課程內容摘要 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 2

指數函數之微分及其 相關之積分 MCU 應用統計資訊系 14 講 1

課程內容摘要 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 2

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 3

指數觀念複習 (1) 指數函數是超越函數的一種, 如前 所述, 超越函數 (Transcendental( Functions) 就是指數函數 對數函 數 三角函數及反三角函數的統稱 MCU 應用統計資訊系 14 講 4

指數觀念複習 (2) 對數符號 = log b a 是與 b = a 同義, 其中 b > 0,b 1, 0 且 為任意實數 MCU 應用統計資訊系 14 講 5

指數觀念複習 (3) = log b a b = a 注意到對數等於,, 且 為 指數 故對數就是指數, 亦 即 為 b 要乘方得 a 的指數 MCU 應用統計資訊系 14 講 6

指數觀念複習 (4) = log b a b = a 正底 b 的 乘方得 a, 故在 b =a 中 永遠為正 換句話說, 在 =log b a 中 a 必為正, 於是 log b a 只在 a > 0 時 有定義 MCU 應用統計資訊系 14 講 7

指數觀念複習 (5) 以下為某些寫成對數型式之方程式, 其右為相等的指數型式 log 3 9 = 2 3 2 = 9 log 2 8 = 3 2 3 = 8 log 4 1 = 0 4 0 = 1 log 10. 01 = 2 2 10 =. 01 log e 20 3 e 3 20 log e e = 1 1 e = e log e 1 = 0 0 = MCU 應用統計資訊系 14 講 8 e 1

指數觀念複習 (6) 同時, 由定義 a m = 1 / a m 因此, 很容易可看出 ( m n ) a m a n = a + a m / a n = a ( m n ) MCU 應用統計資訊系 14 講 9

指數觀念複習 (7) a 0 = a m / a m = 1 m 可為任意整數 ( m n a ) = a ( mn ) ( m ab ) = a m b m MCU 應用統計資訊系 14 講 10

指數觀念複習 (8) 您對指數是否已瞭解了呢? 若瞭解試作下列各題 : a 5 = [ 5 a 5 log a a log 5 以上皆非 ] a b + c = b c b + c b + ( ) log ] [ a * a a a ca b c a a f g f / [( ) log / g ( f g ) a = f g a a a 以上皆非 ] a 0 = [ 0 1 a 以上皆非 ] MCU 應用統計資訊系 14 講 11

指數觀念複習 (9) 解答 a 5 = [ 以上皆非 ] b + c a = [ a b * a c ] a f g ( f g ) / a = [ a ] a 0 = [ 1 ] MCU 應用統計資訊系 14 講 12

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 13

指數函數定義 (1) 設 a > 0 且 為任一實數, 則 a = e lna MCU 應用統計資訊系 14 講 14

指數函數定義 (2) 定理 A 指數的性質 若 a > 0,b b > 0, 且 及 y 皆為實數, ( ) y + y i a a a a a = ( ) y ii a y = ( )( ) y ( )( ) iv ab = a b ( ) y a v = b iii a = a a b y MCU 應用統計資訊系 14 講 15

指數函數定義 (3) a a y ( ii ) = a y 證明 a a y = e ln a a y = e ln a ln a y = e ln a y ln a = e ( y ) ln a = a y MCU 應用統計資訊系 14 講 16

指數函數定義 (4) ( )( ) y y iii a = a 證明 ( a ) y = e y ln a = a y = a y MCU 應用統計資訊系 14 講 17

指數函數定義 (5) 以上證明 (ii) 及 (iii), 其餘可以同理證 得 MCU 應用統計資訊系 14 講 18

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 19

指數函數公式 (1) 定理 B 指數函數公式 D a = a ln a a d = ln 1 a a + C, a 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 20

指數函數公式 (2) D a = a ln a 證明 D a = D ( e ln a ) = e ln a D ( ln a ) = a ln a MCU 應用統計資訊系 14 講 21

指數函數公式 (3) 積分公式顯然由微分公式可導出 MCU 應用統計資訊系 14 講 22

指數函數公式 (4) 例 1. 求 解答 D 3 ( ) [ 令 u =, 利用連鎖法則 ] D ( ) 3 = 3 ln D 3 = 3 2 ln 3 MCU 應用統計資訊系 14 講 23

