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開普勒定律牛頓引力定律第 7 篇開普勒和他的行星定律哥白尼 Nicolaus Copernicus 第谷 Tycho Brahe 開普勒 Johannes Kepler (1473 1543) (1546 1601) (1571 1630) 德國天文學家開普勒 (Kepler) 是第一位研究行星軌道的人, 在學時已接受了哥白尼 (Copernicus) 的日心說,1600 年他應邀為第谷 (Tycho) 的助手, 一年後第谷逝世, 開普勒遂把第谷畢生積累下來的觀測記錄整理, 一開始他就留意火星以不等速運行, 無論怎樣嘗試他也無法把火星的觀測數據歸納為正圓形的軌道, 開普勒進一步研究其他幾顆行星的運行, 發現它們的軌道也非正圓形, 經過八年努力, 開普勒終於在 1609 年發表他的第一及第二行星定律 : 行星沿橢圓軌道繞太陽旋轉, 太陽位於橢圓的一個焦點上行星的向徑 ( 行星至太陽的聯線 ) 在相等的時間內掃過相等的面積換句話說, 行星在近日點走得最快, 在遠日點那邊最慢 1619 年, 開普勒發表他的第三行星定律 : 行星到太陽平均距離的立方與其公轉週期的平方成正比行星到太陽平均距離 3 / 公轉週期 2 = 常數行星到太陽平均距離 a (AU) 公轉週期 T ( 年 ) a 3 / T 2 水星 0.387 0.241 1.00 金星 0.723 0.615 1.00 地球 1.000 1.000 1.00 火星 1.524 1.881 1.00 木星 5.204 11.86 1.00 土星 9.537 29.46 1.00 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 1 of 22

這三條定律統稱為開普勒定律 (Kepler s laws), 適用於一切環繞母星公轉的天然或人造物體, 例如下圖的木衛系統土衛系統地月系統雙星系統太陽系外行星人造衛星等等, 只是式子中的比例常數會有所變更木衛一至五的軌道木衛系統到木星平均距離 a (x 10 6 km) 圍繞木星的軌道週期 T ( 天 ) 比例 a 3 / T 2 木衛一 Io 0.422 1.77 0.0240 木衛二 Europa 0.671 3.55 0.0240 木衛三 Ganymede 1.070 7.15 0.0240 木衛四 Callisto 1.883 16.69 0.0240 木衛五 Amalthea 0.1813 0.498 0.0240 開普勒定律的應用例子例 1. 海王外天體鬩神星 (Eris) 的繞日週期是 558 年, 它到太陽的平均距離是 (558 2 ) 1/3 = 68 AU 例 2. 參考上表的木衛系統資料, 如果發現了新木衛, 它圍繞木星的軌道週期是 250 天, 它與木星的平均距離必定是 (250 2 x 0.0240) 1/3 = 11.45 x 10 6 km 例 3. 月球繞地球的軌道週期為 27.32 天, 月地平均距離為 384 400 km, 這距離大約每年增加 3.8 cm, 如果增加率不變, 十億年後月地距離將會是 422 400 km, 因此 [ 月地距離 3 2 / 月球軌道週期 ] 現時 = [ 月地距離 3 / 月球軌道週期 [ 384 400 3 / 27.32 2 ] 現時 = [ 422 400 3 / 月球軌道週期 2 ] 十億年後 2 ] 十億年後十億年後的月球軌道週期 = (422 400 / 384 400) 3/2 x 27.32 = 31.5 天軌道半長徑偏心率橢圓軌道有兩個重要指標 : 半長徑 (semi-major axis) 和偏心率 (eccentricity), 前者即是科普書說的 " 行星到太陽的平均距離 ", 後者形容橢圓偏離正圓的程度, 它們的定義見附圖從偏心率又得出近日點遠日點兩個定義, 以地球為例, 它在每年的 1 月 3 日左右過近日點,7 月 4 日左右過遠日點, 因此北半球夏天的太陽比冬天時更遠軌道偏心率 (e) 水星 0.2056 金星 0.0068 地球 0.0167 月球 0.0549 火星 0.0935 智神星 0.2313 木星 0.0489 土星 0.0541 天王星 0.0457 海王星 0.0113 ( 海王外天體 ) 冥王星 0.25 鬩神星 0.44 哈雷彗星 0.967 行星中以水星的軌道偏心率最大 ( 見上表 ), 金星的 e 特別小小行星的 e 多數在 0.35 以下, 海王外天體的 e 可以很大, 彗星的 e 更大當 e = 1 ( 拋物線 parabola) 或 e > 1 ( 雙曲線 hyperbola) 時, 彗星的軌道只有近日點, 沒有可測的遠日點, 因此這顆彗星繞過太陽之後便不再回歸了 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 2 of 22

例 4. 水星軌道半長徑 0.387 AU, 偏心率 0.206, 在近日點時距離太陽 0.387 (1 0.206) = 0.307 AU, 在遠日點時距離太陽 0.387 (1 + 0.206) = 0.467 AU 以真實比例展示, 視覺上的水星軌道仍然接近正圓形, 不過書本往往把行星軌道繪成明顯的扁圓形, 目的是方便說明而已水星軌道例 5. 下圖的地球以速度 v 公轉, 軌道向徑 ( 地球至太陽的距離 ) = r 在一秒的短時間內, 向徑在近日點掃過 v1 r1 / 2 的三角形面積, 在遠日點又用相同時間掃過 v2 r2 / 2 的三角形面積, 根據開普勒第二定律, 這兩個面積相等, 因此 v1 r1 / 2 = v2 r2 / 2 v1 / v2 = r2 / r1 = a (1 + e) / a (1 e) r1 = (1 + 0.0167) / (1 0.0167) = 1.034 v1 即是說, 地球的近日點速度比遠日點速度快了 3.4 % 地球的平均軌道速度是 2 π ( 日地平均距離 ) / 公轉週期 = 2 π (1.496 x 10 8 km) / 1 年 = 29.8 km/s 在一年內, 地球軌速會在 29.8 km/s ± 1.7 % (29.8 ± 0.5 km/s) 之間變化太陽地球軌道 r2 v2 例 6. 科幻題 : 假如有朝一日地球停止圓周運動而墜向太陽, 它要經過多少天 ( 大限 ) 才被太陽吞滅呢? 地球墜向太陽的假想軌道, 形狀極扁長, 軌道半長徑 0.5 AU, 近日點幾乎是 0 AU 太陽地球的正常軌道假設地球以極扁長的軌道 ( 近似直線 ) 墜向太陽, 像上圖, 軌道半長徑便是 0.5 AU, 軌道週期必定是 T = (0.5 3 ) = 0.353 年, 地球墜向太陽所需的時間是 0.353 年的一半, 即是 0.176 年或 64 天, 換言之,64 天之後, 地球必滅, 自然不可能沿反方向回歸至原來位置了用上述方法也可估計各個行星的大限, 將該行星繞日的軌道週期 ( 公轉週期 ) 乘以 0.176 就是墜向太陽的時間 : 軌道週期墜向太陽的時間水星 0.24 年 0.24 年 x 0.176 = 15 天金星 0.61 年 0.61 年 x 0.176 = 39 天火星 1.88 年 1.88 年 x 0.176 = 121 天木星 11.9 年 11.9 年 x 0.176 = 2.1 年土星 29.5 年 29.5 年 x 0.176 = 5.2 年同樣的算法適用於月球月球軌道週期是 27.3 天, 萬一月球失速墜向地球, 它的大限 = 27.3 天 x 0.176 = 4.8 天若嫦娥再吃靈藥並且以自由墜落方式重返地球, 她的預計回程約是 5 天 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 3 of 22

