信号与系统解题诀窍

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1 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 信 号 与 系 统 解 题 诀 窍 目 录 一, 信 号 的 时 域 运 算 ( 十 二 种 ) Ⅰ, 信 号 的 线 性 组 合 运 算 6, 自 变 量 ( 橫 座 标 ) 上 的 迭 加 6, 将 信 号 分 解 成 线 性 组 合 7 3, 分 解 为 直 线 及 抽 样 时, 注 意 斜 率 的 变 化 8 4, 线 性 运 算 及 相 应 变 换 8 Ⅱ, 卷 积 与 相 关 运 算 5, 直 接 法 6 ), 能 量 信 号 且 乘 积 是 規 则 的 几 何 图 形 6 ), 单 边 指 数 信 号 的 卷 积 7 3), 任 意 信 号 同 冲 激 信 号 A ( b) 的 卷 积 8 4), 任 意 信 号 同 阶 跃 信 号 Au( b) 的 卷 积 9 5), 数 值 序 列 的 卷 积 9, 间 接 法 9 ), Fourier ansform A,sinc 信 号 的 卷 积 B, 简 谐 信 号 的 卷 积 C, 简 谐 信 号 与 其 它 信 号 的 卷 积 D, 不 存 在 L Z 的 双 边 信 号 的 卷 积 3

2 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ), Laplace ransform 4 3),Z-ransform 4 3, 相 关 函 数 与 卷 积 结 果 的 区 别 4 4, 循 环 巻 积 与 循 环 相 关 5 ), 连 续 信 号 ( 能 量 型 ) 的 循 环 巻 积 5 ), 能 量 型 离 散 信 号 的 循 环 巻 积 7 3), 能 量 型 数 值 信 号 的 循 环 巻 积 8 4), 用 循 环 巻 积 计 算 线 性 卷 积 9 5), 要 特 别 指 出 的 问 题 3 A, 能 量 型 信 号 的 卷 积 3 B, 功 率 型 信 号 的 卷 积 3 C, 能 量 型 信 号 与 功 率 型 信 号 的 卷 积 3 Ⅲ, 信 号 的 积 分 运 算 3, 参 量 积 分 3, 定 积 分 ( 一 次 方 ) 3 3, 定 积 分 ( 二 次 方 ) 33 A, 能 量 信 号 33 B, 周 期 信 号 35 C, 非 周 期 功 率 型 信 号 36 Ⅳ, 信 号 与 Dirac( ) 间 的 运 算 36

3 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:656674, 积 分 运 算 37, 微 分 运 算 37 3, 比 例 运 算 37 4, 卷 积 运 算 38 5, 位 置 运 算 38 6, 周 期 运 算 38 Ⅴ, 信 号 的 比 例 反 折 时 移 运 算 38, 给 定 信 号 f() 求 其 位 移 反 折 比 例 后 的 信 号 f ( a b); a, b 带 符 号 的 波 形 38, 给 定 经 位 移 反 折 比 例 后 的 信 号 f ( a b); a, b ( 带 符 号 ) 求 原 信 号 f() 的 波 形 39 3, 由 f ( a b) 的 波 形 求 f ( c d) 的 波 形 4 Ⅵ, 信 号 功 率 和 能 量 的 算 4, 能 量 的 计 算 4 A, 規 则 几 何 图 形 信 号 4 B, 一 般 情 况 4, 功 率 的 计 算 4 A, 简 谐 信 号 功 率 的 计 算 4 B, 单 边 Fourier Series 信 号 功 率 算 4 C, 双 边 Fourier Series 信 号 功 率 的 计 算 4 3

4 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: D, 由 离 散 频 谱 计 算 信 号 功 率 4 E, 由 连 续 频 谱 密 度 计 算 信 号 功 率 4 Ⅶ, 周 期 信 号 参 数 等 有 关 计 算 4, 周 期 信 号 及 其 特 点, 单 个 连 续 周 期 信 号 参 数 的 计 算 43, 单 个 离 散 周 期 信 号 参 数 的 计 算 43 3, 连 续 周 期 信 号 的 FS;DS;F; 44 4, 离 散 周 期 信 号 的 FS;DS;F; 46 5, 周 期 信 号 线 性 与 非 线 性 运 算 46 二, 信 号 的 频 谱 分 析 5 Ⅰ, 信 号 组 成 及 频 谱 的 种 类 5 Ⅱ, 信 号 频 谱 的 计 算 5, 直 接 计 算 法 5, 分 解 计 算 法 5 A, 典 型 信 号 的 频 谱 密 度 5 B, 频 谱 密 度 性 质 53 C, 分 解 方 法 ( 线 性 法 延 拓 加 窗 法 ) 54 3, 利 用 频 谱 密 度 性 质 时, 必 须 注 意 的 情 况 (A B C D) 58 4

5 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: , 特 殊 信 号 ( n ) 的 频 谱 密 度 59 5, 离 散 信 号 的 频 谱 密 度 (A B), 6 A, 抽 样 法 6 B, 变 换 法 6 6, 利 用 L DF Z 计 算 频 谱 密 度 6 Ⅲ, 频 谱 密 度 几 个 有 用 推 论 ( ) 64 Ⅳ,DF 的 计 算 67, 直 接 计 算 67, 利 用 Z 计 算 68 3, 利 用 F 计 算 68 Ⅴ,Inverse Fourier ransform 的 计 算 68, 利 用 频 谱 密 度 的 性 质 ( 对 称 ) 计 算 IF 68, 利 用 留 数 法 (Residure) 计 算 IF 7 Ⅵ, 离 散 频 谱 与 Fourier Series(FS) 的 计 算 7, 基 本 关 系 式 7. 简 谐 信 号 的 频 谱 ( 连 续 离 散 ) 及 功 率 74 三, 信 号 变 换 的 计 算 75 Ⅰ,Laplace ransform(l) 75 5

6 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: L 的 计 算 (ROC; Zero-Poles; Propories) Ⅱ,Inverse Laplace ransform (IL) 的 计 算 77 A, 有 理 分 式 77 B, 分 子 中 有 延 迟 因 子 79 C, 分 母 中 有 延 迟 因 子 79 D, 对 数 函 数 8 Ⅲ,Z-ransform(Z) 的 计 算 7, 几 个 重 要 概 念 8,Z-ransform(Z) 的 计 算 8 A, 直 接 法 8 B, 利 用 性 质 计 算 83 3,Inverse Z-ransform(IZ) 的 计 算 83 ), 有 理 分 式 83 ), 分 子 中 有 延 迟 因 子 84 3), 条 件 极 点 的 另 一 ( 简 便 ) 处 理 方 法 85 4), 分 母 中 有 延 迟 因 子 88 5), 有 限 项 情 况 89 6), 由 收 敛 域 ROC 判 定 信 号 的 性 质 9 4, 能 量 型 信 号 ROC 问 题 细 探 9 Ⅳ,Hilber ransform(h) 9 6

7 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:656674, 概 念 ( 定 义, 物 理 意 义 ) 9,H 的 计 算 9 A, 简 谐 信 号 9 B, 窄 带 信 号 93 C, 复 解 析 信 号 93 四, 系 统 分 析 94 Ⅰ, 有 关 概 念 94, 线 性 与 非 线 性 的 判 定 94, 时 变 与 时 不 变 的 判 定 95 3, 系 统 物 理 可 实 现 性 ( 因 果 性 ) 的 判 定 96 4, 系 统 稳 定 性 的 判 定 97 Ⅱ, 系 统 响 应 99, 与 迭 加 性 有 关 的 响 应 99, 对 简 谐 信 号 的 响 应 3, 对 任 意 输 入 信 号 的 响 应 4, 给 出 输 入 输 出 求 另 一 输 入 引 起 的 响 应 4 Ⅲ, 连 续 抽 样 系 统 7, 由 微 分 方 程 求 差 分 方 程 7, 由 H(S) 求 H(Z) 7 7

8 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Ⅳ, 混 合 系 统 分 析 8 Ⅴ,LI 系 统 的 模 拟 4 五, 信 号 中 成 份 的 提 取 4 Ⅰ, 信 号 ( 己 调 ) 幅 度 的 提 取 4 A,AM( 振 幅 调 制 ) 信 号 中 调 制 信 号 的 提 取 4 B,DSB( 双 边 带 抑 制 载 波 调 制 ) 信 号 中 调 制 信 号 的 提 取 5 C,SSB( 单 边 带 抑 制 载 波 调 制 ) 信 号 中 调 制 信 号 的 提 取 6 Ⅱ, 信 号 相 位 的 提 取 9 A, 调 频 信 号 (FM) 中 调 制 信 号 的 提 取 9 B, 其 它 相 位 信 号 中 信 号 相 位 的 提 取 Ⅲ, 振 幅 相 位 同 时 提 取 Ⅳ, 组 合 信 号 中 信 息 的 提 取 8

9 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:

10 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 信 号 与 系 统 解 题 诀 窍 -, 信 号 的 时 域 运 算 信 号 的 时 域 运 算 是 指 在 自 变 量 域 内 ( 如 时 域 ) 的 变 换, 在 信 号 与 系 统 和 信 号 处 理 中 主 要 有 十 二 种 ( 线 性 运 算 ; 共 轭 运 算 ; 比 例 反 折 运 算 ; 对 称 运 算 ; 时 移 运 算 ; 频 移 运 算 ; 卷 积 及 相 关 运 算 ; 乘 积 运 算 ; 微 分 运 算 ; 积 分 运 算 ; 重 复 运 算 ; 帕 塞 瓦 尔 运 算 ~~ 另 外 还 有 k 及 n k 加 权 ), 它 们 在 工 程 中 有 应 用 在 课 程 中 放 在 各 种 变 换 ( 如 Fourier 变 换,Laplace 变 换, Z 变 换 ) 的 性 质 中 讲 授 但 在 计 算 问 题 时 的 技 巧, 在 教 材 中 一 般 是 不 涉 及 的 下 面 列 出 一 些 主 要 技 巧 性 的 方 法 Ⅰ, 信 号 的 线 性 组 合 运 算

11 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 信 号 的 线 性 组 合 运 算 可 表 示 为 f ( ) c f ( ) c f ( ) 在 解 题 时, 有 几 种 重 要 情 况, 自 变 量 ( 横 坐 标 方 向 ) 上 的 迭 加, 例 如 3 n f ( ) Arec( ) Arec( ) 7 n3 在 表 达 式 中, 矩 形 信 号 的 宽 度 与 重 复 间 隔 相 等, 迭 加 的 结 果 就 是 相 互 连 接 了, 形 成 七 个 矩 形 的 宽 度 用 图 形 表 示 为 A f() 3 3 类 似 的 有 n f ( ) Brec( ) B n 及.5 n f ( ) Crec( ) cu( ) n 注 :rec 表 示 矩 形 函 数,u() 表 单 位 阶 跃 函 数, 将 信 号 分 解 成 线 性 组 合 在 信 号 变 换 计 算 时, 将 其 分 解 成 简 单 信 号 或 已 知 其 变 换 的 线 性 组 合, 可 大 大 的 简 化 运 算,

12 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 但 要 特 别 注 意 分 解 要 等 效 ( 不 要 改 掉 了 项 数 ); 以 及 组 合 以 后 信 号 的 类 型 变 化, 在 做 变 化 时 收 敛 域 要 发 生 变 化 如 下 例 A A f ( ) f( ) f( ) u( ) ( ) u( ) 这 个 结 果 是 错 误 的, 因 为 f( ) f( ) 的 组 合 信 号 波 形 为 图 A, 不 是 f() 的 波 形, 而 f() 应 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 为 3 A A u( ) ( ) u( ) Au( ) 如 果 对 f () 作 L, 则 有 f() f () f () f 3 () 图 A f () L S A, A s f() L e, S A s f3() L e, S A S S 按 线 性 性 质 f ( ) L F( S) ( e e ),, 这 就 是 错 误 的, 因 为 f() S 是 由 功 率 信 号 经 线 性 组 合 而 成 为 能 量 型 信 号, 它 的 L 应 为 A S S f ( ) L F( S) ( e e ), S S S S 这 里 最 重 要 的 是 收 敛 域 扩 大 了 又 如 信 号 A A f ( ) f( ) f( ) u( ) ( ) u( ) 这 是 错 误 的, 因 为 f () 与 f () 线 性 组 合 的 波 形 为 图 A, 不 是 给 定 的 f() 的 波 形 此 处 应 当 写 成

13 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 3 A u( ) A ( ) u( ) A ( ) u( ) 如 果 对 f() 作 L, 按 线 性 性 质 有 f () L S A, A S f() L e, S A S f3() L e, S f() f () f () f 3 () 图 A 按 线 性 性 质 A S S f ( ) L F( S) ( e e ),, s 这 就 错 了, 因 为 f () f () f () 3 三 个 因 果 信 号 线 性 组 合 以 后, 形 成 了 能 量 型 信 号, 其 L 应 为 A S S f ( ) L F( S) ( e e ),, s 特 殊 在 于 收 敛 域 的 扩 大 3, 分 解 为 直 线 及 抽 样 时, 注 意 斜 率 的 变 化 当 将 高 度 为 A, 底 宽 为 的 等 腰 三 角 形 波 在 持 续 期 内 抽 样 成 N 点 成 离 散 信 号 f( n) 的 表 达 式, 则 为 f ( n) A nu( n) A ( n N) u( n N) A ( n N) u( n N) N N N 3

