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1 第 33 卷第 3 期 2013 年 5 月 长安大学学报 ( 自然科学版 ) JournalofChang anuniversity(naturalscienceedition) Vol.33 No.3 May.2013 文章编号 : (2013) 高墩连续刚构桥纵向振动基频的能量法计算公式 周勇军, 张晓栋, 宋一凡, 赵煜 (1. 长安大学公路大型结构安全教育部工程研究中心, 陕西西安 ; 2. 长安大学旧桥检测与加固技术交通行业重点实验室, 陕西西安 ) 摘要 : 为了研究高墩连续刚构桥基频函数表达式, 以某一典型桥梁为例, 构造了多种不同的桥梁结构形式, 建立了 64 种有限元分析模型, 获取了桥梁结构自振特性规律, 并提出了桥梁纵向振动的基本振型函数 ; 在此基础上利用瑞利法推导了高墩连续刚构桥纵向振动基频的理论计算公式, 最后对此公式的可行性进行了算例验证, 讨论了现有抗震规范在此类桥梁结构基频计算上的适用性 结果表明 : 高墩连续刚构桥第一阶振动以桥墩的纵向振动为主 ; 给出的由能量法得到的基频计算值与有限元模型计算值误差为 5%; 抗震设计细则中的自振频率计算公式不适用于高墩刚构桥此类非规则桥梁 关键词 : 桥梁工程 ; 高墩连续刚构桥 ; 基频 ; 振型函数 ; 能量法 ; 抗震设计细则中图分类号 :U 文献标志码 :A 犆犪犾犮狌犾犪狋狅狀犳狅狉犿狌犾犪狅犳犾狅狀犵狋狌犱狀犪犾犳狌狀犱犪犿犲狀狋犪犾狏犫狉犪狋狅狀犳狉犲狇狌犲狀犮狔犳狅狉犮狅狀狋狀狌狅狌狊狉犵犱犳狉犪犿犲犫狉犱犵犲狑狋犵狆犲狉狊犫犪狊犲犱狅狀犲狀犲狉犵狔犿犲狋狅犱 ZHOU Yong jun,zhang Xiao dong,song Yi fan,zhao Yu (1.EngineeringResearchCenterforLargeHighwayStructureSafetyoftheMinistryofEducation,Chang an University,Xi an710064,shaanxi,china;2.keylaboratoryofbridgedetectionreinforcement Technology MinistryofCommunications,Chang anuniversity,xi an710064,shaanxi,china) 犃犫狊狋狉犪犮狋 :Inordertoobtainthefunctionoffundamentalvibrationfrequencyoftherigidframe bridge,firstly,atypicalrigidframebridgewithhighpierswastakenasanexample,and64simi larbridgeswerefabricatedandtheirfiniteelement(fe)modelsweresetuptoobtainthestruc turalnaturalvibrationcharacteristics,then,thefundamentalmodeshapefunctionofthistypeof structurewasputforwardsoastodeducethetheoreticalfundamentalfrequencyformulabyray leighmethod.finaly,thepresentedtheoreticalformulaoffundamentalfrequencywasvalidated bytheengineeringandthefundamentalfrequencyformulainthecurrentguidelinesforseismicde signofhighwaybridgeswasdiscussedtherein.theresultsindicatethatthebasicoscilationof therigidframebridgewithhighpiersconsistsofthelongitudinalvibrationofpiers,andthatthe fundamentalfrequencycalculatedbytherecommendedmethodhasanerrorof5% comparedwith theferesult,andthefrequencycalculationintheguidelinescannotbeappliedtosuchirregular 收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( ); 陕西省交通科技项目 (10 39K); 教育部新世纪人才支持计划项目 (NCET ); 中央高校基本科研业务专项资金项目 (CHD2012JC030) 作者简介 : 周勇军 (1978 ), 男, 湖北孝昌人, 副教授, 工学博士,E mail:zyj@chd.edu.cn

