第 章 三角函數的基本概念 -1 銳角三角函數 1 - 三角函數的基本關係 10-3 簡易測量與三角函數值表 17-4 廣義角的三角函數 8-5 正弦定理與餘弦定理 46-6 基本三角測量 60 附表一附表二 希臘字母表 63 三角函數值表 64
一 銳角三角函數值的定義 第二章三角函數的基本概念 -1 銳角三角函數 : 給定一銳角 θ, 作 =θ, 在 的其中一邊上任選一點 ( 不能是 點 ), 作 C 垂直 的另一邊, 設 C 為垂足 ( 如下圖 ) 在直角 C 中, 為斜邊, C 為 θ 的鄰邊, C 為 θ 的對邊, 則 θ 的六個三角函數分別為 sinθ= C = 對邊, 稱為 θ 的正弦 (sin 讀做 sine) 斜邊 cosθ= C = 鄰邊, 稱為 θ 的餘弦 (cos 讀做 cosine) 斜邊 tanθ= C C = 對邊, 稱為 θ 的正切 (tan 讀做 tangent) 鄰邊 cotθ= C 斜邊 C = 鄰邊對邊, 稱為 θ 的餘切 (cot 讀做 cotangent) 對邊 secθ= C = 斜邊 θ, 稱為 θ 的正割 (sec 讀做 secant) 鄰邊鄰邊 C cscθ= C = 斜邊, 稱為 θ 的餘割 (csc 讀做 cosecant) 對邊在上圖中, 因為 C=θ, 所以 sinθ 亦可記為 sin C, 若不致混淆, 亦可簡記為 sin, 甚至可簡記為 sin ( 其餘三角函數亦同 ) 注意 :θ( 即 ) 的三角函數值與 點位置的選取無關 例如 : 如下圖, 在 的其中一邊上任取相異兩點 ', 作 C ' C ' 垂直 的另一邊, 所以直角 C 直角 'C'( 相似 ), 因此 sin =sinθ= C = DE C E ' ;cos =cosθ= = ; D D tan =tanθ= C = DE C E ;cot =cotθ= = ; C E C DE θ sec =secθ= = D D ;csc =cscθ= = C C' C E C DE 例題 :1.(1) 在 C 中, =13, C =1, C =5, 求 的各三角函數值 () 在 C 中, =90, C = 3, 求 的各三角函數值 解 : ns:(1) 略 () 略 1 高中數學 ( 二 )
例題 :. 在 C 中, 解 : ns: 1 = C =, C = 3, 求 sin 的各三角函數值 例題 :3. 設 θ 為一個銳角, 且 sinθ= 1 3, 求 θ 的其他三角函數值 解 : ns:cosθ= 3,tanθ= 3,cotθ=,secθ= 4 4,cscθ=3 例題 :4. 利用量角器與有刻度的直尺作一直角三角形, 使其一內角為 37 且斜邊長為 5, 並估計 sin 37 cos 37 與 tan 37 之值 解 : ns:sin 37 3 4 3 5,cos 37 5,tan 37 4 給定一個銳角 θ 的值, 就可以得到 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ 與 cscθ 的值, 它們都可以看成 θ 的函數, 即以角的度量為自變數, 以邊長比值為應變數的一種函數, 依序稱為正弦函數 餘弦函數 正切函數 餘切函數 正割函數與餘割函數, 這六個函數統稱為三角函數 因為 θ 是銳角, 所以這種三角函數進一步叫做銳角三角函數 -1 銳角三角函數
例題 :5. 設 θ 為銳角, 則下列 θ 的各三角函數值哪些是合理的?()sinθ= ()cosθ= 1 3 (C)tanθ= 1 3 (D)cotθ= 10 (E)secθ=00 (F)cscθ=0.5 解 : ns:()(c)(d)(e) 銳角的三角函數值範圍 : 若 θ 為銳角, 則 (1)0<sinθ cosθ<1 ()tanθ cotθ>0 (3)secθ cscθ>1 二 特別角的三角函數值 例題 :6. 試求出下列表格中的三角函數值 解 : ns: 略 函數值函數角度 sin cos tan cot sec csc 30 45 60 3 高中數學 ( 二 )
例題 :7. 試求出下列表格中的三角函數值 解 : ns: 略 函數值函數角度 sin cos tan cot sec csc 15 75 例題 :8. 試求下列各式的值 : sin 45 + tan 45 (1)sin 30 cos 45 +cos 30 sin 45 () sec30 csc60 解 : ns:(1) 6+ 4 () 9 8 為了方便起見, 我們將 (sinθ) 寫成 sin θ, 但千萬不能寫成 sinθ, 以免與 sin(θ ) 產生混淆, 其他三角函數次方的寫法依此類推 -1 銳角三角函數 4
三 銳角三角函數的應用 例題 :9. 下圖為半徑 1 的四分之一圓, 與 CD 為圓的切線段, EF O, 試以 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 表示下列各線段長 : (1) FE ()OE (3) (4)O (5)CD (6)OD 解 : ns:(1) sinθ() cosθ(3) tanθ(4) secθ(5) cotθ(6) cscθ y C D F θ O E x 例題 :10. 如下圖, 在 C 中, C=90, =θ,cd (1) 試證 :(Ⅰ) C CD CD (Ⅱ) C = D ; C 解 : ns:(1)(i) 略 (II) 略 () 45 (3) 略 = D ; CD 於 D 點 : = D D () 若 D =1, D =3, 試求 C 的面積 (3) 試證算 - 幾不等式 :( 與第一冊 -1 例題 5 做比較 ) a+ b 若 a b 0, 則 ab 且等號成立的充要條件是 a=b C θ D 5 高中數學 ( 二 )
例題 :11. 如下圖, 在 C 中, C=90, =θ,cd 於 D 點 : (1) 試以 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 表示下列各式 : (Ⅰ) C (Ⅱ) D (Ⅲ) C CD CD () 試求下列各式所表示的線段? (Ⅰ) sinθ (Ⅱ) C tanθ (Ⅲ) C cosθ (Ⅳ) D cotθ 解 : ns:(1)(i) sinθ(ii)cotθ(ii)secθ()(i) C (II) C (III) D (IV)CD C θ D 例題 :1. 如下圖, 在 C 中, D C, =5,sin = 3 15 5,sin C= 17, 試求下列各值 :(1) D () C (3) C 解 : ns:(1) 15 () 17 (3) 8 C D 求邊長時常會用到 : 斜邊 sinθ= 對邊, 斜邊 cosθ= 鄰邊, 鄰邊 tanθ= 對邊 : 有六顆球, 其中三顆是重的, 另三顆是輕的, 三顆重的一樣重, 三顆輕的也一樣輕, 請使用天秤三次, 判斷各顆球孰重孰輕 -1 銳角三角函數 6
基礎題 1. 設 θ 為銳角且 tanθ= 5 6, 試求 θ 的其他三角函數值. 設 θ 為銳角, 若 sinθ= 15 17, sinθ cosθ 求 之值 1 cotθ 1 tanθ 3. 若 4sin -8sin +3=0, 試求 sin 之值 4. 如右圖,OP = OQ,QR PR, QOR=θ, 若 sinθ= 5 8, 求 cot θ 之值 P O θ Q R 5. 如右圖,θ 為銳角, 與 CD 為單位圓 ( 半徑為 1 的圓 ) 的切線段, EF O, 試以 sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 表示下列各線段長 : (1) ()EF (3)OE (4)O (5)CD (6)OD y C O D F θ E x 6. 在銳角 C 中, =30,sin = 4 5 5,cos C= 13, D C, 求 D 及 C 之長 進階題 1+ tanθ 7. 設 θ 為銳角, 已知 =3+, 求 sinθ+cosθ 之值 1 tanθ 8. 已知 為銳角, 若 cot -( 3+1)cot + 3=0, 則 = log tan 60 + log tan 45 3logsin 30 + log5 9. 求之值 1 1+ log36 + logsec 45 10. 如右圖, C 中, C=90, C = C, 的平分線交 C 於 D, DC=θ, 求 sinθ cosθ 及 tanθ 之值 θ D C 11. 如右圖, C C,CD, D =9, D =4, CD=θ, C 試求 :(1)CD 之長 ;() sinθ 與 cosθ 之值 θ 9 D 4 1. 如右圖, 設一圓之半徑為 r, 則其內接正七邊形的邊長為 () r sin 180 () r cos 180 (C) r tan 180 (D) r cot 180 7 7 7 7 (E) r sec 180 (F) r csc 180 7 7 r 7 高中數學 ( 二 )
13. 如右圖, 設一圓之半徑為 r, 則其外切正七邊形的邊長為 () r sin 180 () r cos 180 (C) r tan 180 (D) r cot 180 7 7 7 7 (E) r sec 180 (F) r csc 180 7 7 r 14. 設 P 為銳角 C 之外心,x y z 表 P 至 C C 之距離, 則 x:y:z 等於 () sin :sin :sin C () cos :cos :cos C (C) tan :tan :tan C (D) cot :cot :cot C (E) sec :sec :sec C 15. 如右圖, 為直徑, =39,sin PC= 5 13, 求 P + P P 16. 如右圖, 扇形半徑為 30, 圓心角為 60, 求其內切圓半徑之長 C C 思考題 17. 如右圖, 正方形 CD 的邊長為, 已知 M 為 C 中點, MC=θ, 試求 cotθ 之值 ( 提示 : 作 MH C 於 H, 求出 M 與 MH ) 60 30 θ D M C 18. 如右圖, 等腰 O 中, 頂角 O=36,OH, = C, 試求 :(1) sin 18 ;() cos 18 ( 提示 : 設 O =1, H =x, 然後利用 O C) C O H 19. 設 H 為銳角三角形 C 的垂心 ( 三高之交點 ), 若以 c 表線段 之長, 則線段 H 之 長等於 () c cos sin C () c cos cos C (C) c cos tan C (D) c cos sec C (E) c cos csc C 0. 銳角 C 中, 若 cos = 4 5,cos C= 1 5, C 的中點為 M, 而 H C =5, 試求 :(1) C () H (3) M 於 H, MH 答案 : 1. sinθ= 5 61,cosθ= 6 61,cotθ= 6 5 4. 8 + 39 5,secθ= 61 6,cscθ= 61 5. 17 7 5.(1) tanθ() sinθ(3) cosθ(4) secθ(5) cotθ(6) cscθ 6. 4;6 3. 1-1 銳角三角函數 8
3 + 6 7. 8. 30 或 45 9. 1 10. ; + 3 13 1.() 13.(C) 14.() 15. 51 16. 10 17. 3 18.(1) 13 19.(E) 0.(1) () 1 (3) 13 ; -1 11.(1) 6 () 3 13 13 ; 5 1 10 + 5 () 4 4 9 高中數學 ( 二 )
一 倒數 商數 平方關係 - 三角函數的基本關係 設 C 中, C=90, =θ, 若以 a b 與 c 分 別表示三邊 C C 與 之長, 則 sinθ= a c cosθ= b c tanθ= a b cotθ= b a secθ= c b cscθ= c a :(1)sinθ cscθ=1 ()cosθ secθ=1 (3)tanθ cotθ=1 例如 :(1)sin 60 csc 60 = 3 =1 ()cos 60 sec 60 = 1 3 =1 1 (3)tan 60 cot 60 = 3 3 =1 :(1)tanθ= sin θ ()cotθ= cos θ cosθ sinθ 1 3 sin 30 1 例如 :(1) cos 30 = = =tan 30 () = = 3=cot 30 cos30 3 3 sin 30 1 證明 : θ c b a C :(1)sin θ+cos θ=1 (3)1+cot θ=csc θ ()1+tan θ=sec θ 例如 :(1)sin 30 +cos 1 3 30 = ( ) + ( ) =1 ()1+tan 1 4 30 =1 + ( ) ( ) 3 = 3 = 3 =sec 30 (3)1+cot 30 =1+( 3 ) =4= =csc 30 證明 : 上述的基本關係式, 可用下圖來幫助記憶 : (1) 倒數關係 : 每一條對角線的兩端點互為倒數 sin cos () 商數關係 : 每一個函數等於相鄰兩函數的乘積 (3) 平方關係 : 每一個黑色的三角形上面兩者的平方和 tan 1 cot 等於下面的平方 sec csc + = - 三角函數的基本關係 10
