1 域论回顾 Galois 理论的域论语言, E. Steinitz 20. 理论一学, [11]. 单回顾. 域,,, ( 分 ) 的, 合, 分性 ; : xy = yx. 言, 一域 (F, +, ) 一的 ; 单 1. 用的 : Q ( 理域 ), R ( 域 ), C (

Size: px

Start display at page:

Download "1 域论回顾 Galois 理论的域论语言, E. Steinitz 20. 理论一学, [11]. 单回顾. 域,,, ( 分 ) 的, 合, 分性 ; : xy = yx. 言, 一域 (F, +, ) 一的 ; 单 1. 用的 : Q ( 理域 ), R ( 域 ), C ("

棣贲
5 years ago
Views:

1 从 Galois 理论谈起, : wwli@math.ac.cn : 目录 1 域论回顾 2 2 Galois 对应 3 3 应用 : 作图问题 4 4 拓扑学中的类比 5 5 范畴语言 7 6 线性常微分方程与单值作用 9 7 统合 : 淡中对偶理论 11 8 微分 Galois 理论一瞥 12 参考文献 14 缘起文学学 ( 中 ) 的一, 的. Galois 理论程的. 一 Galois 理论, 常的题. 目的学应的, 顾, 的理论, 一., ; 的, 理应. 的, 学,. Galois 理论起, 一程的, [11] 的分. 学的, :, 的. 1

2 1 域论回顾 Galois 理论的域论语言, E. Steinitz 20. 理论一学, [11]. 单回顾. 域,,, ( 分 ) 的, 合, 分性 ; : xy = yx. 言, 一域 (F, +, ) 一的 ; 单 1. 用的 : Q ( 理域 ), R ( 域 ), C ( 域 ). 域 F X 的的 F [X], 理域 F (X), 的, F [X, Y ]. F E 的域 ( : F 对 E 中的 +,, ), E F 的域, E/F. E, F 域, ϕ : F E 单, ϕ 域的, ϕ(f ) E 的域. 域 E/F 的 [E : F ] dim F E, E F -., 对 α E F - F [X] 中的 Q Q(α) = 0, α F 的 : Q 的. P F [X] {Q F [X] : Q(α) = 0} = (P ) := P F [X], α 的 ; P F 中的比常的一的. α E F 的, E/F., 的问题的., P F [X], 域 E/F P E 中 ; P F, 的一 : 考 F [X]/(P ) c + (P ) E := F [X]/(P ) c F E 域, F 的域 ; α := X + (P ) E P (α) = 0, [E : F ] = deg P. 作分的 L/F, P L 分一的, L 作 F 的域 P 的. 的 L/F P 的分域. P 的分域一 F - 的一. F -? F 的域的 ϕ : L L 图 ϕ L L F, ϕ F -, 理 F -. 一一 {P i F [X]} i I 的分域, 中 I, 一性. 2

3 对的, 的的域 L/F L/F, L F 一的分域 ; L/F 分, 对 α L P F [X] P (α) = 0, P. 的 Galois 扩张, 应的 Galois Gal(L/F ) Gal(L/F ) := {F - L L}, 中的的合. 对 P F [X], Gal(L/F ) P L 中的, 对 σ Gal(L/F ) α L, P (α) = 0 P (σ(α)) = σ(p (α)) = 0. L P 的分域, 作用 Gal(L/F ) {P 的的 } 的. Galois 的 : Galois 的对 Galois 的理. 定理 1.1 P F [X], L, P (X) = 0 Gal(L/F ). 用. 一方程. P (X) = X 5 6X + 3 Q[X] 的 Galois Gal(L/F ) 对 S 5,. 一 n P (X) = X n + a n 1 X n a 0 的 ( ), 一的 a 0,..., a n 1, 论的 P k(a 0,..., a n 1 ), 中 k 的域 F := k(a 0,..., a n 1 ) n 理域. P F, Gal(L/F ) S n., 方程一的. 2 Galois 对应的, 性的, Galois 理论的的 Galois 对应. 定理 2.1 L/F Galois, [L : F ] < ; G := Gal(L/F ), {H G : } {F E L : } H L H := {α L : σ G, σ(α) = α} Gal(L/E) E., H G E/F Galois. 注记 2.2 对 Galois L/F, E Gal(L/E) 单. 理的一 G = Gal(L/F ) 的拓扑, Krull 拓扑 ; [L : F ] Krull 拓扑拓扑. 一的 Galois 对应 {H G : } {F E L : 中域 } H L H Gal(L/E) E. 3