2 第 3 期 周勇军, 等 : 高墩连续刚构桥纵向振动基频的能量法计算公式 49 bridgesastherigidframebridges.2tabs,2figs,15refs. 犓犲狔狑狅狉犱狊 :bridgeengineering;continuousrigidframebridgewithhighpier;fundamentalfre quency;fundamentalmodeshapefunction;energymethod;guidelineforseismicdesignofhigh waybridge 0 引言 自 1990 年中国建成第一座大跨径连续刚构桥广东洛溪大桥 ( =180 m) 后, 经过近 20 年的推广应用, 连续刚构桥已成为中国大跨径混凝土 (60~ 300m) 桥梁的首选桥型, 在西部沟壑地区更是受到了特别的青睐, 此类结构国外比较少见 众所周知, 结构基频是结构动力学研究中一个非常重要的参数, 在这方面有一些学者进行了研究 文献 [1] 将悬臂梁的自由振动函数假设为各阶振型函数与关于时间的广义坐标乘积的线性组合, 推导得到了系统动能与弯曲变形能的级数形式的表达式, 运用 La grange 运动方程得到了悬臂梁的前 4 阶固有频率方程及其解 ; 文献 [2] 在等截面连续梁的基础上, 应用模态摄动原理, 建立变截面连续梁主模态特性的近似分析方法, 将变截面连续梁微分方程的求解转化为一组非线性代数方程的求解 ; 该计算结果虽然具有较高的精度, 但还是需要利用数学工具进行非线性代数方程的求解, 对整个桥梁结构来讲, 连续梁 [3] 的第一阶振动则有可能是桥墩引起的振动 ; 文献 [4] 推导了连续梁动力特性的振型方程, 建立其差分格式, 利用对称性 反对称性 边界条件, 将差分方程组简化, 求解振型系数行列式为 0 这一方程, 得到自振频率, 相应地求出振型, 但仍需编制计算机专用程序才能对任意多跨变截面梁进行动力分析 ; 文献 [5] 对 3 跨简支悬索桥振动频率方程进行了详细推演 ; 文献 [6] 以铁路高墩简支梁桥为例, 从能量法观点出发, 推导了墩梁体系横向自振频率和横向振型的解析计算式 简支梁桥 连续梁桥 悬臂梁 拱桥 双塔斜拉桥及单跨简支悬索桥反对称竖向弯曲基频已有相关的近似计算公式, 但对连续刚构桥梁自振特性还仅停留在定性认识上, 在基频的定量计算公式方面基本 [7] 上是空白 虽然有限元法得到了广泛应用, 但此类变截面桥梁结构建模过程往往比较繁琐, 耗时较长, 不利于工程技术人员对桥梁结构的快速判断 为此, 本文对高墩刚构桥梁的基频计算公式进行了研究, 期望能在桥梁的初步设计中方便 简捷地估算连 续刚构桥的动力特性及为抗震性能评估提供帮助 1 基本原理 根据能量守恒定律, 体系在振动过程中, 如果略去阻尼的影响, 体系在任何时刻的位能犝与动能犞 之和应当保持为一常数犆, 即 犝 + 犞 = 犆 (1) 当体系处于平衡位置时, 位移为 0, 速度达到最大, 这时体系的位能为 0, 而动能达到最大, 体系的总能量为 0+ 犞 max = 犆 (2) 当体系的位移达到最大时, 速度为 0, 这时体系的位能达到最大, 而动能为 0, 体系总能量为 犝 max +0= 犆 (3) 比较式 (2) 和式 (3), 可知体系的最大位能犝 max 等于最大动能犞 max, 即 犝 max = 犞 max (4) 对于一般振动形式的桥梁, 在无阻尼固有振动的情况下, 桥梁的横向位移狔 ( 狓, 狋 ) 可表示为 狔 ( 狓, 狋 )=φ ( 狓 )sin(ω 狋 +θ) (5) 式中 : φ ( 狓 ) 为满足桥梁位移边界条件的近似振型函数 ;ω 为与此对应的频率 桥梁的动能可表示为 狏 = 1 犿 ( 狓 ) 狔 d 狓 + 1 犼 2 =1 犕 [ 狔 ( 狓, 狋 )] 2 = 1 (ω 2 cos2 狋 +θ)[ 犿 ( 狓 ) φ2 ( 狓 )d 狓 犼 2 =1 犕 φ 2 ( 狓 )]ω 2 (6) 式中 : 犿 ( 狓 ) 为桥梁结构的均布质量 ; 犕为集中质量 ; 为跨径 桥梁的位能可表示为 犝 = 犈犐 ( 狓 )( d2 狔 2 d 狓 )2 d 狓 = 1 (ω 2 sin2 狋 +θ)[ 犈犐 ( 狓 )( d2 φ ( 狓 ) 2 0 d 狓 )]2 d 狓 (7) 式中 : 犈犐 ( 狓 ) 为桥梁结构的刚度 将式 (6) 和式 (7) 代入式 (4), 可得到桥梁振动的固有频率为

