數學小論文神秘的設計--魔方陣的介紹和建構.doc
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- 暗畏 容
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1 篇 名 : 神 秘 的 設 計 魔 方 陣 的 介 紹 和 建 構 作 者 周 佳 宜 彰 化 女 中 一 年 十 五 班 章 筱 伶 彰 化 女 中 一 年 十 五 班 劉 季 庭 彰 化 女 中 一 年 十 五 班 指 導 老 師.. 莊 孟 綉 老 師
2 壹 前 言 閱 讀 小 說 無 非 是 在 高 中 繁 忙 的 課 業 之 餘 一 種 讓 人 放 鬆 的 享 受, 不 但 可 以 受 到 文 學 氣 息 的 洗 滌, 其 實 仔 細 思 考 其 中 看 似 平 淡 無 奇 的 內 容, 還 可 以 發 現 意 想 不 到 的 趣 味 在 武 俠 小 說 射 鵰 英 雄 傳 中 就 有 著 這 樣 一 段 對 話 : 瑛 姑 問 道 : 將 一 至 九 這 九 個 數 字 排 成 三 列, 不 論 縱 橫 斜 角, 每 三 字 相 加 都 是 十 五, 如 何 排 法? 黃 蓉 誦 道 : 九 宮 之 義, 法 以 靈 龜, 二 四 為 肩, 六 八 為 足, 左 三 右 七, 戴 九 履 一, 五 居 中 央 又 道 : 不 但 九 宮, 即 使 四 四 圖, 五 五 圖, 以 至 百 子 圖, 亦 不 足 為 奇 就 說 四 四 圖 罷, 以 十 六 字 依 次 作 四 行 排 列, 先 以 四 角 對 換, 一 換 十 六, 四 換 十 三, 後 以 內 四 角 對 換, 六 換 十 一, 七 換 十 這 般 橫 直 上 下 斜 角 相 加, 皆 是 三 十 四 由 以 上 的 這 段 故 事 情 節 挑 起 了 我 們 對 洛 書 的 興 趣, 並 開 始 探 討 其 中 的 奧 妙 貳 正 文 一 魔 方 陣 的 由 來 01. 魔 方 陣 之 歷 史 A. 世 界 上 最 早 出 現 的 魔 方 陣 是 在 洛 書 中 的 三 階 魔 方 陣, 相 傳 在 四 千 多 年 前, 夏 禹 治 水 時, 在 洛 水 岸 邊 發 現 一 龜, 被 上 有 奇 特 的 圖 紋 如 下 圖, 後 來 就 叫 做 洛 書 ( 註 一 ) ( 圖 一 ) 洛 書 資 料 來 源 : 見 註 一 B. 十 二 世 紀 的 阿 拉 伯 文 獻 裡 也 有 六 階 幻 方 的 記 載, 我 國 考 古 學 家 曾 經 在 西 安 也 發 現 了 五 塊 鐵 板, 上 面 刻 有 當 時 阿 拉 伯 文 獻 上 的 五 個 六 階 幻 方, 也 說 明 了 我 國 與 阿 拉 伯 數 學 文 化 交 流 的 情 況 下 圖 即 五 個 六 階 幻 方 中 的 一 個 ( 註 二 ) ( 圖 二 ) 資 料 來 源 : 見 註 二 1
3 02. 魔 方 陣 的 名 稱 A. 我 國 古 代 稱 作 縱 橫 圖 B. 在 英 文 中 為 magic square C. 魔 方 陣 這 個 名 稱 是 日 本 人 先 翻 譯 的 ( 註 三 ) 二 何 謂 魔 方 陣 01. n 階 魔 方 陣 : 指 一 個 每 一 邊 恰 有 n 個 格 子 的 方 陣, 方 陣 的 每 個 格 子 中 都 必 須 填 入 一 個 整 數, 並 且 這 些 整 數 都 不 能 重 複 02. 魔 方 陣 的 定 義 A. 狹 義 的 定 義 a. 