sinθ + tanθ 例題 :1.(1) 設 θ 為銳角且 cosθ-1=-3cosθ+, 試求之值 sinθ tanθ () 設 θ 為銳角, 若 7sinθ=4cosθ, 試求 tanθ 與 sinθ 之值 解 : ns:8 例題 :. 設 θ 為銳角, 試求下列各式之值 : (1) 1 + 1 + 1 + 1 1+ sinθ 1+ cosθ 1+ secθ 1+ cscθ ()(sinθ+cosθ) +(sinθ-cosθ) (3)(secθ+tanθ)(secθ-tanθ) 解 : ns:(1) () (3) 1 計算題的解題技巧 :(1) 將所有的三角函數化成 sin cos () 看到平方想起平方關係 (3) 善用乘法公式 11 高中數學 ( 二 )
例題 :3. 設 θ 為銳角, 試證 : (1)(sinθ+cosθ) =1+sinθcosθ ()sin 3 θ+cos 3 θ=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ) (3)tanθ+cotθ= 1 sinθ 1+ cosθ (4)cscθ= + sinθ cosθ 1+ cosθ sinθ pf: 證明題的解題技巧 :(1) 由複雜的式子往簡單的式子方向證明 ( 由繁入簡 ) () 利用計算題的解題技巧 (3) 看到分數可嘗試通分 例題 :4. 設 θ 為銳角且 sinθ-cosθ=1, 試求 sinθ 與 cosθ 之值 解 : ns:sinθ= 4 5,cosθ= 3 5 - 三角函數的基本關係 1
例題 :5. 設 θ 為銳角,sinθ+cosθ= 5 4 且 sinθ>cosθ, 求下列各式之值 : (1)sinθcosθ ()tanθ+cotθ (3)sin 3 θ+cos 3 θ (4)sinθ-cosθ (5)sinθ 解 : ns:(1) 9 3 115 3 () 9 (3) 18 (4) 7 4 (5) 5 + 7 8 二 餘角關係 13 高中數學 ( 二 ) 設 C 中, C=90, =θ, 若以 a b 與 c 分別表示三邊 C C 與 之長 因 + =90, 所以 =90 -, 又 的對邊是 的鄰邊, 的鄰邊是 的對邊, 因此 sin= 的對邊長 b = = 的鄰邊長 =cos 斜邊長 c 斜邊長 即 sin(90 -θ)=cosθ, 同理可推得 cos(90 -θ)=sinθ 不僅如此, 正餘切函數與正餘割函數也有這種關係, 我們稱之為餘角關係 : sin(90 -θ)=cosθ,cos(90 -θ)=sinθ, tan(90 -θ)=cotθ,cot(90 -θ)=tanθ, sec(90 -θ)=cscθ,csc(90 -θ)=secθ 例如 :(1)sin 30 =sin(90-60 )=cos 60 ()cos 15 =cos(90-75 )=sin 75 (3)tan 45 =tan(90-45 )=cot 45 (4)cot 50 =cot(90-40 )=tan 40 (5)sec =sec(90-88 )=csc 88 (6)csc 37 =csc(90-53 )=sec 53 θ c b a C
例題 :6. 試求下列各式之值 : (1)sin 31 -cos 59 ()tan 44 tan 46 (3)sec 37 sin 53 (4)sec 3 -cot 67 (5)sin 0 +sin 70 解 : ns:(1) 0 () 1 (3) 1 (4) 1 (5) 1 注意彼此互餘的角度 平方關係的變形 :(1)1-cos θ=sin θ ()1-sin θ=cos θ 解 : ns:44 1 (3)sec θ-tan θ=1 (4)sec θ-1=tan θ (5)csc θ-cot θ=1 (6)csc θ-1=cot θ 例題 :7.sin 1 +sin +sin 3 + +sin 89 之值 : 有三個空杯子,10 個銅板, 把銅板全放到杯子裡, 如何放, 可以使得每個杯子都裝著奇數個銅板? - 三角函數的基本關係 14
基礎題 1. 設 θ 為銳角, 若 3sinθ=5cosθ, 試求 :(1) cotθ;() secθ. 設 θ 是銳角且 tanθ=, 則 cos θ+cosθsinθ+sin θ 3. 已知 為銳角, 若 4cos +8sin -7=0, 求 4. 設 θ 為銳角, 試證 :sec θ+csc θ=sec θcsc θ 1+ sinθ cosθ 5. 設 θ 是銳角, 試證 : + =secθ cosθ 1 + sinθ 6. 設 θ 為銳角且 3sinθ+4cosθ=5, 試求 sinθ 與 cosθ 之值 7. 設 θ 是銳角,sinθ+cosθ= 6 且 sinθ<cosθ, 試求 : (1) sinθcosθ () tanθ+cotθ (3) sinθ-cosθ (4) cosθ 8. 試求下列各式之值 : (1) sin 3 sec 67 +cos 4 csc 48 () tan 1 tan tan 3 tan 88 tan 89 9. 求 cos 10 +cos 0 +cos 30 +cos 40 +cos 50 +cos 60 +cos 70 +cos 80 之值 進階題 10. 試求 sin 4 θ+sin θcos θ+cos 4 θ 之值 11. 設 θ 是銳角, 試證 :sec 4 θ-1=tan θ+tan 4 θ tan θ csc θ 1 1. 設 θ 是銳角, 試證 : + = tan θ 1 sec θ csc θ sin θ cos θ 13. 設 θ 為銳角, 已知 tanθ+secθ=3, 求 cosθ 之值 14. 設 θ 為一銳角且 sinθcosθ= 4 9, 求下列各式之值 : (1) sinθ+cosθ () sinθ-cosθ (3) tanθ+cotθ 15. 若 0 <θ<45, 已知 tanθ+cotθ= 5 1, 試求 : (1) sinθcosθ () sinθ+cosθ (3) sinθ-cosθ 16. 試求下列各式之值 : (1) sin (73 +θ)+sin (17 -θ) () tan 4 79 +csc 11 -csc 4 11 C 思考題 17. 設 θ 是銳角, 已知 f(k)=cos k θ+sin k θ, 試證 3f(4)-f(6)=1 ( 提示 :α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β)) 1+ sinθ cosθ 1 cosθ sinθ 18. 設 θ 是銳角, 求證 : = = 1+ sinθ + cosθ sinθ 1+ cosθ tanθ + secθ 1 1+ sinθ cosθ 19. 設 θ 是銳角, 試證 : = = tanθ secθ + 1 cosθ 1 sinθ 0. 設 θ 是銳角,sinθ+cosθ= 6 且 sinθ<cosθ, 試求 : (1) sin 3 θ+cos 3 θ;() sin 6 θ+cos 6 θ ( 提示 : 利用第 7 題與 α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β)) 15 高中數學 ( 二 )
答案 : 1.(1) 3 5 () 34 3 (4) (3) 9 4 () 13 16 6+ 4. 3. 30 4. 略 5. 略 6. 3 5 ; 4 5 8.(1) () 1 9. 4 10. 1 11. 略 1. 略 13. 3 5 15.(1) 1 5 () 7 5 (3)- 1 5 7.(1) 1 4 () 4 (3)- 14.(1) 17 3 ()± 1 3 16.(1) 1 () 1 17. 略 18. 略 19. 略 0.(1) 3 6 8 - 三角函數的基本關係 16
一 簡易測量 -3 簡易測量與三角函數值表 :(1) : 目標物跟地心的連線 () : 通過觀測者眼睛且與鉛垂線相垂直的直線 (3) : 通過觀測者眼睛與目標物觀測點的直線 (4) : 仰視目標物時, 視線與水平線間的夾角 (5) : 俯視目標物時, 視線與水平線間的夾角 ( 注意 : 仰角與俯角一定都是銳角 ) (6) : 設在觀測方向上可見物體的兩端分別為 兩點, 則觀測點與 連線之夾角稱為視角 ( 如右圖 ) (7) : 除了大家熟知的東 西 南 北四個主要方位, 以及東北 東南 西北 西南四個常用方位外, 其它方位如何表示呢? 如右圖, 點 的方位可表為東 15 北 ( 或北 75 東 ), 請各位同學依一樣的原理, 試著寫出 C D 的方位 : C 北 視角 觀測點 物體 C: 30 D: 西 37 45 15 東 D 南 例題 :1.(1) 如右圖, 為測得一湖泊岸邊 兩點 間的距離, 某人在岸邊另找一點 C, 使湖得, C=90 又測得 C =100 公尺, C=60, 試求 C () 某機場基於飛航安全考量, 限制機場附近建築物從機場中心地面到建築物頂樓的仰角不得超過 8 某建築公司打算在離機場中心 3 公里且地表高度和機場中心一樣高的地方蓋一棟平均每樓層高 5 公尺的大樓 在符合機場的限制規定下, 該大樓在地面以上最多可以蓋幾層樓?( 已知 sin 8 0.139,cos 8 0.9903,tan 8 0.1405) (3) 有 兩幢大樓, 從 樓頂觀測 樓底, 測得俯角為 30, 而從 樓頂觀測 樓頂, 測得仰角為 15, 若 大樓高度為 100 公尺, 求 大樓的高度 解 : ns:(1) 100 3 公尺 () 84 (3) 00 3-00 公尺 17 高中數學 ( 二 )
例題 :.(1) 小山丘上有一座架設高壓電線的鐵塔, 塔高 0 公尺, 在觀測點 C 測得塔底的仰角為 45, 塔的鉛直視角為 15, 若 C 點至地面的高度為 10 公尺, 試問塔底離地面有多高? () 一船朝北航行, 發現在北 30 東有一燈塔, 繼續朝北前進 10 浬後, 測得此燈塔在其東北方, 試問若該船行駛方向不變, 則離燈塔最近的距離是多少? 解 : ns:(1) 10 3+0 公尺 () 5( 3+1) 浬 訣竅 : 利用圖中的每個直角三角形 例題 :3.(1) 甲在大樓西 30 北的 點, 測得大樓樓頂仰角為 45, 乙在大樓南 30 西的 點, 測得大樓樓頂仰角為 30, 已知樓高 100 公尺, 請問甲 乙兩人的距離 ( 甲 乙的身高可忽略 ) () 小牛在鐵塔的正東方 處測得塔頂的仰角為 45, 從 處向正南方走 0 公尺到達 處, 再測得塔頂的仰角為 30, 試求鐵塔的高度 -3 簡易測量與三角函數值表 18
解 : ns:(1) 00 公尺 () 10 公尺 二 如何使用三角函數值表 : 三角函數值表共分八行, 左起第一行表示度數, 由上而下依次是 :0 00' 0 10' 0 0' 45 00'(' 讀作分,1 =60'), 每個間隔都是 10' 第二行至第七行的最上面一列, 由左至右依次寫著 sin cos tan cot sec csc, 這些函數符號下面的數就是左起第一行角度的三角函數值 例如要查 tan 35 10' 的值 : 先在最左邊一行角度 sin cos tan cot sec csc 角度找到 35 10', 再在最上.. 面一列找到 tan, 然後循 35 00' 55 00' 10'.7046 50' 下表中箭頭所示方向找 0' 40' 到.7046, 即得 tan 35 10'.. =0.7046 最右邊的一行亦表示度數, 由下而上依次是 :45 00' 45 10' 45 0' 90 00', 每個間隔也都是 10' 第二行至第七行的最下面一列, 由左至右依次寫著 cos sin cot tan csc sec, 這些函數符號上面的數就是最右邊一行角度的三角函數值 例如.. 要查 cos 59 40' 的值 : 先 30 00' 60 00' 10' 50' 在最右邊一行找到 59 40' 0'.5050 40', 再在最下面一列找到 30' 30' cos, 然後循下表中箭頭 40' 0' 50' 10' 所示方向找到.5050, 即 31 00' 59 00' 得 cos 59 40'=0.5050.. 角度 cos sin cot tan csc sec 角度因為 cos 59 40'=sin (90-59 40')=sin 30 0'( 餘角關係 ), 所以也可以 19 高中數學 ( 二 ) 仿照前面所說的方法, 先在最左邊一行找 30 0', 再在最上面一列找到 sin, 這一行與這一列的交會處即為 0.5050, 這就是為什麼三角函數值表最左邊一 行的度數, 由上而下是由 0 00' 0 10' 0 0', 只到 45 00'; 而最右邊一 行的度數, 由下而上是由 45 00' 45 10' 45 0', 只到 90 00' 的原因
例題 :4.(1) 試將下列角度化為 分 : (Ⅰ) 0.5 (Ⅱ) 0.5 (Ⅲ) 0.4 (Ⅳ) ( 1 6 ) () 試將下列角度化為 度 : (Ⅰ) 6' (Ⅱ) 45' (Ⅲ) 0' (Ⅳ) 36' 解 : ns:(1)(i) 30'(II) 15'(III) 4'(IV) 10'()(I) 0.1 (II) 0.75 (III) 0.6 (IV)( 1 3 ) 例題 :5.(1) 若 θ 1 =75 34'6'',θ =45 56'58'', 試求 : (Ⅰ)θ 1 +θ (Ⅱ)θ 1 -θ () 根據三角函數值表, 查出下列各三角函數值 :(Ⅰ) sin 17 40' (Ⅱ) cos 36 (Ⅲ) tan 30 50' (Ⅳ) cot 59 10' (Ⅴ) csc 75 10' 解 : ns:(1)(i) 11 31'4'' (II) 9 37'8'' ()(I) 0.3035 (II) 0.8090 (III) 0.5969 (IV) 0.5969 (V) 1.034 查三角函數表的重點 :(1) 查左邊的角由上而下, 而且用上面的三角函數 () 查右邊的角由下而上, 而且用下面的三角函數 1 =60'; 其實 ' 以下還有更小的角度單位 '', 讀作秒, 且 1'=60'' -3 簡易測量與三角函數值表 0
