第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法 向量与数的乘法 一 判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向 二 填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-) 在坐标面上的投影点是 M (,,-). 点 (,-,) 关于的对称点是 M(,-,-). 设向量 与 有共同的始点, 则与, 共面且平分 与 的夹角的向量为. 已知向量 与 方向相反, 且, 则 由 表示为 6. 设, 有共同的始点, 则以, 为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 三 选择题. 点 (,-,) 到轴的距离为 o (A) (C) (B) (D) ( ). 已知梯形 OABC CB //OA 且 CB OA 设 OA,OC, 则 AB (A) (B) (C) (D). 设有非零向量,, 若, 则必有
(A) (B) (C) < (D) > 三 试证明以三点 A(,,9) B(,-,6) C(,,) 为顶点的三角形为等腰直 角三角形 四 在 o 平面上求与三个已知点 A(,,) B(,-,-) C(,,) 等距离的点 D 六 用向量方法证明 : 三角形两边中点的连线平行与第三边, 且长度为第三边的一半
7. 向量的坐标 一 判断题. 若一向量在另一向量上的投影为零, 则此二向量共线. 零向量在任一轴上投影为零. 设向量 的方向角 α, 则 必垂直于 o 面. 若 α β γ 是向量 的方向角, 则 {cosα,cos β,cosγ } 是单位向量. 若 {,, }, 则平行于向量 的单位向量为 { 二 填空题 π. 设, 与轴 l 的夹角为, 则 prj l 6. 已知向量 {,-,7} 的终点坐标为 (,-,7), 则 的始点坐标为,, }. 设三角形的三个顶点 A(,-,) B(,,-6) C(-,,), 则 AB 边的中点坐标为, Δ ABC 的重心坐标为. 已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A(,-,-) B(-,,) 以及它的对角线交 点 E(,-,7), 则顶点 C 的坐标为, 则顶点 D 的坐标为. 设向量 与坐标轴正向的夹角为 α β γ, 且已知 α 6, β 则 γ 6. 设 的方向角为 α β γ, 满足 cosα 时, 垂直于坐标面 三 设 A(,,) B(,,), 求 AB 的方向余弦及与 AB 反向的单位向量 五 已知 OA{,-,6},OB {-,,-} OD 为 AOB 的平分线, 在 OD 上求一长度 为 的向量 五 设 F {,,-} F {-,,} F {,-,} 这三个力作用于点 P(,,), 它们的合力为 F PQ, 求 :() 点 Q 的坐标 () PQ 的大小 () PQ 的方向余弦
一 判断题 7. 数量积向量积混合积. ( ). ( ). 若 c 且, 则 c. 若, 则. 6. 7.[ c ][ c ] 8. 当 时,[ c ] 9. 若 c 满足 c, c, 则 c 两两垂直. 设非零向量, 的方向角分别为 α, β, γ 和 α, β, γ 二 填空题. 设 ( ) cos (, cosα cosα cos β cos β cosγ cosγ π,, 8, 则. 若, 9, 则 π. 若 ( ), 且, 则. 已知, 6, 7, 则. 三向量,, c 的混合积 [,, c] 的几何意义是 6. 设 {,,}, {,, }, 则 Prj 7. 设 {,,}, {,6, }, 则 ( ) 8. 设, 为不共线向量, 则当 λ 时 P λ 与 Q 共线 三 选择题. 设空间三点的坐标分别为 M(,-,) N(-,,-) P(-,-,) 则 MNP 则
π (A) π (B) (C) π (D) π. 下列结论正确的是 (A) (B) 若 则必 或 (C) c ( ) c (D) 若, 且 c 则 c. 设 {,,}, {,,}. 若 //, 则 (A). 6 (B) -. -6 (C) -7 (D) - - 四 设 {,,}, {,, }, 求与 均垂直的单位向量 五 设向量 {,, } {,,} c {,, }, 向量 d 与, c上的投影是, 求向量 d. 均垂直, 且在向量 六 应用向量证明 : 当 时, ( )( ) ( ) 七 设 AD 为 Δ ABC 中 BC 边上的高, 记 BA c. BC. 证明 : S ΔABD c c
7. 曲面及其方程 一 填空题. 设点 P(,-,) 在曲面 - 上, 则.. 以原点为球心, 且过点 P(,,) 的球面方程是. 设球面的方程为 --, 则该球面的球心坐标是, 球面的 半径为. 将 o 面上的抛物线, 绕 o 轴旋转而成的曲面方程是. 圆锥为 的半顶角 α 6. 方程 表示的曲面是曲线平行与 轴的 柱面 7. 方程 在平面解析几何中表示 而在空间解析几何中表示 二 选择题. 设球面的方程是 DEFG, 若该球面与三个坐标系都相切, 则方程 的系数应满足条件 (A) DEF (B) D E F 6G (C) D E F 6G (D)G.XOZ 坐标面上的直线 - 绕 o 轴旋转而成的圆锥面的方程是 (A) - (B) (C) ( ) ( D ) ( ). 方程 在空间表示 (A) YOZ 坐标面 (B) 一个点 (C) 一条直线 (D) 与 YOZ 面平行的平面. 下列方程中 表示母线平行与 o 轴的双曲柱面 (A) - (B) (C) (D) 二 已知两点 A(,,) B(-,,) 点 P 满足条件 PA PB, 求点 P 的轨迹方程 四 说明下列旋转曲面是怎样形成的.Z( ). 9 9 6 五. 画出下列各曲面的图形. Y p (p>). 由 和 所围立体的表面
