3 MCMC 313 White Frenk [3] 1991 Kauffmann [4 13] 2008 Kampakoglou [14] MCMC (Markov Chain Monte Carlo) [15] MCMC [16] π(x) π(x) MCMC 2 3 MCMC MCMC 4 2

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1 34 3 Vol. 34, No PROGRESS IN ASTRONOMY Aug., 2016 doi: /j.issn MCMC 1,2 3 ( ) MCMC (Markov chain Monte Carlo) MCMC MCMC MCMC MCMC MCMC P157.9 A 1 (bottom-up) [1] [2] ( ) (2015 CB857002) sjli@shao.ac.cn

2 3 MCMC 313 White Frenk [3] 1991 Kauffmann [4 13] 2008 Kampakoglou [14] MCMC (Markov Chain Monte Carlo) [15] MCMC [16] π(x) π(x) MCMC 2 3 MCMC MCMC 4 2 Munich group [13] Durham group [11] SantaCruz group [17] Kang [9] Monaco [12] Nagashima [18] Munich group 2.1 White Frenk [3]

3 ρ g (r) = m hot Kauffmann [19] m hot 4πr vir r 2, (1) t dyn = R vir /V vir Kang [9] t m cool = 0.5m hot r cool v vir R 2 vir t. (2) m cool dt = m hot t cool. (3) 2.2 : ψ = αm cold /t, (4) α m cold t t Munich group [5] t t = t dyn = 3r d /v vir r d Munich [20] Σ crit v vir m crit = 9πrdΣ 2 crit = M km s 1 ( ) rd kpc. (5) (4) M = { 0 (m gas < m crit ) α(m cold m crit )/t dyn t (m gas m crit ). (6) α 2.3 Binney [21] t fric v virr 2 sat t fric = 1.17 Gm sat ln Λ, (7)

4 3 MCMC 315 r sat m sat ln Λ = ln(1 + m vir /m sat ) m vir m sat t fric [22] Munich Somerville [23] m = (m gas,sat + m gas,cen )β burst (m sat /m cen ) α burst, (8) (m gas,sat + m gas,cen ) (m sat /m cen ) α burst β burst [24] (quasar mode) m quasar = f BH(m sat /m cen )(m gas,sat + m gas,cen ) 1 + (280 km s 1 /v vir ) 2, (9) (m sat /m cen ) (m gas,sat + m gas,cen ) (8) f BH 2.4 E SN = 0.5ɛ halo m v 2 SN, (10) 0.5v 2 SN v SN ɛ halo v SN ɛ halo ɛ disk m reheat = ɛ disk m, (11) ( ) vsn 2 m eject = ɛ halo ɛ vvir 2 disk m. (12) Munich m hot m ejected m ejected m eject m ejected

5 (reincorporation) [8] m reincorporate = γ ej (m ejected /t halo dyn ) t, (13) γ ej t halo dyn = r vir/v vir 2.5 (radio mode) [10] ( ) ( ) mbh fhot ( v ) vir ṁ raido = κ AGN, (14) 10 8 M km s 1 m BH f hot = m hot /M vir κ AGN L BH = ηṁ radio c 2, (15) c η = 0.1 m cool = m cool 2L BH /v 2 vir t, (16) m cool < 2L BH /vvir t m 2 cool 0 (15) (16) 2.6 Munich [25 27] Y AGB R Y Y R 3 MCMC 2

6 3 MCMC 317 [28, 29] α f BH ɛ halo, ɛ disk γ ej κ AGN Y R [30] 1 1 [31 33] ( ) ( ) MCMC [34, 35] MCMC [36, 37] MCMC [38] [39 42] 3.1 MCMC MCMC Markov Chain Mento Carlo Markov Chain ( ) Mento Carlo ( ) MCMC [44, 45]

7 D x P (D x) x D P (x) x P (x D) P (D x)p (x) D x x x D P (D x) x 1 x 2 MCMC MCMC P (x D) π(x) Q q(i, j) i j π(x i )q(i, j) = π(x j )q(j, i). (17) α(i, j) π(x i )q(i, j)α(i, j) = π(x j )q(j, i)α(j, i). (18) α(i, j) = π(x j )q(j, i), α(j, i) = π(x i )q(i, j) (19) (18) α(i, j) i q(i, j) j α(i, j) α(i, j) (18) α α(i, j) 1 { } π(xj )q(j, i) α(i, j) = min π(x i )q(i, j), 1. (20) Metropolis-Hastings [46] Kampakoglou [14] Henriques [47, 48] Gibbs Sampling [49] 3.2 MCMC MCMC Kampakoglou [14] Daigne [50] 7 (hierarchical monolithic ) hierarchical monolithic