例題 :6. 利用三角函數值表求下列銳角 θ: (1)sinθ=0.1708 ()cosθ=0.550 (3)cotθ=1.698 解 : ns:(1) 9 50' () 58 0'(3) 30 30' : 由銳角三角函數值的定義可以發現 : 當角度由 0 漸漸遞增到 90 時, 正弦函數的值是由 0 漸漸遞增為 1; 餘弦函數的值則由 1 漸漸遞減為 0; 正切函數的值是由 0 逐漸增大到 + ; 餘切函數的值則由 + 漸漸遞減為 0; 正割函數的值是由 1 逐漸增大到 + ; 餘割函數的值則由 + 漸漸遞減為 1 0 30 45 60 90 sin 0 1 1 3 1 cos 1 3 1 1 0 tan 0 1 3 1 3 + cot + 3 1 sec 1 3 csc + 1 3 0 + 3 1 上表中, 符號 表示遞增並趨向, 符號 表示遞減並趨向 由上表可知 : 若 θ 為銳角, 則 (1)(Ⅰ) 0<sinθ cosθ<1 (Ⅱ) tanθ cotθ>0 (Ⅲ) secθ cscθ>1 () 當 θ 變大時,sinθ tanθ secθ( 正函數 ) 皆變大 ;cosθ cotθ cscθ( 餘函數 ) 皆變小 例如 :(1)sin 30 <sin 45 <sin 60 ()cos 30 >cos 45 >cos 60 (3)tan 30 <tan 45 <tan 60 (4)cot 30 >cot 45 >cot 60 (5)sec 30 <sec 45 <sec 60 (6)csc 30 >csc 45 >csc 60 例題 :7.(1) 在下圖一與下頁圖二中, C 為四分之一的單位圓 ( 半徑為 1 的圓 ) 上之相異兩點,O 為圓心, 設 O=θ 1, COD =θ, 試利用下圖證明 : 若 0<θ 1 <θ <90, 則 (Ⅰ) sinθ 1 <sinθ (Ⅱ) cosθ 1 >cosθ (Ⅲ) tanθ 1 <tanθ (Ⅳ) cotθ 1 >cotθ (Ⅴ) secθ 1 <secθ (Ⅵ) cscθ 1 >cscθ () 設 θ 為銳角, 試證 : (Ⅰ) sinθ<tanθ<secθ (Ⅱ) cosθ<cotθ<cscθ 1 高中數學 ( 二 )
pf: C O D 圖一 E C' C ' O 圖二 E 若 θ 為銳角, 則 (1)sinθ<tanθ<secθ;()cosθ<cotθ<cscθ 例如 : 函數值函數角度 sin cos tan cot sec csc 30 45 60 1 1 3 3 1 1 1 3 3 3 1 1 (1)sin 30 <tan 30 <sec 30 (4)cos 30 <cot 30 <csc 30 ()sin 45 <tan 45 <sec 45 (5)cos 45 <cot 45 <csc 45 (3)sin 60 <tan 60 <sec 60 (6)cos 60 <cot 60 <csc 60 3 1 3 3-3 簡易測量與三角函數值表
例題 :8.(1) 比較下列各組數的大小 : (Ⅰ) a=sin 3 b=cos 59 c=0.5 (Ⅱ) a=tan 35 b=sin 35 c=sec 40 (Ⅲ) a=sin 35 b=cot 50 c=sec 13 () 若 45 <θ<90, 則下列何者正確?()sinθ<cosθ ()tanθ>cotθ (C)secθ>cscθ (D)sinθ<tanθ 解 : ns:(1)(i) a>b>c (II) c>a>b (III) c>b>a ()()(C)(D) 三角函數比較大小常用的性質 : 若 θ 為銳角, (1) 當 θ 變大時,sinθ tanθ secθ( 正函數 ) 皆變大, 而 cosθ cotθ cscθ( 餘函數 ) 皆變小 ()sinθ<tanθ<secθ;cosθ<cotθ<cscθ (3)0<sinθ cosθ<1;secθ cscθ>1 (4) 注意特殊的三角函數值, 例如 :tan 45 =1,sin 30 = 1, 銳角三角函數比較大小的訣竅 : (1) 以餘角關係將所有的三角函數都變成 sin tan sec( 或 cos cot csc) () 利用比較大小常用性質 3 高中數學 ( 二 )
: 例題 :9. 利用三角函數值表以及內插法, 求下列各三角函數的值 : (1)sin 33 33' ()cot 56 18' ( 四捨五入取到小數第四位 ) 解 : ns:(1) 0.557 () 0.6669 例題 :10. 利用三角函數值表以及內插法, 求下列銳角 θ 的近似值 ( 四捨五入取到 '( 分 ) 的個位數): (1)sinθ=0.7359 ()tanθ=1.715 解 : ns:(1) 47 3' () 59 45' -3 簡易測量與三角函數值表 4
例題 :11. 政府規定 : 山坡地平均坡度 30 以上禁建, 所謂坡度 30 意思是指 水平距離 100, 高度 30 之斜坡 請利用三角函數值表以及內插法, 求坡度 30 之斜坡與水平地所夾的銳角大約是多少度? ( 求至 '( 分 ) 的個位數) 解 : ns:16 4' :a b c d 都是正數, 並且 c+d<a,c+d<b, 求證 :ac+bd<ab 5 高中數學 ( 二 )
基礎題 1. 一塔直立地面, 從地面 M 處測得塔頂 仰角為 17, 若向塔前進 70 公尺至 N 處, 再測塔頂仰角為 45, 求塔高 ( 已知 tan 17 =0.3). 海中一小島, 四周 S 浬內佈設水雷, 今有一艦於 處望該島在北 60 西, 向西行駛 10 浬後至 處再望該島, 則在北 30 西, 若此艦之航向不變, 佈雷半徑 S 最大未超過多少浬時, 該艦方無危險? 5 3 5 () 5 3 浬 () 浬 (C) 5 浬 (D) 浬 (E) 5 浬 3. 利用三角函數表求下列各三角函數值 :(1) sin 0 10' () cot 57 40' 4. 設 θ 為銳角, 試問 :(1) 若 sinθ=0.4488, 則 θ= () 若 cotθ=0.6787, 則 θ= 5. 試比較 a=sin 58 b=cos 58 c=tan 58 d=sec 58 的大小 6. 已知 sin 0.1 =0.3437,sin 0. =0.3453, 試以內插法估計 cos 69 50' 之值 ( 四捨五入 取到小數第四位 ) 7. 已知 sin 47 0'=0.7353,sin 47 30'=0.7373, 而 sinθ=0.7359(0 <θ<90 ), 試以內 插法求銳角 θ 的近似值 ( 四捨五入取到 '( 分 ) 的個位數) 8. 已知 cos 3 10'=0.8465,cos 3 0'=0.8450, 而 sinθ=0.8453(0 <θ<90 ), 試以內 插法求銳角 θ 的近似值 ( 四捨五入取到 '( 分 ) 的個位數 ) 進階題 9. 在某地測得直立於山上之塔的頂點及塔底各得仰角為 45 及 30, 又向山走近 90 公尺, 再測得塔頂仰角 75, 求山高 10. 某建築物上有一塔, 塔上豎一旗竿, 已知旗竿長 4 公尺, 在地面上某處測得建築物頂端 塔頂的仰角分別為 45 60, 且旗竿的鉛直視角為 15, 求該建築物的高度 11. 在坐標平面的 x 軸上有 (, 0) (-4, 0) 兩觀測站, 同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點, 測得 C 及 C 之值後, 通知在 D( 5,-8) 8 的砲臺, 此兩個角的正切值分別為 9 及 8 3, 那麼砲臺 D 至目標 C 的距離為 1. 海岸上有 二燈塔, 在 之正北方 公里處, 今有一船於海上望見 在其北 60 西方向, 在其北 45 西方向, 若船依東 60 北之方向航行 10 分鐘後, 再望見 在其正西方, 則此船之速率為公里 / 小時 13. 某甲見一建築物 位於正北, 另一建築物 位於北 30 西 ; 此人向西北行 1 公里後, 則見 位於東北, 位於正東, 求兩建築物 與 之距離 14. 站在瞭望臺 O 點處發現正北方, 仰角 60 之 點處有一架飛機保持 500 3 公尺高度, 等速朝東飛行,5 秒後測得該飛機飛經 點處時的仰角為 30, 而地面上 C D 兩點恰好分別是飛機飛航中 兩點的正下方. 試問 : (1)OC 與 OD 的長度是多少公尺? () 該飛機的速度為多少公尺 / 秒? 15. 試比較 a=cot 1 b=csc 0 c=tan 70 d=sin 89 的大小 C 思考題 -3 簡易測量與三角函數值表 6
16. 根據氣象預報, 某颱風於某日下午 時的中心位置在鵝鑾鼻燈塔正南方 300 公里處, 暴 風半徑為 50 公里, 以每小時 50 公里的速率朝 北 30 西 等速直線前進 設此颱風的 速度方向及暴風半徑都不變, 求鵝鑾鼻燈塔在此暴風圈內前後共計有多少小時? 17. 銳角 C 中, 試證 :sin +sin +sin C>cos +cos +cos C ( 提示 :+> π ) 18. 設 0 <θ<30, 且 1+log cosθ + 1+log sinθ =, 試求 tanθ 答案 : 1. 30 公尺.() 3.(1) 0.3448 () 0.6330 4.(1) 6 40' () 55 50' 5. d>c>a>b 6. 0.3448 7. 47 3' 8. 57 4' 9. 15(3+ 3) 公尺 10. 公尺 11. 13 1. 1( 3+1) 13. 6 公里 3 14.(1) 500;1500 () 00 公尺 / 秒 15. b>c>a>d 16. 8 17. 略 18. 1 4 7 高中數學 ( 二 )
一 廣義角的三角函數值 -4 廣義角的三角函數 : 我們把角看作是以其頂點為旋轉中心, 將其一邊以逆時針或順時針方向旋 轉至另一邊而成的旋轉量 旋轉開始的邊稱為該角的始邊 ; 旋轉終止的邊稱為 該角的終邊 ( 如下圖 ) 並規定逆時針方向旋轉的旋轉量是正的, 順時針方向 旋轉的旋轉量是負的 旋轉量是正的角就稱為正向角, 簡稱為正角 ; 旋轉量是 負的角就稱為負向角, 簡稱為負角 這種以正 負來區分旋轉方向的角稱為有 向角 例如 : 旋轉時可以是逆時針或順時針方向旋轉四分之一圈 半圈 一圈 一圈半 二圈, 因此對應的旋轉量依次是 ±90 ±180 ±360 ±540 ±70 這樣的有向角不僅有正 負角之分, 而且它的度數也不限於 0 到 360 之間, 我們就統稱為廣義角 例如 : : 當 0 <θ<90 時, 我們將 θ 角的頂點放在坐標平面 之原點上, 將始邊放在 x 軸的正向上, 再在其終邊上任 P(x, y) 取一點 P(x,y)( 非原點 ), 令 OP =r(= x + y ), r y 自 P 點向 x 軸作垂線, 令垂足為 Q 點, 則 OPQ 為直 θ 角三角形, 且 POQ=θ 因此根據銳角三角函數值的 x O x Q 定義, 我們就可以用 P 點的 x 坐標 y 坐標與 P 點到原點的距離 r 去定義銳角 θ 的六個三角函數值 : sinθ= y r,cosθ= x r,tanθ= y x,cotθ= x y,secθ= r x,cscθ= r y ( 注意 : 與 P 點在終邊上的位置無關 ) 將此定義延伸到廣義角, 就可以決定任意角的三角函數值 ( 看例題 1) 而且可發現對任意的廣義角, 倒數關係 商數關係 平方關係依然成立 證明 : 終邊 始邊 5 O 495 O 始邊 終邊 終邊 始邊 10 O 495 y 始邊 終邊 y P(x, y) r O θ x -4 廣義角的三角函數 8
特別注意 : 從現在開始, 三角函數已經不是用邊長來定義, 而是由終邊上的任一點 P( 非原點 ) 之 x 坐標 y 坐標與 P 點到原點的距離 r 來表示 例題 :1. 試求下列各角的六個三角函數值 : (1)10 ()5 (3)330 (4)480 (5)-60 (6)-165 (7)-40 ( 與 (1) 對照 ) 解 : ns: 略 9 高中數學 ( 二 )
例題 :. 試求下列各角度的六個三角函數值 : (1)0 ()90 (3)180 (4)70 (5)360 解 : 函數值函數角度 0 90 180 70 360 sin cos tan cot sec csc : 當我們把兩個廣義角 θ 與 ψ 的頂點都放在坐標平面的原點上, 且把它們的始邊都放在 x 軸的正向上, 若它們的終邊重疊, 則這樣的兩個廣義角就叫做同界角 兩同界角的差必是 360 的整數倍 例題 :3.(1) 指出下列各角中, 哪些是 30 的同界角? ()-1050 ()-750 (C)-330 (D)690 (E)750 () 寫出下列各有向角的最小正同界角與最大負同界角 : (Ⅰ) 1999 (Ⅱ)-1999 (Ⅲ)-001 3' 解 : ns:(1)()(c)(e) ()(I) 199 ;-161 (II) 161 ;-199 (III) 158 37'; -01 3' -4 廣義角的三角函數 30
