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1 桃 園 縣 第 四 十 七 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 類 別 : 數 學 組 別 : 國 小 高 年 級 作 品 主 題 : 揭 開 魔 方 陣 之 神 祕 面 紗 關 鍵 詞 : 魔 方 陣 編 號 :

2 壹 摘 要 因 為 一 個 填 數 字 遊 戲, 在 尋 找 答 案 的 過 程 中 學 到 三 階 四 階 五 階 八 階 等 魔 方 陣 的 作 法, 推 導 出 能 夠 快 速 填 製 三 階 魔 方 陣 的 規 則 ; 並 學 習 利 用 擴 階 法 將 四 階 擴 階 為 六 階, 八 階 擴 階 為 十 階, 並 證 明 利 用 三 階 魔 方 陣 規 則 亦 可 以 快 速 填 製 其 他 奇 數 階 魔 方 陣, 但 不 適 用 於 偶 數 階 魔 方 陣 貳 研 究 動 機 班 上 有 位 同 學 在 日 記 裡 出 了 一 題 九 個 方 格 ( 三 階 ) 的 填 數 字 遊 戲, 請 老 師 解 答 ; 老 師 覺 得 很 有 趣, 便 將 它 公 佈 讓 全 班 同 學 一 起 研 究 在 尋 找 答 案 的 過 程 中, 我 們 查 閱 了 許 多 書 籍, 在 光 復 科 學 圖 鑑 1: 數 形 中, 看 到 了 有 關 魔 方 陣 的 資 料 和 解 說, 對 於 早 期 人 類 的 智 慧 讚 嘆 不 已, 除 了 從 中 學 到 三 階 四 階 五 階 八 階 等 魔 方 陣 的 作 法 之 外, 也 不 禁 對 魔 方 陣 的 神 祕 產 生 強 烈 的 好 奇 心! 任 何 階 方 陣 都 可 以 形 成 魔 方 陣 嗎? 書 中 的 四 種 魔 方 陣, 皆 是 以 特 殊 作 法 完 成, 是 不 是 能 夠 找 出 一 種 作 法, 可 以 適 用 於 所 有 的 方 陣 呢? 因 此, 我 們 以 魔 方 陣 為 主 題, 進 行 更 進 一 步 的 深 入 研 究 參 研 究 目 的 一 證 明 是 否 任 何 階 方 陣 都 可 以 完 成 魔 方 陣 二 透 過 研 究 過 程, 尋 找 方 陣 的 規 律 性, 並 訓 練 自 身 歸 納 推 理 的 邏 輯 思 考 能 力 三 究 魔 方 陣 的 數 字 組 合 方 式 是 否 只 有 一 種 四 出 可 以 迅 速 做 出 各 階 魔 方 陣 的 規 則 或 公 式 肆 名 詞 解 釋 魔 方 陣 是 什 麼? 魔 方 陣 其 實 是 由 英 文 magic square 轉 譯 而 來, 我 國 古 代 把 魔 方 陣 稱 為 縱 橫 圖 幻 方 世 界 上 最 早 出 現 的 魔 方 陣 目 前 公 認 是 出 現 在 中 國 據 說 大 禹 治 水 時, 在 洛 水 發 現 一 隻 大 烏 龜, 背 上 刻 有 圖 1 ( 下 左 圖 ) 的 圖 案, 若 用 數 字 表 示 就 是 圖 ( 下 右 圖 ) 的 三 階 魔 方 陣, 所 以 後 來 圖 的 三 階 魔 方 陣 又 被 稱 為 洛 書 圖 一 : 洛 書 的 三 階 魔 方 陣 圖 二 : 三 階 魔 方 陣 1