7.6 空间曲线及其方程一 填空题. 方程组 { 在平面解析几何中表示, 在空间解析几何表示. 曲面 - 9 与平面 的交线圆的方程是, 其圆心坐标是, 圆的半径为. 曲线 { 在 YOZ 面上的投影曲线为 ) ( ) (. 螺旋线 cosθ,sinθ,θ 在 YOZ 面上的投影曲线为. 上半锥面 Z ( ) 在 XOY 面上的投影为, 在 XOZ 面上的投影为, 在 YOZ 面上的投影为 6. 曲线的一般式方程为 二 选择题. 方程 { 9 在空间解析几何中表示 (A) 椭圆柱面 (B) 椭圆曲线 (C) 两个平行平面 (D) 两条平行直线. 已知曲线 { 在 YOZ 坐标面上的投影曲线为 {, 则 (A) - (B) (C) (D). 参数方程的一般方程是 θ θ θ sin cos (A) (B) cos (C) sin (D) { cos sin 三 化曲线 { 为参数方程 9 五. 画出下列曲线在第一卦限内的图形.{ {
一 填空题 7.7 平面及其方程. 过点 M(,,) 且与平面 -7- 平行的平面方程. 三平面,--,- 的交点坐标是. 过点 (,-,) 且平行与 XOZ 平面的平面方程是. 过点 M(,,-) 和 M(,,7) 且平行于 OX 轴的平面方程是. 点 P(,,) 到平面 - 的距离是 6. 当 l, 及 m 时, 二平面 m- 与 l -6-6 互相平行 二 选择题. 平面 - 的位置是 (A) 平行 XOZ 坐标面 (C) 垂直于 OY 轴. 下列平面中通过坐标原点的平面是 (B) 平行 OY 轴 (D) 通过 OY 轴 (A) (B) (C) (-)-() (D). 已知二平面 π :m- 与 π :7-- 当 m π π (A) /7 (B) -/7 (C) 7 (D) -7. 二平面 π : -, π : 8 的夹角 θ (A) π (B) π / (C) π / (D) π /6 三 求通过三点 (,,) (-,-,) 和 (,-,) 的平面方程 四 求通过点 P(,-,-) Q(,,) 且垂直于平面 -6 平面方 程 五 求通过 Z 轴且与平面 - -7 的夹角为 π / 的平面方程 六 证明 : 二平行平面 ABCD, ABCD 之间的距离公式 : d A D D B C
7.8 空间直线及其方程一 填空题. 过点 P(,-,) 且平行于直线 的直线方程为. 过点 P(,,-) 且与直线 { 垂直的平面方程为 7. 过点 P(,,) 且与二平面 和 - 平行的直线方程是. 当 m 时, 直线 与平面 m- 平行. 直线 { 与 -- 的夹角为 二 选择题. 下列直线中平行与 XOY 坐标面的是 (A) (C) (B) (D) {. 直线 L : 与 L { 7 7 : 的关系是 { 8 6 (A) L L (B) L //L (C) L 与 L 相交但不垂直 (D) L 与 L 为异面直线. 直线 L: 7 与平面 π :-- 的关系是 (A) 平行 (B) 垂直相交 (C) L 在 π 上 (D) 相交但不垂直. 设在直线 L : { 6 8 Y X Z Y L : 与则 L 与 L 的夹角为 (A) π /6 (B) π / (C) π / (D) π /. 两平行线,, 与 之间的距离是 (A) (B) (C) / (D) 三 设直线 L 通过 (,,) 且与 L : 6 相交, 又与 : L 垂直, 求直线 L 的方程
四 证明直线 { 与直线 { 互相平行 7 7 8 6 五 求通过点 P(,,-) 且又通过直线 的平面方程六 求通过点 P(,,) 且与直线 垂直相交的直线七 求点 P(,,-) 关于直线 { 的对称点坐标 八 设直线 L: : 与平面 π (). 求证 L 与 π 相交, 并求交点坐标 (). 求 L 与 π 交角 (). 通过 L 与 π 交点且与 L 垂直的平面方程 (). 通过 L 且与 π 垂直的平面方程 ().L 在 π 上的投影直线方程
7.9 二次曲面一 填空题. 曲线 { 在 XOY 面上的投影曲线方程为. 抛物面 Z 与平面 的交线在 XOY 面上的投影曲线方程是. 当 k 时, 平面 k 与曲面 9 的交线是一对相交直线. 椭圆 { 9 的长半轴为. 圆 { 的圆心坐标为, 半径为 二 选择题. 方程 -8 表示 (A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 锥面 (D) 旋转抛物面. 二次曲面 Z 与平面 h 相截其截痕是空间中的 (A) 抛物线 (B) 双曲线 (C) 椭圆 (D) 直线. 双曲抛物面 - 在 XOZ 坐标面上的截痕是 (A) (B) (C) (D). 曲面 与 (>) 的交线是 (A) 抛物线 (B) 双曲线 (C) 圆周 (D) 椭圆. 旋转双叶双曲面 的旋转轴是 (A) OX 轴 (B) OY 轴 (C) OZ 轴 (D) 直线 三 证明 : 单叶双曲面 6 与平面的交线在 XOY 坐标面上的投影曲线是椭圆并求出该椭圆的中心和长 短半轴的大小
四 求圆 { 的圆心和半径 五 画出下列方程的表示曲面.. 6 6 六 画出下列各曲面所围成的立体的图形. /. R ( 在第一卦限内的部分 )