第 6 期齐迎春, 等 : 空间薄膜反射镜面形设计及优化引言超轻薄膜反射镜的概念是应空间光学系统中主反射镜的大型化轻量化的要求提出的, 主要目的是通过选用轻质的反射镜材料反射镜支撑结构材料, 设计适当的反射镜背面形状结构形式 [1,] 等, 来减轻大口径反射镜的重量但随着反射

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悲林
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1 第 15 卷 007 年 6 月第 6 期光学精密工程 OpticsandPrecisionEngineering Vol.15 No.6 Jun.007 文章编号 X(007) 空间薄膜反射镜面形设计及优化齐迎春 1,, 金光 1, 许艳军 1 (1. 中国科学院长春光学精密机械与物理研究所, 吉林长春 ;. 中国科学院研究生院, 北京 ) 摘要 : 在分析聚酰亚胺薄膜反射镜面形成型理论的基础上, 结合光学系统对反射镜面形的要求, 用有限元法求解了薄膜反射镜在一定预应力存在的条件下, 受均布载荷作用产生变形的数值解, 通过数据拟和给出了反射镜面形, 并计算了理论面形与计算面形的误差 ; 以反射镜镜面不同区域施加的载荷为设计变量, 薄膜的屈服强度为状态变量, 理想面形与计算面形的误差为目标函数, 用 ANSYS 软件对薄膜反射镜面形进行了优化 ; 最后以 Zernike 多项式为接口对反射镜面形进行了波前拟合, 给出了优化前后反射镜的像差, 证明了通过对薄膜反射镜施加适当的力场可以得到面形精度很好的抛物线面形结果表明 : 改变力场可以控制薄膜反射镜面形, 并得到需要的面形, 为实际设计构建聚酰亚胺薄膜反射镜提供了理论基础设计依据和方法关键词 : 薄膜反射镜 ; 优化设计 ; 有限元法 ;Zernike 多项式中图分类号 :TH703;O435 文献标识码 :A 犇犲狊犻犵狀犪狀犱狅狆狋犻犿犻狕犪狋犻狅狀犳狅狉狊犺犪狆犲狅犳狊狆犪犮犲犿犲犿犫狉犪狀犲犿犻狉狉狅狉 QIYing chun 1,,JIN Guang 1,XU Yan jun 1 (1. 犆犺犪狀犵犮犺狌狀犐狀狊狋犻狋狌狋犲狅犳犗狆狋犻犮狊, 犉犻狀犲犕犲犮犺犪狀犻犮狊犪狀犱犘犺狔狊犻犮狊, 犆犺犻狀犲狊犲犃犮犪犱犲犿狔狅犳犛犮犻犲狀犮犲狊, 犆犺犪狀犵犮犺狌狀 , 犆犺犻狀犪 ;. 犌狉犪犱狌犪狋犲犛犮犺狅狅犾狅犳狋犺犲犆犺犻狀犲狊犲犃犮犪犱犲犿狔狅犳犛犮犻犲狀犮犲狊, 犅犲犻犼犻狀犵 ) 犃犫狊狋狉犪犮狋 :Onanalysisofthemechanicstheoryofpolyimidemembranemirror,anumericalsolutionof membranereflectorontheequispacedloadandproperpre stressingforceiscomputed,andtheerror betweenidealsurfaceandcomputedsurfaceisgiven.takingsurfaceloadondiferentareasofthemir rorasdesignvariable,yieldstrengthofthemembraneasstatevariableandmeansquarerootoftheer rorbetweenidealsurfaceandcomputedsurfaceastargetfunction,thesurfaceshapeofmembranemir rorisoptimizedwithansyssoftware.finaly,thewavefrontofthemirrorbeforeandafteroptimiza tioniscalculatedusingzernikepolynomialfiting,andaberrationofthemirrorispresented.there sultsshowthattheshapeofhighaccuracyparabolicmembranemirrorcanbeobtainedapplyingappro priateloadsondiferentareasofthemembranemirror. 犓犲狔狑狅狉犱狊 :membranemirror;optimaldesign;finiteelementmethod;zernikepolynomial;optimiza tion 收稿日期 : ; 修订日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (No )