同界角的各三角函數值相等 ( 見例題 1.(1)(4)(7)), 即 sin(360 k+θ)=sinθ,cos(360 k+θ)=cosθ,tan(360 k+θ)=tanθ, cot(360 k+θ)=cotθ,sec(360 k+θ)=secθ,csc(360 k+θ)=cscθ ( 其中 k Z) 例題 :4. 試求 sin 585 tan 100 以及 sec(-930 ) 之值 解 : ns:- 1 ;- 3;- 3 計算廣義角 θ 的三角函數值時, 可先將角度變成 θ 的最小正同界角 例題 :5. 下列何者無意義? ()tan 70 ()sin 350 (C)sec(-70 ) (D)csc 1080 解 : ns:()(d) 31 高中數學 ( 二 ) : 若 θ 為廣義角, 則 (1)-1 sinθ 1 sinθ 1;-1 cosθ 1 cosθ 1 ()tanθ cotθ 可為任意實數 (3)secθ -1 或 secθ 1 secθ 1; cscθ -1 或 cscθ 1 cscθ 1
例題 :6. 試說明各三角函數值的範圍 解 : ns: 略 例題 :7. 設 f(θ)=-sin θ+cosθ+3, 求 f(θ) 之最大值及最小值 解 : ns:5; 1 例題 :8. 設 k R, 若 cosθ-1=kcosθ+ 的 θ 有解, 求 k 的範圍 ( 參考 - 例題 1.(1)) 解 : ns:k -1 或 k 5-4 廣義角的三角函數 3
: 當我們把廣義角 θ 的頂點放在坐標平面的原點上, 始邊放在 x 軸的正向上 時, 若廣義角 θ 的終邊落在第一 二 三 四象限, 我們就分別稱它為第一 二 三 四象限角 如果終邊落 x y 軸上, 我們就稱它為象限角 終邊座落的象限三角函數一二三四 sinθ,cscθ + + - - cosθ,secθ + - - + tanθ,cotθ + - + - 例題 :9.(1) 判斷下列各角是第幾象限角 :(Ⅰ) 3388 (Ⅱ)-147 () 試問點 P(sin 1360,cos(-90 )) 落在第幾象限內? 解 : ns:(1)(i) 二 (II) 一 () 三 例題 :10.(1) 已知 sinθ= 1 3 且 cosθ<0, 求 tanθ 之值 () 已知 cotθ=- 且 sinθ>0, 求 cosθ 之值 解 : ns:(1) () 4 5 33 高中數學 ( 二 )
二 相差特殊角度的三角函數值之關係 360 -θ θ: sin(360 -θ)=sin(-θ)=-sinθ, cos(360 -θ)=cos(-θ)=cosθ, tan(360 -θ)=tan(-θ)=-tanθ, cot(360 -θ)=cot (-θ)=-cotθ, sec(360 -θ)=sec(-θ)=secθ, csc(360 -θ)=csc(-θ)=-cscθ 請同學們想想看, 為何沒有 360 +θ θ 的公式? 例題 :11. 試證明上述性質 pf: 例題 :1. 試求下列各三角函數值 :(1)sin(-30 ) ()cos(-60 ) (3)tan(-45 ) (4)sec(-75 ) 解 : ns:(1)- 1 () 1 (3)-1 (4) 6+ -4 廣義角的三角函數 34
180 ±θ θ: (1)sin(180 +θ)=-sinθ, cos(180 +θ)=-cosθ, tan(180 +θ)=tanθ, cot(180 +θ)=cotθ, sec(180 +θ)=-secθ, csc(180 +θ)=-cscθ 例題 :13. 試證明上述性質 pf: 例題 :14. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 40 ()cos 5 (3)tan 10 (4)csc 5 解 : ns:(1)- 3 ()- 1 (3) 1 3 (4)- 35 高中數學 ( 二 )
()sin(180 -θ)=sinθ, cos(180 -θ)=-cosθ, tan(180 -θ)=-tanθ, cot(180 -θ)=-cotθ, sec(180 -θ)=-secθ, csc(180 -θ)=cscθ 兩個角互為補角時, 其正弦值相等, 而其餘弦值等值異號 例題 :15. 試證明上述性質 pf: 可利用 180 -θ=180 +(-θ) 來說明 例題 :16. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 135 ()cos 150 (3)tan 10 (4)cot 150 解 : ns:(1) 1 ()- 3 (3)- 3(4)- 3-4 廣義角的三角函數 36
90 ±θ θ: (1)sin(90 +θ)=cosθ, cos(90 +θ)=-sinθ, tan(90 +θ)=-cotθ, cot(90 +θ)=-tanθ, sec(90 +θ)=-cscθ, csc(90 +θ)=secθ 例題 :17. 試證明上述性質 pf: 例題 :18. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 135 ()cos 150 (3)tan 10 (4)cot 150 解 : ns:(1) 1 ()- 3 (3)- 3(4)- 3 37 高中數學 ( 二 )
()sin(90 -θ)=cosθ, cos(90 -θ)=sinθ, tan(90 -θ)=cotθ, cot(90 -θ)=tanθ, sec(90 -θ)=cscθ, csc(90 -θ)=secθ 這就是廣義角的餘角關係 例題 :19. 試證明上述性質 pf: 可利用 90 -θ=90 +(-θ) 來說明 70 ±θ θ: (1)sin(70 +θ)=-cosθ, cos(70 +θ)=sinθ, tan(70 +θ)=-cotθ, cot(70 +θ)=-tanθ, sec(70 +θ)=cscθ, csc(70 +θ)=-secθ 例題 :0. 試證明上述性質 pf: 可利用 70 +θ=180 +( 90 +θ) 來說明 -4 廣義角的三角函數 38
例題 :1. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 330 ()cos 330 (3)tan 300 (4)csc 315 解 : ns:(1)- 1 () 3 (3)- 3(4)- ()sin(70 -θ)=-cosθ, cos(70 -θ)=-sinθ, tan(70 -θ)=cotθ, cot(70 -θ)=tanθ, sec(70 -θ)=-cscθ, csc(70 -θ)=-secθ 例題 :. 試證明上述性質 pf: 可利用 70 -θ=180 +( 90 -θ) 來說明 39 高中數學 ( 二 )
例題 :3. 試求下列各三角函數值 :(1)sin 40 ()cos 5 (3)tan 10 (4)csc 5 解 : ns:(1)- 3 ()- 1 (3) 1 3 (4)- sin cos ( 360 )-θ θ 90 ±θ θ (1) 三角函數不變 () tan cot 180 ±θ θ 70 ±θ θ sec csc 上述各個公式的 θ 可為任意角, 但若將 θ 當做銳角, 可以比較容易判斷公式的正負號 ( 請同學們自己想想!) 例題 :4.(1) 試判斷下列何者正確? ()sin(-40 )=-sin 40 ()cos(180-10 )=cos 10 (C)sin(90 +150 )=cos 150 (D)cos(70-5 )=sin 5 () 試求 sin 585 tan 100 以及 sec(-930 ) 之值 ( 見例題 4) 解 : ns:(1)()(c) ()- 1 ;- 3;- 3 求廣義角 θ 的三角函數值之訣竅 : (1) 先將角度變成 θ 的最小正同界角或最大負同界角 () 再利用公式將角度變為銳角 -4 廣義角的三角函數 40
例題 :5. 設 θ 為第三象限角且 cosθ=- 3 5, 求下列各式的值 : (1)sinθ( 與例題 10 的作法做比較 ) ()tan(540 +θ) (3)cos(θ-70 ) 解 : ns:(1)- 4 5 () 4 3 (3) 4 5 例題 :6. C 中, 已知 C=θ( 如下圖 ), 且 C 邊上的高為 D, 則下列何者可以表示 D? () sinθ () cosθ (C) tanθ (D) secθ 解 : ns:() D θ C 例題 :7. 在坐標平面上, 設有向角 θ 之終邊上有一點 P, 且 P 與原點的距離為 4, 若 θ=150, 求 P 的坐標 解 : ns:(- 3,) 平面有一點 P(x,y), 設 O 為原點, 若 OP =r 且 OP 與 x 軸正向夾角為 θ, 則 x=r cosθ,y=r sinθ 41 高中數學 ( 二 )
例題 :8.(1) 若 sin 87 =a, 試以 a 表 sin 337 () 設 cos 100 =k, 試以 k 表 tan(-60 ) 解 : ns:(1) 1 a () 1 k k 訣竅 : 將所有的角度皆化為銳角 例題 :9. 試求下列各式之值 : (1)cos 1 +cos +cos 3 + +cos 180 () 180 k =Σ sin k 1 解 : ns:(1)-1 () 90-4 廣義角的三角函數 4
三 三角函數的大小關係例題 :30. 試比較下列各組數的大小 : (1)a=sin(-870 ) b=cos 430 c=tan 1310 d=cos(-1900 ) e=sin(-095 ) ()a=sec 337 b=tan 0 c=cos 143 d=sin 37 解 : ns:(1) a<d<b<e<c () c<d<b<a 當 θ 為銳角時, 三角函數比較大小常用的性質 : (1) 當 θ 變大時,sinθ tanθ secθ( 正函數 ) 皆變大, 而 cosθ cotθ cscθ ( 餘函數 ) 皆變小 ()sinθ<tanθ<secθ;cosθ<cotθ<cscθ (3)0<sinθ cosθ<1;secθ cscθ>1 (4) 注意特殊的三角函數值, 例如 :tan 45 =1,sin 30 = 1, 廣義角三角函數比較大小的訣竅 : (1) 將廣義角變為銳角 () 以餘角關係將所有的三角函數都變成 sin tan sec( 或 cos cot csc) (3) 利用比較大小常用性質 : 有一個裝滿十元硬幣的撲滿, 現在由六個小朋友以手稱重量的方式, 來猜撲滿裡有多少錢, 六人分別猜測 300 370 400 470 500 530 元, 已知最接近的 答案還少 10 元, 而其他人依次與正確金額相差 40 60 90 110 10 元, 請 問正確金額為多少? 43 高中數學 ( 二 )
基礎題 1. 設 61 之最小正同界角為 a, 最大負同界角為 b, 求數對 (a,b). 設 -1508 之最小正同界角為 a, 最大負同界角為 b, 求數對 (a,b) 3. 設 f(θ)=cos θ+3sinθ+1, 求 f(θ) 之最大值及最小值 4. 若點 P(cotθ, sinθ) 在第四象限內, 則 : (1)θ 為第幾象限角? () 點 Q(cscθ, tanθ) 在第幾象限? θ 5.(1) 若 θ 為第一象限角, 則為第幾象限角? θ () 設 θ 為第三象限角, 則不可能為第象限角 3 6. 設 sinθ= 3 sinθ + sinθcosθ 且 tanθ<0, 求之值 10 1+ cosθ + cos θ sin θ 7. 已知 4cos θ-8cosθ-5=0, 且 tanθ>0, 試求 :(1) secθ;() cscθ 8. 已知 sin x+cos x=1, 試求下列各式之值 :(1) sin x+cos x ;() sin x-cos x 9. 求下列各三角函數值 :(1) cot 150 ;() sin 5 ;(3) tan(-570 );(4) cos 100 10. 求下列各式之值 : (1) sin 585 cos 115 +cos(-300 )sin(-330 )+tan(-135 ) () sin 1590 cos(-1860 )+tan 1395 cot(-960 ) (3) sin 10 cos 30 -cos 5 sin 315 +cot 330 csc 70 (4) sin 100 cos 150 +tan 480 sin(-750 ) 11. 將下列各式化為 0 45 的三角函數 :(1) sin 5380 ;() cot(-950 );(3) sec (-835 ) sin(180 ) tan(70 ) cos( ) 1. 試化簡 θ θ θ sin(360 θ ) tan(90 + θ) sin(90 + θ) 13. 設 C 為三角形三內角, 試證 : (1) cos =-cos(+c) + C () cos =sin C (3) cos( )=sin( +)=sin( +C) 14. 試比較下列各組數的大小 : (1) a=cos 100 b=cos 00 c=cos 400 () a=sin 100 b=sin 00 c=sin 400 d=sin 800 (3) a=cos(-430 ) b=tan 1310 c=sec 1850 進階題 15. 設 k R, 若 sinθ-1=k(sinθ+3) 的 θ 有解, 求 k 的範圍 16. 若點 P(sinθcosθ, tanθsecθ) 在第二象限內, 則 θ 為第幾象限角? 17. 設 a R 且 x 的方程式 3x -4x+a=0 之二根為 sinθ cosθ, 求 a 之值 18. 設 p R 且 x 的方程式 x +px-1=0 之二根為 sinθ cosθ, 請問 : (1) p 之值為何? () 若 0 θ 180, 則 θ 之值為何? 19.(1) 已知 cos 4 30'=0.9100,cos 4 40'=0.9088, 試以內插法估計 cos 04 35' 之值 ( 四捨五入取到小數第四位 ) -4 廣義角的三角函數 44
