3-13 T型斷面梁之分析(ref

第三章 梁斷面之設計與分析 3-1 五個基本假設 : (ref.p3-1, 第 416 條 ) 1. 2. 3. 4. 5. 華特氏 (Whitney)---- 等值矩形應力塊 : 魏尼氏 (ref.p3-14,p3-15) 當 R.C. 斷面在極限彎矩作用時, 於混凝土抗壓區中, 以矩形應力分佈取代實際拋物線形應力分佈 取代原則 : 總壓應力大小不變 總壓應力作用位置不變 如圖 a=β1.x (ref. P3-14) fc'(kg/cm 2 ) β1 140 0.85 210 0.85 280 0.85 350 0.8 420 0.75 >560 0.65( 最小值 ) 3-1

3-2 單筋矩形斷面之平衡鋼筋比 ρb(ref.p3-15) 單筋 矩形斷面 平衡狀態 :(ref.p3-17) 鋼筋比 ρ ρb 之推導 (ref.p3-16) 由應變圖中 由應力圖中 T=C 3-2

影響 ρb 之因素 : 例 1: fc'=350kg/cm 2,fy=3500kg/cm 2 ρb= 例 2: fc'= 210kg/cm 2,fy=3500kg/cm 2 ρb= 今將斷面之 ρ與 ρb 比較 : 當 ρ=ρb 時 : ( 平衡破壞,ref.P56) 當 ρ>ρb 時 : ( 壓力破壞, 脆性破壞,ref. P3-19) 當 ρ<ρb 時 : ( 拉力破壞, 韌性破壞,ref. P3-17) 材料特性 : 混凝土材料 鋼筋材料 --- 屬脆性材料, 變形小, 破壞時無預警 --- 屬延性材料, 變形大, 破壞時產生大變形 ( 有預警作用 ) 故一般 R.C. 梁之設計規範規定均以 ( ) 為考慮 3-3

鋼筋量之限制 : (ref.p3-18) 最大鋼筋比 ρmax=0.75ρb 原因 : 14 0.8 fc' 最小鋼筋比 ρmin=max(, ) 原因 : fy fy 最大鋼筋量 Asmax=(0.75ρb) bd 14 0.8 fc' 最小鋼筋量 Asmin= Max(.bd,.bd) fy fy 2 例 1: fc'=350kg/cm,fy=3500kg/cm 2 最大鋼筋比 ρmax= 最小鋼筋比 ρmin = 例 2: fc'=210kg/cm 2,fy=3500kg/cm 2 最大鋼筋比 ρmax= 最小鋼筋比 ρmin = 於上二例中, 若 b=35cm,d=50cm 求其 : 最大鋼筋量, 最小鋼筋量 一般而言,R.C. 梁之問題可分為兩大類 : 分析型 已知 : 材料強度, 斷面尺寸, 鋼筋量 求 : 斷面所能抵抗之彎矩 (M) 設計型 3-4

已知 : 材料強度, 斷面所需抵抗之彎矩 (M) 求 : 斷面尺寸, 鋼筋量 3-5

3-3 單筋矩形斷面之分析已知 : 材料強度, 斷面尺寸, 鋼筋量 求 : 斷面所能抵抗之彎矩 (M) 步驟 : 1. 求 ρ 2. 求 ρb,ρmin 3. 判斷 : ρ=ρb --- 平衡破壞 ρmin ρ<ρb ρ>ρb ρ<ρmin --- 拉力破壞 --- 壓力破壞 --- 突然脆性破壞 4. Mn 之推求 : 拉力破壞 ( 包括平衡破壞之推求亦相同 ) 求 a 值由 C=T 0.85fc'ab= Asfy a= 求 Mn Mn=Cc(d-a/2)= =T(d-a/2)=Asfy(d-a/2) = = = Md=φMn= ρ>ρb(ref.p3-19) 利用應變圖 3-6

εs/d-x=0.003/x εs =( 由力平衡 d x )0.003 x Cc=T 求得 x a=β1x,εs=, fs=es.εs Mn = Cc(d- a/2) = T(d- a/2) ρ<ρmin--- 突然脆性破壞 Mn=Mcr=(fr)(St)=(2 fc')( 6 1 bh 2 ) 分析型例題 : 3-7

例 1(ref.P3-22,ref.P3-23) 例 2(ref.P3-23) 例 3(ref.P3-23) 討論 : (ref.p3-24) 表 3.3.7.1 例 4(ref.P3-24) 例 5(ref.P3-25) 例 6(ref.P3-27) 例 7(ref.P3-28) 3-8