14 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 这 里 斜 率 是 A N, A 而 不 是 4, 线 性 运 算 及 相 应 变 换 Def: 两 个 或 两 个 以 上 的 信 号 各 乘 以 常 数 后 求 和 得 到 一 个 新 的 信 号, 这 种 运 算 称 为 信 号 的 线 性 运 算 ( 或 线 性 组 合 ) 用 数 学 公 式 可 表 示 为 M f ( ) c f ( ) in M f ( n ) c f ( n ) i in 注 意 : 新 的 信 号 可 以 是 组 合 前 之 信 号 幅 度 迭 加 ; 也 可 是 自 变 量 ( 横 座 标 ) 上 的 迭 加 i i 用 图 形 ( 波 形 ) 表 示 为 ( 左 圄 为 幅 度 迭 加 ; 右 图 为 自 变 量 ( 横 座 标 ) 上 的 迭 加 ( 能 量 型 信 号 可 有 限 重 复 形 成 能 量 型 信 号, 正 时 域 无 限 重 复 形 成 半 周 期 信 号 ; 正 负 时 域 无 限 重 复 形 成 周 期 信 号 ) 离 散 情 况 类 似 ) i A f () f () f () f () B A+B f() f() 幅 度 ( 纵 座 标 函 数 值 ) 迭 加 自 变 量 ( 横 座 标 ) 迭 加 Ransfom Varying: FS-Co~Coninuous: 首 先, 判 定 组 合 形 成 的 新 信 号 是 否 是 周 期 信 号? 其 次, 若 不 是 周 期 信 号 则 新 信 号 不 存 在 FS; 新 信 号 若 是 周 期 信 号 则 有 M F( jk) cif i( jk i) in 4

15 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 是, i,,3, 等 的 最 大 公 约 数 ; 其 中 i 或 是 i,,,3, i 等 的 最 小 公 倍 数 FS-Co~Discree: 首 先, 判 定 判 定 各 离 散 信 号 是 否 是 周 期 信 号? 例 Ⅰ: 离 散 信 号 cos( ) n 并 求 出 其 离 散 信 号 的 周 期 cos( n) 离 散 间 隔 = N 4 N cos( ) 即 在 cos( ) n 例 Ⅱ: 离 散 信 号 cos( ).4 n 的 一 个 周 期 内 有 整 数 N=4 个 离 散 样 点, 故 是 周 期 N=4 的 离 散 周 期 信 号 cos( n) 离 散 间 隔 = N N.4 离 散 周 期 信 号 的 周 期 N 必 须 是 整 数 ; 而 cos( ).4 n cos( ) 内 有 N=4.8 个 离 散 样 点, 故 只 有 在 原 cos( ) 在 的 一 个 周 期 五 个 周 期 ( 每 个 周 期 内 有 N=4.8 个 离 散 样 点 ) 共 有 4 个 离 散 样 点, 才 形 成 周 期 M=4 的 离 散 周 期 信 号 例 Ⅱ: 离 散 信 号 cos( n ) 判 定 组 合 形 成 的 新 信 号 是 否 是 周 期 信 号? cos( n) 离 散 间 隔 = N N 离 散 周 期 信 号 的 周 期 N 必 须 是 整 数 ; 而 cos( ) cos( ) n 在 的 一 个 周 期 内 有 N= 个 离 散 样 点, 是 无 理 数, 不 存 在 一 个 整 数 ( 即 原 连 续 信 号 5

16 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: cos( ) 的 整 数 个 周 期 ) 乘 成 为 整 数 故 cos( ) ( 尽 管 cos 是 周 期 函 数 ) n 不 是 离 散 周 期 信 号 其 次, 判 定 组 合 形 成 的 新 信 号 是 否 是 周 期 信 号? 若 不 是 周 期 信 号 则 新 信 号 不 存 在 DFS; 新 信 号 若 是 周 期 信 号 ; 并 求 出 其 离 散 信 号 的 周 期 则 有 M F( jk) ci Fi ( jki ) 其 中 或 in 是, i,,3, 等 的 最 大 公 约 数 ; i 是 i,,,3, 等 的 最 小 公 倍 数 i FS: f FS Co e FS Co j k ( ) [ ] [ ] n 表 示 离 散 频 谱 ( 复 数 形 式 Fourier Serie s s Coefferenial ) f n FS Co e FS Co j k n ( ) [ ] [ ] n 表 示 离 散 频 谱 ( 复 数 形 式 Fourier Serie s s Coefferenial ) F~~Coninuous Specrum Densiy: 幅 度 迭 加 情 况 : f ( ) F( j) c F ( j) M in j j f ( n ) F( e ) c F ( e ) M 例 Ⅰ: 前 面 左 图 ( 幅 度 迭 加 ) 所 示 信 号 in f ( ) F( j) [ Asin c( ) Bsin c( )] e i i i i j 6

17 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( n) ( ) F e A c B c e k j j ( ) {[ sin ( ) sin ( )] } ( ) k 前 面 右 图 ( 时 间 迭 加 ) 所 示 信 号 j j f ( ) F( j) Asin c( ) e [ e ] f ( n) f ( ) ( ) j j j F( e ) Asin c( ) e [ e ] [ ( k) k 例 Ⅱ: n f ( ) ARe c( ) Au( ) n A A ( ) j f ( n) f ( ) ( ) Au( ) ( ) Au( n ) A [ A ( ) ] [ ( k) j ] k n f ( ) ARe c( ) A n A ( ) f ( n) f ( ) ( ) u( n) u( n ) [ A ( )] [ ( k) n k N N n f ( ) ARe c( ) A[ u( ) u( N ) ARe c( ) N NA sin c( N) e j N 7

18 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( n) f ( ) ( ) A[ u( n) u( n N ) j N [ NA sin c( N) e ] [ ( k) k DF: 条 件 是 组 合 前 之 信 号 fi( n) i,,3, 的 持 续 N 点 要 相 同 ; 且 只 有 幅 度 迭 加 m m f ( n ) c f ( n ) F( k) c F ( k) N i i i i i N i Laplace ransform: M Formula: f ( ) c f ( ) F( s) c F ( s) in M i i i i in ROC : 一 般 取 公 共 ROC; 但 注 意 非 能 量 型 信 号 线 性 运 算 后 成 能 量 型 信 号, 此 时 ROC 会 扩 大 ; 同 样 能 量 型 信 号 线 性 运 算 后 成 非 能 量 型 信 号, 其 ROC 会 减 小 下 面 举 例 说 明 例 Ⅰ: f ( ) u( ) u( ) u( ) L,Re[ s] s s u( ) L e,re[ s] s s f ( ) L F( s) ( e ),Re[ s} (, ) s ( 公 共 ROC 是 Re[ s}, 它 比 (-, ) 小 得 多 )) 例 Ⅱ: f ( ) u( ) ( ) u( ) ( ) u( ) u( ),Re[ s] s s ( ) u( ) e,re[ s] s s s ( ) u( ) e,re[ s] 8

19 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 但 f F s e e s s s ( ) ( ) ( ), (, ) (ROC 比 公 共 ROC 扩 大 了 ) 因 为 f() 如 下 图 所 示, 由 三 个 功 率 型 信 号 经 线 性 运 算 后 成 为 能 量 型 信 号, 而 能 量 型 信 号 之 L 的 ROC 为 Re[ s] (, ) 的 u() f() -(-)u(-) (-)u(-) 例 Ⅱ 的 图 示 例 Ⅲ: i f ( ) Re c( ), i k s k s Re c( ) Fk ( s) ( e ) e,re[ s] (, ) s 但 f() 由 线 性 运 算 后 成 为 正 时 域 的 功 率 型 信 号, 而 正 时 域 的 功 率 型 信 号 之 L 的 ROC 为 Re[ s] c ) c ( 本 题 Z-ransform: M f ( n ) c ( ) ( ) ( ) Formula: i fi n F z cifi z in M in 9

20 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ROC : 一 般 取 公 共 ROC; 但 注 意 非 能 量 型 信 号 线 性 运 算 后 成 能 量 型 信 号, 此 时 ROC 会 扩 大 ; 同 样 能 量 型 信 号 线 性 运 算 后 成 非 能 量 型 信 号, 其 ROC 会 减 小 下 面 举 例 说 明 例 Ⅰ: f ( n) u( n) u( n N) z u( n) z, z z z N u( n N) z z, z z z N f ( n) z F( z) ( z ), z z ( 公 共 ROC 是 z, 它 比 z 小 得 多 )) 例 Ⅱ: f ( ) u( ) ( ) u( ) ( ) u( ) z nu( n) f ( z) z. N( z) z N ( n N) u( n N) z z. N( z) z N( z) N ( n N) u( n N) z z. 但 z f F s z z z Nz ( ) N N ( ) ( ) ( ), (ROC 比 公 共 ROC 扩 大 了 ) 因 为 f() 如 下 图 所 示, 由 三 个 功 率 型 信 号 经 线 性 运 算 后 成 为 正 时 域 的 能 量 型 信 号, 而 正 时 域 的 能 量 型 信 号 之 z 的 ROC 为 z 的 例 Ⅲ: n im f ( n) Re c( ), M N N i n G z G Re c( ) F( z) z, z N z 但 f() 由 线 性 运 算 后 成 为 正 时 域 的 功 率 型 信 号, 而 正 时 域 的 功 率 型 信 号 之 L 的 ROC

21 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 为 Re[ s] c ) c ( 本 题 k ( 本 题 k f ( n) F( z) F ( z), z c c ) nu(n). f(n) N N n -(n-n)u(n-n) N N n (n-n)u(n-n) N N n N N n 例 Ⅱ 的 图 示 Ⅱ, 卷 积 ( 褶 积 ) 与 相 关 运 算 卷 积 与 相 关 在 物 理 意 义 上 有 很 大 的 区 别, 前 者 的 线 性 卷 积 类 是 信 号 通 过 线 性 时 不 变 系 统 的 零 状 态 响 应 ; 而 后 者 是 两 个 信 号 波 形 形 状 的 相 似 程 度 的 度 量 但 卷 积 和 相 关 的 计 算 除 一 个 信 号 自 变 量 倒 转 ( 相 关 ) 外, 其 他 是 完 全 一 样 的 这 里 先 考 虑 线 性 卷 积 和 线 性 相 关 的 计 算, 至 于 循 环 卷 积 和 循 环 相 关 的 区 别, 在 最 后 指 出, 对 于 连 续 信 号 情 况, 对 于 离 散 信 号 情 况 f ( ) f ( )* f ( ) f ( ) f ( ) d f ( ) f ( ) d

22 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( n) f ( n) f ( n) f ( m) f ( n m) m m f ( m) f ( n m) 两 个 信 号 的 相 关 函 数 则 为 R ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) R ( m) f ( n) f ( n) f ( n) f ( n) 计 算 卷 积 ( 含 相 关, 下 同 ) 的 技 巧 方 法 有 两 类, 直 接 法 直 接 法 计 算 卷 积 就 直 接 按 定 义 或 图 解 求 出 卷 积, 由 于 卷 积 积 分 ( 或 积 和 ) 比 一 般 积 分 ( 或 积 和 ) 都 困 难 或 者 复 杂, 所 以 在 解 题 时, 只 有 以 下 几 种 情 况 应 用 ( 必 用 ) 直 接 法 较 为 简 便 ), 相 卷 积 的 两 个 信 号 一 是 能 量 型 信 号, 二 是 两 波 形 的 乘 积 是 易 于 求 面 积 的 规 则 几 何 图 形 f () A B f () AB min 上 图 两 个 矩 形 信 号 均 是 能 量 型 信 号, 其 乘 积 也 为 矩 形, 其 面 积 ( 积 分 ) 易 于 求 得

23 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 用 卷 积 的 定 义 式 或 图 解 法 可 求 得 其 卷 积 f() 是 一 梯 形 波 信 号 ( 当 梯 形 上 底 宽 为 零 时, 则 为 三 角 形 ) 梯 形 的 参 数 分 别 为 上 底 宽 L 下 底 宽 L 高 h A B min ( min 表 示, 中 小 的 一 个 ) 中 心 位 (, 本 身 带 符 号 ) 对 于 两 个 离 散 矩 形 信 号, 则 有 N A N N n n B n n n +n n N+N - f( n ) 为 梯 形 抽 样 信 号 与 一 个 抽 样 矩 形 信 号 之 和, 其 参 数 值 为 上 底 宽 L N N 下 底 宽 L N N 高 h ABN (Nmin 表 N N 中 最 小 的 ) min 中 心 n n n 3

24 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ), 两 个 单 边 指 数 的 线 性 卷 积 因 为 指 数 信 号 积 分 很 简 易, 所 以 可 直 接 计 算 卷 积 上 式 合 并 可 写 成 a b a b f ( ) Ae u( ) Be u( ) a b( ) ABe e d ( () { a b AB ( e e ab ) AB a b f ( ) ( e e ) u( ) ab 当 ab 时, 用 罗 比 塔 法 则, 求 上 式 得 f ( ) e a u( ) e b u( ) e a u( ) u 换 下 限, u ( ),( a b ) 换 上 限 ) 对 于 离 散 指 数 信 号, 则 类 似 的 有, a b n n f ( n) a u( n)* b u( n) m nm a u( m) b u( n m) m n m n m ab ( um ( ) 换 下 限, u( n m) 换 上 限 ) n 4

