第五章

第 五 章 力 法 5 超 静 定 结 构 概 述 超 静 定 结 构 是 工 程 实 际 中 常 用 的 一 类 结 构, 前 已 述 及, 超 静 定 结 构 的 反 力 和 内 力 只 凭 静 力 平 衡 条 件 是 无 法 确 定 的, 或 者 是 不 能 全 部 确 定 的 例 如 图 5 a 所 示 的 连 续 梁, 它 的 水 平 反 虽 可 由 静 力 平 衡 条 件 求 出, 但 其 竖 向 反 力 只 凭 静 力 平 衡 条 件 就 无 法 确 定, 因 此 也 就 不 能 进 一 步 求 出 其 全 部 内 力 又 如 图 5 b 所 示 的 加 劲 梁, 虽 然 它 的 反 力 可 由 静 力 平 衡 条 件 求 得, 但 却 不 能 确 定 杆 件 的 内 力 因 此, 这 两 个 结 构 都 是 超 静 定 结 构 分 析 以 上 两 个 结 构 的 几 何 组 成, 可 知 它 们 都 具 有 多 余 约 束 多 余 约 束 上 所 发 生 的 内 力 称 为 多 余 未 知 力 如 图 5 a 所 示 的 连 续 梁 中, 可 认 为 B 支 座 链 杆 是 多 余 约 束, 其 多 余 未 知 力 为 By ( 图 5 c) 又 如 图 5 b 所 示 的 加 劲 梁, 可 认 为 其 中 的 BD 杆 是 多 余 约 束, 其 多 余 未 知 力 为 该 杆 的 轴 力 ( 图 5 d) 超 静 定 结 构 在 去 掉 多 余 约 束 后, 就 变 成 为 静 定 结 构 N 常 见 的 超 静 定 结 构 类 型 有 : 超 静 定 梁 ( 图 5 ), 超 静 定 刚 架 ( 图 5 ), 超 静 定 桁 架 ( 图 5 4), 超 静 定 拱 ( 图 5 5), 超 静 定 组 合 结 构 ( 图 5 6) 和 铰 接 排 架 ( 图 5 7) 等 超 静 定 结 构 最 基 本 的 计 算 方 法 有 两 种, 即 力 法 和 位 移 法, 此 外 还 有 各 种 派 生 出 来 的 方 法, 如 力 矩 分 配 法 就 是 由 位 移 法 派 生 出 来 的 一 种 方 法 这 些 计 算 方 法 将 在 本 章 和 以 下 两 章 中 分 别 介 绍

5 力 法 的 基 本 概 念 在 掌 握 静 定 结 构 内 力 和 位 移 计 算 的 基 础 上, 下 面 来 寻 求 分 析 超 静 定 结 构 的 方 法 先 举 一 个 简 单 的 例 子 加 以 阐 明 设 有 图 5 8a 所 示 一 端 固 定 另 一 端 铰 支 的 梁, 它 是 具 有 一 个 多 余 约 束 的 超 静 定 结 构 如 果 以 右 支 座 链 杆 作 为 多 余 约 束, 则 去 掉 该 约 束 后, 得 到 一 个 静 定 结 构, 该 静 定 结 构 称 为 力 法 的 基 本 结 构 在 基 本 结 构 上, 若 以 多 余 未 知 力 代 替 所 去 约 束 的 作 用, 并 将 原 有 荷 载 q 作 用 上 去, 则 得 到 如 图 5 8b 所 示 的 同 时 受 荷 载 q 和 多 余 未 知 力 作 用 的 体 系 该 体 系 称 为 力 法 的 基 本 体 系 在 基 本 体 系 上 的 原 有 荷 载 是 已 知 的, 而 多 余 力 是 未 知 的 因 此, 只 要 能 设 法 先 求 出 多 余 未 知 力, 则 原 结 构 的 计 算 问 题 即 可 在 静 定 的 基 本 体 系 上 来 解 决 显 然, 如 果 单 从 平 衡 条 件 来 考 虑, 则 可 取 任 何 数 值, 这 时 基 本 体 系 都 可 以 维 持 平 衡, 但 相 应 的 反 力 内 力 和 位 移 就 会 有 不 同 之 值, 因 而 B 点 就 可 能 发 生 大 小 和 方 向 各 不 相 同 的 竖 向 位 移 为 了 确 定, 还 必 须 考 虑 位 移 条 件 注 意 到 原 结 构 的 支 座 B 处, 由 于 受 竖 向 支 座 链 杆 约 束, 所 以 B 点 的 坚 向 位 移 应 为 零 因 此, 只 有 当 恰 与 原 结 构 右 支 座 链 杆 上 实 际 发 生 的 反 力 相 等 时, 才 能 使 基 本 体 系 在 原 有 荷 载 和 的 数 值 共 同 作 用 下 B 点 的 竖 向 位 移 ( 即 沿 方 向 的 位 移 ) 等 于 零 所 以, 用 来 确 定 的 位 移 条 件 是 : 在 原 有 荷 载 和 多 余 未 知 力 共 同 作 用 下, 在 基 本 体 系 上 去 掉 多 余 约 束 处 的 位 移 应 与 原 结 构 中 相 应 的 位 移 相 等 由 上 述 可 见, 为 了 唯 一 确 定 超 静 定 结 构 的 反 力 和 内 力, 必 须 同 时 考 虑 静 力 平 衡 条 件 和 位 移 条 件 若 命 及 分 别 表 示 基 本 结 构 在 多 余 未 知 力 及 荷 载 q 单 独 作 用 时 B 点 沿 方 向 的 位 移 ( 图 5 8c d), 其 符 号 都 以 沿 方 向 者 为 正 根 据 叠 加 原 理 及, 有 +

再 令 表 示 为 单 位 力 时, 点 沿 方 向 所 产 生 的 位 移, 则 是 上 式 可 写 成, 于 + 由 于 和 都 是 静 定 结 构 在 已 知 外 力 作 用 下 的 位 移, 均 可 按 第 四 章 所 述 计 算 位 移 的 方 法 求 得, 于 是 多 余 未 知 力 即 可 由 式 (5 ) 确 定 这 里 采 用 图 乘 法 计 算 及 先 分 别 绘 出 和 荷 载 单 独 作 用 在 基 本 结 构 上 的 弯 矩 图 M ( 图 5 8e) 和 q M ( 图 5 8f),

然 后 求 得 所 以 由 式 (5 ) 有 q ( ) 4 4 q 8 q 8 4 q 8 内 力 多 余 未 知 力 例 如 M B 端 的 弯 矩 为 求 得 后, 就 与 计 算 悬 臂 梁 一 样, 完 全 可 用 静 力 平 衡 条 件 来 确 定 其 反 力 和 q q 8 q q 8 最 后 弯 矩 图 和 剪 力 图 如 图 5 8g h 所 示 以 上 所 述 计 算 超 静 定 结 构 的 方 法 称 为 力 法 它 的 基 本 特 点 就 是 以 多 余 未 知 力 作 为 基 本 量, 并 根 据 基 本 体 系 上 相 应 的 位 移 条 件 将 多 余 未 知 力 首 先 求 出, 以 后 计 算 即 与 静 定 结 构 无 异 力 法 可 用 来 分 析 各 种 类 型 的 超 静 定 结 构 5 超 静 定 次 数 的 确 定 由 上 节 所 述 基 本 概 念 不 难 理 解, 在 一 般 情 况 下 用 力 法 计 算 超 静 定 结 构 时, 首 先 应 确 定 多 余 约 束 的 数 目, 亦 即 多 余 未 知 力 的 数 目 这 个 数 目 表 示 : 除 静 力 平 衡 方 程 之 外, 尚 需 补 充 多 少 个 反 映 位 移 条 件 的 方 程 以 求 解 多 余 未 知 力, 从 而 才 能 确 定 所 给 结 构 的 内 力 通 常 将 多 余 约