指 一 個 n 階 方 陣, 而 且 方 陣 中 所 填 入 的 數 字 須 為 1 到 n 2 的 連 續 整 數 b. 方 陣 的 行 和 = 方 陣 的 列 和 = 方 陣 的 對 角 線 和, 此 一 值 稱 為 定 和 B. 廣 義 的 定 義 a. 指 一 個 n 階 方 陣, 而 且 方 陣 中 所 填 入 的 數 字 是 1 到 n 2 個 不 重 複 的 整 數 b. 方 陣 的 行 和 = 方 陣 的 列 和 = 方 陣 的 對 角 線 和, 此 一 值 稱 為 定 和 03. 魔 方 陣 的 種 類 A. 正 規 的 魔 方 陣 a. 適 用 於 狹 義 的 定 義 b. 分 為 奇 數 階 的 魔 方 陣 和 偶 數 階 的 魔 方 陣 B. 特 殊 的 魔 方 陣 a. 適 用 於 廣 義 的 定 義 b. 例 如 : 質 數 魔 方 陣 04. 以 座 標 法 表 示 位 置 : 以 (x,y) 表 示 方 陣 的 第 x 行 第 y 列 的 位 置, 如 果 (x,y) 位 置 中 的 數 字 是 m, 則 可 記 成 (x,y)=m 三 奇 數 階 魔 方 陣 ( 奇 階 魔 方 陣 ) 2
4 奇 階 魔 方 陣 即 每 邊 格 子 數 為 奇 數 的 魔 方 陣, 例 :3 5 7 階 的 魔 方 陣 01. 各 種 填 製 法 A. 方 法 一 - 楊 輝 法 出 自 宋 朝 楊 輝 的 續 古 摘 奇 算 經 的 歌 謠 : 九 子 斜 排, 上 下 對 易, 左 右 相 更, 四 維 挺 進, 戴 九 履 一, 左 三 右 七, 二 四 為 肩, 六 八 為 足 ( 針 對 三 階 魔 方 陣 )( 註 三 ) a. 九 子 斜 排 ( 見 圖 三 ) b. 上 下 對 易, 左 右 相 更, 四 維 挺 進 ( 見 圖 四 ) c. 戴 九 履 一, 左 三 右 七, 二 四 為 肩, 六 八 為 足 ( 見 圖 五 ) d. 若 將 歌 謠 中 的 九 子 斜 排 改 成 數 字 斜 排, 則 任 意 奇 數 階 魔 方 陣 的 填 製 均 適 用 ( 圖 三 ) ( 圖 四 ) ( 圖 五 ) A. 方 法 二 作 法 :(n 為 階 數, 以 下 舉 n = 5 即 5 階 魔 方 陣 為 例 ; 並 將 此 方 陣 想 像 為 上 下 左 右 皆 連 通 ) a. 將 1 放 入 第 一 列 中 央 (n+1) 2,1, 以 五 接 魔 方 陣 來 講, 即 (3,1) 的 位 置 ( 見 圖 六 ) b. 依 序 將 2,3,4,5 填 入 前 一 個 數 的 右 上 方 ( 見 圖 七 ) 例 如 :1 (n+1) 2,1 可 得 2 (n+1) 2,1-1, 將 此 魔 方 陣 想 像 為 上 下 連 通, 以 五 階 魔 方 陣 來 講, 得 到 2 4,5 c. 填 入 數 字 5 後, 若 是 繼 續 將 6 填 入 5 的 右 上 方, 會 發 現 1 已 經 占 據 了 這 個 格 子, 此 時 便 改 將 6 填 入 5 的 正 下 方 一 格, 即 將 6 填 入 5 2,2 的 下 面 一 格 2,3 ( 見 圖 八 ) d. 優 先 將 為 被 填 入 的 數 字 填 入 前 一 數 的 右 上 方 ; 若 是 遇 到 阻 礙, 便 改 放 入 前 一 數 的 正 下 方 一 格, 按 照 此 規 則 將 數 字 7,8,9, n 2 填 入 ( 見 圖 九 )
