目录 Overview CAPM APT Regression-based tests time series test cross-sectional test Beyond the linear one factor model

货币金融学因子定价模型 钱宗鑫 中国人民大学财政金融学院 May 26, 2014

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随机折现因子与因子定价模型 1 = E ( m t+1 R t+1 ) m t+1 = a + b f t+1 β U (c t+1 ) U (c t) a + b f t+1 因子定价模型的核心是寻找良好的代理变量来度量边际消费效用的时间变化

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资本资产定价模型 CAPM: m = a + br m 回忆上次课的内容 :E t (R t+1 ) Rt+1 f = λβ,β = cov(m t+1,r t+1 ) var(m),λ = var(m) E(m) E(R i ) = R f + β R i,r m[e(rm ) R f ]

CAPM 推导 1: 两期二次效用 U(C t, C t+1 ) = 1 2 (C t C ) 2 1 2 (C t+1 C ) 2

CAPM 推导 1: 两期二次效用 U(C t, C t+1 ) = 1 2 (C t C ) 2 1 2 (C t+1 C ) 2 m t+1 = β C t+1 C C t C

CAPM 推导 1: 两期二次效用 U(C t, C t+1 ) = 1 2 (C t C ) 2 1 2 (C t+1 C ) 2 m t+1 = β C t+1 C C t C 假设禀赋经济 C t+1 = W t+1 = R m t+1 (W t C t )

CAPM 推导 1: 两期二次效用 U(C t, C t+1 ) = 1 2 (C t C ) 2 1 2 (C t+1 C ) 2 m t+1 = β C t+1 C C t C 假设禀赋经济 C t+1 = W t+1 = R m t+1 (W t C t ) m t+1 = β Rm t+1 (Wt Ct) C C t C = βc C t C + β(wt Ct) C t C R m t+1 定义 a t βc C t C, b t β(wt Ct) C t C R m t+1, 则得到 ( 条件 )CAPM

CAPM 推导 2:CARA 效用 I 个人最大化 E[U(C)] = E[ e ac ]

CAPM 推导 2:CARA 效用 I 个人最大化 E[U(C)] = E[ e ac ] 假设消费的分布是正态的

CAPM 推导 2:CARA 效用 I 个人最大化 E[U(C)] = E[ e ac ] 假设消费的分布是正态的 a2 ae(c)+ E[U(C)] = e 2 σ2 (C)

CAPM 推导 2:CARA 效用 I 个人最大化 E[U(C)] = E[ e ac ] 假设消费的分布是正态的 a2 ae(c)+ E[U(C)] = e 2 σ2 (C) 个人预算约束为 C = y f R f + y R, W = y f + y 1, 其中 y 表示风险投资组合向量 E[U(C)] = e a[y f R f +y E(R)]+ a2 2 y Σy = e a[(w y 1)R f +y E(R)]+ a2 2 y Σy

CAPM 推导 2:CARA 效用 I 个人最大化 E[U(C)] = E[ e ac ] 假设消费的分布是正态的 a2 ae(c)+ E[U(C)] = e 2 σ2 (C) 个人预算约束为 C = y f R f + y R, W = y f + y 1, 其中 y 表示风险投资组合向量 E[U(C)] = e a[y f R f +y E(R)]+ a2 2 y Σy = e a[(w y 1)R f +y E(R)]+ a2 2 y Σy 对 y 求 FOC 有 y = Σ 1 E(R) R f α, 即 E(R) R f = ασy

CAPM 推导 2:CARA 效用 II E(R) R f = ασy = αcov(r, R m )

CAPM 推导 2:CARA 效用 II E(R) R f = ασy = αcov(r, R m ) 对市场收益率应用上式得 E(R m ) R f = αcov(r m, R m ) = ασ 2 (R m )

CAPM 推导 2:CARA 效用 II E(R) R f = ασy = αcov(r, R m ) 对市场收益率应用上式得 E(R m ) R f = αcov(r m, R m ) = ασ 2 (R m ) 两式相除得到 CAPM: E(R) R f = β R,R m(r m R f )

