留聯忘返摘要我們從國中一年級所學的二元一次方程式出發延伸至直角座標平面線段圖形 ( 翰林版 ; 下學期 1-3;2-2), 所探討的主要方向為二元一次方程式解的情況首先從二元一次方程式兩個未知數去了解到當 x y 多少時符合其解 ; 從中推理出在未限定條件下一個二元一次方程式是有無限多組

Size: px

Start display at page:

Download "留聯忘返摘要我們從國中一年級所學的二元一次方程式出發延伸至直角座標平面線段圖形 ( 翰林版 ; 下學期 1-3;2-2), 所探討的主要方向為二元一次方程式解的情況首先從二元一次方程式兩個未知數去了解到當 x y 多少時符合其解 ; 從中推理出在未限定條件下一個二元一次方程式是有無限多組"

夸枉阙
5 years ago
Views:

1 51 1

2 留聯忘返摘要我們從國中一年級所學的二元一次方程式出發延伸至直角座標平面線段圖形 ( 翰林版 ; 下學期 1-3;2-2), 所探討的主要方向為二元一次方程式解的情況首先從二元一次方程式兩個未知數去了解到當 x y 多少時符合其解 ; 從中推理出在未限定條件下一個二元一次方程式是有無限多組解, 其次將這些解描繪在直角座標平面上會得到一條直線, 並且延伸出兩點以上決定一條線 ; 在直線上的點皆是這二元一次方程式的解另外在解二元一次聯立方程式時發現兩直線在直角座標平面上會有三種情況, 交於一點 ( 唯一解 ) 兩線重合 ( 無限多解 ) 兩線平行 ( 無解 ) 但這些判斷方法在大多數的教科書及教學上皆是讓學生被動去學習死背其方法但隨著資訊的進步, 可以以電腦軟體程式與遊戲互動中來輔助教學, 達到做中學之目的最後利用實驗教學方式施以前後測, 配合 spss14.0 統計軟體操作共變數分析與獨立樣本 t 檢定, 結果是否在數學成效上有顯著存在壹研究動機科展的目的主要激發對科學之興趣創新之能力, 促進學科教學增進教學效果, 促使教師家長學生重視科學教育之發展, 於是藉由資訊軟體操作教學, 可將教材活潑生動, 避免學生對上數學課存在著心理壓力學期學到二元一次聯立方程式時, 上課內容不外乎要學會怎麼解二元一次求出兩個未知數的値, 以及在解二元一次聯立方程式時會有三種情況, 交於一點 ( 唯一解 ) 兩線重合 ( 無限多解 ) 兩線平行 ( 無解 ) 利用 a1x1+b1y1=c1 與 a2x2+ b2y2=c2 判斷來解決問題, 通常都是先將方法背起來進行運用, 但是根據同學間的了解, 還是有大部分同學未能從中了解其由來, 因此想藉由電腦輔助教學 ; 從遊戲中學習, 再配合直角座標平面線段圖形, 是否可讓我們對學習數學感到有趣以往在上數學課時心理多少產生一些排斥焦慮, 畢竟在所有學科中數學是較困難學科之一, 也常讓人有挫敗灰心之心理狀態, 在教育性上注重興趣之培養, 建立正確態度, 教學主要目的是激發學生興趣與思考研究之潛能於是要我們利用電腦程式中的遊戲軟體循著二元一次方程式與聯立方程式的解將某幾種規律好好觀察, 並描繪在直角座標平面上, 是否能得到更好的學習研究成果貳研究目的以二元一次方程式為基礎, 配合電腦軟體程式與遊戲互動中來輔助教學, 先從 x y 多少時符合其解, 出發去找出二元一次方程一般解的情形, 進而探討二元一次聯立方程式彼此的關係, 最後在直角座標平面上將點 (x,y) 繪製成線段, 試著用另一種不同的教學方式去討論出是否能提高學習動機學習興趣, 提升獨立思考與解決問題之能力參研究設備及器材紙筆方格紙國中七年級下學期數學書本電腦程式遊戲軟體 2