5 C. 方 法 三 作 法 :(n 為 階 數, 以 下 舉 n = 5 即 5 階 魔 方 陣 為 例 ; 並 將 此 方 陣 想 像 為 上 下 左 右 皆 連 通 ) a. 把 1 放 在 正 中 央 的 上 面 一 格, 即 (n-1) 2,(n+1) 2 ( 見 圖 十 ) b. 由 1 開 始 累 加 n, 並 依 序 填 入 被 加 數 的 左 上 方 那 一 格 ( 見 圖 十 一 ) c. 選 擇 一 已 填 入 數 字 的 格 子 作 為 起 點, 開 始 累 加 1, 並 依 序 填 入 被 加 數 的 右 上 方 ( 見 圖 十 二 ) d. 不 斷 以 c 的 作 法, 直 到 將 方 陣 填 滿 為 止 ( 見 圖 十 三 ) ( 圖 十 ) 11 ( 圖 十 一 ) 11 ( 圖 十 二 ) ( 圖 十 三 ) D. 方 法 四 作 法 : n 為 階 數, 以 下 舉 n = 5 即 五 階 魔 方 陣 為 例 a. 將 方 陣 的 內 接 菱 形 標 示 出 來 圖 中 橘 色 部 份 ( 見 圖 十 四 ) b. 由 菱 形 的 任 一 頂 點 開 始 依 序 填 入 奇 數 此 以 右 邊 頂 點 向 上 方 頂 點 填 為 例 ( 見 圖 十 五 ) c. 偶 數 填 在 其 前 一 個 奇 數 的 左 邊 三 格 上 方 三 格, 想 像 整 個 魔 方 陣 是 上 下 左 右 都 相 通 的 ( 見 圖 十 六 ) d. 若 是 將 要 填 入 的 格 子 已 被 佔 據, 那 麼 便 將 此 偶 數 填 在 其 前 一 奇 數 的 左 邊 一 格 ( 見 圖 十 七 ) e. 按 照 在 菱 形 內 填 奇 數, 菱 形 外 填 偶 數 的 規 則 將 數 字 填 入, 優 先 將 偶 數 填 在 其 前 一 奇 數 的 左 上 三 格, 若 是 遇 到 阻 礙 及 格 子 已 被 佔 據, 則 改 將 此 偶 數 填 在 前 一 奇 數 的 左 邊 一 格 使 用 此 法 直 到 將 方 陣 填 滿 ( 見 圖 十 八 ) ( 圖 十 四 ) ( 圖 十 五 ) ( 圖 十 六 ) ( 圖 十 七 ) ( 圖 十 八 ) 4
6 四 偶 數 階 魔 方 陣 ( 偶 階 魔 方 陣 ) 01. 二 階 魔 方 陣 是 不 存 在 的 A. 證 明 : a. 二 階 魔 方 陣 的 定 和 為 (1+2 2 ) 2 2=5 b. 令 該 二 階 方 陣 如 下 圖, 則 a+b=5,a+c=5, 將 兩 式 相 減 得 b-c=0, 即 b=c c. 魔 方 陣 的 數 字 不 可 重 覆, 所 以 上 式 得 出 b=c 矛 盾, 即 二 階 魔 方 陣 不 存 在 a c b d 02. 4k 階 ( 等 4 的 倍 數 階 ) 魔 方 陣 填 製 法 A. 方 法 一 ( 以 下 舉 8 階 魔 方 陣, 即 n=8,k=2 為 例 ) a. 先 將 整 個 n 階 大 方 陣 劃 分 成 16 個 ( n 4 ) 階 小 方 陣, 然 後 在 有 n 階 大 方 陣 對 角 線 通 過 的 小 方 陣 上 做 記 號 ( 見 圖 十 九 ) b. 接 著 自 左 上 角 的 格 子 即 (1,1) 開 始, 由 左 而 右 由 上 而 下, 依 序 填 入 數 字 n 2, 遇 到 有 記 號 的 格 子 才 填 入 數 字, 沒 有 記 號 的 格 子 就 不 填, 但 不 管 是 否 填 入 數 字, 每 移 動 一 格, 所 填 入 的 數 字 都 要 加 1 而 且 須 以 小 方 陣 為 單 位, 要 將 一 個 小 方 陣 完 成 步 驟 後 才 移 到 下 一 個 小 方 陣 ( 小 方 陣 亦 由 左 而 右 由 上 下 ) ( 見 圖 二 十 ) c. 