例 7. 美國好奇號火星車 (Mars Rover Curiosity) 採用一種能夠節省火箭燃料的霍曼轉移軌道 (Hohmann transfer orbit) 來抵達火星, 見下圖軌道的近日點 = 日地距離 = 1 AU, 遠日點 = 火星到太陽的距離 = 1.524 AU, 軌道半長徑 = (1 + 1.524) / 2 = 1.262 AU 根據開普勒第三定律, 霍曼轉移軌道的週期就有 (1.262 3 ) = 1.418 年, 由地球到火星的時間是 1.418 年的一半, 即是好奇號的宇航旅程大約要 0.709 年或 250 多天霍曼轉移軌道火星太陽地球好奇號火星車在 2011 年 11 月 26 日隨其餘裝置出發,254 天後 ( 翌年 8 月 6 日 ) 登陸火星車身長 3 米, 採用放射性鈽同位素 Pu-238 衰變所生的熱能來發電,Pu-238 的半衰期有 88 年, 能長期供應車上所需的 120 W 電力牛頓和他的引力定律傳說牛頓因樹上蘋果跌在頭上而發現萬有引力, 這只是野史, 真正發現的經過是多方面的早在青年時代, 牛頓已從伽利略 (Galileo) 開普勒 (Kepler) 笛卡兒 (Descartes) 惠更斯 (Huygens) 胡克 (Hooke) 等前學者領悟到太陽行星及衛星之間存着某種力量關係, 這關係稱為 gravitation, 原字出自拉丁語 gravitatem, 表示重的意思, 後來中文把 gravitation 譯為重力或引力踏入微積分萌芽時代, 牛頓更從數學上了解某些參數之間存着平方反比律 (inverse square law) 的關係, 例如 y = 1 / x 2, 於是他開始憧想, 引力與距離是否也有平方反比律的關係呢? 要知答案, 自然要用事實求證, 可是一時間牛頓還沒有找到事實證明 1665 至 1666 年, 英國爆發瘟疫, 牛頓剛剛大學畢業, 他回鄉在母親處避開瘟疫, 某天偶然在庭園看見蘋果從樹上跌下來, 他靈機一觸就這樣想, 蘋果墜落地上的力 ( 重量 ) 與維持月球繞地球運行的力 ( 引力 ) 是否同出一轍呢? 究竟這所謂引力有沒有延展性令其他行星繞太陽運轉? 於是 2 他開始計算, 當時他大約知道月地距離 = 60 倍地球半徑, 蘋果跌向地面的加速度 g = 32.2 呎 / 秒 (9.8 m/s 2 ), 因此在頭一秒 ( t = 1 s) 時, 蘋果已下跌了 ½ g t 2 = 16.1 呎, 如果蘋果下跌之力與月地間的引力都是同一性質, 而引力又與距離平方成反比的話, 那麼月球也應像蘋果在軌道切線之下墜落了 16.1 呎 / 60 2 = 0.054 吋, 見下圖受地球引力影響, 月球在軌道切線之下墜落了 0.054 吋軌道切線一秒後月球位置 ( 繪圖不依比例 ) D B θ 月球最初位置週期 27.32 天地球月地距離 D = 60 倍地球半徑 = 240 000 哩 C ( S = 0.054 吋證明 θ = 2 π / (27.32 x 86400) = 2.66 x 10 6 radian ( 微小角度 ) B θ D C = (D 2 B 2 ) D ( 1 θ 2 / 2 ) S = D C = D ( θ 2 / 2 ) = 240 000 (2.66 2 x 10 12 / 2 ) = 8.5 x 10 7 哩 = 0.054 吋 (1 哩 = 63360 吋 ) AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 4 of 22

本來像圖中要證明月球下墜 0.054 吋是很普通的算術, 但不知何故, 牛頓竟然計錯數 ( 有說他引用了欠準的地球半徑值 ), 結果他得到 0.044 吋而不是應有的 0.054 吋, 他只好把引力問題放下而轉研其他項目, 就這樣一放之下便過了幾年,1671 年他聽到法國的皮卡德 (Picard) 發表新的地球半徑值相當於 4000 哩, 於是他想起以前的月球下墜問題並且重新計算, 今次他真的計得 0.054 吋, 結果說明了三個原理 : ( 一 ) 蘋果下墜之力與維持月球軌道運動之力是同一性質的 (universal); ( 二 ) 兩件物體之間的引力與其距離的平方成反比 ; ( 三 ) 地球上的引力加速度與蘋果月球或任何下墜體的質量無關, 因此解釋了伽利略在比蕯斜塔做的跌球實驗自此之後牛頓對研究更具信心, 友人哈雷 ( 預測彗星回歸的 Halley) 又鼓勵和資助他發表研究結果, 終於在 1687 年牛頓出版了影響後世的 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica 自然哲學的數學原理, 簡稱 Principia, 全書以拉丁文寫成,1713 年出第二版,1726 年出第三版在中國晚清的李善蘭與英國人 A. Wylie 曾合譯此書一部分, 書名奈端數理, 可惜譯稿流失, 到 1931 年才有譯自德文版的中文版牛頓與 1687 年版的 Principia, 書面有皇家學會主席 Pepys 的出版許可, 右頁論牛頓的運動定律在 Principia 中, 牛頓首次發表了他的引力定律 (Newton s law of gravitation): F 是兩個粒子或物體質量 M m 之間的引力,d 是兩者的距離,G 是引力常數牛頓沒有確定 G 值, 後來英國人卡文廸西 (Cavendish) 在十八世紀末以扭力天平方法求得地球的平均密度, 後人又從密度導出地球的質量及 G = 6.75 x 10 11 N m 2 / kg 2, 現代 G 值取 6.673 x 10 11 Principia 亦論述物體的運動定律及其他力學原理, 以下是一些應用例子設 M 是行星質量,m 是在行星表面的物體質量,r 是物體至行星中心的距離在行星表面的引力加速度 g 行星對物體的引力 = G M m / r 2 ( 牛頓引力定律 ) 物體在行星表面的重量 = m g ( 牛頓第二運動定律 ) 重量等同引力, 因此 m g = G M m / r 2 註 g = G M / r 2 (g 與物體的質量無關 ) 例 8. 已知地球平均半徑 r = 6370 km, 地球的 g = 9.81 m/s 2, 它可以用實驗求得, 因此從上式又可以反算地球的質量 M 地球 = g r 2 / G = 9.81 x (6.37 x 10 6 ) 2 / (6.673 x 10 11 ) = 5.97 x 10 24 kg g 動畫 : 伽利略在比蕯斜塔的實驗說明球體的下跌加速度與其質量無關 http://www.alanchuhk.com/balldrop.gif ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 註 1. 人感受到重量是由於承托體 ( 固定的地板 ) 產生與重量方向相反的壓力國際太空站與其內的太空人都同樣按 g 值下墜, 太空人失去承托體, 因此他會感覺到完全失重在空中降落的人也會暫時感覺失重 2. 牛頓時代已有光微粒慨念 ( 相當於今說的光子 ), 雖然不清楚光微粒有沒有質量, 當代人認為光線 ( 光微粒 ) 也可按 g 值而下墜, 換句話說, 天體的引力可以把星光偏折星光偏折將在相對論再述 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 5 of 22

物體環繞行星表面的速度 v circular 行星對物體的引力 = G M m / r 2 物體環繞行星時所得的離心力 = m (v circular ) 2 / r 物體以離心力抵消行星引力才可以環繞飛行, 因此 m (v circular ) 2 / r = G M m / r 2 v circular = (G M / r) 式子說明物體的環繞速度 (v circular ) 與軌道內質量 (M) 的平方根成正比, 與軌道半徑 (r) 的平方根成反比例 9. WISE 紅外線望遠鏡以圓形軌道離地面 500 km 飛行, 軌道半徑 = 地球半徑 + 飛行高度 = 6370 km + 500 km = 6870 km, 軌道內的質量 = 地球質量 = 5.97 x 10 24 kg, 望遠鏡的軌道速度 = [(6.673 x 10 11 ) (5.97 x 10 24 ) / (6.87 x 10 6 )] = 7.6 km/s 用 v circular 算式亦可計算地球環繞太陽的軌道速度 : 太陽質量 1.989 x 10 30 kg, 地球距離太陽 1.496 x 10 11 m, 地球的軌道速度 = [(6.673 x 10 11 ) (1.989 x 10 30 ) / (1.496 x 10 11 )] = 29.8 km/s, 與例 5 的計算結果相同物體脫離行星的逃逸速度 v esc 物體在行星表面的引力勢能 (gravitational potential energy) = 引力 x 行星半徑 = G M m / r 2 物體達到逃逸速度時的動能 (kinetic energy) = 1/2 m v esc 物體以動能克服引力勢能才可以逃出行星的引力場, 因此 1/2 m v 2 esc = G M m / r v esc = (2 G M / r) v esc 剛好是 v circular 的 2 倍,v esc 和 v circular 不受物體的質量影響, 也不受軌道外的任何質量 ( 其他行星 ) 影響例 10. 下表列出物體環繞各行星的速度和逃逸速,v esc 越小, 行星 / 衛星越難保持大氣層的存在 ( 詳見本篇的附件一 ) A B 速度不足以環繞地球, C D 速度在 7.9 至 11.2 km/s 之間, 可以環繞地球,E 速度超過 11.2 km/s, 可以脫離地球質量 (10 24 kg) 半徑 (km) 平均密度 ( 水 = 1) 在表面的引力加速度 g (m/s 2 ) ( 地球 = 1) 環繞行星表面的速度 v circular (km/s) 逃逸速度 v esc (km/s) 太陽 1989 000 695 950 1.41 274 28-618 水星 0.330 2438 5.43 3.7 0.38 3.0 4.3 ( 無大氣層 ) 金星 4.87 6051 5.24 8.9 0.90 7.3 10.4 地球 5.974 6378 5.52 9.81 1.00 7.9 11.2 月球 0.0735 1737 3.34 1.6 0.17 1.7 2.4 ( 無大氣層 ) 火星 0.642 3397 3.93 3.7 0.38 3.6 5.0 ( 稀薄的大氣層 ) 木星 1899 71490 1.33 24.8 2.53 42 60 木衛三 0.148 2630 1.94 1.4 0.15 1.9 2.7 ( 幾乎無大氣層 ) 土星 568 60270 0.69 10.4 1.1 25 36 天王星 86.8 25560 1.27 8.8 0.9 15 21 海王星 102 24760 1.64 11.1 1.1 17 23 冥王星 0.015 1180 2.1 0.7 0.07 0.9 1.3 ( 無大氣層 ) AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 6 of 22

