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1 第 章向量与空间解析几何 第 节空间直角坐标系 第 节第 3 节第 4 节 向量的数量积与向量积平面与直线曲面与空间曲线 第 5 节曲面与空间曲线

2 第 节空间直角坐标系

3 空间直角坐标系空间直角坐标系 : 过空间一个定点 O, 作三条相互垂直的数轴, 它们都以 O 为原点且一般具有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做 x 轴 ( 横轴 ) y 轴 ( 纵轴 ) 和 z 轴 ( 竖轴 ). 一般是将 x 轴和 y 轴放置在水平面上, 那么 z 轴就垂直于水平面 ; 它们的方向通常符合右手螺旋法则, 即伸出右手, 让四指与大拇指垂直, 并使四指先指向 x 轴, 然后 让四指沿握拳方向旋转 90 指向 y 轴, 此时大拇指的方向即为 z 轴方向. 这样就构成了空间直角坐标系,O 称为坐标原点.

4 z yoz 平面 zox 平面 x O xoy 平面 坐标面 : 在空间直角坐标系中, 每两轴所确定的平面称为坐标平面, 简称坐标面. 即 xoy 坐标面 yoz 坐标面和 zox 坐标面. y

5 卦限 : 在空间直角坐标系中, 坐标面把空间分为八个 部分, 每一个部分称为一个卦限. 在 xoy 坐标面上方有四 个卦限, 下方有四个卦限. 含 x 轴,y y 轴和 z 轴正向的卦限称为第 Ⅰ 卦限, 然后逆着轴 z 正向看时, 按逆时针顺序依次为 Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 卦限, 对于分别位于 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 卦限下面的四个卦限, 依次为第 Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ 卦限. Ⅳ Ⅲ z Ⅰ Ⅱ Ⅶ O Ⅵ y x Ⅷ Ⅴ

6 点的坐标 : 设 P 为空间的任意一点, 过点 P 作垂直 于坐标面 xoy 的直线得垂足 P, 过 P 分别与 x 轴,y 轴垂 直且相交的直线, 过 P 作与 z 轴垂直且相交的直线, 依次 得 xyz,, 轴上的三个垂足 M, N, R. 设 xyz,, 分别是 M, N, R点在数轴上的坐标. 这样空间内任一点 P 就确 定了惟一的一组有序的数组 x, y, z, 用 ( x, y, z ) 表示. 反之, 任给出一组有序 z R 数组 x, y 和 z, 也能确定了 P ( x, y, z ) 空间内惟一的一个点 P z, 而 x, y 和 z 恰恰是点 P 的坐 O y N x y 标. M P' x

7 根据上面的法则, 建立了空间一点与一组有序数 (x, y,z ) 之间的一一对应关系. 有序数组 ( xyz,, ) 称为点 P 的坐标,x,y,z 分别称为 x 坐标, y 坐标和 z 坐标.

8 第 节向量的线性运算及坐标 一. 向量的基本概念向量 : 既有大小又有方向的量称为向量 ( 或矢量 ). 向量一般用黑体小写字母表 示, 如 a,b,c 等. 有时也用 abc,, 等表示向量. 几何上, 也常用有向线段来表示向量, 起点为 M, 终点为 N 的向量记为 MN. N M

9 向量的模 : 向量的大小称为向量的模. 用 a, b, c, 或 AB 表示向量的模. 单位向量 : 模为 的向量称为单位向量. 零向量 : 模为 0 的向量称为零向量, 记为 0. 规定零向量的方向为任意方向. 定义 如果向量 a 和 b 的大小相等且方向相同, 则称向量 a 与 b 相等, 记为 a b. 二. 向量的加减法. 加法 ( 平行四边形法则 ) 将向量 a 与 b 的 起点放在一起, 并以 a 和 b 为邻边作平行四边形, 则 从起点到对角顶点的向量称为向量 a 和 b 的和向 量, 记为 a +b.