25 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: b n n n n n n m a b b a m ( a ) or b ab ba 当 ab 时, 仍 用 不 定 式 确 定 法, 可 得 f ( n) a n u( n)* a n u( n) ( n ) a n u( n) 3), 任 意 信 号 与 的 卷 积 f ( ) A ( ) Af ( ) 其 解 析 式 比 较 简 单, 但 在 作 图 时 要 注 意, 是 将 信 号 f() 的 坐 标 原 点 ( 不 是 信 号 的 起 点 终 点 中 心 点 ) 移 到 函 数 的 位 置 处 ( 不 管 信 号 在 坐 标 原 点 是 否 为 零 ) 信 号 与 信 号 的 n 阶 微 分 的 卷 积 则 可 利 用 卷 积 的 微 分 性 质, 即 有 f ( )* ( ) f ( )* ( ) ( n) ( n) 对 于 离 散 信 号 则 是 类 似 的 如 f ( n) g( n)* A ( n N) Ag( n N) 4), 任 意 信 号 与 阶 越 信 号 u () 的 卷 积 f ( ) u( ) f ( ) d 如 果 f() 的 参 量 积 分 易 于 求 得, 则 可 用 此 方 法, 否 则 用 后 面 的 变 换 法 u( ) u( ) u( ) d d 5

26 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: () u 对 于 离 散 信 号 有 n f ( n) u( n) f ( m) m 5), 两 个 有 限 长 度 数 值 序 列 的 线 性 卷 积 有 限 长 数 值 序 列 的 线 性 卷 积, 较 方 便 的 方 法 是 用 乘 法 竖 式 法 但 必 须 将 两 个 信 号 经 位 移 处 理 成 从 n= 开 始 的 因 果 数 值 序 列 其 处 理 方 法 是 : 当 信 号 是 不 从 n= 开 始 的 因 果 信 号, 则 在 左 边 从 n= 开 始 补 零, 如 下 图 f ( n ) 是 从 n= 开 始 的 因 果 信 号, 则 需 在 左 边 补 两 个, 占 两 个 点 位, 写 成 矢 量 形 式 为 [,,8,5,]= f ( n ) : 当 号 在 负 时 域 时 则 需 用 的 卷 积 表 示, 如 右 边 B 中 的 f ( n ) 信 号, 需 将 n=-5 的 信 号 值 移 到 坐 标 原 点, f ( n ) 的 坐 标 原 点 则 移 到 n=6 的 位 置, 得 到 f ' ( n ) =[6,,3] 而 卷 积 f( n ) = f ( n )* f ( n ) 变 成 f( n ) = f ( n )* f ( n ) f ' ( ) f n * (n+6)= F ( n ) ( n 6) ' ( ) n 均 为 从 坐 标 原 点 开 始 的 因 果 信 号, 下 面 乘 法 竖 式 计 算 出 了 卷 积, 它 是 ' F(n)= f ( n )* f ( n ) 如 图 C 所 示 ; 要 求 f( n ) 还 得 再 同 (n+6) 卷 积, 即 左 移 6 位 ( 坐 标 原 点 的 信 号 值 移 到 n=-6 处 ) 如 图 D 所 示 注 意 : 在 作 乘 法 竖 式 计 算 时, 值 为 零 要 占 据 位 置, 不 能 省 略 6

27 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f (n)) n 3 5 图 A f () 图 B n 图 D F(n) n f(n) () 图 n C 用 乘 法 竖 式 法 表 示 如 下 F(n), 间 接 法 ( 又 称 变 换 法 ) 在 求 解 卷 积 问 题 时, 除 以 上 五 种 情 况 外, 均 应 用 变 换 法 求 解 变 换 法 有 三 种, 即 Fourier 变 换,Laplace 变 换 和 Z 变 换 无 论 是 那 种 变 换, 都 由 三 步 完 成, 即 对 卷 积 的 两 个 信 号 进 行 变 换 ; 两 个 变 换 相 乘 ; 求 乘 积 的 反 变 换 以 上 三 步 中, 第 二 步 两 个 变 换 的 乘 积 很 简 单, 7

28 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 无 技 巧 可 言 至 于 反 变 换 放 在 后 面 信 号 的 变 换 去 讨 论, 这 里 讨 论 第 一 步, 相 卷 积 的 两 个 信 号 的 变 换 问 题 这 里 首 先 要 分 清 谱 密 度 ( 含 功 率 能 量 谱 密 度 ) 是 线 性 卷 积 或 相 关 ;DF 则 是 循 环 卷 积 或 相 关 ; 离 散 频 谱 则 是 周 期 卷 积 其 次 两 个 信 号 的 卷 积 与 相 关 的 计 算 虽 都 是 卷 积, 但 结 果 有 区 别, 间 接 法 就 是 用 变 换 的 卷 积 性 质 ), Fourier 变 换 (F) Fourier 变 换 是 在 引 入 冲 激 函 数 后, 其 适 应 范 围 比 Laplace( 连 续 信 号 ) 变 换 (L) 和 Z 变 换 (Z)( 离 散 信 号 ) 都 大 得 多 原 则 上 讲 大 多 连 续 信 号 和 离 散 信 号 以 及 一 些 不 存 在 L 和 Z 的 信 号, 都 课 用 F 但 是 离 散 信 号 的 F 是 以 ( )( 为 离 散 间 隔 ) 为 间 隔 或 频 域 周 期 而 周 期 重 复 的, 在 作 第 二 步 乘 积 运 算 时 需 辅 以 图 标 相 对 要 繁 杂 些, 所 有 离 散 信 号 一 般 用 Z 对 于 连 续 信 号 可 用 F 或 L 由 于 L 在 作 反 变 换 时, 其 自 变 量 为 复 量, 而 F 是 虚 部 jw, 写 时 简 洁 性 差 些, 所 以 常 用 L 但 有 下 列 几 种 情 况, 用 L 不 仅 繁 而 且 很 难, 必 须 用 F A, 超 越 函 数 SinC 的 卷 积 f ( ) Asin c( ) BSinc( ) b c ASinc ( ) p b Sincc ( ) p c A ASinc ( ) rec( ) e b b B BSinc ( ) rec( ) c c j 8

29 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: A/b ( ) b b b b - ( ) AB/bc B/c b c c 根 据 卷 积 性 质 有 AB F( j) rec( ) e bc b f ( ) AB SinCb ( ) j ( ) p 因 为 SinC 的 L 是 难 于 求 出 的, 所 以 此 处 不 能 用 L, 而 用 F 就 很 简 便 B, 简 谐 信 号 的 卷 积 简 谐 信 号 9

30 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: j jn Ae ASin Acos Ae ASin n Acos n 不 存 在 L 和 Z, 它 们 的 卷 积, 可 用 F 变 换 进 行 卷 积 运 算 还 是 比 较 方 便 的 例 如 f ( ) Acos ( ) Bsin ( ) 用 频 谱 密 度 ( 线 性 ) 卷 积 性 质, 计 算 于 下 j j F( j) A[ ( ) e ( ) e ] B e e j j [ ( ) ( ) ] AB e e j( j ( ) ) [ ( ) ( ) ] f ( ) AB cos ( ) 这 个 结 果 是 不 正 确 的 因 为 简 谐 信 号 是 周 期 信 号, 其 卷 积 性 质 是 离 散 频 谱 的 关 系 故 应 该 是 A A e e B B e e j j cos ( ) [ ( ) ( ) ] j j cos ( ) [ ( ) ( ) ] 周 期 信 号 的 离 散 频 谱 卷 积 关 系 是 故 有 f ( ) F( jn ) F ( jn ) F ( jn ) AB F jn e e 4 j ( ) j ( ( ) [ ( ) ( ) ) ] AB f ( ) cos w ( ) 则 得 及 相 关 函 数 为 3

31 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: AB R( ) cos w ( ) ( 注 意 相 关 函 数 的 中 心 位 置 与 卷 积 是 不 同 的 ; 以 及 周 期 相 关 函 数 与 周 期 卷 积 定 义 中 积 分 前 系 数, 将 导 致 重 要 的 差 别 ) C, 简 谐 信 号 与 其 它 信 号 的 卷 积 jw ( j y) F( j) e F( jy) l dy jw jy e F( y) e dy j f ( ) e j j( ) F( j)* e F( j) l d jw j e F( j) l d j F( j) e D, 不 存 在 L 或 Z 的 双 边 信 号, 可 试 用 Fourier 变 换 求 解 卷 积, a b e u() 和 e u( ) a e u() L s a b e u( ) L b s 的 卷 积, 因 有 如 果 a>b, 则 f() 不 存 在 L, 作 卷 积 就 不 好 办 但 a e u() L j a b e u( ) L b j a b 3

32 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: a b f ( ) e u( ) e u( ) ja b j ( b a e e ) ab 对 离 散 信 号 ( ) n ( ) z f n a u n z a z a ( ) n ( ) z f n b u n b z z b 如 果 a b, 则 没 有 Z 变 换 这 时 可 用 F 求 解 除 以 上 情 况 外, 对 连 续 信 号 用 L, 离 散 信 号 用 Z 求 解 具 体 反 变 换 在 下 面 的 变 换 中 讨 论 ),Laplace ransform 3),Z ransform 3, 相 关 函 数 结 果 与 卷 积 的 区 别 信 号 的 相 关 函 数 在 计 算 方 法 和 信 号 卷 积 类 似, 如 两 个 信 号 的 线 性 卷 积 为 f ( ) f ( n)* f ( n) f ( ) f ( ) d f ( n) f ( n)* f ( n) f ( m) f ( n m) m 而 两 个 信 号 的 相 关 函 数, 是 先 将 一 个 信 号 时 间 倒 转 后, 再 求 卷 积, 即 有 3

33 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: R( ) f ( )* f ( ) f ( ) f ( ) d R( m) f ( m)* f ( m) f ( n) f ( n m) n 由 上 面 的 关 系 式 可 知, 相 关 函 数 的 计 算 虽 然 是 化 为 卷 积, 但 相 关 要 先 将 一 个 信 号 时 间 倒 转, 故 有 f ( ) f ( )* f ( ) F ( jw) F ( jw) l j[ ( jw) ( jw)] f () A 卷 积 图 C f () B 相 关 图 D 而 实 信 号 的 相 关 为 R( ) f ( )* f ( ) F ( jw) F ( jw) l j[ ( jw) ( jw)] 可 见 对 实 信 号 来 说, f() R() 的 相 位 谱 不 同, 前 者 是 相 加 ; 后 者 是 相 减, 所 以 两 个 实 信 号 的 卷 积 和 相 关 函 数 之 间, 波 形 相 同 ( 对 周 期 函 数 相 关, 幅 度 还 有 差 ) 但 位 置 不 同 例 如 ( 注 ra 是 rapegoid 的 字 头, 表 梯 形 ) f Arec Brec ( ) ( )* ( ) 33

34 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ABC ra(,, ) 其 中,, + 分 别 是 梯 形 上 底 下 底 和 中 心 位 置 上 面 A B 两 图 波 形 信 号 的 卷 积 如 C 图 所 示, 其 梯 形 中 心 是 两 个 矩 形 中 心 之 和 ; 而 相 关 是 图 D 所 示, 其 梯 形 中 心 是 两 矩 形 中 心 位 置 之 差 4, 循 环 卷 积 和 循 环 相 关 循 环 卷 积 和 循 环 相 关 是 两 个 能 量 ( 也 可 是 一 个 自 身 ) 信 号 的 卷 积 或 相 关, 它 与 线 性 卷 积 有 着 严 格 的 区 别, 但 也 有 内 在 的 联 系 ; 它 在 象 数 学 计 ( 离 散 数 值 ) 算 上, 能 够 表 示 成 矩 阵 形 式, 计 算 机 语 言 编 程 就 较 方 便 ), 连 续 ( 能 量 型 ) 信 号 的 循 环 卷 积 两 个 连 续 信 号 的 持 续 期 相 等 ( 可 以 零 值 补 充 ) 的 能 量 型 信 号, 它 们 的 循 环 卷 积 为 fc(), 下 标 c 表 示 循 环 卷 积 f ( ) f ( ) f ( ) d c 34

35 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f() f(-) 循 环 位 移 f(-) 线 性 位 移 图 C 这 里 除 了 积 分 区 间 与 线 性 卷 积 不 同 外, 而 且 位 移 也 不 是 线 性 位 移 而 是 循 环 位 移, 循 环 位 移 整 个 信 号 位 置 不 变, 只 是 信 号 内 位 置 的 变 动, 如 下 图 C 中 信 号 经 循 环 时 移 = 后 的 波 形, 其 信 号 波 形 在 时 间 轴 上 的 位 置 不 变, 但 波 形 形 状 发 生 了 变 化 连 续 循 环 卷 积 ( 或 循 环 相 关 函 数, 下 同 ) 的 计 算, 是 将 两 个 信 号 的 持 续 期 延 成 相 等, 再 延 拓 成 周 期 信 号, 像 前 面 计 算 周 期 卷 积 一 样, 计 算 出 延 拓 后 信 号 的 周 期 卷 积, 再 取 ~ 的 主 周 期 值, 则 为 循 环 卷 积 例 如 下 图 两 个 信 号 的 循 环 卷 积 f ( ) Arec( ) f( ) B cos ( ) 4 首 先 将 两 个 信 号 延 拓 成 以 =4 的 周 期 信 号, 则 有 A f ( ) f ( ) ( ) F ( jn ) sin c e ( n ) j

