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1 普通高等教育 十一五 国家级规划教材 空间解析几何 ( 新版 ) 李养成编著 北京

2 内容简介本书内容包括向量代数 空间的平面与直线 常见的曲面 二次曲面的一般理论 正交变换和仿射变换. 本书结构紧凑, 突出了解析几何的基本思想方法, 强调形数结合, 注意展现数学知识的发生过程和数学问题解决的思维过程, 注重思维训练和空间想象能力的培养. 本书表达清晰, 论述深入浅出, 力求使读者便于学习领悟. 书末附有习题答案与提示, 供读者学习参考. 本书可作为高等院校数学类专业的解析几何课程教材, 也可供自学者选用. 图书在版编目 (CIP) 数据空间解析几何 ( 新版 )/ 李养成编著. 北京 : 科学出版社,2007 普通高等教育 十一五 国家级规划教材 ISBN 978 唱 7 唱 03 唱 唱 0 Ⅰ 畅空 Ⅱ 畅李 Ⅲ 畅空间几何 : 解析几何高等学校教材 Ⅳ 畅 O182.2 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2007) 第 号责任编辑 : 李鹏奇王静 / 责任校对 : 张琪责任印制 : 张克忠 / 封面设计 : 陈敬 北京东黄城根北街 16 号邮政编码 : http: // 科学出版社发行 倡 出版 印刷 各地新华书店经销 2007 年 8 月第一版 开本 :B5( ) 2007 年 8 月第一次印刷 印张 :16 1/2 印数 : 字数 : 定价 :22 畅 00 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换枙路通枛 )

3 前 言 解析几何是高等院校数学各专业的一门主要基础课. 它运用代数方法研究几何图形, 把数学的两个基本对象 形与数有机地联系起来, 对数学的发展发挥了重要的推动作用. 它的思想方法与几何直观性可为许多抽象的 高维的数学问题提供形象的几何模型与背景. 为适应 21 世纪高素质人才培养的需要, 本教材编写有如下几点考虑 : 首先, 教材内容力求体现经典解析几何的现代教学. 在教材整体上, 注意突出解析几何的基本思想方法, 强调形数结合, 努力将形象思维与抽象思维相结合, 直觉与逻辑相结合. 考虑到几何学对数学其他分支的渗透, 数学科学发展走向综合这一大趋势, 本教材努力体现数学的统一性. 在处理几何与代数的关系上, 一方面代数为研究几何问题提供有效的方法, 另一方面几何可以为抽象的代数概念与方法提供形象的几何模型与背景, 两者相辅相成, 相互为用. 本书从内容上说已不单是严格意义上的空间解析几何, 还包含仿射几何的内容, 但两者是有机联系的, 以仿射几何为主线贯穿本书始终, 度量几何为其特殊情形. 其次, 在教材内容呈现上, 注意展现数学知识的发生过程以及数学问题解决的思维过程. 本书对一些比较重要的概念注意交代实际背景. 新结果 新方法的介绍, 新理论的建立力求引入自然, 试图与读者一起以 研究者 的姿态去恰当地提出问题, 通过分析寻找解决问题的方法. 再次, 本书作为一门基础课教材, 尽可能发挥它应有的教育功能. 解析几何在训练学生思维, 树立与培养创新意识, 提高空间想象能力和获取新知识能力等数学素质方面有其独特的作用, 本书努力在这方面进行探索. 本书前 3 章介绍坐标法与向量法, 并将这两种方法相结合讨论空间中的平面与直线, 以及柱面 锥面和旋转曲面. 而对椭球面等五种标准方程, 为分析它们所表示的曲面几何形状, 除应用对称性及空间的伸缩变换外, 更主要的是采用平行截割法. 通过对一组平行截线的形状变化去想象空间曲面的整体形状, 例如测绘工作者绘制等高线地形图便用到这一方法. 第 4 章介绍坐标变换法, 并用它讨论一般二次曲面及二次曲线方程的化简. 而由一般二次曲线或二次曲面的方程系数算出的正交不变量可识别二次曲线或二次曲面的类型. 在现代数学, 特别是拓扑与几何中各种类型的不变量得到了深刻的发展, 因此读者应好好领会不变量这一重要的几何思想. 本章讨论引入了矩阵这一代数工具, 这部分计算有时显得冗长, 学习时应着眼于问题的提出与解决的思路, 而不要受冗长的计算与论证所困. 第 5 章介绍两种

4 ii 前言 重要的点变换 : 正交变换与仿射变换, 这是仿射几何学的核心内容. 这一章引入图形的度量等价与仿射等价, 以及度量性质 仿射性质等概念, 并提出几何学的分类, 使读者能在较高的层面上理解几何学. 书中的许多例题供教师习作课选用, 好些例题与习题给出不止一种求解方法, 一方面提高学生学习兴趣, 激发创新意识, 另一方面也能启迪学生思维, 便于课堂讨论, 师生互动. 希望打开思路, 不受书中解法约束, 勤动脑多动手, 提高思维的灵活性. 本教材供 64 学时教学用. 如果学时不足, 以下两种选择可供参考 : 一是讲本书前 4 章, 这一安排适合后继课开设 高等几何 的学校 ; 再有就是讲本书前 3 章及第 4 章的 4 畅 1 节 4.8 节, 而对二次曲面化简及分类仅作简要介绍, 然后讲第 5 章前 4 节. 使用本教材的学校可以根据具体情况由任课老师决定教学内容的取舍. 本书是在编者与郭瑞芝合编枟空间解析几何枠一书基础上修改加工而成. 编写中参考了许多同类教材, 特向这些作者致谢. 本书作为普通高等教育 十一五 国家级规划教材, 得到中南大学数学科学与计算技术学院的支持和资助, 特表谢意. 邹建成教授仔细审阅了书稿并提出许多好的意见, 何伟博士给予不少帮助, 本人表示感谢. 对许多同行给予的鼓励 支持和帮助, 在此一并表示感谢. 由于编者水平有限, 书中仍有许多不足之处, 也难免出现一些错误, 请大家批评指正. 李养成 2007 年 4 月于中南大学

5 目 录 第 1 章向量代数 1 1 畅 1 向量及其线性运算 1 1 畅 2 标架与坐标 10 1 畅 3 举例 : 应用向量的线性运算解初等几何问题 15 1 畅 4 向量的内积 20 1 畅 5 向量的外积 26 1 畅 6 向量的混合积 31 第 2 章空间的平面与直线 35 2 畅 1 平面和直线的方程 35 2 畅 2 线性图形的位置关系 43 2 畅 3 平面束 53 2 畅 4 线性图形的度量关系 59 第 3 章常见的曲面 70 3 畅 1 图形和方程 70 3 畅 2 柱面和锥面 74 3 畅 3 旋转曲面 80 3 畅 4 曲线与曲面的参数方程, 曲线族生成曲面 85 3 畅 5 五种典型的二次曲面 94 3 畅 6 二次直纹曲面 畅 7 作简图 112 第 4 章二次曲面的一般理论 畅 1 空间直角坐标变换 畅 2 利用转轴化简二次曲面方程 畅 3 二次曲面的分类 畅 4 二次曲面的不变量 畅 5 二次曲面的中心与渐近方向 畅 6 二次曲面的径面 畅 7 二次曲面的切线和切平面 畅 8 平面二次曲线 160

6 iv 目录 第 5 章正交变换和仿射变换 畅 1 变换 畅 2 平面上的正交变换 畅 3 平面上的仿射变换 畅 4 二次曲线的度量分类与仿射分类 畅 5 空间的正交变换和仿射变换简介 197 习题答案与提示 203 参考文献 240 附录 241 索引 254