3 n n 的 方 陣 圖 中, 將 1 至 n² 的 數 字 填 入 方 陣 格 中, 使 此 方 陣 在 縱 列 橫 列 (1 + n ) n 斜 對 角 線 等 向 的 數 字 和 都 相 等, 且 等 於 n 例 如 : 三 階 魔 方 陣 如 下 圖 所 示 (1) 縱 列 : = = =15 () 橫 列 : = = =15 (3) 斜 列 : = = 伍 研 究 過 程 一 求 證 二 階 魔 方 陣 是 否 成 立 從 光 復 科 學 圖 鑑 中 已 知 三 階 四 階 五 階 八 階 等 魔 方 陣 的 作 法, 也 就 是 說 三 階 四 階 五 階 八 階 的 魔 方 陣 是 存 在 的 ; 我 們 先 從 最 少 的 二 階 方 陣 開 始 尋 找, 求 證 二 階 魔 方 陣 是 否 成 立 步 驟 1: 設 A b 為 一 個 魔 方 陣 c d 步 驟 : 依 照 魔 方 陣 的 定 義, 我 們 可 以 得 到 下 面 的 條 件 : (1)a b c d 為 四 個 相 異 的 數, 且 各 為 1,, 3, 4 中 的 一 個 數 () 因 為 : 縱 列 和 = 橫 列 和 = 對 角 線 和 所 以 :a+b=a+c=a+d=b+c=b+d=c+d 步 驟 3: 由 條 件 () 可 知 a+b=a+ c=a+ d, 則 b=c=d 但 b=c=d 與 條 件 (1) 互 相 矛 盾 因 此 可 得 知 : 二 階 魔 方 陣 不 存 在 二 知 三 階 魔 方 陣 成 立, 討 論 : 三 階 魔 方 陣 的 數 字 組 合 有 幾 種? 步 驟 1: 設 a d b e c f 為 一 個 三 階 魔 方 陣 g h i 依 照 魔 方 陣 的 定 義, 我 們 可 以 得 到 下 面 的 條 件 : (1)a,b,c,d,e,f,g,h,i 為 相 異 的 數, 且 各 為 1~ 9 中 的 一 個 數

4 (1 + 9) 9 () 因 為 : 縱 列 和 = 橫 列 和 = 對 角 線 和 = =15 3 所 以 :a+b+c=d+e+f=g+h+i=a+d+g=b+e+h=c+f+i=a+e+i= c+e+g=15 步 驟 : 依 據 上 述 條 件 (1)() 將 三 階 魔 方 陣 中 a 至 i 分 為 三 類 : A 四 個 角 元 a c g i 各 與 不 同 的 三 組 數 之 和 為 15 Ex. a+b+c=a+d+g=a+e+i=15 B 中 心 元 e 可 與 不 同 的 四 組 數 之 和 為 15 Ex. b+e+h=d+e+f=a+e+i=c+e+g=15 C 另 外 的 四 元 b d f h 可 與 不 同 的 二 組 數 之 和 為 15 Ex. a+d+g=d+e+f=15 步 驟 3: 現 在 將 1 至 9 的 九 個 數, 依 上 述 條 件 二, 即 三 個 數 之 合 為 15 的 組 合, 全 部 列 出 如 下 : 包 含 1 的 有 :(1,5,9) (1,6,8) 包 含 的 有 :(,4,9) (,5,8) (,6,7) 包 含 3 的 有 :(3,4,8) (3,5,7) 包 含 4 的 有 :(4,,9) (4,3,8) (4,5,6) 包 含 5 的 有 :(5,1,9) (5,,8) (5,3,7) (5,4,6) 包 含 6 的 有 :(6,1,8) (6,,7) (6,4,5) 包 含 7 的 有 :(7,,6) (7,3,5) 包 含 8 的 有 :(8,1,6) (8,,5) (8,3,4) 包 含 9 的 有 :(9,1,5) (9,,4) 其 中 可 組 成 二 組 的 是 : 可 組 成 三 組 的 是 : 可 組 成 四 組 的 是 :5 步 驟 4: 由 步 驟 步 驟 3 的 結 果, 我 們 可 以 知 道 三 階 魔 方 陣 中 : A 中 心 元 e 必 為 5 B 四 角 元 a c g i 必 為 C 另 外 的 四 元 b d f h 必 為 步 驟 5: 由 步 驟 4 的 結 果, 可 以 得 到 下 列 八 種 三 階 魔 方 陣 i ( 圖 一 ) ( 圖 二 ) ( 圖 三 ) ( 圖 四 ) 3

