MT-001 指南揭开一个公式 (SNR = 6.02N dB) 的神秘面纱, 以及为什么我们要予以关注作者 :Walt Kester 简介接触 ADC 或 DAC 时您一定会碰到这个经常被引用的公式, 用于计算转换器理论信噪比 (SNR) 与其盲目地相信表象, 不如从根本上了解其来

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劫冯
4 years ago
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1 指南揭开一个公式 (SNR = 6.0N dB) 的神秘面纱, 以及为什么我们要予以关注作者 :Walt Kester 简介接触 ADC 或 DAC 时您一定会碰到这个经常被引用的公式, 用于计算转换器理论信噪比 (SNR) 与其盲目地相信表象, 不如从根本上了解其来源, 因为该公式蕴含着一些微妙之处, 如果不深入探究, 可能导致对数据手册技术规格和转换器性能的误解记住, 该公式代表的是完美 N 位 ADC 的理论性能您可以比较 ADC 的实际 SNR 与理论 SNR, 看看二者有何异同本教程首先推导 N 位模数转换器 (ADC) 的理论量化噪声, 知道均方根量化噪声电压后, 就可以计算理论信噪比 (SNR) 此外还会分析过采样对 SNR 的影响量化噪声模型理想转换器对信号进行数字化时, 最大误差为 ±½ LSB, 如图 1 的一个理想 N 位 ADC 的传递函数所示对于任何横跨数个 LSB 的交流信号, 其量化误差可以通过一个峰峰值幅度为 q ( 一个 LSB 的权重 ) 的非相关锯齿波形来近似计算对该近似法还可以从另一个角度来看待, 即实际量化误差发生在 ±½ q 范围内任意一点的概率相等虽然这种分析不是百分之百精确, 但对大多数应用是足够准确的 DIGITAL OUTPUT ANALOG INPUT ERROR (INPUT OUTPUT) q = 1 LSB 图 1: 理想 N 位 ADC 的量化噪声 Rev.A, 10/08, WK Page 1 of 7

2 贝尔实验室的 W. R. Bennett1948 年发表的经典论文 ( 参考文献 1) 中, 分析了量化噪声的实际频谱采用上述简化假设, 他的详细数学分析可以简化为图 1 所示继 Bennett 的经典论文之后, 还有其它一些关于转换器噪声的重要论文和著作 ( 参考文献 -6) 图更详细地显示了量化误差与时间的关系同样, 一个简单的锯齿波形就能提供足够准确的分析模型锯齿误差的计算公式如下 : e(t) = st, q/s < t < +q/s. 等式 1 e(t) 的均方值可以表示为 : s = + q/s e (t) ( s t) dt. q q/s 等式进行简单的积分和简化可得 : e (t) q =. 1 等式 3 因此, 均方根量化误差为 : 均方根量化噪声 q = e (t) =. 1 等式 4 +q e(t) SLOPE = s q t q s +q s 图 : 量化噪声与时间的关系锯齿误差波形产生的谐波远远超过 DC 至 / 的奈奎斯特带宽, 然而, 所有这些高阶谐波必须折回 ( 混叠 ) 到奈奎斯特带宽并相加, 产生 q/ 1 的均方根噪声正如 Bennett 所指出的 ( 参考文献 1), 量化噪声近似于高斯分布, 几乎均匀地分布于从 DC 至 / 的奈奎斯特带宽这里假设量化噪声与输入信号不相关在某些条件下, 当采样时钟 Page of 7

3 和信号通过谐波相关时, 量化噪声将与输入信号相关, 能量集中在信号的谐波中, 但均方根值仍然约为 q/ 1 理论信噪比现在可以通过一个满量程输入正弦波来计算: 满量程输入正弦波 = v(t) = N q sin( πf t). 等式 5 因此, 输入信号的均方根值为 : q 满量程输入的均方根值 N =. 等式 6 因此, 理想 N 位转换器的均方根信噪比为 : SNR = 0 og l 10 rms rms value of FS input value of quantization noise [ N q / ] N SNR = 0log10 0log10 + 0log10 q / 1 = 3 等式 7 等式 8 SNR = 6.0N dB, DC 至 / 带宽范围等式 9 Bennett 论文说明 : 虽然量化噪声的实际频谱相当复杂, 难以分析, 但推导出等式 9 的简化分析对大多数应用足够准确然而, 必须再次强调, 均方根量化噪声是在 DC 至 fs/ 的完整奈奎斯特带宽范围内进行测量量化噪声模型许多应用中, 实际目标信号占用的带宽 BW 小于奈奎斯特带宽 ( 参见图 3) 如果使用数字滤波来滤除带宽 BW 以外的噪声成分, 则等式中必须包括一个校正系数 ( 称为处理增益 ), 以反映 SNR 的最终提高, 如等式 10 所示 f SNR = 6. 0N db + 10log s 10, 带宽 BW 范围. BW 等式 10 以两倍以上的信号带宽的速率对信号进行采样的过程称为过采样过采样量化噪声整形和数字滤波均是 Σ-Δ 型转换器的重要概念, 不过任何 ADC 架构都可以采用过采样技术 Page 3 of 7

