164 第3章 一元一次方程式 家餐廳的主菜單點價錢從 450 元到 580 元不等 若再加 某 120 元則可升級成套餐 如果用 x 元表示一份主菜單點 的價錢 那麼套餐的價錢要如何表示呢 今日主菜 碳烤牛小排 490 肋眼牛排 460 德國豬腳 550 法式小羊排 450 龍鱈明蝦 580 ba 再加120元可升級 成套餐 1上3-1p164-187-0205-1校.indd 164 2014/5/22 下午 4:11
165 一元一次方程式 3-1 代數式的化簡 3-2 一元一次方程式 3-3 應用問題 用符號代表數 用文字符號列式 ⑴ 一張卡片長 13 公分 長比寬多 x 公分 這張卡片的寬是 公分 ⑵ 弟弟有 a 元 姐姐的錢是弟弟的 3 倍 姐姐有 元 含有未知數的等式 先依題意列出等式 再算算看 ⑴ 小明原有 8 張怪獸卡 又買了 x 張怪獸卡後 總共 有 13 張怪獸卡 小明買了幾張怪獸卡 ⑵ 老師共有 150 顆糖果 平分給班上 y 位學生 全部 分完 每人分得 6 顆 班上共有幾位學生 1上3-1p164-187-0205-1校.indd 165 2014/5/22 下午 4:11
166 3-1 代數式的化簡 1 以文字符號列式 2 求代數式的值 3 代數式的運算 主題 1 以文字符號列式 以文字符號代表數 國小時我們學過用符號 ( 如 ( ) ) 或文字 ( 如甲 乙 丙, ㄅ ㄆ ㄇ ) 來代表數, 然後再根據題意列出算式題 在國中的階段, 習慣上我們使用英文字母 a b c x y z 等文字來代表數 例如 : ⑴ 一杯珍珠奶茶比一杯奶茶貴 5 元 如果一杯奶茶為 x 元, 那麼一杯珍珠奶茶為 (x+5) 元 如果一杯珍珠奶茶為 y 元, 那麼一杯奶茶為 (y-5) 元 ⑵ 文展每天可以背 10 個英文單字 如果文展連續背了 a 天, 那麼他總共背了 (10 a) 個英文單字 如果文展總共背了 b 個英文單字, 那麼他共背了 (b 10) 天 上述這些文字符號和數字所組成的算式, 在數學上我們稱之為代數式 根據題意在下列空格中填入適當的答案 ⑴ 一瓶果汁比一瓶汽水貴 12 元 如果一瓶果汁為 a 元, 那麼一瓶汽水為元 如果一瓶汽水為 b 元, 那麼一瓶果汁為元 ⑵ 簽字筆每枝 60 元 如果小紋買了 x 枝簽字筆, 那麼共需元 如果小紋共花了 y 元買簽字筆, 那麼他共買了枝
3-1 代數式的化簡 167 代數式的簡記 1. 乘法的簡記因為乘號 和英文字母 x 容易混淆, 所以我們常將數字和英文字母間的乘號 改寫成. 或省略不寫, 而直接把數字寫在英文字母前面 例如 : 8 x 可記為 8.x 或簡記為 8x 又兩數相乘有交換律, 即 a b=b a, 所以 8 x=x 8, 而 x 8 也可記為 8.x 或 8x, 但習慣上不會寫成 x8 同樣的, 5 8 x 或 x 5 8, 可記為 5 8.x 或 5 8 x 至於像 (-7) x, 除了可以記為 (-7).x 或 (-7)x 外, 也會等於 -(7x) 嗎? 讓我們來看看下面的表格 代數式 x 值 2-1 - 1 2 (-7)x -14 7 7 2 -(7x) -14 7 7 2 從表格中可以發現 (-7)x=-(7x), 通常我們將 (-7)x 或 -(7x) 簡記為 -7x 因為任何數與 1 的乘積都等於該數, 所以 1 x=x, 即 1 x=1.x=x 而 (-1)x=-(1x)=-x 簡記下列各代數式 ⑴ 18 x ⑵ (-1) y ⑶ 3.5 a ⑷ (-2.4) b ⑸ y (-23) ⑹ a 5 9