牛頓 - 開普勒定律牛頓語錄 : 如果說我比別人看得更遠, 那是因為我站在巨人的肩上 (If I have seen further than others, it is by standing on the shoulders of giants. Isaac Newton, 1676.) 牛頓依賴的巨人都是知識上的開路先鋒, 牛頓受他們的啟發繼而發現引力定律, 同時也解釋了一些前人未知的物理為什麼行星以非正圓形 ( 橢圓形 ) 軌道繞太陽公轉? 動向 ( 加速 ) 4 C 3 太陽引力 A 太陽 1 動向 2 B 行星軌道動向 ( 減速 ) 設左圖中行星沿 A B C 的橢圓形軌道運行, 在 A 處, 行星動向與太陽引力方向成直角, 行星的環繞速度不會因太陽引力而增加或減低在 B 處, 行星動向與太陽引力方向不成直角, 後者可分解為 1 2 兩個矢量, 但矢量 2 的方向與行星動向相反, 行星因此減速在 C 處, 行星動向與太陽引力方向也不成直角, 後者可分解為 3 4 兩個矢量, 但矢量 4 的方向與行星動向相同, 行星因此加速由此可見, 行星的環繞速度必須絕對固定才有正圓形軌道, 如果辦不到, 行星必定以非圓形的軌道公轉, 其中一半行程在加速, 另一半行程在減速事實上, 由於行星間的攝動 * 及軌道傾斜, 所有行星軌道都有一定程度的偏心率, 地球軌道 ( 偏心率 0.0167) 算很接近正圓了 * 攝動 (perturbation) 是指一個天體受到另一天體或其他因素的影響而改變運行軌道的意思為什麼行星到太陽平均距離的立方與其公轉週期的平方成正比? 假設太陽只有一顆行星太陽行星和它們的共同質心 O 永遠排成直線, 行星以角速度 ω 圍繞 O 旋轉, 太陽也以相同的角速度圍繞 O 旋轉太陽 ( 質量 M ) 質心 Center of mass O + ω ω radian / s 行星 ( 質量 m) 動畫 : 太陽與行星圍繞共同質心旋轉 http://www.alanchuhk.com/star_wobbling.gif a 1 a a 2 行星的離心力 = m a 2 ω 2, 太陽對行星的引力 = G M m / a 2, 這兩個力互相平衡才能保持行星的運轉, 因此 m a 2 ω 2 = G M m / a 2 a 2 ω 2 = G M / a 2 ----- (1) 同樣道理, 太陽的離心力 = M a 1 ω 2, 行星對太陽的引力 = G M m / a 2, 這兩個力互相平衡, 因此 M a 1 ω 2 = G M m / a 2 a 1 ω 2 = G m / a 2 ----- (2) 式子 (1) / (2) 得 M a 1 = m a 2, 這式子說明質心距離太陽甚近, 因為 M >> m 式子 (1) + (2) 得 (a 2 + a 1 ) ω 2 = G (M + m) / a 2 ω 2 = G (M + m) / a 3 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 7 of 22

但 ω 又等於 2 π / T, T 是行星的軌道週期 ( 公轉週期 ), 因此 (2 π / T) 2 = G (M + m) / a 3 a 3 / T 2 = G (M + m) / (4 π 2 ) M 比 m 大很多, 所以 a 3 / T 2 G M / (4 π 2 ) = 常數, 即是證明了開普勒的第三定律公式 a 3 / T 2 = G (M + m) / (4 π 2 ) 是開普勒第三定律的 " 精確版 ", 有時稱為牛頓 - 開普勒定律 (Newton s form of Kepler s third law), 許多天體的質量都是用它推算出來例 11. 地球軌道半長徑 a = 1.4960 x 10 11 m, 軌道週期 T = 365.256 天 = 3.1558 x 10 7 s, [ 質量 ] 太陽 + 地球 = (a 3 / T 2 ) (4 π 2 ) / G = [(1.4960 x 10 11 ) 3 / (3.1558 x 10 7 ) 2 ] (4 π 2 ) / (6.673 x 10 11 ) = 1.989 x 10 30 kg 已知地球質量約有 6 x 10 24 kg 或太陽的百萬分之三, 在此可以忽略不計, 因此太陽質量 = 1.989 x 10 30 kg 例 12. 用同樣方法可以算出木星的質量 : 木衛三 Ganymede 軌道半長徑 a = 1.0704 x 10 9 m, 軌道週期 T = 7.1546 天 = 6.181 x 10 5 s, [ 質量 ] 木星 + 木衛三 = (a 3 / T 2 ) (4 π 2 ) / G = [(1.0704 x 10 9 ) 3 / (6.181 x 10 5 ) 2 ] (4 π 2 ) / (6.673 x 10 11 ) = 1.899 x 10 27 kg 木衛三質量比木星小萬倍, 因此木星質量 = 1.899 x 10 27 kg 例 13. 月球的質量月球軌道半長徑 a = 384400 km, 軌道週期 T = 27.32 天 = 2.360 x 10 6 s, [ 質量 ] 地球 + 月球 = (a 3 / T 2 ) (4 π 2 ) / G = [(3.844 x 10 8 ) 3 / (2.360 x 10 6 ) 2 ] (4 π 2 ) / (6.673 x 10 11 ) = 6.03 x 10 24 kg 已知地球質量 = 5.97 x 10 24 kg 因此月球質量 = (6.03 5.97) x 10 24 = 0.06 x 10 24 kg 用這個方法算出的月球質量比較粗略, 因為差數 6.03 5.97 內的兩項分別不大, 相減之後產生的誤差不小, 計算也沒有考慮到地月系統質心擺動 (wobble) 的影響這個質心擺動頗大, 足令地球近鄰 ( 太陽金星火星等 ) 的黃經度作週期性的變化, 測量這些變化便知質心的位置, 即是下圖地球體內的 O 點, 從 O 點位置可算得月球質量 = 地球質量 x 距離 EO / 距離 MO = (5.97 x 10 24 ) x 4670 / (384400 4670) = 0.0734 x 10 24 kg AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 8 of 22