指數函數公式 (5) 例 dy + 2. 求, 若 y = d 解答 ( 4 ) 5 4 2 + 2 + 5 dy + d = 5 ( 4 4 3 4 2 3 + 2 ) * 4 + 5 * ln 5 * 4 [ ( ) ] 4 5 + 2 4 + 5 ln 5 3 4 + 2 = 4 [( ) ] 4 + 2 4 + 5 ln 5 = 3 4 + 1 20 MCU 應用統計資訊系 14 講 24

指數函數公式 (6) 例 3. 求 2 3 2 d 解答 [ 令 u = 3, du = 3 2 d, 則 ] 1 3 ( ) 3 2 d = 3 2 2 2 3 d u 1 1 2 = 2 u du = 3 3 ln 2 + C = 3 2 ln 3 2 + C MCU 應用統計資訊系 14 講 25

指數函數公式 (7) 為什麼還有其他底數? 除 e 外真需要其他底數嗎? 否 公式 a ln a = e 及 log = a ln ln a 使我們討論任何以 a 為底之指數函數或對數函數問題, 類似以 e 為底 這就是所謂 自然指數函數及自然對數函數 此一說明許多近發現函數在高等研究上廣泛應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 26

指數函數公式 (8) 函數 a, a 及 首先比較右圖三條曲線 : MCU 應用統計資訊系 14 講 27

指數函數公式 (9) 函數 a, a 及 一般而言, 設 a 為一常數且 為一變數, 不要搞混 f () = a, 此為指數函數與 g () = a, 此為羃函數, 且不可混淆它們的導函數, 已知 : D ( ) a = a ln a D 法則 ( a ) 是什麼? 若 r 為有理數, 可證明為乘羃 D ( a ) a 1 = a MCU 應用統計資訊系 14 講 28

指數函數公式 (10) 函數 a, a 及 在此證明當 a 為無理數, 此亦可成立 欲知此事實, 可寫成 : D ( a ) ( a ln ) a ln a a 1 = D e = e = = a 若 a 為無理數, 則下式亦成立 : a a a d = a a + 1 + 1 + C, a 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 29

指數函數公式 (11) 函數 a, a 及 最後考慮 f () =, 一變數的變數乘羃 D ( ) 有公式, 但有學者建議不要記它, 可用下 列兩種方法來求 例 1. 若 y =, > 0, 用兩種不同方法, 求 D y. 方法 1: 寫成 y = = e ln MCU 應用統計資訊系 14 講 30

指數函數公式 (12) 函數 a, a 及 由連鎖法則 D y = e ln 1 D ln = + ln = 1 + ln ( ) ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 31

指數函數公式 (13) 函數 a, a 及 方法 2: 對數微分法 y = ln y = ln 1 y D y = 1 + ln D y = y ( ) 1 + ln = ( 1 + ln ) MCU 應用統計資訊系 14 講 32

指數函數公式 (14) 函數 a, a 及 ( 2 ) π + 1 + π, 求. sin 例 2. 若 y = dy d 解答 dy = π cos d ( 2 ) π 1 + 1 ( 2 ) + π sin ln MCU 應用統計資訊系 14 講 33

指數函數公式 (15) 函數 a, a 及 例 3. 若 y = + dy d ( 2 ) sin 1, 求. 解答 ln y = sin ln ( 2 + 1 ) 1 dy 2 y d = 2 2 + 1 ( sin ) + ( cos ) ln ( + 1 ) dy d 2 sin = 1 + 1 ( 2 ) sin ( ) ( 2 + 1 ) + cos ln + 2 MCU 應用統計資訊系 14 講 34

指數函數公式 (16) 由 a 至 [f()] g() 注意所考慮函數的遞增性, 類型如 a 至 a 至, 是一種連鎖連鎖 另一種較複雜連鎖是 a f() 至 [f()] a 至 [f()] g() 現在知道如何求出這些函數 的導函數, 可用對數微分對數微分完成 MCU 應用統計資訊系 14 講 35

指數函數公式 (16) 函數 a, a 及 例 1 1 5 1 2 2 4. 計算 d 解答 [ 令 u = 1 /, du = ( 1( 1 / 2, 則 ] 5 1 2 d = 5 1 1 2 d dy d = u 5 d MCU 應用統計資訊系 14 講 36