3-4 單筋矩形斷面之設計 CaseA: 已知 : 材料強度, 斷面尺寸, 斷面所需抵抗之彎矩 (Mu) 求 : 鋼筋量 步驟 : 1. 計算臨界斷面之需要彎矩 Mu Mn 2. 求 ρ 由 Mu=φρfybd 2 (1-0.59ρfy/fc')----(1) 或 Mn=ρfybd 2 (1-0.59ρfy/fc')------(2) 代入數值求得 ρ 值或經由解文字方程所得之公式求 ρ 由 (2) 式 : Mn=ρfybd 2 (1-0.59ρfy/fc') Mn=ρfybd 2 (1-1/2ρfy/0.85fc') 令 Rn=Mn/bd 2,m=fy/0.85fc' ρ=1/m(1-1-(2mrn/fy) ) 3. 檢核 : 先求 ρb,ρmax,ρmin (a) 若 ρ<ρmin, 則 As=Min(ρmin, 3 4 ρ) bd (b) 若 ρmin ρ ρmax, 則 As=ρbd (c) 若 ρmax<ρ, 則必須採用雙筋設計 4. 選用鋼筋 : As 選用 As 計算 (ref.pc4) bmin b 已知 (ref.pc4) 3-9

設計型例題 : 例 8(ref.P3-28) CaseB: (ref.p3-20) 已知 : 材料強度, 斷面所需抵抗之彎矩 (Mu) 求 : 斷面尺寸, 鋼筋量 步驟 : 1. 計算臨界斷面之需要彎矩 Mu Mn 2. 計算 ρmax, 取 ρ=0.5ρmax ( 工程界習慣 ) 代 Rn=Mn/bd 2 1 =ρfy(1- ρm), 可得 Rn( 或 bd 2 ) 2 3. 選取適當 b,d { 一般 d=(1.5~2.0)b} 再代入下式 : Mn=ρfybd 2 (1-0.59ρfy/fc') 求得 ρ 修正值 4.As=ρ 修正.bd 例 9(ref.P3-29) 例 10(ref.P3-30) 第三章習題 1(ref.P389~P390,1~9 題 ) 3-10

3-5 雙筋矩形斷面之平衡鋼筋比 ρb(ref.p3-33) 配置壓力鋼筋之功用 : 1. 當單筋梁斷面之尺寸受限制, 無法產生足夠之彎矩時, 則需考慮雙筋設計 2. 可用來固定剪力鋼筋防止施工中造成移動 3. 可以減少由於潛變與收縮所產生之長期撓度 4. 可防止意外載重所造成之破壞 平衡鋼筋比 ρb 之推導 :(ref.p3-33) ( 此時壓力鋼筋未必達到降伏點 fy) 雙筋矩形梁之拉力鋼筋比 ρ= As/bd 雙筋矩形梁之壓力鋼筋比 ρ'=as'/bd 由應變圖中 由應力圖中 3-11

ρb=ρb + ρ' fsb' fy 上式中 fsb' 為平衡破壞時壓力鋼筋之應力 其值可由下式推算求之 : (ref.p3-35) 6120 + fy fsb'= 6120 d ' fy d 雙筋矩形斷面之最大鋼筋比 ρmax 最大鋼筋比 ρmax=0.75ρb+ρ'fsb'/fy (ref.p3-35) 當 fsb'=fy 時,ρmax=0.75ρb+ρ' 最小鋼筋比 ρmin=max(14/fy,0.8 fc'/fy) 3-12

3-6 受壓鋼筋達降伏之條件式 (ref.p3-36) ( 在拉力破壞時, 受壓鋼筋達降伏之最小拉力鋼筋比 ρy) ρy( 有些書用 ρc,min) 之推導 : 由應變圖中 由應力圖中 fc' d' ρy= 0.85β 1( )( ) ( fy d 6120 6120 )+ρ' fy 以 ρy 作為判斷雙筋矩形斷面梁產生拉力破壞時, 其 壓力筋是否達到降伏的準則 ρ ρy ρ< ρy 產生拉力破壞時,fs'=fy 產生拉力破壞時,fs'<fy 3-13