8 3 MCMC 319 monolithic χ 2 ( ) hierarchical monolithic Henriques [47] 2009 MCMC Munich K B V L Munich Mutch [51] MCMC Munich z = 0 z = 0.8 Mutch Henriques [48] MCMC Lu [34] MCMC 13 Mutch [51] MCMC Munich Mutch Croton [10] 6 1 Mutch Millennium MCMC Millennium 512 Mutch z = 0 z = 0.83 z = 0 2 z = 0 6 α SF, ɛ halo ɛ disk 3 z = 0 3 z = 0 κ AGN, f BH γ ej Croton 1σ 2σ f BH κ AGN

9 MCMC 6 Croton z = 0 z = 0.83 z = 0 z = 0.83 α SF k AGN f BH ɛ disk ɛ halo γ ej z = 0 2 f BH κ AGN 2 z = 0 6 [51] 3 z = Croton

10 3 MCMC 321 z = 0.83 z = 0 z = 0 3 z = 0 [51] f BH κ AGN 4 α SF f BH α SF f BH 1σ 2σ z = 0 z = 0 f BH α SF 2 6 Mutch α SF f BH 4 α SF f BH α SF f BH z = 0 z = 0.83 z =

11 天 文 学 进 展 322 图4 34 卷 [51] 以 z = 0 处黑洞质量 核球质量关系为限制时 fbh 和 αsf 这两个参数的后验分布 图5 [51] 结合三个观测数据共同作为限制时 6 个参数的边缘后验分布

12 3 MCMC 323 z = MCMC 1 γ ej Croton γ ej Croton γ ej γ ej Henriques [48] Munich MCMC (13) γ ej 6 z = 0 [51] 4 MCMC

13 MCMC MCMC [1] Mo H, van den Bosch F C, White S. Galaxy formation and evolution. Cambridge: Cambridge University Press, 2010 [2] Baugh C M. Reports on Progress in Physics, 2006, 69: 3101 [3] White S D M, Frenk C S. ApJ, 1991, 379: 52 [4] Kauffmann G, White S D M, Guiderdoni B. MNRAS, 1993, 264: 201 [5] Mo H J, Mao S, White S D M. MNRAS, 1998, 295: 319 [6] Somerville R S, Primack J R. MNRAS, 1999, 310: 1087 [7] Cole S, Lacey C G, Baugh C M, et al. MNRAS, 2000, 319: 168 [8] De Lucia G, Kauffmann G, Springel V, et al. MNRAS, 2004, 348: 333 [9] Kang X, Jing Y P, Mo H J, et al. ApJ, 2005, 631: 21 [10] Croton D J, Springel V, White S D M, et al. MNRAS, 2006, 365: 11 [11] Bower R G, Benson A J, Malbon R, et al. MNRAS, 2006, 370: 645 [12] Monaco P, Fontanot F, Taffoni G. MNRAS, 2007, 375: 1189 [13] Guo Q, White S, Boylan-Kolchin M, et al. MNRAS, 2011, 413: 101 [14] Kampakoglou M, Trotta R, Silk J. MNRAS, 2008, 384: 1414 [15] Metropolis N, Ulam S. Journal of the American Statistical Association, 1949, 44(247): 335 [16] Metropolis N, Rosenbluth A W, Rosenbluth M N, et al. J. Chem. Phys., 1953, 21: 1087 [17] Somerville R S, Hopkins P F, Cox T J, et al. MNRAS, 2008, 391: 481 [18] Nagashima M, Yahagi H, Enoki M, et al. ApJ, 2005, 634: 26 [19] Kauffmann G, Colberg J M, Diaferio A, et al. MNRAS, 1999, 303: 188 [20] Kauffmann G. MNRAS, 1996, 281: 475 [21] Binney J, Tremaine S. Galactic dynamics. Princeton: Princeton University Press, 1987 [22] Boylan-Kolchin M, Ma C P, Quataert E. MNRAS, 2008, 383: 93 [23] Somerville R S, Primack J R, Faber S M. MNRAS, 2001, 320: 504 [24] Cox T J, Jonsson P, Somerville R S, et al. MNRAS, 2008, 384: 386 [25] De Lucia G, Kauffmann G, White S D M. MNRAS, 2004, 349: 1101 [26] Fu J, Guo Q, Kauffmann G, et al. MNRAS, 2010, 409: 515 [27] Fu J, Kauffmann G, Huang M L, et al. MNRAS, 2013, 434: 1531 [28] Somerville R S, Gilmore R C, Primack J R, et al. MNRAS, 2012, 423: 1992 [29] Baugh C M, Croton D J, Gaztañaga E, et al. MNRAS, 2004, 351: L44 [30] Benson A J. New Ast., 2012, 17: 175 [31] Springel V, White S D M, Tormen G, et al. MNRAS, 2001, 328: 726 [32] Springel V. MNRAS, 2005, 364: 1105 [33] Springel V, White S D M, Jenkins A, et al. Nature, 2005, 435: 629 [34] Lu Y, Mo H J, Weinberg M D, et al. MNRAS, 2011, 416: 1949 [35] Lu Y, Mo H J, Katz N, et al. MNRAS, 2012, 421: 1779 [36] Benson A J, Bower R. MNRAS, 2010, 405: 1573 [37] Bower R G, Vernon I, Goldstein M, et al. MNRAS, 2010, 407: 2017 [38] Lewis A, Bridle S. Phys. Rev. D, 2002, 66(10):