最 後 自 右 下 角 的 格 子 即 (n 2,n 2 ) 開 始, 由 右 而 左 由 下 而 上, 依 序 填 入 數 字 n 2, 遇 到 沒 有 數 字 的 格 子 才 填 入 數 字, 已 填 有 數 字 的 格 子 就 不 填, 但 不 管 是 否 填 入 數 字, 每 移 動 一 格, 所 填 入 的 數 字 都 要 加 1 而 且 須 以 小 方 陣 為 單 位, 要 將 一 個 小 方 陣 完 成 步 驟 後 才 移 到 下 一 個 小 方 陣 ( 小 方 陣 亦 由 右 而 左 由 下 而 上 )( 見 圖 二 十 一 ) d. 將 方 陣 填 滿 後, 即 為 4 k 階 的 魔 方 陣 ( 見 圖 二 十 一 ) ( 圖 十 九 ) ( 圖 二 十 ) ( 圖 二 十 一 ) 5
7 B. 方 法 二 ( 以 下 舉 k=2,n=8, 即 8 階 魔 方 陣 為 例 ) a. 先 將 整 個 4k 階 方 陣 劃 分 成 k 2 個 4 階 小 方 陣, 然 後 在 每 個 4 階 小 方 陣 的 對 角 線 上 做 記 號 ( 見 圖 二 十 二 ) b. 接 著 從 左 上 角 的 格 子 即 (1,1) 開 始, 由 左 而 右 由 上 而 下, 依 序 填 入 數 字 n 2, 遇 到 有 記 號 的 格 子 才 填 入 數 字, 沒 有 記 號 的 格 子 就 不 填, 但 不 管 是 否 填 入 數 字, 每 移 動 一 格, 所 填 入 的 數 字 都 要 加 1 ( 見 圖 二 十 三 ) 即 (1,1)=1 (2,1)=2, 但 沒 有 記 號 此 格 不 填 (3,1)=3, 但 沒 有 記 號 此 格 不 填 (4,1)=4 (n 2,n 2 )=n 2 c. 然 後 從 右 下 角 的 格 子 即 (n 2,n 2 ) 開 始, 由 右 而 左 由 下 而 上, 依 序 填 入 數 字 k 2, 遇 到 沒 有 數 字 的 格 子 才 填 入 數 字, 已 填 有 數 字 的 格 子 就 不 填, 但 不 管 是 否 填 入 數 字, 每 移 動 一 格, 所 填 入 的 數 字 都 要 比 前 一 格 多 1 即 (n 2,n 2 )=1 但 此 格 已 填 了 n 2 所 以 不 再 填 入 (n 2-1,n 2 )=2 (1,1)=n 2 但 此 格 已 填 了 1 所 以 不 再 填 入 ( 見 圖 二 十 四 ) d. 將 方 陣 填 滿 後, 即 為 4 k 階 的 魔 方 陣 ( 見 圖 二 十 四 ) ( 圖 二 十 二 ) ( 圖 二 十 三 ) ( 圖 二 十 四 ) C. 方 法 三 ( 以 下 舉 k=2,n=8, 即 8 階 魔 方 陣 為 例 ) a. 先 將 數 字 n 2 由 左 而 右 由 上 而 下 依 順 序 填 入 格 子 中 ( 見 圖 二 十 五 ) b. 再 將 正 中 央 部 分 半 數 的 列 ( 即 正 中 央 2k 個 列 ), 所 有 數 字 左 右 翻 轉 ( 見 圖 二 十 六 ) 6
