第 11 章 統計估計 - 區間估計 1 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
學習目的 1. 了解統計學的性質 重要性 學習統計學的目的及一些基本觀念如母體 樣本 參數 樣本統計量等. 了解統計學的應用與誤用 3. 了解敘述統計及推論統計的基本觀念及其相互間的關係 4. 了解歸納法與演繹法的基本觀念及其與敘述統計及推論統計間的關係 5. 了解統計方法及其實施步驟以及在經濟 政治 社會及日常生活上的應用 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
本章結構 統計估計 區間估計 3 區間估計的意義 母體平均數的區間估計 大樣本 母體變異已知 母體變異未知 母體平均數的區間估計 小樣本 母體為常態分配且變異數已知 母體為常態分配但變異數未知 t 分配 t 分配的性質 母體分配未知但變異數已知 母體分配未知且變異數未知 樣本數的選擇 估計母體平均數時樣本數的選擇 估計母體比例時樣本數的選擇 母體比例的區間估計 母體變異數的區間估計 大樣本 小樣本 卡方分配 卡方分配的性質與定理 由卡方分配導出母體變異數的信賴區間 一端區間估計 Excel 的使用 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.1 區間估計的意義 Cocept 台北市區 30-40 坪房屋價格的調查 =36, 點估計 903.9 萬 Q: 903.9 萬不會剛好等於母體參數 μ 這個估計值可靠嗎? 這個估計值有多精確? 誤差多大? 估計出一個區間, 並指出該區間包含母體平均數的可靠度 ( 機率 ) 區間估計 對未知的母體參數估計出一個上下限的區間, 並指出該區間包含母體參數的可靠度 4 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E : 以 903.9 為中心加減某個數值, 如 67, 得到 836.9 ~ 970.9 萬 陳述 : [ 台北市區 30~40 坪房屋的平均價格在 836.9 ~ 970.9 萬元之間 ] 陳述 : [ 台北市區 30~40 坪房屋的平均價格 ( 母體平均數 ) 在 836.9 ~ 970.9 萬元之間的可靠度為 95%] 836.9 萬元 : 區間下限 lower limit of the iterval 970.9 萬元 : 區間上限 upper limit of the iterval Q: 加減什麼樣的數值 Deped o 1. 樣本平均數的標準差 的大小. 區間的信賴水準 (cofidece level) 的高低 5 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
信賴區間 信賴區間是在一個既定的信賴水準下所構成的一個區間 是由樣本統計量及抽樣誤差所構成的一個 ( 包含上限, 下限的 ) 區間 Note: 標準差越大, 點估計應加減的數值越大 6 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
信賴水準 ( 信賴係數 ) 信賴水準是指信賴區間包含母體參數的信心 ( 或稱可靠度, 信賴度 ) Note: 信賴水準以 1-α 表示,α 代表錯誤的機率. 例如 95% 信賴水準是指在此信賴水準下所建立的區間有 95% 的機會會包含母體參數的真值 統計學常用 : 90%, 95%, 99% 7 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.1 母體平均數的信賴區間 f (x) 836. 9 903.9 970. 9 x 8 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11. 母體平均數 µ 的區間估計 大樣本 母體平均數 µ 的區間估計通常區分為大樣本與小樣本. 在大樣本 (>=30) 下, 無論母體分配為何 ( 常態或非常態 ), 均可由中央極限定理得知樣本平均數 的抽樣分配為近似常態分配 分成母體變異數已知與未知二種情況 11..1 母體變異數 已知 E: 楊立委已連任數屆, 現在想轉換跑道競選下屆縣長想了解平時服務的滿意程度由選民中隨機抽取 144 人進行問卷調查 已知樣本數 =144 以及母體變異數 =576 Q: 如何估計縣內全體選民的滿意程度? 9 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
區間估計 區間估計的步驟 步驟 1 步驟 步驟 3 步驟 4 選擇較佳的點估計式並計算點估計值取得樣本統計量的抽樣分配導出母體參數的信賴區間求出母體參數的信賴區間值並做統計推論 10 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
估計步驟的注意事項 1. 根據點估計的方法與估計式的判斷標準, 選點估計式, 並求取點估計值 E: 144 份問卷計算出滿意程度的平均分數為 80 分, 80. 抽樣誤差 = 由中央極限定理知, 在大樣本情況下, 無論母體分配為何, 分配會趨近於平均數, 變異數, 標準差 的抽樣 的常態分配 80, 母體變異數為 576, 因此樣本平均數的標準差為 4 144 抽樣分配圖下頁 樣本平均數與母體平均數的距離在 1.96 之內的機率為 0.95 此即表示估計 μ 時抽樣誤差小於 1.96 的機率為 0.95 抽樣誤差為 1.96 =1.96*=3.9 ( 見下下頁 ) 11 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11. 的抽樣分配 f (x) 4 x 144 x 80 x 1 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.3 抽樣誤差小於等於 1.96 的區間 _ f (x ).5% 95% 的 值.5% 13 3.9 3.9-1.96 0 1.96 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004 _ x z