CAPM 推导 2:CARA 效用 II E(R) R f = ασy = αcov(r, R m ) 对市场收益率应用上式得 E(R m ) R f = αcov(r m, R m ) = ασ 2 (R m ) 两式相除得到 CAPM: E(R) R f = β R,R m(r m R f ) 两种风险资产的例子 : [ cov(r1, r 1 ) ] [ ] cov(r 1, r 2 ) y1 cov(r 2, r 1 ) cov(r 2, r 2 ) y 2 = = [ ] cov(r1, r 1 )y 1 + cov(r 1, r 2 )y 2 cov(r 2, r 1 )y 1 + cov(r 2, r 2 )y 2 [ ] cov(r1, r 1 y 1 + r 2 y 2 ) cov(r 2, r 1 y 1 + r 2 y 2 )

CAPM 推导 3:log 效用 考虑一个禀赋经济, 对数效用下定价方程为 Pt m = E t [Σ Ct j=1βj C t+j Rt+j m ] = β 1 β C t, 其中 Rt+j m = C t+j, 这里的资产代表对未来消费品的请求权

CAPM 推导 3:log 效用 考虑一个禀赋经济, 对数效用下定价方程为 Pt m = E t [Σ Ct j=1βj C t+j Rt+j m ] = β 1 β C t, 其中 Rt+j m = C t+j, 这里的资产代表对未来消费品的请求权 Rt+1 m = Pm t+1 +C t+1 Pt m = 1 C t+1 β C t = 1/m t+1 m t+1 = 1/Rt+1 m = f (Rm t+1 ), 这是一个非线性的 CAPM

CAPM 推导 3:log 效用 考虑一个禀赋经济, 对数效用下定价方程为 Pt m = E t [Σ Ct j=1βj C t+j Rt+j m ] = β 1 β C t, 其中 Rt+j m = C t+j, 这里的资产代表对未来消费品的请求权 Rt+1 m = Pm t+1 +C t+1 Pt m = 1 C t+1 β C t = 1/m t+1 m t+1 = 1/Rt+1 m = f (Rm t+1 ), 这是一个非线性的 CAPM 可以证明, 如果收益率服从正态分布, 可以线性化任一非线性模型 m t+1 = f (R m t+1 ) 为 m = E[f (R m )]+E[f (R m )][R m E(R m )] 利用这个公式可以得到对数效用下的线性 CAPM:m t+1 = E(1/R m t+1 ) E[(1/Rm t+1 )2 ][R m t+1 E(Rm t+1 )]

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一价定律 一价定律 (LOP):p(ax 1 + bx 2 ) = ap(x 1 ) + bp(x 2 )

一价定律 一价定律 (LOP):p(ax 1 + bx 2 ) = ap(x 1 ) + bp(x 2 ) 可以证明 ( 利用 Riesz representation theorem), 如果 LOP 成立, 则存在一个唯一的收益率水平 m, 满足 p = E(mx), 即 m 等价于随机折现因子

一价定律 一价定律 (LOP):p(ax 1 + bx 2 ) = ap(x 1 ) + bp(x 2 ) 可以证明 ( 利用 Riesz representation theorem), 如果 LOP 成立, 则存在一个唯一的收益率水平 m, 满足 p = E(mx), 即 m 等价于随机折现因子 假设收益率空间的基是 x = [x 1 x 2... x n ], 则 m 是一个收益率意味着 m = c x p = E(mx) = E(c xx) = E(xx c)( 这里我们用到了 m 是一个标量, 所以 m =m)

一价定律 一价定律 (LOP):p(ax 1 + bx 2 ) = ap(x 1 ) + bp(x 2 ) 可以证明 ( 利用 Riesz representation theorem), 如果 LOP 成立, 则存在一个唯一的收益率水平 m, 满足 p = E(mx), 即 m 等价于随机折现因子 假设收益率空间的基是 x = [x 1 x 2... x n ], 则 m 是一个收益率意味着 m = c x p = E(mx) = E(c xx) = E(xx c)( 这里我们用到了 m 是一个标量, 所以 m =m) 因此 c = E(xx ) 1 p, m = c x = [E(xx ) 1 p] x = p E(xx ) 1 x

套利定价模型 采用因子分析可以把不同股票收益率分解成共同的和个别的部分 R i E(R i ) = Σ N j=1 β ijf j + e i E(e i ) = E(e i f j ) = 0

套利定价模型 采用因子分析可以把不同股票收益率分解成共同的和个别的部分 R i E(R i ) = Σ N j=1 β ijf j + e i E(e i ) = E(e i f j ) = 0 暂不考虑个体误差项, 则根据一价定律 : R i E(R i ) = Σ N j=1 β ijf j p(r i ) = E(R i )p(1) + β i p(f )