5 ( 圖 五 ) ( 圖 六 ) ( 圖 七 ) ( 圖 八 ) 經 觀 察 發 現 上 列 八 種 方 陣 其 實 皆 源 於 同 一 種 圖 形, 說 明 如 下 : A 以 ( 圖 一 ) 為 原 始 圖 形, 順 時 鐘 方 向 旋 轉 90 度 得 到 ( 圖 二 ); 再 順 時 鐘 方 向 旋 轉 90 度 得 到 ( 圖 三 ); 再 順 時 鐘 方 向 旋 轉 90 度 得 到 ( 圖 四 ) 亦 即 ( 圖 二 ) ( 圖 三 ) ( 圖 四 ) 分 別 是 由 ( 圖 一 ) 順 時 鐘 旋 轉 90 度 180 度 70 度 而 來 B ( 圖 五 ) ( 圖 六 ) ( 圖 七 ) ( 圖 八 ) 分 別 是 由 ( 圖 一 ) ( 圖 二 ) ( 圖 三 ) ( 圖 四 ) 以 中 間 行 為 鏡 射 軸, 翻 轉 180 度 而 得 例 如 : ( 圖 一 ) ( 圖 五 ) 由 以 上 可 得 知 : 三 階 魔 方 陣 恰 有 一 等 價 類, 相 異 之 三 階 魔 方 陣 恰 有 八 個 三 已 知 三 階 魔 方 陣 成 立, 討 論 : 填 製 三 階 魔 方 陣 是 否 有 規 則 可 循? 9 4 ( 以 為 例 ) 觀 察 圖 一 至 圖 八, 發 現 對 角 線 皆 為 (4,5,6) 呈 次 序 排 列, 因 此 我 們 以 三 階 魔 方 陣 為 單 位, 擴 展 至 單 位 的 合 併 圖 形 如 下 所 示 :

6 進 而 發 現 : 三 階 魔 方 陣 中, 數 組 (1,,3) (4,5,6) (7,8,9) 皆 以 左 一 下 一 的 方 式 依 序 填 入, 且 在 時, 都 是 在 原 本 預 期 左 一 下 一 的 位 置 已 有 數 字 佔 據 的 情 況 下, 往 上 一 填 入 故 可 得 連 續 填 製 之 規 則 如 下 : 規 則 一 : 將 1 填 入 第 三 列 ( 最 下 列 ) 中 間 格 規 則 二 : 依 照 左 一 下 一 方 式 填 入 後 繼 數 字 但 同 列 最 右 格 視 為 最 左 格 之 左 鄰 格, 同 行 最 上 格 視 為 最 下 格 之 下 鄰 格 規 則 三 : 如 在 左 一 下 一 填 入 後 繼 數 字 遇 阻 時, 改 為 依 照 上 一 方 式 填 入 後 繼 數 字 在 ( 二 ) 步 驟 5 中 得 知 : A ( 圖 二 ) ( 圖 三 ) ( 圖 四 ) 分 別 是 由 ( 圖 一 ) 順 時 鐘 旋 轉 90 度 180 度 70 度 而 來 因 此 ( 圖 二 ) ( 圖 三 ) ( 圖 四 ) 的 填 製 規 則 亦 可 由 ( 圖 一 ) 的 填 製 規 則 分 別 順 時 鐘 旋 轉 90 度 180 度 70 度 而 得 B ( 圖 五 ) ( 圖 六 ) ( 圖 七 ) ( 圖 八 ) 分 別 是 由 ( 圖 一 ) ( 圖 二 ) ( 圖 三 ) ( 圖 四 ) 以 中 間 行 為 鏡 射 軸, 翻 轉 180 度 而 來 因 此 ( 圖 五 ) ( 圖 六 ) ( 圖 七 ) ( 圖 八 ) 的 填 製 規 則 亦 可 分 別 由 ( 圖 一 ) ( 圖 二 ) ( 圖 三 ) ( 圖 四 ) 的 填 製 規 則 翻 轉 180 度 而 得 四 在 找 出 三 階 魔 方 陣 的 填 製 規 則 後, 我 們 想 知 道 此 規 則 是 否 適 用 於 其 他 階 數 的 魔 方 陣?( 討 論 至 十 階 ) 五 階 縱 列 和 = 橫 列 和 = 對 角 線 和 (1 + 5 ) 5 = 5 = 七 階 縱 列 和 = 橫 列 和 = 對 角 線 和 (1 + 7 ) 7 = 7 =175 5