指數函數公式 (17) 解答 函數 a, a 及 = 5 ln u 5 + C = 1 5 ln 5 + C 1 1 1 1 5 5 1 d 2 = = 1 2 2 ln 5 ln 5 1 2 20 ln 5 ( 5 5 ) = 12. 43 MCU 應用統計資訊系 14 講 37

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 38

自然指數函數 (1) 自然對數函數圖形 2 f () = ln 3 MCU 應用統計資訊系 14 講 39

自然指數函數 (2) 上面為自然對數函數 f () = ln 的圖形, 自然對數函數在定義域 D = (0, ) 上可微分 ( 當然連續 ) 且遞增, 其值域為 R = ( (, ), 它具有一反函數 ln 1, 含有定義域 (, ) 且值域為 (0, ), 這種函數特別重要, 我們必須給予特 別的名稱與符號 MCU 應用統計資訊系 14 講 40

自然指數函數 (2) 定義 ln 的反函數稱為自然指數函數且記作 ep, 則 = ep y y = ln MCU 應用統計資訊系 14 講 41

自然指數函數 (3) 從上面的定義, 可以得知下列結果 : (i) ep (ln( ) =, > 0 ; (ii) ln (ep y) = y, y MCU 應用統計資訊系 14 講 42

自然指數函數 (4) 因為 ep 及 ln 互為反函數, y = ep 的圖形, 就是 y = ln 的圖形對直線 y = 的鏡射之 圖形 ( 見下圖 ) MCU 應用統計資訊系 14 講 43

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 44

指數函數性質 (1) Why 取名為指數函數呢? MCU 應用統計資訊系 14 講 45

指數函數性質 (2) 首先我們介紹一個新數, 如同一樣, 在數學上相當重要的一數, 特別給予一個記號 e, 用字母 e 是很合適的, 因為 Leonhard Euler 最早承認這個數有意義 π MCU 應用統計資訊系 14 講 46

指數函數性質 (3) 定義 字母 e 表示一個唯一正實數使得 ln e = 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 47

指數函數性質 (4) y = 1 / 2 面積 = 1 1 R 1 2 e 3 MCU 應用統計資訊系 14 講 48

指數函數性質 (5) 上圖可以解釋指數函數的定義, 在 y = 1 / 之下方介於 = 1 及 = e 之間的面積為 1 因為 ln e = 1, 所以 ep 1 = e 數 e, 如同 π 一樣都為無理數, 小數點後有無限多個位數, 前面幾位數為 : e 2. 718281828459045 MCU 應用統計資訊系 14 講 49

指數函數性質 (6) 現在我們進一步由下列前述事實觀察 : e r = r ep(ln e ) = ep( r ln e ) = ep r 上面結果顯示, 對有理數 r 而言,ep, r 相當於 e r, 它如其自然對數的逆一樣都很抽象, 雖然由積分式定義出, 但已轉變成一個簡單的乘羃 MCU 應用統計資訊系 14 講 50

指數函數性質 (7) 若 r 為一無理數則如何? MCU 應用統計資訊系 14 講 51

指數函數性質 (8) 上面的問題使得其性質成為代數中一個問題, 沒有一個嚴謹的方法可以定義無理指數, e 究竟是什麼意義? 可能在尋找正確答案時會偏向代數方面, 但在此只要承認它是有意義的, 若想討論諸如 D e 的結果, 根據以上談論所知, 我們只要定義 e 為 ( ) 5 e = ep MCU 應用統計資訊系 14 講 52

指數函數性質 (9) 注意在前面所提到的自然指數函數定義所提到的 (i) ep (ln( ) =, > 0 及 (ii) ln (ep y) = y, y, 現在可表為 : ( i ) e ln =, ( ii ) ln ( e y ) = y, y > 0 MCU 應用統計資訊系 14 講 53

指數函數性質 (10) e 的定義 不同作者對於字母 e 有不同的方法加以定義 1. e = ln 1 1 2. 3. e e = = lim 1 h 0 lim h ( + h ) 1 + 1 1! 1 h + 1 2! +... + 1 n! MCU 應用統計資訊系 14 講 54