4 NOISE SPECTRAL DENSITY RMS VALUE = q 1 q = 1 LSB MEASURED OVER DC TO q / 1 / BW SNR = 6.0N dB + 10log 10 BW FOR FS SINEWAVE Process Gain 图 3: 显示处理增益的量化噪声频谱处理增益的意义可以通过下例说明在许多数字基站或其它宽带接收机中, 信号带宽由许多独立的通道组成, 一个 ADC 对整个带宽进行数字化处理例如, 美国的模拟蜂窝无线电系统 (AMPS) 由 416 个 30 khz 带宽通道组成, 占用的带宽约为 1.5 MHz 假设采样速率为 65 MSPS, 并且使用数字滤波来分离各个 30 khz 通道在这些条件下, 过采样导致的处理增益为 : f log s 处理增益 = 10 = 10log10 = 30.3 db. BW 等式 11 将处理增益加入 ADC SNR 规格, 便得到 30 khz 带宽内的 SNR 上例中, 如果 ADC SNR 规格为 65 db(dc 至 /), 则 30 khz 通道带宽内的 SNR 提高到 95.3 db( 经过适当的数字滤波后 ) 图 4 显示了一个结合过采样和欠采样的应用目标信号的带宽为 BW, 以载波频率 f c 为中心采样频率可以远低于 f c, 所选的采样频率使得目标信号位于其奈奎斯特区的中心通过模拟和数字滤波消除目标信号带宽以外的噪声, 从而获得等式 10 所示的处理增益 Page 4 of 7

5 ZONE 1 ZONE 3 BW 0.5fs fs 1.5fs fs.5fs 3fs 3.5fs f c SNR = 6.0N dB + 10log 10 BW FOR FS SINEWAVE Process Gain 图 4: 欠采样和过采样结合所产生的处理增益量化噪声与输入信号之间的相关性容易令人误解虽然噪声的均方根值可通过 q/ 1 计算精确近似值, 但在某些条件下, 频域成分可能与交流输入信号高度相关例如, 低幅度周期性信号的相关度大于高幅度随机信号的相关度通常假设理论量化噪声表现为白噪声, 均匀地分布在 DC 至 / 的奈奎斯特带宽范围但是, 事实并非全然如此在强相关的情况下, 量化噪声集中在输入信号的各次谐波上, 这正是我们不希望看到的在多数实际应用中,ADC 的输入是一段频率 ( 总是会与一些不可避免的系统噪声相加 ), 因此量化噪声往往是随机的然而, 在频谱分析应用中 ( 或者使用频谱纯净的正弦波作为输入对 ADC 执行 FFT), 量化噪声与信号的相关度取决于采样频率与输入信号的比值图 5 的示例说明了这种情况, 其中使用一个 4096 点 FFT 来分析一个理想 1 位 ADC 的输出在左边的 FFT 图 (A) 中, 采样频率 ( MSPS) 与输入频率 (.000 MHz) 的比值恰好选择为 40, 最差谐波比基波低大约 77 db 右图(B) 显示了将输入频率略微偏移到.111 MHz 的效果, 表现出随机性相对较高的噪声频谱, 此时 SFDR 约为 93 dbc, 受 FFT 噪底尖峰限制两种情况下, 所有噪声成分的均方根值均近似于 q/ 1( 理论 SNR 因此为 74 db), 但在第一种情况下, 噪声因为相关性而集中在基波谐波上 Page 5 of 7