7 九 階 縱 列 和 = 橫 列 和 = 對 角 線 和 (1 + 9 ) 9 = 9 = 由 以 上 驗 證 得 知 : 利 用 三 階 魔 方 陣 所 求 得 的 規 則, 適 用 於 填 製 其 他 奇 數 階 方 陣 ; 偶 數 階 則 不 成 立 五 探 討 四 階 與 八 階 魔 方 陣 的 作 法 從 光 復 科 學 圖 鑑 1: 數 形 中 得 知 如 下 : A 如 何 造 出 四 階 魔 術 方 陣 作 法 1 對 角 線 的 格 子 中, 以 打 點 作 記 號 作 法 由 左 上 角 向 橫 列 方 向 依 次 填 入 1 3, 但 只 在 有 打 點 的 格 內 才 寫 出 數 字

8 作 法 3 由 右 下 角 反 向 橫 方 向 依 次 填 入 1 3, 但 只 在 沒 有 打 點 的 格 內 才 寫 出 數 字 B 如 何 造 出 八 階 魔 術 方 陣 作 法 如 圖 所 示, 以 打 點 作 記 號, 然 後 再 依 照 四 方 陣 的 方 法 填 寫 數 字, 即 可 得 到 八 方 陣 接 下 來 我 們 利 用 擴 階 法 將 四 階 擴 階 至 六 階 ; 將 八 階 擴 階 至 十 階 六 利 用 擴 階 法 將 四 階 擴 階 至 六 階 步 驟 1: 設 想 六 階 方 陣 是 由 一 四 階 等 合 連 續 數 方 外 添 一 層 而 得, 則 此 六 階 魔 方 陣 除 了 最 外 圍 之 行 與 列 外, 其 他 各 行 各 列 與 對 角 線, 均 可 視 為 在 四 階 等 合 連 續 數 方 之 對 應 行 列 對 角 線 之 兩 端 各 添 一 數 而 成, 6 4 而 且 添 加 之 數 對 有 =10 對 步 驟 : 因 為 六 階 魔 方 陣 與 四 階 等 合 連 續 數 方 對 應 之 各 行 和 列 和 對 角 線 和 均 為 定 值, 所 以 我 們 可 以 推 知 在 外 圍 添 加 的 10 組 數 對, 各 組 數 對 和 須 相 等, 而 最 容 易 選 取 的 10 組 數 對 應 為 (1,36) (,35) (3, 34) (4,33) (5,3) (6,31) (7,30) (8,9) (9,8) (10,7) 步 驟 3: 則 六 階 魔 方 陣 內 包 之 四 階 等 合 連 續 數 方 是 由 剩 下 的 11 至 6 等 16 個 連 續 數 組 成, 因 此 我 們 可 將 一 四 階 魔 方 陣 中 各 元 加 10, 便 可 以 得 到 該 內 包 之 四 階 等 合 連 續 數 方 如 下 : 7