3 长安大学学报自然科学版 13 年 犈犐狓 dφ狓 d狓 d狓 ω 犿狓 φ 狓 d狓 犕φ 狓 犼 1 这种方法就是著名的 瑞 利 Ray l e gh 法 当 然 求结构基频还有其 他 的 方 法 如 李 兹 法 迦 辽 金 法 等 在此不做介绍 由式 可知 为了用能量法求解连续刚构桥的 基频 首先应该获得连续刚构桥的基本振型函数 高墩连续刚构桥基频振型特征 某预 应 力 混 凝 土 连 续 刚 构 跨 径 为 6 1 6 m 上部结 构 采 用 单 箱 单 室 箱 形 截 面 箱 梁 根 部高度为 6 m 跨中梁高为 m 其 间 梁 高 按 二 次抛物线变化 箱梁顶板宽为 1 m 底板宽为 6 m 桥 墩 采 用 双 薄 壁 空 心 墩 两 薄 壁 墩 净 距 为 3 m 墩高为 m 横桥向为6 m 顺桥向单薄壁为3 m 壁 厚 顺 桥 向 为 6 m 横 桥 向 为 1 m 箱 梁 为 C 混凝土 墩身 C4 混凝土 采用 ANSYS 中 的 Be am1 单 元 模 拟 桥 梁 上 下部结构考虑剪 切 效 应 的 影 响 忽 略 钢 筋 和 管 道 图 1 桥梁振型 F 1 Modeshapeo fr df r amebr dge g g 注 犳1 犳 犳3 分别表示结构第一 二 三阶自振频率 影响 主梁和桥 墩 连 接 处 用 刚 臂 耦 合 处 理 不 考 虑 比较接近 桩土作用 在桥墩底固结 在桥梁两端支点处约束 狔 横向 方向和 狕竖 向 方 向 位 移 及 狓 方 向 的 转 动 不失一般 对具有 狀 跨的高墩连续刚构桥 并认 为高墩为等截面 取 墩 顶 作 用 单 位 集 中 力 时 墩 的 挠 得到结构前 3 阶振型 如图 1 所示 9 曲线作为桥墩振型函数 即振型函数为 由上 述 结 构 的 振 动 形 式 可 知 对 于 此 类 高 墩 连 续刚构桥来讲 桥 梁 第 一 阶 振 动 形 式 多 为 桥 墩 的 纵 向飘浮振动 上部 结 构 主 梁 以 纵 向 水 平 刚 体 运 动 为 主 略有对称或反对称 弯曲形式 桥墩则发生纵向 弯曲振动 以上 述 连 续 刚 构 桥 为 基 础 依 据 高 墩 桥 梁 的 定 3 狕 狕3 狕 3 狕 φ 则有 6 1 狕 狕 3 狕 φ 1 将式 9 式 1 代入式 11 可得 义 考虑边中跨比 跨 中 及 支 点 截 面 高 跨 比 墩 高 和 ω 拟定了 64 座桥梁模型来代表各种高墩连续刚构桥 犈犐 φ d狕 桥墩截面尺寸的变化 参照此类桥梁常见尺寸范围 9 1 犕φ 犿 狕 φ d 1 见下页表 1 1 11 采用与上述背景 工 程 相 同 的 有 限 1犈犐 元建模方法和边界条件 对以上 64 座桥梁进行了模 3 1 态计算分析 结果 表 明 高 墩 连 续 刚 构 桥 的 第 一 阶 11 犕 13犿 3 振动形式类似于以 上 依 托 工 程 即 均 为 桥 墩 纵 向 振 1 动 从文献 9 1 14 也可以看出 高墩连续刚构桥 式 中 为第 个桥墩墩高 犈犐 为第 个桥墩的截面 有类似的振动特点 刚度 犿 为第 个桥墩的线均布质量 犕 为上部结构 主梁的总质量 需 要 指 出 的 是 下 部 结 构 若 为 双 薄 壁 3 连续刚构桥基频的能量法计算 既然高墩连续刚构桥一阶振动以纵向振动为 主 则对以上桥墩的振型进行回归分析 发现其回归 的振型函数与在墩顶作用单位集中力时墩的挠曲线 桥墩 则 犈犐 犿 为各单肢刚度或质量的和 如果是 3 跨连续刚构桥 则其基频的解析解为 ω 1犈犐1 3 犈犐 3 1 1 13犿11 3 13犿 3 犕 1

4 第 3 期 周勇军, 等 : 高墩连续刚构桥纵向振动基频的能量法计算公式 51 表 1 高墩连续刚构桥有限元模型参数表 犜犪犫.1 犘犪狉犪犿犲狋犲狉狊狅犳犉犈犿狅犱犲犾狊狅犳狉犵犱犳狉犪犿犲犫狉犱犵犲狑狋犵狆犲狉狊 桥梁模边跨跨中跨跨支点截面梁跨中截面梁桥墩截面惯桥墩截面面基频有限元墩高 /m 型编号径犾 1/m 径犾 2/m 高 b/m 高 c/m 性矩犐 /m 4 积犃 /m 2 计算值 /Hz 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型 模型

5 长安大学学报自然科学版 续 桥梁模 型编号 墩高 m 13 年 表 边跨跨 中跨跨 支点截面梁 跨中截面梁 桥墩截面惯 桥墩截面面 基频有限元 径犾1 m 径犾 m 高 b m 高 c m 性矩犐 m4 积 犃 m 计算值 Hz 模型 49 1 91 16 11 模型 1 1 1 模型 1 1 16 1 1 模型 1 1 1 13 模型 3 1 116 1 1 99 模型 4 1 11 9 模型 14 6 6 11 模型 6 14 61 1 6 11 模型 14 66 1 模型 14 6 13 3 1 模型 9 14 1 1 3 9 模型 6 14 96 1 9 模型 61 14 16 1 4 模型 6 14 1 1 模型 63 14 116 1 1 9 模型 