等 式 以 圖 解 法 和 代 數 方 法 解 一 元 二 次 不 等 式, 並 以 圖 解 法 解 二 元 一 次 不 等 式 及 有 關 的 線 性 規 畫 應 用 題 在 學 習 重 點 8.1 中, 教 師 應 讓 學 生 發 現 將 兩 個 一 元 一 次 不 等 式 的 解 畫 在 同 一 條 數 線 上 時, 數 線 一 般 可 被 分 割 成 三 個 區 域, 藉 此 可 以 找 出 複 合 不 等 式 的 解 學 生 應 留 意 x > 3 及 x < 5 和 x > 3 或 x < 5 的 解 並 不 相 同 學 生 充 分 理 解 二 次 函 數 圖 像 的 特 徵 後, 應 能 以 圖 解 法 解 一 元 二 次 不 等 式 然 而, 學 生 亦 須 以 代 數 方 法 解 一 元 二 次 不 等 式 學 生 在 第 三 學 習 階 段 已 充 分 掌 握 如 何 在 坐 標 平 面 上 描 繪 線 性 方 程 的 圖 像 在 解 二 元 一 次 不 等 式 時, 學 生 須 判 斷 二 元 一 次 不 等 式 的 解 對 應 哪 些 由 直 線 分 割 出 來 的 區 域, 而 試 值 法 是 學 生 較 易 掌 握 的 其 中 一 個 方 法 14

20 學 習 重 點 8.5 要 求 學 生 運 用 圖 解 法 解 聯 立 二 元 一 次 不 等 式, 至 於 運 用 代 數 方 法 解 聯 立 二 元 一 次 不 等 式, 則 不 屬 課 程 所 需 教 師 教 授 學 習 重 點 8.6 時, 應 多 選 取 與 學 生 日 常 生 活 有 關 的 例 子, 亦 應 為 學 生 提 供 討 論 解 題 策 略 的 機 會 15

21 數 與 代 數 範 疇 9. 續 函 數 圖 像 9.1 描 繪 及 比 較 不 同 函 數 的 圖 像, 包 括 常 值 函 數 線 性 函 數 二 次 函 數 三 角 函 數 指 數 函 數 及 對 數 函 數 的 圖 像 使 用 y = f (x) 的 圖 像 解 方 程 f (x) = k 9.3 使 用 y = f (x) 的 圖 像 解 不 等 式 f (x) > k f (x) < k f (x) k 和 f (x) k 9.4 從 表 列 符 號 和 圖 像 的 角 度 理 解 函 數 f (x) 的 變 換, 包 括 f (x) + k f (x + k) k f (x) 和 f (kx) 在 學 習 單 位 中, 學 生 已 初 步 認 識 函 數 的 概 念 這 學 習 單 位 將 進 一 步 比 較 不 同 的 函 數 的 圖 像, 透 過 圖 解 法 解 方 程 和 不 等 式 及 理 解 函 數 變 換 的 概 念 鑑 於 部 分 學 生 將 諸 如 y = 4 的 數 式 只 視 為 方 程 的 解, 且 甚 至 不 懂 得 在 坐 標 平 面 上 描 繪 直 線 y = 4 的 圖 像 教 師 須 向 學 生 介 紹 常 值 函 數 的 概 念 不 修 讀 學 習 單 位 3( 非 基 礎 課 題 ) 的 學 生, 毋 須 討 論 指 數 函 數 及 對 數 函 數 的 圖 像 當 學 生 比 較 不 同 函 數 的 圖 像 時, 須 嘗 試 比 較 它 們 的 定 義 域 極 大 值 和 極 小 值 的 存 在 性 對 稱 性 和 週 期 性 學 生 在 學 習 重 點 1.3 中 已 學 會 從 讀 取 y = ax + bx + c 的 圖 像 之 x 截 距 解 二 次 方 程 ax + bx + c = 0, 學 習 重 點 9. 要 求 學 生 能 進 一 步 運 用 拋 物 線 y = ax + bx + c 和 直 線 y = k 兩 圖 像 解 一 元 二 次 方 程 ax + bx + c = k 例 如, 從 y = x 5x 1 的 圖 像, 學 生 除 能 夠 解 二 次 方 程 x 5x 1 = 0 外, 亦 應 能 夠 配 合 直 線 y = 3 的 圖 像 解 二 次 方 程 x 5x 4 = 0 至 於 利 用 y = x 5x 1 的 圖 像 解 諸 如 x 6x + 1 = 0 等 二 次 方 程, 則 不 屬 課 程 所 需 學 生 須 把 在 學 習 重 點 8. 中 所 習 得 的 方 法 推 廣 至 二 次 函 數 以 外 的 其 他 函 數 換 句 話 說, 即 使 f (x) 不 是 形 如 ax + bx + c 的 函 數, 學 生 也 該 懂 得 利 用 y = f (x) 的 圖 像 讀 出 方 程 f (x) = k 的 解, 然 後 利 用 y = f (x) 的 圖 像 與 16