有了探月衛星之後, 天文學家利用衛星的軌道數據算得更準確的月球質量 = 7.348 x 10 22 kg 或 1 / 81.3 地球質量在太陽系所有行星 - 衛星系統中, 月球相對地球的質量出奇地大各大天然衛星的質量比較在所有天然衛星之中, 月球相對地球的質量特別大 ( 達 1 / 81), 其他衛星的相對質量只有幾千分之一甚至幾萬分之一月球質量大的原因可用大碰撞論來解釋 ( 見前講義月球 ), 這理論建基於阿羅波登月後的研究成果, 始於 1980 年代中期, 是目前最被人接受的月球起源理論 [ 註 : 水星和金星沒有天然衛星, 其質量都是從人造衛星環繞行星的軌道數據計算出來的在此之前, 我們只能根據水星和金星對地球的攝動作用來推算質量, 結果遜於人造衛星的實測值 ] 例 14. 雙星的質量在牛頓 - 開普勒定律中, 如果距離 a 的單位是 AU, 軌道週期 T 的單位是年,M 和 m 的單位是太陽質量的倍數, 這定律可以簡化為 M + m = a 3 2 / T 簡化後的式子可以用來推算雙星系統內主伴星的質量 ( 雙星動畫 : http://www.alanchuhk.com/binary_orbit_simulation.gif ) 例如下圖的天狼雙星系統, 主星稱 Sirius A, 伴星稱 Sirius B, 系統總質量 = M + m, 兩星平均距離 a = a 1 + a 2 = 20 AU, 它們相對着圍繞系統的質心旋轉, 軌道週期 T 同樣是 50 年, 以上數據滿足 M + m = a 3 2 / T 的條件, 由此可算出總質量但未能知道個別星的質量, 不過主星因伴星的存在而抖動, 從觀測抖動中我們能夠找出主星到質心的平均距離 a 1 有 7 AU, 伴星到質心的平均距離 a 2 有 20 7 = 13 AU, 這些數據滿足了 M a 1 = m a 2 的條件, 把所有已知數據代入式子中便可算出主伴星的質量有一種雙星, 一方是極高密度的中子星或黑洞, 我們也可以用同樣方法推算雙星的質量 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 9 of 22

例 15. 星系的質量用牛頓 - 開普勒定律亦可估計星系的質量, 以右圖的銀河系為例, 我們知道在銀盤邊的星體 ( 質量 m) 大約以 v = 250 km/s 的速度圍繞銀心轉動, 銀盤半徑 a = 50000 光年 = 3.16 x 10 9 AU = 4.73 x 10 17 km, 因此星體的轉動週期 T = 2 π a / v = 2 π (4.73 x 10 17 ) / 250 = 1.19 x 10 16 s 或 3.77 x 10 8 年設 M 為銀盤半徑 a 內的質量, 根據牛頓 - 開普勒定律, M + m a 3 / T 2 3 / T 2 M a = (3.16 x 10 9 ) 3 / (3.77 x 10 8 ) 2 = 2.2 x 10 11 M M = 1 個太陽質量用例 9 的環繞速度公式也可以算出銀盤的質量, 即是 M = a v 2 / G = (4.73 x 10 20 ) (250 x 10 3 ) 2 / (6.673 x 10 11 ) = 4.4 x 10 41 kg 或 2.2 x 10 11 M 粗略地說, 銀河系的質量比太陽大 2 千億倍, 如果在銀河系內的星體平均有太陽質量的一半, 銀河系便有 4 千億顆星 [ 註 : 到目前為止, 銀河系質量和直徑還未有確值, 以上計算只是大約的印象 ] 例 16. 特大質量黑洞的質量從銀河中心發出的 X 射線閃變 Sgr A* 在座標的中心, 我們要觀測一群伴星的軌道才能確定它的存在許多星系核心都內藏一個或以上的特大質量黑洞 (supermassive black hole), 我們的銀河系也有一個, 稱 Sagittarius A*, 簡稱 Sgr A* 上圖紅色是銀河系的紅外線照片,Sgr A* 藏在最亮的核心內, 藍色是 Sgr A* 在 2012 年 7 月突然活動時激發的 X 射線閃變記錄上圖右是根據長期觀測所發現的一群星體, 它們圍繞 Sgr A* 運轉, 其中一星稱 S2, 其軌道半長徑為 980 AU (1/ 64 光年 ), 週期 15.2 年由於 S2 的質量遠低於 Sgr A*, 根據 S2 軌道可算出 Sgr A* 的質量 M a 3 / T 2 = 980 3 / 15.2 2 = 4.1 x 10 6 M ( 比太陽質量大四百萬倍 ) 相對上例所得的銀河系質量,Sgr A* 算是細小的特大質量黑洞 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 10 of 22

引潮力在前講義太陽系的形成與地球提及的引潮力 (tidal force), 它的意義與引力有些分別字面上, 引潮力是指天體引起地球海洋和陸地起伏 ( 變形 ) 的能力, 物理上, 引潮力是兩個引力之差, 通常等於一天體 M 對另一天體 m 表面的引力減去對 m 中心的引力, 即是右圖的 F, 這個差額越大, 在 m 發生的潮汐越明顯, 地球的潮汐和木衛一的火山活動就是實例天體質量 m, 半徑 r 天體質量 M 潮汐 F1 F2 r a 引潮力 F = F2 F1 引潮力算式根據圖示, 引潮力 F = F2 F1 = G M m / (a r) 2 G M m / a 2 = G M m (2 a r r 2 ) / (a 4 2 a 3 r + a 2 r 2 ) 2 G M m r / a 3, 因為 a >> r 算式證明引潮力與受潮體的半徑 r 成正比, 與兩者中心的距離 a 的三次方成反比例 17. 設 M sun 為太陽質量,M moon 為月球質量, M e 為地球質量,r e 為地球半徑太陽對地球的引潮力 = 2 G M sun M e r e / ( 日地距離 ) 3 月球對地球的引潮力 = 2 G M moon M e r e / ( 月地距離 ) 3 已知 M sun / M moon = 2.7 x 10 7 倍, 日地距離 / 月地距離 = 390 倍, 因此月球對地球的引潮力比太陽強 390 3 / (2.7 x 10 7 ) = 2.2 倍, 這說明地球的潮汐由月球主導, 太陽的引潮力是次因例 18. 比較其他行星對地球的引力或引潮力, 得出以下的結果 : 木衛一 (Io) 距離木星很近, 它被木星的強大引潮力張壓, 表面不時出現火山活動 2016 年 1 月 20 日至 2 月 20 日黎明時分, 五顆行星同時在南天聯珠, 在香港所見的火星大約高 50 度引力以牛頓引力定律計算, 引潮力以上述算式計算由此可見, 無論以引力或引潮力衡量, 月球對地球的影響永居榜首, 即使所有行星與地球聯成直線, 它們的叠加引力或引潮力仍然遠低於月球的影響, 所謂行星聯珠或聚合會引發地球災難的謠言都是無科學根據的例 19. 一些科學家估計在三十多億年前, 月地距離只有現在的 40 %, 月球對地球的引潮力比現在強 (1 / 0.4) 3 = 16 倍, 地球自轉也比現在快兩三倍, 海浪和潮汐因此起大幅起落數十米把大量不同的化合物混合, 促進地球生命的演化參考 : Moon Earth Dynamics http://www.lpi.usra.edu/exploration/training/illustrations/earthmoon/ AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 11 of 22

洛希極限設一行星有質量 M, 半徑 R, 平均密度 ρ 1, 它的衛星由兩團相同的圓球物質 A 和 B 聚合而成, 每個圓球有質量 m, 半徑 r, 平均密度 ρ 2, 衛星至行星的距離是 d R r 行星質量 M A B 衛星質量 2 m 密度 ρ 1 d r 密度 ρ 2 A B 兩團之間的引力 F gravity = G m 2 / (2 r) 2 行星作用於衛星的引潮力 F tidal = 行星至 A 的引力減去行星至 B 的引力 = 2 G M (2 m) r / d 3 [ 引潮力算式 ] 如果 F gravity > F tidal, 衛星內的 A B 兩團會保持聚合如果 F tidal > F gravity, 兩團便被扯開, 即是衛星被行星的引潮力瓦解了如果 F gravity 剛好等於 F tidal, 衛星便處於瓦解的臨界狀態, 這種狀態首先被十九世紀的法國數學家 Roche 研究, 它的近似算式如下 : F gravity = F tidal G m 2 / (2 r) 2 = 2 G M (2 m) r / d 3 d 3 = 16 (M / m) r 3 但 M = ρ 1 (4 π R 3 / 3), m = ρ 2 (4 π r 3 / 3) [ 質量 = 密度體積 ] 因此 d 3 = 16 (ρ 1 / ρ 2 ) R 3 d = 2.5 (ρ 1 / ρ 2 ) 1/3 R [ 約數 ] 算式的 d 項稱為該行星的洛希極限 (Roche limit), 假定行星和衛星的密度相同 (ρ 1 = ρ 2 ), 行星的洛希極限便是行星半徑的 2.5 倍, 如果有相同密度的衛星或小天體走進 2.5 倍行星半徑的範圍, 它就被行星的引潮力瓦解例 20. 對月球而言, 地球的洛希極限是 2.5 ( 地月密度之比 ) 1 / 3 x 地球半徑 = 2.5 (5.5 / 3.3) 1 / 3 (6370) 2 萬公里, 現在的月球遠在洛希極限之外例 21. 1994 年間,SL 9 彗星 (Comet Shoemaker-Levy 9) 走入木星的洛希極限之內, 結果被木星的引潮力撕裂, 後來碎塊撞落木星南半球再看土星環, 它的前身很可能是一顆或數顆衛星或闖入彗星, 但因太接近土星, 結果進入土星的洛希極限而瓦解成環了 SL-9 彗星被木星的引潮力瓦解, 最少分成 21 碎塊, 最大塊寬兩公里, 後來所有碎塊撞落木星 (NASA 印象畫 ) AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 12 of 22