() 已知 sin 0 0'=0.3475,sin 0 10'=0.3448, 試以內插法估計 cos(-90 15') 之值 ( 四捨五入取到小數第四位 ) 0. 試化簡下列各式 : cos(90 ) tan(70 ) csc( 90 ) (1) + θ θ θ + sin( θ 70 ) cot( θ 180 ) sec(70 + θ) sin (180 θ ) tan (360 θ) cos (90 θ)csc (70 θ) () cos (70 + θ) sin (540 θ) y 1. 如右圖, 單位圓 O 與 y 軸交於 兩點, 角 θ 的頂點為原點, 始邊在 x 軸的正向上, 終邊為 OC,C 垂直於 y 軸且與角 θ C θ 的終邊交於 C 點, 則下列哪一個函數值為 C? x O (1) sinθ () cosθ (3) tanθ (4) cotθ (5) secθ D. 如右圖 C=θ, D= CD=90, =a, D =b 下列選項何者可以表示 CD?( 單選題 ) (1) asinθ+bcosθ () asinθ-bcosθ (3) acosθ-bsinθ (4) acosθ+bsinθ (5) asinθ+btanθ C 3. 若 tan(-70 )=k, 試以 k 表 cos 1330 4. 試求下列各式之值 :(1) 360 180 sin n ;() n=σ 1 n=σ cos n ;(3) 180 1 n=σ cos3 n 1 5. 設 θ=100, 試比較下列各數之大小關係 :a=sinθ b=cosθ c=tanθ d=cotθ e=secθ f=cscθ C 思考題 6. 設 θ R, 若 y= sin x 1 sin x + 3, 試求 y 的最大值與最小值 ( 提示 : 參考第 15 題 ) 7. 若 sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0, 試求 :(1) cos α+cos β;() sin 4 α+cos 4 β 8. 已知 cot 5 10'=0.7766,cot 5 0'=0.770, 若 cotθ=-0.7743 且 90 <θ<180, 試以內插法求 θ 的近似值 ( 四捨五入取到 '( 分 ) 的個位數) 答案 : 1.(5,-108 ).(9,-68 ) 3. 4;- 4.(1) 三 () 二 5.(1) 一或三 () 二 6.-3 7.(1)-() 8.(1) 或 3 5 () 9.(1)- 3() 1 (3) (4)- 1 3 10.(1) 3 4 () 1 + 3 (3) 1 4 3 4 + 3(4)- 9 4 11.(1)-sin 0 ()-tan 40 (3)-csc 5 13.(1) 略 () 略 (3) 略 14.(1) c>a>b () a=d>c>b (3) c>b>a 15.-3 k 1 5 17. 7 6 3.- () 5 8 1.(1) ()-1 18.(1) 0 () 135 19.(1)-0.9094 () 0.346 0.-1 1.(4).() 1 4.(1) 0 () 90 (3)-1 5. f>a>b>d>c>e 6. 1 3 1+ k 5 ;-3 7.(1) 8. 17 45' 16. 二 45 高中數學 ( 二 )
一 三角形面積與正弦定理 : -5 正弦定理與餘弦定理 任畫一個 C, 並自其中一頂點 作對邊 C 的垂線, 設垂足為 D 點, D 可能在 C 上, 或在 C 的延長線上, 如下圖所示 : D C (D) C D C 以 a b c 分別表示 C 的對邊長, 則 ( 高 ) D =b sin C (=c sin ), 所以 C 的面積 = 1 C D= 1 1 ab sin C (= ac sin ) 同理可得 : C 的面積 = 1 1 ac sin = bc sin 所以只要知道三角形任意兩邊的邊長及其夾角的大小, 就可以求得此三角形的面積 例題 :1.(1) 已知 C 的兩邊 C 的長度分別為 3 8, 試分別求下列情況的 C 面積 :(Ⅰ) =60 (Ⅱ) =10 () 若平行四邊形 CD 中, =4, C =5, D=150, 試求平行四邊形 CD 的面積 解 : ns:(1)(i) 6 3(II) 6 3() 10 b b b 若平行四邊形兩鄰邊長為 a b, 且夾角為 θ, 則平行四邊形面積為 absinθ 例題 :. 已知 C 面積為 50,D 在 上, D : D =:3,E 在 C 上, E : EC =1:4, 求 DE 面積 解 : ns:4-5 正弦定理與餘弦定理 46
如右圖, DE 面積 C 面積 D E D E = = C C D E C 例題 :3. 已知 C 中, 的角平分線交 C 於 D, 若 =4 C =5, =10, 求 D 之長 解 : ns: 0 9 : 因為 C 面積 = 1 1 1 bc sin = ac sin = ab sin C, 我們可以 a b c 推得 = = ( a:b:c=sin :sin :sin C) sin sin sin C 證明 : 例題 :4. 已知 C 中, C=30, =45, C =8, 試求 及 C 解 : ns: =105, =4, C =4( 3+1) 47 高中數學 ( 二 )
例題 :5. 已知 C 中, =30, C =4, =4 3, 試求 C 及 C 解 : ns: =30, C =4, C=10 或 =90, C =8, C=60 使用正弦定理的時機 : (1) 已知三角形兩內角及任一邊 (S 或 S) () 已知三角形兩邊長及此兩邊中任一邊之對角 (SS) 簡單的說, 至少要知道一個角與其對邊 例題 :6. 在 C 中, 若 : : C=1:1:4, 試求 C: C: 解 : ns:1:1: 3 由正弦定理知 a:b:c=sin :sin :sin C 在三角形中, 三內角為 30 30 10 三邊比為 1:1: 3 : a b c 我們可以假設 = = =k, 但 k 是多少呢? 若 C 為直角 sin sin sin C 三角形, 不妨設 =90, 如下頁圖一, 此時 a 即外接圓圓 O 的直徑, 所以 a a k= sin = sin 90 =a= 圓 O 的直徑 若 C 為鈍角三角形或銳角三角形, 如下頁圖二, 連 O 並延長交圓 O 於 C', 連 C ' 與 C ' -5 正弦定理與餘弦定理 48
c c 因為 C'= C( 對同弧的圓周角相等 ), 所以 k= = (1) sin C sin C ' 在 C' 中, 因為 C'=90, 所以由正弦定理可知 c C ' 圓 O 的直徑 = = = 圓 O 的直徑 () sin C ' sin C ' sin 90 由 (1) 式與 () 式知,k= sin cc = 圓 O 的直徑 c c C C O a O O C C' C' 圖一圖二 正弦定理完整版 : 在 C 中,a b c 分別表示 C 的對邊長, 則 a b c = = =R( 其中 R 為 C 的外接圓半徑 ) sin sin sin C 例題 :7. 有一圓內接 C, 若 C C 的度數比為 4:3:5, = 4 3, 求此圓半徑 解 : ns:4 圓周角的度數等於所對弧度數的一半 例題 :8. 如下圖所示, 已知四邊形 CD 為圓內接四邊形, 若 DC=30, D=45,CD =6, 試求 D 解 : ns:6 D C 49 高中數學 ( 二 )
二 餘弦定理一個三角形中, 若已知其中兩邊長及此兩邊中任一邊之對角, 或是兩內角及任一邊, 就可以利用正弦定理求出其它邊長與角度 但若只知三邊長, 或是兩邊長與其夾角, 此時正弦定理就無法立即見效, 所以我們需要介紹三角形的另一個定理 : 餘弦定理 : 在 C 中,a b c 分別表示 C 的對邊長, 則 a =b +c -bc cos b =c +a -ca cos c =a +b -ab cos C 證明 : 將 點與原點重疊, 並將 C 點置在 x 軸的正向上, 如下圖, 則 點的坐標為 (c cos,c sin )( 原理可參考 -4 例題 7),C 點的坐標為 (a,0), 因此 a = C =(b-c cos ) +(0-c sin ) =b -bc cos +c cos +c sin =b +c (cos +sin )-bc cos =b +c -bc cos y y y (ccos, csin ) (ccos, csin ) (ccos, csin ) c a a c a c x x x b C(b,0) b C(b,0) b C (b,0) 同理可證 :b =c +a -ca cos,c =a +b -ab cos C 當 =90 時, 餘弦定理 a =b +c -bccos =b +c 變成畢氏定理, 所以畢氏定理是餘弦定理的特例 例題 :9. 已知 C 中, =, C =1+ 3, =30, 試求 C 以及 與 C 解 : ns: C =, =105, C=45-5 正弦定理與餘弦定理 50
例題 :10.(1) 已知 C 中, C =, C =, = 3-1, 試求 : (Ⅰ) 三內角的大小 (Ⅱ) C 的外接圓半徑 () 在 C 中, =5, C =8,C =7, 試求 C 面積 解 : ns:(1)(i) =30, =135, C=15 (II) () 10 3 b + c a 餘弦定理的變形 :cos = bc a + c b,cos = ac a + b c, cos C= ab 例題 :11.(1) 設 C 中,a b c 分別表示 C 的對邊, 證明 : (Ⅰ) a >b +c 為鈍角 (Ⅱ) a <b +c 為銳角 () 試判斷以下列各組長度為三邊長的三角形是銳角三角形 直角三角形或鈍角三角形? (Ⅰ) 3,4,6 (Ⅱ) 5,1,1 (Ⅲ) 8,4,5 (Ⅳ) 9,40,41 pf: ns:(1)(i) 略 (II) 略 ()(I) 鈍角 (II) 銳角 (III) 銳角 (IV) 直角 51 高中數學 ( 二 )
已知 C 三邊長 C =a C =b =c 且 a b c, 則 (1)a >b +c C 為鈍角三角形 ( 最大角 為鈍角 ) ()a =b +c C 為直角三角形 ( 最大角 為直角 ) (3)a <b +c C 為銳角三角形 ( 最大角 為銳角 ) 例題 :1. 在 C 中, =30, C =4, =4 3, 試求 C 及 C ( 與例題 5 做比較 ) 解 : ns: =30, C =4, C=10 或 =90, C =8, C=60 使用餘弦定理的時機 :(1) 已知三角形兩邊長及任一角 (SS 或 SS) () 已知三角形三邊長 (SSS) 例題 :13. 在 C 中, D 為 C 之角平分線,D 在 C 上, 已知 =6, C =10,C =9, 求 D CD 與角平分線 D ( 與例題 3 求角平分線的方法做比較 ) 解 : ns: D =4,CD =6, D = 30 在 C 中, 若 的角平分線交 C 於 D, 則 D: CD= : C D C -5 正弦定理與餘弦定理 5
例題 :14. 圓內接四邊形 CD 中, =5 C =3 CD =, =60, 求 : (1) C () D (3) 四邊形 CD 的面積 (4) 此圓半徑 解 : ns:(1) 19 () 3 (3) 1 4 3(4) 57 3 圓內接四邊形的對角互補 例題 :15. 在 C 中, 已知 4a-b-c=0 且 3a+b-c=0, 求 : (1)sin :sin :sin C () 最大角度的度量 解 : ns:(1) 3:5:7 () 10 53 高中數學 ( 二 )
例題 :16. 若 C 滿足 a cos =b cos, 試證 : C 為等腰或直角三角形 pf: 三 餘弦定理的應用 : 在平行四邊形 CD 中, 兩對角線長之平方和等於 四邊長之平方和, 即 C + D = + C + CD + D = ( + C ) C D 例題 :17.(1) 請利用餘弦定理證明平行四邊行定理 () 已知平行四邊形 CD 的對角線長分別為 7 和 9, 若 =4, 試求 C pf: ns:(1) 略 () 7 : 在 C 中, 若 M 為 C 中點, 則 + C = ( M + M ) M C -5 正弦定理與餘弦定理 54
