大学物理 A 公式 (6) 严非男 大学物理 A 公式 ( 公式需准确熟悉! 再做做作业题 课堂例题 历年期末试卷 期末复习 t!) 力学 一 质点运动学 ( 注意各个物理量的定义式 可分解为分量计算 ) 位置矢量 : 运动方程 ( t) x( t) y( t) j ( t) k 大小 x y 方向 : 从原点指向质点 单位 : 米 (m) 位移矢量 : ( t t) ( t) 注意 : 分量式 : x yj k x x x y y y 速度 : d dx dy d x y j k 分量 : x y d ds 速度的大小 : x y 为速率 速度的方向沿曲线切线指向运动的前方 x y 平均速度 : x y j k 分量式 : x y t t t t 单位 : 米 / 秒 (m/s) d d 3 加速度 : a a x ay j ak d x d x d y d y d d 分量式 : a x a y a 单位 : 米 / 秒 加速度大小 : a a a a 加速度方向 : 指向曲线的凹侧 x y 4 抛体运动 : 水平方向作为 x 轴 竖直向上作为 y 轴 起抛点作为原点 则有 (m/s ) ax x x os x xt ay g y y gt sn gt y yt gt 其中 θ 为起抛角 若采取自然坐标系 则重力加速度可以沿轨迹的切向和法向分解 a a g t n d 5 圆周运动 :() 角量描述 : 角位置 θ 角速度 单位 :ad/s 或 s - d 角加速度 : 单位 :ad/s 或 s - d t () 线量描述 : 采用自然坐标系 : d e t a a tet a ne n a t ( 有正负!) a n 此处 为速 率 为圆周半径 若是一般曲线运动 则将 替换为 =( 曲率半径 )
大学物理 A 公式 (6) 严非男 加速度大小 : a a a 加速度方向 : 指向曲线的凹侧 用 a 与 之间的夹角表示 t n d (3) 角量与线量的关系 : s a t a 6 伽利略变换式 : 速度变换 : AS AS S S s s ss n 加速度变换 : a AS a AS a S S ( 注意 : 这是矢量加法 用平行四边形作图或分解为分量计算 注意下标的规律 ) 小结 : 两类题型 : 已知 求导得到 a 已知 a 分离变量积分得到 已知 θ 求导得到 ωβ 已知 β 分离变量积分得 ωθ 二 质点及质点组动力学 : 注意冲量 角动量 势能的计算 各个矢量式子的分量式的应用 质点的角动量守恒 质 点组的动量守恒 机械能守恒 ( 注意 : 所有式子只在惯性系中成立 ) d 牛顿方程 : F合 ma ( 或 F合 m 是动量 ) 常常建立坐标系 分解为分量式 例如 d 自然坐标系 中 : F t ma t m Fn man m. 力的单位 : 牛顿 (N) ( 注意 : 力有正负 与速度同向的切向力为正 反之为负 指向凹侧的法向力为正 反之为负 ) ( 若选取非惯性系 S 则 F合 F ma 其中 F 惯性力合是质点真实受力的合力 F 是惯性力 F ma 惯性力 S S as S 是非惯性系 S 相对于惯性系 S 的加速度 ) 惯性力 力的时间积累效果 : 质点 : 动量 m t 单位 :kg m/s 冲量 I F F( t t ) 单位 :N s F 平均冲力 t t I F I 合合 t 质点动量定理 : I 合 m m ( 注意 : 这是矢量式 常分解为分量计算 I x m x m x I y m y m y I m m ) 力矩 : M F 大小 : M F sn Fd 方向 : 由叉乘决定 单位 :N m 质点的角动量 : L m 大小 : L ( m)sn md 方向 : 由叉乘决定 单位 :N m s 质点的角动量定理 : M dl t 合 M L L 合 t 质点的角动量守恒 : 当 M 合 时 L= 常量 ( 守恒 ) 比如 质点受向心力作用 ( 万有引力 弹簧的弹性力和绳子的拉力 ) 时 就满足这个条件 )
