第 28 卷第 5 期 2008 年 10 月大地测量与地球动力学 JOURNALOFGEODESYANDGEODYNAMICS Vol.28No.5 Oct.,2008 文章编号 : (2008) 基于高精度曲面模型的高程异常曲面模拟 1) 陈传法 1) 岳天

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淋禹
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1 第 8 卷第 5 期 008 年 10 月 JOURNALOFGEODESYANDGEODYNAMICS Vol.8No.5 Oct.,008 文章编号 : (008) 基于高精度曲面模型的高程异常曲面模拟陈传法岳天祥 ) 张照杰杜正平 ( ) 中国科学院地理科学与资源研究所, 北京 ) 山东正元地理信息工程有限责任公司, 济南摘要从误差理论角度确定了高精度曲面模型对高程异常曲面模拟的格网分辨率, 从而有效地解决了 HASM 模拟计算以及精度分析的空间位置误差问题使用 HASM 模拟某测区高程异常曲面的结果表明,HASM 的模拟精度有大幅度提高关键词高精度曲面模型 (HASM); 曲面模拟 ; 误差分析 ; 插值 ; 高程异常中图分类号 :P 文献标识码 :A HEIGHTANOMALYSURFACESIMULATIONBASED ONHIGH ACCURACYSURFACEMODEL ChenChuanfa,YueTianxiang,ZhangZhaojie ) andduzhengping ( ) InstituteofGeographicSciencesandNaturalResourcesResearch,CAS,Beijing )ShandongZhengyuanGeographicInformationEngineringCO,LTD,Jinan, Abstract ThegridresolutionoftheheightanomalysurfacesimulationbasedonHighAccuracySurfaceModel ling(hasm)hasbeencomputedintheerortheory,thuswecanavoidthecomplicatedtaylorexpansionandsolve thelocationdiferencesbetweensamplingpointsandthecentralpointsofgridofthesimulationsurfaces.acertain areawasemployedtocomparethesimulationerorsbetweenhasm andtheclasicalmethodsofheightanomaly surfacefiting.theresultsshowthathasm ismuchmoreaccuratethantheclasicalmethods. Keywords:HighAccuracySurfaceModeling(HASM);surfacesimulation;eroranalysis;interpolation;heighta nomaly 1 引言高程异常是大地高与正常高的差值, 为了有效的利用大地高求算正常高, 必须获取高精度的高程异常高程异常求算最直接的方法是借助全球重力场模型 [1], 但由于模型需要的重力数据严格保密 [], 此方法很难普及利用解析多项式可以拟合测区的高程异常曲面 [3], 通过点坐标直接获取该点的高程异常值传统的高程异常曲面拟合方法主要有二次曲面拟合法多面函数法以及 GIS 中的 Spline Kriging IDW 插值法等 [4] 研究表明, 它们的模拟精度并不能满足高精度的测量需求 [5] 尽管很多学者对传统模型进行了改进, 但精度并没有明显提高 [6] 收稿日期 : 基金项目 : 国家高新技术发展计划 (006AA1Z19) 作者简介 : 陈传法, 男,198 年生, 博士生, 研究方向 :HASM 应用的理论与方法探究. chencf@lreis.ac.cn

2 第 5 期陈传法等 : 基于高精度曲面模型的高程异常曲面模拟 83 为了有效解决曲面模拟误差问题, 我们以曲面论为理论支撑, 提出了高精度曲面模型 (HASM) [7] 以往模拟实验表明,HASM 插值精度较传统方法能有效解决峰值削平边界振荡等问题, 且计算精度有了明显提高 [8] 但在实际应用中, 由于曲面模拟的采样点和精度分析的采样点不在像元的中心点 ( 简称 : 空间位置误差 ) 等问题存在, 使 HASM 优势并不明显 [9] 本文从测量误差理论角度确定 HASM 对高程异常曲面模拟格网分辨率的临界值, 从而降低 HASM 空间位置误差影响 ; 选择某测区为研究对象, 模拟该测区的高程异常曲面, 将 HASM 模拟结果与传统方法比较, 验证该模型的准确性和高效性 HASM 原理根据微分几何学理论, 曲面由第一类基本量和第二类基本量决定设曲面表达式为 z=f(x,y), 其中 (x,y) 为曲面点位坐标,z 为对应点 (x,y) 属性值, 本文为高程异常, 则此曲面的第一类基本量可表达为 : E=1+f } x F=f x f y G=1+f y 第二类基本量可表达为 : f xx L= 1+f x+f y N= f yy 1+f