例題 :18.(1) 請利用平行四邊形定理證明三角形中線定理 () 在 C 中, =5, C =8,C =7, 試求 C 邊上的中線長 pf: ns:(1) 略 () 1 四 三角形面積 ( 續 ) :(Heron, 古希臘,10 75) 設 C 的三邊長分別是 a b c, 今以 Δ 表示 C 的面積,s 表示周長之半, 即 s= 1 ( a+b+c ), 則 Δ= ss ( a)( s b)( s c) 例題 :19.(1) 試利用餘弦定理證明海龍公式 () 請利用海龍公式求以下列各組長度為邊長的三角形面積 : (Ⅰ) 3 4 5 (Ⅱ) pf: ns:(1) 略 ()(I) 6 (II) 3 55 高中數學 ( 二 )
: 以 Δ 表示 C 的面積, a b c 分別表示 C 的對邊長,R 表示外接圓半徑, 由正弦定理可知 sin C= cr, 所以 Δ= 1 ab sin C= abc 4R ( R= abc 4 ) : 設 C 的三邊長分別是 a b c, 以 Δ 表示 C 的面 積,r 表示內切圓半徑,s 表示周長之半, 則 Δ=rs( r= ) s 證明 : r I r r C 例題 :0. 在 C 中, =5, C =8,C =7, 試求 C 的 : (1) 面積 ( 對照例題 10.()) () 外接圓半徑 ( 對照例題 10.(1)(II)) (3) 內切圓半徑 解 : ns:(1) 10 () 7 3 (3) 3 : 把長方形色紙如下圖所示往上折, 請問 x 為多少? x 58-5 正弦定理與餘弦定理 56
基礎題 1. 已知 C 中, =10, C =10 3, =10, 求 C 面積 D. 設 C 為一直角三角形, 四邊形 CDE 是以 C 為一邊向外作出的正方形, 如右圖 若 C =5,C =4, =3, 試求 : (1) cos CD;() C 的面積 C E 3. 在 C 中, 之平分線交對邊 C 於 D, 已知 =3, C =5, =60, 求 D 4. 在 C 中, C = 6+, =105, =30, 試求 5. 圓內接四邊形 CD 中, =6, C =8, =90, =10, 求 D 6. 在 C 中, = 3+, C =,C =4, 則最小角的度數為何? 7. 在 C 中, 若 C =3,C =4,tan = 3 4, 則 為何? 8. 圓內接四邊形 CD 的四邊長分別為 =5, C =3,CD =3, D =4, 試求 : (1) 對角線 C ;() 此圓半徑 ;(3) 四邊形 CD 面積 9. 已知 C 三邊長 =7, C =5, C =3, 延長 C 至 D, 如右圖所示, 使 CD =, 求 D 之長 7 3 5 C D 10. 若 C 三邊長滿足 a-b+c=0 且 a+b-5c=0, 試求 : (1) sin :sin :sin C () cos (3) 若 C =6, 則 C 的面積 = 11. 若 C 滿足 a sin =b sin, 則 C 為何種三角形? 1. 平行四邊形 CD 中, 若 =7, C =9, D =8, 試求 C 13. 已知 C 中, =4, C =5,C =6, 求 C 邊上的中線長 14. 已知 C 之三邊長分別為 4 6 8, 則 (1) C 之面積為 () C 之內切圓半徑為 (3) C 之外接圓半徑為 進階題 15. 已知 C 面積為 75,D E F 分別在 C C 上, 且 D : D =3:, E: EC =4:1, CF : F =1:, 求 DEF 面積 16. 在 C 中, =75, = 6, C =,D 在 C 上, D=30, 求 D 17. 圓內接四邊形 CD 中, 對角線 C =8, =60, =45, 求 D 18. 在 C 中, 下列哪些選項的條件有可能成立? () sin=sin=sinc= 3 (C) sin sin sinc 均大於 3 (E) sin=sin= 1,sinC= 3 () sin sin sinc 均小於 (D) sin=sin=sinc= 1 19. 圓內接四邊形 CD 中, =3,CD =5, D =8, =60, 求 :(1) C ;() cos D 1 57 高中數學 ( 二 )
0. 如右圖所示, 在 C 中, C 的平分線 D 交對邊 C 於 D; 已知 D =3, DC =6, 且 = D, 試求 cos D 之值 ( 化成最簡分數 ) 1. 已知 C 的三邊長滿足 (a-b+c) +(3a+b-c) =0, 試求 : (1) sin :sin :sin C () cos 與 sin 之值 (3) 若 C 周長 15 3, 則 C 之外接圓面積為. 在 C 中, 若 (b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6, 試求 : (1) sin :sin :sin C () cos :cos :cos C 3. 在 C 中,a b c 分別為 C 之對應邊長, 若 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, 試求 C 4. 若 C 滿足 a cos +b cos =c cos C, 試證 : C 為直角三角形 5. 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動 開始時該物位置在 P 點, 一分鐘後, 其位置在 Q 點, 且 POQ=90 再過一分鐘後, 該物位置在 R 點, 且 QOR=30 試求 tan ( OPQ) 6. 在 C 中, 已知 C C 邊上的高分別為 6 4 3, 試求 C 的 : (1) 最小角之餘弦值 () 三邊長 (3) 面積 (4) 內切圓之半徑 ( 提示 : 設 C 的三邊長為 a b c, 對應的高分別為 h a h b h c, 則 a:b:c= h a :h b :h c ) C 思考題 7.(1) 已知四邊形 CD 的兩對角線 C D 的夾角為 θ, 試證 : 四邊形 CD 面積 = 1 C D sinθ () 若四邊形 CD 的對角線長為 7 與 1, 且兩對角線的夾角為 60, 求此四邊形的面積 a 8. 已知點 (1, ) 與 x 軸上一動點 P(a, 0), 試求的最大值及此時的 a 之值 P ( 提示 : 利用正弦定理 ) 9. 若 x +x+1 x -1 x+1 為三角形三邊長, 則此三角形最大角的度數為何? 30. 若 C 三邊長滿足 c 4 -(a +b )c +a 4 +a b +b 4 =0, 則 C= 31. 在 C 中, 若 a 4 +b 4 +c 4 =c (a +b ), 求 C 3. 試證托勒密定理 : 若四邊形 CD 為圓內接四邊形, 則 C D = CD + D C 即圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和 33. 在 C 中,a b c 為 C 之對應邊長, 試證 : (1) a=b cos C+c cos ( 此性質稱為投影定理 ) b + c cos + cosc () = ( 提示 : 利用 (1)) a 1 cos (3) cos +cos +cos C>1 ( 提示 : 利用 ()) 34. 試證 : (1) 若 C 滿足 a sin +b sin =ab cos cos, 則 C 為何種三角形? () 若 C 滿足 b sin C+c sin =c +bc cos cos C, 則 C 為何種三角形? ( 提示 : 利用第 33 題第 (1) 小題的投影定理 ) 35. 已知 C 之周長為 0, 內切圓半徑 3, =60 且 C <, 試求 : (1) 三邊長 ;() C 面積 ;(3) C 的外接圓面積 D C -5 正弦定理與餘弦定理 58
36. 已知 C 中,D E F 分別為 C C 中點, 三中線長 D E CF 分別為 5 6 7, 求 C 面積 答案 : 1. 5 3.(1)- 3 3 5 () 8 3.15 8 () 3 9 35 (3) 9 35 4 14.(1) 3 15() () 71 98 0. 3 4 3. 60 4. 略 5. 3 4 4. 5. 5 3 6. 30 7. 5 或 9. 7 10.(1) 4:3: ()- 1 4 (3) 3 15 11. 等腰 1. 14 13. 7 5 8.(1) 9 15 16 (3) 15. 16 16. 6 17. 4 6 18.()()(E) 19.(1) 3 3 15 1.(1) 3:5:7 () 13 14 ; 3 14 3(3) 49π.(1) 7:5:3 ()(-7):11:13 6.(1) 8 7 () 16 15 15 (3) 8 15 5 3 15 (4) 15 7.(1) 略 () 1 3 8. 當 a=5 時, a P = 5 為最大值 9. 10 30. 60 或 10 31. 45 或 135 3. 略 33.(1) 略 () 略 (3) 略 34.(1) 直角 () 等腰 35.(1) 7,5,8 () 10 3(3) 49π 3 36. 8 6 79 59 高中數學 ( 二 )
-6 基本三角測量 例題 :1. 為測得一湖泊岸邊 兩點 ( 如下圖 ) 的距離, 某人在岸邊另找一點 C, 並測得 C=60, C =100 公尺, C =80 公尺, 試求 ( 與 -3 例題 1.(1) 做比較 ) 解 : ns:0 1 公尺 100 公尺 60 80 公尺 C 湖 例題 :. 小虎於山腳測得山頂仰角為 45, 他由山腳沿 15 的斜坡往山頂方向上行 00 公尺後, 再測得山頂仰角為 60, 求山高 解 : ns:100( 6+ ) 公尺 例題 :3. 如下圖所示, 海岸邊兩觀測站 與 同時發現海中有一艘船 D 觸礁, 欲從小島 C 派出搜救挺展開救援 已知 觀測站測得 C=15, D =105 ; 觀測站測得 C=10, D=45, 已知 兩觀測站相距 公里, 試求海難船 D 與海島 C 的距離 解 : ns: 14 公里 D 海 C 陸 -6 基本三角測量 60
例題 :4. 有一山高 300 公尺, 甲村在山之東, 乙村在山之北 60 西, 從山頂測得甲 乙兩村之俯角分別為 60 及 45, 試求甲 乙兩村的距離 解 : ns:100 1 公尺 例題 :5. 在東西向道路上的 C 三點觀測北方一鐵塔, 測得塔頂仰角分別為 30 45 60, 若 = C =100 公尺, 求鐵塔的高度 解 : ns:50 6 公尺 : 下面的算式中, 每個英文字母代表一個不同的阿拉伯數字, 請還原算式 SEND + MORE MONEY 61 高中數學 ( 二 )
基礎題 1. 某人測得一船在正西方 00 3 公尺處 ;5 分鐘後, 再測得船在西 30 南 00 公尺處, 則此船之速率為公里 / 小時. 傾斜 15 的斜坡頂端有一塔 ( 如右圖 ), 於坡上一點 測得塔的鉛直視角為 30, 沿坡道上行 100 公尺至, 再測塔的鉛直視角塔為 45, 求塔高 45 30 15 斜坡 3. 有一塔高 150 公尺, 樹 在塔之正東, 樹 在塔之東 60 南, 一人從塔頂測得樹 底部之俯角為 75, 樹 底部之俯角為 45, 則兩樹間之距離為公尺 4. 坤德站在體育館頂樓上, 看操場上的一點, 測得俯角為 30 ; 然後向左轉 30, 俯視操場上另一點, 測得俯角為 45 已知 兩點距離為 40 公尺, 試求體育館高度 進階題 5. 已知 兩地相距 8 公里, 道路 C 夾 60 角 ( 如右圖 ), 若甲由 沿 C 行走, 同時乙由 沿 以 倍甲速行走, 則甲行 公里後, 甲 乙二人的距離最短, 且此最短距離為 公里 6. 阿榮在住家 處看見建築物 C 在 點北 60 東, 另一建築物 D 在其北 15 東 阿榮從住家向北前進 公里至學校 處, 發現建築物 C 在 點正東, 建築物 D 在其東 60 南, 試求 :(1) 阿榮住家 與建築物 C 的距離 () 阿榮住家 與建築物 D 的距離 (3) 兩建築物 C 與 D 的距離 7. 若 C 為海中小島, 海岸邊兩觀測站 與 同時發現有一艘船 D 觸礁 在 觀測站測得 C=90, DC=45 ; 在 觀測站測得 C=60, CD=45 已知 兩觀測站相距 4 公里 試分別求 D D DC 8. 設有共線之三相異點 C, 分別測得一山頂之仰角分別為 30 45 60 ( 但山頂之垂足不與 C 共線 ), 試分別依下列二條件求山的高度 : (1) 若 = C =600 公尺 () 若 =300 公尺, C =00 公尺 C 思考題 9. 有一氣球懸掛在高樓頂端, 在無風氣球靜止時小芳發現 : 當太陽在南 85 東且仰角為 30 之方向時, 氣球的影子在地面上的 處 ; 當太陽在南 65 西且仰角為 45 之方向時, 氣球 的影子在地面上的 處, 若 =140 公尺, 試求氣球距離地面的高度 10. 自平面上不共線之三點 C, 測得一山頂之仰角均為 60 且 C=30, C =50 公尺, 則山高為公尺 C 60 答案 : 1..4. 100 公尺 3. 75(3 + 6) 4. 40 公尺 5. 10; 1 6.(1) 4 公里 () 公里 (3) 10 公里 7. ( 6- ) 公里 ;4 公里 ;4 公里 8.(1) 300 6 公尺 () 100 15 公尺 9. 0 7 公尺 10. 50 3-6 基本三角測量 6