10 b a + b a + b b a 向量加法的三角形法则 : 把 b 的起点放到向量 a 的终点上, 把自 a 的起点的到向量 b 的终点的向量为 a b. 向量加法运算规律 : 交换律 : a b b a ;. 向量与数的乘法 结合律 :( a b) c a ( b c). 定义 设 为一实数, 向量 a 与数 的乘积是一个向量, 记为 a, 并且规定 :() a a ;() 当 0 时, a 与 a 同向 ; 当 0 时, a 与 a 反向 ;(3) 当 =0 时, a 0( 零向量 ).

11 向量与数的乘法运算规律 : 结合律 : ( a) ( ) a ( a) ; 分配律 :( ) a a a ( a b) a b 交换律 : a a., ; 同向的单位向量 : 设 a 是一个非零向量, 则向量 a a 为与向量 a 同向的单位向量. a 定义 3 =- 时, 记 ( ) a a, 则 a 与 a 的方向 相反, 模相等, 称 a 为 a 的负向量 ( 也称其为 a 的逆向量 ). 3. 向量的减法 : 向量 a 的 b 的差规定为 a b a ( b ).

12 向量减法的三角形法则 : 把 a 与 b 的起点放在一起, 即 a b 是以 b 的终点为起点, 以 a 的终点为终点的方向向量. 三 向量的坐标表示. 向径及其坐标表示 向径 : 起点在坐标原点 O, 终点为 M 的向量 OM 称为点 M 的向径, 记 b 为 r (M ) 或 OM. a-b a a+(-b) -b

13 基本单位向量 : 在坐标轴上分别取与 x 轴, y 轴和 z 轴方向 相同的单位向量称为基本单位向量, 分别用 i, j,k, 表示. 向径的坐标 : 若点 M 的坐标为 ( xyz,, ) y j, OC z, 则向量 OA x i, OB z k 由向量的加法法则得 OM =OM +MM =(OA +OB )+OC = xi yj zk, 称其为点 M ( xyz,, ) 的向径 OM 的坐标表达式, 简记为 OM =x, y, z.

14 向量 M M 设 的坐标表达式 M ( x, y, z ), M ( x, y, z ) 为坐标系中两点, 向径 OM, OM 的坐标表达式为 OM x i y j z k, OM xi yjzk, 则以 M 为起点, 以 M 为终 点的向量 MM =OM OM MM 即以 ( xi yjzk ) ( xi yjzk ) ( x x ) i ( y y ) j ( z z ) k, M ( x, y, z ) 为起点, 以 M( x, y, z ) 为终点的向量 MM 的坐标表达式为 MM ( x x ) i ( y y ) j ( z z ) k

15 向量 a a j a 3 a i j k 的模 任给一向量 a aiaja3k, 都可将其视为以点 M ( a, a, a 3 ) 为终点的向径 OM, OM = OA + OB + OC, 即 a = a a a 3, 所以向量 a aia ja k 的模为 a = 3 x A z C O i k j M M ' B y a x a a3. z M O M y

16 . 空间两点间的距离公式 : 设点 M ( x, y, z ) 与点 M ( x, y, z ), 且两点间的 距离记作 d ( M M ), 则 d ( M M ) = MM ( x x) ( y y) ( z z) 例 () 写出点 A (,, ) 的向径 ;. () 写出起点为 A (,, ), 终点为 B (3,3,03 ) 的向量 的坐标表达式 ; (3) 计算 A, B 两点间的距离. 解 () OA i jk; () AB (3) i(3) j(0 ) k i jk;

17 (3) d( AB) AB ( ) 6. 坐标表示下的向量运算 设 a a a3 a i j k, b bibjb3k, 则有 a b ( a b ) i ( a b ) j ( a b ) k; () 3 3 a aia ja k; () 3 ab( a b ) i( a b ) j( a b ) k; (3) 3 3 (4) a b a b, a b, a3 b3 ; (5) a// b a a a3. b b b b3