168 第 3 章一元一次方程式 2. 除法的簡記 我們學過 3 5= 3 5, 因為 x 代表數, 所以 x 5= x 5,x (-5)= x -5 7 我們也學過 -4 =- 4 7 =- 7 4, x 所以 -5 也可以記為 -x 5 - x 5 或 - 1 5 x 當除數不是整數時可以怎麼記呢? 我們學過 6 2 3 =6 3 2 = 6 3 2, 那麼 x 2 3 =x. 3 2 = 3 2.x= 3 2 x 又因為 3 3.x 2 x= 2 = 3x 2, 也就是說 3 2 x 和 3x 2 都是 x 2 3 的結果 連連看, 上排的代數式可記成下排的哪些代數式? x 3 x (-3) x 1 x (-1) x (- 5 3 ) x 3-3x - x 3-3 5 x -x x - 5 3 x 1 文字符號的簡記 ⑴ x ( 8) 9 ⑵ y 8 3 3 ⑶ x 32 5 ⑷ y ( 5 6 ) 13 ⑴ x (-8)-9=(-8) x-9=-8x-9 ⑵ y 8 3 +3= 8 3.y+3= 8 3 y+3 ⑶ x 32-5= x 32-5 ⑷ y (- 5 6 ) +13=y (- 6 5 ) +13=- 6 5 y+13 簡記下列各式 ⑴ y 18+2.9= ⑵ x (-0.7)-1.8= ⑶ y (- 15 2 ) - 9 4 = ⑷ 24+x 1 3 =
3-1 代數式的化簡 169 以文字符號列式 在決數學問題時, 我們常常需要根據題目中的文字敘述寫出相關的代數 式再做運算, 下面我們先來練習如何將一些文字敘述改寫成代數式 文字敘述 代數式 比 x 大 5 的數 比 y 小 3 的數 x+5 y-3 x 的 2 3 倍 x. 2 3 或 2 3 x 把 a 分成 3 等分 a 3 或 a 3 比 c 的 2 倍多 10 c.2+10 或 2c+10 像 x+5 y-3 a 3 等這種只含有一種文字符號 ( 一元 ), 且文字符號的次數是 1( 一次 ) 的代數式, 就稱為一元一次式 連連看, 將文字敘述與意義相同的算式連起來 比 x 大 6 的數比 x 的 6 倍大 5 的數 x-6 6x-5 x+6 6x+5
170 第 3 章一元一次方程式 以文字符號表示生活中的數量關係 2 ⑴ a 1 4 ⑵ 3 2 x ⑶ y 25 3 ⑴ 小易的錢是大揆的 1 4 倍, 所以小易有 a. 1 4 = 1 4 a ( 元 ) ⑵ 爸爸的體重比弘文體重的 3 倍多 2 公斤, 所以爸爸的體重為 x.3+2=3x+2( 公斤 ) ⑶ 一枝原子筆比一枝鉛筆貴 25 元, 所以一枝原子筆賣 (y+25) 元, 3 枝原子筆要 3 (y+25)=3(y+25) ( 元 ) 根據下列各題的題意列出代數式 ⑴ 已知一台電風扇售價 b 元, 一台冷氣機售價是一台電風扇的 4.5 倍, 則一台冷氣機售價是元 ⑵ 已知地虎身高是 y 公分, 若天龍的身高比地虎身高的 2 倍還少 23 公分, 則天龍的身高是公分 ⑶ 已知一杯美式咖啡賣 c 元, 自備環保杯可退 2 元, 若 7 個小矮人各點一杯美式咖啡且均自備環保杯, 則 7 個小矮人合計應付元
3-1 代數式的化簡 171 以文字符號表示生活中的數量關係 3 ⑴ y ⑵ x 5 2 ⑶ y 14 25 ⑴ 正方形周長是其邊長的 4 倍, 所以此正方形邊長為 y 4= 1 4 y ⑵ 由時間 = 距離 速率, 可知去程費時 x 5= 1 5 x, 回程比去程多花 2 小時, 所以回程花了 1 5 x+2 ( 小時 ) ⑶ 柳丁有 y 個, 再增加 14 個柳丁後共有 (y+14) 個, 平分給 25 位學生, 所以每位學生可分得 (y+14) 25= y +14 25 ( 個 ) 根據下列各題的題意列出代數式 ⑴ 已知一長方形的面積為 b 平方公分, 寬為 8 3 公分 公分, 則此長方形的長是 ⑵ 已知鉛筆一打 x 元, 劉三用身上所有的錢買了 7 枝, 還剩 5 元, 則劉三身上原有元 ⑶ 一盒糖果有 a 顆, 若全部平分給 27 個學生, 會剩下 5 顆, 則每個學生可以分得顆糖果