7 第 1 章向量代数 解析几何是用代数方法来研究几何图形的. 为了把代数运算引进到几何中来, 我们首先在空间引进向量及其线性运算, 用有向线段作为向量的几何表示, 并且通过向量来建立坐标系. 在空间坐标系中, 不仅给向量引进坐标, 也给点引进坐标, 而且向量的运算可以归结为数的运算. 这样一来, 几何图形可以用方程来表示, 并通过方程来进一步研究图形的性质, 因此坐标方法是解析几何中的最基本方法. 而利用向量的运算来研究图形性质的方法叫做向量法. 这种方法的优点在于比较直观, 有时可使某些几何问题能简捷地得到解决, 并且它在力学 物理学中也有重要应用. 本章系统地介绍向量代数的基本知识, 并把向量法与坐标法结合起来使用, 解决某些几何问题, 为以后各章的学习提供必要的代数准备, 因此可以说, 本章内容是学习解析几何的基础知识. 1 畅 1 向量及其线性运算 1 畅 1 畅 1 向量的概念人们在工作与生活中, 经常会遇到许多的量, 像温度 时间 长度 面积 体积等这些量在规定了单位后, 都可以用一个实数来表示. 我们把这种只有大小的量叫做数量 ( 或标量 ). 但是还存在另外一些量, 例如位移 力 速度 加速度等, 它们的共同点是不仅有大小而且有方向. 通常把既有大小又有方向的量叫做向量 ( 或矢量 ). 在几何上, 我们采用有向线段这一最简单的几何图形来表示向量. 给定空间一线段, 如取它的一个端点作为起点, 另一端点为终点, 并规定由起点指向终点为线段的方向, 这样确定了方向的线段叫做有向线段. 用有向线段表示向量, 有向线段的起点与终点分别称为向量的起点与终点, 向量的方向是由有向线段的起点指向终点, 向量的大小用有向线段的长度表示, 称为向量的模或长度. 起点是 A, 终点是 B 的向量记作 AB( 图 1 畅 1), 图 1 畅 1 或用黑体字母 a 表示, 它的长度记为 AB 或 a. 模等于 1 的向量叫做单位向量. 模等于 0 的向量称为零向量, 记作 0. 零向量的方向不定. 不是零向量的向量叫非零向量. 与非零向量 a 同方向的单位向量记为 a. 两个向量 a 与 b, 若它们的方向相同且模相等, 则称为相等的向量 ( 图 1 畅 2), 记

8 2 第 1 章向量代数 为 a = b. 另外, 规定所有的零向量都相等. 因此两个向量是否相等与它们的起点无关, 今后运用的正是这种起点可以任意选取, 只由模和方向决定的向量, 这样的向量通常叫做自由向量. 也就是说, 自由图 1 畅 2 向量可以任意平行移动, 移动后的向量仍然是原来的向量. 两个向量, 若它们的模相等, 但方向相反, 则叫做互为反向量. 向量 a 的反向量记为 - a. 显然有 AB = - BA. 一组非零向量若用同一起点的有向线段表示后, 它们在一条直线 ( 一个平面 ) 上, 则这组向量叫做共线 ( 共面 ) 的. 另外规定零向量与任何共线 ( 共面 ) 的向量组共线 ( 共面 ). 若向量 a 与 b 共线, 则记为 a b. 显然, 任意两个向量一定共面, 三个向量中有两个共线则这三个向量共面. 又共线的向量组必共面. 1 畅 1 畅 2 向量的加法联系物理学中力 速度 位移的合成, 例如接连作两次位移 AB 和 BC 的效果是作了位移 A C( 图 1 畅 3), 由此可抽象出两个向量的加法运算定义. 定义 1 畅 1 畅 1 对于向量 a,b, 作有向线段 AB = a,bc = b, 把 AC 表示的向量 c 称为 a 与 b 的和, 记为 c = a + b( 图 1 畅 4), 即 AB + BC = AC, 由这一公式表示的向量加法法则称为三角形法则. 图 1 畅 3 图 1 畅 4 注对于不共线向量 a,b, 若以空间中任意点 O 为起点, 作 O A = a,ob = b, 再以 O A 和 OB 为邻边作平行四边形 O ACB, 则对角线向量 OC 也表示向量 a 与 b 的和 c( 图 1 畅 5), 这称为向量加法的平行四边形法则. 定理 1 畅 1 畅 1 向量的加法满足下面的运算规律 : (1) 结合律 ( a + b) + c = a + ( b + c) ; 图 1 畅 5

9 1 畅 1 向量及其线性运算 3 (2) 交换律 a + b = b + a ; (3) a + 0 = a ; (4) a + ( - a) = 0. 其中 a,b,c 为任意向量. 证明 (1) 自空间任意点 O 为起点, 依次作 O A = a,ab = b,bc = c( 图 1 畅 6), 则 a + b = OB,b + c = AC, 于是 ( a + b) + c = OB + BC = OC,a + ( b + c) = O A + AC = OC, 所以 ( a + b) + c = a + ( b + c). (2),(3),(4) 留给读者证明. 由于向量的加法满足结合律与交换律, 所以三个向量 a,b,c 相加, 不论它们的先后顺序与结合顺序如何, 它们的和总是相同的, 因此可将和写成 a + b + c. 推广到任意有限个情形, 记向量 a 1,,a n 的和为 a 1 + a a n, 它可以依下列方法求得 : 自任意点 O 开始, 依次引 O A 1 = a 1,A 1 A 2 = a 2,,A n - 1 A n = a n, 由此得到一折线 O A 1 A 2 A n( 图 1 畅 7), 那么向量 O A n = a 就是 n 个向量 a 1,a 2,,a n 的和 : a = a 1 + a a n, 即 O A n = O A 1 + A 1 A A n - 1 A n. 图 1 畅 6 图 1 畅 7 定义 1 畅 1 畅 2 向量 a 与 b 的差, 记为 a - b, 定义为向量 a 加上 b 的反向量, 即 a - b = a + ( - b). 若 a,b 分别用同一起点的有向线段 O A,OB 表示 ( 图 1 畅 8), 则 a - b = O A - OB = BA. 图 1 畅 8

10 4 第 1 章向量代数 显然我们有 ( a - b) + b = a. 由此可见, 向量的减法是作为加法的逆运算来定义的. 根据向量加法 ( 含有减法 ) 的三角形法则以及三角形三边之间的关系, 容易知 道下述关系式是成立的, 即对于任意向量 a,b, 有 a + b a + b, a - b a + b, a + b a - b, a - b a - b. 问题从向量的减法定义能否得出向量等式的移项法则? 例如由等式 a + b + c = d 得出 a + b = d - c, 请说明理由. 例 1 畅 1 畅 1 用向量法证明 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 图 1 畅 9 1 畅 1 畅 3 数乘向量 从著名的牛顿第二定律 证明设四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 互相平分于点 O( 图 1 畅 9), 则 A O = OC,DO = OB, 于是 AB = A O + OB = OC + DO = DC. 由此可见,AB DC 且 AB = DC, 因此四边形 ABCD 是平行四边形. f = ma 看出, 需要考虑数与向量的乘法运算, 这里 f 表示力,a 表示加速度,m 表示质量. 定义 1 畅 1 畅 3 实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 是一 个向量, 它的模为 λa = λ a ;λa 的方向, 当 λ > 0 时与 a 相同, 当 λ < 0 时与 a 相反 ( 图 1 畅 10), 当 λ = 0 时,λa = 0. 我们把这种运算称为数乘向 量. 由定义立即得到,λa 与 a 是共线向量. 特别, 图 1 畅 10 ( - 1) a = - a. 记与非零向量 a 同方向的单位向量为 a, 则有 a = a a, 且 a = 1 a a, 这说明非零向量 a 乘以它的模的倒数, 便得到与它同方向的单位向量 a, 简称为 把 a 单位化. 定理 1 畅 1 畅 2 数与向量的乘法满足如下的规律 : (1) 1 a = a ; (2) 结合律 λ( μa) = ( λμ) a ;