附表一 希臘字母表 大寫 小寫 英文拼音 中文讀音 Α α alpha 阿耳法 Β β beta 貝塔 Γ γ gamma 伽馬 δ delta 德耳塔 Ε ε epsilon 厄普西隆 Ζ ζ zeta 截塔 Η η eta 愛塔 Θ θ, ϑ theta 西塔 Ι ι iota 育塔 Κ κ kappa 卡帕 Λ λ lambda 蘭姆達 Μ µ mu 繆 Ν ν nu 紐 Ξ ξ xi 克西 Ο ο omicron 奧美克隆 Π π pi 派愛 Ρ ρ rho 洛 Σ σ sigma 西格馬 Τ τ tau 套 Υ υ upsilon 宇普西隆 Φ φ, ϕ phi 斐 Χ χ chi 喜 Ψ ψ,ψ psi 潑西 Ω ω omega 奧米伽 63 高中數學 ( 二 )
附表三 三角函數值表 角度 sin cos tan cot sec csc 0 00'.0000 1.0000.0000. 1.000. 90 00' 10'.009 1.0000.009 343.8 1.000 343.8 50' 0'.0058 1.0000.0058 171.9 1.000 171.9 40' 30'.0087 1.0000.0087 114.6 1.000 114.6 30' 40'.0116.9999.0116 85.94 1.000 85.95 0' 50'.0145.9999.0145 68.75 1.000 68.76 10' 1 00'.0175.9998.0175 57.9 1.000 57.30 89 00' 10'.004.9998.004 49.10 1.000 49.11 50' 0'.033.9997.033 4.96 1.000 4.98 40' 30'.06.9997.06 38.19 1.000 38.0 30' 40'.091.9996.091 34.37 1.000 34.38 0' 50'.030.9995.030 31.4 1.001 31.6 10' 00'.0349.9994.0349 8.64 1.001 8.65 88 00' 10'.0378.9993.0378 6.43 1.001 6.45 50' 0'.0407.999.0407 4.54 1.001 4.56 40' 30'.0436.9990.0437.90 1.001.93 30' 40'.0465.9989.0466 1.47 1.001 1.49 0' 50'.0494.9988.0495 0.1 1.001 0.3 10' 3 00'.053.9986.054 19.08 1.001 19.11 87 00' 10'.055.9985.0553 18.07 1.00 18.10 50' 0'.0581.9983.058 17.17 1.00 17.0 40' 30'.0610.9981.061 16.35 1.00 16.38 30' 40'.0640.9980.0641 15.60 1.00 15.64 0' 50'.0669.9978.0670 14.9 1.00 14.96 10' 4 00'.0698.9976.0699 14.30 1.00 14.34 86 00' 10'.077.9974.079 13.73 1.003 13.76 50' 0'.0756.9971.0758 13.0 1.003 13.3 40' 30'.0785.9969.0787 1.71 1.003 1.75 30' 40'.0814.9967.0816 1.5 1.003 1.9 0' 50'.0843.9964.0846 11.83 1.004 11.87 10' 5 00'.087.996.0875 11.43 1.004 11.47 85 00' 10'.0901.9959.0904 11.06 1.004 11.10 50' 0'.099.9957.0934 10.71 1.004 10.76 40' 30'.0958.9954.0963 10.39 1.005 10.43 30' 40'.0987.9951.099 10.08 1.005 10.13 0' 50'.1016.9948.10 9.788 1.005 9.839 10' 6 00'.1045.9945.1051 9.514 1.006 9.567 84 00' 10'.1074.994.1080 9.55 1.006 9.309 50' 0'.1103.9939.1110 9.010 1.006 9.065 40' 30'.113.9936.1139 8.777 1.006 8.834 30' 40'.1161.993.1169 8.556 1.007 8.614 0' 50'.1190.999.1198 8.345 1.007 8.405 10' 7 00'.119.995.18 8.144 1.008 8.06 83 00' 10'.148.99.157 7.953 1.008 8.016 50' 0'.176.9918.187 7.770 1.008 7.834 40' 30'.1305.9914.1317 7.596 1.009 7.661 30' 40'.1334.9911.1346 7.49 1.009 7.496 0' 50'.1363.9907.1376 7.69 1.009 7.337 10' 8 00'.139.9903.1405 7.115 1.010 7.185 8 00' 10'.141.9899.1435 6.968 1.010 7.040 50' 0'.1449.9894.1465 6.87 1.011 6.900 40' 30'.1478.9890.1495 6.691 1.011 6.765 30' 40'.1507.9886.154 6.561 1.01 6.636 0' 50'.1536.9881.1554 6.435 1.01 6.51 10' 9 00'.1564.9877.1584 6.314 1.01 6.39 81 00' cos sin cot tan csc sec 角度 附表 64
附表三三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan cot sec csc 9 00'.1564.9877.1584 6.314 1.01 6.39 81 00' 10'.1593.987.1614 6.197 1.013 6.77 50' 0'.16.9868.1644 6.084 1.013 6.166 40' 30'.1650.9863.1673 5.976 1.014 6.059 30' 40'.1679.9858.1703 5.871 1.014 5.955 0' 50'.1708.9853.1733 5.769 1.015 5.855 10' 10 00'.1736.9848.1763 5.671 1.015 5.759 80 00' 10'.1765.9843.1793 5.576 1.016 5.665 50' 0'.1794.9838.183 5.485 1.016 5.575 40' 30'.18.9833.1853 5.396 1.017 5.487 30' 40'.1851.987.1883 5.309 1.018 5.403 0' 50'.1880.98.1914 5.6 1.018 5.30 10' 11 00'.1908.9816.1944 5.145 1.019 5.41 79 00' 10'.1937.9811.1974 5.066 1.019 5.164 50' 0'.1965.9805.004 4.989 1.00 5.089 40' 30'.1994.9799.035 4.915 1.00 5.016 30' 40'.0.9793.065 4.843 1.01 4.945 0' 50'.051.9787.095 4.773 1.0 4.876 10' 1 00'.079.9781.16 4.705 1.0 4.810 78 00' 10'.108.9775.156 4.638 1.03 4.745 50' 0'.136.9769.186 4.574 1.04 4.68 40' 30'.164.9763.17 4.511 1.04 4.60 30' 40'.193.9757.47 4.449 1.05 4.560 0' 50'.1.9750.78 4.390 1.06 4.50 10' 13 00'.50.9744.309 4.331 1.06 4.445 77 00' 10'.78.9737.339 4.75 1.07 4.390 50' 0'.306.9730.370 4.19 1.08 4.336 40' 30'.334.974.401 4.165 1.08 4.84 30' 40'.363.9717.43 4.113 1.09 4.3 0' 50'.391.9710.46 4.061 1.030 4.18 10' 14 00'.419.9703.493 4.011 1.031 4.134 76 00' 10'.447.9696.54 3.96 1.031 4.086 50' 0'.476.9689.555 3.914 1.03 4.039 40' 30'.504.9681.586 3.867 1.033 3.994 30' 40'.53.9674.617 3.81 1.034 3.950 0' 50'.560.9667.648 3.776 1.034 3.906 10' 15 00'.588.9659.679 3.73 1.035 3.864 75 00' 10'.616.965.711 3.689 1.036 3.8 50' 0'.644.9644.74 3.647 1.037 3.78 40' 30'.67.9636.773 3.606 1.038 3.74 30' 40'.700.968.805 3.566 1.039 3.703 0' 50'.78.961.836 3.56 1.039 3.665 10' 16 00'.756.9613.867 3.487 1.040 3.68 74 00' 10'.784.9605.899 3.450 1.041 3.59 50' 0'.81.9596.931 3.41 1.04 3.556 40' 30'.840.9588.96 3.376 1.043 3.51 30' 40'.868.9580.994 3.340 1.044 3.487 0' 50'.896.957.306 3.305 1.045 3.453 10' 17 00'.94.9563.3057 3.71 1.046 3.40 73 00' 10'.95.9555.3089 3.37 1.047 3.388 50' 0'.979.9546.311 3.04 1.048 3.356 40' 30'.3007.9537.3153 3.17 1.049 3.36 30' 40'.3035.958.3185 3.140 1.049 3.95 0' 50'.306.950.317 3.108 1.050 3.65 10' 18 00'.3090.9511.349 3.078 1.051 3.36 7 00' cos sin cot tan csc sec 角度 65 高中數學 ( 二 )
附表三三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan cot sec csc 18 00'.3090.9511.349 3.078 1.051 3.36 7 00' 10'.3118.950.381 3.047 1.05 3.07 50' 0'.3145.949.3314 3.018 1.053 3.179 40' 30'.3173.9483.3346.989 1.054 3.15 30' 40'.301.9474.3378.960 1.056 3.14 0' 50'.38.9465.3411.93 1.057 3.098 10' 19 00'.356.9455.3443.904 1.058 3.07 71 00' 10'.383.9446.3476.877 1.059 3.046 50' 0'.3311.9436.3508.850 1.060 3.01 40' 30'.3338.946.3541.84 1.061.996 30' 40'.3365.9417.3574.798 1.06.971 0' 50'.3393.9407.3607.773 1.063.947 10' 0 00'.340.9397.3640.747 1.064.94 70 00' 10'.3448.9387.3673.73 1.065.901 50' 0'.3475.9377.3706.699 1.066.878 40' 30'.350.9367.3739.675 1.068.855 30' 40'.359.9356.377.651 1.069.833 0' 50'.3557.9346.3805.68 1.070.81 10' 1 00'.3584.9336.3839.605 1.071.790 69 00' 10'.3611.935.387.583 1.07.769 50' 0'.3638.9315.3906.560 1.074.749 40' 30'.3665.9304.3939.539 1.075.79 30' 40'.369.993.3973.517 1.076.709 0' 