4 一的 Gal(L/E) 作投射有限群, 的 Gal(L/E) = lim Gal(K/E) K/E:Galois [K:E]< 理. 用范畴论的常, 论淡中范畴 Galois 的. 3 应用 : 作图问题 Galois 理论的一应用的作图问题. 作图的 :, 单 1., 作一作 (x, y); 的作应的 z := x + yi C. 作作单的. 理论一, 作图问题中的用. 方的 : 1. 一 α 用作一域 Q = F 0 F 1 F n C [F i : F i 1 ] 2, α F n. 言, 的作图方程. 2. n 用作的分 n = 2 a p 1 p r, 中 a, r Z 0 p 1,..., p r 的 Fermat. 一 p Fermat p = 2 2k + 1 的., 17 作, 9 作. 作, 分 2π 3 ; 一, 分类方程 ( : 用 sin cos 的 ). 学作图题, 中一的, 一缘对作图的. 学, 学中的, 学的. 学 : 对的, 的, 分作. 作图的. 文的. 一中的作图方折纸, 学的的作 ( 文 : Origami = ). 对的作, 应的, 作的, 论 [1, 10.3]., 一 α 作. 定理 3.1 α C, Q = F 0 F 1 F n C [F i : F i 1 ] 3, α F n. 分的论,. 推论

5 分一单的作, 回用方程, 1980 的, 参 [1, p.284]. 一. θ; 一性 0 < θ < π 2. 一的 ( 图 ) 作 : θ 图的线 P S. 1. 作线 P R, P R, P R, 线 P P 与 P P. 一用 : 对. 2., 线 P P 方线 Q Q, Q 线 P S Q P R. 3. 言 ψ := QP R 的 θ 3. S Q P R P Q R P θ ψ R 证明, P Q QP 对 ( 线 P Q, P Q 中的线 ) 对的, θ ψ = Q P Q = P QP. P QP, P QP = P QP. 线性 P QP = ψ. θ ψ = P QP = 2 P QP = 2ψ. 3ψ = θ,. Galois 理论的问题. Galois 问题 : 对 G Galois L/Q, Gal(L/Q) G? 的参 [7]. 4 拓扑学中的类比拓扑学中的理论, 的 ( [9, ]). 理论, 一类合理的拓扑. 作, 的拓扑. 5

6 定义 4.1 q : X X, : X X = U, U I q 1 (U) i I U q U, q U I. q : X X 道路提升性质 : 对 X 中 x, y 的 γ : [0, 1] X x q 1 (x), 一的 γ : [0, 1] X q γ = γ γ (0) = x. 合 q 1 (x) x 的. 考的 q : X X 的 X 的. 拓扑学中的一. 定理 4.2 X x X, p : X X ( X ), : 定 x p 1 (x), : q : Y X y q 1 (x), φ : X Y X φ Y p X q., ( X, x) : ( X, x), ( X, x ), φ : X X φ : x x. 理中的性范畴论中性的, 一性的论 ( : 分 q X X X X, 用应的 φ ). 对 q : Y X q : Y X, 的图的 φ: φ Y Y q X q, Hom X (Y, Y ). q = q, 考的 φ Aut X (Y ); Aut X (Y ) op. 定义 4.3 X. x X, 定 ( X, x). X x 定义 π 1 (X, x) := Aut X ( X) op. 用, 一作 : 对 q : Y X, q 1 (x) 1:1 Hom X ( X, Y ) φ( x) φ, π 1 (X, x) q 1 (x) 的作用, Aut X ( X) 的的! 6

7 注记 4.4 一拓扑用的合 π 1 (X, x), 的., 文一. 的一论. 命题 4.5 Aut X ( X) 1:1 ( ) φ Y : q 1 (x) 1:1 q 1 (x) Y q X: : Y 1 q 1 p X q Y q 1 1 φ Y1 (x) q 1 1 (x) q 1 (x) q 1 (x) φ Y q 1 1 (x) q 1 (x) p : Y 1 Y. 证明, 对的 q : Y X, φ Aut X ( X) Hom X ( X, Y ) 的, q 1 (x) 的 φ Y. q : Y X φ Y 的., 一 φ Y, 理 φ X 一 Hom X ( X, X) Hom X ( X, X); 应的 φ Hom X ( X) id X 的. 的 φ (φ Y ) Y 的., 的范畴论的理的. 用的范畴语言, 题 : π 1 (X, x) op [Y 的. q X] q 1 (x) 5 范畴语言范畴论的, 范畴论学中的, 参 [12, 14 ]. 文中, 一范畴 C : 对象的类 ; 对对 X, Y, 的态射一合, 作 Hom(X, Y ) = Hom C (X, Y ), 中的箭头 f : X Y. : 对的 X f Y, Y g Z, 作合 X g f=gf Z. 的合合. 对对 X id X : X X, 性 : 对 f : Y X g : X Y id X f = f g id X = g. 的性 : 对 f : X Y g : Y X fg = id X, gf = id Y, f 的 ; 的 g 一的, f 1 作 f 的. 作. C 中, 对, 的范畴相反范畴 C op. 子范畴 C C 的的 : C 的对,, 的合 id X C. Hom C (X, Y ) = Hom C (X, Y ) 对 C 的对 X, Y, C 满子范畴. 例 5.1 7