36 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: B j j f ( ) f( ) 4 ( ) F ( jn ) [ e ( ) e ( )] f () 4 f () A 4 由 离 散 频 谱 的 巻 积 性 质 有 f ( )* f ( ) F( jn ) F( jn ) 4 4 AB j( ) AB j( ) sin c e ( ) sin c e ( ) 8 8 AB j AB j 4 4 e ( ) e ( ) 4 4 AB AB 4 4 j( ) ( j ) 4 4 e e AB s( ) ), 两 个 能 量 型 离 散 信 号 卷 积 计 算 所 给 两 个 离 散 能 量 信 号 f ( n ),n=., N 和 f ( n ),n=., m, 求 其 循 环 卷 积, 离 散 间 隔 相 同 首 先 将 两 个 信 号 中 长 度 M 或 N( 设 M<N) 中 小 的 一 个 加 零 延 长 至 长 的 一 个 长 度 N 36

37 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 次 如 果 要 用 变 换 法, 则 只 能 用 DF 的 卷 积 性 质 ( 不 能 用 Z L, 因 为 Z L 的 卷 积 性 质 是 对 线 性 卷 积 的 ) 计 算 ( 三 步 法 : 第 一 步 求 两 个 信 号 的 DF; 第 二 步 求 两 个 信 号 的 DF 的 乘 积 ; 第 三 步 求 乘 积 的 IDF) 其 循 环 卷 积 当 然 也 可 用 直 接 法 计 算 例 如 信 号 f ( n ) = a n (a>),n=., N 和 信 号 f ( n ) =,n=., N, 求 它 们 的 循 环 卷 积, 按 照 三 步 法 有 ( aw ) f ( n) F ( k) a W ( aw ) N N k N n kn k n N N N k n n awn N kn w f( n) F( k) wn w n kn N k N k N kn ( awn) wn F( k) F( k) F( k) k k aw w 由 上 可 见, 用 DF 在 求 反 变 换, 也 不 能 简 易 得 到 结 果 必 要 时 也 可 用 矩 阵 表 示 如 本 例 可 先 N N 定 义 f n a a a ( ) [,,,, N ] f ( n) [,,,,] F ( k) [ F (), F (),, F ( N )] W N F ( k) [ F (), F (),, F ( N )] W, W,, W...( N ) N N N.. ( N ) N, N,, N W W W W N W, W,, W...( N ) N N N.. ( N ) N, N,, N W W W W, W,, W ( N ). ( N ). ( N ) N N N W, W,, W ( N ). ( N ). ( N ) N N N f ( n) [ f (), f (),, f ( N )] F ( k) W f ( n) N 则 有 N F( k) F ( k) F ( k) F ( k) W f ( n) 37

38 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f n W F k F k N ( ) N ( ) ( ) 信 号 f ( n ) 是 恒 定 幅 度 信 号, 周 期 延 拓 后 成 一 整 个 时 间 范 围 内 部 都 是 恒 定 幅 度 ; 而 f ( n ) 又 是 一 等 比 序 列 f ( n ) 与 f ( n ) 的 任 何 位 移 在 周 期 N 内 相 乘 都 是 有 限 长 的 等 比 序 列, 便 于 求 和 所 以 本 例 采 用 直 线 法 较 为 简 便, 结 果 也 很 简 洁 N f ( n) f ( m) f ( n m) m N a m m a N a 3), 两 个 数 值 序 列 的 循 环 卷 积 数 值 序 列 的 循 环 卷 积 可 用 矩 阵 计 算 所 给 两 个 数 值 序 列 长 度 不 一 样 时, 首 先 要 在 较 短 序 列 后 加 零 延 长 到 两 个 序 列 长 度 相 等 并 且 位 于 同 一 时 间 区 段 内 数 值 卷 积 的 计 算 是 将 卷 积 排 列 成 矩 阵 相 乘, 其 规 则 为 f ( n) f ( n)* f ( n) f ( n ) 或 f ( n ) 排 列 方 阵, 其 规 则 为 n,,,, N f ( n) [ f (), f ()., f ( N )] f ( n) [ f (), f ( N )., f ()] f ( n) [ f (), f ( N )., f ()] f (), f (),, f ( N ), f (), f (),, f (), W f (), f (3),, f (), f (), f (),, f ( N ), f (), f (),, f (), W f (), f (3),, f (), f ( N ), f (),, f ( N ), f ( N ), f (),, f ( N ), 38

39 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 循 环 卷 积 为 如 信 号 f ( n) W f ( n) W f ( n) f ( ) n [5,3,] f ( ) n [6,5,3,] 须 将 f ( n ) 延 拓 成 f ( ) n [5,3,,] f ( n) f ( n)* f ( n) 则 有 f () 5, 3,, 6 4 f () 3,,, 5 47 f (),, 5, f (3), 5, 3, 5 9 6, 5, 3, 5 4 5, 3,, ,, 6, 5 4, 6, 5, 或 4), 用 循 环 卷 积 计 算 线 性 卷 积 用 循 环 卷 积 计 算 线 性 卷 积, 将 相 卷 积 的 两 个 信 号 加 零 延 拓 成 两 信 号 长 度 之 和 减 如 上 例 f ( n) [5,3,] [5,3,,,,] f ( n) [6,5,3,] [6,5,3,,,] 下 面 分 别 列 出 矩 阵 法 式 和 竖 式 乘 法 结 果 39

40 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f () 5, 3,,,, 6 3 f () 3,,,,, 5 43 f (),,,, 5, 3 4 f (3),,, 5, 3, 9 f (4),, 5, 3,, 3 f (5), 5, 3,,, 5 4 5, 3,,,, 6, 5, 3,,,,,,,,,,,,,,,, 6, 4,,,, 5, 9, 6,,,, 5, 5,,,,, 3, 8,,,,, 3, 43, 4 9, 4,,,,, 由 上 可 见, 两 种 计 算 方 法 所 得 结 果 完 全 相 同 5), 要 特 别 指 出 的 问 题 在 结 束 卷 积 与 相 关 运 算 时, 要 特 别 指 出 的 是 : 第 一, 卷 积 分 线 性 卷 积 与 周 期 卷 积 和 循 环 卷 积 三 种, 彼 此 是 有 区 别 的 表 现 在 作 卷 积 或 相 关 的 信 号 类 型 积 分 或 求 和 的 区 间 ; 位 移 的 类 型 ; 结 果 的 区 别 这 四 个 方 面 ; 第 二, 循 环 卷 积 与 线 性 卷 积 有 一 定 的 联 系, 在 计 算 机 上 能 较 方 面 的 用 循 环 卷 积 计 算 现 性 4

41 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 卷 积 ; 第 三, 卷 积 或 相 关 与 谱 的 关 系 是 :. 线 性 卷 积 f( )* f( ) S( jw) S( jw) 是 频 谱 密 度 的 关 系. 周 期 卷 积 f ( )* f ( ) S( jnw ) S( jnw ) 是 离 散 频 谱 的 关 系 3. 相 关 函 数 R( ) E( ) 4. 周 期 信 号 的 功 率 谱 密 度 或 P( ) 是 能 量 或 功 率 谱 密 度 的 关 系 P( ) s( jn ) ( 离 散 频 谱 ) n 5. 周 期 信 号 的 周 期 相 关 函 数 与 周 期 卷 积, 其 幅 度 相 差 一 个 系 数 因 为 周 期 相 关 函 数 是 定 义 为 R( ) f( ) f( ) d 第 四, 关 于 一 些 特 殊 的 卷 积 A, 能 量 型 信 号 的 卷 积. 持 续 期 有 限 的 能 量 型 信 号 卷 积 f ( ), 持 续 期, f ( ) 持 续 期, 结 果 的 持 续 期 为 3 ) f ( n m ), 持 续 期 N, f( n m) 持 续 期 M, 则 ) f ( n m ) f ( n m ) f ( n m m ) 持 续 期 L M N 3. 持 续 期 无 限 的 能 量 型 信 号 的 卷 积 a a b Sinca, e, e u( ), e u( ),, n 及 sin cb n, nu( n), a u( n), a n 等. * ( jsgn( w)), 故 * ( ) 其 中 4

42 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 是 难 于 求 解 的 e a u( )* e b u( ), a n u( )* a n u( ) B, 功 率 型 信 号 的 卷 积. 无 限 持 续 期 功 率 型 信 号 的 卷 积 )sgn()*sgn() )sgn(n)*sgn(n) 3)c*c 4) 周 期 卷 积. 半 轴 功 率 型 信 号 的 卷 积 )u()* u()= u(), u(n)* u(n)= (n+)u(n) )u()* u(-)= u(-) u(-n)* u(-n)= (-n+)u(-n) 3)u()* u(-)= u(m)* u(-n)= C, 功 率 型 信 号 与 能 量 型 信 号 的 卷 积 条 件 : 功 率 型 信 慢 变 化, 能 量 型 信 号 持 续 期 很 短, 即 有 而 周 期 卷 积 则 定 义 为 f ( )* f ( ) Af ( ) P E p, A fe () d / f ( ) f ( ) f ( ) d 3 / 由 此 可 见, 相 关 函 数 不 仅 要 将 一 个 信 号 时 间 倒 转 后 再 求 卷 积, 而 且 幅 度 相 差 一 个 系 数 ( 周 期 ) Ⅲ, 信 号 的 积 分 运 算 4

43 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 有 些 信 号 的 积 分 比 较 繁 杂, 可 以 用 信 号 分 析 中 有 关 方 法 大 大 简 化 积 分 计 算 常 见 的 积 分 有 两 类 ; 一 类 是 参 量 积 分 ; 另 一 类 是 定 积 分, 参 量 积 分, 参 量 积 分 结 果 是 积 分 限 的 函 数, 计 算 时 将 其 化 为 卷 积 运 算 求 解, 即 有 f ( ) d f ( )* u( ) 例 如 已 知 g () 的 频 谱 密 度 为 G( j ), 求 的 频 谱 密 度 F( j ) f ( ) g( b) d 设 - =, 则 有 d = d; 当 = 时, 积 分 下 限 变 成 =, 当, 积 分 上 限 变 成, 代 入 上 式 则 得 ( 上, 下 限 交 换 反 号 与 d 中 负 号 相 乘 ) 故 得 g( b) d g( b) d g( b)* u( ) jb f ( ) F( j) G( j) e ( ) j G() ( w) j G( jw) l w jbw 注 : 此 形 式 是 (, ) 区 间 上 的 定 积 分, 但 被 积 函 数 中 有 与 积 分 无 关 的 参 量, 所 以 是 参 量 积 分, 将 其 化 为 标 准 参 量 积 分 求 解, 持 续 在 区 间 (a,b) 上 函 数 的 定 积 分, 如 b f () d, a 43

44 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 或 Asin c5 ( ) d. Arec( ) l j 其 特 点 是 被 积 函 是 一 次 方, 不 能 用 parserval 定 理 这 种 情 况 如 被 积 函 数 是 时 间 函 数, 则 用 频 谱 密 度 在 的 方 法 处 理 如 及 b b a a j o f ( ) d f ( ) e d F( j) F() Asin c5 ( ) d. Arec( ) l j 如 被 积 函 数 是 频 频 函 数, 则 用 Fourier 反 变 换 处 理, 如 因 j d = ( ) a a a a a e a e d a a 故 有 d e a a a j 又 如 求 f () F( j ) e d F( j ) d ( 谱 密 度 的 积 分 ) j 及 时 F() f ( ) e d f ( ) d ( 信 号 的 积 分 ) 由 以 上 两 例 可 见, 利 用 频 谱 密 度 的 关 系, 可 以 简 单 地 计 算 出 难 度 很 大 的 积 分 3, 持 续 在 区 间 (a,b) 上 函 数 平 方 的 积 分 如 b a f () d 或 b F ( j ) d a 往 往 是 难 于 用 普 通 方 法 得 到 结 果 的, 但 可 用 Parserval 定 理 处 理 这 种 问 题 分 三 种 情 况 : 44

45 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: A, 第 一 种 情 况 被 积 函 数 是 能 量 型 函 数, 这 时 有 例 如 E f ( ) d F( jw) dw E Asin ca( ) d? 因 为 Asinca( ) 则 有 A rec ( ) e a a j A A E( w) ( ) rec( ) R( ) sin ca a a a A Asin ca( ) d ( ) rec( ) d a a A A a a a R() 又 例 如 因 为 4 sin a 4 d sin a a rec( ) a a ( 注 : Ari( ) f ( ) rec( )* rec( ) a a p a a 4 a a 4 4 sin a a a F( j) ri( ) a a 表 示 高 为 A, 底 为 p, 中 心 位 于 的 等 腰 三 角 形 波 ) 则 有 sin a a d ri( ) d a

46 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: a 4 [4 ( ) d] a ( 下 图 ) 3 a a 4 [ a ] a a f () ) / -a a a/ a 4 f ( ) f ( ) -a -a a a f () / a [ ] 4 [ [ f ( ) f ( )] -a a -a -a a a 当 a= 时, 有 4 sin 4 d -a -a a a 3 类 似 有 sin a d a sin d ( a ) 而 sin a sin a j d e d rec( ) a 46