此一抽樣誤差可以機率區間表示如下 P( 1.96 ) 0.95 或表示為 P( 1.96 1.96 ) 0.95 3. 上述的區間稱為信賴區間, 它包含母體平均數 µ 的機率為 0.95, 表為 95% 信賴水準的信賴區間通常表示為 P ( 1.96 1.96 ) 0.95 ( 1.96 ) ~ ( 1.96 ) 或 1.96 ote: 母體參數是一個固定的常數, 而信賴區間則是由樣本統計量及抽樣誤差所構成的, 是隨機的, 亦即信賴區間的上下限值會隨樣本的不同而不同, 因此信賴區間是一個隨機區間. 所以我們說信賴區間會 包含 母體參數, 而不是說母體參數會落在信賴區間內. 14 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
95% 信賴水準的含意 (importat!!) 信賴水準會隨樣本不同而不同, 若將全部可能的樣本依 (11.6) 式算出所有的區間, 則在所有的區間中有 95% 的區間會包含母體平均數 µ, 有 5% 的區間不包含母體平均數 見下圖 a. 樣本平均數有 95% 會落在圖 11.4 中的顏色區域, 如 1, 3, 5,, 6, b. 樣本平均數有 5% 的機率會落在沒有顏色的區域, 如 4 依 (11.6) 式估計母體平均數所得的區域不包含母體平均數 µ 15 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.4 母體平均數 μ 的信賴區間 f (x) x Z x 1.96 3.9 95% 的 值 3.9 μ 3.9 x x 1 3.9 x x 3 x 3 3.9 x4 x 1 x 5 x 3.9 x 4 3.9 x 5 3.9 x6 x 6 3. 9 16 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
95% 信賴水準 95% 信賴水準 95% 信賴水準的含意是指隨機抽取一組樣本所得的區間包含母體平均數的機率 ( 或稱可靠度 信賴度 ) 為 0.95 或區間不包含母體平均數的機率為 0.05 17 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
4. 最後將樣本平均數 的點代入 (11.6) 式, 可得母體平均數的信賴區間值故立委服務滿意程度的信賴區間為 1.96 現在將 80 及 代入可得 即 1.96 80 3.9 76.08 83.9 此乃表示 76.08~83.9 包含母體平均數 µ 的可靠度為 95%, 如圖 11.5 結論 : 在 95% 信賴水準下, 縣內全體選民對楊立委的服務滿意分數在 76.08 分 ~ 83.9 分之間 18 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.5 母體平均數 μ 的信賴區間 f ( x) 196. 76. 08 80 196. 83. 9 x 19 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
區間估計的一般化 抽樣誤差 在 Z 範圍內的機率為 1-α, 其機率區間表 為 P Z ) 1 ( 亦可表示為 P ( Z Z ) 1 由標準常態的機率值可知 α=10%, Z 1.645 α=5%, 1. 96α=1%, 信賴係數不同其所得的信賴區間即不同 若信賴係數 1-α 愈大, 則抽樣誤差越大 Z Z. 575 0 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.6 ( 1 ) 的機率區間 f ( x) ( 1 ) 的 值 / / Z / Z / x 1 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
1-1 統計學方法與應用 母體平均數的區間估計 大樣本 大樣本變異數已知, 母體平均數的信賴區間 信賴水準 1 下, 以 估計 所得的信賴區間為 : Z / Z/ 稱為信賴區間下限, Z/ 賴區間上限 稱為信 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
表 11.1 不同信賴水準下母體平均數 μ 的信賴區間 信賴水準 1 / / Z 信賴區間 Z / 090. 010. 005. 1.645 1.645 095. 005. 005. 1.96 1.96 099. 001. 0005..575.575 3 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.7 信賴區間對話方塊 4 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.1 新立傳播公司計劃推出老年人的電視節目. 現新立公司隨機抽取台北市 100 位老人調查看電視的時數, 結果得知, 每星期看電視的平均時間為 1. 小時. 假設根據過去數次調查資料, 已知每星期看電視時間的標準差為 8 小時, 問 : 1. 老年人每星期看電視的平均時間的點估計值為何?. 在 95% 信賴水準下, 最大估計誤差為何? 3. 在 95% 信賴水準下, 每星期看電視平均時間的信賴區間為何? Solutio: 依題意, 信賴水準為 95%, 如下 : 1. 選擇做為 µ 的估計式 1.. 在大樣本的情況下, 的抽樣分配為常態分配 小時,σ=8 小時, =100, 估計步驟 ~(, ) N 由常態分配可知 P( 1.96 ) 0.95. 意即在 95% 信賴水準 下, 樣本平均數與母體平均數的估計誤差不會超過 1.96 5 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