8 范畴对 Sets 合 R Mod R- Cov(X) q : Y X Π 1 (X) x X f : x y 的类 R 单的, X. Y 1 q 1 ϕ X q Y ( 图 ) 对一作. f : [0, 1] X f(0) = x, f(1) = y, 的. f : y z g : x y 的合 fg : x z [0, 1 2 ] g x y, [ 1 2, 1] g y z. 的合合, id x 对应常值 [0, 1] {x}; f t f(1 t). Π 1 (X) 中, 的范畴广群 ; Π 1 (X) X 的. x X, Π 1 (X) 中的 Hom(x, x) 合的 π 1 (X, x), Π 1 (X) X 的的. 定义 5.2 C 1 C 2 F : X F X [X f Y ] [F X F f F Y ], F (id X ) = id F X, F, G ( ) φ : F G X, F f F g = F (f g), f, g. F C 1 C 2 G 定义 φ X : F X GX, X C 1, C 1 f : X Y. F X F f F Y φ X GX Gf GY φ Y 的 ( ) 的合, 的性., 一 F 的 Aut(F ) := {φ : F F }. 的 ( 拓扑学 ) 与 Galois 理论 ( 学 ). 1. X. 考范畴 Cov(X), x X;, X. Fib x : Cov(X) Sets 与的论的 [Y q X] q 1 (x). Aut(Fib x ) = π 1 (X, x) op. 8

9 2. F 域. 考 F 的分 E/F 对的范畴 C F, 中对分 E/F E /F, 的 Hom CF (E, E ) = {φ : E E, φ F }. 的方与, 缘. 一分 F sep /F 应的 Fib : C F Sets E/F Hom CF (F sep, E). Aut(Fib) = Gal(F sep /F ) op. 3. 与拓扑一的一 Grothendieck 的. 域 k, k, 分 k sep k k 的 ( X /k, 分, ). 一 x, k- 的 Spec( k) x X x Spec(k sep ) 分, Grothendieck [6, Exp. V] 应的 π 1 (X, x) k = C, 范拓扑 π top 1 (X(C), x) 的. 一, X := X k k sep, 范的合 1 π 1 ( X, x) π 1 (X, x) Gal(k sep /k) 1 合 ; Gal(k sep /k) Out(π 1 ( X, x)) 的, Galois 理论与一. (anabelian) 中. 的一, [8]. 6 线性常微分方程与单值作用线性常微分方程理论学中的题目, 统常分的一 ( [10, ]), 与, 一的拓扑与问题. 统的 [3, 5]. 考线性常微分方程 2 zu + p(z) z u + q(z)u(z) = 0, 中 p(z), q(z) 的. 对的 x 值 (u(x), u (x)) u,. 的, 类方程的考 : u = u(z) Riemann P 1 = C { } 中 Ω 的, x Ω, p, q Ω 的. 的性的性, p q z = x, x 方程的奇点 ; 一 ord z=x p(z) 1, ord z=x q(z) 2, 9