14 3 MCMC 325 [39] Lewis A. Phys. Rev. D, 2013, 87: [40] Akeret J, Seehars S, Amara A, et al. Astronomy and Computing, 2013, 2: 27 [41] Foreman-Mackey D, Hogg D W, Lang D, et al. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 2013, 125(925): 306 [42] Kilbinger M, Wraith D, Robert C P, et al. MNRAS, 2010, 405: 2381 [43] Robert C, Casella G. Statist. Sci., 2011, 26(1): 102 [44] Ruiz de Austri R, Trotta R, Roszkowski L. Journal of High Energy Physics, 2006, 5: 002 [45] Trotta R. Contemporary Physics, 2008, 49: 71 [46] Hastings W K. Biometrika, 1970, 57(1): 97 [47] Henriques B M B, Thomas P A, Oliver S, et al. MNRAS, 2009, 396: 535 [48] Henriques B M B, White S D M, Thomas P A, et al. MNRAS, 2013, 431: 3373 [49] Geman S, Geman D. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1984, PAMI-6(6): 721 [50] Daigne F, Olive K A, Silk J, et al. ApJ, 2006, 647: 773 [51] Mutch S J, Poole G B, Croton D J. MNRAS, 2013, 428: 2001 The MCMC Implementation in Semi-Analytical Model of Galaxy Formation LI Shi-jie 1,2, YANG Xiao-hu 3 (1. Key Laboratory for Research in Galaxies and Cosmology, Shanghai Astronomical Observatory, Shanghai , China; 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing , China; 3. Center for Astronomy and Astrophysics, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai , China) Abstract: Semi-analytical model (SAM) of galaxy formation is an important tool to understand the baryon physics processes in galaxy formation and evolution. It forms and evolves galaxies in the dark matter halos using dark matter halo merger trees and baryon physics processes. Because of the poor understanding of baryon physics processes in galaxy formation, there are many free parameters in SAM. From SAM, people can get many galaxy properties such as stellar mass function, luminosity function, correlation function and so on. The model is usually adjusted by eyes to get the appropriate prediction which could agree well with the observation. This makes SAM very difficult and unreliable in determining model parameters. MCMC (Markov chain Monte Carlo) method is an algorithm to run numerical simulation by random numbers which are generated by Markov chain. It is a Bayesian statistical technique for probing complex, highly degenerated probability distributions. It could sample a multidimensional space with a probability proportional to the likelihood that the model describes the observational constraints. The MCMC implementation in SAM could help to

15 search the free parameter space automatically and get more convinced parameter estimations. In recent years, many SAM researchers have applied MCMC method into SAM and got some promising results. These studies show that the MCMC method is an excellent tool to make SAM much more powerful in understanding the galaxy baryon physics processes. Key words: galaxy formation; Semi-analytical model; MCMC method

VLBI2010 [2] 1 mm EOP VLBI VLBI [3 5] VLBI h [6 11] VLBI VLBI VLBI VLBI VLBI GPS GPS ( ) [12] VLBI 10 m VLBI 65 m [13,14] (referen

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