8 c. 最 後 將 中 央 部 分 半 數 的 行 ( 即 正 中 央 2k 個 行 ), 所 有 數 字 上 下 翻 轉 ( 見 圖 二 十 七 ) d. 將 方 陣 填 滿 後, 即 為 4k 階 的 魔 方 陣 ( 見 圖 二 十 七 ) k 階 45 ( 即 等 ) 魔 方 陣 的 填 製 法 A. 59 方 法 60 一 61 ( 以 下 62 舉 63 k=1 64,n=6, 即 6 階 魔 方 陣 為 例 ) ( 圖 二 十 五 ) ( 圖 二 十 六 ) ( 圖 二 十 七 ) a. 先 將 整 個 方 陣 劃 分 成 (2 k+1) 2 個 2 階 小 方 陣 ( 見 圖 二 十 八 ) b. 仿 奇 數 階 魔 方 陣 方 法 二 的 行 進 路 徑, 以 2 階 小 方 陣 為 單 位, 按 n 2 的 順 序, 一 次 連 續 填 入 四 個 連 續 數 字 於 一 小 方 陣 內, 四 個 數 字 填 入 小 方 陣 的 順 序 為 左 上 右 上 左 下 右 下 將 一 個 小 方 陣 完 成 步 驟 後 才 移 到 下 一 個 小 方 陣, 小 方 陣 填 製 的 順 序 依 照 奇 階 魔 方 陣 的 簡 捷 連 續 填 製 法 ( 見 圖 二 十 九 ) c. 將 方 陣 的 右 半 邊 即 第 1 行 至 第 n 2 行, 上 下 兩 列 的 數 字 兩 兩 對 調, 但 中 央 兩 列 對 調 的 位 置 要 左 移 一 格, 即 (n,n 2) 和 (n,n 2+1 ) 兩 格 數 字 不 對 調, 換 成 (n 2,n 2) 和 (n 2, n 2+1) 兩 格 數 字 上 下 對 調 ( 見 圖 三 十 ) d. 將 方 陣 的 下 半 邊 即 第 n 2 列 至 第 n 列, 左 右 兩 行 的 數 字 兩 兩 對 調, 但 中 央 兩 行 對 調 的 格 數 上 下 各 減 一, 最 後 兩 行 對 調 的 格 數 由 下 減 二 即 (n-1,n-1) (n,n-1) (n-1, n) (n,n) 4 格 數 字 不 改 變 ( 見 圖 三 十 一 ) e. 完 成 以 上 兩 段 對 調 之 後 所 得 到 的 方 陣 就 是 4k+2 階 魔 方 陣 了 ( 見 圖 三 十 一 ) ( 圖 二 十 八 ) ( 圖 二 十 九 ) ( 圖 三 十 ) ( 圖 三 十 一 ) 7
9 B. 方 法 二 ( 以 下 舉 k=1,n=6, 即 6 階 魔 方 陣 為 例 ) a. 先 將 數 字 (4k+2) 2 由 左 而 右 由 上 而 下 依 順 序 填 入 格 子 中 然 後 在 第 k + 1 3k+ 2 行 及 第 k + 1 3k+ 2 列 做 井 字 形 的 註 記 ( 見 圖 三 十 二 ) b. 將 2 條 橫 向 井 字 分 隔 線 內 部 的 每 一 列 做 180 的 旋 轉 或 水 平 翻, 但 轉 井 字 分 隔 線 上 的 數 字 保 持 不 動 ( 見 圖 三 十 三 ) c. 將 2 條 縱 向 井 字 分 隔 線 內 部 的 每 一 行 做 180 的 旋 轉 或 垂 直 翻 轉, 但 井 字 分 隔 線 上 的 數 字 保 持 不 動 ( 見 圖 三 十 四 ) d. 將 2 條 井 字 分 隔 線 之 橫 列 及 第 k + 2 列, 最 左 邊 和 最 右 邊 的 數 字 分 別 左 右 對 調 ( 見 圖 三 十 五 ) e. 將 2 條 井 字 分 隔 線 之 橫 列 正 中 央 的 2k 個 數 字 上 下 對 調 ( 見 圖 三 十 六 ) f. 將 井 字 分 隔 線 左 邊 縱 行 的 數 字 垂 直 翻 轉, 但 交 叉 點 上 的 數 字 保 持 不 動 ( 見 圖 三 十 七 ) g. 將 2 條 縱 行 井 字 分 隔 線 的 第 2k+2 列 數 字 左 右 對 調 ( 見 圖 三 十 八 ) h. 將 2 條 橫 向 井 字 分 隔 線 最 左 邊 的 數 字 上 下 對 調, 上 橫 列 正 中 央 的 2k 個 數 字 水 平 翻 轉 ( 見 圖 三 十 九 ) i. 