10 x 正则奇点. 对的. 的性考用 Frobenius 方方程的. 的超几何方程 z(1 z) zu 2 + (c (a + b + 1)z) z u abu = 0, 中 a, b, c C 的参, c / Z 0. 方程 {0, 1, }., 的一线性常微分方程方程. z = 0, 方程的一 Gauss 的 F (a, b, c; z) = n=0 (a) n (b) n (c) n zn n 1 n!, q, (q) n := (q + k). z < 1. 用,, 参 [10, 4.3]. 一, 方程 Archimedes 域的理论, Dwork 的作. 考 u 的一性问题., 一的 x 0, 1,, u 对的值 (u(x), ( z u)(x)) 一., P 1 {0, 1, } = C {0, 1} 单一的合 S 1 S 1, π 1 (P 1 {0, 1, }, ), 0, 1 的单. k=0 γ : [0, 1] P 1 {0, 1, }, 用的一性 γ(0) 的 u 拓 γ(1) ; 参图, 中的域. 性的一性, γ(1) 的拓. γ, 拓的与. P 1 {0, 1, } 的拓扑 : γ 常值. 0 1 γ(0) V 方程 x 的, 考的 x 的 ; 一性 V {(u(x), ( z u)(x)) : u } C 2., 作单值作用的 π 1 (P 1 {0, 1, }, x) GL(V ). 单值作用的对 0 1 的单应的 2 2-, Riemann 的作, 比, [5, Example 5.10]., 类对 P 1 D, 的方程, D P 1 一. Riemann-Hilbert 问题 π 1 的类方程的单值作用. 一, 考的 : X Riemann, 线一的, 合的论 (E, D), 中 E X 的 D 的. 应的 10

11 一 X 的 E D, X 的局部系统, x 的一 π 1 (X, x) 的单值作用. 类问题的一的应 D- 理论 [3]. 的 Galois 理论作类比, 一 : 微分 Galois 理论. 7 统合 : 淡中对偶理论淡中范畴对偶性淡中 Krein 论的作, Saavedra Rivano Deligne 的中 [2]. 一范畴的语,, 的.. 定义 7.1 定 k, ; ( ) : k- Abel C ( Hom- k-,, R Mod,, ); C, C C C; 1; C C op X X ; 定 Hom(1, 1) k. 例 k Vect f, 1 := k, X X. 例 (Vect f,, ), 例, 1, 1 X X, X X 1. 注 : 义. ω : C Vect k : (i) k- ( Hom- ), ( ) ; (ii) ( ). 淡中范畴的 (C,...). 对 G := Aut (ω), Aut(ω) 中 k- 线性的. 考对性, ω 的 G 的范畴 G Rep 中 ; G, 论的的, G Rep 的淡中范畴. 注记 7.2 域 k 的? k 的 G m : G G G ( ) i : G G ( ) 1 G(k) ( 单 ) 论理对 G 的., G 一, 论的. G k-, GL(n). 线性 G GL(n) 的, G = SL(n) O(n). 对, 考的, 的. 线一的 Abel 的一类, 性. 的参 [13]. 定理 7.3 定 (C,...) ω, G := Aut (ω) k-, (C,...) G Rep. 注记 7.4 G 一线性的., 一线性 k- ( k = C ), 范畴 ; 淡中范畴的理作对偶性 11

12 的 Pontryagin 对偶理的. 一考的性, 的. 淡中范畴与论方应用, Hodge 问题的. 论微分方程的. 8 微分 Galois 理论一瞥分理 Galois 的作, 目线性微分方程的应用. 的微分 Galois 理论一 Picard, Vessiot Kolchin 的性作, 对性理微分方程. 参考 [4], 理论 [5]. 微分一对类微分的. 域的. 定义 8.1 (K, ), K : K K (x + y) = x + y, (xy) = ( x)y + x( y). 注 1 = 0 = 0. 定义 K := Ker( ). (K, K ) (L, L ), L K L K = K (L, L ) (K, K ) - ;, 定义 -. 言, K 考一 Leibnitz 的, 微分. 例 8.2 理域 C(z), Laurent 域 C((z)), 的 C{z} 分域 C({z}) 微分域, = z 的的, 常域 C. 定义 8.3 n- K- V, n Z 0, : V V, (v + w) = (v) + (w) Leibnitz (fv) = ( f)v + f v, f K, v V. 用的, 微分域 K 中的方程 ( n + a n 1 n a 0 )u = 0 对的微分 (V, ) V := Ker( : V V ). 一一的 V := K n, u K 对应 (u,..., n 1 u) V : V V := a 0 a 1 a n 1 1 一的, 常微分方程的程 ( 回 Wroński ). 命题 8.4 (V, ) (K, ), dim K V = n, dim K V n. 中一, 理域 K 微分方程的. 分域的, K 的 - L, 的微分 L- (V K L, L ) (V K L) L = n;, L 的的. 12