22 直 線 解 y = k 求 出 不 等 式 f (x) > k f (x) < k f (x) k 和 f (x) k 的 學 生 在 探 討 函 數 的 變 換 時, 可 先 行 利 用 表 列 的 形 式 觀 察 自 變 量 與 應 變 量 之 間 的 關 係 之 變 化, 繼 而 利 用 繪 圖 軟 件 比 較 經 變 換 後 函 數 圖 像 的 變 化 教 師 可 鼓 勵 學 生 運 用 由 特 殊 到 一 般 的 數 學 思 想 方 法, 得 出 y = f (x) + k f (x + k) k f (x) f (kx) 的 圖 像 與 原 來 的 函 數 y = f (x) 的 圖 像 之 關 係 討 論 過 程 中 教 師 應 着 學 生 運 用 在 第 三 學 習 階 段 所 習 得 的 概 念 及 辭 彙 ( 例 如, 平 移 反 射 放 大 等 ) 來 描 述 圖 像 的 變 化 另 一 方 面, 教 師 亦 應 引 導 學 生 討 論 函 數 圖 像 的 變 換 所 引 致 函 數 中 代 數 式 的 對 應 變 化, 例 如, 學 生 須 懂 得 y = f (x) 的 圖 像 沿 x 軸 作 反 射, 變 換 後 的 圖 像 可 以 用 y = f (x) 表 示 函 數 中 代 數 式 的 對 應 變 化 只 限 於 f (x) + k f (x + k) k f (x) f (kx) 或 其 組 合, 換 句 話 說, 函 數 圖 像 的 旋 轉 變 換 不 屬 課 程 所 需 複 合 函 數 的 概 念 不 屬 課 程 所 需, 但 諸 如 y = x + 4 的 圖 像 可 視 為 將 的 圖 像 沿 x 軸 作 反 射, 然 後 再 沿 y 軸 向 上 平 移 4 單 位 y = x 17

23 度 量 圖 形 與 空 間 範 疇 10. 圓 的 基 本 性 質 10.1 理 解 圓 上 弦 和 弧 的 性 質 10. 理 解 圓 上 角 的 性 質 10.3 理 解 圓 內 接 四 邊 形 的 性 質 10.4 理 解 四 點 共 圓 和 圓 內 接 四 邊 形 的 判 別 法 10.5 理 解 圓 切 線 和 其 內 錯 弓 形 的 圓 周 角 的 性 質 10.6 使 用 圓 的 基 本 性 質 作 簡 單 幾 何 證 明 3 在 第 三 學 習 階 段 中, 學 生 以 直 觀 法 和 演 繹 法 學 習 幾 何, 內 容 以 直 線 圖 形 為 主 在 必 修 部 分, 學 習 範 圍 將 擴 展 到 圓 形, 而 學 習 歷 程 則 仍 可 從 直 觀 到 演 繹 例 如, 教 師 可 利 用 動 態 幾 何 軟 件, 讓 學 生 自 行 探 索 圓 的 基 本 幾 何 性 質, 然 後 在 教 師 引 導 下 嘗 試 作 出 證 明, 藉 此 培 養 學 生 的 探 索 精 神 及 邏 輯 推 理 能 力 有 關 如 何 運 用 探 究 式 教 學 教 授 圓 內 接 四 邊 形 的 性 質, 可 參 考 課 程 及 評 估 指 引, 頁 85 學 習 重 點 10.1 至 10.3 要 求 學 生 理 解 圓 的 基 本 性 質 學 生 除 須 知 道 有 關 性 質 的 內 容 及 運 用 這 些 性 質 進 行 運 算 外, 亦 須 理 解 這 些 性 質 成 立 的 理 由 或 證 明 惟 運 用 這 些 性 質 作 其 他 幾 何 證 明 則 屬 非 基 礎 課 題 弧 與 所 對 的 圓 心 角 成 正 比 例 的 性 質 應 已 在 第 三 學 習 階 段 討 論, 但 教 師 可 提 醒 學 生 留 意 弦 與 所 對 的 圓 心 角 並 非 成 正 比 例 18