11 1 畅 1 向量及其线性运算 5 (3) 第一分配律 ( λ + μ) a = λa + μa ; (4) 第二分配律 λ( a + b) = λa + λb. 这里 a,b 为任意向量,λ,μ 为任意实数. 证明 (1) 与 (2) 可以根据定义 1 畅 1 畅 3 直接验证. (3) 如果 a = 0 或 λ,μ,λ + μ 中有一个为 0, 那么等式显然成立. 下面设 a 0,λμ 0 且 λ + μ 0. 1 若 λμ > 0, 则 λ + μ 与 λ,μ 都同号, 于是 ( λ + μ) a,λa,μa 同向, 并且 ( λ + μ) a = λ + μ a = ( λ + μ ) a = λ a + μ a = λa + μa = λa + μa, 所以有 ( λ + μ) a = λa + μa. 2 若 λμ < 0, 不失一般性, 可设 λ > 0,μ < 0. 再区分 λ + μ > 0 和 λ + μ < 0 两种情形. 下面就前一种情形证明, 后一种情形可相仿证明. 现假设 λ > 0,μ < 0,λ + μ > 0, 这时 - μ > 0. 据 1 有 ( λ + μ) a + ( - μ) a = [( λ + μ) + ( - μ)] a = λa, 所以 ( λ + μ) a = λa - ( - μ) a = λa + μa. (4) 如果 λ = 0 或 a,b 中有一个为 0, 则等式显然成立. 下设 λ 0,a 0,b 0. 1 若 a,b 共线, 则存在实数 m 使得 a = mb( 请读者补述理由 ). 于是 λ( a + b) = λ( mb + b) = λ[( m + 1) b] = [ λ( m + 1)] b = ( λm + λ) b = ( λm) b + λb = λ( mb) + λb = λa + λb. 2 若 a,b 不共线, 则由 a,b 为两边构成的 O AB 与由 λa,λb 为两边构成的 OCD 相似 ( 图 1 畅 11), 因此对应的第三边所成的向量满足 λ OB = OD. 但是 OB = a + b,od = λa + λb, 所以 图 1 畅 11

12 6 第 1 章向量代数 λ( a + b) = λa + λb. 由定理 1 畅 1 畅 1 和定理 1 畅 1 畅 2 知, 向量的加法以及数与向量的乘法可以像实数 及多项式那样去进行运算. 常见错误之一 : 设 a = λb( b 0), 则 λ = a b. 试分析错误原因. 图 1 畅 12 例 1 畅 1 畅 2 线段的定比分点. 对于线段 AB ( A B ), 如果点 P 满足 AP = λ PB, 则称点 P 分线段 AB 成定比 λ. 当 λ > 0 时,AP 与 PB 同向, 点 P 是线段 AB 内部的点, 称 P 为内分 点 ; 当 λ < 0 时, AP 与 PB 反向,P 是线段 AB 外部的 点, 称 P 为外分点 ;λ = 0 时, 点 P 与点 A 重合. 假如 λ = - 1, 则有 AP = - PB, AB = 0, 与条件 A B 矛 盾, 因此 λ - 1. 设点 P 分线段 AB 成定比 λ( λ - 1), 则对任意点 O( 图 1 畅 12), 有 OP = O A + λ OB 1 + λ 公式 (1 畅 1 畅 1) 称为向量形式的定比分点公式.. (1 畅 1 畅 1) 事实上, 由 AP = λ PB, 即 OP - O A = λ( OB - OP), 得 (1 + λ) OP = O A + λ OB, 故 (1 畅 1 畅 1) 式成立. 特别, 若 P 为线段 AB 的中点 ( 此时 λ = 1), 则 OP = 1 2 ( O A + OB), 这是线段 中点公式. 分. 例 1 畅 1 畅 3 证明平行四边形的两条对角线互相平 证明设 ABCD 为平行四边形,AC 与 BD 的中 点分别为 E 和 F( 图 1 畅 13), 则 AE = 1 2 AC = 1 ( AB + BC), 2 图 1 畅 13 又由中点公式得 AF = 1 ( AB + AD). 2 因为 BC = AD, 所以 AE = AF,E 与 F 重合. 因而结论得证.

13 1 畅 1 向量及其线性运算 7 1 畅 1 畅 4 共线及共面向量的判定 向量的加法及数乘向量统称为向量的线性运算. 设 a i( i = 1,2,,n) 是一组 向量,k i( i = 1,2,,n) 是一组实数, 经线性运算得到的向量 a = k 1 a 1 + k 2 a k n a n 叫做向量组 a i( i = 1,2,,n) 的一个线性组合, 或说向量 a 可以用 a 1,a 2,,a n 线性表示. 在定理 1 畅 1 畅 2(4) 的证明中曾说过, 若非零向量 a,b 共线, 则存在实数 m 使得 a = mb. 进而我们有 λ, 使得 定理 1 畅 1 畅 3 设向量 e 0, 则向量 r 与 e 共线的充要条件是存在惟一的实数 证明留给读者. r = λe. (1 畅 1 畅 2) 定理 1 畅 1 畅 4 设向量 e 1,e 2 不共线, 则向量 r 与 e 1,e 2 共面的充要条件是存在 惟一的一对实数 λ,μ, 使得 r = λe 1 + μe 2. (1 畅 1 畅 3) 证明根据向量加法的三角形法则, 充分性显然成立. 下证必要性. 因为 e 1,e 2 不共线, 所以 e 1 0,e 2 0. 现假定 r 与 e 1,e 2 共面, 我们首先证明 存在实数 λ,μ 使得 (1 畅 1 畅 3) 式成立. = 0) ; (1) 若 r 与 e1( 或 e2) 共线, 则依定理 1 畅 1 畅 3, 有 r = λe1 + μe2, 其中 μ = 0( 或 λ (2) 若 r 与 e 1,e 2 都不共线, 则将 r,e 1,e 2 平移至 同一起点 O, 并设 OE i = e i( i = 1,2),OP = r. 过点 P 分 别作 OE 2,OE 1 的平行线交 e 1,e 2 所在的直线于 A,B 两点 ( 图 1 畅 14). 据定理 1 畅 1 畅 3, 可设 于是 假设 O A = λe1, OB = μe2. r = OP = O A + OB = λe 1 + μe 2. 其次证明使得 (1 畅 1 畅 3) 成立的实数 λ,μ 是惟一的. r = λe 1 + μe 2 = λ e 1 + μ e 2, 图 1 畅 14 那么 ( λ - λ ) e 1 + ( μ - μ ) e 2 = 0. 若 λ λ, 则 e 1 = - μ - μ λ - λ e2, 这与 e 1,e 2 不共线矛盾, 因此 λ = λ. 同理可证 μ = μ. 定理 1 畅 1 畅 5 设向量 e 1,e 2,e 3 不共面, 则对空间任意向量 r, 存在惟一的实数