指數函數性質 (11) 上述定義 2 及 3 已變成定理 MCU 應用統計資訊系 14 講 55

指數函數性質 (12) 定理 A 令 a 及 b 為任意實數, 則 為任意實數, 則 a b a b, 且 a b a b e / e = e e e = e + MCU 應用統計資訊系 14 講 56

指數函數性質 (13) 證明 e a e b = e a + b 寫成 e a e b = ep ( ln e a e b ) ( ln e a ln e b ) = ep + (i) 對數定理 = ep ( a + b ) (ii) ii)' = e a + b 由於 ep =e MCU 應用統計資訊系 14 講 57

指數函數性質 (14) 同理可證出 e a / e b = e a b MCU 應用統計資訊系 14 講 58

指數函數性質 (15) 故事 : A Phoeni MCU 應用統計資訊系 14 講 59

指數函數性質 (16) A Phoeni The number e appears throughout mathematics, but its importance rests most securely on its use as the base for the natural eponential function. And what makes this function so significant? Who has not been amazed to learn that the function y = e, like a phoeni rising again from its own ashes, is its own derivative? Francois Le Lionnais MCU 應用統計資訊系 14 講 60

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 61

e 的導函數 (1) 因 ep 及 ln 互為反函數, 由定理 ep = e 為可微分 欲求 D 的公式, 可以用此定理, 令 y = e e, 所以 = ln y 兩邊對 微分, 得出 1 1 = D y 連鎖法則 y MCU 應用統計資訊系 14 講 62

e 的導函數 (2) 因此 D y = y = e 我們已證出 e 有名的事實,e, 為它自己的導函數, 即 D e = e MCU 應用統計資訊系 14 講 63

e 的導函數 (3) 於是 y = e 為微分方程式 y = y 的一個解 若 u = f () 為可微分, 則由連鎖法則知 D e u = e u D u MCU 應用統計資訊系 14 講 64

e 的導函數 (4) 例 1. 求 D e 解答 [ 利用 u =, 得 ] D e = e D e 1 2 1 2 = 2 e = 2 e MCU 應用統計資訊系 14 講 65

e 的導函數 (5) 例 2. 求 D e 2 ln 2 ln 2 ln 解答 D e e D ( 2 = ln ) 1 = e 2 ln 2 + 2 ln = e 2 ln + ( 1 ln 2 ) MCU 應用統計資訊系 14 講 66

e 的導函數 (6) 2 例 3. 設 f ( ) = e, 求 f 在何處遞增, 遞減, 且在何處向上凹, 向下凹, 指出所有極值及反區點, 然後畫出 f 的圖形 解答 f e 2 2 + 2 ( ) = + e 2 = e 2 2 MCU 應用統計資訊系 14 講 67

MCU 應用統計資訊系 14 講 68 ( ) + = + + = 4 4 2 2 2 2 2 2 2 e e e f e 的導函數的導函數 (7) (7) 且

e 的導函數 (8) 因為 e 2 > 0,, 當 < 2, f () < 0; 0 f ( 2) = 0 ; 且當 > 2, f () > 0, 因此 f 在 (, 2] 遞減, 在 [ 22, ) 上遞增, 在 = 2 有極小值 f ( 2)( = 2 2 / e 約等於 0.7 同時, 當 < 4, f () < 0; 0 f ( 4) = 0 ; 且當 > 4, f () > 0, 所以 f 的圖形在 (, 4) 向下凹, 在 ( 44, ) 向上凹且在點 ( 4, 4e 2 ) ~ ( 44, 0.5) 有一反區點 MCU 應用統計資訊系 14 講 69

e 的導函數 (9) lim 2 因 e = 0, 故直線 y = 0 為一條 水平漸進線 以上有關例 3 的探討, 歸納如下圖 : MCU 應用統計資訊系 14 講 70

e 的導函數 (8) 因為 e 2 > 0,, 當 < 2, f () < 0; 0 f ( 2) = 0 ; 且當 > 2, f () > 0, 因此 f 在 (, 2] 遞減, 在 [ 22, ) 上遞增, 在 = 2 有極小值 f ( 2)( = 2 2 / e 約等於 0.7 同時, 當 < 4, f () < 0; 0 f ( 4) = 0 ; 且當 > 4, f () > 0, 所以 f 的圖形在 (, 4) 向下凹, 在 ( 44, ) 向上凹且在點 ( 4, 4e 2 ) ~ ( 44, 0.5) 有一反區點 MCU 應用統計資訊系 14 講 71