x+f y HASM 表达式为 : 其中 f xx =Γ 1 11f x +Γ 11f y + L } E+G -1 f yy =Γ 1 f x +Γ f y + N E+G -1 Γ 1 11= GE x-fe x +FE y,γ 11= EF x-ee y -FE x, ( () (3) Γ 1 = GF y-gg x -FG y,γ = EG y-ff y +FG x 在公式 (~(3) 中, 导数的差分近似可以通过 Taylor 级数展开来计算设 f(x+h,y) 在 (x,y) 处可以对 x 进行 Taylor 展开, 其表达式为 : f(x+h,y)=f(x,y)+h f(x,y) f(x,y) x +h + x O( ) (4) 同理,f(x-h,y) 在 (x,y) 处的 Taylor 展开为 : f(x-h,y)=f(x,y)-h f(x,y) f(x,y) x +h + x O( ) (5) 式 (4) 和 (5) 相减得 : f(x,y) x =f(x+h,y)-f(x-h,y) +O( )(6) 式 (4) 和 (5) 相加得 : f(x,y) = f(x+h,y)-f(x,y)+f(x-h,y) + x O( ) (7) f(x,y) f(x,y) 同理可以得出和的表达式为 y y f(x,y) y =f(x,y+h)-f(x,y-h) +O( )(8) f(x,y) = f(x,y+h)-f(x,y)+f(x,y-h) + y O( ) (9) 为方便书写, 将 f(x+h,y) f(x-h,y) f(x,y) f(x, y+h) f(x,y-h) 分别记为 f i+1,j f i-1,j f i,j f i,j+1 f i,j-1 假定 {(x i,y j )} 是对计算区域 Ω 进行均匀正交剖分产生的网格, 则 HASM 有限差分形式为 f i+1,j -f i,j +f i-1,j f i+1,j-f =(Γ 1 i-1,j 1 i,j +(Γ 1 i,j f i,j+1 -f i,j-1 + L i,j E i,j +G i,j -1,(x i,y j ) Ω\ Ω f i,j+1 -f i,j +f i,j-1 f i+1,j-f =(Γ 1 i-1,j ) i,j +(Γ ) i,j f i,j+1 -f i,j-1 + N i,j E i,j +G i,j -1,(x i,y j ) Ω\ Ω (10) 方程 (10) 中, 第一类基本量的有限差分形式为 : E i,j 1+( f i,j+1-f i,j-1 ) F i,j ( f i+1,j-f i-1,j )(f i,j+1-f i,j-1 ) G i,j 1+( f i,j+1-f i,j-1 ) 第二类基本量的有限差分形式为 : L i,j N i,j f i+1,j -f i,j +f i-1,j 1+( f i+1,j-f i-1,j ) +( f i,j+1-f i,j-1 ) f i,j+1 -f i,j +f i,j-1 1+( f i+1,j-f i-1,j ) +( f i,j+1-f i,j-1 ) T j i(i=11,;j=1,) 的有限差分可表达为 : (Γ 1 1 i,j (1 (1)

3 84 8 卷 G i,j (E i+1,j -E i-1,j )-F i,j (F i+1,j -F i-1,j )+F i,j (E i,j+1 -E i,j-1 ) (Γ 1 i,j 4(E i,j G i,j -F i,j)h E i,j (F i+1,j -F i-1,j )-E i,j (E i,j+1 -E i,j-1 )-F i,j (E i+1,j -E i-1,j ) (Γ 1 ) i,j 4(E i,j G i,j -F i,j)h G i,j (F i,j+1 -F i,j-1 )-G i,j (G i+1,j -G i-1,j )-F i,j (G i,j+1 -G i,j-1 ) (Γ ) i,j 4(E i,j G i,j -F i,j)h E i,j (G i,j+1 -G i,j-1 )-F i,j (F i,j+1 -F i,j-1 )+F i,j (G i+1,j -G i-1,j ) 4(E i,j G i,j -F i,j)h (13) HASM 矩阵表达形式为 : AF n+1 =D n BF n+1 n =EE } (14) 其中,F n+1 =(f 1,1,,f n+1 1,C,f n+1,1,,f n+1,c,,f n+1 n+1 R,1,,f n+1 R,C) T,R C 分别为 x y 方向的栅格数 ;A B 分别为方程 (10) 左端系数矩阵 ;D n EE n 分别为方程 (10) 右端向量 A 设 P=[ B ],Qn =[ Dn n EE ], 同时, 为了保证在已知点的模拟值等于已知值, 我们把 HASM 表达式转化为等式约束的最小二乘问题 : min PF n+1 -Q n (15) s.t.mf n+1 = H } 其中,M H 分别为采样点系数矩阵和采样点值, 表达式分别为 :M(k,(i-C+j)=1,H(k)= 珋 f i,j, 应用惩罚函数法求解方程 (15) 得 : P min F [ λm ] Fn+1 -[ Qn λh ] (16) 也就是求解 [P T λm T ] P λm Fn+1 =[P T 设 S=[P T λm T ][ P λ ] λm T ] Qn λh (17) M,Tn =[P T λm T ] Qn λh, HASM 最终转化为求解线性代数方程组 SF n+1 =T n (18) 3 HASM 空间位置误差及格网分辨率的确定 HASM 在模拟计算和精度分析时, 都必须将已知点和检核点近似到离其最近的像元中心点, 如果已知点和其对应的近似像元中心点高程异常不相等, 将带来 HASM 模拟计算的精度损失, 这可归结为 HASM 空间位置误差问题, 如图 1 所示,A 点为已知点, 其不在像元中心点 ( 虚线交点所示 ), 但 HASM 模拟计算时, 需要将 A 点近似到离其最近的网格顶点 (i,j), 这样就带来了空间位置误差在特定的精度范围内, 本文将从误差理论角度确定 HASM 模拟计算的格网分辨率临界值, 使模拟计算格网分辨率小于该临界值时, 认为格网内高程异常处处相等, 从而避免 HASM 的空间位置误差影响图 1 空间位置误差 Fig.1 Spatiallocationeror GPS 水准网中, 布设区域内任一点 ( 内插点 ) 的高程异常误差 m ε 主要来自两个方面 [11], 一个是起始误差, 即已知点高程异常的插值误差 m 0 ; 另一个是内插点所在的栅格内高程异常非均匀性变化引起的误差, 它主要源自栅格所在的局部地区重力场短波扰动的影响 m g, 有误差传播定律 : m ε =± m 0+m g (19) 其中, 重力扰动误差 m g 的影响因素主要是内插点所在区域栅格的平均重力异常分辨率 λ 与 GPS 水准网分辨率 d, 它们的关系为 [11] : m g =0.14cd λ (0) 式中,m g 单位为 cm;d 单位为 km;λ 单位为分 ( );c 代表误差系数, 与地形密切相关, 在我国平原丘陵山区和高山区,c 的值分别为和 1.50 [1] 在特定精度范围内, 假设 m g 为临界值, 即当重力场短波扰动误差 m gi m g 时, 可以忽略它对内插点高程异常误差影响, 使 m ε =m 0, 借助公式 (0) 推算格网分辨率临界值 d d=7.15m g c -1 λ -1/ ( 由公式 ( 得出 : 格网分辨率 d 与重力场短波扰动误差 m g 成正比, 因此在特定精度范围内, 当格网分辨率 d i d 时, 可以完全忽略重力场短波扰动误差 m g 的影响本文实验研究计算的格网分辨率临界值为 8m,HASM 使用小于或者等于此格网分辨率模拟计算, 可以忽略空间位置误差对 HASM 的影响 [13,14] 4 HASM 试验研究选择某测区作为研究对象, 研究区域覆盖面积

4 第期陈传法等基于高精度曲面模型的高程异常曲面模拟约为ｋｍ对该测区按照ＧＰＳ测量规范布设了从表可见尽管ＳｌｅＩＤＷ和Ｋ操作个ＤＥ级控制点点位分布如图所示获取控简单但其插值精度较低传统曲面拟合方法相对而制点ＧＰＳ数据求算大地高进行四等水准观测求言精度稍高而ＨＡＳ插值精度较传统方法有较大算正常高根据每个ＧＰＳ水准点的大地高和正常的提高和传统方高求算它们的高程异常还采用ＨＡＳ法进行高程异常曲面模拟并用交叉验证计算各方表各方法模拟误差比较ＴｂＣｍｆｖｕｍｕｌｍｅｈｄｗｈ法模拟误差交叉验证中选择个点作为已知数ｅｈｈｅ据其余个点用于精度分析各种方法的模拟结误差果如表所示中误差ｍ方法ＨＡＳ曲面拟合法ＳｌｅＫＩＤＷ平均误差ｍ最大误差ｍ中误差比值平均误差比值最大误差比值为了更准确地反映各检核点的模拟值与准确值之间的差别还绘制了各种方法模拟结果离散图图点位分布图ＦＤｂｕｆ图该离散图以模拟值为纵轴准确值为横轴图各检核点散点图ＦＤｅｖｅｈｆｖｌｄ

5 86 8 卷建立直角坐标系, 当模拟值和准确值相等时, 坐标点落在直线上 ; 当模拟值大于真值时, 坐标点落在直线上方 ; 当模拟值小于真值, 坐标点落在下方离散度的大小反映了各插值方法中误差的大小可以看出,HASM 模拟结果离散度最小, 精度最高从表 1 和图 3 可见,HASM 模拟值的平均误差和中误差较 Spline Kriging 和 IDW 均有大幅度降低, 表明从误差理论角度确定 HASM 格网分辨率的临界值, 可以极大降低空间位置误差对 HASM 模拟精度的影响, 从而提高插值精度 5 结论模拟实验表明, 从误差理论角度确定 HASM 计算格网分辨率的临界值, 可以极大降低空间位置误差对 HASM 模拟精度的影响, 从而使其插值精度较传统方法有大幅度提高参考文献 1 管泽霖, 宁津生. 地球重力场在工程测量中的应用 [M]. 北京 : 测绘出版社, GuanZelinandNingJinsheng.Theearthgravityapplication inengineersurveying[m].beijing:presofsurveyingand Mapping,199.(inChinese) 郭海荣, 焦文海, 杨元喜.1985 国家高程基准与全球似大地水准面之间的系统差及其分布规律 [J]. 测绘学报, 004,33(): GuoHairong,JiaoWenhaiandYangYuanxi.Thesystematic diferenceand itsdistribution between the1985 national heightdatumandtheglobalquasigeoid[j].actageodaeti caetcartographicasinica,004,33(): (in Chinese) 3 钟波, 罗志才.GPS 水准综合模型的应用研究 [J]. 