拉格朗日點拉格朗日點 (Lagrangian point) 指小物體受兩個天體引力作用下仍然能夠保持穩定的位置地月系統共有五個拉格朗日點 L1 至 L5, 它們會環繞地球旋轉, 但與地月的距離基本保持不變在這五點之中, 只有 L4 和 L5 與地月聯線成等邊三角形, 每個內角都是 60 0, 如果在 L4 或 L5 放置一個探測器, 探測器與地月保持等距, 可以長期固定在此其他三點 L1 L2 L3 只是半穩定點, 因為在這裡放置探測器, 它較易被外力攝動而失去原先的穩定狀態, 所以探測器要加裝噴氣口來修正過量的位置偏差, 否則會逐漸漂離他去為了節省燃料, 從地球發射的探月器往往經過 L1 才進入繞月軌道 ;L1 是最近地球和月球的拉格朗日點, 所以亦是未來宇航的理想關口 EL1 等邊三角形地球 L4 L1 月 L2 月地距離 384 400 km L1 至月球 58 000 km L2 至月球 65 000 km EL2 向太陽 L3 地月系統 0.01 AU (1500 000 km) L5 0.01 AU (1500 000 km) 以地月系統 L 1 為未來宇航的關口 (NASA 繪畫 ) 除此之外, 日地系統也有五個類似地月系統的拉格朗日點 EL1 至 EL5, 其中 EL1 EL2 兩點最實用, 因為在這裡的探測器只要消耗小量燃料即可長期駐留, 例如把 SOHO 太陽探測器放在 EL1 附近, 但不擺正在 EL1, 這樣 SOHO 的通訊設備可以避開背後太陽射電噪音的直接干擾 ; 研究宇宙微波背景的探測器 (WMAP Planck) 則放在 EL2 附近, 這樣可以每天廿四小時背着太陽進行觀測拉格朗日點動畫 http://www.esa.int/esasc/semm17xjd1e_index_0.html 日地系統的拉格朗日點 EL2 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 13 of 22

一些天然衛星亦會長期貼近拉格朗日點, 例如下圖的土衛十三土衛十四分別在土衞三前後 60 0 的 L4 與 L5 位置上在 L4 處, 土星與土衛三合加的引力 (a + b) 恰好等於土衛十三圍繞系統質心所需的向心力 (c), 結果土衛十三不會遠離 L4 同樣道理, 土衛十四也不會遠離 L5 另一個 L4 - L5 組合是在土衛四軌道上的土衛十二和土衛三十四小行星群的軌道絕大多數小行星分佈在火星與木星軌道之間的小行星主帶內, 數量以十萬計 ( 右圖 ) 少數成為希爾達群或位於在其他行星軌道的 L4 或 L5 拉格朗日點, 後者統稱為特洛伊小行星 (Trojans) 或特洛伊群 (Trojan group) 目前巳發現的特洛伊小行星有 1 顆在金星軌道的 L4; 1 顆在地球軌道的 L4; 1 顆在火星軌道的 L4,7 顆在 L5; 3 千多顆在木星軌道的 L4, 約 3 千顆在 L5; 1 顆在天王星軌道的 L4; 1 顆在海王星軌道的 L3,9 顆在 L4,3 顆在 L5 實際上, 所有特洛伊小行星不會堅守在理論的拉格朗日點, 以木星的幾千顆特洛伊小行星為例, 它們會被土星及其他行星攝動在木星軌道的 L4 或 L5 前後及上下漂動, 前後漂離 L4 或 L5 最遠達 80 0, 平均約 30 0, 漂動週期 150 ~ 200 年 2010 TK7 是已知地球唯一的特洛伊小行星, 直徑約三百米, 現時它正在地球軌道的 L4 上下打圈, 同時也圍繞太陽公轉 2010 TK7 動畫 http://www.nasa.gov/mission_pages/wise/news/wise20110727vid.html 有數千顆近地小行星的軌道半長徑大過 1 AU, 近日點少過 1.017 AU, 統稱為阿波羅型小行星 (Apollos) 或阿波羅群 (Apollo group) 其中一顆是數十米大的 2016 HO3, 它的軌道幾乎與地球軌道重叠 ( 右圖 ), 但不斷搖擺, 結果小行星有時走到地球的上方下方左方或右方, 兩者保持距離在 0.1 ~ 0.25 AU 之間而不會碰撞從地球來看,2016 HO3 就好像是一顆擬似衛星 (quasi-satellite) 2016 HO3 是極少數擬似衛星中比較穩定的一顆, 不過這種穩定性是有時限的, 若干百年後小行星的軌道便會走樣了 2016 HO3 動畫 http://www.jpl.nasa.gov/news/news.php?feature=6537 地球的其他擬似衛星 https://en.wikipedia.org/wiki/claimed_moons_of_earth 太陽地球 2016 HO3 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 14 of 22

軌道進動行星公轉時, 它的軌道長徑或近日點亦會逐漸轉動, 這現象稱為軌道進動 (precession of orbit http://www.alanchuhk.com/orbit_precession.gif ) 或近日點進動, 近日點距離越短, 軌道進動越快比方說, 水星公轉一周要 88 天, 近日點 0.3 AU, 軌道進動每百年 5600 角秒 (~ 1.5 0 ), 當中 5026 角秒由歲差引起, 531 角秒由各行星對水星的攝動引起,43 角秒由相對論的時空彎曲引起軌道進動不止於行星, 月球繞地球的軌道進動每年 40.7 0, 低飛人造衛星的軌道進動更達每天幾度星黑洞是最緻密的天體, 它把附近時空盡量弄彎, 快速的星自轉又把時空拖曳, 如果有物質靠近星黑洞旋轉, 其軌道進動將會是超快的 ( 觀測例子 H1743-322) 黑洞和時空彎曲在後講義再述行星的軌道進動角動量太陽佔太陽系總質量的 99.86 %, 但奇怪得很, 它的角動量 (angular momentum) 只佔太陽系總數的 ~ 0.5 % 角動量是描述物體自轉或在軌道運行時的一個物理量, 以球狀星體而言, 它有質量 M, 半徑 r, 相當於慣性矩 (moment of inertia) I = k M r 2,k 是與該星體內部密度有關的一個系數, 當星體以角速度 ω 自轉時, 它的自轉角動量便有 I ω = k M r 2 ω 下表列出太陽系成員的自轉角動量 : 質量 M (10 24 kg) 半徑 r (km) 慣性矩系數 k (NASA Fact Sheets) 自轉週期 (days) 自轉角速度 ω (radian/s) 自轉角動量 (kg m 2 /s) 太陽 1989 000 696 950 0.059 25 2.91 x 10 6 1.6 x 10 41 地球 5.974 6378 0.331 0.997 7.29 x 10 5 5.9 x 10 33 木星 1899 71490 0.254 0.413 1.76 x 10 4 4.3 x 10 38 土星 568 60270 0.210 0.440 1.65 x 10 4 7.1 x 10 37 天王星 86.8 25560 0.225 0.718 1.01 x 10 4 1.3 x 10 36 海王星 102 24760 0.24 0.671 1.08 x 10 4 1.6 x 10 36 月球 0.0735 1737 0.394 27.322 2.66 x 10 6 2.3 x 10 29 ( 其他行星和小天體的自轉角動量相對地小, 可以忽略不計 ) 合共 1.7 x 10 41 除了自轉之外, 行星或衛星圍繞母體時也有軌道角動量 = M a v,m 是行星或衛星質量,a 是軌道半徑 ( 半長徑 ),v 是軌道速度下表列出太陽系成員的軌道角動量 : 質量 M (10 24 kg) 軌道半徑 a (10 6 km) 軌道速度 v (km/s) 軌道角動量 (kg m 2 /s) 水星 0.33 57.9 47.9 9.15 x 10 38 金星 4.87 108.2 35.0 1.83 x 10 40 地球 5.974 149.6 29.8 2.66 x 10 40 火星 0.642 227.9 24.1 3.53 x 10 39 木星 1899 778.6 13.1 1.94 x 10 43 土星 568 1426.7 9.7 7.86 x 10 42 天王星 86.8 2872.5 6.8 1.70 x 10 42 海王星 102 4495.1 5.4 2.48 x 10 42 月球 0.0735 0.384 ( 月地距離 ) 1.02 2.88 x 10 34 ( 其他小天體的軌道角動量很小, 可以忽略不計 ) 合共 3.15 x 10 43 太陽系的總角動量 = 所有自轉角動量 + 所有軌道角動量 = 1.7 x 10 41 + 3.15 x 10 43 = 3.17 x 10 43 kg m 2 /s 從上述數據可見, 雖然太陽質量佔太陽系總數的 99.86 %, 但角動量只佔總數的 0.5 % 另一方面, 所有行星合加的角動量卻佔了總數的 99.5 % AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 15 of 22