因此可知 差為 1.568 小時. 意即在 95% 信賴水準下, 最大估計誤 3. 在 1-α 信賴水準下, 母體平均數的信賴區間依 (11.8) 式為 即 代入 Z Z 8 100 0.8 1.96 0.8 1.568 Z 1. 1.96 0.8 (1. 1.568) ~ (1. 1.568 ) 19.63~.768 19.63.768 此即表示在 19.63 ~.768 小時的區間包含母體平均數 µ 的信賴水準為 95% 推論 ; 老年人每星期平均看電視的時間在 19.63 ~.768 小時之間, 佌依區間的可信度 ( 信賴水準 ) 為 95%. 6 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.8 老年人看電視的時間 f (x) 19.63 1..768 x 7 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
信賴區間長度的決定因素 所選擇的點估計式的抽樣分配若抽樣分配的標準差越大, 則信賴區間長度越長, 越不精確 樣本數 的標準差為 /, 當 愈大時, 標準差 愈小, 區間長度也就愈小 機率區間上下限的取法若上下限的取法不同, 則會影響區間長度 信賴係數 8 信賴係數越大其區間長度將越大 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11. 老年人看電視的時間的估計中, 現問 1. 若將信賴水準降為 90%, 信賴區間將為何? 較 95% 信賴水準時寬? 還是窄?. 信賴水準為 95% 時, 若樣本數增加為 400 人, 信賴區間將為何? 較 100 人時為寬? 還是窄? Solutio: 1. Z 1. 645 Z 0.05 依 (11.8) 式信賴區間為 較 95% 信賴區間時為窄. =400, 樣本標準差 Z 1. 1.645 0.8 1. 1.645 0.8 1. 1.645 0.8 19.884.516 8 0.4 400 Z 1. 1.645 0.4 信賴區間較 100 人時為窄 1. 1.645 0.4 1. 1.645 0.4 0.416 1.984 9 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.. 母體變異數未知 大樣本變異數未知, 母體平均數的信賴區間 Z S / Z S / 稱為信賴區間下限, Z S / / 間上限 / 稱為信賴區 30 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.3 房價估計的平均價格區間, 而此區間包含母體平均數的機率為 95% Solutio: 樣本為大樣本 =36, 母體標準差未知, 樣本平均數為 樣本標準差為 s=05, 根據 (11.9) 式可得 µ 的信賴區間為 S 05 Z 903.9 1.96 36 903 903.9 66.97 即 836.95 970.89 903.9 因此可得, 在大樣本母體變異數 ( 標準差 ) 未知下,95% 信賴水準下, 台北市區房屋的平均價格的信賴區間為 836.95 970.89 萬元 31 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
表 11. 台北縣中永和地區房屋價格的估計 3 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.3 母體平均數的區間估計 小樣本 抽樣成本高, 只能小樣本 (<30), 或母體本來就很小. 狀況可分為 1. 常態母體變異數已知. 常態母體變異數未知 3. 母體分配未知但變異數已知 4. 母體分配未知且變異數亦未知 11.3.1 母體為常態分配且變異數 已知 小樣本常態母體變異數已知, 母體平均數的信賴區間 Z / 33 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.4 根據市場調查得知 5 雙流行女鞋的平均價格,810, 標準差 S=696 元. 問今年冬天添購ㄧ雙流行女鞋平均價格的 95% 信賴區間為何? ( 設母體為常態分配且 σ=70 元 ) Solutio: 已知流行女鞋價格的分配為常態分配, 且已知 σ=70. 小樣本 =5, 樣本平均數,810, 根據 (11.10) 式可得 µ 的信賴區間為 Z Z 70 810 1.96 810 8 5,58 3,09 在 95% 信賴水準下, 估計得到一雙流行女鞋的平均價格介於,538 元至 3,09 元之間 34 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.3. 母體為常態分配但變異數 未知 此時樣本標準差 做為 σ 的估計式. 在小樣本時, ( ) S 1 是一個自由度為 -1 的 t 分配 S 當母體為常態分配, 標準差 σ 未知, 小樣本的情況下, 應利用 t 分配導出 µ 的信賴區間 t 分配的意義 母體為常態分配時, 為常態分配, 表為 ~ N(, ) 標準化 Z ~ N(0,1) 但當母體標準差 σ 未知, 以樣本標準差 S 代替上式 新的統計量 t 分配 S ~ t 1 35 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