9 = 步 驟 4: 將 步 驟 中 之 10 組 數 對 填 入 六 階 魔 方 陣 之 最 外 圍, 並 且 使 其 各 行 (1 + 6 ) 6 和 = 各 列 和 = 對 角 線 和 = 6 =111, 即 得 到 六 階 魔 方 陣 A B C D E F G G H H 填 入 數 對 (1,36) (,35) (3,34) (4,33) (5,3) I I (6,31) J F 3 B 4 C 5 D 6 E J A (7,30) (8,9) (9,8) (10,7) 我 們 分 別 選 擇 3 組 不 同 的 對 角 元, 最 後 順 利 地 排 出 六 階 魔 方 陣, 如 下 : Ⅰ 對 角 元 (1,36) (,35) Ⅱ 對 角 元 (1,36) (,35)

10 Ⅲ 對 角 元 (1,36) (6,31) Ⅳ 對 角 元 (1,36) (6,31) Ⅴ 對 角 元 (1,36) (4,33) Ⅵ 對 角 元 (1,36) (8,9) 七 利 用 擴 階 法 將 八 階 擴 階 至 十 階 方 法 同 ( 六 ) 步 驟 1: 設 想 十 階 方 陣 是 由 一 八 階 等 合 連 續 數 方 外 添 一 層 而 得, 則 此 十 階 魔 方 陣 除 了 最 外 圍 之 行 與 列 外, 其 他 各 行 各 列 與 對 角 線, 均 可 視 為 在 八 階 等 合 連 續 數 方 之 對 應 行 列 對 角 線 之 兩 端 各 添 一 數 而 成, 10 8 而 且 添 加 之 數 對 有 =18 對 步 驟 : 因 為 十 階 魔 方 陣 與 八 階 等 合 連 續 數 方 對 應 之 各 行 和 列 和 對 角 線 和 均 為 定 值, 所 以 我 們 可 以 推 知 在 外 圍 添 加 的 18 組 數 對, 各 組 數 對 和 須 相 等, 而 最 容 易 選 取 的 18 組 數 對 應 為 (1,100) (,99) (3, 98 (4,97) (5,96) (6,95) (7,94) (8,93) (9,9) (10,91 (11,90) (1,89) (13,88) (14,87) (15,86) (16, 85) (17,84) (18,83) 9

11 步 驟 3: 則 十 階 魔 方 陣 內 包 之 八 階 等 合 連 續 數 方 是 由 剩 下 的 19 至 8 等 64 個 連 續 數 組 成, 因 此 我 們 可 將 一 八 階 魔 方 陣 中 各 元 加 18, 便 可 以 得 到 該 內 包 之 八 階 等 合 連 續 數 方 如 下 : =

12 步 驟 4: 將 步 驟 中 之 18 組 數 對 填 入 十 階 魔 方 陣 之 最 外 圍, 並 且 使 其 各 行 ( ) 10 和 = 各 列 和 = 對 角 線 和 = 10 =505, 即 得 到 十 階 魔 方 陣 A B C D E F G H I J K K L L M M N N O O P P Q Q R R J B C D E F G H I A 填 入 數 對 (1,100) (,99) (3,98) (4,97) (5,96) (6,95) (7,94) (8,93) (9,9) (10,91 (11,90) (1,89) (13,88) (14,87) (15,86) (16,85) (17,84) (18,83)

13 我 們 選 擇 以 (8,93) (9,9) 為 對 角 元, 最 後 排 出 十 階 魔 方 陣, 如 下 : Ⅰ 對 角 元 (8,93) (9,9) Ⅱ 對 角 元 (8,93) (9,9)