24 度 量 圖 形 與 空 間 範 疇 11. 軌 跡 11.1 理 解 軌 跡 的 概 念 描 述 及 描 繪 滿 足 某 些 已 知 條 件 的 點 之 軌 跡 11.3 以 代 數 方 程 描 述 點 的 軌 跡 教 師 可 從 日 常 生 活 的 例 子, 例 如 行 駛 中 汽 車 的 照 明 燈 和 星 流 跡 等 的 長 時 間 曝 光 照 片 引 入 軌 跡 的 概 念 學 生 可 利 用 動 態 幾 何 軟 件, 探 究 一 點 在 已 知 條 件 下 移 動 所 成 的 軌 跡, 但 學 生 亦 須 理 解 數 學 中 的 軌 跡 不 一 定 涉 及 點 的 移 動 例 如, 所 有 與 某 定 點 保 持 同 樣 距 離 的 點 所 成 的 軌 跡 是 一 圓 學 習 重 點 11. 要 求 學 生 能 以 文 字 描 述 軌 跡 及 描 繪 其 圖 像, 而 學 習 重 點 11.3 則 要 求 學 生 能 以 代 數 方 程 描 述 點 的 軌 跡 在 求 軌 跡 方 程 的 過 程, 學 生 須 運 用 第 三 學 習 階 段 中 直 線 的 坐 標 幾 何 的 相 關 知 識, 如 運 用 兩 點 距 離 公 式 求 與 兩 固 定 點 等 距 的 點 所 成 軌 跡 的 方 程 在 本 學 習 單 位 中, 學 生 須 根 據 已 知 條 件 求 軌 跡 為 直 線 圓 和 形 式 如 y = ax + bx + c 的 拋 物 線 之 方 程 至 於 有 關 直 線 和 圓 的 方 程 之 詳 細 討 論, 則 留 待 學 習 單 位 1 中 進 行 19

25 度 量 圖 形 與 空 間 範 疇 1. 直 線 與 圓 的 方 程 1.1 理 解 直 線 方 程 1. 理 解 兩 直 線 相 交 的 各 種 可 能 情 況 1.3 理 解 圓 方 程 1.4 求 直 線 與 圓 交 點 的 坐 標 及 理 解 直 線 與 圓 相 交 的 各 種 可 能 情 況 14 在 上 一 學 習 單 位 軌 跡, 學 生 已 初 步 掌 握 軌 跡 的 概 念, 並 已 解 決 一 些 簡 單 的 軌 跡 問 題 教 師 可 引 導 學 生 從 軌 跡 的 角 度, 理 解 方 程 與 圖 像 的 關 係, 進 而 求 圖 像 的 方 程 及 由 方 程 理 解 對 應 圖 像 的 特 質 在 第 三 學 習 階 段, 學 生 在 學 習 單 位 二 元 一 次 方 程 中, 已 初 步 認 識 直 線 方 程 的 圖 像 本 學 習 單 位 的 學 習 重 點 1.1 則 要 求 學 生 在 給 定 條 件 下 求 有 關 直 線 的 方 程 教 師 可 因 應 學 生 的 能 力 和 需 要, 決 定 是 否 介 紹 兩 點 式 點 斜 式 和 斜 截 式 等 名 稱, 而 各 種 直 線 方 程 的 形 式 之 間 的 轉 換 則 並 非 課 程 重 點 在 圓 方 程 ( 學 習 重 點 1.3) 方 面, 學 生 曾 在 學 習 重 點 10.1 探 討 過 給 出 三 個 不 共 線 點, 有 一 個 而 且 只 有 一 個 圓 經 過 這 三 點 學 生 現 可 運 用 坐 標 幾 何 的 方 法 再 次 證 明 經 過 三 個 不 共 線 點 的 圓 只 有 一 個 修 讀 學 習 重 點 5.( 非 基 礎 課 題 ) 的 學 生, 對 使 用 代 數 方 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程 應 已 充 分 掌 握 在 學 習 重 點 1.4, 學 生 可 藉 此 推 斷 直 線 與 圓 相 交 有 三 種 可 能 情 況, 從 而 利 用 二 次 方 程 的 判 別 式 判 斷 已 知 直 線 與 圓 有 多 少 個 交 點 或 求 此 圓 的 切 線 此 外, 教 師 亦 可 引 導 學 生 利 用 平 面 幾 何 的 方 法 證 明 沒 有 直 線 可 與 一 圓 相 交 多 於 兩 點 0