束 或 多 余 未 知 力 的 数 目 称 为 结 构 的 超 静 定 次 数 确 定 结 构 超 静 定 次 数 的 方 法 是, 去 掉 结 构 的 多 余 约 束, 使 原 结 构 变 成 一 个 静 定 的 结 构, 则 所 去 掉 约 束 的 数 目 即 为 结 构 的 越 静 定 次 数 下 面 结 合 具 体 例 子 加 以 说 明 图 5 9a 所 示 结 构, 如 果 将 链 杆 CD 切 断 ( 图 5 9b), 原 结 构 就 成 为 一 个 静 定 结 构, 因 为 一 根 链 杆 相 当 于 一 个 约 束, 所 以 这 个 结 构 具 有 一 个 多 余 约 束, 是 次 超 静 定 结 构 去 掉 多 余 约 束 使 超 静 定 结 构 成 为 静 定 结 构, 可 以 有 多 种 不 同 的 方 式 例 如 图 5 a 所 示 单 跨 梁, 可 以 把 B 支 座 链 杆 去 掉 而 使 结 构 成 为 静 定 的 悬 臂 梁 ( 图 5 b), 所 以 它 是 具 有 一 个 多 余 约 束 的 超 静 定 结 构 如 果 在 原 结 构 的 固 定 支 座 处, 将 阻 止 转 动 的 约 束 去 掉, 使 之 成 为 固 定 铰 支 座, 则 成 为 图 5 c 所 示 的 简 支 梁 因 固 定 支 座 相 当 于 三 个 约 束, 改 成 固 定 铰 支 座 就 相 当 于 去 掉 一 个 约 束, 这 时 与 所 去 约 束 相 对 应 的 多 余 未 知 力 则 是 固 定 端 截 面 的 弯 矩 对 于 同 一 个 超 静 定 结 构, 由 于 去 掉 多 余 约 束 的 方 式 不 同, 因 而 所 得 基 本 结 构 也 不 同, 但 是 所 去 多 余 约 束 的 数 目, 应 该 是 样 的 例 如 图 5 a 所 示 结 构, 虽 然 可 取 成 不 同 的 基 本 结 构, 但 都 只 有 一 个 多 余 约 束, 是 一 次 超 静 定 结 构 图 5 a 所 示 刚 架, 可 将 B 两 固 定 支 座 改 成 固 定 铰 支 座, 则 得 图 5 b 所 示 的 静 定 结 构, 所 以 是 两 次 超 静 定 的 也 可 去 掉 中 间 铰 C, 而 得 图 5 c 所 示 静 定 结 构 所 以 去 掉 个 联 结 两 刚 片 的 铰, 相 当 于 去 掉 两 个 约 束, 即 阻 止 铰 接 处 两 侧 截 面 发 生 相 对 水 平 位 移 和 相 对 竖 向 位 移 的 约 束 图 5 a 所 示 刚 架, 若 将 B 端 固 定 支 座 撤 去, 则 得 图 5 b 所 示 悬 臂 刚 架, 所 以 是 三 次 超 静 定 的 如 果 将 原 结 构 从 横 梁 中 间 切 断, 则 得 图 5 c 所 示 两 个 悬 臂 刚 架, 所 以 将 梁 式 杆 切 断, 就 相 当 于 去 掉 三 个 约 束, 即 阻 止 切 口 两 侧 截 面 发 生 相 对 水 平 位 移 和 相 对 竖 向 位 移 以 及 相 对 转 角 的 约 束 我 们 还 可 将 原 结 构 横 梁 的 中 点 及 两 支 座 处 改 成 铰 接, 得 图 5 一 d 所 示 三 铰 刚 架 所 以 凡 将 受 弯 杆 件 某 处 改 成 铰 接, 就 相 当 于 去 掉 一 个 约 束, 即 阻 止 该 处

两 侧 截 面 发 生 相 对 转 角 的 约 束 根 据 上 述 例 子 可 知, 在 结 构 上 去 掉 多 余 约 束 的 方 法, 通 常 有 如 下 几 种 : 切 断 一 根 链 杆, 或 者 撤 去 一 个 支 座 链 杆, 相 当 于 去 掉 一 个 约 束 将 固 定 支 座 改 成 固 定 铰 支 座, 或 者 将 受 弯 杆 件 某 处 改 成 铰 接, 相 当 于 去 掉 一 个 约 束. 去 掉 一 个 联 结 两 刚 片 的 铰, 或 者 撤 去 一 个 固 定 铰 支 座, 相 当 于 去 掉 两 个 约 束 4 将 梁 式 杆 切 断, 或 者 撤 去 一 个 固 定 支 座, 相 当 于 去 掉 三 个 约 束 应 用 上 述 去 掉 约 束 的 基 本 方 式, 可 以 确 定 任 何 结 构 的 超 静 定 次 数 例 如 图 5 a 所 示 结 构, 将 它 从 中 间 切 开, 就 成 为 图 5 b 所 示 的 静 定 结 构, 由 于 切 断 了 原 结 构 的 两 根 梁 式

杆, 所 以 相 当 于 去 掉 六 个 约 束, 故 结 构 是 六 次 超 静 定 的 值 得 指 出, 在 图 5 a 所 示 的 刚 架 中, 由 CD D E EC 四 根 杆 件 刚 性 联 结 起 来 的 封 闭 框 格 CDE, 必 须 将 它 从 某 一 截 面 处 切 开, 才 能 确 定 这 一 部 分 结 构 的 内 力 绝 不 能 认 为 将 图 5 a 所 示 结 构 撤 去 一 个 固 定 支 座 以 后 就 成 为 静 定 的 了, 因 为 这 样 去 掉 的 约 束 只 有 三 个, 而 这 时 CDE 部 分 的 内 力 仍 无 法 由 静 力 平 衡 条 件 确 定 由 于 去 掉 多 余 约 束 的 方 案 不 同, 同 一 结 构 的 基 本 结 构 就 会 有 不 同 的 形 式, 但 应 注 意, 得 到 的 基 本 结 构 必 须 是 几 何 不 变 的 为 了 保 证 基 本 结 构 的 几 何 不 变 性, 有 时 某 些 约 束 是 绝 对 不 能 去 掉 的 例 如 图 5 4 所 示 的 连 续 梁, 其 水 平 支 座 链 杆 就 绝 对 不 能 去 掉, 否 则 将 成 为 几 何 可 变 体 系 又 如 图 5 5 所 示 两 铰 拱, 其 任 竖 向 支 座 链 杆 也 绝 对 不 能 去 掉, 否 则 将 成 为 瞬 变 体 系 5 4 力 法 的 典 型 方 程 如 前 所 述, 用 力 法 计 算 超 静 定 结 构 是 以 多 余 未 知 力 作 为 基 本 未 知 量, 并 根 据 相 应 的 位 移 条 件 来 求 解 多 余 来 知 力 ; 待 多 余 未 知 力 求 出 后, 即 可 按 静 力 平 衡 条 件 求 其 反 力 和 内 力 因 此, 用 力 法 解 算 一 般 超 静 定 结 构 的 关 键 即 在 于 根 据 位 移 条 件 建 立 力 法 方 程 以 求 解 多 余 未 知 力 下 面 拟 通 过 个 三 次 超 静 定 的 刚 架 来 说 明 如 何 建 立 力 法 方 程 图 5 6a 所 示 刚 架 为 三 次 超 静 定 结 构, 分 析 时 必 须 去 掉 它 的 三 个 多 余 约 束 设 去 掉 固 定 支 座 B, 并 以 相 应 的 多 余 未 知 力 和 代 替 所 去 约 束 的 作 用, 得 到 图 5 一 6b 所 示 的 基 本 体 系 在 原 结 构 中, 由 于 B 端 为 固 定 端, 所 以 没 有 水 平 位 移 竖 向 位 移 和 角 位 移 因 此, 承 受 荷 载 和 三 个 多 余 未 知 力 作 用 的 基 本 体 系 上, 也 必 须 保 证 同 样 的 位 移 条 件, 即 B 点 沿 方 向 的 位 移 ( 水 平 位 移 ) 和 沿 位 移 ) 和 沿 方 向 的 位 移 ( 的 位 移 ) 都 应 等 于 零, 即,, 方 向 的 位 移 ( 竖 向 令 和 分 别 表 示 当 单 独 作 用 时, 基 本 结 构 上 B 点 沿 和 方