套利定价模型 采用因子分析可以把不同股票收益率分解成共同的和个别的部分 R i E(R i ) = Σ N j=1 β ijf j + e i E(e i ) = E(e i f j ) = 0 暂不考虑个体误差项, 则根据一价定律 : R i E(R i ) = Σ N j=1 β ijf j p(r i ) = E(R i )p(1) + β i p(f ) p(r i ) = 1, p(1) = 1/R f E(R i ) = R f + β i [ Rf p(f )] R f + β i λ

套利定价模型 采用因子分析可以把不同股票收益率分解成共同的和个别的部分 R i E(R i ) = Σ N j=1 β ijf j + e i E(e i ) = E(e i f j ) = 0 暂不考虑个体误差项, 则根据一价定律 : R i E(R i ) = Σ N j=1 β ijf j p(r i ) = E(R i )p(1) + β i p(f ) p(r i ) = 1, p(1) = 1/R f E(R i ) = R f + β i [ Rf p(f )] R f + β i λ 把 ˆf = [1 f ] 当成收益率向量, 则根据上张 ppt, 存在 m = p(ˆf ) E(ˆf ˆf ) 1 ˆf = a + b f, 且 p(ˆf ) = E(m ˆf )

套利定价模型的局限 考虑个体误差项,APT 变为 : p(r i ) = E(R i )p(1) + β i p(f ) + p(ei ), p(e i ) = E(me i )

套利定价模型的局限 考虑个体误差项,APT 变为 : p(r i ) = E(R i )p(1) + β i p(f ) + p(ei ), p(e i ) = E(me i ) 容易看出, 如果可以假定 m 是一个常数, 则随着个体资产数目的增加, 最后一个项目就消失了, 精确 APT 可以很好的完成定价工作 然而这个假设是不成立的 问题的关键是 e i 并不在定价因子所生成的支付空间内 the effort to extend prices from an original set of securities to new payoffs that are not exactly spanned by the original set of securities, using only the law of one price, is fundamentally doomed. Cochrane

套利定价模型的局限 f* β i f ε i x i All m m > 0 m: σ 2 (m) < A m Source: Cochrane (2000)

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因子定价模型的回归检验 前面我们指出各种因子定价模型其实是基于消费的 CAPM 的近似, 而该模型的特点之一是可以写成 E(R i ) R f = βλ 这提供了模型检验的基础 常见的基于回归方法的检验有两种 时间序列回归 横截面回归

时间序列检验 = α i + β i f t + et i 如果理论是正确的, 那么 α i = 0 R ei t 常规的 t 检验可以用于对单个资产或资产组合的假设检验 更常见的做法是把所有股票按一定标准分组, 对每个组的资产组合回报进行时间序列回归 然后检验每个回归中 α i 均为 0 的联合假设 大样本检验 :T [1 + E T (f ) ˆσ(f ) ] 1 ˆαˆΣ 1 ˆα χ 2 N 小样本检验 : T N 1 N [1 + E T (f ) ˆσ(f ) ] 1 ˆαˆΣ 1 ˆα F (N, T N 1) 多因素情形 : T N K N [1 + E T (f ) ˆΩ(f ) 1 E T (f )] 1 ˆαˆΣ 1 ˆα F (N, T N K) (GRS 检验 )

时间序列检验实例 从 http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ ken.french/data_library.html 下载美国数据 在 25 Portfolios Formed on Size and Book-to-Market (5 x 5) 中可以找到全美股票的 25 个投资组合的收益率 在 Fama/French Factors 中可以找到市场收益率和无风险收益率

时间序列检验实例 :stata 界面

时间序列检验实例 : 数据整理 forvalues i = 2/26 { local s= i -1 rename v i r s } rename v1 month local N = 25 forvalues i = 1/ N { qui gen re i = r i - rf }

时间序列检验实例 : 回归与检验 tsset month qui sureg re* = rm rf // Wald test test cons // F test local T = 1053 local N = 25 qui sca grsw = r(chi2) qui sca tmp0 = ( T - N -1)/ N qui sca tmp1 = grsw/ T sca grsf = tmp0 * tmp1 sca pvf = Ftail( N, T - N -1,grsF) di grsf di pvf

