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概 率 统 计 中 的 反 例 前 言 第 一 章 随 机 事 件 及 其 概 率. 同 一 问 题 的 概 型 未 必 唯 一. 事 件 间 的 关 系 由 A B C 推 不 出 A B C 由 A B C 推 不 出 A B C 3 A BC AU B C 3. 概 率 为 零 的 事 件 未 必 是 不 可 能 的 事 件 4. 由 概 率 关 系 推 不 出 事 件 间 关 系 5. 试 验 次 数 多 概 率 就 一 定 大 吗? 6. 概 率 与 抽 样 方 式 是 否 有 关 7. 事 件 概 率 与 试 验 的 先 后 次 序 是 否 有 关 第 二 章 随 机 变 量 极 其 分 布. 离 散 型 分 布 的 最 可 能 值 是 否 唯 一. 单 调 不 降 右 连 续 是 分 布 函 数 的 必 要 而 非 充 分 条 件 3. 既 非 离 散 型 又 非 连 续 型 的 分 布 函 数 是 否 存 在 4. 具 有 无 记 忆 性 的 离 散 型 分 布 是 否 存 在 5. 不 几 乎 相 等 的 随 机 变 量 是 否 有 相 同 的 分 布 6. 联 合 分 布 与 其 边 缘 分 布 未 必 是 同 类 型 分 布 7. 边 缘 分 布 不 能 决 定 联 合 分 布 8. 不 同 的 联 合 分 布 可 具 有 相 同 的 边 缘 分 布 9. 正 态 边 缘 分 布 可 由 非 正 态 联 合 分 布 导 出. 均 匀 分 布 不 具 有 可 加 性. 分 布 函 数 之 和 不 是 分 布 函 数 第 三 章 独 立 性 与 相 关 性 相 容 性. 两 两 独 立 但 不 相 互 独 立. PABCPAPBPC 成 立 但 ABC 不 两 两 独 立 3. 独 立 关 系 不 具 有 传 递 性 4. 随 机 变 量 不 独 立 但 其 函 数 可 以 独 立 5. 与 不 独 立 但 与 独 立 6. 与 不 独 立 但 有 相 同 分 布 7. 既 不 相 关 也 不 独 立 的 随 机 变 量 8. 随 机 变 量 独 立 但 它 们 的 函 数 未 必 独 立 9. 独 立 性 与 相 容 性. 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 是 否 必 相 等. 有 函 数 关 系 的 随 机 变 量 是 否 一 定 不 独 立

第 四 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征. 随 机 变 量 的 数 学 期 望 未 必 都 存 在. 随 机 变 量 的 方 差 未 必 都 存 在 3. 数 学 期 望 存 在 但 方 差 不 存 在 4. 的 函 数 的 期 望 是 否 等 于 的 期 望 的 函 数 5. 的 各 阶 矩 都 存 在 也 不 能 确 定 的 分 布 函 数 6. 满 足 的 未 必 独 立 第 五 章 参 数 估 计 与 假 设 检 验. 矩 估 计 是 否 有 唯 一 性. 矩 估 计 不 具 有 不 变 性 3. 极 大 似 然 估 计 是 否 有 唯 一 性 4. 似 然 方 程 的 解 未 必 是 极 大 似 然 估 计 5. 参 数 估 计 的 无 偏 性 与 一 致 性 有 无 关 系 6. 无 偏 估 计 是 否 唯 一 7. 零 假 设 与 备 择 假 设 是 否 处 于 对 等 的 地 位

前 言 数 学 是 由 两 个 大 类 证 明 和 反 例 组 成 数 学 发 现 主 要 是 提 出 证 明 和 构 造 反 例 从 科 学 性 来 讲 反 例 就 是 推 翻 错 误 命 题 的 有 效 手 段 从 教 学 上 而 言 反 例 能 够 加 深 对 正 确 结 论 的 全 面 理 解 美 B.R. 盖 尔 鲍 姆 曾 说 一 个 数 学 问 题 用 一 个 反 例 予 以 解 决 给 人 的 刺 激 犹 如 一 出 好 的 戏 剧 相 信 读 了 概 率 统 计 中 的 反 例 后 我 们 大 家 都 会 有 这 一 同 感