内 的 位 移 ( 图 5 6c); 和 分 别 表 示 当 单 独 作 用 时, 基 本 结 构 上 B 点 沿 和 方 向 的 位 移 ( 图 5 6d); 和 分 别 表 示 当 单 独 作 用 时, 基 本 结 构 上 B 点 沿 和 方 向 的 位 移 ( 图 5 ]6e); 和 分 别 表 示 当 荷 载 ( ) 单 独 作 用 时, 基 本 结 构 上 B 点 沿 和 方 向 的 位 移 ( 图 5 6f) 根 据 叠 加 原 理, 则 位 移 条 件 可 写 成 :

, + + +, + + +, + + + 这 就 是 根 据 位 移 条 件 建 立 的 求 解 多 余 来 知 力 和 的 方 程 组 这 组 方 程 的 物 理 意 义 为 : 在 基 本 体 系 中, 由 于 全 部 多 余 未 知 力 和 已 知 荷 载 的 作 用, 在 去 掉 多 余 约 束 处 ( 现 即 为 B 点 ) 的 位 移 应 与 原 结 构 中 相 应 的 位 移 相 等 在 上 列 方 程 中, 主 斜 线 ( 从 左 上 方 的 下 方 的 的 ) 上 的 系 数 ii 称 为 主 是 系 数, 其 余 的 系 数 ik 称 为 副 系 数 i 至 右 ( 如 和 ) 则 称 为 自 由 项 所 有 系 数 和 自 由 项, 都 是 基 本 结 构 中 在 去 掉 多 余 约 束 处 沿 某 一 多 余 未 知 力 方 向 的 位 移, 并 规 定 与 所 设 多 余 未 知 力 方 向 一 致 的 为 正 所 以, 主 系 数 总 是 正 的, 且 不 会 等 于 零, 而 副 系 数 则 可 能 为 正 为 负 或 为 零 根 据 位 移 互 等 定 理 可 以 得 知, 副 系 数 有 互 等 关 系, 即 ik ki 方 程 (5 ) 通 常 称 为 力 法 的 典 型 方 程 其 中 各 系 数 和 自 由 项 都 是 基 本 结 构 的 位 移, 因 而 可 根 据 第 四 章 求 位 移 的 方 法 求 得 系 数 和 自 由 项 求 得 后, 即 可 解 算 典 型 方 程 以 求 得 各 多 余 未 知 力, 然 后 再 按 照 分 析 静 定 结 构 的 方 法 求 原 结 构 的 内 力 对 于 n 次 的 超 静 定 结 构 来 说, 共 有 n 个 多 余 未 知 力, 而 每 一 个 多 余 未 知 力 对 应 着 一 个 多 余 约 束, 也 就 对 应 着 一 个 已 知 的 位 移 条 件, 故 可 按 n 个 已 知 的 位 移 条 件 建 立 n 个 方 程 : 当 已 知 多 余 未 知 力 作 用 处 的 位 移 为 零 时, 则 力 法 典 型 方 程 可 写 为 + + + i i + + n n + + + + i i + + n n + i + i + + ii i + + in n + i n + n + + ni i + + nn n + n

5 5 用 力 法 计 算 超 静 定 刚 架 图 5 7a 为 超 静 定 刚 架, 如 果 在 支 座 处 将 固 定 支 座 改 为 固 定 铰 支 座 ; 将 B 支 座 处 的 竖 向 支 座 链 杆 去 掉, 并 以 相 应 的 多 余 未 知 力 代 替 其 作 用, 则 得 到 图 5 7b 所 示 的 基 本 体 系 该 结 构 是 两 次 超 静 定 的 根 据 原 结 构 中 C 杆 的 端 不 能 转 动 以 及 原 结 构 B 点 不 可 能 发 生 竖 向 位 移, 得 出 应 满 足 的 位 移 条 件, 即 在 基 本 体 系 中 点 沿 方 向,B 点 沿 方 向 的 位 移 应 等 于 零, 于 是 可 写 出 力 法 典 型 方 程 如 下 : + + + + 其 中 各 系 数 和 自 由 项 的 物 理 意 义 示 于 图 5 7c d e 中 为 了 用 图 乘 法 求 得 各 系 数 和 自 由 顶, 作 出 单 位 弯 矩 图 M M 和 荷 载 弯 矩 图 如 图 5-8a b c 所 示 由 图 乘 法 算 得 M + 6 7 6 5 代 入 典 型 方 程 并 整 理 得 6 + 7 6 + 联 立 解 得

8 7 4 多 余 未 知 力 求 得 后, 最 后 弯 矩 图 可 按 叠 加 原 理 由 下 式 计 算 :