2 第 6 期齐迎春, 等 : 空间薄膜反射镜面形设计及优化引言超轻薄膜反射镜的概念是应空间光学系统中主反射镜的大型化轻量化的要求提出的, 主要目的是通过选用轻质的反射镜材料反射镜支撑结构材料, 设计适当的反射镜背面形状结构形式 [1,] 等, 来减轻大口径反射镜的重量但随着反射镜口径的增大, 如口径达到几米时, 轻质的传统反射镜材料如碳化硅金属铍等会由于本身刚性密度等限制和运载火箭承载能力的限制, 很难满足要求在此应用背景下,NASA 等研究机构提 [3] 出了聚酰亚胺薄膜反射镜的概念与普通反射镜相比, 以聚酰亚胺薄膜为基底的空间薄膜反射镜具有突出的耐热性耐辐射性和机械性能, 其面密度仅为 18g/m, 结合其优良的柔韧性, 可以突破运载火箭承载空间和承载能力对光学系统孔径和重量的限制本文在分析聚酰亚胺薄膜反射镜面形成型理论的基础上, 结合光学系统对反射镜面形的要求, 首先用有限元法求解了薄膜反射镜在一定预应力存在的条件下, 受均布载荷作用产生变形的数值解, 通过数据拟和给出了反射镜面形, 并计算了理论面形与计算面形的误差 ; 以反射镜镜面不同区域施加的载荷为设计变量, 薄膜的屈服强度为状态变量, 理想面形与计算面形的误差为目标函数对薄膜反射镜面形进行了优化 ; 最后以 Zernike 多项式为接口对反射镜面形进行了波前拟和证明了通过对薄膜反射镜施加适当的力场可以得到面形精度很好的抛物线面形 ; 同时证明了通过改变力场可以控制薄膜反射镜面形, 得到想要的面形薄膜反射镜成型机理薄膜反射镜的成型过程也就是膜结构形状确定问题膜结构与一般结构不同, 它的变形比一般结构要大一些, 它的形状也是随着外部条件逐步形成的, 由于膜本身没有刚度, 需要施加预应力使之承受张力, 因此, 膜结构形状的确定首先要设定其大致的几何外形, 然后对膜面施加预应力, 使其具有一定的刚度, 产生初始形状, 最后根据实际情况施加外载荷, 得到想要的几何外形很多学 [4 8] 者对薄膜形状确定问题进行了研究, 薄膜理论是膜结构分析的理论基础, 轴对称 Karman 方程是描述圆薄板的常用方程 ( 方程 1 ), 根据薄膜结构不能承受弯矩的特性, 去掉方程中的弯矩项, 即可得到薄膜变形力学方程 ( 方程 3 4 为均布力作用下的薄膜方程 ),Hencky 给出了圆薄膜在均 [] 布力作用下的级数解, 证明了薄膜的变形方程可以表示为一个多项式序列本文假定 :(1) 聚酰亚胺薄膜为各向同性线弹性材料 ( 在屈服极限内 );() 载荷分析可不考虑徐变的影响 ;(3) 施加预应力后, 膜结构张紧的如同平板, 初始态的垂度可忽略不计轴对称 Karman 方程 : 1d ( d 狑狉犖狉 )+ 狇 ( 1d d1d d 狑狉 )= 犇狉狉,(1) 狉 d 狉 d 狉狉 d d 狉狉 d d 狉 ( ) 犈犺 d 狑 d狉 d1d + 狉 ( 狉犖狉 )=0, () d 狉狉 d 狉简化后的均布力负载时的薄膜力学模型 : 犖狉 d 狑狆 + 狉 =0, d 狉 ( ) 犈犺 d 狑 d狉 d1d + 狉 ( 狉犖狉 )=0, d 狉狉 d 狉 (3) (4) 犈弹性模量, 犺薄膜厚度, 狑挠度, 犜狉薄膜力, 狆均布力, 狉薄膜半径 (0~ 犪 ), 狇 ( 狉 ) 任意分布的侧向载荷 SergeyA.Dimakov 给出了式 (3),(4) 在薄膜周边 [5] 存在预拉伸力犜条件下的近似解析解 : 狉狑 ( 狉 )= 狑 (0)- -ω( 狉 )( 犳为抛物线的焦距 ) 4 犳从得到的解方程可以看出, 圆薄膜反射镜在侧向均布外载荷作用下的面形近似为抛物面, 但是存在一定的误差 ω( 狉 ) 抛物面是光学系统应用较广泛的反射镜面形, 为了确定得到精确抛物面面形反射镜的外载荷分布形式, 本文用有限元法求解了圆薄膜在外载荷作用下的大变形问题, 将反射镜分为 10 个部分, 如图 1 为了使其具有一定刚度, 根据聚酰亚胺薄膜的温度与应力的对应关系, 犛 = 犈 α 犺 Δ 犜, 通过施加温度使其面内产生均布应力 ; 在各个部分施加相同的均布载荷, 计算变形的数值解, 通过数据拟和给出了反射镜面形, 并计算了理论面形与计算面形的误差, 以此为初

80 光学精密工程第 15 卷始条件, 以在反射镜不同区域施加的载荷为设计变量, 薄膜的屈服强度为状态变量, 理想面形与计算面形的误差为目标函数对薄膜反射镜面形进行了优化 3 薄膜反射镜的面形及数据处理分析薄膜反射镜的材料特性 : 犈 =.17 10 9,υ= 0.34,σ 狔 ( 屈服极限 )=9.