横截面回归检验 回顾时间序列回归 Rt ei = α i + β i f t + et i E T (R ei ) = E T (α i ) + β i λ + α i, λ E T (f t ), α i E T (et) i 如果理论是正确的, 那么 E T (α i ) = 0, 且回归残差 α i = 0 CAPM 中 f = R m R f 检验分两步进行 利用时间序列回归, 得出每个资产或资产组合的 β 值, 同时求每个资产或资产组合的回报率的时间序列均值 均值回报率对 β 做横截面回归 ( 无截距项 ), 以此为基础检验 α i = 0 检验的公式为 ˆ α cov(ˆ α) 1 ˆ α χ 2 N 1, 其中 α 是 α i 组成的向量 ; cov(ˆ α) = (I β(β β) 1 β )E( α α )(I β(β β) 1 β ) = I β(β β) 1 β ) E(et)(e t ) T (I β(β β) 1 β ),e t = [et 1 et 2... et N ]

Fama-French.do - Printed on 2014/5/23 13:11:15 37 local N=25 38 matrix beta=j(n, 1, 0) 39 forvalues i=1/`n'{ 40 qui reg re`i' rm_rf 41 qui predict e`i', r 42 matrix beta[`i', 1]=_b[rm_rf] 43 } 44 qui cor e1-e`n', cov 45 matrix Sigmaa = r(c) / (_N-1) 46 matrix I=I(`N') 47 matrix Cova=(I-beta*invsym(beta'*beta)*beta')*Sigmaa*(I-beta*invsym(beta'*beta)*beta')/(_N -1) 48 reshape long re, i(month) j(portfolio) 49 sort portfolio 50 statsby _b, by(portfolio) saving ("E:\work\teaching\money and finance\finance lecture2\illus\fama-french1:dta", replace) : reg re rm rf 51 collapse (mean) re, by(portfolio) 52 merge 1:1 portfolio using "E:\work\teaching\money and finance\finance lecture2\illus\fama-french1:dta" 53 qui reg re _b_rm_rf,noconstant 54 qui predict alpha, r 55 mkmat alpha, matrix(alphahat) 56 matrix olsstats=alphahat'*invsym(cova)*alphahat 57 sca olsstatss=olsstats[1, 1] 58 di as text "OLS CAPM test statistics = " as res olsstatss 横截面回归检验 : 实例 根据第一步时间序列回归结果计算 cov(ˆ α)

37 local N=25 38 matrix beta=j(n, 1, 0) 横截面回归检验 39 forvalues i=1/`n'{ : 实例 40 qui reg re`i' rm_rf 41 qui predict e`i', r 42 matrix beta[`i', 1]=_b[rm_rf] 43 } 44 qui cor e1-e`n', cov 结合第二步横截面回归结果计算检验统计量 45 matrix Sigmaa = r(c) / (_N-1) 46 matrix I=I(`N') 47 matrix Cova=(I-beta*invsym(beta'*beta)*beta')*Sigmaa*(I-beta*invsym(beta'*beta) -1) 48 reshape long re, i(month) j(portfolio) 49 sort portfolio 50 statsby _b, by(portfolio) saving ("E:\work\teaching\money and finance\finance lecture2\illus\fama-french1:dta", replace) : reg re rm rf 51 collapse (mean) re, by(portfolio) 52 merge 1:1 portfolio using "E:\work\teaching\money and finance\finance lecture2\illus\fama-french1:dta" 53 qui reg re _b_rm_rf,noconstant 54 qui predict alpha, r 55 mkmat alpha, matrix(alphahat) 56 matrix olsstats=alphahat'*invsym(cova)*alphahat 57 sca olsstatss=olsstats[1, 1] 58 di as text "OLS CAPM test statistics = " as res olsstatss 59 local pval=chi2tail(`n'-1, olsstatss) 60 di as text "OLS CAPM p value = " as res pval 61

横截面回归检验 : 实例 reshape long re, i(month) j(portfolio)

横截面回归检验 : 实例 前面程序的主要结果如下 Gibbons Ross Shanken test (Wald Version) = 80.131594 p-value = 1.088e-07

横截面回归检验 : 实例 前面程序的主要结果如下 Gibbons Ross Shanken test (Wald Version) = 80.131594 p-value = 1.088e-07 Gibbons Ross Shanken test (F Version) = 3.1261214 p-value = 4.507e-07

横截面回归检验 : 实例 前面程序的主要结果如下 Gibbons Ross Shanken test (Wald Version) = 80.131594 p-value = 1.088e-07 Gibbons Ross Shanken test (F Version) = 3.1261214 p-value = 4.507e-07 OLS CAPM test statistics = 83746.451 OLS CAPM p value = 1.088e-07