1-1 統計學方法與應用 母體平均數的區間估計 小樣本 小樣本常態母體變異數未知, 母體平均數的信賴區間 為自由度 1 的 t 分配 t S 1, / 36 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
t 分配的定理 設 ~ N(, ), U ~ v,u 是自由度為 v 的卡方隨機變數, 且 與 U 獨立, 則隨機變數 ( ) ( ) Z U v v 為自由度為 v 的 t 分配 意即標準常態隨機變數 隨機變數 v v v ( ) v 除以被自由度除後再開根號的卡方 即可得自由度為 v 的 t 隨機變數 37 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
t 分配的性質 t 分配的性質 t 分配為一個以平均數 0 為中心的對稱分配, 不同的自由度 v 有不同的 t 分配 t 分配不與橫軸相交 t 分配曲線下的總面積等於 1 t 分配決定於自由度 v, 它是 t 分配唯一的參數 自由度趨近於無窮大時 ( v ), t 分配趨近於標準常態分配, 即 ~ N(0,1) t v 一般若 v 30, 則以標準常態分配代替 t 分配 38 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
說明 : 1. 圖 11.9 t 分配為以 0 為中心的對稱分配 f (t ) ν = 3 ν = 30-5 -4-3 - -1 0 1 3 4 5 t 39 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
說明. t 分配曲線比標準常態為平坦, 亦即 t 分配曲線的高度較低, 分散程度較大 圖 11.10 標準常態分配與 t 分配 機率密度 標準常態分配 t 分配 (ν = 3) -5-4 -3 - -1 0 1 3 4 5 t 或 z 40 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
說明 3. t 分配的平均數與變異數為 E(t)=0, V(t)= v / v- V(t)= v / v- > 1. 但當 v (v >30) 時, t 分配的變異數趨近於 1 當 v< 時, 變異數不存在 4. 自由度趨近於無窮大時 (v ), t 分配趨近於標準常態分配, 即, 一般若, 則以標準常態分配代替 t 分配 t v ~ N(0,1) v 30 41 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
自由度 所謂自由度 (degree of freedom) 是指統計量中隨機便量可以自由變動 的數目 ( 個數 ). 例如統計量 ( ) 可以自由變動的隨機變 i 量有 -1 個 i1 WHY? S 1 i 因為在 S 中有, 必須滿足限制式, 而 ( 1,,, ) 的 個變量未了滿足 的限制式, 只有 -1 個變量 ( 1,,, -1 ) 可以自由變動, 最後一個變量 無法自由變動, 因此 S 的自由度為 -1 i 1 4 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
T 分配的臨界值表 11.3 t 值表 ( 部份 ) d.f. t 0.10 t 0.05 t 0.05 t 0.010 t 0.005 d.f. 1 3.078 6.314 1.706 31.81 63.657 1 1.886.90 4.303 6.965 10.95 3 1.638.353 3.18 4.541 5.841 3 4 1.533.13.776 3.747 4.604 4 5 1.473.015.571 3.365 4.03 5 6 1.440 1.943.447 3.143 3.707 6 7 1.314 1.703.05.473.771 7 8 1.313 1.701.048.467.763 8 9 1.311 1.699.045.46.756 9 1.8 1.645 1.960.36.575 43 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.11 t 分配的機率值 f (t ) v α=0.05 0 4.303 t 44 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.1 t 值 f (t ) v =5 0.05 0.05 _.015 0.015 t 45 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.13 t 分配的對話方塊 46 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.14 t 值的對話方塊 47 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
利用 t 分配球母體平均數的信賴區間 根據 t 分配 在 ( t t ) 內的機率為 1-α, 亦即 在 S P t 1, 以圖 11.15 表示 S 1,, 1, 距離內的機率為 1-α, 表為 S t 1, 1 由上式可得信賴係數 (1-α) 下 µ 的信賴區間為 S S P( t 1, t 1, ) 1 48 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.15 ( 1 ) 的機率區間 f ( x) 1 t 1, / s / t 1, / s / x t 1, / 0 t 1, / t S / 49 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