3 80 光学精密工程第 15 卷始条件, 以在反射镜不同区域施加的载荷为设计变量, 薄膜的屈服强度为状态变量, 理想面形与计算面形的误差为目标函数对薄膜反射镜面形进行了优化 3 薄膜反射镜的面形及数据处理分析薄膜反射镜的材料特性 : 犈 = ,υ= 0.34,σ 狔 ( 屈服极限 )= ,α( 热膨胀系数 ) = /, 犺 ( 厚度 )=5μm 图 1 空间薄膜反射镜几何模型和有限元模型 Fig.1 Geometricalandfiniteelementmodelsofthe membranemirror 3.1 均布载荷下的反射镜面形及数据处理膜结构特殊的力学特点和材料特性使其问题的求解成为力学领域的难点, 刘开国从力学模型 [6] 角度研究了板式膜结构的变形问题, 段浩等人研究了大挠度橡胶圆板的解法, 并对 Hencky 解 [5] 进行了修正, 郑晓静研究了圆薄板大变形问 [8] 题有限元法是现代设计方法中应用十分广泛的一种数值计算方法, 以其灵活有效准确等特点可以解决很多复杂问题, 如流体动力学问题复杂边界问题电磁耦合场分析几何大变形等, 目前很多学者用有限元法来求解膜结构问题, 张奕淦用 ANSYS 有限元分析软件对膜结构进行了分 [9] 析, 何志军等用非线性有限元对膜结构的初始 [10] 形态进行了分析本文采用非线性有限元法求解薄膜的大变形问题, 应用 ANSYS 软件提供的膜单元, 将反射镜划分为均匀的三角形单元, 在反射镜的不同区域施加相同的均布载荷犘, 面内预应力犛 = 犈 α 犺 Δ 犜 = Pa(ΔΤ=0.0), 通过多次迭代的方法消除残余应力, 最终得到均布载荷作用下的反射镜变形数值解, 提取各节点变形值, 用三维数值拟和方法拟和出反射镜的面形 ; 根据反射镜焦距计算原理, 以反射镜中心点变形和边界点变形为基础, 得到理想抛物线反射镜面形图 (a) 为两个抛物面的侧向半边投影图, 从图中可以看出两抛物面之间的误差很大, 为了使计算得到的抛物面与理想抛物面尽量一致, 本文以 ANSYS 提供的优化方法对此进行了优化 3. 反射镜面形优化优化步骤 : (1) 计算均布载荷作用下的反射镜变形, 并提取计算结果, 如反射镜各节点变形值最大变形值最大等效应力等 ; () 根据抛物线反射镜面形确定方法, 以最大变形值和边界节点值为基础, 计算理想抛物线面形 ; (3) 计算反射镜各节点变形值与理想抛物面相应点的挠度值的差值, 并求出这些差值的均方根值 RMS,RMS 越小, 计算面形与理想面形越接近 ; (4) 以反射镜面上 10 个不同区域的侧向载荷犘 1 到犘 10 为设计变量, 薄膜的屈服强度为状态变量, 求得的 RMS 为目标函数, 选取一阶优化方法对反射镜面形进行优化表 1 优化前后的计算反射镜面形理想反射镜面形和犚犕犛值 Tab.1 MembranemirrorshapesbeforeandafteroptimizingandtheirRMSvalues 计算面形理想面形 RMS 优化前狑 =0.0963( 狓 + 狔 ) 狑 =0.0976( 狓 + 狔 ) E 04 优化后狑 = ( 狓 + 狔 ) 狑 =0.101( 狓 + 狔 ) E 05