26 度 量 圖 形 與 空 間 範 疇 13. 續 三 角 13.1 理 解 正 弦 餘 弦 和 正 切 函 數 其 圖 像 及 其 性 質, 包 括 極 大 值 極 小 值 和 週 期 性 解 三 角 方 程 a sin θ = b a cos θ = b a tan θ = b ( 其 解 限 於 0 至 360 區 間 ) 和 其 他 的 三 角 方 程 ( 其 解 限 於 0 至 360 區 間 ) 13.3 理 解 三 角 形 面 積 公 式 ½ absin C 13.4 理 解 正 弦 和 餘 弦 公 式 13.5 理 解 希 羅 公 式 13.6 使 用 上 述 公 式 解 二 維 及 三 維 空 間 的 應 用 題 學 生 在 第 三 學 習 階 段 應 已 熟 習 在 直 角 三 角 形 中 銳 角 的 正 弦 餘 弦 和 正 切 的 定 義 在 這 基 礎 上, 教 師 可 介 紹 如 何 利 用 直 角 坐 標 平 面 上 的 單 位 圓 定 義 三 角 函 數, 並 介 紹 正 角 和 負 角 學 生 應 能 找 出 三 角 函 數 的 其 極 大 值 和 極 小 值, 且 能 從 三 角 函 數 的 圖 像 找 出 和 週 期 性, 並 根 據 函 數 的 週 期 性 簡 化 含 有 θ 90 ± θ 180 ± θ 等 的 正 弦 餘 弦 和 正 切 之 數 式 弧 度 法 為 延 伸 部 分 單 元 二 的 學 習 重 點, 不 屬 必 修 部 分 課 程 所 需 學 習 重 點 13. 中 解 三 角 方 程 a sin θ = b a cos θ = b a tan θ = b 屬 基 礎 課 題, 而 解 其 他 三 角 方 程, 如 sin θ = 0. 5 sin θ = cosθ tan θ cos(90 θ ) = 0 等, 則 屬 於 非 基 礎 課 題 至 於 可 變 換 為 二 次 方 程 的 三 角 方 程, 如 6sin θ + 5sinθ + 1 = 0 tan θ = cosθ 等, 亦 屬 非 基 礎 課 題 ( 見 學 習 重 點 5.3) 在 應 用 學 習 重 點 中 的 公 式 解 三 維 空 間 的 應 用 題 時, 教 師 可 協 助 學 生 鞏 固 在 第 三 學 習 階 段 中 續 立 體 圖 形 學 習 單 位 中 所 學 有 關 線 平 面 之 間 的 關 係 的 概 念 1

27 數 據 處 理 範 疇 14. 排 列 與 組 合 14.1 理 解 計 數 原 理 的 加 法 法 則 和 乘 法 法 則 理 解 排 列 的 概 念 和 記 法 14.3 解 不 同 物 件 的 無 重 排 列 應 用 題 14.4 理 解 組 合 的 概 念 和 記 法 14.5 解 不 同 物 件 的 無 重 組 合 應 用 題 學 生 經 過 不 同 學 習 階 段, 已 對 計 數 原 理 有 直 觀 的 認 識 在 這 學 習 單 位, 學 生 須 就 基 本 的 計 數 原 理, 如 在 什 麼 時 候 應 用 加 法 法 則 或 乘 法 法 則, 有 更 深 入 的 了 解 此 外, 透 過 排 列 與 組 合 的 學 習, 學 生 應 能 解 決 現 實 中 較 複 雜 的 問 題 n 教 師 教 授 排 列 和 組 合 的 概 念 時, 可 選 用 任 何 一 個 常 見 的 記 法, 如 P r n P r n n P r 和 C r n C r n n C r 但 除 選 定 的 記 法 外, 教 師 亦 r 應 介 紹 其 他 記 法, 方 便 學 生 閱 讀 參 考 書 籍 本 學 習 單 位 要 求 學 生 理 解 排 列 與 組 合 兩 者 的 分 別 學 生 亦 應 理 解 關 係 n P n r n C r = 及 C r = C n n r 其 他 關 於 排 列 或 組 合 的 複 雜 性 質, 如 r! 則 不 屬 必 修 部 分 課 程 所 需 C + n r C n r 1 = n+1 C r, 排 列 與 組 合 問 題 千 變 萬 化 本 學 習 單 位 只 要 求 學 生 能 解 簡 單 的 排 列 和 組 合 的 應 用 題, 例 如, 求 物 件 的 排 列, 其 中 三 個 指 定 物 件 必 須 相 鄰 至 於 圓 形 排 列 及 牽 涉 相 同 物 件 重 複 排 列 或 組 合 的 應 用 題 的 計 算, 則 不 屬 課 程 所 需