大学物理 A 公式 (6) 严非男 质点组 : 质点组动量定理 : I 合 其中 m 是质点组的总动量 质点组的动量守恒 : 当 F 合 质量 时 m M 常量 总动量守恒 式中 M 为质点组的总 为质心运动速度 ( 常常应用分量式 : 若某方向的合力为零 则该方向的总动量分量就守恒 ) m 质心 : M 为质点组的总质量 M F 合 d a d 质心运动定律 : F合 M a ( 当 时 a 常量 质心保持静止或匀速直线运动 可见 总动量守恒和 a 常量是等价的 ) 3 质点组的角动量定理 : M 3 空间积累 合 质点组角动量守恒 : 当 M 合 b dl 时 L 常量 ( L 为各质点角动量的矢量和 ) 功 : A ab F d 单位 : 焦耳 (J)( 注意点积中的夹角 注意变力的功用积分计算 ) a 功率 : F Fos ( 注意点积中的夹角 ) b 3 保守力的功及系统势能差 : A a b F d E 保保 E a 注意: 通过势能差计算保守力作功是最佳方法 例如万有引力的功 弹簧的弹性力的功等 势能零点 4 势能 : E F d ( 显然 E 的表达式取决于势能零点的选择 ) 单位 :J 保 mm 万有引力 : F G e 以 = 为势能零点时 : E 万有引力势能 : E Gm m a 零点 a Gm m ( 注意 前面有负号!) 弹性力 : F kx ( x 为弹簧的伸长量!) 弹性势能 : E kx dx 重力势能 : E 以原长为势能零点时 : E mgh kx 5 动能定理 : A A A E k Ek 合 内 6 机械能 : E EK E 功能原理 : A A E E a 非保内 零点 xa d ( 注意 前面有负号!) 3
大学物理 A 公式 (6) 严非男 机械能守恒 : 当 A A非保内 时 ( 即只有保守内力做功 )E = 常量 守恒 4 碰撞 : 完全弹性碰撞 : 机械能守恒 动量某分量可能守恒 完全非弹性碰撞 ( 两个质点碰撞后成为一个整体 ): 机械能损失最大 动量某分量可能守恒 一般非弹性碰撞 : 机械能有损失 动量某分量可能守恒 注意 若有刚体参与碰撞 则动量必不守恒 但系统的角动量守恒! 小结 : 尽量分析条件 用守恒定律 ( 动量 角动量或机械能守恒 ) 求解 若不满足守恒的条件 用相应的定理或牛顿定律求解 注意选择惯性系 功 冲量的计算要掌握 三 刚体的定轴转动 : 重点题型 : 滑轮加质点 细杠摆动 子弹与杠或圆盘碰撞 质点在刚体上相对运动 d d 运动学 ( 角量描述 ): 角位置 θ 角速度 角加速度 : d t 题型 : 已知 θ 求导得到 ωβ 已知 β 分离变量积分得 ωθ 匀加速转动 : t t t 3 ( 推广为矢量关系式 ) a n 为轴距矢量 关于刚体的几个物理量 : 转动惯量的计算 : J J 单位 :kg m 力矩的功 : A Md 单位 :J m ( 细杠绕端点 J ml 3 3 转动动能 : EK J 重力势能 : E mgh 4 刚体的角动量 L J 注意 式中的 是角速度 单位 :N m s 3 刚体定轴转动定律 : M J 滑轮 J m 质点 J ml ) 其中 M 是刚体受到的对转轴的合力矩 是刚体绕定轴转动的角加速度 d ( M 随时间变化时 用 M J 然后分离变量积分 ) dl 4 角动量定理 : M 角动量守恒 : 当 M = 时 L = 常量 守恒 ( 注意 子弹与杠碰撞时 有相对运动时 常用 系统的角动量 L J m j jd j 其中每一项有正负 ) j 5 动能定理 : A M d Ek Ek J J 机械能守恒定律 4