母體平均數的區間估計 小樣本 小樣本常態母體變異數未知, 母體平均數的信賴區間 為自由度 1 的 t 分配 t S 1, / 50 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.15 經略公司請人設計了一套利用電腦模擬的維修訓練計劃, 並預期該計劃將縮短訓練時間並提升維修能力. 設公司隨機由維修人員中抽取 16 人來受此一訓練, 其平均訓練天數為 46 天, 標準差為 5.7 天. 問利用電腦模擬的維修机器課程訓練計劃平均所需天數為何? ( 設信賴水準為 95%)? Solutio: =16 為小樣本, 體為常態分配但母體平均數與標準差未知. 根據 (11.13) 式可求得母體平均數的信賴區間為 S 5.7 t 1, 46 t 161,0. 05 46.1311.45 46 3.037 16 其中 t 15,0.05 =.131, 即 4.963 49.037 故利用電腦模擬的維修机器課程訓練在 95% 信賴水準下, 平均所需天數的信賴區間為 4.96 天到 49.04 天 51 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.6 當母體為常態,σ 未知, 小樣本時, 若以標準常態分配來估計 µ, 則 區間估計的結果將為何? Solutio: Z S 5.7 46 Z 0.. 05 46.79 16 43.1 48.79 此信賴區間小於 Ex11.15 以 t 分配所得的信賴區間 (4.96~49.07). 換言之, 該信賴區間 (43.1 ~48.79) 的信賴係數未達 95%. 5 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.3.3 母體分配未知, 但變異數已知 當樣本為小樣本且母體分配未知時, 其點估計式 的抽樣分配未知, 表 為. 若母體變異數 已知, 則可利用柴比式定理來做 ~ (, ) 區間估計 E: 想求算信賴係數 90% 時 µ 地信賴區間, 由柴比式定理知 的誤差在 K 之內的機率大於等於 1-(1/K ), 可表為 1 P ( K ) 1 K ( ) 53 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.7 喜糖公司的徐老闆想自我檢查一下公司生產的花生糖每包的平均重量. 包裝袋標示重量為 00 公克, 標準差為 10 公克. 現隨機抽取 10 包後稱重, 得平均重量為每包 195 公克. 問花生糖平均重量 95% 的信賴區間為何? Solutio: 小樣本且母體變異未知, 以柴比式定理估計 1 P ( K ) 1 K 將樣本標準差代入得 而 1/K =0.05 K=, 故 P( P( 4.47(3.16)) 0.95 14.13) 0.95 10 1 P( K ) 1 0.95 10 K 0 4.47 10 10 3. 16 因此 µ 的信賴區間為 即 189.87 09.13 14.13 54 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.3.4 母體分配未知且變異數 未知 無母數統計, 見 Ch19 55 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
表 11.4 米酒容量的區間估計 56 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.4 母體比例的區間估計 11.4.1 大樣本在大樣本的情況下, 由中央極限定理得知 pˆ 的抽樣分配為一常態分配 that is, pq pˆ~ N ( p, ) 於是可利用 Z 分配求得 pˆ 與 p 的抽樣誤差在 Z pq 的範圍內的機 率為 1-α, 表為 P( pq pˆ p Z ) 1 如下圖所示 57 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.16 ( 1 ) pˆ 的機率區間 f ( p) s p pq / ( 1 ) 的 p 值 / p p Z / S p p Z / S p p 58 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
母體比例的區間估計 大樣本母體比例的信賴區間 p Z / pq 大樣本母體比例的信賴區間 ( 常用公式 ) pˆ Z / (1/ )*(1/ ) 59 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.8 007 年 1 月的總統民意調查結果 : 馬英九的支持率 40%, 謝長廷 36%. 以電話後四碼隨機抽樣進行電話訪問, 共訪問 1443 位台灣地區 0 歲以上公民. 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差約為正負.5 個百分點. 問該民意調查中謝長廷支持率的信賴區間及抽樣誤差是如何計算的? Solutio: pˆ0.36 =1443 為大樣本, 樣本比例以 (11.16) 式來估計其信賴區間, 可得 95% 的信賴區間為 1 1 (0.5)(0.5) pˆ Z 0. 05 0.36 (1.96) 0.36 0.058 1443 式中的 0.058 即為抽樣誤差. 因此可得謝長廷支持率的信賴區間為 0.344 p 0.3558 推論 : 在 95% 信賴水準下, 謝長廷所獲支持率為 33.4%~38.58% 或 : 支持謝長廷的比例為 36%, 在 95% 信賴水準下的誤差為.58% 60 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.9 一項青少年調查指出, 少年最信任的對象為父母者全國比例為 45.4%, 台灣地區的比例為 44.90%, 而台北市的比例只有 40.78%( 台北市抽選 359 位少年 ). 