(ref.p3-37 表 3.4.5.1) 3-14

3-7 雙筋矩形梁斷面分析 (ref.p3-37,p3-38) 已知 : 材料強度, 斷面尺寸, 鋼筋量 求 : 斷面所能抵抗之彎矩 (Mn) 步驟 : 1. 求 ρ,ρy,ρb 2. 依照拉力筋及壓力筋是否降伏, 可分為六種類型, 如下 : A. ρ=ρb( 平衡破壞 ) fs=fy ρ ρy 壓力鋼筋已降伏 fs=fy,fs'=fy ρ<ρy 壓力鋼筋未降伏 fs=fy,fs'<fy 由 fsb'=6120-(6120+fy)/d.d' fy 求得 fs' 值 B. ρ<ρb( 拉力破壞 ) fs=fy ρ ρy 壓力鋼筋已降伏 (ref. 例 11,16) fs=fy,fs'= fy 由 Cc+Cs=T 求得 a 值利用雙力偶矩得 Mn=Cc(d- a/2)+cs(d-d') ρ<ρy 壓力鋼筋未降伏 (ref. 例 12) 3-15

fs=fy,fs'=es.εs' 由應變圖得 εs'=(x-d')/x.0.003 由 Cc+Cs=T 求得 X,a 值利用雙力偶矩得 Mn=Cc(d- a/2)+cs(d-d') C. ρ>ρb( 壓力破壞 ) fs<fy ρ ρy 壓力鋼筋已降伏 (ref. 例 13) fs=es.εs,fs'=fy, 由應變圖得 εs=(d-x)/x.0.003 由 Cc+Cs=T 求得 X,a 值利用雙力偶矩得 Mn=Cc(d- a/2)+cs(d-d') ρ<ρy 壓力鋼筋未降伏 (ref. 例 14) fs= Es.εs,fs'=Es.εs' 由應變圖得 εs=(d-x)/x.0.003 由應變圖得 εs'=(x-d')/x.0.003 由 Cc+Cs=T 求得 X,a 值利用雙力偶矩得 Mn=Cc(d- a/2)+cs(d-d') 例 11.(ref.P91,P92) 例 12.(ref.P91,P94) 例 13.(ref.P91,P95) 例 14.(ref.P91,P96) 例 16.(ref.P98) 3-16

3-8 雙筋矩形梁斷面設計 (ref.p3-38) 雙筋矩形梁斷面設計時拉力鋼筋比之規範規定 : ρmin=max(14/fy,0.8 fc'/fy) ρ ρmax=0.75ρb+ρ'fsb'/fy 確保拉力破壞已知 : 材料強度, 斷面尺寸, 斷面所需抵抗之彎矩 (Mu) 求 : 鋼筋量 步驟 : 1. 先求 Wu Mu Mn 2. 先依單筋矩形梁設計之 由 Mn= 求得 ρ,ρmax 判斷 : ρ ρmax 依單筋矩形梁設計之 ρ>ρmax 依單雙矩形梁設計之, 步驟如下 : 3. 求 ρ=ρmax 時之單筋矩形梁所能抵抗之標稱彎矩 Mn1 值 Mn1=ρmax fybd 2 (1-0.59ρmaxfy/fc') 並由 C=T 求出 a =,X=a/β1 As1=ρmaxbd 4. 需由壓力筋抵抗之彎矩 Mn2=Mn-Mn1, 然後由此求出壓力筋 (As') 與拉力筋 (As2) 之鋼筋面積 拉力筋 As2=Mn2/fy(d-d') 圖 總拉力筋 As=As1+As2 壓力筋 As' 之決定 : 1 As'.fs'= As2.fy 或 2 As'=Mn2/fs'(d-d') 3-17

由應變圖得壓力筋之 εs'=(x-d')/x.0.003 εs'<εy fs'=es.εs' εs' εy fs'=fy 則 1 As'=As2.fy/fs' 或 2 As'=Mn2/fs'(d-d') 5. 檢核 ρmin ρ ρmax( 確保拉力破壞 ) 例 15.(ref.P97) 第三章習題 2(ref.P390~P391,10~13 題 ) 3-18

3-9 T 型斷面有效翼版寬度計算 (ref.p99) T 型斷面之形成一般房屋構造之設計理念施工過程 有效翼版寬度 b,be 腹版寬度 bw 圖 規範對於有效翼版寬度之規定 :(ref.p100) 雙翼 T 型梁 單翼 T 型梁 獨立 T 型梁 例 1: 已知雙翼 T 型梁 bw=25cm,d=40cm,h=7.5cm, 跨度 L=4.3m, 梁與梁之間距 S=1.5m, 求其有效翼版寬度 b 值 例 2: 上例若改為單翼 T 型梁, 求其有效翼版寬度 b 值 3-10 T 型梁之中性軸 (ref.p101) 3-19