172 第 3 章一元一次方程式 主題 2 求代數式的值 當代數式中的文字符號都代表數時, 這個代數式也代表一個數, 稱為 代數式的值, 代數式的值是由式子內文字符號所代表的數來決定 例 4 求代數式的值 ⑴ x 1 4x ⑵ x 0.6 4x ⑶ x 1 2 15 2 3 x ⑷ x 2 15 2 3 x ⑴ 當 x=1 時,-4x=(-4) 1=-4 ⑵ 當 x=-0.6 時,-4x=(-4) (-0.6)=2.4 ⑶ 當 x= 1 2 時,15-2 3 x=15-2 3 1 2 =15-1 3 =14 2 3 ⑷ 當 x=-2 時,15-2 3 x=15-2 3 (-2)=15-(- 4 3 ) =16 1 3 在下表的空格中填入各代數式的值 代數式 2x-1 x 值 4-2 1.4-7 5 3+(- 5 7 x )
3-1 代數式的化簡 173 例 5 求出應用問題中代數式的值 x ( 3 5 x 1) ⑴ 300 T-shirt ⑵ 750 ⑴ x=300 代入代數式, 得 3 5 x-1= 3 5 300-1=3 60-1=179( 元 ), 所以宏嘉應付 179 元 ⑵ x=750 代入代數式, 得 3 5 x-1= 3 5 750-1=3 150-1=449( 元 ), 所以曉君應付 449 元 當男生身高 x 公分時, 他的理想體重是 (x-80) 0.7 公斤 若英杰身高 170 公分, 嘉興身高 160 公分, 則他們的理想體重分別是多少?
174 第 3 章一元一次方程式 主題 3 代數式的運算 代數式的乘除運算 在了代數式可以代表數之後, 接下來我們將運用數的運算規則來做代數式的運算, 先來看看生活中的例子 如果 1 瓶可樂的價錢是 x 元, 那麼一組可樂 (6 瓶 ) 的價錢就是 6x 元 COLA COLA COLA x 6x 2 組可樂的價錢一共是 2.(6x) 元或 (6x).2 元 又 2 組可樂共有 6 2=12 瓶可樂, 而 12 瓶可樂的價錢可以用 12x 元來表示, 所以 2.(6x)=12x COLA COLA COLA COLA COLA COLA 2. 6x 元 12x 元 因為 x 6x 都代表數, 所以這個結果也可以用數的運算規則來釋 例如任意三個數 a b c 相乘時, 都符合乘法結合律, 因此上面的結果也可以 這樣表示 : 2.(6x) =2.(6.x) =(2.6).x 6x 6 x =12x
6 代數式的乘法運算 3-1 代數式的化簡 175 ⑴ ( 2) (4x) ⑵ 3x ( 2 3 ) ⑴ (-2).(4x) =(-2).(4.x) =[(-2).4].x =-8x ⑵ 3x.(- 2 3 ) =(- 2 3 ).3x =[(- 2 3 ).3].x =-2x 代數式的乘法運算 化簡下列各式 ⑴ (-3).( 4 3 y ) ⑵ (- 7 3 x ).(-2) 7 代數式的除法運算 ⑴ 5x ( 4 7 ) ⑵ ( 6x) 3 5 ⑴ 5x (- 4 7 ) =5x.(- 7 4 ) ⑵ (-6x) 3 5 = (-6x). 5 3 =[5.(- 7 4 )].x=- 35 4 x =[(-6). 5 3 ].x=-10x
176 第 3 章一元一次方程式 化簡下列各式 ⑴ 4y (- 2 3 ) ⑵ (- 5 8 y ) (- 3 4 ) 代數式的加減運算 如果 1 瓶可樂的價錢是 x 元, 買 5 瓶可樂需付 5x 元, 後來又買 2 瓶, 再付 2x 元, 所以共買了 5+2=7 瓶, 也就是付了 7x 元 + = 5x + 2x = 7x = (5+2)x 如果原本要買 5 瓶可樂, 需付 5x 元, 後來又退回了 2 瓶, 可以少付 2x 元, 所以共買了 5-2=3 瓶, 也就是付了 3x 元 - = 5x - 2x = = 3x (5-2)x 因為 5x 2x 都代表數, 所以這個結果也可以用數的運算規則來釋 例如 : 利用乘法對加 ( 減 ) 法的分配律, 可得到 5x+2x=(5+2).x=7x 5x-2x=(5-2).x=3x