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 72

e 的積分 (1) 由導函數公式 D e = 顯然得出積分公式 e e d = e + C 或以 u 代替 e u u du = e + C MCU 應用統計資訊系 14 講 73

e 的積分 (2) 例 1. 計算 解答 e d 4 [ 令 u = 4, du = 4 d, 則 ] e 1 4 4 1 4 = d e 4 4 u 1 u e du = e + C 4 ( d ) 1 4 = e + 4 C MCU 應用統計資訊系 14 講 74

e 的積分 (3) 例 2. 計算 2 e 3 d 解答 [ 令 u = 3, du = 3 2 d, 則 ] 1 3 2 3 1 = 3 e d e 3 3 ( d ) 2 u 1 u e du = e + 3 1 = e 3 + 3 C C MCU 應用統計資訊系 14 講 75

e 的積分 (4) 例 3. 計算 1 3 e 3 2 d 解答 [ 令 u = 3 2, du = 6 d, 則 ] e 1 2 = 3 d e 6 6 3 2 1 u 1 u = e du = e + C 6 6 1 3 2 = e + C 6 ( d ) MCU 應用統計資訊系 14 講 76

e 的積分 (5) 因此, 由微積分學基本定理, e 1 6 2 2 3 = 3 d e 3 1 = 3 27 1 e e 6 ( 27 3 e e ) = 6 0. 0082978 最後一次計算可利用計算器獲得 MCU 應用統計資訊系 14 講 77

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 78

指數函數應用 (1) 在現實的生活中有許多自然界的現象和社會的活動, 如放射性元素的衰變 人口的增加 複利息的計算等等, 都可以用指數函數來描述並得到解決 MCU 應用統計資訊系 14 講 79

指數函數應用 (2) 複利法 指數函數的應用範圍甚廣, 我們先討論在商學上的應用, 如連續複利, 最佳持有時機等 再介紹其他模式之應用 在銀行開立帳戶, 存入一筆款項, 此金額稱為本金或現值, 經過一段時間後, 銀行所給付之報酬款稱為利息利息 本金加利息稱為 本金加利息稱為本利和或本利和或終值, 而利息與本金的比例稱為利率利率, 一般而言, 利率指的是年利率, 即一年的利息與本金之比例 MCU 應用統計資訊系 14 講 80

指數函數應用 (3) 複利法 設 P = 現值或本金 A = 終值或本利和 I = 利息 r = 年利率 m = 一年之複利次數 t = t 年 ( 不一定是整數 ) 按照計算方式的不同, 可分為單利法 複利法及連續複利 單利法的利息等於本金 利率與期數之積 MCU 應用統計資訊系 14 講 81

指數函數應用 (4) 複利法 單利法 本金 P, 年利率 r,t 年後的利息與本金為 I = Prt A = P + I = P (1 + rt) MCU 應用統計資訊系 14 講 82

指數函數應用 (5) 複利法 若一年終複利 m 次, 每個計算期的利息為 r/m, 第一個計算期末, 利息 I 1 = 本金 * 利率 * 期數 = P*(r/m)*1, 則第一個計算期末的本利和 A 1 = P + I 1 = P (1 + r/m) 複利法是以前期的本利和作為下一個計算期的本金, 所以第二個計算期期末的利息 I 2 = 本金 * 利率 * 期數 = A 1 *(r/m)*1, 所以第二個計算期期末的本利和 A 2 = A 1 + I 2 = P (1 + r/m) 2 依此類推, 一年後的本利和為 P (1 + r/m) m MCU 應用統計資訊系 14 講 83

指數函數應用 (6) 複利法 複利法 本金 P 元, 年利率 r, 一年複利 m 次, t 年後的本利和及利息為 A = P [1 +(r/m ) mt ] I = A P MCU 應用統計資訊系 14 講 84

指數函數應用 (7) 複利法 實利率 ( 複利法 ) 年利率 ( 虛利率 ) 為 r 時, 若一年複利 m 次, 則實利率為 α = 1 +(r/m ) m 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 85