47 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: B, 第 二 种 情 况 f() 是 功 率 性 信 号 周 期 信 号 的 功 率 谱 密 度 P(w) 与 离 散 频 谱 间 有 P( ) F( jn ) ( n ) n 周 期 信 号 的 平 均 功 率 P 与 P(w) 间 的 关 系 符 合 parselval 定 理 P P( ) d f ( ) d 例 如 : 求 信 号 f ( ) Asin ( ) 的 功 率 谱 密 度 和 平 均 功 率 因 为 f() 的 离 散 频 谱 F( jn ) 为 A F( jnw ) ( ) ( ) e j j j A F( jn ) ( ) ( ) 4 A P( ) ( ) ( ) A P ( ) ( ) Asin w ( ) d A A A 4 4 对 于 相 关 函 数 F R( ) P( ) ( 注 意 这 里 F 不 是 FS), 则 有 jw jw R() A e A e cos A w 47

48 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f () f() C. 非 周 期 功 率 型 信 号 的 功 率 频 谱 密 度 和 功 率 在 信 号 与 系 统 中, 常 用 的 非 周 期 功 率 型 信 号 有 u(),sgn(), n n, a, l (a>) 这 种 情 况 下 注 意 两 点 : E ( w) 第 一, 它 们 的 功 率 密 度 P(w) 为 Pw ( ) lim 其 中 E ( w ) 是 截 取 一 段 长 度 的 信 号 f () ( 上 图 所 示 ) f () 是 能 量 型 信 号, E ( w ) = F ( jw ) 是 能 量 频 谱 密 度, 对 于 这 些 信 号, 只 能 得 到 表 达 式, 一 般 无 确 定 的 解 析 表 示 式 在 工 程 上, 是 用 其 他 方 法, 第 二, 他 们 的 平 均 功 率 P 为 P lim f ( ) d ( ) P d Ⅳ, 信 号 与 函 数 间 的 有 关 运 算 信 号 的 重 要 关 系, 基 于 有 比 例 位 移 时 间 反 转 ( ) ( ); ( a) ( ) a b b ( a b) [ a( ) [ a( ) a a b ( ) a a ( 3 ) [( )( )] ( ) ( ),, 基 于 ( ) ( ) 有 48

49 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f d f, ( ) ( ) ( ),, b, b ( a b) [ a( ) [ a( ) a a, b ( ) a a,,, f ( ) ( ) f () ( ) f () ( ), d ( ) ( ), ( ) d f f,, ( ) ( ) ( ) 函 数 与 信 号 的 运 算, 要 特 别 注 意 以 下 几 种 情 况, 与 信 号 相 乘 的 积 分 运 算 A, f ( ) ( ) d a, a或 b ( ), b a B, ( ) d b f a b ( ), f a 或 b, a b 或 a, a b, b, b, 函 数 的 微 分 与 信 号 间 的 运 算 A. ( n) n ( n) f ( ) ( ) d ( ) f ( ) ( ) d B. d ( ) ( ) C. f ( ) ( ) f () ( ) f () ( ) 3, 函 数 的 比 例 运 算 A. ( a) ( ) a 49

50 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: B. ( a) ( ) a 4, 函 数 与 信 号 的 卷 积 运 算 f ( )* ( ) f ( ) A. B. f ( ) f ( )* ( ), f () 周 期 信 号 f () 的 一 个 周 期 波 形 5, 函 数 位 置 运 算 A. ( ) ( ) ( ), 在 处, 有 存 在. B. (sin ) ( n ). sin n, 即 n 处, 存 在. n 6, 周 期 信 号 的 函 数 表 示 一 切 周 期 信 号 可 表 示 为 f ( ) f ( ) ( ) p 其 中 fp() 表 示 周 期 信 号, f () 是 周 期 信 号 的 一 个 周 期 Ⅴ, 信 号 的 比 例 反 折 时 移 联 合 运 算 这 种 问 题 是 作 图, 完 成 这 种 题 第 一 是 置 换 时 间 ; 第 二 是 置 换 顺 序 ; 第 三 比 例, 反 折, 时 移 均 以 坐 标 原 点 为 基 础 有 三 种 类 型 的 问 题, 下 面 分 别 讨 论, 给 定 信 号 f() 或 f( n ) 的 波 形, 求 f ( a b) 或 f ( an m) 的 波 形 5

51 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 第 一 置 换 顺 序 : 用 位 移 反 折 比 例 较 简 便 ( 先 + - 号, 后 乘 号 ) 第 二 逐 步 置 换 首 先, 用 -b 置 换 f() 的 如 b>, 将 f() 波 形 的 原 点 向 右 移 动 到 b 处 ; 如 b<, 将 f() 波 形 的 原 点 左 移 至 -b 处 得 f(-b) 波 形 其 次, 用 - 置 换 f(-b) 的 即 将 f(-b) 的 波 形, 以 纵 坐 标 为 基 准 反 折 ( 或 旋 转 8 ), 得 到 f(--b) 波 形 最 后, 用 a( 设 为 正 ) 置 换 f(--b) 中 的 当 a> 时, 将 f(--b) 时 间 轴 压 缩 a 倍, 当 a<, 将 f(--b) 扩 大 a 倍 无 论 是 压 缩 还 是 扩 大, 都 必 须 以 坐 标 原 点 为 基 准 例 如 一 己 知 信 号 如 下 图 A 所 示, 求 信 号 f(--3) 的 波 形 以 -3 置 换 f() 图 A 图 B f(-3) 图 C 以 - 换 以 换 图 D f(--3) f(--3) 注 意 D 的 坐 标 单 位 与 A B C 三 图 不 同, 所 以 波 形 显 得 较 窄, 由 已 经 位 移 反 折 比 例 运 算 的 信 号 求 原 信 号 即 已 知 f(-a-b) 的 波 形, 求 f() 第 一, 置 换 顺 序 : 用 比 例 反 折 位 移 较 简 便 ( 先 乘 号, 后 + - 号 ) 与 ) 相 反, 这 5

52 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 样 的 顺 序 与 由 f() 求 f(-a-b) 相 反 ; 但 问 题 也 是 相 反, 便 于 记 忆 第 二, 逐 步 置 换 首 先, 用 a 置 换 f(-a-b) 中 的, 根 据 的 值 是 大 于 还 是 小 于, 对 波 形 f(-a-b) 进 行 时 间 a 轴 放 大 (a>) 或 压 缩 (a<), 得 f(--b) 波 形 其 次, 用 - 置 换 f(--b) 中 的, 对 f(--b) 波 形 进 行 反 折, 得 f(-b) 波 形 最 后, 用 +b 置 换 f(-b) 的, 当 b> 时, 左 移 b; 当 b<, 右 移 b, 得 到 f() 的 波 形 例 : 已 知 信 号 f() 经 运 算 后 的 波 形 f(-+5) 如 图 A 所 示, 求 f() 的 波 形 ( 3) f(-+5) ( 3) ( 6) 4 ( 6) f(+5) 用 - 换 ( ) f() f(-+5) 用 /换 用 -5 换 这 个 例 题 中, 包 含 函 数, 它 在 作 比 例 变 化 时, 其 强 度 要 发 生 变 化 从 这 个 例 中, 可 看 到 由 f(-a-b)( 比 例 中 b 为 -5) 求 f() 与 由 f() 求 f(-c-d) 其 顺 序 和 运 算 ( 此 例 位 移 强 度 ) 是 互 逆 的 3, 由 已 知 f(-a-b)( a b 可 为 正 负 数 ) 的 波 形, 求 f(-c-d)( c,d 可 为 正 负 数 ) 的 波 形 5

53 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 这 种 情 况 最 稳 妥 的 方 法, 是 分 为 两 步 进 行 第 一 步, 按 照 上 面 ) 的 方 法, 由 f(-a-b) 求 到 f() 的 波 形 ; 第 二 步, 按 照 上 面 ) 的 方 法, 再 有 f() 求 到 f(-c-d) 的 波 形 最 后, 要 特 别 注 意 的 是 : 一 是 信 号 时 移 比 例 反 折 的 运 算, 顺 序 有 多 种, 但 有 些 顺 序 对 公 式 要 作 整 理 交 换, 以 上 所 讲 的 方 法 是 最 简 便 的, 能 可 靠 地 求 到 正 确 结 果 ; 二 是 这 类 问 题 极 易 作 错 Ⅵ, 信 号 能 量 或 功 率 的 计 算 信 号 能 量 或 功 率 是 归 一 化 为 电 信 号 在. 电 阻 上 所 消 耗 的 能 量 或 功 率, 其 计 算 有 如 下 情 况, 能 量 的 计 算 按 照 定 义, 有 E f () d A, 对 于 规 则 几 何 图 形 的 信 号 ( 矩 形 三 角 形 ) 可 直 接 在 时 域 积 分 求 得, 例 如 f ( ) Arec( ) 又 如 / / E A d A / / A f ( ) ARi( ) p 53

54 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: A E d [ ( )] p p p B, 一 般 情 况, 仍 应 用 parselval 定 理 筒 化 其 计 算 如 己 知 相 关 函 数, 则 有, 功 率 的 计 算 E R() A, 简 谐 信 号 f ( ) Acos( ) or Asin( ) P B,Simple Side Fourier Series A f ( ) [ a cos b sin ] n n ( n n ) n P a b n 总 功 率 ( k k k ) C,Double Side Fourier Series p a b 第 k 次 谐 波 的 功 率, f ( ) C cos[ n ( )] P n n C k k k n n 总 功 率 P =C +C 第 k 次 谐 波 功 率 D,Discree Specrum / jn F( jn ) f ( ) e d / P n S( jn ) 54

55 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: E,Coninous Specrum Densiy( 同 一 个 周 期 信 号 ) f ( ) F( j) F( jn ) p F( j) d n F( j) 例 如 f ( ) Acos 单 边 FS A A f ( ) cos( ) cos( ) 双 边 FS A f ( ) F( jn ) [ ( ) ( )] D.S. f ( ) F( j) A[ ( ) ( )] C.S.D. P( n ) F( jn ) A [ ( ) ( )]) n ( 功 率 谱 密 度 ~~ P R() ) P P n P d 用 各 种 公 式 计 算, 所 得 结 果 均 为 ( ) ( ) n 总 功 率 f ( ) Acos P A Ⅶ, 周 期 信 号 的 运 算, 周 期 信 号 及 其 特 点 周 期 信 号 的 表 示 形 式 ( 文 字 叙 述, 数 学 公 玉, 波 形 ) 以 基 本 波 形 f( ) / f( n ), 周 而 复 始 无 限 循 环 形 成 的 信 号, 称 为 周 期 信 号, 用 数 学 55

56 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 公 式 可 表 示 为 : ), f ( ) f ( n); (, ); n,,, ; 常 数, 称 为 周 期, f 称 为 频 率 (Coninuous Case) f ( n) f ( n in ); n,, ; i,, ; N 常 数, 称 为 周 期, f N 称 为 频 率 (Discree Case) ), f ( ) f( ) ( ) f( ) ( n ) 其 中 f () 是 一 个 周 期 的 波 形 f ( n ) f ( n ) ( n) f ( n) ( n in ) N 是 离 散 间 隔,N 是 周 期 其 中 f ( n ) 是 一 个 周 期 的 波 形 i 用 信 号 波 形 ( 以 连 续 时 间 信 号 为 例 ) 可 表 示 为 : f() f () - 周 期 信 号 的 离 散 谱 谱 密 度 都 是 离 散 的 f ( ) ( ) ( ) p f n ( f () 是 一 个 周 期 ) 因 为 有 n 故 有 f p( ) Fp( j) F ( j) ( k ) 这 是 以 k 的 离 散 函 数 ~~~~ 离 散 周 期 信 号 可 类 似 证 明 为 间 隔 周 期 信 号 的 谱 密 度 与 离 散 谱 的 异 同 周 期 信 号 的 频 谱 密 度 与 其 离 散 频 谱 的 不 同 点 是 : ), 前 者 为 后 者 的 倍 ; ), 前 者 单 位 为 信 号 单 位 秒 或 信 号 单 位 / 赫 芝 ; 后 者 单 位 为 信 号 单 位 周 期 信 号 的 频 谱 密 度 与 其 离 散 频 谱 的 相 似 点 是 : 二 者 在 轴 上 都 是 离 散 的 56

57 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 离 散 信 号 的 谱 密 度 是 周 期 的 这 是 以 因 为 有 f ( n ) f ( ) ( n ) 故 有 n j f ( n ) F( e ) F( j) ( k ) k 为 周 期 的 周 期 函 数, 周 期 信 号 基 本 运 算 汇 集 ), 单 个 连 续 周 期 信 号 参 数 的 计 算 ( 公 式 ; 自 变 量 定 义 域 ; 重 复 间 隔 ; 重 复 次 数 n) ( cos( ); sin( ); j A A e ) ; ( n ); A n 周 期 ; 频 率 ; 角 频 率 ; 相 位 ; 初 相 位 例 Ⅰ: 5 o 5 5 cos( 3 ); ; f Hz;.s 例 Ⅱ: f ( ) cos ; ; 5 例 Ⅲ: 3 ;. 3 j3 ( ) f ( ) e ; ), 单 个 离 散 周 期 信 号 参 数 的 计 算 ( 公 式 ; 自 变 量 定 义 域 ; 重 复 间 隔 ; 重 复 次 数 n) A n A n e j ( n cos( ) ); sin( ); ; n ( n N ). 周 期 ; 频 率 ; 角 频 率 ; 相 位 ; 初 相 位 ( 与 原 连 续 区 别 ) 例 Ⅰ: 57