此一結果顯示 : 都市化程度較高地區的少年信任父母的比例低於都市化程度較低的地區. 問台北市的少年中, 以父母為最信任對象者所佔比例的 95% 信賴區間為何? Solutio: 樣本數 =359 為大樣本, 樣本比例 95% 信賴區間為 ˆ0.4078 p q ˆ0. 59 pˆˆ q (0.4078)(0.59) pˆ Z 0. 05 0.4078 (1.96) 0.4078 0.0508 359, 故 亦即台北市的少年對父母信任比例的區間估計在 95% 信賴水準下為 0.3570 pˆ 0.4586 61 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.4. 小樣本當小樣本 (N<30) 時, pˆ 的抽樣分配分為兩種情況 1. 無限母體 pˆ ~ 二項分配 (p, pq/). 有限母體 pˆ pq N ~ 超幾何分配 ( p, ) N 1 6 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.5 樣本數的選擇 Cocept 抽取樣本 : 1. 好的抽樣方法. 樣本數多, 抽樣成本高, 但可獲得較多資訊, 估計誤差小 成本效益考量 最適樣本數先設定一個可容忍的估計誤差, 在此誤差下, 選擇樣本數 63 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.5.1 估計母體平均數時樣本數的選擇 估計誤差不超過 d 值 Z / d 估計母體平均數時的樣本數 Z d 估計母體平均數時的樣本數 ( 母體變異數未知 ) Z S d 64 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.10 在 E11.5 中, 經略公司的洪經理對估計結果 4.96 ~ 49.04 的精確度不滿意. 希望 估計誤差有 95% 的機率會小於等於 天. 問如要達到這個目標至少應抽多少個樣本才行? Solutio: 估計誤差不超過 天為 Z 因母體標準差未知, 依 (11.19) 式求算可得 (S=5.7) Z S (1.96) (5.7) 31.03 d 取整數得 >=3 由此知, 至少應抽取 3 個維修人員, 亦即如果洪經理想要在 95% 信賴水準下得到 天的估計誤差時, 必須增加 16 個維修人員的測試資料才行 65 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.5. 估計母體比利時樣本數的選擇 若欲使母體比例的估計誤差不超過 d 值, 同樣的, 可利用 Z 分配 pˆ p Z pq d Z pq d 由於 p, q 未知, 此時有二種選擇 1. 以過去的樣本比例 pˆ, qˆ 代替 p,q 可得 估計母體比例時的樣本數 Z ˆ pq d. 若無樣本比例資料採保守估計可以 p=1/, q=1/ 代替 p,q Z (0.5) d 因 p=1/, q=1/, 使變異數 pq 最大, 故上式為最保 守的估計 66 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
e11.11 茂得利公司新安裝一部製造鏡框的機器, 該公司要估計該機器生產的瑕疵品的比例. 老闆希望在 95% 的信賴水準下, 估計誤差不超過 0.03. 問最保守的估計應抽取多少樣本數才行? Solutio: 抽樣估計誤差不超過 0.03 Z( 0.5) Z0.05(0.5) (1.96) (0.5) d (0.03) 0.0009 取整數得 >= 1068 由此知, 至少應取 1068 個樣本 1067.1 67 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.6 母體變異數的區間估計 Cocept 在許多情況下, 人們對於母體變異數或標準差可能比對母體平均數及比例來得關心 E: 汽車零件墊片直徑長度的標準差 直徑的變異數代表精密度 母體變異數通常未知, 必須利用樣本變異數 樣本變異數的抽樣分配, 卡方分配 ( distributio) 分配, chi-square 68 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.6.1 卡方分配 樣本變異數 S ( i ) i1 1 卡方統計量 ( ) ( ) S i 1 i1 該統計量為自由度 ( 1 ) 的卡方分配 69 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.6. 卡方分配的性質與定理 ( 有 8 點說明 ) 1. 卡方分配為一定義在大於等於 0( 正數 ) 範圍的右偏分配, 不同的自由度決定不同的卡方分配 f ( ) 0.16 0.14 0.1 0.10 0.08 v 5 v 10 0.06 0.04 v 30 0.0 0.00 0 10 0 30 40 50 60 70 70 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
. 卡方分配只有一個參數即自由度, 表為 v 卡方分配的平均數與變異數為 : E( ) v, V( ) v v v 亦即自由度為 v 的卡方隨機變數, 其平均數恰等於其自由度 v, 變異數為 倍的自由度 3. 卡方分配當自由度增加而逐漸對稱, 當自由度趨近於無窮大時, (v ) 卡方分配會趨近於常態分配 v ~ N ( v,v) 4. 分配的定理 設 ~ N(, ), 令, 則 Z 為自由度 1 的卡方分配 Z 71 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