4 第 6 期齐迎春, 等 : 空间薄膜反射镜面形设计及优化 81 表 1 为优化前后的计算反射镜面理想反射镜面形和 RMS 值, 图 (b) 为优化后得到的两个抛物面的侧向半边投影图, 可以看出, 计算面形与理想面形的误差明显减小, 面形拟和的 RMS 值也提高了一个数量级 (a) 优化前的对比图 (a)comparisondiagrambeforeoptimizing (b) 优化后的对比图 (b)comparisondiagramafteroptimizing 图理想和计算反射镜面形投影曲线 Fig. Projectsofidealandcomputedmirrorshapes 3.3 反射镜像差计算为进一步了解反射镜的面形, 计算了反射镜的像差 Zernike 多项式是理想的结构分析与光学分析程序之间的接口工具, 很多学者对用 Zernike 多项式拟和光学元件的波前进行了研 [11 13] 究, 鄢静舟对用 Zernike 多项式进行波面模 [11] 拟和的方法进行了讨论和总结, 单宝忠应用 Gram smith 正交化方法对 Zernike 多项式进行 [1] 了拟和本文应用 Gram smith 正交化方法, 以 Zernike 多项式为接口, 编制程序, 对反射镜的波前进行了拟和, 表 3 分别给出了优化前后的 Zernike 多项式系数,Zernike 多项式的每项系数都有不同的像差, 从表中可以看出, 优化后的各项像差均有减小表优化前的犣犲狉狀犻犽犲系数 Tab. Zernikecoeficientsbeforeoptimizing 项数系数项数系数项数系数

5 8 光学精密工程第 15 卷表 3 优化后的犣犲狉狀犻犽犲系数 Tab.3 Zernikecoeficientsafteroptimizing 项数系数项数系数项数系数结论聚酰亚胺轻质薄膜反射镜作为解决反射镜口径与重量分辨率等相互制约问题的理想方法, 正在引起光学界的重视本文在分析聚酰亚胺反射镜成形力学机理的基础上, 用有限元法求解了均布载荷和预应力作用下得到的反射镜面形与理想抛物面面型的误差 ; 通过优化方法求得了获取与抛物面面型误差很小的反射镜计算面型的条件 ; 最后以 Zernike 多项式为接口对反射镜面形进行了波前拟和, 给出了优化前后反射镜的像差证明了通过对薄膜反射镜施加适当的力场可以得到面形精度很好的抛物线面形 ; 同时证明了通过改变力场可以控制薄膜反射镜面形, 得到想要的面形, 为实际设计构建聚酰亚胺薄膜反射镜提供了理论基础, 设计依据和方法参考文献 : [1] 张舸, 赵文兴. 轻型反射镜镜体结构参数的分析 [J]. 光学精密工程,006,14(1): ZHANG G,ZHAO W X.Analysisonstructuralparametersoflight weighted mirror[j]. 犗狆狋. 犘狉犲犮犻狊犻狅狀犈狀犵., 006,14(1):48 53.(inChinese) [] 郭培基, 余景池. 用校正法提高补偿器检测法的精度 [J]. 光学精密工程,006,14():0 06. GUOPJ,YUJCH.Improvingprecisionofnullensmethodwithcorrectiontechnique[J]. 犗狆狋. 犘狉犲犮犻狊犻狅狀犈狀犵., 006,14():0 06.(inChinese) [3] SIMONA E,ROGERA.StretchedMembranewithElectrostaticCurvature(SMEC)Mirrors:Anewtechnologyfor largelightweightspacetelescopes[j]. 犛犘犐犈,4849,00: [4] 郑晓静. 关于 Karman 薄板方程与薄膜理论的过渡问题 [J]. 兰州大学学报 ( 自然科学版 ),19917(3):18 5. ZHENG XJ.OntheproblemoftransitionfromvonKarmanplateequationstotheoryofmembrane[J]. 犑狅狌狉狀犪犾狅犳犔犃犖犣犎犗犝犝狀犻狏犲狉狊犻狋狔 ( 狀犪狋狌狉犪犾狊犮犻犲狀犮犲 ).1991,7(3):18 5.(inChinese) [5] SERGEY A.DIMAKOVBV.KislitsynAnalysisoftheelasticitytheoryequationsaimingtoclearupmainrelation shipsoftheparametersinthethinflexible mirrortask[j]. 犛犘犐犈,3610,1999: [6] 刘开国. 板式膜结构的分析 [J]. 空间结构,005,11 (): LIU K G.analysisofplatymembranestructures[J]. 犛狆犪狋犻犪犾犛狋狉狌犮狋狌狉犲狊,005,11 ():39 41.(inChinese) [7] 段浩, 胡宗武. 大挠度橡胶圆板的数值解及对其 Hencky 解的修正 [J]. 应用力学学报,003,0(): DUAN H,HU Z W.Immediatenumericalsolutionofalargedeflectionrubbercircularplateandcorrectforits Hencky'ssolution [J]. 犆犺犻狀犲狊犲犑狅狌狉狀犪犾狅犳犃狆狆犾犻犲犱犕犲犮犺犪狀犻犮狊,003,0(): (inChinese)

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