28 數 據 處 理 範 疇 15. 續 概 率 15.1 認 識 集 合 的 記 法, 包 括 併 集 交 集 和 餘 集 的 記 法 理 解 概 率 加 法 定 律 和 互 斥 事 件 及 互 補 事 件 的 概 念 15.3 理 解 概 率 乘 法 定 律 和 獨 立 事 件 的 概 念 15.4 認 識 條 件 概 率 的 概 念 和 記 法 15.5 使 用 排 列 與 組 合 解 與 概 率 有 關 的 應 用 題 學 生 在 第 三 學 習 階 段 已 學 習 概 率 的 基 本 概 念, 並 懂 得 以 數 數 方 法 求 概 率 在 必 修 部 分, 學 生 將 學 習 以 加 法 定 律 和 乘 法 定 律 解 決 概 率 中 較 複 雜 的 問 題, 而 關 於 概 率 的 進 一 步 問 題 則 會 在 延 伸 部 分 單 元 一 中 處 理 為 方 便 表 達 不 同 事 件 間 的 關 係 ( 包 括 互 斥 互 補 和 獨 立 事 件 ) 概 率 加 法 定 律 和 乘 法 定 律, 本 學 習 單 位 中 的 事 件 均 以 集 合 表 示 因 此, 學 生 在 學 習 學 習 重 點 中 的 內 容 前, 須 對 集 合 有 基 本 的 認 識, 其 中 包 括 以 列 舉 描 述 及 溫 氏 圖 表 示 集 合, 並 認 識 在 概 率 問 題 中 常 見 的 空 集 宇 集 併 集 交 集 和 餘 集 的 概 念 及 記 法 至 於 這 些 概 念 的 嚴 格 定 義 或 集 合 運 算 的 規 律 ( 例 如 德 摩 根 律 等 ) 則 不 屬 課 程 所 需 運 用 概 率 的 加 法 定 律 及 乘 法 定 律 時, 學 生 須 理 解 在 某 些 特 殊 條 件 下, 例 如 A 及 B 為 互 斥 事 件 時, 這 些 定 律 的 變 化 同 時, 在 引 入 乘 法 定 律 時, 學 生 須 認 識 條 件 概 率 的 概 念 和 記 法, 並 能 解 簡 單 的 條 件 概 率 問 題 至 於 貝 葉 斯 定 理 則 會 在 延 伸 部 分 單 元 一 中 處 理 修 讀 學 習 單 位 14 排 列 與 組 合 ( 非 基 礎 課 題 ) 的 學 生 可 運 用 有 關 的 計 數 技 巧 解 決 與 概 率 有 關 的 應 用 題 3