14 8 第 1 章向量代数 组 ( λ,μ,ν), 使得 r = λe 1 + μe 2 + νe 3. 证明首先证存在性. 因为 e 1,e 2,e 3 不共面, 所以 e i 0( i = 1,2,3), 并且它们彼此不共线. 如果 r 和 e 1,e 2,e 3 之中的某两个向量共面, 例如 r 与 e 1,e 2 共面, 那么依定理 1 畅 1 畅 4, 有 r = λe 1 + μe e 3. 如果 r 和 e 1,e 2,e 3 之中的任何两个向量都不共面, 那么将它们平移至同一起点 O, 并设 OE i = e i( i = 1,2,3),OP = r. 过点 P 作直线与 OE 3 平行, 且与 OE 1, OE2 决定的平面交于 N( 图 1 畅 15). 现 ON 与 e1,e2 共面, 据定理 1 畅 1 畅 4, 存在实数 λ,μ 使得 ON = λe 1 + μe 2. 图 1 畅 15 又 NP e3, 据定理 1 畅 1 畅 3, 存在实数 ν 使得 NP = νe 3. 于是 r = OP = ON + NP = λe 1 + μe 2 + νe 3. 惟一性可仿照定理 1 畅 1 畅 4 中的证明写出, 留给读者. 定义 1 畅 1 畅 4 对于 n 个向量 a 1,a 2,,a n, 如果存在不全为零的 n 个实数 k 1, k 2,,k n, 使得 k 1 a 1 + k 2 a k n a n = 0 ( n 1), 我们说向量 a 1,a 2,,a n 是线性相关. 若上式只有在 k 1 = k 2 = = k n = 0 时才成立, 则称向量 a 1,a 2,,a n 是线性无关. 命题 1 畅 1 畅 1 两个向量 a,b 共线的充要条件是 a,b 线性相关. 证明必要性. 设 a,b 共线, 若其中有一个为零向量, 不妨设 a = 0, 则 1 a + 0 b = 0 ; 若 a 0,b 0, 则由定理 1 畅 1 畅 3 知, a = λb,1 a + ( - λ) b = 0, 因此 a,b 线性相关. 充分性.a,b 线性相关, 则存在不全为 0 的实数 k,l 使得

15 1 畅 1 向量及其线性运算 9 ka + lb = 0, 不妨设 k 0, 则有 a = - l k b, 因此 a,b 共线. 命题 1 畅 1 畅 2 三向量 a,b,c 共面 ( 不共面 ) 的充 要条件是 a,b,c 线性相关 ( 线性无关 ). 关. 命题 1 畅 1 畅 3 空间中任意四个向量总是线性相 以上二命题的证明留给读者. 例 1 畅 1 畅 4 用向量法证明 : 三角形 ABC 的三条 中线相交于一点. 证明设 ABC 的两条中线 AD 与 BE 相交于 点 M. 要证第三条中线 CF 经过点 M, 只需证 CM = k CF( k 为某一实数 ) 即可 ( 图 1 畅 16). 图 1 畅 16 因 A M 与 AD 共线,BM 与 BE 共线. 故可设 A M = λ AD,BM = μ BE, 其中实数 λ,μ 满足 0 < λ,μ < 1. 又 故 CM = A M - AC = λ AD - AC = λ 2 AB + AC - AC = λ 2 AB + λ 2-1 AC, CM = CB + BM = ( AB - AC) + μ BE = AB - AC + μ( A E - AB) = (1 - μ) AB + μ 2-1 AC. λ 2 + μ - 1 AB + 1 ( λ - μ) AC = 0. 2 λ 由于 AB 与 AC 线性无关, 因此 2 + μ - 1 = 0,λ - μ = 0, 解得 λ = μ = 2 3. 于是 CM = 1 3 AB AC. 而 CF = AF - AC = 1 2 AB - AC, 易见 因此 ABC 的三条中线相交于点 M. CM = 2 3 CF, 习题 1 畅 1 1 畅设 ABCD - EFGH 是一个平行六面体, 在下列各对向量中, 找出相等的向量和互为反向 量的向量 : (1) AB,CD ;(2) AE,CG ;(3) AC,EG ;(4) AD,GF ;(5) BE,CH.

16 10 第 1 章向量代数 2 畅在平行六面体 ABCD - EFGH 中, 令 AB = a,ad = b,ae = c, 试用 a,b,c 表示向量 AG, BH,CE,DF. 3 畅要使下列各式成立, 向量 a,b 应满足什么条件? (1) a + b = a + b ; (2) a + b = a - b ; (3) a - b = b - a ; (4) a - b = a + b ; (5) a + b = a - b. 4 畅已知平行四边形 ABCD 的边 BC 和 CD 的中点分别为 K 和 L. 设 AK = k,al = l, 求 BC 和 CD. 5 畅设向量 e1,e2 不共线,AB = e1 + e2,bc = 3 e1 + 7 e2,cd = 2 e1-2 e2. 证明 :A,B,D 三点共线. 6 畅设向量 a,b 不共线,AB = a + 2 b,bc = - 4 a - b,cd = - 5 a - 3 b, 证明四边形 ABCD 为梯形. 7 畅设 L,M,N 分别为 ABC 三边 BC,CA,AB 的中点, 证明 : 三中线向量 AL,BM,CN 可以构成一个三角形. 8 畅设 a,b,c 为任意向量,λ,μ,ν 为任意实数, 证明向量 λa - μb,νb - λc,μc - νa 共面. 9 畅设 M 为平行四边形 ABCD 的对角线的交点, 证明 : 对任意一点 O, 有 OA + OB + OC + OD = 4 OM. 10 畅设空间四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的中点分别是 M 和 N, 证明 : AB + CB + AD + CD = 4 MN. 11 畅在 ABC 中, 点 M,N 为 AB 边上的三等分点. 设 CA = a,cb = b, 求向量 CM,CN 对 a, b 的分解式. 12 畅设 AL 是 ABC 中角 A 的平分线, 其中 L 为角平分线与 BC 边的交点. 记 AB = c,ac = b, 将向量 A L 分解为 b,c 的线性组合. 13 畅用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上 下两底边并且等于它们长度和的一半. 14 畅证明定理 1 畅 1 畅 畅试证三点 A,B,C 共线的充要条件是 : 存在不全为零的实数 λ,μ,ν, 使得 λ OA + μ OB + ν OC = 0, λ + μ + ν = 0, 其中 O 是任意取定的一点. 16 畅设 A,B,C 是不在一条直线上的三点, 则点 M 在 A,B,C 确定的平面上的充要条件是 : 存在实数 λ,μ,ν, 使得 OM = λ OA + μ OB + ν OC, λ + μ + ν = 1, 其中 O 是任意取定的一点. 17 畅设 O 是正 n 边形 A1 A2 An 的中心, 证明 : OA1 + OA2 + OA3 + + OAn = 0. 1 畅 2 标架与坐标 定理 1 畅 1 畅 3 定理 1 畅 1 畅 4 及定理 1 畅 1 畅 5 为我们在直线上 平面内以及空间中引