3 肆研究過程或方法一二元一次方程次 ( 一 ) 先從闖關遊戲中將闖關內容設定為較簡單之遊戲讓學生先討論了解二元一次方程式解的情形, 得到一般解的概念 ( 二 ) 這些二元一次方程式的解轉化成數對 (x,y) 在直角座標平面上有什麼規律性, 會如何改變, 或者不同的變化? ( 三 ) 透過二元一次方程式在座標平面形成的圖形, 了解二元一次聯立方程式的解與其圖形之間的關係二分成兩組 ; 一組為控制組 ( 傳統教學 ) 另一組為實驗組 ( 電腦教學 ), 每組採自願學生十人, 每週兩堂課為期三週時間三利用二元一次方程式與二元一次聯立方程式解的關係施以電腦軟體操作輔助教學是否比一般傳統教學好? 四利用 spss14.0 統計軟體進行數學成績前後測進行單因子獨立樣本共變數分析與獨立樣本 t 檢定考驗? 五軟體操作過程 3

4 4

5 5

6 6

7 伍研究結果施以課堂教學與電腦輔助教學兩者結果利用 spss14.0 統計分析結果如下 : 變異數單變量分析受試者間因子數值註解個數組別 1 傳統教學 10 2 電腦輔助教學 10 受試者間效應項的檢定依變數 : 後測成績來源型 III 平方和自由度平均平方和 F 檢定顯著性校正後的模式截距 a X a * X 誤差總和校正後的總數 a R 平方 =.862 ( 調過後的 R 平方 =.836) 上表為受試者效應項的檢定, 即組內迴歸係數同質性考驗摘要表組內迴歸係數同質性考驗結果 (A X 列之資料 ), 即變異數同質性考驗,F 值等於 0.089,P=0.770>.05, 未達顯著水準, 應接受虛無假設, 拒絕對立假設, 表示各組迴歸線的斜率相同, 符合共變數分析前提假設 - 組內迴歸係數同質性, 進行共變數分析共變數分析敘述統計依變數 : 後測成績組別平均數標準差個數傳統教學電腦輔助教學總和上表為自變項二個處理水準 ( 兩種教學法 ) 的受試者樣本在後測成績的原始平均數標準差及個數 7

8 誤差變異量的 Levene 檢定等式 (a) 依變數 : 後測成績 F 檢定分子自由度分母自由度顯著性檢定各組別中依變數誤差變異量的虛無假設是相等的 a 設計 : Intercept+X+a 上表為變易量的 Levene 檢定等式, 即變異數同質性考驗,F 值等於 0.158,P=0.696>.05, 接受虛無假設, 表示各組在依變項之誤差變異數相同, 具有同質性受試者間效應項的檢定依變數 : 後測成績來源型 III 平方和自由度平均平方和 F 檢定顯著性校正後的模式截距 X( 共變項前測 ) a( 實驗處理 ) 誤差總和校正後的總數 a R 平方 =.861 ( 調過後的 R 平方 =.845) 上表為共變數分析檢定摘要表, 排除前測成績 ( 共變項 ) 對後測成績 ( 依變項 ) 的影響後, 自變項對依變項的影響效果檢定 F 值 =10.000,P=0.006<.05, 達到顯著水準, 實驗處理效果顯著, 表示受試者的後測成績會因教學法方式的不同而有所差異經實驗處理後, 實驗組的學習成就 ( 調整後的平均數等於 ) 顯著優於控制組 ( 調整後的平均數等於 ) 共變數分析時, 所要比較組別的平均數並非是實驗組與控制組的後測成績, 而是排除前測成績的影響後, 二組之調整後平均數參數估計值依變數 : 後測成績參數迴歸係數 B 標準誤 t 顯著性 95% 信賴區間下限上限截距 X [a=1.00] [a=2.00] a 此參數因重疊而設定為零估計的邊際平均數估計值 8