M M + M + 例 如,C 杆 C 端 的 弯 矩 为 ( 设 使 C 端 外 侧 受 拉 的 弯 矩 为 正 ) M M C 8 7 + 4 6 8 ( ) + 根 据 基 本 结 构 上 荷 载 和 各 多 余 未 知 力 作 用 的 情 况, 应 将 刚 架 的 弯 矩 图 分 为 三 段, 分 别 计 算 出 各 段 控 制 截 面 的 弯 矩 值 后, 即 可 作 出 最 后 弯 矩 图 如 图 5 8d 所 示 至 于 剪 力 图 和 轴 力 图, 在 多 余 未 知 力 求 得 后, 便 不 难 按 绘 制 静 定 结 构 内 力 图 的 方 法 作 出 剪 力 图 和 轴 力 图 示 于 图 5 L8e f 中 由 这 个 例 子 可 以 看 出, 在 荷 载 作 用 下, 如 果 结 构 中 各 根 杆 件 的 弹 性 模 量 E 相 同 ( 即 为 同 一 种 材 料 ), 则 结 构 的 内 力 只 与 各 杆 件 惯 性 矩 的 比 值 有 关 当 各 杆 所 用 材 料 不 同 时, 弹 性 模 量 E 就 不 能 从 计 算 式 中 消 去, 此 时 结 构 的 内 力 就 与 各 杆 的 抗 弯 刚 度 的 比 值 有 关 这 是 超 静 定 结 构 的 一 个 重 要 特 性 由 于 这 一 特 性 在 计 算 荷 载 作 用 下 结 构 的 内 力 时, 为 了 简 便 起 见, 各 杆 件 的 刚 度 可 采 用 其 比 值 根 据 以 上 所 述, 可 将 力 法 计 算 超 静 定 结 构 的 步 骤 归 纳 如 下 :. 确 定 基 本 未 知 量 数 目. 去 掉 结 构 的 多 余 约 束 得 出 一 个 静 定 的 基 本 结 构, 并 以 多 余 未 知 力 代 替 相 应 多 余 约 束 的 作 用. 根 据 基 本 体 系 在 多 余 未 知 力 和 原 有 荷 载 共 同 作 用 下, 多 余 未 知 力 作 用 点 沿 多 余 未 知 力 方 向 的 位 移 应 与 原 结 构 中 相 应 多 余 约 束 处 的 位 移 相 同 的 条 件, 建 立 力 法 典 型 方 程 为 此, 需 要 : () 作 出 基 本 结 构 的 单 位 内 力 图 和 荷 载 内 力 图 ( 或 列 出 内 力 的 表 达 式 ) () 按 照 求 位 移 的 方 法 计 算 系 数 和 自 由 项 4. 解 典 型 方 程, 求 出 各 多 余 未 知 力 5. 多 余 未 知 力 确 定 后, 即 可 按 分 析 静 定 结 构 的 方 法 绘 出 原 结 构 的 内 力 图 这 种 内 力 图 也 称 最 后 内 力 图 6. 校 核 对 最 后 内 力 图 进 行 校 核 可 分 两 步 第 一 步 是 静 力 平 衡 校 核, 就 是 取 结 点 或 结 构 中 某 一 部 分 为 隔 离 休, 检 查 它 们 是 否 平 衡 但 这 种 校 核 不 能 发 现 建 立 和 解 算 典 型 方 程 时 的 问 题 因 为

正 确 的 单 位 弯 矩 图 ( M 图 ) 和 荷 载 弯 矩 图 ( M i 图 ) 是 满 足 平 衡 条 件 的, 将 M 图 与 多 余 未 知 力 相 乘, 然 后 与 M 图 叠 加, 不 论 多 余 未 知 力 正 确 与 否, 其 结 果 仍 然 会 满 足 平 衡 条 件 i 第 二 步 是 位 移 条 件 的 校 核 为 此, 首 先 讨 论 超 静 定 结 构 的 位 移 计 算 问 题 如 已 知 图 5 7a 所 示 超 静 定 结 构 的 位 移 与 图 5 7b 所 示 基 本 体 系 的 位 移 相 等 为 了 简 便 计 算, 超 静 定 结 构 的 位 移 计 算 常 在 其 基 本 体 系 上 进 行 例 如 欲 计 算 原 结 构 ( 图 5 7a)CB 梁 中 点 的 竖 向 位 移, 便 可 转 换 为 求 图 5 7b 所 示 基 本 体 系 CB 梁 中 点 的 位 移 根 据 第 四 章 讨 论 的 计 算 位 移 的

单 位 荷 载 法, 将 虚 拟 力 作 用 于 基 本 结 构 上 即 得 计 算 位 移 的 虚 拟 状 态 ( 图 5 9) 由 于 基 本 结 构 是 静 定 的, 所 以 虚 拟 状 态 中 的 弯 矩 图 根 据 平 衡 条 件 即 可 绘 出 图 5 7b 所 示 基 本 体 系 的 弯 矩 图 也 就 是 原 结 构 的 弯 矩 图, 已 示 于 图 5 8d 中 将 图 5 9 和 图 5 8d 所 示 两 弯 矩 图 进 行 图 乘, 便 得 所 求 位 移 : 故 有 6 7 DV ( ) + 8 8 ( 6 8 84.87 ( ) 8 ) 上 述 超 静 定 结 构 的 位 移 计 算 方 法 的 优 点 在 于 虚 拟 状 态 是 静 定 的, 所 以 比 较 简 便 在 超 静 定 结 构 中, 当 通 过 力 法 计 算, 其 最 后 内 力 图 已 经 绘 出 来 了 以 后, 可 用 这 种 方 法 来 计 算 超 静 定 结 构 的 任 一 位 移 例 如 图 5 7a 所 示 刚 架 支 座 的 角 位 移 也 可 以 用 这 种 方 法 计 算 但 是 支 座 是 固 定 支 座, 其 角 位 移 应 等 于 零 这 时, 我 们 可 以 利 用 这 一 已 知 的 位 移 条 件, 校 核 所 求 得 的 最 后 内 力 图 图 5 7a 所 示 刚 架 中 支 座 的 角 位 移 等 于 图 5 7b 所 示 基 本 体 系 中 截 面 的 角 位 移 计 算 图 5 7b 所 示 基 本 体 系 中 截 面 的 角 位 移 时, 将 虚 拟 力 M 作 用 于 基 本 结 构 的 截 面, 便 得 到 计 算 该 位 移 的 虚 拟 状 态 图 5 8a 即 为 所 求 的 虚 拟 状 态 根 据 图 5 8a 与 图 5 8d 所 示 的 弯 矩 图 用 图 乘 法 计 算 截 面 的 角 位 移 ϕ, 如 果 图 5 8d

所 示 的 最 后 弯 矩 图 是 正 确 的, 则 ϕ 现 在 计 算 如 下 : ϕ 6 ( ) 8 8 由 此 可 知 该 位 移 条 件 得 到 满 足 基 本 体 系 中 ϕ, 就 是 用 力 法 计 算 图 5 7a 所 示 刚 架 时, 建 立 典 型 方 程 的 第 个 体 移 条 件 除 此 以 外, 还 用 到 了 基 本 体 系 中 B 点 的 竖 向 位 移 等 于 零 的 条 件 若 第 二 个 位 移 条 件 也 能 满 足, 则 可 证 明 最 后 弯 矩 图 ( 图 5 8d) 无 误 5 6 对 称 性 的 利 用 在 工 程 中 常 有 这 样 一 类 结 构, 它 们 不 仅 杆 件 轴 线 所 构 成 的 几 何 图 形 是 对 称 的, 而 且 杆 件 的 刚 度 及 支 撑 情 况 也 是 对 称 的, 这 类 结 构 称 对 称 结 构 例 如 图 5 a b 所 示 的 刚 架 就 是 两 个 对 称 结 构 平 分 对 称 结 构 的 中 线 称 为 对 称 轴 现 根 据 对 称 结 构 的 特 点 来 研 究 它 们 的 简 化 计 算 方 法 作 用 在 对 称 结 构 上 的 荷 载, 有 两 种 持 殊 的 情 况 例 如 图 5 所 示 对 称 刚 架, 若 将 各 部 分 绕 对 称 轴 转 8, 则 与 右 部 分 结 构 重 合 如 果 左 右 两 部 分 上 所 受 荷 载 的 作 用 线 重 合, 且 其 大 小 和 方 向 都 相 同 ( 图 5 a b), 则 这 种 荷 载 称 为 正 对 称 的 ; 如 果 左 右 两 部 分 上 所 受 的 荷 载 的 作 用 线 互 相 重 合 且 其 大 小 相 同, 但 方 向 恰 好 相 反 ( 图 5 c d), 则 这 种 荷 载 称 为 反 对 称 的 下 面 讨 论 图 5 a 所 示 对 称 结 构 受 正 对 称 荷 载 作 用 时 的 受 力 和 变 形 特 点. 并 由 此 得 出 其 简 化 和 计 算 方 法 现 将 刚 架 从 CD 的 中 点 截 面 K 处 切 开, 并 代 以 相 应 的 多 余 未 知 力 得 图 5

b 所 示 的 基 本 体 系 因 为 原 结 构 中 CD 杆 是 连 续 的, 所 以 在 K 处 左 右 两 边 的 截 面, 没 有 相 对 转 动, 也 没 有 上 下 和 左 右 的 相 对 移 动 据 此 位 移 条 件, 可 写 出 力 法 典 型 方 程 如 下 : + + + + + + + + + 以 上 方 程 组 的 第 一 式 表 示 基 本 体 系 中 切 口 两 边 截 面 沿 水 平 方 向 的 相 对 位 移 应 为 零 ; 第 二