5. 卡方分配的加法定理 二個獨立的卡方隨機變數相加所得之隨機變數仍為卡方隨機變數, 其卡方分配的自由度為二個卡方分配的自由度之和 卡方分配的加法定理 設隨機變數 U ~, W ~, 且 U 與 W 獨立, 則 (U+W) ~ v1 v 1 v v i 6. 為自由度 的卡方分配 i1 ( 1) S 7. 為自由度 -1 的卡方分配 8. 當 為常態分配時, 利用卡方分配求 E(S ) 與 V(S ) E( S ), V ( S ) 4 1 7 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
卡方分配的臨界值 表 11.5 卡方值 73 d.f 0.995 0.95 0.90 0.10 0.05 0.005 1.0000393.003931.0157908.70554 3.84146 7.87944 1.010051.10587.1070 4.60517 5.99147 10.5966 3.07171.351846.584375 6.5139 7.81473 1.8381 3 4.06990.71071 1.06363 7.77944 9.48773 14.860 4 5.411740 1.145476 1.61031 9.3635 11.0705 16.7496 5 6.67577 1.63539.0413 10.6446 1.5916 18.5476 6 17 5.6974 8.67176 10.085 4.7690 7.5871 35.7185 17 18 6.6481 9.39046 10.8649 5.9894 8.8693 37.1564 18 19 6.84398 10.1170 11.6509 7.036 30.1435 38.58 19 0 7.43386 10.8508 1.446 8.410 31.4104 39.9968 0 資料來源 : 摘錄自附表表六 d.f 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
說明 我們想求自由度 v=5, 右尾機率 α=0.05 的卡方值 在 1 行自由度找到 5, 第一列找到 0.10 兩者相交可得到 5 9.3635 ( 見下頁圖 11.18),0.10 利用卡方值表可求算卡方值落在某一範圍的機率值為 1-α P( 1 ( ) ) 1 E: v =17,α=0.10, 則 亦即 v=17 時, 如圖 11.19, 8.67176 ( 0.1 ) 0.05 7. 5871 1(0.1 ) 0.95 P(8.67176 7.5871) 0.9 74 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.18 卡方分配機率值 f ( ) v 5 α=0.10 0 9.364 75 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.19 卡方值的機率區間 f ( ) v 17 α/=0.05 α/=0.05 8.67 7.59 76 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.6.3 由卡方分配導出母體變異數的信賴區間 分為兩個步驟 1. 選擇樣本變異數 S 做為母體變異數 σ 的點估計式 S i1 ( i 1 ). 利用卡方分配導出 σ 的信賴區間 ( 1) S P( 1,1( ) 1, ) 1 ( 1) S ( 1) S P( ) 1 1, 1,1 ( ) 以圖 11.0 表示 σ 的信賴區間並不對稱於 S, 因此一般表示為 ( 下頁 ) 77 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.0 ( 1 ) 值的機率區間 f ( ) 機率 (1-α) 1, 1 / 1, / 78 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
母體變異數的區間估計 母體變異數的信賴區間 ( 1 ) S ( ) S 1 1, / 1, 1 / 母體標準差的信賴區間 ( 1) S 1, / ( 1) S 1,1 / 79 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.1 抽驗 16 罐空氣清新劑, 發現每罐容量的樣本標準差為 5cc, 據此 推測每罐空氣清新劑容量的母體變異數及標準差 95% 信賴區間為何? Solutio: ( 1 ) S ( ) S 1 1, / 1, 1 / 15(5) 15(5) 7.49 6.6 因此可得 95% 信賴水準下母體變異數信賴區間為 因此, 95% 信賴水準下母體標準差信賴區間為 3.69 <σ< 7.74 13.64 59.90 13.64 59.90 80 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
σ 的信賴區間的應注意事項 1. 因為卡方為非對稱分配, 因此 σ 信賴區間非以 S 為中心, 不能表為 抽樣誤差 的方式 S 1. 當樣本數 增大時 ( ), 會趨近於常態分配, 其平均數為, 變異數為 V ( ) ( 1, 亦即 E( ) 1 ) 1 1 1 ~ N ( 1,( 1)) 因此可利用 Z 分配求 σ 的信賴區間為 S S 1Z 1Z 1 1 81 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