13 定义 8.5 K., L/K Picard-Vessiot : L = K, dim K (V K L) L = n, (V K L) L V K L V, K L. 定理 8.6. (K, ) (V, ) Picard-Vessiot L/K; - 义. 的理分域的类,. 定义 8.7, 定义 (V, ) Galois Gal (L/K) := Aut K, (L, ). 微分 Galois 理论中 Galois 对应. 与的. 定理 8.8 Galois G := Gal (L/K) K - : G GL K (n). {H G : } {K E L : } H L H Gal (L/E) E., H G E/K Picard-Vessiot. G 的线性. 的 Galois 的, 微分线性常微分方程的 Galois 作用 n K - (V K L) L 的线性作用., 的单值作用应的, 的 Galois!, 对 Riemann P 1 的线性常微分方程, D, 一的 : π 1 (P 1 D) 的单值作用的 ( GL n (C) 的 ) 的 Zariski 的微分 Galois. 理论微分理论的类比 : 题微分对性的对方程的对 Galois Picard-Vessiot 对 Gal(L/K) Gal (L/K) 应用方程的微分方程的一. 的域 K C(z), 作一 - K = K 0 K 1 K m 的, 对 0 i < m K i+1 = K i (u), 中 u ( 微分 Ki+1 ) 分, u = a, a K i ;, u = au, a K i ;, 方程 P (u) = 0. 的 - 作 Liouville 扩张. 微分 Galois 理论的一理, Galois 的的一微分. 定理 8.9 K, Picard-Vessiot L/K Liouville G := Gal (L/K) G. 线性 H 的与类, 考的的. 13

14 , 一 : 分 G 的合献性 G a 性 G m, 的. 淡中对偶理论. 用微分的 : V, W (K, ) 的微分, V K W (v w) = v w + v w. 对偶 V 范的微分 ( λ)(v) = λ( v). 单 1 (K, = 0). 淡中范畴的. (V, ), V, (V, ) 的淡中范畴., 考 (V, ) r (V, ) s, r, s Z 0 的微分的, 考的范畴. 范畴 V, 域 K 线性的. 与 (V, ) 应的 Picard-Vessiot L/K; V, 的 ω L : (W, W ) (W K L) W,L. ( V,,..., ω L ) 淡中范畴. 命题 8.10 K -, Aut (ω L ) G := Gal (L/K)., V, G Rep. 微分 Galois 理论, q- 分方程的分 Galois 理论. 一方, 的, 微分的., 参考目中线. 参考文献 [1] David A. Cox. Galois theory. Second. Pure and Applied Mathematics (Hoboken). John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2012, pp. xxviii+570. isbn: doi: / url: [2] P. Deligne. Catégories tannakiennes. : The Grothendieck Festschrift, Vol. II. Vol. 87. Progr. Math. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, pp [3] Ryoshi Hotta, Kiyoshi Takeuchi, and Toshiyuki Tanisaki. D-modules, perverse sheaves, and representation theory. Vol Progress in Mathematics. Translated from the 1995 Japanese edition by Takeuchi. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2008, pp. xii+407. isbn: doi: / url: [4] Andy R. Magid. Differential Galois theory. : Notices Amer. Math. Soc (1999), pp issn: [5] Marius van der Put and Michael F. Singer. Galois theory of linear differential equations. Vol Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2003, pp. xviii+438. isbn: doi: / url: [6] Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], 3. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie [Algebraic Geometry Seminar of Bois Marie ], Directed by A. Grothendieck, With two papers by M. Raynaud, Updated and annotated reprint of the 1971 original [Lecture Notes in Math., 224, Springer, Berlin; MR (50 #7129)]. Société Mathématique de France, Paris, 2003, pp. xviii+327. isbn:

15 [7] Jean-Pierre Serre. Topics in Galois theory. Second. Vol. 1. Research Notes in Mathematics. With notes by Henri Darmon. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2008, pp. xvi+120. isbn: [8] Tamás Szamuely. Galois groups and fundamental groups. Vol Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2009, pp. x+270. isbn: doi: /CBO url: [9]. 拓扑学. 学, isbn: [10],. 论. Vol. 5. 中理学. 学, isbn: [11],. 学论.., isbn: [12],,. 线性学. Vol. 47. 学., isbn: [13],,. 论. Vol 学. 学, isbn:

. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.

() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :

1 域论回顾 Galois 理论的 域论语言, E. Steinitz 20. 理论 一 学, [11]. 单回顾. 域,,, ( 分 ) 的, 合, 分 性 ; : xy = yx. 言, 一 域 (F, +, ) 一 的 ; 单 1. 用 的 : Q ( 理 域 ), R ( 域 ), C (

1 域论回顾 Galois 理论的域论语言, E. Steinitz 20. 理论一学, [11]. 单回顾. 域,,, ( 分 ) 的, 合, 分性 ; : xy = yx. 言, 一域 (F, +, ) 一的 ; 单 1. 用的 : Q ( 理域 ), R ( 域 ), C (