完 成 上 述 步 驟 後, 即 為 4k+2 階 魔 方 陣 ( 見 圖 三 十 九 ) ( 圖 三 十 二 ) ( 圖 三 十 三 ) ( 圖 三 十 四 ) ( 圖 三 十 五 ) ( 圖 三 十 六 ) ( 圖 三 十 七 ) ( 圖 三 十 八 ) ( 圖 三 十 九 ) 五 特 殊 魔 方 陣 質 數 魔 方 陣 01. 此 為 一 個 由 質 數 組 成 的 13 階 魔 方 陣 02. 特 異 處 是 : A. 內 部 用 粗 黑 線 圍 成 的 11 階 9 階 7 階 5 階 3 階 五 個 方 陣, 也 都 是 魔 方 陣 ; 而 且 8
10 這 六 個 魔 方 陣 中, 定 合 依 次 為 :70681,59807,48933,38059,27185,16311 B. 這 六 個 方 陣 的 定 合 與 中 心 的 5437 構 成 了 一 個 七 項 的 等 差 數 列, 其 公 差 為 ( 註 三 ) 六 魔 方 陣 的 變 形 01. 將 一 魔 方 陣 經 由 以 下 平 面 旋 轉 及 鏡 射 的 方 式 轉 換 後, 所 得 的 方 陣 仍 是 魔 方 陣 利 用 此 法 共 可 得 到 8 個 魔 方 陣, 不 過 通 常 將 此 類 魔 方 陣 看 成 同 義 魔 方 陣 或 全 等 魔 方 陣 ( 見 下 列 八 張 圖 )( 註 三 ) A. 逆 時 針 方 向 旋 轉 360 度 ( 原 始 方 陣 ) B. 逆 時 針 方 向 旋 轉 90 度 C. 逆 時 針 方 向 旋 轉 180 度 D. 逆 時 針 方 向 旋 轉 270 度 E. 繞 水 平 對 稱 軸 鏡 射 ( 水 平 鏡 射 ) F. 繞 鉛 直 對 稱 軸 鏡 射 ( 垂 直 鏡 射 ) G.. 繞 右 上 至 左 下 對 角 線 鏡 射 ( 右 斜 鏡 射 ) H. 繞 左 上 至 右 下 對 角 線 鏡 射 ( 左 斜 鏡 射 ) 原 魔 方 陣 旋 轉 旋 轉 旋 轉 水 平 鏡 射 垂 直 鏡 射 右 斜 鏡 射 左 斜 鏡 射
11 02. 改 變 魔 方 陣 的 起 始 數 字 及 數 列 的 公 差 正 規 魔 方 陣 起 始 數 字 為 1, 數 列 的 公 差 也 是 1, 若 改 由 某 一 個 數 字 k 起 始, 或 將 數 字 的 公 差 改 變 時, 就 是 加 值 變 形 魔 方 陣 ( 加 值 變 形 魔 方 陣 不 屬 於 正 規 魔 方 陣 起 始 數 及 公 差 不 為 1) 03. 將 魔 方 陣 中 的 每 一 個 數 字 都 替 換 成 互 補 數 的 變 形 方 式 在 n 階 魔 方 陣 中, 數 字 k 的 互 補 數 =(1+n 2 )-k 原 始 魔 方 陣 互 補 變 形 魔 方 陣 参 結 論 記 得 國 小 和 國 中 時 都 做 過 有 關 魔 方 陣 的 數 學 問 題, 不 過 那 些 題 目 都 很 好 心, 已 經 給 了 我 們 一 部 份 的 數 字 ; 如 果 題 目 是 一 個 完 全 空 白 的 方 格 子, 大 家 一 定 都 不 知 道 該 從 何 下 手 吧! 