横截面回归检验 : 注意事项 如果不同资产的时间序列回归残差之间存在相关, 则 OLS 回归不是最有效的, 可以用 GLS 回归来作检验, 进而提高检验效率 具体步骤参见 Cochrane(2000)

横截面回归检验 : 注意事项 如果不同资产的时间序列回归残差之间存在相关, 则 OLS 回归不是最有效的, 可以用 GLS 回归来作检验, 进而提高检验效率 具体步骤参见 Cochrane(2000) 由于第二步回归中的解释变量是回归生成的, 因而不是固定的, 这导致前述方法的偏误 Cochrane(2000) 指出对于年度数据而言, 这种偏误可能是很大的 对于月度数据而言, 问题不大

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CAPM 与股票的期权价值 前面的结果表明 CAPM 的被数据所拒绝

CAPM 与股票的期权价值 前面的结果表明 CAPM 的被数据所拒绝 然而, 无论是在学界还是业界它都仍然很流行

CAPM 与股票的期权价值 前面的结果表明 CAPM 的被数据所拒绝 然而, 无论是在学界还是业界它都仍然很流行 Da et al. (2012) 的解释是通常的检验忽略了股票的期权价值 股票的购买者不仅获得了企业现有项目的收益的请求权, 还获得了修改现行项目或者开新项目的权利

Table 4 of Da et al. 2012 Model Constant Beta Beta_ MKT Beta_ SMB Beta_ HML Ast_gw Inv Lret Sue Momt Adj R 2 1 0.0078 0.0001 2.61% (4.21) ( 0.09) 2 0.0084 0.0003 0.0082 2.83% (4.57) (0.21) ( 3.79) 3 0.0084 0.0001 0.0098 2.83% (4.42) (0.09) ( 2.57) 4 0.0081 0.0001 0.0012 3.00% (4.50) ( 0.04) ( 2.08) 5 0.0072 0.0002 0.0015 3.00% (3.90) ( 0.12) (6.59) 6 0.0066 0.0004 0.0075 3.71% (3.71) ( 0.34) (5.28) 7 0.0067 0.0002 0.0004 0.0022 4.15% (4.19) (0.21) (0.46) (2.64) 8 0.0074 0.0005 0.0004 0.0018 0.0068 4.31% (4.62) (0.47) (0.53) (2.29) ( 3.78) 9 0.0073 0.0004 0.0004 0.0019 0.0082 4.32% (4.39) (0.39) (0.53) (2.36) ( 2.45) 10 0.0071 0.0004 0.0002 0.0018 0.0009 4.46% (4.57) (0.36) (0.25) (2.29) ( 2.19) 11 0.0061 0.0001 0.0006 0.0024 0.0015 4.49% (3.71) (0.12) (0.70) (2.94) (7.26) 12 0.0056 0.0000 0.0003 0.0023 0.0068 5.03% (3.53) ( 0.05) (0.45) (3.15) (5.20)

Table 5 of Da et al. 2012 Model Constant Beta Beta_ MKT Beta_ SMB Beta_ HML Ast_gw Inv Lret Sue Momt Adj R 2 (%) 1 0.0020 0.0042 3.90 (3.14) (3.35) 2 0.0021 0.0046 0.0043 4.08 (3.38) (3.98) ( 2.34) 3 0.0020 0.0045 0.0048 4.09 (3.25) (3.74) ( 1.49) 4 0.0019 0.0044 0.0004 4.16 (3.60) (3.67) ( 0.94) 5 0.0016 0.0035 0.0016 4.10 (2.78) (2.79) (9.75) 6 0.0014 0.0031 0.0080 4.78 (2.61) (2.66) (6.52) 7 0.0016 0.0041 0.0017 0.0009 4.97 (3.06) (3.58) (1.98) (1.43) 8 0.0017 0.0045 0.0018 0.0007 0.0041 5.12 (3.33) (4.24) (2.17) (1.13) ( 2.32) 9 0.0017 0.0044 0.0018 0.0007 0.0047 5.12 (3.18) (4.00) (2.15) (1.15) ( 1.65) 10 0.0016 0.0044 0.0017 0.0007 0.0005 5.19 (3.53) (4.05) (1.92) (1.21) ( 1.21) 11 0.0013 0.0034 0.0016 0.0009 0.0016 5.15 (2.66) (2.96) (1.86) (1.51) (9.82) 12 0.0011 0.0031 0.0014 0.0007 0.0073 5.67 (2.48) (2.85) (1.71) (1.40) (6.21)

Fama-French 三因素模型