第 一 章 随 机 事 件 及 其 概 率. 同 一 问 题 的 概 型 未 必 唯 一 概 型 Schema 是 随 机 现 象 的 数 学 形 式 它 不 是 实 际 本 身 而 是 实 际 的 数 学 抽 象 对 于 现 实 世 界 中 的 随 机 现 象 要 想 进 入 数 学 理 论 的 研 究 首 先 必 须 确 定 其 概 型 由 于 我 们 的 认 识 水 平 以 及 现 实 问 题 的 复 杂 性 使 得 所 选 定 的 概 型 往 往 不 是 唯 一 的 概 率 论 中 著 名 的 个 球 在 个 盒 子 中 的 分 布 问 题 见 王 梓 坤 概 率 论 基 础 及 其 应 用 P-3 科 学 出 版 社 就 说 明 了 这 一 情 况 这 是 一 个 典 型 概 型 的 问 题 内 容 是 : 设 有 r 个 球 每 个 都 能 以 相 同 概 率 / 落 到 个 盒 子 >r 的 每 一 个 盒 子 中 求 指 定 的 某 r 个 盒 子 中 各 有 一 个 球 的 概 率 如 果 我 们 把 r 各 球 视 作 r 个 人 而 把 个 盒 子 视 为 一 年 的 天 数 :365. 这 时 上 述 问 题 就 成 为 了 概 率 论 中 一 个 颇 为 著 名 问 题 的 概 型 此 问 题 是 求 参 加 某 次 集 会 的 几 个 人 中 没 有 个 人 生 日 相 同 的 概 率 众 所 周 知 关 于 球 彼 此 间 可 以 认 为 是 有 区 别 也 可 以 认 为 无 区 别 ; 一 个 盒 子 可 以 假 定 仅 能 容 纳 一 个 球 也 可 以 允 许 它 能 容 纳 许 多 球 如 此 一 来 就 可 以 分 为 以 下 几 种 概 型 : 马 克 斯 威 尔 - 波 尔 茨 曼 认 为 球 彼 此 之 间 有 区 别 且 对 每 盒 中 可 容 纳 球 数 不 加 限 制 ; 玻 色 - 爱 因 斯 坦 认 为 球 彼 此 不 能 区 别 且 对 每 盒 中 可 容 纳 球 数 不 加 限 制 ; 3 费 密 - 狄 雷 克 认 为 球 彼 此 无 区 别 且 限 制 每 盒 中 不 能 同 时 容 纳 二 个 球 后 来 为 了 统 一 以 上 三 种 情 况 又 产 生 了 第 四 种 情 况 4 布 里 龙 认 为 球 彼 此 可 以 区 别 且 增 加 了 一 些 其 他 条 件 限 制 见 杨 宗 磐 概 率 论 入 门 P.3 科 学 出 版 社 以 上 四 种 情 况 形 成 了 统 计 物 理 学 中 的 四 种 统 计 : 球 可 看 作 为 质 点 盒 子 看 作 状 态 再 看 一 例 : 个 人 围 成 一 个 圆 周 求 其 中 甲 乙 两 人 之 间 恰 有 r<- 个 人 的 概 率 圆 周 排 列 时 仅 考 虑 从 甲 到 乙 的 顺 时 针 方 向 对 此 问 题 至 少 可 找 到 三 种 概 型 来 处 理 即 可 以 构 造 如 下 的 三 种 随 机 试 验 : 个 人 的 任 意 一 种 排 列 作 为 一 个 基 本 事 件 ; 仅 以 甲 乙 两 人 在 个 人 一 行 中 的 不 同 排 法 作 为 基 本 事 件 组 ; 3 可 由 甲 与 乙 之 间 的 间 隔 数 来 考 虑 不 论 取 何 种 概 型 本 题 的 求 概 率 均 为 /-.. 事 件 间 的 关 系. 由 A B C 推 不 出 A B C 事 实 上 令 A{34}B{35} 于 是 CA-B{4} 而 B C { 345 } A 注 : 但 A B 时 能 由 A B C. 由 A B C 推 不 出 A B C A B C

令 A{35}B{}C{35} 则 A B C 但 A B { 35} C 注 : 当 B A C A 且 BC Φ 时 可 由 A B C AB C 3. 一 般 A BC A B C 令 A{}B{3}C{} 则 A BC {3} {3} A B C 注 : 当 AC φ 时 3. 概 率 为 零 的 事 件 未 必 是 不 可 能 事 件 A BC A B C 不 可 能 事 件 的 概 率 必 为 零 反 之 却 未 必 成 立 当 考 虑 的 概 型 为 古 典 概 型 时 概 型 为 零 的 事 件 一 定 是 不 可 能 事 件 当 考 虑 的 概 型 是 几 何 概 型 时 概 型 为 零 的 事 件 未 必 是 一 个 不 可 能 事 件 例 如 : 设 试 验 为 随 机 地 向 边 长 为 的 正 方 形 内 投 点 事 件 A 为 点 投 在 正 方 形 的 一 条 对 角 线 上 见 图 B O 此 时 Ω { y < y< } A { y < y< } 线 段 OB的 面 积 尽 管 P A 正 方 形 的 面 积 但 A 却 可 能 发 生 另 外 对 于 连 续 性 随 机 变 量 它 在 某 固 定 点 取 值 的 概 率 为 零 但 它 不 是 不 可 能 发 生 发 生 上 述 情 形 的 原 因 在 于 概 率 是 一 个 测 度 有 测 度 为 的 不 可 数 集 存 在 并 且 对 于 连 续 函 数 来 说 在 一 点 处 的 积 分 为 零 由 对 立 事 件 知 概 率 为 的 事 件 未 必 是 必 然 事 件 4. 由 概 率 关 系 推 不 出 事 件 间 关 系 概 率 中 有 这 样 的 性 质 : 若 事 件 AB 有 关 系 P A P B 反 之 却 不 真 例 如 : A B 则 其 相 应 的 概 率 关 系 是