58 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: o 4cos( n3 );( 离 散 间 隔 ); 3 5 ; N= N 3 只 有 经 历 5个 原 周 期, 使 N= 6成 为 整 数, 才 是 离 散 周 期 信 号 离 散 信 号 的 周 期 N ( ) 6 s; f Hz; 6 例 Ⅱ: cos cos cos n n ( cosn 不 是 周 期 信 号 ) 3), 连 续 周 期 信 号 的 FS;DS;F; FS~~ f ( ) [ f ( ) e d] e n / j n j n / ( 时 间 的 函 数 ) / j n DS~~ F( j n) [ f ( ) e d] ( n 的 函 数 ) / F~~ / / j [ f ( ) e d] ( k) k ( 因 为 f ( ) ( ) ( ) p f n ) ( 离 散 性 之 根 源 ) n (), 五 个 典 型 信 号 的 FS( 基 本 形 式 ; 复 简 谐 形 式 ); Acos( ) cos cos sin sin ( 基 本 形 式 FS) A e e e e j j j j [ ] ( 复 数 形 式 FS) A j j C( jk) [ e ( ) e ( )] ( 离 散 频 谱 ) j j F( j) A[[ e ( ) e ( )] ( 连 续 谱 密 度 ) 58

59 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Asin( ) cos sin sin cos ( 基 本 形 式 FS) A e e e e j j j j j [ ] ( 复 数 形 式 FS) A j j C( jk) [ e ( ) e ( )] ( 离 散 频 谱 ) j j j F( j) j A[[ e ( ) e ( )] ( 连 续 谱 密 度 ) j( ) Ae A j C jk [cos( ) sin( )] [cos cos sin sin ] j[cos sin sin cos ] [cos j sin ]cos [sin j cos ]sin i j Ae e ( 复 数 形 式 FS) ( ) A[ e j ( ) F j ( 离 散 频 谱 ) ( ) Ae j ( ) ( 连 续 谱 密 度 ) A A A ( ) [ cosk cos k sin k sin k k A e ( 基 本 形 式 FS) j k e j k. ( 复 数 形 式 FS) k A C jk e k ( 离 散 频 谱 ) k j ( ) ( ) A F j e k j ( ) ( ) ( 连 续 谱 密 度 ) k j A Ae A ( 基 本 形 式 FS) A. ( 复 数 形 式 FS) 59

60 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: C( jk ) A ( ) F( j) A ( ) ( 离 散 频 谱 ) ( 连 续 谱 密 度 ) (), 其 它 七 个 典 型 信 号 的 周 期 重 复 ~~ Sep: 先 求 单 个 周 期 信 号 f () 的 频 谱 密 度 ; Sep: 求 周 期 信 号 的 频 谱 密 度, 用 公 式 f ( ) f ( ) ( ) F ( j) ( k ) F ( j) p p k Sep3: 求 周 期 信 号 的 离 散 频 谱, 用 公 式 C( jk) Fp ( j). Sep4: 求 周 期 信 号 的 复 FS, 用 公 式 f p C jk e ( ) ( ) j k k 求 周 期 信 号 的 余 弦 形 式 FS, 用 公 式 j k j k k k f ( ) C( jk ) C( jk ) e C( jk ) e p C() C( jk )cos k k 若 将 C( jk ) 的 模 和 相 位 分 别 代 入, 可 得 基 本 形 式 4), 离 散 周 期 信 号 的 FS;DS;F; 首 先 确 定 是 否 是 周 期 信 号? 其 次 确 定 周 期 变 成 了 多 少? FS~~ N f ( n ) [ f ( n ) ] e N n n j k n j k n N N ( 时 间 n 函 数 ) 6

61 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: N j kn DS~~ N F( j n) [ f ( n ) e ] N ( k 的 函 数 ; 周 期 性 ) N n N j n F~~[ f ( n ) e ] ( k) n ( 因 为 k f ( ) ( ) ( ) p f n ( 离 散 性 之 根 源 ) ) n 5), 周 期 信 号 的 线 性 与 非 线 性 运 算 对 连 续 周 期 信 号 只 须 先 判 定 线 性 运 算 后 是 否 还 是 周 期 信 号 对 离 散 周 期 信 号 则 须 : 首 先 判 断 离 散 信 号 本 身 是 否 还 是 周 期 信 号 ; 其 次 判 断 离 散 信 号 本 身 的 周 期 ( 注 意 与 连 续 函 数 的 周 期 的 区 别 ); 再 判 定 线 性 运 算 后 是 否 还 是 周 期 信 号 周 期 信 号 线 性 组 合 形 成 的 信 号 的 周 期 性 及 周 期 值 的 确 定, f ( ) f ( ) f ( ) 判 断 f() 是 否 是 周 期 信 号, 需 计 算 C 或 C 是 否 是 有 理 数 ( 正 负 整 数 或 分 数 ); 若 C 或 C 是 有 理 数, 则 f() 是 周 期 信 号, 其 周 期 值 为 的 最 小 公 倍 数,( 类 似 可 得 f() 的 频 率 是 f( ), f( ) 频 率 的 最 大 公 约 数 ); 若 C 或 C 是 无 理 数 ( 无 限 不 循 环 小 数, 如 等 ) 则 f() 不 是 周 期 信 号 ( 或 说 周 期 信 号 为 无 限 大 ) 例 如 f ( ) cos5 sin 6

62 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 由 于 cos5 和 sin 都 是 周 期 信 号, 它 们 的 周 期 之 比 ( 也 可 用 频 率 或 角 频 之 率 比 ). 5 是 有 理 数, 故 f() 是 周 期 信 号, 其 周 期 为 (.4 和 的 最 小 公 倍 数 是 ), 又 f ( ) sin cos 其 周 期 分 别 为 和, 其 比 值 为.5, 或, 是 无 理 数, 故 f() 不 是 周 期 信 号, 自 然 无 周 期 可 求 ( 可 见 凡 是 简 谐 信 号 线 性 组 合, 是 每 一 个 简 谐 成 分 均 含 或 以 及 所 有 成 分 均 不 含 或, 才 可 能 组 成 周 期 信 号 ) 例 Ⅰ: 信 号 f ( ) 6cos 伏 特 (), 最 小 周 期 =? cos( ) cos( ) 的 周 期. 的 周 期 比 cos( ) 故 为 (), 频 谱 密 度 F( j)? 的 周 期 小 一 倍, f ( ) 6co s( ) [Re c( ) 6co s( )] ( n) F( j) {sin c 6 [ ( ) n ( )]} ( k) k ( ) ( ) F( j) 6 [sin c sin c ] ( k) k k ( k ) ( k ) 6 [sin c sin c ] k F( jk )? (3), 离 散 频 谱 6

63 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ( k ) ( k ) F( jk) 3 [sin c sin c ] k (4), Complex Fourier Series( 复 付 利 叶 级 数 ) () f? ( k ) ( k ) f ( ) 3 [sin c sin c ] e n (5), 不 计 滤 波 稳 压 电 路 的 损 耗, 能 得 到 多 少 伏 特 直 流 电 压? ( k ) ( k ) V c c e j k 3 [sin sin ] k n 3( ) 幅 度 为 A 时 例 Ⅱ: f ( ) sin 伏 特 A j k (), 最 小 周 期 =? sin( ) sin( ) 的 周 期. 的 周 期 比 sin( ) 故 为 (), 频 谱 密 度 F( j)? 的 周 期 小 一 倍, f ( ) sin( ) [Re c( ) sin( )] ( n) F( j) {sin c j[ ( ) ( )]} ( k) k n ( ) ( ) F( j) j [sin c sin c ] ( k) k k ( k ) ( k ) j [sin c sin c ] k F( jk )? (3), 离 散 频 谱 ( k ) ( k ) F( jk) [sin c sin c ] j k 63

64 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: (4), Complex Fourier Series( 复 付 利 叶 级 数 ) f()? ( k ) ( k ) f ( ) [sin c sin c ] e j n j k (5), 不 计 滤 波 稳 压 电 路 的 损 耗, 能 得 到 多 少 伏 特 直 流 电 压? ( k ) ( k ) V c c e j k [sin sin ] k n j ( ) 幅 度 为 A 时 A 对 连 续 周 期 信 号 只 须 先 判 定 线 性 运 算 后 是 否 还 是 周 期 信 号 若 是, 才 能 求 Fourier Series 或 离 散 频 谱 例 Ⅲ: cos 5 sin 的 周 期 =4 因 为 是 有 理 数 故 cos sin 4; ; 5; 5 是 周 期 信 号 其 周 期 是, 的 最 小 公 倍 数, 即 为 4 对 离 散 周 期 信 号 则 须 : 首 先 判 断 离 散 信 号 本 身 是 否 还 是 周 期 信 号 ; 例 Ⅳ: cos(5 n) sin( n ) cos(5 n) n 5( 设 ) N.4 N 由 于 不 存 在 一 个 整 数 乘 胜 前.4 成 整 数, 故 cos(5 n ) 不 是 离 散 周 期 信 号, 所 以 这 cos(5 n) sin( n ) 不 是 周 期 信 号, 就 不 存 在 Fourier Series 或 离 散 频 谱 其 次 判 断 离 散 信 号 本 身 的 周 期 ( 注 意 与 连 续 函 数 的 周 期 的 区 别 ); 例 Ⅴ: cos n 5n sin 64

65 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 其 中 cos( n) N 4, 即 一 个 周 期 内 有 4 点, 是 离 散 周 期 信 号 N 5 n 5 sin N,8 必 须 连 续 信 号 的 五 个 周 期, 才 能 有 整 数 4 个 N 5 点, 即 离 散 信 号 sin n 的 周 期 为 N 4 再 判 定 线 性 运 算 后 是 否 还 是 周 期 信 号 例 Ⅵ: cos n 5n N 4 sin ; N 4 n 5n 为 有 理 数, 故 cos sin 是 周 期 信 号, 且 N, N 的 最 小 公 倍 数 是 4 它 有 Fourier Series 或 离 散 频 谱 二 信 号 的 频 谱 分 析 Ⅰ, 信 号 频 谱 的 种 类 在 信 号 与 系 统 中, 信 号 的 频 谱 共 有 四 种 ) 离 散 频 谱 周 期 信 号 ( 满 足 狄 利 赫 特 条 件 ) 具 有 离 散 频 谱 / jnw S( jnw ) f ( ) e d, w / / n jnw jnw S jnw e <f() 由 n f ( ) ( ) e 成 分 之 和 组 成 > F jk f n e N jkn D( ) ( ) ( 一 个 周 期 内 有 整 数 个 点 ) N k f n FD jk e ( ) ( ) jk n k ) 连 续 频 谱 密 度 ( 简 称 谱 密 度 ) 信 号 类 型 : 能 量 型 信 号, 周 期 信 号, 部 分 非 周 期 功 率 型 信 号 65

66 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 定 义 : F( jw ) = f () e d jw f() = jw F( j) e dw <f() 仍 由 jw e 组 成 > 意 义 :F(jw) 是 信 号 f() 在 单 位 (HZ) 带 宽 内 的 复 简 谐 波 ( e jw ) 合 成 复 振 幅 ( 振 幅, 初 相 位 ) f() F( jw ) < 对 应 ( 映 射 ) 关 系 > 3) 能 量 谱 密 度 信 号 类 型 : 能 量 型 信 号 定 义 : * E( w) F( jw) F( jw) F ( jw) ( 能 谱 密 度 的 定 义 ) 4) 功 率 谱 密 度 E E( w) dw ( 能 量 与 能 谱 密 度 的 关 系 ) E ( w) F ( jw) F ( jw) < 互 能 谱 > * 信 号 类 型 : 功 率 型 信 号 定 义 : P( w) lim E ( w) ( 功 率 谱 密 度 的 定 义 ) 周 期 信 号 : P( w) F( jnw ) ( w nw ) F( jw) ( w nw ) n n P p( w) dw ( 功 率 与 功 率 谱 密 度 的 关 系 ) Ⅱ, 频 谱 密 度 的 计 算 由 于 能 量 谱 密 度 和 功 率 谱 密 度 都 是 通 过 频 谱 密 度 定 义 的 ; 而 离 散 频 谱 与 连 续 频 谱 密 度 有 固 定 的 关 系, 即 对 于 同 一 个 周 期 信 号 f() 或 f(n) 来 说, 它 的 离 散 频 谱 F(jnw ) 与 连 续 频 谱 密 度 F(jw) 有 F(jw)= F(jn w ) nw =w 所 以 频 谱 的 计 算, 归 结 为 频 谱 密 度 的 计 算 66