指數函數應用 (8) 複利法 實利率 ( 複利法 ) 本金 P 元, 年利率為 r, 以連續複利方式計算 t 年後的本利和及利息為 A = Pe rt I = A P MCU 應用統計資訊系 14 講 86

指數函數應用 (9) 複利法 實利率 ( 連續複利 ) 年利率 ( 虛利率 ) 為 r 時, 若以連續複利計算時, 則實利率為 β = e r 1 MCU 應用統計資訊系 14 講 87

指數函數應用 (10) 複利法 現值 複利法的現值 連續複利的現值 P = Ae P = A(1 + r/m) mt Ae rt MCU 應用統計資訊系 14 講 88

指數函數應用 (11) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 89

指數函數應用 (12) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 90

指數函數應用 (13) 指數成長模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 91

指數函數應用 (14) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 92

指數函數應用 (15) 指數衰退模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 93

指數函數應用 (16) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 94

指數函數應用 (17) 學習曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 95

指數函數應用 (18) 指數模式在自然界有很多的應用, 諸如 : 指數成長模式 指數衰退模式 傳播媒體訊息的擴散 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 96

指數函數應用 (19) 後勤曲線模式 MCU 應用統計資訊系 14 講 97

課程回顧 MCU 應用統計資訊系 14 講 98

指數函數之微分及其 相關之積分 MCU 應用統計資訊系 14 講 99

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 100

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 101

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 102

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 103

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 104

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 105

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 106

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 107

課程內容 1. 指數觀念複習 2. 指數函數定義 3. 指數函數公式 4. 自然指數函數 5. 指數函數性質 6. 指數函數的導函數 7. 指數積分 8. 指數函數應用 MCU 應用統計資訊系 14 講 108

觀念複習 (1) 問題 1 3 以 e 及 ln 表示, π = ( ) 一般而言 a = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 109

觀念複習 (2) 解答 以 e 及 ln 表示, 3 ( 3 ln π = e ) 一般而言 a a = ( e ln ) MCU 應用統計資訊系 14 講 110

觀念複習 (3) 問題 2 ln = log a, 其中 a = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 111

觀念複習 (4) 解答 ln = log a, 其中 a = (1n( / ln a) MCU 應用統計資訊系 14 講 112

觀念複習 (5) 問題 3 log a 可用 ln 表示為 log a = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 113

觀念複習 (6) 解答 log a 可用 ln 表示為 log a = (ln( / ln a) MCU 應用統計資訊系 14 講 114

觀念複習 (7) 問題 4 羃函數 f () = a 之導函數為 f '() = ( 指數函數 g () 之導函數為 g '() = ( ) ); MCU 應用統計資訊系 14 講 115

觀念複習 (8) 解答 羃函數 f () = a 之導函數為 f '() = ( a a 1 ); 指數函數 g () 之導函數為 g '() = (a ln a ) MCU 應用統計資訊系 14 講 116

觀念複習 (9) 問題 5 函數 ln 在 (0, ) 上嚴格 ( ), 且因而由 反函數記為 ln 1 或為 ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 117

觀念複習 (10) 解答 函數 ln 在 (0, ) 上嚴格 ( 遞增 ), 且因而由 反函數記為 ln 1 或為 ( ep ) MCU 應用統計資訊系 14 講 118

觀念複習 (11) 問題 6 e 以 ln 定義為 ( ) ; 其值有效小數第二位為 ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 119

觀念複習 (12) 解答 e 以 ln 定義為 ( ln e = 1) ; 其值有效小數第二位 為 (2.72) MCU 應用統計資訊系 14 講 120

觀念複習 (13) 問題 7 由於 e = ep =ln 1, 得知 e ln = ( ) 且 ln(e ) = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 121

觀念複習 (14) 解答 由於 e = ep =ln 1, 得知 e ln = ( ) 且 ln(e ) = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 122

觀念複習 (15) 問題 8 有關 e, 兩有名事實是 D (e )= ( ) 及 e d = ( ) MCU 應用統計資訊系 14 講 123

觀念複習 (16) 解答 有關 e, 兩有名事實是 D (e )= (e ) 及 e d = (e + C ) MCU 應用統計資訊系 14 講 124