大学物理 A 公式 (6) 严非男 刚体的几类题目及其解法 : 滑轮加质点 对滑轮和质点分别做受力分析 分别列方程 : 对质点 用 F ma 对滑轮 用 M J 然后寻找 a 与 β 之间的关系 注意受力图和加速度正方向的设定 细杆摆动 用 M J 或守恒定律或相应的定理求解 3 子弹与杠 ( 或圆盘 ) 碰撞 分两个阶段处理 第一阶段为碰撞 : 系 统的角动量守恒 另 若是完全弹性碰撞 则机械能守恒 第二阶段为刚体定轴转动 用 M J 或守恒定 律或相应的定理求解 4 质点在刚体上相对运动 系统的角动量守恒 狭义相对论 重点 : 质量 能量 动能 功之间的关系 光速不变原理 3 长度收缩 时间膨胀 同时的相对性 ( 必须都能背 ) 两个基本假设 : 光速不变原理 : 在任何惯性系中 光在真空中的速率都相等 等于 狭义相对性原理 : 一切物理定律在所有惯性系中都具有相同的形式 洛仑兹时空间隔变换式 : 当 S 系以 相对于 S 系沿 x 轴正向运动时 两个事件的时空间隔满足如下变换式 : x x t / t t x / 逆变换 : x x t / t t x / 3 狭义相对论的时空观 : 同时的相对性 :S 系中不同地点同时发生... 的两件事 在 S 系中观察 必不同时 l / l 运动的物体沿 x 轴方向的长度收缩 : 同时进行的 ) ( 对于斜杠 分解为分量讨论 ) 3 时间膨胀 : t t / 间隔 称为固有时间 Δt 是 S 系中观测到的时间间隔 l l 是静止.. 长度 称为固有长度 ( 测量 l 的两端是 其中 Δt 是 S 系中同一地点... (. 即物体静止在该处... ). 不同时刻发生的两事件的时间 ux 4 速度变换式 : ux u x uy u y u x u u u x 以及逆变换... 5 质速关系 : m m / 静止能量 : E m 总能量 : E m E 动能 : Ek m m E 动能定理 : A E k / k E 动量 m m / 5
大学物理 A 公式 (6) 严非男 E h 6 光子 : m E E m h m 7 两个粒子碰撞 复合成一个新的粒子 : 满足系统的能量守恒 动量守恒 小结 : 每一个公式都要记住 特别是长度收缩 时间膨胀 质能关系式和相对论动能的表达式 一 气体动理论 : 理想气体的状态方程 五个统计规律 状态方程 : T 或 nkt 热学 M N 其中 摩尔数 M N 分子数密度 n=n/ k=/na)=8.3j/(mol K)k=.38-3 J/K 注意 : 和 n 是不同的!! 压强单位 : 帕斯卡 (a)atm( 大气压 )=.3 5 a 体积单位 :m 3 L( 升 ) = -3 m 3 温度 : 热力学温标 T 单位是开尔文 (K) 摄氏温标 t 单位是 C 两者之间的关系 : T t 73 F I 压强公式 : n S t S 3 t mol A t m 称为分子的平均平动动能 3 3 平均平动动能 : t kt ( 此即温度公式 从压强公式和状态方程可以证明此式 请证明 ) 4 能量均分原理 : 在平衡态下 物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能 其大小都为 kt/ 分子的平均动能 : k kt 其中总自由度 = t+t 为平动自由度 为转动自由度 单原子分子 : =3 双原子分子 :=5( 平动自由度 t=3 转动自由度 =) 多原子分子 :=6( 平动自由度 t=3 转动自由度 =3) mol 理想气体的内能 : E N kt E T 5 速率分布函数 f(): dn f ( ) d 表示速率取值在 + d 区间内的分子数 dn 占总分子数 N 的百分比 也称为概率 概率满 N 足归一化条件 : f ( ) d ( 即 f ( ) ~ 曲线下的面积 =) 速率分布 f ( ) ~ 曲线 : 最概然速率 ( 公式在下面 ) 较大的 曲线矮胖 较小的 曲线瘦高 所以 f ( ) ~ 曲线形状随分子质量及温度的不同而不同 3 最概然速率 kt T m M 平均速率 mol 8kT 8T m M mol 方均根速率 3kT 3T m M 计算平均值的方法 : 例如 平均速率 mol f d 注意与下式比较 6