18 思考题. 点 M ( x, y, z ) 与 x 轴,xOy, y 平面及原点的对称点坐 标为何?. 下列向量哪个是单位向量? () r i j k ; () a,0, ; (3) b,,

19 第 3 节 两向量的数量积与向量积 一 两向量的数量积 二 两向量的向量积

20 一 向量的数量积 ( 点积 ). 引例已知力 F 与 x 轴正向夹角为 其大小为 F, 在力 F 的作用下, 一质点 M 沿轴 x 由 x a 移动 到 x b处, 求力 F 所做的功? 解力 F 在水平方向的分力大 小为 Fx Fcos 所以, 力 F 使质点 F M 沿 x 轴方向 ( 从 A 到 B ) 所做的功 A B W Fcos b a = F AB cos, a 即力 F 使质点 M 沿 x 轴由点 A 移动到 B 点所做的功等于力 F 的模与位移矢量的模及其夹角余弦的积. O b x

21 . 数量积的定义 定义 设向量 a 与 b 之间夹角为 ( π), 则 称数量 a b cos 为 a 与 b 的数量积 ( 或点积 ), 并 用 a b表示, 即 a b= a b cos. 例 已知基本单位向量 i, j, k 是三个相互垂直的单 位向量, 求证 : i i j j k k ; i j j k k i 0. 证因为 i j k, 所以 i i i i cos ( 0). 同理可知 : j j k k ; 又因为 i j, k, 之间的夹角皆为, 故有 i j i j cos 0 0, 同理可知 j k k i 0.

22 点积的运算规律 : 交换律 : a b b a ; 分配律 : a ( b c ) a b a c ; 结合律 : a b ( a b) a ( b). 3. 点积的坐标表示设 a aiaja3k, bbibjb3k, 则 ab( aia ja k) ( bib jb k ). 3 3 a b + a b + a 3 b 3, 故向量 a a, a a 与 b b, b b, 应坐标积的和. 3, 3 的点积等于其相

23 两向量的夹角 : 设 a = a i+ a j + a 3 k,b= b i + b j + b 3 k, 则由向量点积知向量 a 与 b 夹角余弦公式为 a b cos ab ab a3b3 3 a b a a a b b b 3 3 (0 π). 向量垂直的条件 : 向量 a 与 b 正交的充分必要条件是 a b=0 或 ab ab a3b3=0. 例 试证向量 a,,3 与 b 3,3, 3 3 是正交的. 证因为 a b 3 3 3( 3) 0, 所以 a 与 b 正交.

24 例 3 设向量 a a i a j a3 k 与 x 轴,y 轴,z 轴正向 的夹角分别为,, 称其为向量 a 的三个方向角, 并称 cos, cos, cos 为向量 a 的方向余弦, a cos, a a a a cos, a a a cos a, a a a 并且 cos cos cos.

25 证向量 i, j,k k 的坐标表达式分别为 于是有,0,0, j 0,,0, k 0,0, i, a i cos = a i cos cos a j a j a a a a 3, a a a3 a k k, a a a. 3 a a a a3 且 a a3 a a3 ) a cos cos cos ( a.

26 二 向量的叉积. 引例设 O 点为一杠杆的支点, 力 F 作用于杠杆上点 P 处, 求力 F 对支点 O 的力矩. 解根据物理学知识, 力 F 对点 O 的力矩是向量 M 其大小为 M F d F OP sin F d F OP sin. 其中 d 为支点 O 到力 F 的作用线距 离, 为矢量 F 与 OP 的夹角. 力矩 M 的方向规定为 :OP,F,M 依次 符合右手螺旋法则. O d P F

27 因此, 力矩 M 是一个与向量 OP 和向量 F 有关的 向量, 其大小为 OP F sin, 其方向满足 :() 同时垂 直于向量 OP 和 F ;() 向量 OP, F, M 依次符合右 手螺旋法则.. 向量积的定义 定义 两个向量 a 和 b 的叉积 ( 也称为向量积 ) 是一个向量, 记作 a b, 并由下述规则确定 : () a b a b sin( a, b ) ()a b 的方向规定为 : 注 :a: b 既垂直于 a 又垂直于 b, 并且按顺序 aba,, b 符合右手螺旋法则. a c=a b b