17 1 畅 2 标架与坐标 11 入标架与坐标提供了理论依据. 本节不仅给向量引进坐标, 同时也给点引进坐标, 以便把向量法与坐标法结合起来使用. 我们着重在空间中讨论. 1 畅 2 畅 1 标架, 向量与点的坐标空间中任意三个有序的不共面向量 e 1,e 2,e 3 称为空间中的一组基. 根据定理 1 畅 1 畅 5, 任意空间向量 r 可以用 e 1,e 2,e 3 线性表示, 并且这种表示是惟一的, 即 r = xe 1 + ye 2 + ze 3, 其中 x,y,z 是惟一的一组有序实数. 我们把有序的三实数组 ( x,y,z) 称为向量 r 在基 e 1,e 2,e 3 下的坐标或分量, 记为 r = ( x,y,z). 定义 1 畅 2 畅 1 空间中一个点 O 和一组基 e 1,e 2,e 3 合在一起叫做空间的一个仿射标架或仿射坐标系, 简称为标架, 记作 { O ;e 1,e 2,e 3 }, 其中 O 称为原点,e 1, e 2,e 3 叫做坐标向量. 现在对空间中的点引入坐标. 空间中任意点 P 与向量 OP 一一对应,OP 叫做点 P 的位置向量或向径. 位置向量 OP 在基 e1,e2,e3 下的坐标称为点 P 在仿射坐标系 { O ;e 1,e 2,e 3} 中的坐标. 若 OP = ( x,y,z), 则点 P 的坐标记为 P( x,y,z). 因此在 { O ;e 1,e 2,e 3} 中, 点 P 的坐标为 ( x,y,z) 骋 OP = xe 1 + ye 2 + ze 3. 以后将空间中任意向量 r 在基 e 1,e 2,e 3 下的坐标也称为 r 在仿射标架 { O ; e 1,e 2,e 3} 中的坐标. 空间中取定一个标架后, 由定理 1 畅 1 畅 5 知, 空间中全体向量的集合与全体有序三实数组的集合之间建立了一一对应关系 ; 并且通过位置向量, 所有空间点组成的集合与全体有序三实数组的集合之间也建立了一一对应. 设 { O ;e 1,e 2,e 3 } 为空间的一个标架. 过原点 O 分别以 e 1,e 2,e 3 为方向的有向直线分别称为 x 轴 y 轴和 z 轴, 统称为坐标轴. 由每两条坐标轴所确定的平面叫做坐标平面, 它们分别是 xoy 平面,yO z 平面,zOx 平面. 三个坐标平面把空间分成 8 个部分, 称为 8 个卦限 ( 图 1 畅 17). 在每个卦限内, 点的坐标图 1 畅 17 的符号是不变的.

18 12 第 1 章向量代数 卦坐限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 标 x y z 将右手四指 ( 拇指除外 ) 从 x 轴方向弯向 y 轴方向 ( 转角小于 180 ), 如果拇指 所指的方向与 z 轴方向在 xoy 平面同侧, 则称此坐标系为右手系, 否则为左手系 ( 图 1 畅 18). 图 1 畅 18 定义 1 畅 2 畅 2 如果 e 1,e 2,e 3 都是单位向量, 并且两两垂直, 则 { O ;e 1,e 2,e 3 } 称为笛卡儿直角标架或笛卡儿直角坐标系, 简称为直角标架与直角坐标系. 显然直角坐标系是特殊的仿射坐标系. 点 ( 或向量 ) 在直角坐标系下的坐标叫做它的直角坐标, 在仿射坐标系中的坐标叫做仿射坐标. 约定 : 空间直角坐标系中的坐标向量 e 1,e 2,e 3 改写为 i,j,k, 并用 { O ;i,j, k} 来记右手直角坐标系. 类似地, 可定义平面上的仿射标架和直角标架等概念, 请读者参照上面所写的内容自己补述. 1 畅 2 畅 2 用坐标作向量的运算 1 畅用向量的分量进行向量的线性运算. 命题 1 畅 2 畅 1 取定标架 { O ;e 1,e 2,e 3 }. 对于任意向量 a = ( a 1,a 2,a 3 ),b = ( b 1,b 2,b 3) 及任意实数 λ, 有 (1) a + b = ( a 1 + b 1,a 2 + b 2,a 3 + b 3), 即两个向量和的坐标等于对应坐标的和 ; (2) a - b = ( a 1 - b 1,a 2 - b 2,a 3 - b 3), 即两个向量差的坐标等于对应坐标的差 ;

19 1 畅 2 标架与坐标 13 积. (3) λa = ( λa 1,λa 2,λa 3), 即数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的 证明 (1) a + b = ( a 1,a 2,a 3) + ( b 1,b 2,b 3) = ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3) + ( b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3) = ( a1 + b1) e1 + ( a2 + b2) e2 + ( a3 + b3) e3, 所以 a + b 的坐标是 ( a 1 + b 1,a 2 + b 2,a 3 + b 3). 用同样的方法可证 (2) 与 (3). 2 畅用向量的起点和终点的坐标表示向量的分量. 命题 1 畅 2 畅 2 设向量 P 1 P 2 的起点 P 1 与终点 P 2 的坐标分别为 ( x 1,y 1,z 1 ), ( x 2,y 2,z 2), 则 P 1 P 2 = ( x 2 - x 1,y 2 - y 1,z 2 - z 1), (1 畅 2 畅 1) 即向量的坐标等于其终点的坐标减去其起点的坐标. 证明由 P 1( x 1,y 1,z 1 ),P 2 ( x 2,y 2,z 2 ) 知 OP 1 = x 1 e 1 + y 1 e 2 + z 1 e 3,OP 2 = x 2 e 1 + y 2 e 2 + z 2 e 3, 根据命题 1 畅 2 畅 1(2), 我们有 P1 P2 = OP2 - OP1 = ( x2 - x1,y2 - y1,z2 - z1). 3 畅两向量共线 三向量共面的条件. 命题 1 畅 2 畅 3 在仿射坐标系 { O ;e 1,e 2,e 3} 中, 两个非零向量 v 1 ( X 1,Y 1,Z 1 ), v 2( X 2,Y 2,Z 2) 共线的充要条件是对应分量成比例, 即 这里我们约定 : 当分母为零时, 分子亦为零. X 1 X 2 = Y1 Y 2 = Z1 Z 2. (1 畅 2 畅 2) 证明据定理 1 畅 1 畅 3, 向量 v 1,v 2 共线的充要条件是其中一个向量可用另一 个向量来线性表示, 不妨设 v1 = λv2, 于是 ( X 1,Y 1,Z 1) = λ( X 2,Y 2,Z 2) = ( λx 2,λY 2,λZ 2), 由此得到 X 1 = λx 2,Y 1 = λy 2,Z 1 = λz 2, 所以 (1 畅 2 畅 2) 式成立. 要条件是 推论 1 畅 2 畅 1 三个点 A( x1,y1,z1),b( x2,y2,z2 ) 和 C( x3,y3,z3 ) 共线的充 x 2 - x 1 x 3 - x 1 = y2 - y1 y 3 - y 1 = z2 - z1 z 3 - z 1. (1 畅 2 畅 3) 命题 1 畅 2 畅 4 在仿射坐标系 { O ;e1,e2,e3 } 中, 三个非零向量 vi ( Xi, Y i,zi ) ( i = 1,2,3) 共面的充要条件是 X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 = 0. (1 畅 2 畅 4) X 3 Y 3 Z 3

20 14 第 1 章向量代数 证明据命题 1 畅 1 畅 2, 三个向量 v 1,v 2,v 3 共面的充要条件是它们线性相关, 即存在不全为 0 的实数 λ,μ,ν 使得 λ v 1 + μ v 2 + ν v 3 = 0. 由此可得到 λx 1 + μx 2 + νx 3 = 0, λy 1 + μ Y 2 + νy 3 = 0, λz 1 + μz 2 + νz 3 = 0, 这是关于 λ,μ,ν 的齐次线性方程组. 该方程组有非零解 λ,μ,ν 的充要条件是系数行列式等于 0, 即 X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 = 0. 或 X3 Y3 Z3 推论 1 畅 2 畅 2 4 个点 A i( x i,y i,z i)( i = 1,2,3,4) 共面的充要条件是 4 畅线段的定比分点坐标. x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = 0 (1 畅 2 畅 5) x 4 - x 1 y 4 - y 1 z 4 - z 1 x1 y1 z1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 1 = 0. (1 畅 2 畅 5) 命题 1 畅 2 畅 5 在仿射坐标系 { O ;e 1,e 2,e 3 } 中, 已知点 A ( x 1,y 1, z 1 ) 与点 B( x 2,y 2,z 2), 那么分线段 AB 成定比 λ( λ - 1) 的分点 P 的坐标是 x1 + λx2 y1 + λy2 x =, y = 1 + λ 1 + λ, z = z1 + λz2 1 + λ. (1 畅 2 畅 6) 证明提示由例 1 畅 1 畅 2 中的定比分点公式 (1 畅 1 畅 1) 可得公式 (1 畅 2 畅 6). 例 1 畅 2 畅 1 已知三角形三顶点为 P i( x i,y i,z i)( i = 1,2,3), 求 P 1 P 2 P 3 的重 心的坐标. 解设 P 1 P 2 P 3 的三条中线为 P i M i, 其中顶点 P i 的对边上的中点为 M i( i = 1,2,3), 三中线的公共点为 G( x,y,z)( 图 1 畅 19), 因此有 即重心 G 把 P 1 M 1 分成定比 λ = 2. P 1 G = 2 G M 1,