式 表 示 切 口 两 边 截 面 沿 竖 直 方 向 的 相 对 位 移 应 为 零 ; 第 三 式 表 示 切 口 两 边 截 面 的 相 对 转 角 应 为 零 典 型 方 程 的 系 数 和 自 由 项 都 代 表 基 本 结 构 中 切 口 两 边 截 面 的 相 对 位 移, 例 如 在 单 独 作 用 下, 基 本 结 构 的 变 形 如 图 5 所 示, 为 切 口 两 边 截 面 的 相 对 水 平 位 移, 为 切 口 两 边 截 面 的 相 对 转 角,( 切 口 两 边 截 面 的 相 对 竖 向 位 移 ) 为 零, 图 中 没 有 画 出 为 了 计 算 系 数 和 自 由 项, 我 们 分 别 绘 出 单 位 弯 矩 图 和 荷 载 弯 矩 图 如 图 5 4 所 示 因 为 和 是 正 对 称 的 力, 所 以 M 和 M 图 都 是 正 对 称 图 形 而 是 反 对 称 的 力, 所 以 M 是 是 反 对 称 图 形 又 因 杆 件 的 刚 度 是 对 称 的, 所 以 按 这 些 图 形 来 计 算 系 数 时, 其 结 果 必 然 又 由 于 M 图 是 正 对 称 图 形, 所 以 这 样, 典 型 方 程 为 + +

+ + 由 方 程 组 的 第 三 式 可 得 由 第 一 二 两 式 则 可 解 出 和 根 据 上 述 分 析 可 知, 对 称 的 超 静 定 结 构, 如 果 从 结 构 的 对 称 轴 处 去 掉 多 余 约 束 来 选 取 对 称 的 基 本 结 构, 则 可 使 某 些 副 系 数 为 零, 从 而 使 力 法 的 计 算 得 到 简 化 如 果 荷 载 是 正 对 称 的, 则 在 对 称 的 基 本 体 系 上, 反 对 称 的 多 余 未 知 力 为 零 这 时, 作 用 在 对 称 的 基 本 结 构 上 的 荷 载 和 多 余 未 知 力 都 是 正 对 称 的, 故 结 构 的 受 力 和 变 形 状 态 都 是 正 对 称 的, 不 会 产 生 反 对 称 的 内 力 和 位 移 如 果 荷 载 是 反 对 称 的, 则 基 本 结 构 上 的 M 图 也 是 反 对 称 的, 将 它 与 对 称 的 M M 图 ( 图 5 4b d) 进 行 图 乘 时, 求 得 的 自 由 项 必 等 于 零 由 此 可 知, 正 对 称 的 多 余 未 知 力 将 等 于 零 于 是, 结 构 中 的 内 力 将 成 反 对 称 分 布, 变 形 状 态 也 必 然 是 反 对 称 的 据 此, 可 得 如 下 结 论 : 对 称 结 构 在 正 对 称 荷 载 作 用 下, 其 内 力 和 位 移 都 是 正 对 称 的 ; 在 反 对 称 荷 载 作 用 下, 其 内 力 和 位 移 都 是 反 对 称 的 利 用 上 述 结 论, 可 使 对 称 结 构 的 计 算 得 到 很 大 的 简 化 如 在 分 析 对 称 刚 架 时, 可 取 半 个 刚 架 来 进 行 计 算 下 面 就 图 5 5a c 所 示 奇 数 跨 和 偶 数 跨 两 种 对 称 刚 架 加 以 说 明 图 5 5a 所 示 对 称 刚 架, 在 正 对 称 荷 载 作 用 下, 其 变 形 和 内 力 只 能 是 正 对 称 分 布 的, 位 于 对 称 轴 上 的 截 面 C, 不 能 发 生 转 动 和 水 平 移 动, 只 能 发 生 竖 向 移 动 ; 该 截 面 上 的 内 力 只 可 能 存 在

弯 矩 和 轴 力, 不 存 在 剪 力 这 种 情 况 如 同 截 面 C 受 到 了 一 种 约 束, 可 以 用 一 个 定 向 支 座 形 象 地 表 示 这 种 约 束, 并 把 右 半 部 分 刚 架 弃 去, 则 得 到 图 5 5b 所 示 的 半 刚 架 定 向 支 座 约 束 了 截 面 C 的 转 动 和 水 平 移 动, 而 允 许 产 生 竖 向 移 动 ; 定 向 支 座 能 产 生 反 力 矩 和 水 平 反 力, 但 无 竖 以 反 力, 所 以 它 使 截 面 C 受 到 的 约 束, 与 原 来 的 情 况 完 全 相 同 因 此, 这 时 图 5 5b 所 示 刚 架 的 受 力 和 变 形 情 况 与 图 5 5 a 中 左 半 刚 架 的 情 况 完 全 相 同 图 5 5c 所 示 对 称 刚 架, 在 正 对 称 荷 载 作 用 下, 只 可 能 发 生 正 对 称 的 内 力 和 变 形, 因 此 柱 CD 只 有 轴 力 和 轴 向 变 形, 而 不 可 能 有 弯 曲 和 剪 切 变 形 由 于 在 刚 架 分 析 中, 一 般 不 考 虑 杆 件 轴 向 变 形 的 影 响, 所 以 对 称 轴 上 的 C 点, 不 可 能 发 生 任 何 位 移 分 析 时 截 面 C 处 约 束 如 同 固 定 支 座, 故 可 得 到 图 5 5d 所 示 半 刚 架 而 柱 CD 的 轴 力 即 等 于 图 5 5d 中 支 座 C 竖 向 反 力 的 两 倍 图 5 6a 所 示 对 称 刚 架 在 反 对 称 荷 载 作 用 下, 位 于 对 称 轴 的 C 截 面 上, 由 前 述 已 知 只 有 剪 力, 不 存 在 弯 矩 和 轴 力 同 时, 由 于 这 时 刚 架 的 变 形 是 反 对 称 的, 所 以 C 截 面 可 以 左 右 移 动 和 转 动, 但 不 会 产 生 竖 向 位 移 因 此, 截 取 半 刚 架 时 可 在 该 处 用 一 根 竖 向 链 杆 的 装 置 代 替 原 有 的 约 束 作 用 ( 图 5 6b) 图 5 6c 所 示 为 偶 数 跨 对 称 刚 架, 在 反 对 称 荷 载 作 用 下, 内 力 和 变 形 都 是 反 对 称 的, 为 了 取 出 半 刚 架, 设 想 将 处 于 对 称 轴 上 的 竖 柱 用 两 根 惯 性 矩 为 的 竖 柱 代 替 ( 图 5 6e) 将 其 沿 对 称 轴 切 开, 由 于 荷 载 是 反 对 称 的, 故 截 面 上 只 有 剪 力 ( 图 5 6f) 剪 力 仅 仅 分 别 在 左 右 柱 中 产 生 拉 力 和 压 力 又 因 求 原 柱 的 内 力 时, 应 将 两 柱 中 的 内 力 叠 加, 故 剪 力 QC QC