28 若把 a,b b 的起点放在一起, 并以 a,b 为邻边作平行四边形, 则向量 a 与 b 叉积的模 a b = a b sin 即为该平行四边形的面积. 叉积的运算规律 : b _ a b a _ () a b b a ( 反交换律 ); () a ( b c ) b a c a ( 左分配律 ); (3)( b c)a ba c a( 右分配律 ); (4)( a) b ( a b) a b

29 例 5 试证 : i i j j k k a a 0. 证只证 a a 0, 因为 a 与 a 平行 ( 即共线 ), 所以其夹角 0或 π, 从而 sin 0, 因此 a a a a sin 0, 而模为 0 的向量为零向量, 所以 a a 0. 定理两个非零向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零向量. 3. 向量积的坐标表示 设 a a i a j a3 k, b b i b j b3 k 注意到 i i j j k k a a 0, 及 i j k, j k i, k i j 应用叉积的运算规律可得 a b ( ab ab ) i ( ab ab ) j ( ab ab ) k

30 为了便于记忆, 可将 a b 表示成一个三阶行列式, 计算时, 只需将其按第一行展开即可, i j k 即例 6 设 a i j k 解 ab 0 3 i ( ) a b a a a 3 b b b b3 i j k, b j 3k, 求 a b.. j( ) k( ) 3 8 i 3 j k. 0

31 位向量. 例 7 求同时垂直于向量 a 3i6j8k 及 x 轴的单 解因为 a 3i 6 j 8k, i i 0 j 0k, 所以, 同时垂 直于 a 和 x 轴的单位向量 a i (3 i 6 j 8k ) i c a i a i (8 j 6k) 0 即为所求的两个单位向量. 4 3 j k 5 5

32 例 8 已知力 F i j 3 k 作用于点 A (3 3,, ) 处, 求此力关于杠杆上另一点 B (,,3) 的力矩. 解因为 F i j 3k 从支点 B 到作用点 A 的向量 BA (3 ) i ( ( )) j ( 3) k i 3 j 4 k 所以, 力 F 关于点 B 的力矩 i j k M BA F = ( 9 4) i (6 8) j ( 6) k = 5i 4 j 8k.

33 思考题. 若 a 与 b 为单位向量, 则 a b是单位向量吗?. 验证 : () a ( bc) ( a b) c ; () a ( bc) ( a c) b ( a b) c; (3) a ( a c ) a c.

34 第 4 节平面与空间直线 一 平面的方程二 直线的方程三 两平面间 两直线间的位置关系四 直线与平面的位置关系

35 第 4 节平面与空间直线 一 平面的方程. 平面的点法式方程 平面的法向量 : 设非零的向量 n 垂直于平面 π, 则称 n 为平面 π 的法向量. 问题 : 设平面 π 过点 M 0 ( 0, y 0, z 0 ) x 0 y, n = A B, C, 为 其一法向量, 求平面 π 的方程. 设点 M ( x, y, z ) 是平面 π 上任意一点, 则 MM 0 在平 面 π 上, 由于 n π, 所以 n MM 0 0, 而 n ABC,,, MM xx, y y, zz 故 A x x ) B( y y ) C( z z ) 0 () ( 0 0 0

36 由于平面 π 上任意一点 M 的坐标都满足方程 (), 而不在平面 π 上的点 M 的坐标都不满足方程 (). 因此, 方程 () 即是所求的平面 π 的方程. 此方程称为平面的点法式方程. z M 0 M n z C x O y O B y x A

37 程. 例 求由点 A (,0,0), B(0,,0), C(0,0,) 所确定的平面方 i j k 解向量 n AB AC 0 i j k 与平面 垂直, 是它的一个法向量. 0 过点 A (,0,0 0 ), 且以 n i j k 为法向量的平面方程为 ( x ) ( y 0) ( z 0) 0, 整理得 x y z.