經 由 這 次 的 小 論 文 製 作, 我 們 才 知 道 : 原 來 考 試 題 目 中 出 現 的 3 3 和 4 4 方 格, 都 只 是 魔 方 陣 中 小 小 的 一 部 分 而 已, 就 好 比 是 大 海 中 的 兩 隻 小 魚 ; 其 他 的 部 分 還 有 4m 階 魔 方 陣 對 稱 魔 方 陣 等 的 特 殊 魔 方 陣, 不 同 的 魔 方 陣, 又 有 各 種 不 同 五 花 八 門 的 解 法 經 由 歸 納 出 魔 方 陣 的 種 種 解 法, 我 們 對 魔 方 陣 有 了 更 深 一 層 的 認 識 : 我 們 知 道 了 三 階 魔 方 陣 中, 正 中 央 的 格 子 一 定 要 填 5, 這 運 用 到 了 平 均 數 的 概 念 ; 還 有 魔 方 陣 的 變 形, 只 是 數 字 間 的 位 置 調 換 了, 所 以 它 的 和 並 不 改 變 說 透 了, 魔 方 陣 因 為 格 子 與 格 子 間 的 位 置 關 係, 產 生 了 各 種 不 同 的 變 化, 真 的 非 常 非 常 的 神 奇 在 這 次 撰 寫 小 論 文 的 過 程 中, 我 們 發 覺 到 數 學 並 不 僅 僅 是 教 科 書 中 考 試 的 內 容 ; 趣 味 數 學 不 但 可 以 激 發 學 生 們 對 數 學 的 興 趣 體 會 數 字 中 隱 藏 的 奧 妙, 也 能 使 思 考 過 後 的 腦 筋 變 得 更 靈 活 肆 引 註 資 料 註 一 李 老 師 的 昌 爸 工 作 坊 為 你 建 造 一 處 數 學 樂 園 檢 索 日 期 2009 年 1 月 20 日 星 期 二, 註 二 魔 術 方 陣 檢 索 日 期 2009 年 3 月 17 日 星 期 二, 註 三 趙 文 敏 ( 編 )(1995) 寓 數 學 於 遊 戲 第 一 輯 台 北 市 : 九 章 出 版 社 10
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
所 3 學 分 課 程, 及 兩 門 跨 領 域 課 程 共 6 學 分 以 上 課 程 學 生 在 修 課 前, 必 須 填 寫 課 程 修 課 認 定 表, 經 班 主 任 或 指 導 教 授 簽 名 後 始 認 定 此 課 程 學 分 ) 10. 本 規 章 未 盡 事 宜, 悉 依 學 位
95 年 訂 定 96 年 11 月 修 正 97 年 10 月 修 正 100 年 2 月 修 正 101 年 4 月 修 正 102 年 1 月 修 正 103 年 4 月 修 正 103 學 年 度 入 學 新 生 適 用, 舊 生 可 比 照 適 用 1. 研 究 生 須 於 入 學 後 第 二 學 期 開 學 前 選 定 指 導 教 授, 經 課 程 委 員 會 認 定 後 方 得 繼 續
章節
試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元
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臺 灣 集 中 保 管 結 算 所 股 份 有 限 公 司 辦 理 認 購 ( 售 ) 權 證 帳 簿 劃 撥 作 業 配 合 事 項 部 分 條 文 修 正 條 文 對 照 表 附 件 1 修 正 條 文 現 行 條 文 說 明 第 五 章 認 購 ( 售 ) 權 證 之 權 利 行 使 第 一 節 認 購 權 證 採 證 券 給 付 或 以 證 券 給 付 之 認 購 權 證 發 行 人 得 選
寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939
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綠 野 仙 蹤 繪 本 創 意 教 案 教 案 設 計 / 朱 秀 芳 老 師 28 寫 作 背 景 導 讀 [98] L Lyman Frank Baum 1856-1919 1882 1886 1900 1939 故 事 簡 介 綠 野 仙 蹤 心 得 分 享 [99] 處 處 有 仙 蹤 繪 本 創 意 教 案 設 計 者 : 朱 秀 芳 適 用 年 級 : 授 課 時 間 :200 教 學