64 14 11 中附录梁桥桥墩 基 本 频 率 的 计 算 公 式 进 行 了 计 算 4 算例分析 并与以上结果进行了对比分析 1 表 不同方法计算的结构纵向振动基频对比 某连续 刚 构 桥 跨 径 组 合 为 16 m 上部结构为单 箱 单 室 箱 梁 箱 梁 根 部 高 度 m 跨中梁高 3 m 其 间 梁 高 按 二 次 抛 物 线 变 化 箱 梁顶板宽 1 9m 底板宽 m 主 桥 桥 墩 采 用 双 薄 壁空心桥墩 墩高 9m 双薄壁墩 净 距 m 横 桥 向宽 m 顺桥向 单 薄 壁 3 m 壁 厚 顺 桥 向 m 横桥向 1 1m 箱梁混凝土为 C 墩身 C4 按照设计图纸进行计算可得上部结构主梁总质量 m 犕 13434kg 桥墩分布质量 犿 69kg 截面刚度 犈犐 11 111 N m 由式 14 得 到其对应于纵向振动的基频为 14Hz 为了进 犜犪犫 狅狀犵 狋 狌犱 狀犪 犾犳 狉 犲狇狌 犲狀犮 犲 狊狅 犳犫 狉 犱犵 犲狑 狋 犱 犳 犳 犲 狉 犲狀 狋犿犲 狋 狅犱 狊 不同 方法 纵向振 动基频 有限元 值 ① Hz 本文值 ② Hz 146 193 本文值 抗震设计 抗震设计细 有限元值 细则值 则值 有限 ② ① ③ Hz 元值③ ① 1 14 9 由表 中可以 看 出 基 于 本 文 能 量 法 计 算 高 墩 连续刚构桥基频的回归式与有限元计算结果误差为 说明 其 精 度 可 以 满 足 工 程 实 际 要 求 相 比 之 下 抗震设计细则 中 的 计 算 值 与 有 限 元 计 算 结 果 相 去甚远 由于墩顶上部结构质量太大 说明规范中的 公式不能直接应用于以桥墩纵向振动为主的高墩连 一步研究本文研究方法的可行性 严格按照该桥桥梁 续刚构桥基频计算 结构尺寸建立了 ANSYS 有限元模型 并进行了模态 分析 得到 的 桥 梁 纵 向 基 频 结 果 见 表 同 时 利 用 同时采用式 14 计 算 表 1 中 的 64 种 模 型 的 基 频并与有限元分析值 表 1 中 最 后 一 列 进 行 比 较 公路桥梁抗震设计细则 JTG TB 1 列入图 中 图 64 种模型的基频计算值与有限元分析值对比 F Fr equenc e sc ompa r s onbe twe enp r e s en t edme t hodandfe me t hodf o r64br dgemode l s g

6 第 3 期 周勇军, 等 : 高墩连续刚构桥纵向振动基频的能量法计算公式 53 从图 2 中可以看出, 对 64 种模型来说, 利用本文能量方法得到的频率计算值与有限元的仿真分析值两者之间的误差在 9% 以内, 基本上满足工程要求, 说明了能量法计算高墩连续刚构桥基频的可行性 5 结语 (1) 根据大量有限元仿真分析发现, 高墩连续刚构桥 ( 墩高大于 50 m) 第一阶自振振动为桥墩的纵向振动引起的, 上部结构主梁基本上不参与振动 (2) 通过假设高墩刚构桥墩的基本振型, 推导了高墩刚构桥纵向振动的能量法计算公式, 其结果与有限元计算结果吻合较好, 可以应用于高墩连续刚构桥自振特性计算中去 (3) 公路桥梁抗震设计细则 中的梁桥桥墩公式不能直接应用于高墩刚构桥这类非规则桥梁的基频计算 参考文献 : 犚犲犳犲狉犲狀犮犲狊 : [1] 黄永玉, 赵永刚, 赵伟东. 基于 Lagrange 运动方程的悬臂梁的固有频率分析 [J]. 青海大学学报 : 自然科学版,2019(1): HUANG Yong yu,zhao Yong gang,zhao Wei dong.analysisoncantileverbeam snaturalfrequency basedon Lagrange motionequation[j].journalof QinghaiUniversity:NatureScience,2019(1):12 15.(inChinese) [2] 张怀静, 潘旦光. 变截面连续梁动力特性的半解析解法 [J]. 北京科技大学学报,2008,30(6): ,619. ZHANG Huai jing,pan Dan guang.semi analytic solution to dynamic characteristics of non uniform continuousbeams[j].journalofuniversityofscience andtechnologybeijing,2008,30(6): ,619. (inchinese) [3] 周勇军, 贺拴海, 宋一凡, 等. 弹性地基上连续梁桥顺桥向地震振动分析 [J]. 