8 代數式的加減運算 ⑴ 2x 3x ⑶ 7x x ⑵ 8y ( 5y) ⑷ 1 2 y 2 3 y 3-1 代數式的化簡 177 ⑴ -2x+3x =(-2+3)x=1x=x ⑵ 8y-(-5y) =[8-(-5)]y=(8+5)y=13y ⑶ 7x-x =(7-1)x=6x ⑷ 1 2 y- 2 3 y= 3 6 y- 4 6 y= ( 3 6-4 6 ) y=- 1 6 y 代數式的加減運算 化簡下列各式 ⑴ -9y+14y ⑵ (-a)+(-2a) ⑶ (-6x)-(-5x) ⑷ 5 3 b+ (- 3 4 b )
178 第 3 章一元一次方程式 前面加減運算的題目, 都是在化簡只含有文字符號的代數式, 若是代數式 中有不含文字符號的部分要如何化簡呢? 我們以下面的例子來說明 穩賺便利商店舉辦集點換福袋活動, 若 1 張集點卡集滿時有 x 點, ⑴ 小風集滿 1 張又 2 點, 那麼小風共集了 (x+2) 點 ; 秀秀集滿 2 張又 4 點, 那麼秀秀共集了 (2x+4) 點 ; 兩人總共集了 (1+2) 張又 (2+4) 點, 也就是共集了 (1+2)x+(2+4) 點 + = x+2 + 2x+4 = (1+2)x+(2+4) = 3x + 6 ⑵ 婷婷差 5 點就集滿 2 張, 那麼婷婷共集了 (2x-5) 點 ; 宏揚差 3 點就集滿 4 張, 那麼宏揚共集了 (4x-3) 點 ; 兩人總共差 (5+3) 點就集滿 (2+4) 張, 也就是共集了 (2+4)x-(5+3) 點 即 2x-5+4x-3=(2+4)x-(5+3)=6x-8 ⑶ 小文集滿 7 張又 5 點, 但是被小安借走 2 張又 4 點, 那麼小文目前有 (7-2) 張又 (5-4) 點, 也就是 (7-2)x+(5-4) 點 即 7x+5-2x-4=(7-2)x+(5-4)=5x+1 從上面的討論我們發現 : 做代數式的加減運算時, 可將有相同文字符號 x 的部分合併在一起化簡, 將沒有 x 的部分合併在一起化簡
9 代數式的加減運算 化簡下列各式 3-1 代數式的化簡 179 ⑴ 3x+5+2x+7 ⑵ 6x-8-4x-5 ⑴ 3x+5+2x+7 =(3+2)x+(5+7) =5x+12 ⑵ 6x-8-4x-5 =(6-4)x-(8+5) =2x-13 化簡下列各式 ⑴ 2x-5-4x+1 ⑵ -3x+2-2x-3 代數式的四則運算 在數的運算規則中, 我們學過 去括號規則, 例如 : -(a+b)=-a-b -(a-b)=-a+b -(-a+b)=a-b -(-a-b)=a+b 事實上, 去括號規則也可以運用在代數式的化簡
180 第 3 章一元一次方程式 例 10 去括號規則 ⑴ (x 5) ⑶ ( 3x 1) ⑵ (4x 3) ⑷ ( 2x 3) ⑴ -(x-5)=-x+5 ⑶ -(-3x-1)=3x+1 ⑵ -(4x+3)=-4x-3 ⑷ -(-2x+3)=2x-3 化簡下列各式 ⑴ -(3x+7) ⑵ -(5x-11) ⑶ -(-2x-5) ⑷ -(-4x+9) 接著我們再利用學過的分配律做代數式的化簡 (a+b) c=a c+b c c (a+b)=c a+c b 例如 : (5x+4) 2=5x 2+4 2=10x+8,2 (5x+4)=2 5x+2 4=10x+8 例 11 分配律 ⑴ (x 4) ( 4) ⑵ 3( 12x 5) ⑴ (x+4) (-4) =x (-4)+4 (-4) =-4x+(-16)=-4x-16 ⑵ -3(-12x-5) =(-3) (-12x-5) =(-3) (-12x)-(-3) 5 =36x-(-15)=36x+15
3-1 代數式的化簡 181 化簡下列各式 ⑴ (-3x-7) (-5) ⑵ -2(x-20) 例 12 代數式的四則運算 ⑴ x 6 ( x 5) ⑵ 2(3x 5) 3( x 1) ⑴ x-6-(-x+5) =x-6+x-5 =2x-11 ⑵ -2(3x-5)+3(-x-1) =-6x+10-3x-3 =-9x+7 化簡下列各式 ⑴ -4(x+3)+2(2x-1) ⑵ -7(x-1)-5(x+2)