9 依變數 : 後測成績組別平均數標準誤 95% 信賴區間下限上限傳統教學電腦輔助教學 a 使用下列的值評估模型中的共變量 : 前測成績 = 上表中估計的邊際平均數為各處理水準在依變項上的調整後的平均數控制組調整後平均數 : ( ) = 實驗組調整後平均數 : (0) = 成對的比較依變數 : 後測成績 (I) 組別 (J) 組別平均數差異標準誤 (I-J) 顯著性 (a) 差異的 95% 信賴區間 (a) 下限上限傳統教學電腦輔助教學電腦輔助教學傳統教學以可估計的邊際平均數為基礎 * 在水準.05 的平均數差異顯著 a 多重比較調整 : 最小顯著差異 ( 等於沒有調整 ) 單變量檢定依變數 : 後測成績平方和自由度平均平方和 F 檢定顯著性對比誤差 F 檢定組別的效果此檢定是以估計的邊際平均數中的線性自變數成對比較為基礎上表為事後比較結果可以發現電腦輔助教學的成績顯著的優於傳統教學法總結由迴歸係數同質性考驗結果其 F 値未達顯著水準 (F= 0.089,P=0.770>.05) 迴歸係數同質性考驗之假定因而可直接進行共變數分析在排除前測成績的影響效果後二種不同的教學法對受試者的學習成就確實有顯著的影響 (F= ,P=0.006<.05) 由事後比較結果得知電腦輔助教學平均數 M= 優於傳統教學法平均數 M= 此外由共變數分析摘要表也可發現二組受試者在實驗處理之前共變數分析摘要表也可發現二組受試者在實驗處理之前的學習成就也有顯著差異 (F= ,P=0.000<.05) 9

10 以 T 檢定考驗前後測成績差異若未採用統計控制法而直接改用 t 檢定考驗前後測成績, 是否可能獲致不一樣的推論結果直接以 t 檢定考驗控制組與實驗組二組的學習成就差異情形, 可發現控制組的後測成績平均為 ; 實驗組的後測成績平均為 , 實驗組成績雖高於控制組受試者, 經 t 檢定考驗,t 值等於 ;p=.808>.05 未達顯著水準接受虛無假設表示控制組與實驗組的後測成績沒有顯著差異此外控制組與實驗組的後測成績 t 檢定考驗之 t 值 =1.279 p=.209>.05 未達顯著水準 T 檢定組別統計量組別個數平均數標準差平均數的標準誤前測成績傳統教學電腦輔助教學後測成績傳統教學電腦輔助教學獨立樣本檢定變異數相等的 Levene 平均數相等的 t 檢定檢定 F 檢定顯著性 t 自由度顯著性 ( 雙尾 ) 平均差異前測成績假設變異數相等不假設變異數相等後測成績假設變異數相等不假設變異數相等陸討論一在這一次對二元一次聯立方程式的探討中, 一開始就遇到很大的困難直覺上, 利用電腦輔助教學學生應該很容易上手, 並且去探討與傳統教學上的不同, 但是剛開始教學的第一堂課, 由於學生不常使用電腦教學上課以及看到遊戲軟體就興奮的要操作, 課堂上的秩序教學有點亂, 經過管理與教導程序後第二堂課已經能上手, 但還是有些同學會投機取巧行為產生, 經過輔導後並修正教學與方法, 藉由監督方式, 必須將遊戲軟體關卡上的題目寫在作業簿上, 並求得答案方能選擇遊戲中的答案, 於是非常有感興趣之學生會立刻著手書寫並計算或者參考課本詢問老師同儕, 當然利用電腦輔助教學最主要是讓學生學習感到有趣, 引起動機, 讓學生期待下次上課, 並能比其他同學更快過關, 從中產生成就感 10