29 數 據 處 理 範 疇 16. 離 差 的 度 量 16.1 理 解 離 差 的 概 念 理 解 分 佈 域 和 四 分 位 數 間 距 的 概 念 16.3 製 作 及 闡 釋 框 線 圖 及 使 用 框 線 圖 比 較 不 同 組 別 的 數 據 分 佈 16.4 理 解 分 組 數 據 和 不 分 組 數 據 的 標 準 差 之 概 念 16.5 使 用 合 適 的 量 度 方 法 比 較 不 同 組 別 數 據 的 離 差 16.6 理 解 標 準 差 在 涉 及 標 準 分 和 正 態 分 佈 的 現 實 生 活 問 題 時 的 應 用 16.7 探 究 下 列 情 況 對 數 據 的 離 差 之 影 響 : (i) (ii) (iii) (iv) 在 數 據 中 加 入 一 項 數 據 從 數 據 中 剔 除 一 項 數 據 對 數 據 的 每 一 項 加 上 一 個 共 同 常 數 對 數 據 的 每 一 項 乘 以 一 個 共 同 常 數 在 第 二 學 習 階 段, 學 生 已 學 習 一 個 量 度 離 散 數 據 的 集 中 趨 勢 之 簡 單 方 法 - 平 均 數 ( 算 術 平 均 數 ) 在 第 三 學 習 階 段, 學 生 學 習 量 度 不 分 組 數 據 及 分 組 數 據 的 集 中 趨 勢 的 其 他 方 法 在 必 修 部 分, 學 生 須 進 一 步 認 識 到, 在 很 多 情 況 下, 要 描 述 數 據 分 佈, 僅 用 集 中 趨 勢 並 不 足 夠 學 生 除 須 理 解 離 差 分 佈 域 四 分 位 數 間 距 的 概 念, 亦 須 懂 得 製 作 和 運 用 框 線 圖 ( 或 稱 箱 形 圖 ) 當 給 出 一 組 不 分 組 或 分 組 的 數 據, 學 生 須 懂 得 計 算 它 的 標 準 差 並 理 解 它 們 的 意 義 此 外, 學 生 應 能 選 擇 合 適 的 量 度 方 法, 比 較 不 同 組 別 數 據 的 離 差 由 於 方 差 這 術 語 很 常 見, 因 此 學 生 學 習 標 準 差 時 亦 該 認 識 方 差 這 名 稱 和 它 與 標 準 差 之 間 的 關 係, 但 有 關 方 差 的 運 算 則 會 在 延 伸 部 分 單 元 一 處 理 必 修 部 分 中 的 標 準 差 之 公 式 及 計 算 只 限 於 總 體, 即 4

30 σ = ( x μ) + K+ ( x μ 1 N ) N 至 於 抽 取 樣 本 以 估 計 總 體 標 準 差 的 公 式, 則 會 在 延 伸 部 分 單 元 一 處 理 修 讀 學 習 重 點 16.6( 非 基 礎 課 題 ) 的 學 生, 須 理 解 標 準 差 的 簡 單 應 用, 即 涉 及 標 準 分 和 正 態 分 佈 的 現 實 問 題 的 應 用 在 計 算 過 程 中, 學 生 毋 須 查 閱 正 態 分 佈 表 或 背 誦 位 於 距 平 均 值 1 或 3 個 標 準 差 範 圍 內 的 數 據 之 百 分 比 修 讀 學 習 重 點 16.7( 非 基 礎 課 題 ) 的 學 生, 須 透 過 探 究 數 據 組 內, 部 分 數 據 變 化 對 集 中 趨 勢 和 離 差 的 影 響, 從 而 對 不 同 統 計 量 的 性 質 有 更 深 入 的 認 識 5

31 數 據 處 理 範 疇 17. 統 計 的 應 用 及 誤 用 17.1 認 識 抽 取 調 查 樣 本 的 不 同 技 巧 及 製 作 問 卷 的 基 本 原 則 17. 討 論 及 認 識 各 種 日 常 活 動 或 調 查 中 統 計 方 法 的 應 用 和 誤 用 17.3 評 估 從 新 聞 媒 介 研 究 報 告 等 不 同 來 源 所 獲 得 的 統 計 調 查 報 告 8 在 小 學 及 初 中 階 段, 學 生 已 熟 悉 統 計 工 作, 特 別 是 蒐 集 數 據 表 達 及 闡 釋 統 計 圖 像 和 圖 表 學 生 應 對 統 計 量 的 概 念 有 初 步 的 認 識 在 高 中, 學 生 則 會 更 全 面 地 認 識 現 實 生 活 中 的 統 計 工 作 教 師 可 透 過 日 常 生 活 例 子 介 紹 總 體 和 樣 本 的 概 念 學 生 須 明 白 在 日 常 統 計 工 作 中, 抽 取 樣 本 幾 乎 無 可 避 免, 並 認 識 抽 取 樣 本 的 不 同 技 巧 在 抽 取 樣 本 的 技 巧 方 面, 學 生 須 認 識 概 率 抽 樣 和 非 概 率 抽 樣 的 基 本 概 念 然 而, 有 關 抽 取 樣 本 的 計 算, 如 樣 本 標 準 差 的 計 算, 則 不 屬 必 修 部 分 所 需 問 卷 是 常 用 的 蒐 集 數 據 方 法 之 一 學 生 須 認 識 在 製 作 問 卷 時, 哪 些 因 素 會 對 問 卷 的 信 度 和 效 度 產 生 影 響, 例 如 : 問 題 的 形 式 用 語 和 排 序 及 回 應 的 選 擇 在 第 三 學 習 階 段, 學 生 該 對 統 計 圖 像 / 圖 表 及 集 中 趨 勢 的 應 用 和 誤 用 有 足 夠 的 認 識 在 必 修 部 分, 學 生 須 進 一 步 討 論 各 種 日 常 活 動 或 調 查 中 統 計 方 法 的 應 用 和 誤 用 這 包 括 調 查 目 的 採 用 的 抽 樣 方 法 蒐 集 數 據 的 方 法 及 分 析 方 法 等 討 論 此 外, 學 生 須 能 更 全 面 地 分 析 從 新 聞 媒 介 研 究 報 告 等 不 同 來 源 所 獲 得 的 統 計 調 查 報 告, 其 中 包 括 分 析 蒐 集 數 據 的 抽 樣 方 法 問 卷 的 設 計 數 據 的 整 理 及 表 達 統 計 分 析 和 推 論 等, 從 而 讓 學 生 整 合 由 不 同 學 習 階 段 所 習 得 的 統 計 知 識 6