基於角動量守恆原理, 一個像太陽系的行星系統, 在沒有外力矩干擾下, 不論系統內發生什麼變化, 系統的總角動量是不會隨時間改變的, 我們亦相信所有行星的角動量皆從太陽氣雲的轉動中產生 ( 見前講義太陽系的形成與地球 ), 既然太陽佔系統質量的 99.86 %, 它的角動量理應有相當的大比例, 但現在太陽的角動量比例卻如此小, 為什麼會這樣懸殊呢? 目前有不同解釋, 較被接受的理論說原始太陽的狀態並不穩定, 外流物質比現今的太陽風猛烈得多, 原始太陽的外流物質 ( 例如後講義提及的原始星噴流 ) 把大量的角動量帶出太陽系外, 因此現在的太陽角動量遠比初期小, 不過詳情仍待探究角動量守恆原理也說明為什麼月球繞地球的軌道不斷外移 ( 右圖 ) 在地月系統中, 總角動量是地球的自轉角動量 (5.9 x 10 33 kg m 2 / s) + 月球的自轉角動量 (2.3 x 10 29 kg m 2 / s) + 月球繞地球的軌道角動量 (2.88 x 10 34 kg m 2 / s) 合計 3.5 x 10 34 kg m 2 / s 地月系統長期沒有被外力矩干擾, 所以它的角動量總數 (3.5 x 10 34 kg m 2 / s) 是大致固定的, 不過在系統之內, 海水與陸地的磨擦使地球自轉減慢而損失自轉角動量 ( 下圖 ), 地球自轉角動量減小了, 月球的軌道角動量必定會跟隨增加, 換句話說, 地球失去的自轉角動量必被月球吸納為額外的軌道角動量, 於是月球軌道擴大, 月地距離增加另一方面, 潮汐隆起部分的前拽也會提升月球的軌道角動量, 結果月地距離又會增加此消彼長下, 現時月地平均距離每年增加約 3.8 cm, 與 38 萬公里的距離相比, 這自然是微不足道, 但假如這個增加率維持下去,6 億年後月地距離比現在多 6 %, 地球上將不會出現日全食, 只有日環食和偏食 1969 年阿波羅 11 號太空人安裝在月球上的雷射測距反射器, 目前仍然工作, 過去的收集資料顯示月地平均距離每年增加約 3.8 cm 月地距離增加的兩個主因潮汐與陸地的磨擦使地球自轉減慢而損失自轉角動量, 這損失被吸納為月球軌道的角動量, 於是月地距離增加另一方面, 地球自轉角速度比月球環繞地球的角速度快, 潮汐隆起部分 (A B) 總是較理論位置向前緣拖拽了 θ 角,A 點對月球的引力比 B 點對月球的引力稍強 ( f A > f B ), 兩引力之差使月球加速, 不過加速會提升月球的軌道角動量, 結果月地距離又再增加更多參考開普勒第三定律發展史 http://www.alanchuhk.com/kepler_laws_history.doc 軌道根數 http://www.alanchuhk.com/orbital_elements.doc 太陽系的質心 http://www.alanchuhk.com/solar_system_cm.pdf Elliptic Orbit http://en.wikipedia.org/wiki/elliptic_orbit AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 16 of 22

歷史回顧開普勒在其著作神秘的宇宙 (Mysterium Cosmographicum, 1596) 描繪的完美太陽系模型年輕時的開普勒設計了一個由多面幾何形體構成的完美太陽系模型 : 如果把土星軌道看作為一個六面體 ( 正立方體 ) 的外接球, 它的內接球半徑正好作為木星的軌道 ; 木星軌道這個球內可以作一個內接正四面體 ( 正三稜錐 ), 這四面體的內接球半徑又可作為火星的軌道 ; 火星軌道球內又有一個內接正十二面體, 這十二面體的內接球又可作地球的軌道 ; 跟着內接正二十面體的內接球代表金星軌道 ; 其內的八面體內接球則表示水星的軌道, 這些不同的幾何形體, 一個套一個便構成了當時所知的太陽系不過後來開普勒發現行星軌道並非完美的正圓形, 他毅然把這個完美的模型拋棄了 1610 年 1 月 7 日, 在意大利的伽利略把新造的 30 倍望遠鏡指向木星, 看見 3 粒光點與木星排成直線, 像這樣 ( * * O * ) 翌晚, 他發覺光點位置不同了, 但仍然排成直線 (O * * * ) 9 日密雲,10-11 日復觀木星, 但附近只有兩光點, 而且都在木星的另一邊 (* * O ),12 日光點增至 3 粒,13-14 日的觀測, 木星旁的光點竟然增至 4 粒, 排列總是成直線再過幾天, 伽利略大慨領悟到那些光點都是圍繞木星運行的天體伽利略發現四顆木衛, 在天文史上有重大的意義, 他目睹地球以外的另一個行星 - 衛星系統, 說明星體不一定要圍繞地球運轉, 對當時權威的地心說是一種挑戰, 伽利略也因此種下晚年被軟禁的禍根伽利略 (1624) 和他在 1610.01.07-14 的木星觀測記錄參考 : Galileo Dialogue VCD ( 中文字幕,CRC 版 ) 第一個以視差測定太陽距離的人是法國巴黎天文台台長卡西尼 (Cassini), 他留意 1672 年 9 月 9 日正值火星衝, 火星距離地球近至 0.38 AU, 於是在早一年便派助手 Richer 到南美凱因 (Cayenne) 的地方 ( 那年代越過大西洋要幾個月!), 在衝期間兩人同時異地測量火星的視差, 一年後卡西尼收到對方的報告, 結果算出 1 AU = 21700 地球半徑, 比真正值少 8 % AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 17 of 22