11 二在這幾次討論的過程中, 我們也有了一些的想法 : (1) 老師利用電腦軟體教學主要目的是要引起我們對數學的學習動機, 於是我們幾個討論出利用這次段考範圍將題目循序漸進的引導同學們來學習, 於是我們蒐集資料與題目自行設計題目關卡, 在這過程中我們幾個不僅將數學段考範圍複習 ; 更進一步提升了我們對數學學習的熱誠, 我們幾個都感覺很棒 (2) 增加關卡困難度 : 遊戲過程中剛開始的第一週設計比較簡單容易通過的題目與遊戲路徑, 第二週難度再加深些, 有些同學過不了必須尋求老師或者我們協助教導, 並且遊戲路徑也複雜許多, 讓一些題目觀念重複被建立, 如此作法持續三週每週兩堂課, 將段考成績統計後交由老師做統計軟體分析 (3) 其實經過三週的練習學習成效是有限, 因為時間並不是很長以及樣本數可再增加一些, 所以老師向我們說在顯著性上對 t 檢定考驗就有所差別, 但對大部分同學而言時間雖有點短暫, 經過同學間的聊天, 大家一致認為電腦輔助教學較為有趣, 與老師討論後我們都覺得若任課老師能用更生動活潑的教學方式配合一些教具或肢體語言, 對我們在學習上更能引發興趣與動機, 當然教育機關與學校若能擺脫教學進度壓力下, 將我們要學的觀念讓每一個學生都能學會或許我們與其他同學們會更有興趣去思考問題, 對學習數學不在那麼懼怕, 這是我們做完科展後有感而發的心得柒結論一數位教學時代 : 教師在目前這個時代有許多電腦軟體可以輔助教學, 讓教學更生動有趣, 另一方面也具有挑戰性, 因每個軟體皆具有優缺點必須花時間研究, 但是學生是幸福的, 隨著科技不斷發展, 教學變的愈來愈活潑目前時下最熱門的電子白板也逐漸開始應用到教育領域, 或許將來教師授課黑板可能會變成電子白板, 學數學還可以透過網路把教材資料呈現在學生面前, 上課教材內容是生動有趣的數位螢幕與資料庫二解決問題與嘗試錯誤 : 在小學學算數還會依其推理演算說的出為什麼, 上到國中, 學生在學數學變成了給一個題目運算, 除了起點行為與終點外中間運算過程部分雖有其實質意義已經模糊不定了, 例如 : 此次題目解二元一次方程式教學應教給學生釣竿讓學生動手做, 釣魚過程並不是把魚釣起就好, 在過程中魚可能會掙脫必須想辦法解決並且嘗試失誤從新思考再來, 培養學生的挫折容忍力在此次科展過程中學生在操作遊戲軟體時會因為還沒有過關就必須重新再開始, 有部分學生會有失落感, 於是教學時間與彈性的拿捏也是重要的至少科展實驗做完相信學生也能獲得一些想法與啟示三教改政策的實施在目前教學情形有所改變, 例如 : 多元學習評量方法所帶來的正面效應以及近年來推動全民閱讀運動所造成, 但還是脫不了與考試測驗有關因為傳統教學一直被認為是真正的教學, 有正典標準的知識才可以傳授, 即使教師用以促進知識結構的統整或者激發好奇心想像力的教材也通常被視為不夠嚴肅與正經, 影響所及 ; 教師當然樂於只教授規格知識了四身處偏遠地區學校, 教導學生的目的主要培養學生對學習數學的興趣與學習動機, 從做中學開始, 養成獨立思考解決問題與嘗試錯誤的觀念, 應是科展活動的主要目的 11

12 捌參考資料及其他一史幸樺 (2010) RPG 製作大師屏東市二李祐宗 (2010) 以三角形的基本結構搭配教具軟體操作導入三角形的全等概念教學科學教育月刊,331 期台北市 : 國立台灣師範大學科學教育中心三吳明隆涂金堂 (2009 二版 12 刷 ) Spss 與統計應用分析台北市 : 五南四林倉億 (2011) 用電腦畫中學數學科學發展,495 期行政院國家科學委員會五洪萬生 (2011) 科學發展,495 期行政院國家科學委員會六康軒出版事業股份有限公司 (2010) 國民中學數學第二冊教科書台北市七翰林出版事業股份有限公司 (2010) 國民中學數學第二冊教科書台南市 12

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1 1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法主題 1 二元一次聯立方程式列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式二元一次方程組二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700