32 進 階 學 習 單 位 18. 數 學 的 進 一 步 應 用 解 較 複 雜 的 現 實 生 活 和 數 學 應 用 題, 並 在 解 題 過 程 中 尋 找 能 提 供 解 題 線 索 的 資 料, 探 究 不 同 的 解 題 策 略 或 綜 合 不 同 數 學 環 節 的 知 識 主 要 焦 點 為 : (a) 探 究 及 解 現 實 生 活 中 較 複 雜 的 應 用 題 (b) 欣 賞 不 同 數 學 環 節 間 的 關 連 0 本 學 習 單 位 與 其 他 學 習 單 位 內 的 數 學 應 用 課 題 不 同, 重 點 不 在 於 學 習 某 些 固 定 的 數 學 知 識, 而 是 透 過 探 究 及 解 決 現 實 生 活 中 較 複 雜 的 應 用 題, 讓 學 生 欣 賞 不 同 數 學 環 節 間 的 關 連, 並 培 養 學 生 靈 活 綜 合 運 用 不 同 學 習 單 位 的 知 識 和 技 巧 之 能 力 課 程 及 評 估 指 引, 頁 3 中 的 例 子 僅 供 教 師 參 考 教 師 可 因 應 學 生 能 力 及 需 要 選 擇 其 他 更 適 合 他 們 的 課 題 此 外, 教 師 應 讓 學 生 嘗 試 自 行 尋 找 能 提 供 解 題 線 索 的 資 料 和 探 究 不 同 的 解 題 策 略, 而 不 宜 給 與 他 們 太 多 的 提 示 7

33 進 階 學 習 單 位 19. 探 索 與 研 究 通 過 不 同 的 學 習 活 動, 發 現 及 建 構 知 識, 進 一 步 提 高 探 索 溝 通 思 考 和 形 成 數 學 概 念 的 能 力 0 本 學 習 單 位 旨 在 提 供 更 多 學 習 空 間, 讓 學 生 在 學 習 其 他 學 習 單 位 的 內 容 時, 能 參 與 更 多 有 助 發 現 及 建 構 知 識 提 高 探 索 溝 通 思 考 和 形 成 數 學 概 念 的 能 力 之 活 動 換 句 話 說, 這 並 非 一 個 獨 立 和 割 裂 的 學 習 單 位, 活 動 可 在 課 堂 中 引 起 動 機 發 展 鞏 固 或 評 估 等 不 同 環 節 進 行 8

34 鳴 謝 我 們 特 別 向 下 列 委 員 會 及 工 作 小 組 的 委 員 致 謝, 多 謝 他 們 對 本 小 冊 子 所 提 供 的 寶 貴 意 見 和 建 議 課 程 發 展 議 會 數 學 教 育 委 員 會 課 程 發 展 議 會 香 港 考 試 及 評 核 局 數 學 教 育 委 員 會 ( 高 中 ) 課 程 發 展 議 會 香 港 考 試 及 評 核 局 高 中 數 學 課 程 ( 必 修 部 分 ) 工 作 小 組 9