6 (A) CORRELATED NOISE (B) UNCORRELATED NOISE 0 f S = MSPS, f IN =.000 MHz 0 f S = MSPS, f IN =.111 MHz 50 SFDR = 77 dbc SNR = 74 dbc 50 SFDR = 93 dbc SNR = 74 dbc FREQUENCY - MHz FREQUENCY - MHz 图 5: 采样时钟与输入频率的比值对理想 1 位 ADC 量化噪声频谱的影响,4096 点 FFT (A) 相关噪声,(B) 非相关噪声注意, 从 ADC 看到的谐波失真的这种变化是采样过程的伪像, 由量化误差与输入频率的相关性引起在实际 ADC 应用中, 量化误差一般表现为随机噪声, 原因是宽带输入信号具有随机性, 而且通常会有少量的系统噪声充当扰动信号, 使量化误差频谱进一步随机化理解上述原理非常重要, 因为 ADC 的单音正弦波 FFT 测试是公认的性能评估方法之一为了精确测量 ADC 的谐波失真, 必须采取措施确保测试设置能够真正测量 ADC 失真, 而不是量化噪声相关性引起的伪像因此, 必须正确选择频率比, 有时还要将少量噪声 ( 扰动 ) 与输入信号相加利用模拟频谱分析仪测量 DAC 失真时, 也应采取同样的防范措施 SNR 处理增益和 FFT 噪底的关系图 6 显示了一个理想 1 位 ADC 的 FFT 输出注意,FFT 噪底的平均值约为满量程以下 107 db, 但 1 位 ADC 的理论 SNR 为 74 db FFT 噪底并非 ADC 的 SNR, 因为 FFT 像是一个带宽为 /M 的模拟频谱分析仪, 其中 M 为 FFT 中的点数由于 FFT 的处理增益, 理论 FFT 噪底因而比量化噪底低 10log10(M/) db 对于 SNR 为 74 db 的理想 1 位 ADC,4096 点 FFT 将产生 10log10(4096/) = 33 db 的处理增益, 因此总 FFT 噪底为 = 107 dbc 事实上,FFT 噪底可以通过提高 FFT 点数来进一步降低, 就像模拟频谱分析仪的噪底可以通过缩小带宽来降低一样因此, 利用 FFT 测试 ADC 时, 必须确保 FFT 足够大, 使得失真能够与 FFT 噪底本身区别开多次 FFT 的平均值无法进一步降低噪底, 只能减小各个噪声谱成分幅度之间的差异 Page 6 of 7

7 (db) 0 ADC FULLSCALE 0 N = 1-BITS M = dB = 6.0N dB RMS QUANTIZATION NOISE LEVEL M 33dB = 10log 10( ) FFT NOISE FLOOR 74dB 107dB 10 BIN SPACING = 4096 图 6: 理想 1 位 ADC 的噪底, 使用 4096 点 FFT 参考文献 1. W. R. Bennett, "Spectra of Quantized Signals," Bell System Technical Journal, Vol. 7, July 1948, pp B. M. Oliver, J. R. Pierce, and C. E. Shannon, "The Philosophy of PCM," Proceedings IRE, Vol. 36, November 1948, pp W. R. Bennett, "Noise in PCM Systems," Bell Labs Record, Vol. 6, December 1948, pp H. S. Black and J. O. Edson, "Pulse Code Modulation," AIEE Transactions, Vol. 66, 1947, pp H. S. Black, "Pulse Code Modulation," Bell Labs Record, Vol. 5, July 1947, pp K. W. Cattermole, Principles of Pulse Code Modulation, American Elsevier Publishing Company, Inc., 1969, New York NY, ISBN Walt Kester, Analog-Digital Conversion, Analog Devices, 004, ISBN , Chapter. Also Available as The Data Conversion Handbook, Elsevier/Newnes, 005, ISBN , Chapter. 8. Hank Zumbahlen, Basic Linear Design, Analog Devices, 006, ISBN: Also available as Linear Circuit Design Handbook, Elsevier-Newnes, 008, ISBN-10: , ISBN-13: Chapter 5. Copyright 009, Analog Devices, Inc. All rights reserved. Analog Devices assumes no responsibility for customer product design or the use or application of customers products or for any infringements of patents or rights of others which may result from Analog Devices assistance. All trademarks and logos are property of their respective holders. Information furnished by Analog Devices applications and development tools engineers is believed to be accurate and reliable, however no responsibility is assumed by Analog Devices regarding technical accuracy and topicality of the content provided in Analog Devices Tutorials. Page 7 of 7

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Microsoft Word - EE-175_cn.doc Engineer-to-Engineer Note EE-175 更多关于 ADI 公司的 DSP 处理器以及开发工具的技术资料, 请访问网站 :http://www.analog.com/ee-note 和 http://www.analog.com/processor 如需技术支持, 请发邮件至 processor.support@analog.com