38 . 平面的一般式方程 过点 M x, y, ), 且以 n {A,B,C} 为法向量的点 法式平面方程 A 0( 0 0 z0 ( x 0 x0) B( y y ) C( z z ) 整理得 Ax By Cz D 0 () 即平面 π 的方程 () 可以写出形如式 () 的三元一次方程. 反过来, 设给定三元一次方程 Ax By Cz D 0, 点 ( x 0, y0, z0 ) 的坐标为方程 () 的一组解, 代表一平面方程. 称 方程 () 为平面的一般式方程. 0

39 例 求过点 O 0,0,0), B (0,0,), B (0,, ) 的平面方程. ( 解点 O 0,0,0), B (0,0,), B (0,, ) 不在一直线上, 所以, ( 这三点惟一确定一平面, 令所求平面方程为 Ax By Cz D 0 将三点坐标分别代入上式得 A 0 B0 C0 D 0 (), A 0 B 0 C D 0 (), A0 B C D 0 (3), 由方程 () 得 D 0, 再由 () 的 C 0再将 C 0, D 0 代入方程 ( 3 ) 知 B 0, 于是得 Ax 0 ( A 0 ) 即 x 0 为所求 平面方程, 且 yoz 面的方程即为 x 0.

40 例 3 试写出与 yoz 面平行, 且过 x 轴上的点 (,0,0 0 ) 的平面方程. 解因为 x 轴垂直于 yoz 面, 所以, x 轴上的单位 向量 i 可作为与 yoz 面平行的平面的法向量 n, 即 n i {,0,0} 0}, 所以, 过点 (,0,0 0 ), 且以 (,0,0 0 ) 为法 向量的平面方程为 ( x ) 0( x 0) 0( y 0) 0, 整理得 x, 即 x 表示过点 (,0,0 0 ) 且与 yoz 面平行的平面方程.

41 例 4 描绘出下列平面方程所代表的平面 : () x ; () z ; x y z (3) x y ; (4) ( a, b, c 均不为 0) a b c z z x z O y x O z C c y x O y A x a O B b y

42 二 直线的方程. 直线的点向式方程 直线的方向向量 : 设非零向量 s 平行于直线 L, 则称 s 为直线 L 的方向向量. 问题 : 设直线 L 过点 M ( x, y, z ), 并且 s { mn m,n, p } 0( 0 0 z0 为其一方向向量, 求直线 L 的方程. 设点 M ( x, y, z) 为直线 L 上任一点, 由于 MM 0 线 L 上, 所以 M0 M // s, 即 MMts ( t 为实数 ), 而 MM{ xx, y y, zz}. 在直

43 因此, 有 xx0 tm, x x0 mt, y y0 tn, 即 y y0 nt, (3) z z0 tp, z z0 pt, 因为直线 L 上任一点的坐标都满足式 (3), 而不在直线 L 上的点的坐标都不满足式 (3), 所以式 (3) 是直线 L 的方程, 并称式 (3) 为直线的参数方程, 其中 t 为参数. 在式 (3) 中, 消去参数 t, 即有 x x0 y y0 z z0, (4) m n p 式 (4) 中 ( x, y, z ) 是直线 L 上已知点, { m, n, p } 是 L ( 0 0 z0 的方向向量, 因此, 式 (4) 称为直线 L 的点向式方程.