QC 对 原 结 构 的 内 力 和 变 形 无 影 响 于 是, 可 将 其 略 去 而 取 出 如 图 5 6d 中 所 示 的 半 刚 架 计 算 出 半 刚 架 的 内 力 后, 另 半 刚 架 的 内 力 利 用 对 称 性 即 不 难 确 定 若 对 称 刚 架 上 作 用 着 任 意 荷 载 ( 图 5 7a), 则 可 先 将 其 分 解 为 正 对 称 和 反 对 称 两 组 ( 图 5 7b c), 然 后 利 用 上 述 方 法 分 别 取 半 刚 架 计 算 最 后 将 两 个 计 算 结 果 叠 加, 即 得 原 结 构 的 内 力 [ 例 5 ] 图 5 8a 所 示 结 构, 常 数, 试 作 M 图 解 : 以 过 圆 心 的 水 平 和 竖 向 直 线 作 为 该 结 构 的 两 根 对 称 轴, 利 用 对 称 性 可 取 结 构 的 四 分 之 一 来 计 算, 如 图 5 8b 所 示 这 是 一 次 超 静 定 结 构, 图 5 8c 所 示 为 基 本 体 系, 力 法 典 型 方 程 为 + 对 于 曲 杆 结 构, 在 通 常 情 况 下, 曲 率 的 影 响 可 忽 略 不 计 在 位 移 计 算 中, 也 常 容 许 只 考 虑 弯 曲 变 形 一 项 的 影 响 由 图 5 8d e 可 知 M, M qr sin θ 则 由 公 式 M M ds 算 得 ( ds rdθ ): π rdθ πr π qr ( sin θ qr ) rdθ π qπr sin θdθ 8 所 以

qπr 8 πr qr 4 按 M, qr qr sin θ M + M 可 作 出 结 构 的 弯 矩 图, 如 图 5 9 所 示 4

5 7 用 力 法 计 算 铰 接 排 架 装 配 式 单 层 工 业 厂 房 的 主 要 承 重 结 构 是 由 屋 架 ( 或 屋 面 大 梁 ) 柱 子 和 基 础 所 组 成 的 横 向 排 架 ( 图 5 a) 计 算 横 向 排 架 就 是 对 柱 子 进 行 内 力 分 析 在 一 般 情 况 下, 可 认 为 联 系 两 个 柱 顶 的 屋 架 ( 或 屋 面 大 梁 ) 两 端 之 间 的 距 离 不 变, 而 将 它 看 作 是 一 根 抗 拉 ( 抗 压 ) 刚 度 无 限 大 ( 即 E ) 的 链 杆, 通 常 称 为 排 架 的 横 梁, 因 此, 图 5 a 所 示 横 向 排 架 的 计 算 简 图 如 图 5 b, 所 示, 称 之 为 铰 接 排 架 通 常 的 砖 木 结 构 厂 房 食 堂 等 也 可 简 化 为 铰 接 排 架 进 行 计 算 铰 接 排 架 是 超 静 定 结 构, 可 用 力 法 进 行 计 算 现 通 过 下 例 加 以 说 明 图 5 a 所 示 两 跨 不 等 向 排 架 ( E 常 数 ), 承 受 图 示 荷 载 的 作 用 注 意 到 横 梁 为 二 力 杆, 将 一 根 横 梁 截 断 相 当 于 去 掉 一 个 约 束, 截 断 两 根 横 梁 后 得 到 图 5 b 所 示 的 基 本 体 系 根 据 基 本 结 构 在 原 有 荷 载 和 多 余 未 知 力 共 向 作 用 下, 横 梁 切 口 处 两 侧 截 面 相 对 水 平 位 移 应 等 于 零 的 条 件, 可 写 出 力 法 典 型 力 程 为, + +, + + 为 了 求 得 各 系 数 和 自 由 项, 需 分 别 作 出 单 位 弯 矩 图 M M 和 荷 载 弯 矩 图 M ( 图 5 c d e) 注 意 到 横 梁 的 E, 故 在 计 算 系 数 时 不 要 考 虑 横 梁 轴 向 变 形 的 影 响 应 用 图 乘 法 求 得 各 系 数 和 自 由 项 如 下 :

解 得 将 各 系 数 和 自 由 项 代 入 典 型 方 程, 可 得 6.556 7. + 7.876 7. + 8.889 8. 4. 8kN ( 压 力 ),. 8kN ( 拉 力 )

按 式 M M + M + M 即 可 得 出 原 结 构 的 弯 矩 图, 如 图 5 f 所 示 5 8 等 截 面 单 跨 超 静 定 梁 的 杆 端 内 力 在 以 后 位 移 法 和 力 矩 分 配 法 等 的 计 算 过 程 中, 需 要 用 到 单 跨 超 静 定 梁 在 荷 载 作 用 下 以 及 杆 端 发 生 位 移 时 的 杆 端 内 力 这 些 内 力 简 称 为 杆 端 力, 可 用 力 法 求 得 为 了 表 达 明 确 和 计 算 方 便, 在 位 移 法 和 力 矩 分 配 法 中, 对 于 杆 端 弯 矩 恒 在 字 母 的 M 右 下 角 用 两 个 下 标 标 明 该 弯 矩 所 属 的 杆 件, 其 中 前 一 个 下 标 表 示 该 弯 矩 所 属 的 杆 端 例 如 图 5 所 示 的 B 梁, 其 端 的 弯 矩 以 M B 表 示, 而 B 端 的 弯 矩 则 以 M B 表 示 它 们 的 正 向 则 采 用 如 下 的 规 定 : 对 杆 端 而 言, 弯 矩 以 顺 时 针 方 向 为 正 ; 对 结 点 或 支 座 而 言, 则 以 逆 时 针 方 向 为 正 现 仍 以 图 5 所 示 的 梁 来 看 : 在 图 示 荷 载 作 用 下, 杆 端 弯 矩 的 实 际 方 向 如 图 所 示, 其 端 弯 矩 M 对 杆 端 为 逆 时 针 方 向, 对 支 座 则 为 顺 时 针 方 向, 与 正 向 规 定 恰 好 相 B 反, 故 为 负 值, 而 B 端 弯 矩 M B 的 实 际 方 向 则 与 正 向 规 定 相 符, 故 为 正 值, 显 然, 这 里 所 采 用 的 弯 矩 正 负 符 号 的 规 定 与 材 料 力 学 中 所 用 的 不 同, 应 加 注 意 至 于 杆 端 剪 力 除 采 用 两 个 下 标 标 明 所 属 的 杆 件 及 其 杆 端 外, 其 正 负 符 号 的 规 定 则 与 以 往 完 全 相 同 M B 对 单 跨 超 静 定 梁 仅 由 于 荷 载 作 用 所 产 生 的 杆 端 弯 矩, 通 常 称 为 固 端 弯 矩, 并 以 QB QB 表 示, 相 应 的 杆 瑞 剪 力 称 为 固 端 剪 力, 以 和 表 示 M B 在 以 后 的 两 章 中, 我 们 将 遇 到 图 5 所 示 的 三 种 类 型 的 等 截 面 单 跨 超 静 定 梁 下 面 着 和