67 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ:656674, 直 接 计 算 法 直 接 计 算 法 就 是 按 照 频 谱 密 度 的 定 义 F(jw)= () f e 及 FD ( j ) = f ( n ) e n j jwn d 进 行 积 分 或 求 和 这 种 方 法 只 在 几 种 简 单 信 号 情 况 下, 才 能 得 到 简 明 结 果 这 几 种 情 况 是 f() = = = A Re c( ) jw Ae a Ae A ( ) =, 分 解 法 分 解 法 就 是 将 待 求 频 谱 的 信 号 f()( 包 括 f(n), 下 同 ), 分 解 成 典 型 信 号 经 过 十 二 种 ( 频 谱 密 度 的 十 二 条 性 质 ) 运 算 中 的 一 些 运 算 组 成 这 是 最 普 遍 的 方 法, 这 种 方 法 的 基 础 第 一 要 熟 记 典 型 信 号 ( 十 二 个 ) 的 频 谱 密 度 ; 第 二 要 熟 记 频 谱 密 度 的 十 二 条 性 质 ; 第 三 要 熟 练 分 解 A 典 型 信 号 的 频 谱 密 度 ARe c( ) ASinc w e j w ( ) w p / p jw Bsin c Bp Re c[ ] e A ( ) Ae j sgn( ) j 67

68 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: A ( ) A ( n ) A ( W K) e n n jw Ae A w w ( ) j w Acos w A[ ( w w ) ( w w )] Asin w j A[ ( w w )] ( w w ) Ae j A ( ) Au( ) A[ ( w) ], jw [ u( ) ( ) ; ( ) u( jw)] j j Asgn( ) Au( ) Au( ) j ( ) A jw B 频 谱 密 度 的 性 质 L : C f ( ) C F ( ) C F ( jw) C F ( jw) 注 意 线 性 组 合 可 以 是 时 间 上 相 迭 加, 形 成 持 续 期 更 长, 甚 至 成 周 期 信 号, 例 如 : 3 n f ( ) ARe c( ) ARe c( ) 7 n3 及 f ( ) fi( n ), fi( ), (, ) n 成 周 期 信 号 68

69 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Conjugae : f ( ) F( jw) S.S.I:( 时 移 比 例 时 间 倒 转 ) * *, 则 F F jw ( ) ( ) f ( ) F( jw), 则 w f ( a b) F( j ) e a a b j w a Duaiy:( 对 偶 性 ) f ( ) F( jw) F.S:( 频 移 ), 则 F( ) f ( w) f() F jw ( ), 则 f e j ( ) F[ j( )] Convouion: 线 性 卷 积 f( )* f( ) F ( jw) F ( jw ) f ( ) f ( ) F ( jnw ) F( jnw ) 周 期 卷 积 注 意 这 是 离 散 频 谱 的 关 系, 周 期 相 同, 结 果 仍 是 周 期 信 号 f ( n) f ( n) 循 环 卷 积 F ( k) F ( k ) 注 意 这 里 是 DF; 长 度 相 同, 结 果 的 长 度 也 相 同 Produc: f ( ) f ( ) F( jw)* F( jw) df () Differenial: f() F( jw ), 则 d d f ( ) j F( j) d Inegraion: f ( ) d f ( ) u( ) jwf( jw) F( jw)[ ( w) ] jw f ( ) d F( jw) dw E ( 能 量 ) 69

70 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: Parseral: ( ) ( ) k f d F jnw P ( 平 均 功 率 ) F jnw w nw P w ( 功 率 谱 密 度 ) k ( ) ( ) ( ) C 分 解 方 法 第 一 种, 延 拓 加 窗 法 它 适 合 于 待 分 析 信 号 是 下 图 A 所 示, 由 一 个 基 本 波 形 f () ( 持 续 期 为 (, ), 经 过 有 限 次 重 复 ( 图 中, 右 边 为 包 括 坐 标 原 点 范 围 内 重 复 N+ 次, 左 边 重 复 N 次 ) 而 得 f, () ( 图 除 中 心 外, 两 边 各 有 N 个 ), 它 是 f () 左 右 共 有 N+ 个 次 重 复 而 成 ( 注 意 具 体 情 况, 个 数 要 具 体 确 定 ) f, () f() N A N 图 B 图 首 先 将 两 边 延 拓 到, 形 成 周 期 信 号 f() 为 f ( ) f ( ) ( ) 其 次 再 加 窗 得 到 待 求 信 号 f, (), 即 有 f, ( ) Re c[ ] f ( ) (N ) Re c [ f( )* ( )] (N) 由 上 式 可 见, 只 要 求 得 f () 的 频 谱 密 度, 而 Rec, 信 号 的 频 谱 密 度 都 是 已 知 的, 利 用 卷 积, 乘 积 性 质, 就 可 写 f () 的 频 谱 密 度 例 Ⅰ: 下 图 所 示 信 号 f (), 是 一 个 己 调 简 谐 载 波 矩 形 包 络 信 号, 重 复 N 次 ( 注 意, 7

71 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f () f () N- N- 每 一 次 重 复 的 载 波 相 位 完 全 相 同 ) 形 成 的 信 号, 则 可 写 成 N f ( ) Re c( ){[Re c( )cos ] ( )} N 出 现 在 上 式 中 的 各 个 信 号 的 频 谱 密 度 均 是 已 知, 利 用 性 质 得 出 f () 的 频 谱 密 度 F ( jw ) 为 j N F ( jw) NSinc N e * j w Sinc w e * ( w w) ( w w) ( w k) k j w 如 果 要 作 图 可 不 整 理 首 先 作 Sinc w e * ( w w ) ( w w ) 将 Sinc 波 形 分 别 移 到 W 处, 然 后 作 与 w ( w) 相 乘, 即 抽 样,( 注 意 w, 只 有 当 成 整 倍 数 时, 即 内 有 整 数 个 载 波 周 期, w 处 才 有 抽 样 点 ), 最 后 在 每 个 抽 样 点 上 作, 其 作 图 是 先 与 w j ( N ) W ( ) Sinc N w e, 它 是 很 窄 的 Sinc 波 形 例 Ⅱ, 上 右 图 中 的 f () 由 于 各 载 波 间 不 是 重 复 的 ( 载 波 在 各 脉 冲 起 始 处 相 位 不 同 ); 但 若 将 间 隙 期 填 补 载 波, 则 载 波 是 连 续 的 因 而 可 将 载 波 延 拓 成 周 期 简 谐 波, 再 用 矩 形 序 列 ( 重 7

72 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 复 有 限 次, 再 延 拓 成 周 期 矩 形 再 用 宽 矩 形 截 取 ), 则 有 N f ( ) Rec Re c( )* ( ) Cosw} N 由 此 可 见, f () 与 f () 是 不 同 的, 表 现 在 大 括 号 中, f () 是 矩 形 与 简 谐 波 相 乘 后 再 重 复 ( 与 () 卷 积 ); 而 f () 是 矩 形 重 复 后 再 与 简 谐 波 相 乘 出 现 在 f () 中 的 信 号 频 谱 密 度 全 是 典 型 信 号, 按 性 质 有 j NW F ( jw) NSinc Nw e * j w Sinc w e ( w k) k [ ( w w) ( w w)] 其 图 形 同 F ( jw ) 的 区 别 在 W 处 一 定 有 一 谱 线 o 第 二 种, 线 性 分 解 法 线 性 分 解 法 是 将 信 号 分 解 成 几 个 典 型 信 号 的 线 性 组 合 例 Ⅰ, 右 上 图 所 示 三 角 形 可 分 解 为 f() f () = + f () + f () 3 其 中 f () 是 一 斜 坡 信 号, 斜 率 为 A/ A A u () u () A ( ) u ( ) A ( ) u( ) 7

73 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 即 f () = A u () f () 仍 是 一 斜 坡 信 号, 其 起 始 于, 斜 率 为 负, 且 斜 率 为 - A/, 相 加 ( 与 f () ) 以 后, 才 会 使 f() 从 开 始 下 降 ( 在 及 以 后 f () 仍 存 在 ), 若 f () 的 斜 率 仍 为 - A/, 尽 管 为 负, 也 只 能 抵 消 f () 增 长 ( ) A ( ) ( ) 则 f u 只 有 f () f () A 相 加, 在 = 以 后, 就 会 继 续 以 斜 率 下 降 所 以 在 处, 需 有 3 f (), 才 能 恢 复 f(), 故 f ( ) A ( ) u( ) 3 注 意, f () f 3 () 都 不 是 过 原 点 的 直 线, 所 以 有 截 距 密 度 在 这 个 问 题 中, 只 要 求 出 u() 的 频 谱 密 度, 便 可 按 线 性 性 质 求 出 f() 的 频 谱 则 有 因 为 有 df( jw) dw f () j df( jw) dw jf () e jw d 故 d u( ) j ( w) F( jw) dw jw 由 线 性 性 质 得 A A j w A f ( ) F( jw) F( jw) F( jw) e F( jw) e 例 Ⅱ, 右 图 A 所 示 信 号 f() 可 分 解 成 A F j w ( jw )[ e ] j w 73

74 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f() = f ( ) f ( ) A A f() f () Au() f () A(-)u(-) 而 f () 又 可 如 图 所 示 分 解 成 A A f () = u( ) ( ) u( ) 由 此 可 见, f (), f () 均 为 已 知 频 谱 的 信 号, 即 有 A A f ( ) F( jw) A ( ) F( j) F( j) e = 其 中 F ( jw) d j ( ) d j j 3, 利 用 频 谱 性 质 时, 要 特 别 注 意 的 情 况 A 利 用 微 分 性 质, 要 先 判 定 信 号 是 否 可 微 当 信 号 在 处 的 值 未 知 时, 如 上 面 线 性 分 解 法 中 的 例 Ⅱ 的 信 号, 在 处 的 值 是 未 知 的, 就 不 可 以 直 接 用 微 分 性 质, 因 为 微 分 以 后 再 积 分 得 不 到 原 信 号 f() 但 将 f() 分 解 成 f (), f () 以 后, f () 在 处 的 值 是 已 知 的, 对 f () 是 可 以 微 分 的 B 在 利 用 积 分 性 质 时, 要 知 道 频 谱 密 度 的 积 分 性 质 是 参 量 积 分, 74

75 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 即 不 是 定 积 分, 也 不 是 不 定 积 分 即 有 b ( ) d f ( )* u( ) 而 f ( ) d C ( w ) a b C f ( ) d F( jw) w 在 信 号 分 析 中, 不 讨 论 不 定 积 分 a C 只 有 当 信 号 是 由 折 线 组 成 时, 利 用 微 分 积 分 性 质 才 会 方 便 简 化 运 算 D 几 个 有 用 的 等 式 f ( ) f ( ) 对 复 信 号 * f f f ( ) ( ) ( ) 4, 特 殊 ( 时 间 的 幂 函 数 ) 信 号 频 谱 密 度 计 算 A f () a n 的 频 谱 密 度 这 类 问 题, 可 利 用 频 谱 密 度 F( jw ) 的 频 域 微 分 性 质, 即 则 有 相 应 有 jw F( jw) f ( ) e d F( jw) dw f () 例 如 求 f ( ) 5 3 jf () e j n f ( ) ( j) 的 频 谱 密 度 n jw a F( j) d n d F( j) n d 75

76 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: j o 3 3e 6 ( ) d ( ) 5 5 j[5 ] d j ( ) 则 f ( ) 5 3 j ( ) 6 ( ) n a B f () a 的 频 谱 密 度 a 先 求 的 频 谱 密 度,( 因 a 是 常 数, 可 先 让 a=), 由 Hilber 变 换 知, 有 则 j sgn( ) j sgn( ) n 对 于 a, 则 用 线 性 性 质 ( 解 决 a ) 或 乘 积 性 质 求 得 完 整 解 k C f() 的 频 谱 密 度 a j 利 用 频 谱 密 度 的 对 偶 性 质 有 如 f ( ) F( jw) 则 F( ) f ( jw) a 因 为 ke u() 则 k a j k a j ( ) a jw e u( jw) = e jaw u( jw) ka 例 如 f() 的 频 谱 密 度 可 以 利 用 a 76

77 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: a[] a a k k ak ( ) ( ) ke ke u ke u a jw a jw a w ka k f () ke ke a f () e a 同 样 有 w w 5, 离 散 信 号 频 谱 密 度 的 计 算 A 抽 样 法 离 散 信 号 f ( n ) 或 f( n )(= 单 位 时 间 ), 可 表 成 f ( n ) = f ( ) ( ) 利 用 f() 的 频 谱 密 度 和 () 的 频 谱 密 度, 根 据 乘 积 性 质, 求 得 f ( n ) 的 频 谱 密 度 例 如 常 有 u( n) u( ) ( ) ( ) * ( n) j n nu( n) u( ) ( ) j ( ) * ( n) j n 及 sinca n sin Ca ( ) rec * ( n) a / a n 注 意 : 这 是 抽 样 间 隔 (Sinc 主 瓣 一 半 宽 ) 当 时, 即 抽 样 间 隔 与 主 瓣 底 a a 宽 一 半 相 等 时, 即 sin Ca ( ) ( ) ( n) a 77