44 说明 : 因为 s 0, 所以 m, n, p 不全为零, 但当有一个 为零, 例如 m 0时, 式 (4) 应理解为 x x0 0, y y0 z z0, n p 当有两个为零时, 例如 m n 0, 式 (4) 应理解为 x x0 0, y y0 0. 例 5 求过两点 M,,), (3,,3) 的直线 L 的方程. ( M 解直线 L 的方向向量 s MM {3,,3 } {,, },

45 因此, 过点 M (,, ), 且以 s {,, } 为方向向量的直线 L 的 方程为 x y z.. 直线的一般式方程 空间直线也可看作两平面的交线, 所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线方程, 即 Ax By Cz D 0, (5) A xb y Cz D 0, 由于两平面相交, 故式 (5) 中的 A, B, C与 A, B, C 不 成比例 ( 即法向量 n { A, B, C} 与 行 ), 称式 (5) 是直线 L 的一般式方程. n A,B,C { } 不平

46 xy3z30, 例 6 写出直线 L: 的点向式方程. 3x y z 5 0 x y 3z 30, 解先在直线 L : 上选取一点, 为 3x y z 5 0 此, 令 z 0 x y 3,, 得 解之得 x, y, 即点 3x y 5, M 0(,,0) 为直线 L 上的一个点. 直线 L 的方向向量 i j k s {,,3} {3,, } = 3 则直线 L 的点向式方程为 3 = i j 7k, x y z 0. 7

47 例 7 设平面 π 的方程为 x y z 0, 平面 π 的方程为 x y 5 0, 求 π 与 π 的夹角. 解两平面的夹角即为其法向量的夹角, 设 π 的法向 量为 n, π 的法向量为 n, 则 n {,,}, n {,,0 }, n cos n n ( ) ( ) 0 n ( ) ( ) 0 3, 3 π 即 arccos 为两平面 π, π 的夹角. 4

48 三 两平面间 两直线间的位置关系 两平面间的位置完全由其法向量决定, 因此两平面平行 ( 垂直 ) 的充要条件是法向量互相平行 ( 垂直 ); 同样两直线间的位置关系完全由其方向向量决定, 因此, 两直线平行 ( 垂直 ) 的充要条件是其方向向量互相平行 ( 垂直 ). x y z 3 例 9 试证直线 L : 与直线 3 x y 3 z 3 L : 垂直. 4 5 证因为 L 的方向向量为 s {,,3 }, L 的方向向量 为 s { 4,5, }, 而 s s ( 4) 5 3( ) 406 0, 所以 s s, L L, 证毕.

49 例 0 试证平面 π : x 5 y 4z 6 0 与 π :x4y4z 0 垂直 ; 而 π 与 平 面 π 3 : xyz 0平行. 证因为 π 的法向量 n {,5,4}, π 的法向量 n {, 4,4 }, π 的法向量 n {,,}, 3 3 由于 n n 5 ( 4) 4 4 0, 所以 n n, 即 π π. 又由于 n n3 所以 n // n, 3 即 3 π // π.

50 四 直线与平面的位置关系直线与它在平面上的投影线间的夹角 π (0 ), 称为直线与平面的夹角 ( 如右下图 ). 设直 线 L 的方向向量为 s, 平面 π 的法向量为 n, 向量 π s 与 n 间的夹角为, 则 z n s L π ( 或 ), 所以 s n O y sin cos. s n x

51 例 讨论直线 L : x y 5 5 z 6 3 和平面 π: 5x 9y 5z 的位置关系. 解由于直线 L 的方向向量 s {,5,3}, 平面 π 的法向量 n { 5, 9,5 }, 所以, 直线 L 与平面 π 的夹 角 的正弦 s n 55 ( 9) 35 sin = 0, s n 所以, 0, 即直线 L 与平面 π 平行或直线 L 在平面 π 内. 容易验证直线 L 上 (0,,6) 在平面 π 上. 所以直线 L 在平面 π 上.

52 思考题. 写出下列平面方程 : ()xoy 平面 ;() 过轴 z 的平面 ; (3) 平行与 zox 的平面 ;(4) 与 x, y, z 轴正向截距相 等的平面. Ax ByCzD 0,. 用一般式 表示空间直线的 Ax By Cz D 0 x y 0, x y 0, 表达式是否惟一, 直线 与 有何关 x y 3 x 3y 0 系?