重 对 两 端 固 定 梁 的 杆 端 内 力 计 算 进 行 讨 论 图 5 4a 所 示 等 截 面 单 跨 梁, 如 果 去 掉 固 定 支 座 B, 就 得 到 图 5 4b 所 示 的 悬 臂 梁, 所 以 了 ; 两 端 固 定 的 单 跨 梁 是 一 个 三 次 超 静 定 结 构 现 以 图 5 4b 所 示 的 悬 臂 梁 为 基 本 体 系, 以 多 余 未 知 力 和 代 替 所 去 约 束 的 作 用 由 于 对 受 弯 直 杆 来 说, 轴 向 变 形 相 对 于 弯 曲 变 形 是 次 要 的, 故 通 常 不 予 考 虑, 即 认 为 受 弯 直 杆 变 形 后 两 端 之 间 的 距 离 保 持 不 变 ( 称 为 受 弯 直 杆 假 定 ) 因 此, 可 略 去 不 计, 而 只 就 沿 和 方 向 的 位 移 条 件 来 建 立 求 解 多 余 未 知 力 和 的 方 程

原 结 构 中, B 点 处 不 可 能 发 生 转 角 和 竖 向 位 移, 按 此 位 移 条 件 可 写 出 力 法 典 型 方 程 为 + + + + 作 出 两 个 单 位 弯 矩 图 M M ( 图 5 一 c d) 和 荷 载 弯 矩 图 M ( 图 5 一 4e), 应 用 图 乘 法, 可 算 得 a a a a ( b + a) (b + 6 将 以 上 系 数 和 自 由 项 代 入 方 程, 并 消 去 a + a +, 得 ) a + + (b + a) 6 解 联 立 方 程 组, 得 a b a (, + b) 因 此, B 梁 B 端 的 弯 矩 和 剪 力 为 a b M B, QB a ( + b) 由 静 力 平 衡 条 件 可 求 得 端 的 弯 矩 和 剪 力 为 ab M B, QB b ( + a)

最 后 弯 矩 图 和 剪 力 图 如 图 5 4f g 所 示 根 据 上 面 的 结 果, 我 们 从 受 力 和 变 形 两 个 方 面, 将 单 跨 超 静 定 梁 ( 图 5 5a) 与 相 应 的 简 支 梁 ( 图 5 5b) 作 一 个 简 单 的 比 较 从 受 力 方 面 看, 在 简 支 梁 中, 各 截 面 都 承 受 正 弯 矩 ( 在

这 里, 为 了 比 较 清 晰, 仍 以 使 梁 下 缘 纤 维 受 拉 的 弯 矩 为 正 ), 使 梁 下 缘 纤 维 受 拉 在 超 静 定 梁 中, 由 于 多 余 约 束 的 存 在, 内 力 发 生 了 变 化, 在 弯 矩 图 中 出 现 了 弯 矩 为 零 的 C D 两 点, CD 范 围 内 梁 承 受 正 弯 矩, 使 梁 的 下 缘 纤 维 受 拉 整 根 梁 的 内 力 分 布 较 相 应 的 简 支 梁 均 匀, 且 弯 矩 的 绝 对 值 也 较 相 应 的 简 支 梁 为 小 从 变 形 方 面 看, 参 考 两 个 弯 矩 图, 可 画 出 两 根 梁 变 形 后 的 曲 线 大 致 如 图 中 虚 线 所 示 在 简 支 梁 中, 因 在 整 根 梁 的 范 围 内 都 是 下 缘 受 拉, 故 变 形 曲 线 向 下 凸 ; 而 在 超 静 定 梁 中, 两 弯 矩 零 点 之 间 即 CD 范 围 内, 因 是 下 缘 受 拉, 故 变 形 曲 线 向 下 凸,CD 范 围 外, 则 是 向 上 凸 梁 轴 线 上 与 弯 矩 零 点 相 对 应 的 点 称 为 反 弯 点, 变 形 曲 线 中 与 该 点 相 对 应 的 点 称 为 拐 点 图 5 6a 所 示 为 一 等 截 面 两 端 固 定 梁, 固 定 端 顺 时 针 转 动 一 角 度 ϕ 现 计 算 其 支 座 反 力 并 作 弯 矩 图 和 剪 力 图 同 前 面 一 样, 取 图 5 6b 所 示 的 基 本 体 系, 可 写 出 力 法 典 型 方 程 为 + + c + + c 为 了 求 得 各 系 数 和 自 由 项, 作 出 两 个 单 位 弯 矩 图 M 图 M 图 ( 图 5 6c d) c 分 别 为 基 本 结 构 支 座 转 动 ϕ 后,B 点 沿 方 向 的 转 角 和 沿 方 向 的 竖 向 位 移 按 式 (4 8) 计 算, 得 c Rc ( ϕ ) ϕ c Rc ( ϕ ) ϕ c 各 系 数 与 前 同 将 所 有 系 数 和 自 由 项 代 入 典 型 方 程, 可 得 + + ϕ + + ϕ 解 得 即 ϕ 6 ϕ,

M 由 静 力 平 衡 条 件 得 6 B ϕ, QB ϕ 6 4 QB ϕ, M B ϕ 最 后 弯 矩 图 和 剪 力 图 如 图 5 6e f 所 示 图 5 7a 所 示 等 截 面 两 端 固 定 梁, 在 垂 直 于 梁 轴 方 向 两 支 座 发 生 相 对 线 位 移 在 种 情 况 可 看 作 支 座 向 上 发 生 竖 向 位 移 或 支 座 B 向 下 发 生 竖 向 位 移 同 样 可 用 力 法 进 行 计 算, 并 可 作 出 其 弯 矩 图 和 剪 力 图 如 图 5 j7b c 所 示 B B B 这 对 于 一 端 固 定 另 端 铰 支 的 等 截 面 梁, 同 样 可 用 力 法 计 算 其 杆 端 力 为 广 便 于 今 后 应 用, 现 将 两 端 固 定 梁, 一 端 固 定 另 端 铰 支 梁 和 端 固 定 另 一 端 定 向 支 承 梁 在 常 见 的 外 因 ( 荷 载 作 用 支 座 转 动 和 支 座 移 动 ) 影 响 下 的 杆 端 力 数 值 列 于 表 5 中 一 端 固 定 另 一 端 定 向 支 承 的 等 截 面 梁, 是 在 对 称 性 的 利 用 中 由 于 取 结 构 的 半 来 计 算 时 所 遇 到 的 情 况 计 算 这 种 梁 时, 可 以 利 用 5 6 的 对 称 性 原 理, 将 其 视 为 某 两 端 固 定 梁 的 一 半, 从 而 转 变 为 计 算 两 端 固 定 单 跨 梁 的 问 题 例 如 图 5 8a 为 等 截 面 梁, 端 固 定, B 端 定 向 支 承, 端 发 生 单 位 转 角 闻 5 8b 为 抗 弯 刚 度 与 前 者 相 同, 但 跨 度 为 前 者 两 倍 的 两 端 固 定 梁, 两 端 正 对 称 地 发 生 单 位 转 角 由 对 称 性 原 理 可 知, 从 图 5 8b 所 示 梁 中 取 出 一 半, 跨 中 截 面 处 应 设 置 定 向 支 座, 于 是 就 得 到 图 5 8a 所 示 的 梁 图 5 8b 所 示 两 端 固 定 梁 的 杆 端 弯 距 可 由 表 5 得 出

其 中 M 4 ' i B i B 是 B 杆 的 抗 弯 刚 度 与 其 跨 度 之 比 值, 称 为 B 杆 的 线 抗 弯 刚 度 梁 ' 的 弯 矩 图 如 图 5 8c 所 示, 由 此 可 得 端 固 定 另 一 端 定 向 支 承 的 杆 端 弯 矩 为