大学物理 A 公式 (6) 严非男 速率取值在 区间的分子的平均速率 = Nf ( ) d f ( ) d Nf ( ) d f ( ) d kt 6 分子的平均碰撞频率 : Z d n 单位 : 赫兹 (H) 平均自由程 : 单位 :m Z d n d 小结 : 弄懂每一个公式的物理意义 并记住每一个公式 二 热力学 : 重点 : 等压 等容 等温 绝热过程中 A ΔE Q 的计算 画过程曲线 3 进行定性的判断 热力学第一定律 : Q A E A E E A Q ΔE 的计算 : 其中 Q A 与过程有关 是过程量 E 是状态量 ΔE 与过程无关 气体对做功 : A d 气体膨胀 A> 气体压缩 A< A = - 图上过程曲线下的面积 内能的变化 : E T ( T T ) 升温 内能增大 降温 内能减少 只与温度的变化有关 所 以 该公式适用于任意过程 也可 E ( ) 是分子的自由度 3 热量 : Qm C ( ) mt Cm T T C m 是该过程的摩尔热容量 Q> 气体从界吸热 Q< 气体放热给界 等容摩尔热容 : C 等压摩尔热容 : C C C 与 C 之间的关系 : C C 摩尔热容比 : C 3 等值过程和绝热过程 A Q ΔE 的计算 : 等温过程 : T T 常量 常量 ΔE= Q A d d T ln 等容过程 : 常量 T 常量 A= Q E T 3 等压过程 : 常量 T 常量 A ( )= ( T T ) E T A Q A E C T A 4 绝热过程 : 常量 T = 常量 T = 常量 Q= A E T ( ) 4 绝热自由膨胀 : Q=A=ΔE=ΔT== 不可逆过程 熵变 ΔS>. 5 循环过程 :ΔE= A Q Q A = 循环曲线所包围的面积 7
大学物理 A 公式 (6) 严非男 热机循环 ( 正循环 顺时针 ):A> 净吸热 吸热 Q 放热 Q 对做功 A=Q- Q 热机效率 : A Q Q Q 制冷循环 ( 逆循环 逆时针 ):A< 净放热 从低温热源吸热 Q 向高温热源放热 Q Q Q 制冷系数 : w A Q Q 3 卡诺循环 : 两个等温 ( 高温 T 低温 T) 和两个绝热过程构成的循环 : Q Q T T T w T T T T 6 背诵基本概念 : 热力学第二定律的两种表述方式 不可逆过程 可逆过程 熵的物理意义 熵增加原理. 小结 :A Q ΔE 效率 η 的计算 要背公式 定性判断的依据 :Q=A+ΔE A = 过程曲线下的面积 ΔE 的 计算与过程无关 各种过程及循环过程的特征 4 利用热力学第二定律的证明题 ( 反证法 ) 静电场 一 真空中的静电场 : 所有公式中 当真空 电介质时 只要将公式中的 即可 重点 : 点电荷 球 型 柱型或平面电荷分布的各个物理量的计算 qq 库仑定律 : F e 9 / N m 4 4 9 是真空中的介电常数 电场强度的计算 F 电场强度定义 : E 单位 : 牛顿 / 库仑 (N/C) 伏 / 米 (/m) q 场强叠加法 : E E E de ( 分割成许多电荷元 dq 求出 dq 在场点产生的场强 de 的大小和方向 分 ) 解为分量 dex dey de Z 后 三个分量分别积分 E de E de E de x x y y Z Z 3 高斯定理法求解高对称的场分布 : 球对称 : E 4 q S内 轴对称 : E L q S内 4 电势梯度法 : E U 3 电通量 : s U U U 三个分量 Ex E y E x y E ds ( 注意 点积 有时可以借助于高斯定理简化计算 ) 单位 : m 4 电场线和等势面 : 电场线指向电势下降的地方 电场线垂直于等势面 电场线 等势面密集处 场强大 5 电势和电势差的计算 8
定义式 : 电势差 : U U E d 大学物理 A 公式 (6) 严非男 电势零点的位置 电势定义式 : U E d 单位 : 电势叠加法 : U U U du ( 将带电体分割 任取一电荷元 dq 求出 dq 在场点的电势 du 然后对 带电体积分 U du ) 6 电场力做功 : A qu U 其中 q 为点电荷 q 在电场中的电势能 Wa qu a U a 是其它电荷在 q 处 a b a b 产生的电势 7 静电场能量密度 : w e E 静电场能量 We wed E d 其中 介电常数 可表示为 而 称为相对介电常数 8 静电场的高斯定理 : s E ds q s 内 D ds q 其中 电位移矢量 D E E 掌握用高斯定 s s 内 理计算高对称性带电体 ( 球对称 轴对称 面对称 ) 激发的场强分布 ( 注意步骤 ) 计算电通量 E dl 静电场是保守力场 静电力做功与路径无关 ( 证明题中常用反证法!) 