21 1 畅 3 举例 : 应用向量的线性运算解初等几何问题 15 因为 M 1 为 P 2 P 3 的中点, 所以点 M 1 的坐标 x 2 + x 3 y2 + y3 z2 + z3 为,, 得重心 G 的坐标. 再根据公式 (1 畅 2 畅 6), x = x2 + x3 x = 1 ( x1 + x2 + x3), 3 y = 1 3 ( y1 + y2 + y3), z = 1 ( z1 + z2 + z3). 3 所以 P 1 P 2 P 3 的重心为 图 1 畅 19 G x1 + x2 + x3 3 y1 + y2 + y3 z1 + z2 + z3,, 3 3 习题 1 畅 2. 1 畅给定仿射坐标系. (1) 已知点 A(2,0,- 1), 向量 AB = (1,3,4), 求点 B 的坐标 ; (2) 求点 (7,- 3,1) 关于点 (4,0,- 1) 的对称点的坐标. 2 畅给定直角坐标系. 设点 M 的坐标为 ( x,y,z), 求它分别对于 xoy 面,x 轴和原点的对称点的坐标. 3 畅设平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 M, 又 DP = 1 5 DB, CQ = 1 6 CA. 在仿射坐标系 { A ;AB,AD} 下, 求点 M,P,Q 的坐标及向量 PQ 的坐标. 4 畅设 ABCDEF 为正六边形, 求各顶点以及向量 DB,DF 在 { A ;AB,AF} 中的坐标. 5 畅设向量 a = (5,7,2),b = (3,0,4),c = ( - 6,1,2), 求下列向量坐标 : (1) 2 a - b + 3 c ; (2) 3 a + 4 b - c. 6 畅已知点 A 的坐标为 (7,- 4,1), 点 B 的坐标为 ( - 2,2,4), 将线段 AB 三等分, 求各分点的坐标. 7 畅判断下列各组的三个向量 a,b,c 是否共面? 能否将 c 表示成 a,b 的线性组合? 若能表示, 则写出表达式. (1) a(5,2,1),b( - 1,4,2),c( - 1,- 1,5) ; (2) a(6,4,2),b( - 9,6,3),c( - 3,6,3) ; (3) a(1,2,- 3),b( - 2,- 4,6),c(1,0,5). 8 畅已知 a = (1,5,3),b = (6,- 4,- 2),c = (0,- 5,7),d = (20,- 27,35). 试证明 a,b,c 不共面, 并将 d 表示成 a,b,c 的线性组合. 1 畅 3 举例 : 应用向量的线性运算解初等几何问题 1 畅 1 节中的诸命题告诉我们, 向量的线性运算可以用来解决有关点的共线或

22 16 第 1 章向量代数 共面问题, 直线的共点问题以及线段的定比分点问题等. 本节通过举例说明如何使 用向量方法解决上述有关仿射性质的几何问题. 向量法的优点在于比较直观, 有些 几何概念用向量表述比较简单, 因此讨论其性质也颇方便. 但是向量的运算不如数 的运算简洁. 在空间建立了坐标系后, 向量的运算可转化为数的运算, 因此本节也 介绍用坐标方法解初等几何问题. 图 1 畅 20 例 1 畅 3 畅 1 在三角形 ABC 的 BC 边上取点 L,CA 边上取点 M,AB 边上取点 N, 试求以向量 A L,BM 和 CN 为边构成三角形的条件. 解以向量 A L,BM,CN 为边构成一个三角形是 说, 顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形 ( 图 1 畅 20), 因此 A L,BM,CN 组成一个三角形的充要 条件是 设 A N = λ AB,BL = μ BC,CM = ν CA, 则 将以上三个等式两边分别相加, 得 A L = AB + BL = AB + μ BC, BM = BC + CM = BC + ν CA, CN = CA + A N = CA + λ AB. A L + BM + CN = 0. (1 畅 3 畅 1) A L + BM + CN = AB + BC + CA + λ AB + μ BC + ν CA. 显然 AB + BC + CA = 0, 所以 若 A L + BM + CN = 0 则 或 A L + BM + CN = λ AB + μ BC + ν CA. (1 畅 3 畅 2) λ AB + μ BC + ν CA = 0 ( λ - ν) AB + ( μ - ν) BC = 0. 但 AB,BC 不共线, 因而线性无关, 故 λ - ν = 0,μ - ν = 0, 即 λ = μ = ν. 由此可知 : 若 A L,BM,CN 构成三角形, 则在各边上取的点 L,M,N 应满足下列条件 反之, 若条件 (1 畅 3 畅 3) 式成立, 则由 (1 畅 3 畅 2) 式得 A N AB = BL BC = CM CA. (1 畅 3 畅 3) A L + BM + CN = λ( AB + BC + CA) = 0, 即 (1 畅 3 畅 1) 式成立. 于是 A L,BM,CN 构成一个三角形的充要条件是 (1 畅 3 畅 3) 式成 立, 即在三角形各边上取的分点 L,M,N 使得截成的线段 A N,BL,CM 与所在的 边成定比.

23 1 畅 3 举例 : 应用向量的线性运算解初等几何问题 17 例 1 畅 3 畅 2 试证 : 连接平行四边形的一个顶点至对边中点的直线段三等分对角线. 证明设在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AD,DC 边上的中点,BE,BF 分别交 AC 于 G, H 两点 ( 图 1 畅 21). 证法一使用向量法证. 设 AB = a,ad = b, 则 AC = a + b,a G = m( a + b),m 为某一实数. 又令 BG = n BE,n 为某一实数, 则 图 1 畅 21 A G = AB + BG = AB + n BE = a + n - a b = (1 - n) a + n 2 b, 因此 ma + mb = (1 - n) a + n 2 b. 由于 a,b 线性无关, 所以 m = 1 - n, m = n 2, 解得 m = 1 3,n = 2 3, 所以 A G = 1 3 ( a + b). 同理可证 HC = 1 3 ( a + b),gh = 1 3 ( a + b), 于是 A G = GH = HC,A G = GH = HC. 图 1 畅 22 注从上面两题可见, 用向量法讨论初等几何问题, 应该在图形中选定线性无关的向量, 其他的向量则设法用它们线性表示, 再利用给定的条件确定相应的关系. 下面利用坐标方法来证. 证法二在平行四边形 ABCD 中, 设 AB = e 1, AD = e 2, 建立平面仿射坐标系 { A ;e 1, e 2}, 则 A,B,C,D,E,F 各点的坐标分别为 A(0,0), B(1,0), D(0,1), C(1,1), E(0, 1 2 ), F 1 2,1 ( 图 1 畅 22). 假设 BE 与 AC 交于点 G( x,y), 因此可设 EG = λ GB,A G = μ GC. 根