78 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: a e e ( ) * ( n) a n a n a 3 特 别 注 意 :u(n) 的 Z 在 单 位 圆 上 是 不 收 敛 的, 不 能 用 un ( ) Z Z j ze 求 频 谱 密 度, 利 用 Z 求 频 谱 密 度, 必 须 考 查 收 敛 域 ROC, 详 细 情 况 同 L( 后 面 ) B 变 换 法 变 换 法 就 是 利 用 Z, 让 其 中 变 量 Z 在 单 位 圆 ( 即 Z e jw ) 上 取 值, 但 Z 在 单 位 圆 上, 必 须 是 无 极 点 ( 当 有 极 点 时, 需 要 另 外 的 数 学 处 理 ) 例 如 : f ( n) u( n) u( n N) an z N f ( n) e u( n) F( z) ( Z ), Z,< Z < Z Z N 则 有 F( j) ( Z ) ( 单 位 圆 上 无 极 点 ) J Z Ze a an ez a 又 如 f ( n) e u( n) F( z), Z e, a a ez a an ez 则 有 e u( n) F( j) a ez Ze J ( 单 位 圆 上 无 极 点 ) 6, 利 用 L 和 DF 计 算 频 谱 密 度 A 利 用 DF 计 算 频 谱 密 度 利 用 DF 计 算 频 谱 密 度, 只 能 对 有 限 点 离 散 能 量 型 信 号, 这 是 前 提 条 件 ; 其 次 是 已 知 DF 或 其 DF 易 于 求 得 时, 可 用 此 方 法 ; 第 三 利 用 频 域 抽 样 定 理, 由 DF 求 得 信 号 的 频 谱 密 度 例 如 N 点 离 散 信 号 f ( n ) 的 DF 为 则 DF f ( n ) F( k) F( k) N F f ( n ) F( j) F( k) sinc N ( k) N N k 78

79 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: ( 频 域 抽 样 定 理 ) 这 里 要 注 意 的 是 N 点 离 散 信 号 f ( n ) 的 DF 和 其 频 谱 密 度 之 间 只 是 对 应 关 系 ( 所 含 信 息 相 等 ), 但 不 是 相 等 关 系, 要 写 等 式 必 须 按 抽 样 定 理 B 利 用 L 求 频 谱 密 度 如 果 连 续 时 间 信 号 f() 的 L 已 知 或 易 于 求 得 ; 其 次 LF() s 的 收 敛 域 (ROC) 包 括 虚 轴 ( 纵 坐 标 ), 在 这 两 个 条 件 下, 可 以 由 F(S) 将 s jw代 入 求 得 频 谱 密 度 L 的 ROC 有 四 种 情 况, 分 别 列 为 f() 是 能 量 型 信 号 f ( ) F( s),, 这 时 有 f ( ) F( jw) F( s) s jw 因 果 信 号 f ( ) u( ) 由 于 f ( ) u( ) F( s), c 这 时 只 有 C< 时, 才 能 由 Fs () s j 求 得 其 频 谱 密 度 函 数 F(jw) 例 Ⅰ: f ( ) u( ) e u( ), 3 s 3 3 纵 坐 标 不 在 ROC 内, 故 不 能 由 F(s)/s=jw, 求 频 谱 密 度 函 数 F(jw) 例 Ⅱ, f ( ) u( ) e u( ), s 纵 坐 标 在 ROC 内, 故 有 e u( ) F( s) / s jw F( jw) jw 3 负 时 间 域 信 号 f ( ) u( ) f ( ) u( ) F( s), b 只 有 当 b> 时, 才 能 由 F( s) / s = jw 求 频 谱 密 度 函 数 F( jw ), 79

80 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 例 Ⅰ e u( ), 3.( 3 b ) s 3 3 例 Ⅱ 这 时 jw 表 示 的 纵 坐 标 不 在 ROC 内, 故 不 能 由 F( s) / s = jw 求 频 谱 密 度 F( jw ) e u( ), s Fs 由 于 纵 坐 标 jw 在 ROC 内, 故 可 由 () s j 4 双 边 信 号 求 得 F( j ) 对 于 双 边 信 号, 许 多 情 况 下 不 存 在 L, 如 一 切 周 期 信 号, 恒 值 信 号 f () b a f ( ) u( ) e e u( ), 当 b a F( jw ) [ 但 他 们 仍 有 F( jw )] 当 ROC 不 包 括 纵 坐 标 时, 也 不 能 用 L 求 F( jw ), 如 f u e u 3 ( ) ( ) ( ) Fs ( ) ( 3 ) s s 3 其 ROC 不 包 括 纵 坐 标, 不 能 由 L 求 F( j ) 又 如 ( ) a b f e u( ) e u( ) F( s) ( a b) s a s b 只 有 b>-a, 且 b>, 则 可 由 L 求 F( jw ) A及 时, 都 不 存 在 L, 当 然 谈 不 上 用 L 求 5 要 特 别 指 出, 不 存 在 L 的 信 号 ( 恒 值, 周 期 等 信 号 ) 仍 然 具 有 频 谱 密 度 所 以 一 般 不 用 L 求 F( jw ) 除 L 已 知 或 极 易 求 得 Ⅲ, 频 谱 密 度 的 几 个 有 用 推 论, 实 信 号 频 谱 密 度 正 负 频 率 部 分 的 关 系 8

81 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: F( jw) f ( )[ Cosw jsinw ] d 实 部 R( j) f ( ) Cosd 虚 部 I( j) f ( ) Sind F( j) R( j) ji( j) F( j) R( j) ji( j) 则 有 及 F j F j * ( ) ( ) ( 正 负 频 率 部 分 共 轭 ) F( jw) R ( jw) I ( jw) ( 偶 函 数 ), 实 偶 信 号 的 频 谱 密 度 是 实 函 数 ( j) ( ) j ( 反 号 ) 因 为 F( jw) f ( )[ Cosw jsinw ] d 3, 实 因 果 信 号 频 谱 密 度 的 实 部 与 虚 部 的 关 系 ( 不 独 立 ) 因 为 因 果 实 信 号 f(), 可 表 为 f ( ) Cosd R( ) fe( ) u( ) F( jw) Fe( j)*[ ( ) j ] 因 为 fe() 是 实 偶 函 数, 则 Fe ( jw ) 是 实 函 数 4, 信 号 的 奇 偶 函 数 展 开 Fe( j) j Fe( j) R( j) jrˆ ( j) ( 互 为 Hilber 变 换 ) 任 意 信 号 f(), 不 管 它 是 奇 偶 或 非 奇 非 偶, 均 可 表 示 成 8

82 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: f ( ) f ( ) f ( ) e o 其 中 fe( ) [ f ( ) f ( )] ( 偶 函 数 ) fo( ) [ f ( ) f ( )] ( 奇 函 数 ) e 则 有 f ( ) F( jw) f ( ) cosd j f ( ) sind 如 果 f() 是 因 果 信 号, 可 表 示 成 f ( ) u( ), 则 有 f ( ) u( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) sgn( ) e o e e o 其 中 fe( ) [ f ( ) u( ) f ( ) u( )] fo( ) [ f ( ) u( ) f ( ) u( )] 5, 信 号 在 时 域 抽 样, 其 频 谱 重 复 f() f ( n ) n F( j ) j Fe ( ) / / 因 为 f ( n) f ( ) ( ) 8

83 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 则 f ( n ) F ( jw) D k k F( jw)* ( ) F[ j( )] K K f(), f ( n ), F( jw ), F ( jw ) 如 由 上 图 所 示 D f() f () R -N N F( j) F ( ) R j 6, 信 号 波 形 重 复, 其 频 谱 分 裂 ( 抽 样 ) 如 下 图 fr( ) rec( ){ f ( )* ( )} (N) 则 f ( ) F ( jw) R R Ⅳ,DF 计 算, 数 值 计 算 被 计 算 的 信 号 f(n), 在 人 工 ( 考 试 ) 计 算 时 只 是 N= 和 4 两 种 情 况, 如 给 定 的 N jw 少 于 或 4, 可 在 其 后 加 零 延 长 成 N=,4; 若 给 定 的 是 Cos,sin, e 时, 则 在 83

84 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 一 个 周 期 内 抽 样 得 N=4; 若 给 定 为 ( n) 或 () 或 sin C a ( ) 用 ( n) 代 入 定 义 式 或 矩 阵 式 得 到 解 答 例 Ⅰ: f ( n) ( n 6), 求 其 DF a 解 : N n j kn j 6k N N F( k) ( n 6) e e 例 Ⅱ: 求 f ( ) 5cos ( 这 里 N 一 般 是 给 定 的 ; 若 未 给 定 就 设 为 N) 经 抽 样 得 到 的 f( n ) 的 DF 解 : 一 个 周 期 内, 抽 样 四 点, 即 取 抽 样 间 隔, 得 到 4 f( n) [5,, 5,] F(),,,, 5 F(),,, j j F(),,, 5 F(3), j, j 例 Ⅲ N=6, F( k) 5 ( k 3) 5 ( k 3) 求 f( n ), 变 换 计 算 法 5 6 ( ) ( ) j f n F k e kn N K 5 5[ ( k 3) ( k 3)] e 6 K 5 5 e e e 6 6 j kn 8 j 3n j 3n j 6 n e e j n j n cos 8 8 n A Z 变 换 84

85 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: B Fourier 变 换 N 点 离 散 信 号 f( n ) 的 Z,F(z) 一 定 在 单 位 圆 上 收 敛 的, 故 有 F( k) F( k) F( z) z e N j K N N 点 离 散 信 号 f(n) 的 频 谱 密 度 一 定 存 在, 故 有 F( k) F( K) F( ) ( 当 =, N k N k ) N Ⅴ,Fourier 反 变 换 的 计 算 (IF), 利 用 频 谱 密 度 的 性 质 ( 对 称 ) 计 算 IF 大 多 数 情 况 下, 是 利 用 性 质 和 典 型 信 号, 完 成 IF 例 Ⅰ: 有 一 实 因 果 信 号 的 频 谱 密 度 实 部 R(w) 是 一 等 腰 梯 形, 中 心 在 原 点, 高 为 3., 下 底 宽 为 4., 上 底 为., 求 该 因 果 信 号 f() 解 : 实 因 果 信 号 可 表 为 f ( ) f ( ) u( ) 其 中 f ( ) f ( ) f ( ) 是 偶 函 数 e e 从 式 中 可 知, 只 要 求 得 fe(), 再 乘 上 u (), 便 求 得 f() 为 此, 首 先 应 分 析 fe() 的 频 谱 密 度, Fe ( j ) 同 因 果 信 号 f() 频 谱 密 度 ( 实 部 ) 的 关 系 由 f() 表 示 式 有 F( jw) Fe ( jw)*[ ( w) ] jw Fe( j) j Fe( j)* ( () e f 是 实 偶 信 号, F ( jw ) 是 实 函 数 ) e 85

86 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: R( ) jr( )* ( ( ) e F j 是 实 函 数 ) 故 Fe ( jw ) = RW ( ) Rrc( )*Re c( w) / 3 ( 见 下 图 ) 3 R(j ) F( j). F ( j) 则 3 fe( ) 4 [ Rrc( )*Re c( w)] 3 3 fe( ) 4 Sinc Sinc 3 Sinc Sinc 3 3 (cos cos ) f ( ) fe( ) u( ) (cos cos ) u( ) 故 例 Ⅱ: 信 号 f() 的 振 幅 谱 F( jw ) 相 位 谱 ( jw) 下 图 所 示, 求 f() F( j). / ( j) 解 : 由 图 可 写 出 f() 的 频 谱 为 w w F( jw) rea( ) rec( ) e j 86

87 川 大 考 研 真 题 + 答 案 数 星 星 de 男 孩 QQ: 则 f ( ) sin ce sin c e e j j j in [ j n j j 4 j 4 S c e e e e ] sin c cos( ) 4, 利 用 留 数 法 (Residue) 求 IF 当 给 定 的 频 谱 密 度 F( jw ) 是 以 jw 为 变 量 的 有 理 分 式 时, 可 将 纵 坐 标 看 成 在 收 敛 域 中 的 一 条 直 线, 利 用 留 数 经 初 等 ( 有 重 根 时 有 微 分 运 算 ) 运 算 便 可 得 到 IF, 下 面 列 出 计 算 步 骤 并 举 例 说 明, 如 给 出 一 般 形 式 是 : m bm( j) b ( j) b ( j) b F( jw) n ( j) a ( j) a ( j) a m m n n 第 一 步 : 当 m n时, 用 长 除 法 将 F( jw ) 分 解 成 整 式 与 分 式 之 和, 即 F( jw) F ( jw) F ( jw) F ( jw) C ( jw) C ( jw) C 其 中 L L 根 据 数 频 谱 密 度 的 微 分 性 质, 可 得 F ( jw ) 的 IF 为 F f ( ) C ( ) C ( ) C ( ) ( L), L k k k d ( jw) d ( jw) d( jw) d N( jw) ( jw) n n ( jw) an s( jw) a( jw) a D( jw) 第 二 步 : 求 F ( ) jw jw e 的 极 点, 由 于 e D( jw ) = 的 根 如 P P 第 三 步 : 将 P P P i, L j jw i 无 极 点, 故 只 须 求 p 等 为 单 根, P 为 L 重 重 根 P 以 纵 坐 标 为 分 界 线, 分 成 两 组, 左 边 的 记 a k =[ P P 4 ] 等, 右 边 一 组 记 b k =[ PP ] 3 第 四 步 : 求 各 极 点 PP 的 留 数, 得 到 F ( jw ) 的 IF, 即 有 L j 87