3. 若母體平均數已知,σ 的點估計式應選擇 此時 ˆ 統計量並未失去自由度 ˆ i 1 ( i ) ˆ 因此為服從自由度 的卡方分配, 亦即 ˆ ~ ˆ 可得在 (, ) 範圍的機率為 1-α 如下 (, 1 ( ), ˆ P(, 1( ), ) 1 因此信賴區間為 ˆ, ˆ,1 8 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
當樣本數 增大時 ( ), 則 ˆ ~ N(,) 可利用 Z 分配求算信賴區間 ˆ ˆ 1Z 1Z 83 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.13 中大公司進口鎳合金一批, 每桶標示淨重 00 公斤, 現隨機抽取 4 桶稱重, 其重量分別為 0, 01, 196, 194 假設標示重量為母體平均重量. 問母體變異數 95% 的信賴區間為何? Solutio: 因母體平均數已知, µ=00 公斤, 故 ( ) ˆ 14.5 依 (11.30) 式可得信賴區間為 ( 其中 4,0.05 11.1433, 4,0.975 0.4844 ) 即 4(14.5) 4(14.5) 11.1433 0.4844 5.1 117.67 推論 : 鎳合金重量的母體變異數 95% 的信賴區間為 5.1 ~ 117.67 84 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
Ex11.14 超硬精密公司編號 15 的螺絲其標準直徑為 3.5cm, 現抽取 150 個 做精密度檢定, 得樣本變異數 賴區間為何? Solutio: ˆ =150 相當大, 該樣本趨近於常態分配 依 (11.31) 式可得 150 ~ N(150,(150)) ( 7.85) 11.96 150 故螺絲直徑變異數的信賴區間為 為 7.85mm. 問母體變異數 95% 的信 (7.85) 11.96 150.71 36.00 85 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
11.7 一端區間估計 Cocept 在某些情況下, 研究者只需估計母體參數不超過某最高值 ( ˆ U ) 如貸款上限有時只需要知道母體參數最低為某個值 ( ˆ L ) 如公司估計新產品的最低需求量 一端之信賴區間 86 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
一端區間估計 母體平均數 1 最高限值的信賴區間 母體平均數 1 最高限值的信賴區間為 : 或 Z (, Z ) 87 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
一端區間估計 母體均數 1 最低限值的信賴區間 Z 或表為 ( Z, ) 88 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
圖 11.1 ( 1 ) 右尾機率區間 f ( x) 1 Z x 89 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.15 正新公司想買一套自動化機器設備. 若此設備的每單位生產成 本的節省不低於 0,000 元, 則公司將購買 ; 反之, 則不購買. 該公司測試 該機器一星期, 試用期間生產了 36 件產品, 平均省下 1,000 元, 標準差 為 1,050 元. 現問正新公司決策為買或不買? Solutio: 因 σ 未知, 以 S=1050 元估計 σ, 得最低限值信賴區間為 Z S 1,050 1,0001.645 1,000 1.645 175 0,71 36 因此, 95% 最低值得信賴區間為 (0,71 ~ ) 元, 因此正新公司可下決策 : 因為單位成本節省大於 0,000 元, 所以可購買該自動化機器設備 90 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
E11.16 旅行社考慮收費底限時是以美人的最高支出來計算. 正和旅行 社根據過去 900 個旅客的資料, 上海四日遊的每人平均成本 ( 團費 ) 為 15,000 元, 標準差為 6,000 元. 現黃經理欲估計平均成本 95% 最高限的 信賴區間, 以作為新年度收費的參考. 試問平均成本 95% 最高限值得 信賴區間為何? Solutio: 因 σ 未知, 以 S=6,000 元估計 σ, 得最低限值信賴區間為 S 6,000 Z 15,000 1.645 15,000 1.645 39 15,39 900 因此,95% 最高限值的信賴區間為 (0 ~15,39) 元, 因此正和旅行社的黃經理可下決策 : 上海旅遊每人成本不超過 15,39 元 Q: 團費多少? 91 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004
e11.17 高露潔進行市場調查顧客對新口味牙膏的接受率, 隨機抽取 360 顧客, 發現有 0.7 的顧客喜歡該口味. 該公司劉經理欲估計接受率 99% 最低限值得信賴區間, 以作為保守估計新口味牙膏的需求量. 式求接受率 99% 最低限值得信賴區間. Solutio: 根據中央極限定理已知樣本接受率 p ˆ p ˆˆ q 0.7 0.3 360 pˆ 0.04 於是可得 99% 最低限值得信賴區間為 p pˆ Z pˆ 為一常態分配, 標準差為 ˆ 0.7.33 0.04 0.7 0.056 0.644 因此, 可知高露潔牙膏新口味的接受率 99% 的最低限值得信賴區間為 (0.644 ~ 1) 9 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 004