9 静电场的环路定理 : L 各种典型带电体的场强和电势分布 :... 请画出 E- 和 U- 曲线 q 点电荷 : E e 4 q U 4 均匀带电球面 ( 半径 总电量 Q 为场点到球心的距离 ): ( ) E Q ( ) e 4 Q 4 U Q 4 ( ) ( ) 3 均匀带电球体 ( 半径 总电量 Q 体密度为 为场点到球心的距离 ): ( ) 3 E Q ( ) e 4 4 有限长直导线 ( 长度为 L 单位长度的电量为 λ 为场点到直线的垂直距离 ): E x 4 os os sn sn E y (y 为沿着导线方向 x 为垂直导线方向 ) 4 5 均匀带电无限长直线 ( 单位长度的电量为 为场点到直线的垂直距离 ): E e 6 均匀带电无限长圆柱面 ( 半径为 单位长度的电量为 为场点到轴线的垂直距离 ): 9
大学物理 A 公式 (6) 严非男 ( ) E 部空间的电势差 U U ln e ( ) Ed d 7 均匀带电无限长圆柱体 ( 半径为 单位长度的电量为 为场点到轴线的垂直距离 ): ( ) E 部空间的电势差 U U Ed d ln e ( ) 8 均匀带电无限大平面 : E 小结 : 给定电荷分布 要求电势分布与场强分布 应如何选取较为简便的计算方法? 首选方法 : 先用电势叠加法 U du 计算电势分布.. 再用 E U 计算场强分布.. 其次 电荷分布具有高对称性时 也可先用高斯定理求出 E 分布.. 电势零点的位置 再用 U E dl 计算 电势分布.. 3 但若仅求某一特殊点的场强和电势 则各用各的叠加法...:U du E de 默写典型带电体的场强和电势分布公式 牢记电场强度和电势满足叠加原理 二 静电场中的导体和电介质 : 根据静电平衡后导体的性质 先确定电荷分布 场强满足矢量叠加 电势满足标 量叠加 3 接地的导体电势为零 4 电容器带等量异号电荷 电介质能使电容增大 导体静电平衡的条件和性质 : 电荷分布 : 实心导体以及导体空腔内无带电体时 电荷分布在表面上 空腔内有带电体时 空腔内表面的电 荷与内部的电荷等量异号 表面电荷由电荷守恒定律决定 腔内带电体改变一下位置 会影响内表面的电荷分布 但不影响表面的电荷分布 导体接地 意味着电势为零 导体上是否还有电荷 应从 电势为零 进行讨论 场强分布 : E 导体内 E表面 en 注意 E 为空间所有电荷产生的总场强 空腔内有带电体时 腔内电 场由腔内带电体和空腔内表面的电荷决定 腔电场由空腔表面电荷和腔带电体决定 3 电势分布 : 导体为等势体 导体表面为等势面 电容器: Q 电容的定义 : C (C 的计算步骤 : 假设带等量异号电荷 电量为 Q 求出两个极板的电势差 然后代入定 U 义式即可求出 C) 单位 : 法拉 (F) Q 电容器储能 : W QU CU C
3 电容器并联 : 每个电容器的电压相同 等效电容 C C C C3... 大学物理 A 公式 (6) 严非男 4 电容器串联 : 每个电容器的电量相同 等效电容... C C C C 3 S 5 平行板电容器 : 两极板间为真空时 E U Ed C 电容器极板间充满电介质 ( 相对介电常数 d ) 时 C C C 电容增大 为 3 电介质 : 两种方法求解 a) 将真空公式中的 ε 改成介电常数 ε 而 其中 称为相对介电常数 b) 先用高斯定理 D ds q 求出电位移矢量 D 的分布 然后利用 D E E 求出不同电介质中的 E 的分布 s s 内 小结 : 有带电导体存在时 应先确定电荷在导体上的分布 然后求解场强和电势 牢记 场强满足 矢量叠加 电势满足标量叠加 重点 : 球形导体 无限长圆柱形导体 无限大导体板各物理量 的计算 预祝同学们取得好成绩! 努力! 加油! 严非男 6--9