第 6. 節 不 定 積 分 的 基 本 公 式 我 們 可 以 把 已 經 知 道 反 導 函 數 之 所 有 函 數 都 視 為 不 定 積 分 的 基 本 公 式 基 本 公 式 涵 蓋 的 範 圍 愈 大, 我 們 求 解 積 分 就 愈 容 易, 但 有 記 憶 不 易 的 情 事 研 讀
第 6. 節 反 導 函 數 與 不 定 積 分 定 義 6.. 反 導 函 數 說 明 : 第 六 章 求 積 分 的 方 法 若 F( ) f ( ), Df, 則 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 (antierivative) () 當 F ( ) 為 f( ) 之 反 導 函 數 時, 則 F( ) C,C 為 常 數, 亦 為 f( ) 之 反 導 函 數 故 若 反 導 函
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桃 園 縣 第 四 十 七 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 類 別 : 數 學 組 別 : 國 小 高 年 級 作 品 主 題 : 揭 開 魔 方 陣 之 神 祕 面 紗 關 鍵 詞 : 魔 方 陣 編 號 : 壹 摘 要 因 為 一 個 填 數 字 遊 戲, 在 尋 找 答 案 的 過 程 中 學 到 三 階 四 階 五 階 八 階 等 魔 方 陣 的 作 法, 推 導 出
肆 研 究 方 法 進 行 本 研 究 前, 我 們 首 先 對 研 究 中 所 用 到 名 詞 作 定 義 定 義 : 牌 數 : 玩 牌 時 所 使 用 到 撲 克 牌 數 次 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 重 複 分 牌 次 數 數 : 進 行 猜 心 術 遊 戲 時, 每 次 分
摘 要 魔 術 師 讀 心 術 背 後 到 底 藏 了 多 少 祕 密? 一 般 觀 眾 心 裡 常 有 著 這 句 話 本 研 究 我 們 破 解 了 魔 術 師 透 過 數 學 規 律 加 上 置 中 手 法 完 成 一 連 串 騙 人 撲 克 牌 遊 戲, 也 學 會 了 如 何 透 過 整 理 表 格 方 式, 來 找 出 數 學 規 律, 也 更 懂 得 如 何 把 簡 單 數 學 技 巧
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二 兒 歌 選 用 情 形 ( ) 2 ( ) ( ) 1. 158 2.
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影 印 機 操 作 說 明 1 人 性 化 操 作 面 板 超 大 液 晶 觸 控 面 板 : 容 易 觀 看 及 了 解 (192 x 72mm) 直 覺 性 操 作 面 板 設 計 : 由 上 而 下 由 左 至 右 的 消 費 者 直 覺 操 作 設 計 圖 形 化 界 面 : 所 有 功 能 一 目 了 然, 使 用 方 便 啟 動 統 一 式 設 計 : 全 系 列 相 同 操 作 界 面
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