182 第 3 章一元一次方程式 例 13 代數式的四則運算 ⑴ 11x 2[3x (5x 4)] ⑵ 2x+1 3-2-3x 2 ⑴ 11x-2[3x-(5x-4)] =11x-2[3x-5x+4] =11x-2[-2x+4] =11x+4x-8 =15x-8 ⑵ 方法一 : 2x+1 3 = 2 (2x+1) 6-2-3x 2-3 (2-3x) 6 = ( 4x+2) - ( 6-9x) 6 6 = ( 4x+2)-(6-9x) 6 = 4x+2-6+9x 6 = 13x-4 6 方法二 : 2x+1 3-2-3x 2 = 2 3 x+ 1 3 - ( 2 2-3 2 x) = 2 3 x+ 1 3-1+ 3 2 x = 2 3 x+ 3 2 x+ 1 3-1 = 4 6 x+ 9 6 x+ 1 3-3 3 = 13 6 x- 2 3 化簡下列各式 ⑴ 6x-2[4x-(-3x+2)] ⑵ 2x-5 6 3x+1 4
3-1 代數式的化簡 183 例 14 以文字符號列式並化簡 x 2x+1 x+5 6 7 4x-2 ( 單位 : 公分 ) 梯形面積 = 1 2 [(2x+1)+(4x-2)] 6 = 1 2 6 [2x+1+4x-2] =3 [6x-1] =18x-3 ( 平方公分 ) 1 2 ( ) 梯形周長 =(2x+1)+(x+5)+(4x-2)+7 =2x+x+4x+1+5-2+7 =7x+11 ( 公分 ) 用含有 a 的代數式, 表示右圖三角形的面積 3 2(a+5)
184 第 3 章一元一次方程式 例 15 以文字符號列式並化簡 x 16 6 4 五穀米每公斤比白米貴 16 元, 因此五穀米每公斤 (x+16) 元 白米 6 公斤共 6x 元 五穀米 4 公斤共 4(x+16) 元, 總共是 6x+4(x+16)=6x+4x+64=10x+64( 元 ), 所以混合後平均每公斤 10x+64 6+4 =10x+64 ( 或 x+ 10 32 5 )( 元 ) 15 5x+32 5 x 64 小佑的撲滿中有 5 元 10 元硬幣共 x 個, 其中 10 元的硬幣有 32 個, 則 : ⑴ 小佑的撲滿中共有幾個 5 元硬幣?( 以 x 列式 ) ⑵ 小佑的撲滿中共有多少元? ⑶ 若小佑撲滿中所有的錢剛好可買 5 臺價格相同的模型飛機, 則每臺 模型飛機為多少元?
3-1 代數式的化簡 185 1 以文字符號代表數 a b c x y z 2 乘法的簡記 例 ( 2) x ( 2) x 2x ( 1) x ( 1) x x ( 4 5 ) x ( 4 5 ) x 4 x 4x -4x 4x 5 5 5-5 0 x 0 x 0 註 3 一元一次式 ( ) 1( ) 例 x 5 y 3 a 3 4 代數式的乘法運算 例 ( 4x) 5 [( 4) 5] x 20x 5 代數式的加減運算 例 2x 7 4x 3 (2 4)x ( 7 3) 2x 4
186 第 3 章一元一次方程式 1 簡記下列各代數式 ⑴ x.(-6)= ⑵ (-3.5) b+4.2= ⑶ 15+c (- 1 2 ) = ⑷ d (-2)+ 6 7 = ⑸ x.5+(-6)= ⑹ z 2 5-3 2 = 2 計算下列各代數式的值 代數式 (-x) 6 2x-7 x 值 2 0.5-5 - 1 2 3 化簡下列各式 ⑴ 3x.(-7) ⑵ (- 3 4 x ) (- 1 2 ) ⑶ (- 5a 3 ) + 11 6 a ⑷ 9a-5+ (-4a)+3
3-1 代數式的化簡 187 ⑸ y+6-(4y-6) ⑹ 6(-x+2)-2(-3x-2) ⑺ 2y+5[2-1 3 ( 3y-12)] ⑻ y-1 3-3y+1 2 +1 4 若右圖中所有的角都是直角, 則橘色區域的面積為 ( 以 x 列式並化簡 ) x-2 4 3 10 5 幼佳和 9 位同學去看電影, 總共付了 x 張壹仟元與 5 張壹佰元鈔票, 那麼 平均每人要付多少元?