扭力天平實驗 ----- 1798 年, 英國的卡文迪西 (Henry Cavendish) 設計一台六呎寬的扭力天平 (torsion balance) 測量地球的密度, 台上懸絲把橫桿兩端的 2 吋小鉛球 m 吊起, 小鉛球旁置 12 吋大鉛球 M (158 kg), 大小鉛球之間的引力 F 換為懸絲的扭力, 扭轉的角度經鏡子反射光束在刻度尺上讀取, 實際的扭轉很小 ( 在刻度尺上僅移動 0.16 吋 ), 為了提高測量精度, 卡文迪西把整套天平放在密室裡, 再從室外用游標尺檢定讀數, 結果導出地球平均密度是水的 5.45 倍, 後來的人又從地球密度 ρ 地球半徑 r 和表面引力加速度 g 算得引力常數 G = 3 g / (4 π r ρ) = 6.74 x 10 11 公制單位, 與今值比較, 從扭力天平取得的 G 值誤差只有 1 %, 在當時是很高的實驗精度了引力攝動 Gravitational Perturbation 太陽天王星 P P 攝動使天王星走快些 P 攝動使天王星走慢些 1846 年的漫畫 : 法國的 Le Verrier 找到天上的新行星, 英國的 Adams 卻從 Le Verrier 的筆記發現行星誰先發現海王星? ----- 天王星發現後的四十多年中, 觀測者察覺它偏離預測位置之前, 隨後的十多年中卻偏離預測位置之後, 前後偏離不算大, 約在 2 角分之內, 但足令天文學家懷疑天王星軌道外還有另一顆未知的 P 行星, 見上圖右天王星的軌速必定快過 P, 如果天王星未追過 P,P 的攝動會令天王星走快些, 如果天王星追過 P,P 的攝動又會令天王星走得慢一點這顆未知行星終於在 1846 年 9 月 23 日發現, 公轉週期 165 年, 取名海王星最先從觀測找到海王星是柏林天文台的基利 (J. G. Galle), 他和助手根據法國數學家勒威耶 (Le Verrier) 的計算很快便找到目標了, 怎料消息傳出後殺出一位英國格林威治天文台台長艾里 (Airy), 他宣稱劍橋學生亞當斯 (Adams) 也獨立算出新行星的位置, 為此英法雙方爭執誰先發現新行星, 最後榮耀歸於勒威耶和亞當斯, 法國方面當然不服, 遂用漫畫諷刺英國偷了法國人應得的成果更多真相 : 偷海王星的人? http://www.alanchuhk.com/neptune_discovery_facts.doc AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 18 of 22

Q&A ( 設 1 AU = 1.5 x 10 8 km, 太陽質量 2.0 x 10 30 kg, 地球質量 5.974 x 10 24 kg, 地球半徑 6378 km) 1. 火星軌道半長徑 = 1.524 AU, 偏心率 = 0.0935, 求它的遠日點近日點和最近地球的距離 2. 火星直徑 6800 km, 在大衝 (greatest opposition) 時最接近地球, 也在近日點, 求這時火星的視直徑 3. 朱諾號 (Juno) 以扁圓軌道探測木星設朱諾號的軌道週期為 14 天, 最近離木星雲頂 4000 km, 求朱諾號軌道的遠木點 ( 木星半徑 = 71000 km) 4. 哈雷彗星上次回歸 1986 年, 下次 2061 年, 軌道偏心率 = 0.967 ( 逆行, 與行星公轉方向相反 ), 請用圖展示彗星的運行方向近日點和遠日點 5. 為什麼冥王星會走入海王星的軌道之內? 6. 同步衛星離地面 35786 km, 求它環繞地球的速度及週期 7. 有一類星叫白矮星 (white dwarf), 典型質量 1 M 但半徑似地球 (6400 km); 另一類叫中子星 (neutron star), 典型質量 2 M 但半徑只有 15 km, 請比較兩者的逃逸速度 ( 光速 = 300 000 km/s) 8. 土衛六 (Titan) 的軌道週期 = 15.945 天, 軌道半長徑 = 1.2218 x 10 6 km, 求土星的質量土星是扁球體, 平均半徑 = 58 000 km, 求土星的平均密度為什麼它的平均密度比水還要低? 9. 在飛馬座的 51 Pegasi 是一顆 5.5 等星, 質量是太陽的 1.06 倍, 距離地球 50 光年,1995 年發現它有一顆行星稱 51 Pegasi b, 質量最小有木星的一半, 軌道週期 4.23 天, 這顆行星到母體的平均距離有多少? 為什麼它有熱木星 (hot Jupiter) 之稱? 10. 引力與引潮力有甚麼分別? 11. 木衛一距離木星中心 420 000 km, 為什麼木衛一不不被木星瓦解? 設木衛一密度比木星大 2.6 倍 12. 為什麼 WMAP 探測器不放正在日地系統中的拉格朗日點 (EL2)? 13. 科幻 : 如果人走近 Sgr A* ( 銀河中心的特大質量黑洞 ), 距離 Sgr A* 中心 0.1 AU, 他會否被 Sgr A* 的引潮力撕裂? 14. 有兩顆行星 A 與 B, A 的公轉週期 = T A, B 的公轉週期 = T B, 兩者的會合週期 (synodic period) = T S, 求證 : 1 / T S = 1 / T A 1 / T B 答案 : 1. 遠日點 = a (1 + e) = 1.666 AU, 近日點 = a (1 e) = 1.381 AU, 最近地球的距離 = 1.381 1 = 0.381 AU 2. 火星在大衝時距離地球 0.381 AU = 0.57 x 10 8 km, 火星視直徑 = sin 1 [6800 / (0.57 x 10 8 )] = 25 角秒太陽地球火星在大衝地球 ) 視直徑 25 角秒火星離地球 0.57 x 10 8 km 火星直徑 6800 km 3. 朱諾號軌道的半長徑 = (14 2 x 0.024) 1/3 = 1.68 x 10 6 km, 軌道近木點 = 4000 + 71000 km = 75000 km, 軌道遠木點 = 2 x (1.68 x 10 6 km) 75000 km = 3.28 x 10 6 km = 46 個木星半徑 4. 右圖是哈雷彗星的軌道及紀念郵票 : 哈雷彗星的軌道週期 = 2061 1986 = 75 年軌道半長徑 = (75 2 ) 1/3 = 17.8 AU 近日點 = 17.8 (1 0.967) = 0.59 AU 遠日點 = 17.8 (1 + 0.967) = 35 AU AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 19 of 22

5. 因為冥王星的軌道近日點走入海王星的軌道之內, 見左下圖冥王星軌道 a = 39.5 AU e = 0.25 1979 年近日點 = 29.6 AU 遠日點 = 49.3 AU 太陽海王星軌道 a = 30.1 AU e = 0.01 1989 1999 年冥王星軌道平面圖 ( 不依比例 ) 地球同步衛星動畫 http://www.alanchuhk.com/geosyn_sat.gif 6. 右上圖 : 地球同步衛星的軌道速速 v circular = [(6.673 x 10 11 ) (5.974 x 10 24 ) / (6.378 x 10 6 + 35.786 x 10 6 )] = 3.0748 km/s, 軌道週期 = 2π (6378 + 35786) / 3.0748 = 86160 s = 23h 56m ( 與地球自轉同步 ) 7. 白矮星表面的逃逸速度 = (2 G M / r) = [2 (6.673 x 10 11 ) (2 x 10 30 ) / (6.4 x 10 6 )] = 6400 km/s = 2 % 光速中子星表面的逃逸速度 = [2 (6.673 x 10 11 ) (4 x 10 30 ) / (1.5 x 10 4 )] = 189000 km/s = 63 % 光速 8. 設 M = 土星質量, m = 土衛六質量, M + m = 4 π 2 a 3 / (T 2 G) = 4 π 2 (1.2218 x 10 9 ) 3 / [(15.945 x 86400) 2 (6.673 x 10 11 )] = 568 x 10 24 kg, 由於 M >> m, 因此土星質量 568 x 10 24 kg 或地球的 95 倍從質量和體積 ( 土星 volume = 4/3 π r 3 ) 可以算出土星的平均密度 = 700 kg / m 3 = 0.7 g / cc ( 比水的密度還要低 ), 說明土星的石質和鐵質成分很少, 大部分的土星體積由壓縮氫和液化氫組成 9. 設 51 Pegasi 質量 (M) 比其行星質量 (m) 大許多倍, 行星到母體的平均距離 a = [T 2 (M + m)] 1/3 [T 2 (M )] 1/3 = [(4.23 / 365.25) 2 (1.06)] 1/3 = 0.052 AU, 這個距離暗示行星因太接近母體而變得很熱, 行星的質量又是木星級, 因此天文學家說 51 Pegasi b 像一顆熱木星 10. 引力與天體相隔距離的平方成反比, 引潮力與距離的三次方成反比 11. 對木衛一而言, 木星的洛希極限 2.5 ( 木星密度 : 木衛一密度 ) 1/3 = 2.5 (1/2.6) 1/3 = 1.8 倍木星半徑, 木衛一到木星中心 = 420000 km = 5.9 倍木星半徑, 木衛一在洛希極限之外, 所以沒有被木星瓦解 12. 如果 WMAP 放正在 EL2, 陽光不能直接照射太陽電池,WMAP 很快失去電力無法運作 13. 設 Sgr A* 的質量 M = 4 x 10 6 M = 8 x 10 36 kg, 人體質量 m = 70 kg, 人體高度 h = 1.8 米, 人體至 Sgr A* 中心的距離 d = 0.1 AU = 1.5 x 10 10 米為了簡便計算, 假定一半人體質量集中在頭, 另一半人體質量集中在腳 2 Sgr A* 對人腳的引力 = G M (m / 2) / d ( 不依比例 ) Sgr A* 對人頭的引力 = G M (m / 2) / (d + h) 2 頭腳的引力差 ( 引潮力 ) = G M (m / 2) / d 2 G M (m / 2) / (d + h) 2 3 G M m h / d h << d = 0.02 newton ( 這樣微小的引潮力不會把人體撕裂 ) Sgr A* 14. 見下圖, 第一次會合時行星 A 與 B 分別在 1 2 位置, 第二次會合時則在 3 4 位置由於 A 的公轉角速度比 B 快, 所以 A 公轉一圈後再走到 3 時,B 只轉了弧度 θ, 即是說,A 轉過 360 0 + θ,b 要轉 θ 才會再次會合 4 第二次會合設 T A = A 的公轉週期, T B = B 的公轉週期, 3 T S = A 與 B 的會合週期對 A 而言, (360 0 + θ) = A 的角速度 x 會合週期 θ = (360 0 2 / T A ) x T S ----- ( 式 1) 1 第一次會合太陽對 B 而言, θ = B 的角速度 x 會合週期 = (360 0 A / T B ) x T S ----- ( 式 2) ( 式 1) ( 式 2) 1 / T S = 1 / T A 1 / T B B 以金星與地球為例,T A = 0.615 年,T B = 1 年, 兩者的會合週期 = 1.597 年或 584 天以地球與木星為例,T A = 1 年,T B =11.86 年, 兩者的會合週期 = 1.092 年或 399 天 [ 註 : 由於行星不以等速公轉, 上述的計算只提供平均的會合週期 ] AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 20 of 22