24 据线段的定比分点公式, 点 G 的坐标 及 18 第 1 章向量代数 于是 x = 0 + λ1 1 + λ = λ 1 + λ, y = 解得 λ = μ = 1 2, 从而点 G 的坐标为 λ0 1 + λ = 1 2(1 + λ), x = 0 + μ1 1 + μ = μ 1 + μ, y = 0 + μ1 1 + μ = μ 1 + μ. λ 1 + λ = μ 1 + μ, 1 2(1 + λ) = μ 1 + μ. 1 3,1 3 同样的方法可得到 AC 与 BF 的交点 H 的坐标为 AC 的两个三等分点.. 2 3,2 3 注我们从上面解法获得另一信息是 :EG = 1 2 GB,FH = 1 2 HB.. 因此 G,H 为线段 三线共点和三点共线是初等几何中的常见问题, 这类问题可以利用向量法或 坐标法来解决. 线, 我们有 图 1 畅 23 例 1 畅 3 畅 3 试证四面体的对棱中点的连线相交于一 点, 且互相平分. 证法一设四面体 ABCD 的一组对棱 AB,CD 的中 点 E,F 的连线为 EF, 它的中点为 P 1 ( 图 1 畅 23). 其余两 组对棱中点连线的中点分别为 P2,P3, 我们需证 P1,P2, P 3 三点重合. 取不共面的三向量 AB = e 1,AC = e 2,AD = e 3. 求出 AP 1 用 e 1,e 2,e 3 线性表示的关系式. 连 AF,AP 1 是 AEF 的中线, AF 是 ACD 的中 AP 1 = 1 2 ( AE + AF) = 1 4 AB ( AC + AD) = 1 ( e1 + e2 + e3). 4 同理可得 APi = 1 4 ( e1 + e2 + e3 ),i = 2,3, 所以 AP1 = AP2 = AP3,P1,P2,P3 三点 重合.

25 1 畅 3 举例 : 应用向量的线性运算解初等几何问题 19 证法二在四面体 ABCD 中, 设 AB = e 1, AC = e 2, AD = e 3, 建立仿射坐标系 { A ;e 1,e 2,e 3 }( 图 1 畅 24), 则四 面体 ABCD 的各顶点坐标为 A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1). 于是各棱中点坐标为 E 1 2,0,0, F 1 2,1 2,0, G 0,1 2,0, L 0, 1 2,1 2, M 0,0, 1 2, N 1 2,0,1 2. 图 1 畅 24 因此 EL 的中点坐标为 1 4,1 4, ,1 4,1 4, 同理可求出 FM, GN 的中点坐标都是, 所以四面体的对棱中点连线相交于一点, 且互相平分. 注可以按例 1 畅 3 畅 2 提供的方法求出 EL 与 FM 的交点坐标为 EL 与 GN 的交点坐标也是 点, 且互相平分. 1 4,1 4, ,1 4,1 4, 所以四面体的三条对棱中点连线交于一 向量法在力学 物理学中也有重要应用, 我们以质点组的重心为例. 例 1 畅 3 畅 4 设 M 1,M 2,,M n 为 n 个质点在空间中的位置, 它们分别具有质 量 m 1,m 2,,m n. 在空间任取一点 O, 作向量 OC 如下 : OC = 如此决定的点 C 称为这组质点的重心. m1 O M1 + m2 OM2 + + mn OM n m 1 + m m n, (1 畅 3 畅 4) 求证 : 由 (1 畅 3 畅 4) 式确定的重心与点 O 的选取无关. 证明取另一点 O, 作向量 O C = m1 O M1 + m2 O M2 + + mn O M n m 1 + m m n. (1 畅 3 畅 5) 只要能证明点 C 与点 C 重合, 就说明了重心与点 O 的选取无关. 将 代入 (1 畅 3 畅 5) 式, 得 O M i = O O + O M i ( i = 1,2,,n) ( m1 + m2 + + mn) O O + m1 O M1 + m2 O M2 + + mn OM n O C = m 1 + m m n 所以 C = C. = O O + OC = O C,,

26 20 第 1 章向量代数 习题 1 畅 3 1 畅在 ABC 中,D 为 BC 边的中点,E,F 分别为 AC,AB 边上的点使得 EF 平行于 BC, 证 明 AD,BE,CF 相交于一点. 2 畅在空间四边形 ABCD 的四边 AB,CB,CD,AD 上分别取点 E,F,G,H 使得 则 EFGH 是平行四边形. AE AB = FC BC = CG CD = HA DA = λ( 常数 ), 3 畅在 ABC 中,E,F 分别是 AC,AB 上的点, 并且 CE = 1 3 CA,AF = 1 3 AB. 设 BE 与 CF 交于 G, 证明 : GE = 1 7 BE, GF = 4 7 CF. 4 畅用坐标法证明 : 三角形 ABC 的三条中线交于一点. 5 畅用坐标法证明 : 在 ABC 中, 设 P,Q,R 分别是直线 AB,BC,CA 上的点, 并且 证明 :P,Q,R 共线的充要条是 λμν = - 1. AP = λ PB, BQ = μ QC, CR = ν RA. 6 畅用向量法证明契维定理 : 若三角形 ABC 的三边 AB,BC,CA 依次被分割成 AF :FB = λ :μ, BD :DC = ν :λ, CE :EA = μ :ν, 其中 λ,μ,ν 均为正实数, 则 ABC 的顶点与对边分点的连线交于一点 M, 并且对任意点 O, 有 OM = 1 ( μ OA + λ OB + ν OC). λ + μ + ν 1 畅 4 向量的内积 如同从力或位移的合成引出向量加法运算一样, 人们从另外一些力学 物理学或其他科技问题出发, 又概括出向量乘法运算, 并且这种运算为解决许多实际问题提供了工具. 本节及下一节分别介绍向量的内积与外积这两种乘法运算. 首先看一个力学问题 : 求力 F 使质点产生位移 S 所做的功 W. 如果质点沿着力的方向移动, 那么力所做的功等于力的大小与质点移动的距离的乘积 ; 如果质点移动的方向和力的方向不一致 ( 图 1 畅 25), 那么力所做的功等于这个力在位移方向上的图 1 畅 25 分力大小与移动距离的乘积, 用公式表达为 W = F 1 S = F S cos α, 其中 F 1 是 F 沿 S 方向的分力,α 是 F 与 S 的夹角. 反映在数学上, 两个非零向量 a 与 b 的夹角 ( a,b) 规定如下 : 自空间任意点 O 作 O A = a,ob = b, 我们把由射线 O A 和 OB 构成的角度在 0 与 π 之间的角叫

27 1 畅 4 向量的内积 21 做 a 与 b 的夹角 ( 图 1 畅 26). 当 ( a,b) = π 2 时, 称向量 a 与 b 是互相垂直的, 记作 a b. 下面来考察类似于 F 沿 S 方向的分力 F 1 那样的向量. 图 1 畅 26 1 畅 4 畅 1 向量的射影 定义 1 畅 4 畅 1 设 a,b 是两个向量, 且 b 0. 过向量 a 的 起点 A 和终点 B 分别作平面与 b 垂直, 并且交 b 所在直线于 A,B 两点 ( 图 1 畅 27), 则所得向量 A B 叫做向量 a 在向量 b 上的射影向量. 图 1 畅 27 如果 A B = xb ( b 是与 b 同向的单位向量 ), 那么实数 x 称为向量 a 在向量 b 上的射影, 记为 Prj ba. 命题 1 畅 4 畅 1 Prj ba = a cos ( a,b). 证明过向量 a 的起点 A 和终点 B 分别作平面 α 和 β 与 b 垂直, 并且交 b 所在直线于 A,B 两点 ( 图 1 畅 28), 再过点 A 作直线平行于 b( 若 A A ) 交平面 β 于点 B, 则 A B = AB. 在直角三角形 ABB 中, 有 AB = a cos φ, 0 < φ < π 2. 当 A B 与 b 同向时, ( a,b) = φ ; 当 A B 与 b 反向时,φ = π - ( a,b), 所以 图 1 畅 28