53 第 5 节 曲面与空间曲线 一 曲面方程的概念二 母线平行于坐标轴的柱面三 旋转曲面四 二次曲面五 空间曲线及其在坐标面上的投影

54 第四节曲面与空间曲线 一 曲面方程的概念 定义如果曲面 Σ 上每一点的坐标都满足方程 F ( x, y, z) 0; 而不在曲面 Σ 上的点的坐标都不满足这个方程, 则称方程 F ( x, y, z ) 0 为曲面 Σ 的方程, 而称曲面 Σ 为此方程的图形. 例 求与两定点 M (,,0), M (,,) 等距离的点的轨迹方程. 解设 M ( x, y, z ) 为轨迹上的点, 按题意有 : MM MM 写成坐标形式, 即 ( x) ( y) ( z0) ( x) ( y) ( z) 化简, 得 xyz 7

55 例 求球心在 x, y, ), 半径为 R 的球面方程. ( 0 0 z0 解设定点 M 0 的坐标为 ( x 0, y0, z0), 则点 M ( x, y, z ) 在以 M 0为球心, 以 R 为球半径的球面上的充要条件为 M 0 M R, 即 ( x x0 ) ( y y0) ( z z0) R, 两边平方, 得 ( x x0 ) ( y y0) ( z z0) R 经验证, 上式就是以 M (,, ) 0 x0 y0 z0 为球心, 以 R 为球半径的球面方程. 当 x 0 y0 z0 0 时, 则得球心在坐标原点的球面方 程为 x y z R.

56 二 母线平行于坐标轴的柱面 柱面 : 直线 L 沿定曲线 C 平行移动所形成的曲面称为柱面. 定曲线 C 称为柱面的准线, 动直线 L 称为柱面的母线. L L C

57 . 圆柱面方程 设一个圆柱面的母线平行于 z 轴, 准 C 线是 xoy 平面上以原点为圆心, R 为半径的圆. 在平面直角坐标系中 准线 C 的方程为 x y R, 求该圆柱面的方程. 在圆柱面上任取一点 M ( x, y, z ), 过点 M 的母线与 xoy 平面的交点 z M x,,0) 一定在准线 C 0( y 上, 必定满 M 足方程 x y R ; 反之, 不在圆柱面上的点, 它的坐标不满足这个方程, 于是所求圆柱面方程为 O y x y R. M 0 x

58 . 准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方程 一般来说, 如果柱面的准线是 xoy 面上的曲线 C, 它在平面直角坐标系中的方程为 f ( x, y) 0, 那么, 以 C 为准线, 母线平行于 z 轴的柱面方程就是 f ( x, y) 0. 类似地, 方程 g ( y, z ) 0 表示母线平行于 x 轴的柱面 方程 h ( x, z) 0表示母线平行于 y 轴的柱面. 在空间直角坐标系 Oxyz 下, 含两个变量的方程为柱 面方程, 并且方程中缺哪个变量, 该柱面的母线就平行 于哪一个坐标轴.

59 x y x y 例 3 方程,,, x py 0 分别表 b a a b 示母线平行于 z 轴的椭圆柱面 双曲柱面和抛物柱面. 如下图所示, 由于这些方程都是二次的, 因此称为二次柱面. x z z z O O x y y y x O

60 三 旋转曲面 旋转曲面 : 一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转所形成的曲面称为旋转曲面. 曲线 C 称为旋转曲面的母线, 直线 L 称为旋转曲面的轴. 坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程设在 yoz 平面上有一条已知曲线 C, 它在平面直角坐标系中的方程是 f ( y, z) 0, 求此曲线 C 绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程. 在旋转曲面上任取一点 M ( x, y, z), 设这点是由母线上点 M ( 0, y, z) 绕 z 轴旋转一定角度而得到. 于是 f ( x y, z ) 0 反之, 不在曲面上的点不满足上面方程, 此方程为旋转曲面方程. x O O z M M ( 0, y, z y )

61 同理, 曲线 C 绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为 f ( y, x z ) 0.. 例 4 求由 yoz 平面上的直线 z ky( k 0) 绕 z 轴旋转所形成的旋转曲面方程. 解在方程中, 把 y 换成 z 即 z k ( x y ). 此曲面为顶点在原点, 对称轴为 z 轴的圆锥面 ( 如右图 ). x y k k x y, 得所求方程为 z O y x