测绘通报,007,(6): ZhongBoandLuoZhicai.Researchonapplicationofcom binedmodelforgpsleveling[j].buletinofsurveyingand Mapping,007,(6):5-9.(inChinese) 4 张小红, 程世来, 许晓东. 基于 Kriging 统计的 GPS 高程拟合方法研究 [J].,007,7(): ZhangXiaohong,ChengShilaiandXuXiaodong.Research ofgpselevationfitingmodelsbasedonkrigingmethod [J].JournalofGeodesyandGeodynamics,007,7(): (inChinese) 5 张兴福, 沈云中, 周全基.GPS 高程异常拟合精度的估算方法 [J]. 测绘通报,003,(8): ZhangXingfu,SenYunzhongandZhouQuanji.Theestimate methodoftheaccuracyofgpsheightabnormityinterpolation [J].BuletinofSurveyingandMapping,003,(8):1-3.(inChinese) 6 HerzfeldCC.Least-squarescolocation,geographicalin versetheoryandgeostastics:abird seyeview[j].interna tionaljournalofgeophysical,199,111: 岳天祥, 杜正平, 刘纪远. 高精度曲面建模与误差分析 [J]. 自然科学进展,004,14(): YueTianxiang,DuZhengpingandLiuJiyuan.Highpreci sionsurfacemodelinganderoranalysis[j].progresinna turescience,004,14():83-89.(inchinese) 8 岳天祥, 杜正平. 高精度曲面建模 : 新一代 GIS 与 CAD 的核心模块 [J]. 自然科学进展,005,15(4): YueTianxiangandDuZhengping.HighAccuracysurface modeling:thecoremoduleofgisandcad[j].progres innaturescience,005,15(4):73-8.(inchinese) 9 岳天祥, 等.HASM 应用中的精度损失问题和解决方案 [J]. 自然科学进展.007,17(5): YueTianxiang,etal.HASM applicationaccuracylosand thesolvingmethod[j].progresinnaturescience,007, 17(5):64-63.(inChinese) 10 岳天祥, 杜正平. 高精度曲面建模最佳表达形式的数值实验分析 [J]. 地球信息科学,006,8(3): YueTianxiangandDuZhengping.Thedigitaltestsanalysis ofthehighaccuracysurfacemodelingexpresion[j].geo -InformationScience,006,8(3):83-87.(inChinese) 11 陈俊勇. 给定内插高程异常值的精度时对 GPS 水准格网间距的考虑 [J]. 测绘学报,003,3(): ChenJunyong.DensitydesignforaGPSlevelinggridded networkwithinthegivenaccuracyoftheheightanomaly [J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica,003,3 (): (inChinese) 1 ChenJunyong.AtlasofGeodesyinChina[M].Beijing: StateBureauofSurveyingandMapping, 岳天祥, 杜正平, 宋敦江. 高精度曲面建模 (HASM4) [J]. 中国图象图形学报,006,1(): YueTianxiang,DuZhengpingandSongDunjiang.High accuracysurfacemodeling(hasm4)[j].journalofim ageandgraphics,006,1(): (inchinese) 14 YueTianxiang,etal.Anewmethodofsurfacemodeling anditsapplicationtodem construction[j].geomorpholo gy,007,91: BergerM JandRigoutsosI.Analgorithmforpointcluste ringandgridgeneration[j].ieeetransactionsonsys tems,man,andcybernetics,1991,1(5):

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