28 22 第 1 章向量代数 Prj ba = a cos ( a,b). 命题 1 畅 4 畅 2 (1) Prj b( a 1 + a 2) = Prj ba 1 + Prj ba 2 ; (2) Prj b( λa) = λprj ba. 图 1 畅 29 证明 (1) 取 AB = a1,bc = a2, 则 AC = a1 + a2. 据定义 1 畅 4 畅 1, 向量 a1,a2, a1 + a2 在向量 b 上的射影向量分别是 A B,B C,A C ( 图 1 畅 29). 设 A B = xb, B C = yb, 则 A C = A B + B C = ( x + y) b, 所以 Prj b( a 1 + a 2) = Prj ba 1 + Prj ba 2. (2) 若 λ = 0 或 a = 0, 结论显然成立. 下设 λ 0 且 a 0. 当 λ > 0 时, ( λa,b) = ( a,b), 据命题 1 畅 4 畅 1, Prj b( λa) = λa cos ( λa,b) 当 λ < 0 时, ( λa,b) = π - ( a,b), 于是 = λ a cos ( a,b) = λprj ba ; Prj b( λa) = λa cos ( λa,b) = - λ a cos( π - ( a,b)) 1 畅 4 畅 2 向量内积的定义和性质 = λ a cos ( a,b) = λprj ba. 定义 1 畅 4 畅 2 两个向量 a 和 b 的内积 ( 也称点积或数量积 ) 记为 a b 或 ab, 规 定为 a 与 b 的模和它们的夹角的余弦的乘积, 即 a b = a b cos ( a,b). (1 畅 4 畅 1) 显然, 两个向量的内积是一个实数. 并且由命题 1 畅 4 畅 1 知, 如果 a 0,b 0, 那么 a b = a Prj ab = b Prj ba. (1 畅 4 畅 2) cos ( a,b) = 特别地, 当 a = b 时,a a = a 2. 记 a 2 = a a, 则 a = a 2. a b a b. (1 畅 4 畅 3) 命题 1 畅 4 畅 3 设 a,b 为向量, 则 a b 的充要条件是 a b = 0.

29 1 畅 4 向量的内积 23 证明留给读者. 命题 1 畅 4 畅 4 向量的内积满足下面的运算规律 : 对任意向量 a,b,c 及任意实数 λ, 有 (1) 交换律 a b = b a ; (2) 关于数因子的结合律 ( λa) b = λ( a b) ; (3) 分配律 ( a + b) c = a c + b c ; (4) a a 0, 等号成立当且仅当 a = 0. 证明 (1),(4) 显然. (2) ( λa) b = b Prj b( λa) = λ b Prj ba = λ( a b) ; (3) ( a + b) c = c Prj c( a + b) = c (Prj ca + Prj cb) = c Prj ca + c Prj cb = a c + b c. 问题 (1) 向量的内积是否满足消去律, 即由 a b = a c 及 a 0 能否推出 b = c? (2) 对任意三个向量 a, b, c,( ab) c a( bc), 为什么? 例 1 畅 4 畅 1 证明三角形的三条高交于一点. 证明如图 1 畅 30, 设 H 是 ABC 的高 AD 与 BE 的交点, 只需证 CH 垂直于 AB. 图 1 畅 30 证法一因 H A BC = 0, 即 ( HC + CA) BC = 0, 故 HC BC = AC BC. 同理由 HB AC = 0 得 HC AC = BC AC, 因此 HC AB = HC AC + HC CB = BC AC - AC BC = 0, 于是 HC AB, 这证明了三角形的三条高交于一点. 证法二令 H A = a,hb = b,hc = c, 则 AB = b - a,bc = c - b,ca = a - c. 因 H A BC, 故 a( c - b) = 0,a c = a b. 同理由 HB CA 得 a b = b c. 从而 a c = b c,c( b - a) = 0, 所以 HC AB. 例 1 畅 4 畅 2 空间四边形的两条对角线互相垂直的充要条件是对边平方的和相等 ( 图 1 畅 31). 证明在空间四边形 ABCD 中, 设 AB = a,bc = b,cd = c,da = d, 则 a + b + c + d = 0, 因此 ( - d) 2 = ( a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c a b + 2 b c + 2 a c = a 2 + c 2 - b 2 + 2( b 2 + b c + a b + a c) = a 2 + c 2 - b 2 + 2( a + b)( b + c), 并且

30 24 第 1 章向量代数 图 1 畅 31 由此可知 b 2 + d 2 - a 2 - c 2 = 2 AC BD. AC BD 骋 AC BD = 0 骋 a 2 + c 2 = b 2 + d 2. 1 畅 4 畅 3 用坐标计算向量的内积 选取一个仿射坐标系 { O ;e 1,e 2,e 3}. 设向量 a,b 的坐标分别为 ( a 1,a 2,a 3),( b 1,b 2,b 3), 则 a b = ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3)( b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3) = a 1 b 1 e a 2 b 2 e a 3 b 3 e ( a 1 b 2 + a 2 b 1) e 1 e 2 + ( a 1 b 3 + a 3 b 1) e 1 e 3 + ( a 2 b 3 + a 3 b 2) e 2 e 3. (1 畅 4 畅 4) 可见只要求出基向量 e 1,e 2,e 3 之间的内积, 就可以求出任意两个向量的内积. 之和. 现在我们考察在直角坐标系 { O ;i,j,k} 下向量的内积的坐标表达式. 定理 1 畅 4 畅 1 在直角坐标系下, 两个向量的内积等于它们的对应坐标的乘积 证明设向量 a,b 在直角坐标系 { O ;i,j,k} 下的坐标分别为 a = ( X 1,Y 1, Z 1),b = ( X 2,Y 2,Z 2). 因为 所以 特别地, i i = j j = k k = 1, i j = j k = k i = 0, 推论 1 畅 4 畅 1 在直角坐标系 { O ;i,j,k} 下, a b = X 1 X 2 + Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2. (1 畅 4 畅 5) (1) 向量 a = ( X,Y,Z) 的模 a = X 2 + Y 2 + Z 2 ; (1 畅 4 畅 6) (2) 点 M 1( x 1,y 1,z 1) 与 M 2( x 2,y 2,z 2) 之间的距离 M 1 M 2 = ( x 2 - x 1) 2 + ( y 2 - y 1) 2 + ( z 2 - z 1) 2 ; (1 畅 4 畅 7) (3) 两个非零向量 a = ( X 1,Y 1,Z 1),b = ( X 2,Y 2,Z 2) 的夹角的余弦 cos ( a,b) = 1 畅 4 畅 4 向量的方向余弦 a b a b = X 1 X 2 + Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2. (1 畅 4 畅 8) X Y Z 2 1 X Y Z 2 2 a b 骋 X 1 X 2 + Y 1 Y 2 + Z 1 Z 2 = 0. (1 畅 4 畅 9) 在直角坐标系 { O ;i,j,k} 中, 向量 a 与坐标向量 i,j,k 的夹角称为 a 的方向 角, 分别用 α,β,γ 来表示. 方向角的余弦 cos α,cos β,cos γ 称为向量 a 的方向余弦. 命题 1 畅 4 畅 5 在直角坐标系 { O ;i,j,k} 中, 非零向量 a = ( X,Y,Z) 的方向余