若 a t 則以矩形斷面分析 a>t 則以 T 形斷面分析 3-11 T 型梁之平衡鋼筋比 ρwb(ref.p101) ρwb 之推導 :(ref.p101) ρ=as/bd ρw=as/bwd ρf=asf/bwd 圖 (ref.p102) 由應變圖中 由應力圖中 ( 此時分割 T 形斷面為兩部份 ) 即 Ac As CON: Af Asf :STEEL ( 壓力 ) Aw Asw ( 拉力 ) 其相對應之部份形成力平衡 ( 即壓力等於拉力 ) ρwb=ρb+ρf 3-12 T 型梁之鋼筋比 ρw 之限制 (ref.p103) 規範對於 T 型梁設計用最大鋼筋比為 : 3-20

ρw,max=0.75ρwb =0.75(ρb+ρf) 同時對受拉鋼筋設計用最小鋼筋比為 : (a)ρmin=as/bwd=1.59 fc'/fy (b) 如梁翼為受拉時 ρmin=as/bd=0.8 fc'/fy 但不得小於 14/fy (c) 如斷面實際使用之鋼筋量大於分析所需要鋼筋量多 1/3 以上時, 可以不考慮 (a) 及 (b) 式 3-13 T 型斷面梁之分析 (ref.p103) 已知 : 材料強度, 斷面尺寸 (b,bw,d,t), 鋼筋量求 : 斷面所能抵抗之彎矩 (Mn) 步驟 : 1. 計算有效梁翼寬度 b 2. 決定斷面是否屬於 T 型梁計算中性軸位置, 先假設 fs=fy 則由 C=T 得 a= 如 a t 則以 b x d 矩形梁分析之, 此時之 a 值為真實值, 可用於矩形斷面分析中 ρmin ρ ρb 時 Mn=Asfy(d-a /2) 如 a>t 則以 T 形梁分析之, 步驟如下 : 此時之 a 值非 T 形梁之真實 a 值, 故不可使用於 T 形梁斷面分析中, 應經由分析才可求得真實 a 值 3. 計算平衡鋼筋比 ρwb, 即 Asf= ρf=asf/bd 3-21

ρb= ρwb=(ρb+ρf) 4. 檢查受拉鋼筋是否降伏如 ρwb ρw 則 fs=fy 步驟 2. 之假設正確如 ρwb<ρw 則 fs<fy ( 壓力破壞 ) 須使用應變一致性與平衡條件分析 5. 如 ρwb ρw 則將 CON 受壓區分為兩部份 Af,Aw 利用 C=T 求出真實的 a 值 Mnf=Asf fy(d-t/2) a 真實 =(As-Asf)fy/0.85fc' Mnw=(As-Asf)fy(d-a 真實 /2) Mn=Mnf + Mnw Mu= 例 17(ref.P106) 例 18(ref.P109) 例 19(ref.P111) 例 20(ref.P112) 3-22

3-14 T 型斷面梁之設計 (ref.p105) 已知 : 材料強度, 斷面尺寸 (b,bw,d,t), 斷面所需抵抗之彎矩 (Mu) 求 : 鋼筋量步驟 : 1. 計算有效梁翼寬度 b 2. 判斷是否屬於 T 型斷面設計當等值矩形應力塊深度等於翼版厚度 (a =t) 時求出該斷面所能承受之彎矩 Mc Mc=0.85fc'bt(d-t/2) 此時 Mc 為所有矩形斷面所能抵抗之最大標稱彎矩 3. 若 Mn Mc 按矩形斷面設計 (b x d) Mn=ρfybwd 2 (1-0.59ρfy/ fc') Check: ρmin ρ ρmax As=ρbd 4. 若 Mn>Mc 按 T 形斷面設計, 如下 : 將 T 形斷面分為兩部份 Af,Aw Af: 由 Cf=Tf 得 Asf fy=0.85fc'(b-bw)t 得 Asf= Mf=Asffy(d-t/2) Aw: Mnw=Mn-Mnf=0.85 fc' a bw(d- a /2) 3-23

a = 由 Cw=Tw 得 Aswfy=0.85 fc' a bw Asw= As=Asf+Asw 5. 檢核是否滿足規範要求 : 即 As,min As As,max 或 ρmin ρw ρw,max=0.75ρwb 例題 21 已知一 T 形斷面 b=100cm,bw=35cm,d=50cm,t=12cm,fc'=280kg/cm 2,fy=3500 kg/cm 2, 承受 Mu=105t-m 求所需之 As 值 例題 22 如上例之斷面尺寸,Mu=120t-m, 求所需之 As 值 3-24

3-15 鋼筋間距與保護層 間距梁柱 保護層功用 : 最小保護層規定梁柱版基腳 Δ=h-d= 2 1 db+ds+p 最小梁寬 (bmin) bmin=2p+2ds+ndb+(n-1)s 第三章習題 3(ref.P391~P392,14~18 題 ) 3-25