14 陸 結 論 一 在 研 究 過 程 中, 透 過 魔 方 陣 定 義 證 明 : 二 階 魔 方 陣 是 不 存 在 的 二 在 三 階 魔 方 陣 中, 我 們 推 導 出 能 夠 快 速 填 製 三 階 魔 方 陣 的 規 則 : 1 將 1 填 入 第 三 列 ( 最 下 列 ) 中 間 格 依 照 左 一 下 一 的 方 式 填 入 後 繼 數 字 但 同 列 最 右 格 視 為 最 左 格 之 左 鄰 格, 同 行 最 上 格 視 為 最 下 格 之 下 鄰 格 3 如 在 左 一 下 一 填 入 後 繼 數 字 遇 阻 時, 改 為 依 照 上 一 方 式 填 入 後 繼 數 字 三 在 實 際 操 作 後 得 知 : 利 用 三 階 魔 方 陣 規 則 亦 可 以 快 速 填 製 其 他 奇 數 階 魔 方 陣, 但 不 適 用 於 偶 數 階 魔 方 陣 ( 我 們 只 討 論 到 十 階 ) 四 偶 數 階 魔 方 陣, 在 光 復 科 學 圖 鑑 1: 數 形 書 中 我 們 已 經 知 道 四 階 與 八 階 魔 方 陣 的 作 法, 於 是 證 明 利 用 擴 階 法 將 四 階 擴 階 為 六 階, 將 八 階 擴 階 為 十 階 是 可 行 的 柒 展 望 與 心 得 在 研 究 之 後, 雖 然 我 們 已 經 知 道 十 階 以 內 各 階 魔 方 陣 的 作 法, 但 在 有 關 魔 方 陣 的 學 問 中 卻 只 能 算 是 冰 山 一 角, 因 此 如 果 有 機 會 我 們 將 會 朝 以 下 的 目 標 繼 續 深 入 研 究 : 一 利 用 三 階 魔 方 陣 規 則 可 以 快 速 填 製 其 他 奇 數 階 魔 方 陣, 但 只 研 究 至 十 階 以 內, 希 望 能 再 深 入 研 究 下 列 問 題 : 1 驗 證 十 階 以 外 的 奇 數 魔 方 陣 仍 適 用 快 速 填 製 規 則 探 討 : 為 什 麼 所 有 奇 數 階 魔 方 陣 都 可 以 使 用 同 一 種 規 則 填 製 完 成? 二 此 研 究 中 的 四 階 與 八 階 魔 方 陣 是 使 用 光 復 科 學 圖 鑑 1: 數 形 書 中 的 特 殊 作 法, 希 望 將 來 研 究 者 可 以 再 驗 證 : 1 16 階 3 階 是 否 所 有 n 階 都 可 以 用 相 同 方 法 完 成 四 階 與 八 階 魔 方 陣 是 否 各 自 有 其 他 不 同 的 填 製 規 則 三 研 究 過 程 中, 我 們 知 道 三 階 魔 方 陣 恰 有 一 等 價 類, 相 異 之 三 階 魔 方 陣 恰 有 八 個 ; 但 是 在 填 製 六 階 和 十 階 外 圍 行 列 的 部 分, 只 有 列 舉 幾 種, 並 沒 有 討 論 其 全 部 的 個 數 有 多 少 個, 這 也 是 未 來 可 以 研 究 的 方 向 四 很 高 興 能 夠 參 與 這 次 的 研 究, 除 了 對 魔 方 陣 有 初 步 的 認 識 之 外, 在 研 究 的 過 程 中, 也 培 養 了 本 身 的 邏 輯 思 考 能 力, 更 幫 助 我 們 學 習 如 何 在 團 體 中 共 同 討 論 研 究 以 及 互 相 尊 重 的 態 度 捌 參 考 資 料 1 光 復 科 學 圖 鑑 1: 數 形 光 復 書 局 奇 妙 的 數 學 遊 戲 益 群 書 店 3 數 學 方 陣 遊 戲 星 光 出 版 社 13

15 4 趣 味 的 數 學 國 語 日 報 出 版 部 5 歷 屆 中 小 學 科 學 展 覽 優 勝 作 品 專 輯 6 魔 法 方 陣 7 三 階 魔 方 陣 的 尋 覓 14

肆 研 究 方 法 進 行 本 研 究 前, 我 們 首 先 對 研 究 中 所 用 到 名 詞 作 定 義 定 義 : 牌 數 : 玩 牌 時 所 使 用 到 撲 克 牌 數 次 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 重 複 分 牌 次 數 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 每 次 分

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