62 四 二次曲面 二次曲面 : 在空间直角坐标系中, 若 F ( x, y, z) 0是二次方程, 则它的图形称为二次曲面. 截痕法 : 用一系列平行于坐标面的平面去截曲面, 求得一系列的交线, 对这些交线进行分析, 从而把握曲面的轮廓特征, 这种方法称为截痕法.. 椭球面 x y z 方程 ( a 0, b 0, c 0), a b c 所表示的曲面称为椭球面, z a, b, c称为椭球面的半轴. O y x

63 x y z 当 a b 时原方程化为, 它是一个椭圆 a c 绕 z 轴旋转而成的旋转椭球面. 当 a b c时, 原方程化为 x y z a, 它是一个球心在坐标原点, 球半径为 a 的球面.. 椭圆抛物面 x y 方程 z ( p 0, q 0) 所表示的曲面称为椭 p q z 圆抛物面. x y 由方程 z知,z 0, p q 故曲面在 xoy 平面的下方无图形. O y x

64 3. 双曲面 x y z 方程 ( a 0, b 0, c 0) 所表示的曲面 a b c x y z 称为单叶双曲面. 方程 ( a 0, b 0, c 0) 所 a b c 表示的曲面称为双叶双曲面. z z x O y O y x

65 五 空间曲线及其在坐标面上的投影. 空间曲线方程 设曲面 的方程是 F ( x, y, z ) 0, 曲面 的方程是 F ( x, y, z) 0, 则交线 C 上的点必定同时满足, 的方程. 不在 C 上的点一定不能同时满足这两个方程. 因此联立方程组 F x z 0, (, y, ) F ( x, y, z) 0, 即为空间曲线 C 的方程, 它称为空间曲线的一般式方程. x x(), t 空间曲线的参数方程 y y (), t ( t ) z z(), t 或其向量形式 r (t) xt () i yt () j zt () k 来表示.

66 . 空间曲线及其在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的方程为 F ( x, y, z) 0, F ( x, y, z) 0, 过曲线 C 上 的每一点作 xoy 坐标面的垂线, 形成了一个母线平行于 z 轴且过 C 的柱面, 称为曲线 C 关于 xoy 面的投影柱面这个柱面与 xoy 面的交线称为曲线 C 在 xoy 面上的投影曲线, 简称投影. 3. 坐标面上的投影曲线的确定 F ( x, y, z) 0, 在方程组 中消去变量 z 得方程 F ( x, y, z ) 0 F ( x, y) 0, 上述方程缺变量 z, 所以它是一个母线平行于 z 轴的柱面.

67 又因为 C 上的点的坐标满足方程组 F (,, ) 0, x y z F ( x, y, z ) 0, 当然也满足方程 F ( x, y) 0, 所以 C 上的点都在此柱面上. 方程 F ( x, y ) 0 就是曲线 C 关于 xoy 面的投影柱面方程. 它与 xoy 面的交线 F ( x, y ) 0, z 0, 就是 C 在 xoy 面上的投影方程. 同理, 曲线 C 在 yoz 面与 zox 面的投影方程分别为 G ( y, z ) 0, H ( x, z ) 0, 与 x 0 y 0.

68 z x 例 5 求曲线 y, C : 在 xoy 面的投影方 x y z 程, 问它在 xoy 面上是怎样一条曲线? 解消去变量 z 得 x y, 这是曲线 C 关于 xoy 坐标面的投影柱面方程, 所以曲线 C 在 xoy 坐标面上的投影方程为 x y, z 0, 它是 xoy 坐标面上的一个圆. z x y

69 思考题. 方程 z x y 代表何曲面, 分别与平面 x 0, y 和 z 的交线为何? z 5x. 曲线 y 0 称为何? 绕 x 轴旋转所得旋转曲面方程及名