长安大学学报 : 自然科学版, 2008,28(2): ZHOU Yong jun,heshuan hai,song Yi fan,etal. Longitudinalseismic vibration ofcontinuous beam bridgeonelasticfoundation[j].journalofchang an University:NaturalScienceEdition,2008,28(2):49 52.(inChinese) [4] 吴辉琴, 王赞芝, 涂辉, 等. 变截面连续梁动力特性的差分解法 [J]. 广西大学学报 : 自然科学版,2010,35 (1): WU Hui qin,wang Zan zhi,tu Hui,etal.Finite diferencemethodsforcalculatingdynamicproperties ofvariationalcontinuousbeams[j].journalofguan gxiuniversity:naturalscienceedition,2010,35(1): (inChinese) [5] 程翔云. 关于三跨简支悬索桥振动频率方程的讨论 [J]. 重庆交通学院学报,2000(2): CHENGXiang yun.commentsonthevibrationalfre quencyequationofthree spansimplesupportedsus pensionbridge[j].journalofchongqingjiaotongin stitute,2000(2):22 24.(inChinese) [6] 周建民, 吴定俊, 李奇, 等. 墩梁体系自振特性变化规律能量法分析 [J]. 土木工程学报,2006,39(1): ZHOUJian min,wu Ding jun,liqi,etal.variation offreevibrationcharacteristicanalysisforpier beam systembyenergymethod[j].chinacivilengineering Journal,2006,39(1):60 64.(inChinese) [7] JTGD , 公路桥涵设计通用规范 [S]. JTG D ,Generalspecificationsfordesignof highwaybridgesandculverts[s].(inchinese) [8] 宋一凡. 公路桥梁动力学 [M]. 北京 : 人民交通出版社,2000. SONG Yi fan.kineticsofhighwaybridges[m].bei jing:chinacommunicationspress,2000.(inchinese) [9] 周勇军, 贺拴海, 宋一凡, 等. 基于锤击法的弯连续刚构模型桥动力试验 [J]. 振动 测试与诊断,2007,27 (3): ZHOU Yong jun,he Shuan hai,song Yi fan.dy namictestofcurvedcontinuousrigidframebbridge modelusinghammerexcitationmethod[j].journalof Vibration,Measurement & Diagnosis,2007,27(3): (inChinese) [10] 杨昀, 周列茅, 周勇军. 弯桥与高墩 [M]. 北京 : 人民交通出版社,2011. YANG Yun,ZHOU Lie mao,zhou Yong jun. Curvedbridge with high pier[m ].Beijing:China CommunicationsPress,2011.(inChinese) [11] 张晓栋. 高墩大跨预应力混凝土梁桥振动频率实用计算方法 [D]. 西安 : 长安大学,2011. ZHANG Xiao dong.practicalmethodoffundamental frequencyforlarhgespanprestressedconcretegirder bridgewithhighpiers[d].xi an:chang an Universi ty,2011.(inchinese) [12] 尹海军, 李子青, 郭琦, 等. 大跨高墩连续刚构桥动力特性研究 [J]. 西安建筑科技大学学报 : 自然科学版,2010,42(5):

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第 3 期 周勇军, 等 : 高墩连续刚构桥纵向振动基频的能量法计算公式 (L=180 m), 20 1,, (60~, U V 300m), C,,, U +V =C (1) bridgesastherigidframebridges.2tabs,2figs,15refs. K

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