附件一 ( 讀者詢問 ) Q15: 關於大氣的問題 ----- 在木衛三這個體積較大的衛星上, 只有非常稀薄的大氣, 甚至可以說沒有, 但體積較小的海衛一有大氣存在, 究竟是為什麼? 如果是溫度低而令到有大氣出現, 為什麼土衛六的大氣會比海衛一更濃厚? 答 : 行星或衛星有無能力保留大氣層, 它的表面溫度逃逸速度和氣體分子的運動速度都是決定因素, 以下是三個衛星的比較 : 衛星質量 (10 23 kg) 半徑 (km) 逃逸速度 v esc 表面溫度 T eff 氫分子 (H 2 ) 運動平均速度平均速度 x 6 氮分子 (N 2 ) 運動平均速度平均速度 x 6 大氣層木衛三 Ganymede 土衛六 Titan 海衛一 Triton 1.48 2634 2.74 km/s 1.35 2575 2.64 km/s 0.21 1353 1.46 km/s 約 153 K ( 120 0 C) 約 93 K ( 180 0 C) 約 38 K ( 235 0 C) 1.38 km/s 8.3 km/s 0.37 km/s 2.2 km/s 1.07 km/s 6.4 km/s 0.29 km/s 1.7 km/s 0.69 km/s 4.1 km/s 0.18 km/s 1.1 km/s 幾乎沒有 ( 約 1 µbar) 濃厚的 N 2 ( 約 1.5 Bar) 稀薄的 N 2 ( 約 20 µbar) [ 解釋 ] 溫度使氣體分子隨機跳動分子在熱運動中的速度可以變化很大, 最快達平均速度的幾倍從熱力學得知, 氣體分子的平均速度 v gas = (3 k T eff / m),k 是波茲曼常數 (1.38 x 10 23 J / K), T eff 是氣體在衛星表面的溫度,m 是氣體分子的質量, 當 v gas 的 6 倍超越衛星的逃逸速度時, 氣體分子便有很大機會脫離該衛星的引力束縛例如由兩個原子組成的氫分子, 質量為 3.35 x 10 27 kg, 在木衛三表面 ( 溫度 153 K) 時的平均速度是 1.38 km/s, 偶然它們也會跳動至 6 x 1.38 = 8.3 km /s, 遠遠超過木衛三的逃逸速度, 久而久之, 所有表面的氫氣都逃離木衛三往外太空跑掉了又例如氮分子, 質量比氫大 14 倍, 在溫度 93 K 時的運動速度可以高達 1.7 km/s, 但仍然低於土衛六的逃逸速度, 所以土衛六保留濃厚的氮氣大氣層用同樣方法計算, 我們可以理解為什麼地球大氣層有氮分子和氧分子 ( 氧比氫重 16 倍 ), 但是無能力保留氫分子 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Q16: 為什麼太陽系的衛星再沒有環繞它們運行的衛星? 答 : 以右圖的木衛為例, 假設有一顆小天體 m 走到木衛與木星之間, 這時 m 會分別受到木星引力 F1 和木衛引力 F2 的影響, 如果 F1 > F2,m 不能成為木衛的衛星, 如果 F2 > F1,m 有條件成為木衛的衛星, 但這條件是不易達到的, 因為要 F2 > F1,m 必須走近木衛, 很可能進入木衛的 " 洛希極限 " 而瓦解了即使小天體暫時圍繞木衛運行, 它的軌道也不穩定, 不多久就被木衛的引潮力拉扯而墜落木衛, 或被木星攝動而脫離木衛 F1 m 小天體 F2 木衛同樣情況, 近地小行星或太空船碎片接近月球時有可能成為月球的 " 臨時衛星 ", 但不會長久如是更多參考 : 希爾球 Hill Sphere http://www.alanchuhk.com/hill_sphere.doc AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 21 of 22

附件二 ( 應用軟件 ) 網上的小天體資料庫美國太空總署有一個小天體資料庫 (Small-Body Database Browser http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi ), 只要電腦預先裝好 Java 圖示程式, 便可上網查詢小行星彗星或 TNO 在某時刻的軌道和物理資料, 以愛神星 Eros ( 第 433 號小行星 ) 為例, 在 IE 瀏覧器顯示的資料如下 : 愛神星 (433 Eros) 在 2016 年 8 月 28 日的軌道位置圖愛神星的軌道根數表中 Orbital elements 列出的 e, a, q, i, node, peri, M. 都是軌道根數的代號, 點擊代號便見它的定義, 把軌道根數輸入另一天文軟件 ( 例如 TheSky) 可找出該天體在天空的實時位置小行星的亮度來自陽光反射, 因此我們採用這個絕對星等定義 : 把小行星假置於距離太陽 1 AU 處, 從太陽望向該小行星的亮度稱為絕對星等 H 在 http://neo.jpl.nasa.gov/glossary/h.html 可找到絕對星等與小行星直徑的關係, 以愛神星說明, 它的絕對星等是 11.16, 估計直徑介於 15-40 公里 ( 真正大小 34 x 7 x 7 公里 ) 在 2016 年 8 月 28 日這一天, 愛神星距離地球 0.725 AU 根據平方反比律, 若不考慮小行星到太陽距離, 小行星的目視亮度會比絕對星等亮 0.725 2 = 2.512 0.70 倍 = 0.70 個星等級另一方面, 愛神星距離太陽 1.722 AU, 若不考慮小行星到地球距離, 小行星的目視亮度會比絕對星等暗 1.722 2 = 2.512 1.18 倍 = 1.18 個星等級把小行星到地球和到太陽的距離一併考慮, 愛神星的目視亮度 = 絕對星等 + ( 0.70) + 1.18 = 11.64 等, 不過由於視線不在陽光照射小行星的方向, 實際上小行星的亮度會比 11.64 等稍暗 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 小行星的視星等 m v 可直接用這公式計算出來 : m v = H + 5 log (d) + 5 log (r) = 11.16 + ( 0.70) + (1.18) = 11.64, H 是小行星的絕對星等, d 是小行星到地球的 AU 距離, r 是小行星到太陽的 AU 距離至於奔日的彗星, 增光程度大約與 r 4 成正比, 因此它的預測 ( 非觀測 ) 亮度 = H + 5 log (d) + 10 log (r), 不過也有人以 m v = H + 5 log (d) + 8 log (r) 來預測彗星的亮度 AC_KeplerNewtonLaw Alan Chu 22 of 22