50'.3719.983.4006.496 1.077.689 10' 00'.3746.97.4040.475 1.079.669 68 00' 10'.3773.961.4074.455 1.080.650 50' 0'.3800.950.4108.434 1.081.63 40' 30'.387.939.414.414 1.08.613 30' 40'.3854.98.4176.394 1.084.595 0' 50'.3881.916.410.375 1.085.577 10' 3 00'.3907.905.445.356 1.086.559 67 00' 10'.3934.9194.479.337 1.088.54 50' 0'.3961.918.4314.318 1.089.55 40' 30'.3987.9171.4348.300 1.090.508 30' 40'.4014.9159.4383.8 1.09.491 0' 50'.4041.9147.4417.64 1.093.475 10' 4 00'.4067.9135.445.46 1.095.459 66 00' 10'.4094.914.4487.9 1.096.443 50' 0'.410.911.45.11 1.097.47 40' 30'.4147.9100.4557.194 1.099.411 30' 40'.4173.9088.459.177 1.100.396 0' 50'.400.9075.468.161 1.10.381 10' 5 00'.46.9063.4663.145 1.103.366 65 00' 10'.453.9051.4699.18 1.105.35 50' 0'.479.9038.4734.11 1.106.337 40' 30'.4305.906.4770.097 1.108.33 30' 40'.4331.9013.4806.081 1.109.309 0' 50'.4358.9001.4841.066 1.111.95 10' 6 00'.4384.8988.4877.050 1.113.81 64 00' 10'.4410.8975.4913.035 1.114.68 50' 0'.4436.896.4950.00 1.116.54 40' 30'.446.8949.4986.006 1.117.41 30' 40'.4488.8936.50 1.991 1.119.8 0' 50'.4514.893.5059 1.977 1.11.15 10' 7 00'.4540.8910.5095 1.963 1.1.03 63 00' cos sin cot tan csc sec 角度 附表 66
附表三三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan cot sec csc 7 00'.4540.8910.5095 1.963 1.1.03 63 00' 10'.4566.8897.513 1.949 1.14.190 50' 0'.459.8884.5169 1.935 1.16.178 40' 30'.4617.8870.506 1.91 1.17.166 30' 40'.4643.8857.543 1.907 1.19.154 0' 50'.4669.8843.580 1.894 1.131.14 10' 8 00'.4695.889.5317 1.881 1.133.130 6 00' 10'.470.8816.5354 1.868 1.134.118 50' 0'.4746.880.539 1.855 1.136.107 40' 30'.477.8788.5430 1.84 1.138.096 30' 40'.4797.8774.5467 1.89 1.140.085 0' 50'.483.8760.5505 1.816 1.14.074 10' 9 00'.4848.8746.5543 1.804 1.143.063 61 00' 10'.4874.873.5581 1.79 1.145.05 50' 0'.4899.8718.5619 1.780 1.147.041 40' 30'.494.8704.5658 1.767 1.149.031 30' 40'.4950.8689.5696 1.756 1.151.00 0' 50'.4975.8675.5735 1.744 1.153.010 10' 30 00'.5000.8660.5774 1.73 1.155.000 60 00' 10'.505.8646.581 1.70 1.157 1.990 50' 0'.5050.8631.5851 1.709 1.159 1.980 40' 30'.5075.8616.5890 1.698 1.161 1.970 30' 40'.5100.8601.5930 1.686 1.163 1.961 0' 50'.515.8587.5969 1.675 1.165 1.951 10' 31 00'.5150.857.6009 1.664 1.167 1.94 59 00' 10'.5175.8557.6048 1.653 1.169 1.93 50' 0'.500.854.6088 1.643 1.171 1.93 40' 30'.55.856.618 1.63 1.173 1.914 30' 40'.550.8511.6168 1.61 1.175 1.905 0' 50'.575.8496.608 1.611 1.177 1.896 10' 3 00'.599.8480.649 1.600 1.179 1.887 58 00' 10'.534.8465.689 1.590 1.181 1.878 50' 0'.5348.8450.6330 1.580 1.184 1.870 40' 30'.5373.8434.6371 1.570 1.186 1.861 30' 40'.5398.8418.641 1.560 1.188 1.853 0' 50'.54.8403.6453 1.550 1.190 1.844 10' 33 00'.5446.8387.6494 1.540 1.19 1.836 57 00' 10'.5471.8371.6536 1.530 1.195 1.88 50' 0'.5495.8355.6577 1.50 1.197 1.80 40' 30'.5519.8339.6619 1.511 1.199 1.81 30' 40'.5544.833.6661 1.501 1.0 1.804 0' 50'.5568.8307.6703 1.49 1.04 1.796 10' 34 00'.559.890.6745 1.483 1.06 1.788 56 00' 10'.5616.874.6787 1.473 1.09 1.781 50' 0'.5640.858.6830 1.464 1.11 1.773 40' 30'.5664.841.6873 1.455 1.13 1.766 30' 40'.5688.85.6916 1.446 1.16 1.758 0' 50'.571.808.6959 1.437 1.18 1.751 10' 35 00'.5736.819.700 1.48 1.1 1.743 55 00' 10'.5760.8175.7046 1.419 1.3 1.736 50' 0'.5783.8158.7089 1.411 1.6 1.79 40' 30'.5807.8141.7133 1.40 1.8 1.7 30' 40'.5831.814.7177 1.393 1.31 1.715 0' 50'.5854.8107.71 1.385 1.33 1.708 10' 36 00'.5878.8090.765 1.376 1.36 1.701 54 00' cos sin cot tan csc sec 角度 67 高中數學 ( 二 )
附表三三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan cot sec csc 36 00'.5878.8090.765 1.376 1.36 1.701 54 00' 10'.5901.8073.7310 1.368 1.39 1.695 50' 0'.595.8056.7355 1.360 1.41 1.688 40' 30'.5948.8039.7400 1.351 1.44 1.681 30' 40'.597.801.7445 1.343 1.47 1.675 0' 50'.5995.8004.7490 1.335 1.49 1.668 10' 37 00'.6018.7986.7536 1.37 1.5 1.66 53 00' 10'.6041.7969.7581 1.319 1.55 1.655 50' 0'.6065.7951.767 1.311 1.58 1.649 40' 30'.6088.7934.7673 1.303 1.60 1.643 30' 40'.6111.7916.770 1.95 1.63 1.636 0' 50'.6134.7898.7766 1.88 1.66 1.630 10' 38 00'.6157.7880.7813 1.80 1.69 1.64 5 00' 10'.6180.786.7860 1.7 1.7 1.618 50' 0'.60.7844.7907 1.65 1.75 1.61 40' 30'.65.786.7954 1.57 1.78 1.606 30' 40'.648.7808.800 1.50 1.81 1.601 0' 50'.671.7790.8050 1.4 1.84 1.595 10' 39 00'.693.7771.8098 1.35 1.87 1.589 51 00' 10'.6316.7753.8146 1.8 1.90 1.583 50' 0'.6338.7735.8195 1.0 1.93 1.578 40' 30'.6361.7716.843 1.13 1.96 1.57 30' 40'.6383.7698.89 1.06 1.99 1.567 0' 50'.6406.7679.834 1.199 1.30 1.561 10' 40 00'.648.7660.8391 1.19 1.305 1.556 50 00' 10'.6450.764.8441 1.185 1.309 1.550 50' 0'.647.763.8491 1.178 1.31 1.545 40' 30'.6494.7604.8541 1.171 1.315 1.540 30' 40'.6517.7585.8591 1.164 1.318 1.535 0' 50'.6539.7566.864 1.157 1.3 1.59 10' 41 00'.6561.7547.8693 1.150 1.35 1.54 49 00' 10'.6583.758.8744 1.144 1.38 1.519 50' 0'.6604.7509.8796 1.137 1.33 1.514 40' 30'.666.7490.8847 1.130 1.335 1.509 30' 40'.6648.7470.8899 1.14 1.339 1.504 0' 50'.6670.7451.895 1.117 1.34 1.499 10' 4 00'.6691.7431.9004 1.111 1.346 1.494 48 00' 10'.6713.741.9057 1.104 1.349 1.490 50' 0'.6734.739.9110 1.098 1.353 1.485 40' 30'.6756.7373.9163 1.091 1.356 1.480 30' 40'.6777.7353.917 1.085 1.360 1.476 0' 50'.6799.7333.971 1.079 1.364 1.471 10' 43 00'.680.7314.935 1.07 1.367 1.466 47 00' 10'.6841.794.9380 1.066 1.371 1.46 50' 0'.686.774.9435 1.060 1.375 1.457 40' 30'.6884.754.9490 1.054 1.379 1.453 30' 40'.6905.734.9545 1.048 1.38 1.448 0' 50'.696.714.9601 1.04 1.386 1.444 10' 44 00'.6947.7193.9657 1.036 1.390 1.440 46 00' 10'.6967.7173.9713 1.030 1.394 1.435 50' 0'.6988.7153.9770 1.04 1.398 1.431 40' 30'.7009.7133.987 1.018 1.40 1.47 30' 40'.7030.711.9884 1.01 1.406 1.43 0' 50'.7050.709.994 1.006 1.410 1.418 10' 45 00'.7071.7071 1.000 1.000 1.414 1.414 45 00' cos sin cot tan csc sec 角度 附表 68