M ib, B M B i B 这 种 梁 在 其 他 因 素 影 响 下 的 杆 端 力, 均 可 仿 此 求 得, 不 再 赘 述 当 单 跨 超 静 定 梁 受 到 各 种 荷 载 以 及 支 座 移 动 和 转 动 的 共 同 作 用 时, 其 杆 端 力 可 根 据 叠 加 原 理, 由 表 5 中 相 应 各 栏 的 杆 端 力 值 叠 加 而 得 对 于 图 5 9a 所 示 两 端 固 定 的 等 截 面 梁, 其 杆 端 弯 矩 和 剪 力 为

4 ϕ ϕ 6 B M B i + i B i + ϕ 4 ϕ 6 B M B i + i B i + i i i 6 ϕ 6 ϕ M M B B B QB B + + i i i 6 ϕ 6 ϕ B QB B + + QB QB 对 于 图 5 9b 所 示 端 固 定 B 端 铰 支 的 等 截 面 梁, 其 杆 端 弯 矩 和 剪 力 为 ϕ B M B i i + M B M B i i B QB ϕ + + + i i ϕ B QB + + + 式 (5 ) (5 4) (5 5) (5 6) 常 称 为 等 截 面 直 杆 的 转 角 位 移 方 程 它 表 达 了 杆 件 两 端 内 力 与 所 受 荷 载 以 及 两 端 的 位 移 之 间 的 关 系 上 述 公 式 中 关 于 杆 件 两 端 的 相 对 线 位 移 B 与 杆 长 的 比 值, 又 可 写 成 QB QB

β B B 并 称 为 杆 件 B 的 弦 转 角 关 于 公 式 中 ϕ ϕ B 的 正 负 符 号, 都 规 定 以 顺 时 针 方 向 转 动 为 正, B 而 则 以 使 整 个 杆 件 顺 时 针 转 动 的 为 正, 即 弦 转 角 以 顺 时 针 方 向 转 动 的 为 正 图 5 9 中 ϕ ϕ B B 或 β 都 为 正 向 B 上 述 转 角 位 移 方 程 虽 然 是 针 对 两 端 固 定 或 一 端 固 定 另 端 铰 支 的 等 截 面 梁 导 出 的, 但 它 们 所 表 示 的 杆 端 力 与 杆 端 位 移 及 荷 载 之 间 的 关 系 对 于 刚 架 中 任 何 根 等 截 面 受 弯 直 杆 来 说 都 足 适 用 的 如 图 5 4a 所 示 刚 架, 在 图 示 荷 载 作 用 下 其 变 形 曲 线 如 虚 线 所 示, 结 点 C 的 转 角 为 ϕ, 结 点 D 的 转 角 为 ϕ 根 据 前 述 受 弯 直 杆 假 定,C D 两 点 的 水 平 位 移 均 为 C D

而 这 两 点 的 竖 向 位 移 均 为 零 考 虑 到 各 杆 件 的 杆 端 位 移 应 与 相 应 的 结 点 位 移 相 同, 则 各 杆 件 的 变 形 状 态 及 受 力 情 况 分 别 如 图 5 4b c d 所 示. 因 此, C 杆 的 杆 端 弯 矩 可 按 式 (5 ) 或 查 表 5 写 出, 即 为 M C iϕ C 6i + M M C 4iϕ C 6i + M 式 中 等 号 右 边 三 项, 是 将 C 视 为 两 端 固 定 梁 时, 分 别 在 C C ϕ 和 均 布 荷 载 q C 三 种 外 因 单 独 作 用 下 的 杆 端 弯 矩 对 于 杆 件 CD, 水 平 位 移 只 使 它 发 生 刚 体 平 动, 不 引 起 内 力, 故 CD 杆 应 视 为 两 端 固 定 梁 在 ϕ 和 ϕ 两 种 外 因 作 用 下 的 情 况, 于 是 其 杆 端 弯 矩 为 C D M CD 4 iϕ + iϕ C D M DC iϕ + 4iϕ C D 对 于 DB 杆, 则 应 视 为 D 端 固 定, B 端 铰 支 的 梁 受 ϕ D 和 两 种 外 因 作 用, 故 有 M DB M BD iϕ D i 各 杆 的 杆 端 剪 力 可 按 相 应 公 式 或 查 表 得 出 还 应 掌 握 在 杆 端 弯 矩 求 出 后, 直 接 以 各 杆 件 为 隔 离 体, 由 平 衡 条 件 求 杆 端 剪 力 的 方 法 由 以 上 分 析 可 知, 若 刚 架 的 结 点 位 移 ( 如 图 5 4a 所 示 刚 架 的 ϕ ϕ ) 能 预 先 求 得, 则 可 计 算 出 各 杆 的 杆 端 弯 矩, 再 利 用 平 衡 条 件 即 可 求 得 杆 端 剪 力 及 任 一 截 面 中 的 内 力 下 一 章 的 位 移 法 就 是 以 结 点 位 移 作 为 基 本 未 知 量 来 解 算 超 静 定 结 构 的 一 种 方 法 思 考 题. 图 5 4b c 都 可 作 为 用 力 法 汁 算 图 5 4a 所 示 超 静 定 结 构 的 基 本 体 系, 试 问 分 别 用 这 两 种 基 本 体 系 计 算 时, 其 位 移 条 件 各 是 什 么? 并 分 别 写 出 其 力 法 典 型 方 程. 试 为 图 5 4 所 示 连 续 梁 选 取 计 算 最 为 简 便 的 力 法 基 本 结 构. 欲 使 力 法 解 算 超 静 定 结 构 的 工 作 得 到 简 化, 你 应 该 从 哪 些 方 面 去 考 虑 4. 试 选 出 图 5 4 所 示 超 静 定 结 构 的 半 结 构, 井 画 出 其 内 力 图 5. 试 问 图 5 44 所 示 连 续 梁 的 弯 矩 图 轮 廓 是 否 正 确? 为 什 么? C D

6. 超 静 定 结 构 在 支 座 位 移 作 用 下, 其 内 力 与 各 杆 件 的 刚 度 有 什 么 关 系? 习 题 5 试 确 定 图 示 结 构 的 超 静 定 次 数 5 试 用 力 法 计 算 下 列 结 构, 并 绘 出 弯 矩 图

5 试 利 用 可 能 简 便 的 方 法 计 算 图 示 对 称 结 构 的 内 力, 并 绘 出 弯 矩 图 5 4 试 用 力 法 计 算 图 示 组 合 结 构 中 各 链 杆 的 轴 力, 并 绘 出 横 梁 的 弯 矩 图 已 知 : 横 梁 4 4 的 kn m, 链 杆 的 E 5 kn ( 提 示 : B 杆 为 受 弯 杆 件, 只 需 考 虑 弯 曲 变 形 的 影 响, 其 余 各 杆 均 为 二 力 杆, 只 有 轴 向 变 形 的 影 响 ) 5 5 试 用 力 法 计 算 图 示 铰 接 排 架, 绘 出 其 弯 矩 图, 并 计 算 C 点 的 水 平 位 移 已 知 :

I I 5.77, I 4. m, E 5. 5Ga / 5 6 试 用 力 法 计 算 图 示 桁 架, 各 杆 E 常 数 5 7 试 求 题 5 图 a 中 C 点 的 竖 向 位 移 5 8 试 求 题 5 图 d 中 截 面 C 的 转 角 ϕ C