设 PA.PB. P A B. 此 时 A B 不 成 立 事 实 上 由 P A B P A P B P AB 得 出 PAB.. 于 是 P AAB P A P AB 由 问 题 3 这 意 味 着 可 有 5. 试 验 次 数 多 概 率 就 一 定 大 吗 A AB φ 从 而 未 必 有 A B 在 概 率 论 的 萌 芽 时 期 有 一 个 著 名 的 Chevaler de Were 问 题 : 一 颗 骰 子 掷 4 次 至 少 得 一 个 点 与 两 颗 骰 子 掷 4 次 至 少 得 两 个 点 这 两 个 事 件 究 竟 哪 个 概 率 大? 曾 引 起 很 多 人 的 注 意 现 在 看 来 利 用 独 立 试 验 概 型 容 易 求 出 它 们 的 概 率 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 至 少 发 生 一 次 的 概 率 为 p 其 中 p PA lg 现 考 虑 欲 使 p 则 此 式 给 出 了 的 下 界 使 问 题 得 lg p 以 解 决 以 掷 一 颗 骰 子 作 试 验 要 连 续 掷 次 使 点 至 少 出 现 一 次 的 概 率 大 于 等 于 / 则 3. 8. 以 掷 两 颗 骰 子 作 试 验 要 连 续 掷 次 使 两 个 点 至 少 出 现 一 次 的 概 率 大 于 等 于 / 则 4. 6. 由 此 得 出 一 颗 骰 子 掷 4 次 至 少 有 一 个 点 的 概 率 大 于 等 于 / 而 两 颗 骰 子 掷 4 次 至 少 有 一 次 得 两 个 点 的 概 率 小 于 /. 本 例 说 明 试 验 次 数 很 多 但 概 率 不 一 定 大 6. 概 率 与 抽 样 方 式 是 否 有 关 一 般 所 求 事 件 的 概 率 与 抽 样 方 式 有 关 常 见 的 有 放 回 抽 样 与 不 放 回 抽 样 两 种 前 者 指 同 一 个 体 可 被 重 复 抽 取 后 者 指 已 被 抽 取 的 个 体 不 再 参 与 下 一 此 抽 样 每 一 个 体 至 多 被 抽 到 一 次 例 如 有 件 产 品 其 中 有 m 件 次 品 现 随 机 抽 取 l 件 产 品 求 其 中 恰 有 k 件 次 品 的 概 率 在 抽 样 方 式 未 定 的 情 况 下 此 概 率 是 不 唯 一 的 事 实 上 : k m k m lk 若 取 放 回 抽 样 所 求 概 率 p Cl k lk CmCm 若 取 不 放 回 抽 样 所 求 概 率 p l C 显 然 p p k Lm m l 分 别 称 为 二 项 分 布 与 超 几 何 分 布 当 时 即 二 项 分 布 是 超 几 何 分 布 的 极 限 分 布 由 此 得 出 如 下 结 论 : 对 于 样 本 点 个 数 较 小 的 总 体 在 放 回 抽 样 与 不 放 回 抽 样 的 场 合 事 件 的 概 率 会 有 较 大 的 差 别 当 总 体 中 样 本 点 个 数 很 大 样 本 容 量 不 大 时

这 两 种 抽 样 方 式 对 所 求 事 件 的 概 率 实 际 上 影 响 不 大 7. 事 件 概 率 与 试 验 的 先 后 次 序 是 否 有 关 设 有 一 口 袋 内 有 a 只 黑 球 b 只 白 球 他 们 除 颜 色 不 同 外 没 有 其 它 不 同 之 处 现 把 球 一 只 只 地 摸 出 求 第 k 次 摸 出 的 是 黑 球 的 概 率 k a b. 初 看 题 目 很 可 能 会 认 为 所 求 概 率 与 摸 球 次 序 有 关 若 那 样 的 话 体 育 比 赛 中 先 后 抽 签 者 中 签 的 机 会 就 不 均 等 了 这 与 我 们 日 常 生 活 中 的 经 验 不 符 通 过 具 体 计 算 亦 可 看 出 所 求 概 率 与 摸 球 次 序 无 关 按 自 然 顺 序 给 球 编 号 不 妨 先 给 黑 球 编 号 再 给 白 球 编 号 取 样 空 间 为 第 k 次 摸 出 的 球 的 全 部 可 能 的 结 果 则 Ω } ω 表 示 第 k 次 摸 出 第 I 号 球 ω ω L ω { a b L a b 于 是 要 求 的 是 事 件 A ω ω L ω } 的 概 率 由 古 典 概 率 { a a P A PA 显 然 与 k 有 关 a b 本 题 可 用 多 种 方 法 求 解 这 里 介 绍 的 是 最 简 单 的 一 种 本 题 存 在 多 种 解 法 的 原 因 在 于 一 个 随 机 现 象 有 时 可 用 不 同 的 样 本 空 间 来 描 述 所 以 称 本 解 法 是 最 简 单 的 因 为 解 法 中 的 样 本 空 间 是 最 小 的 第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布. 离 散 型 分 布 的 最 可 能 值 是 否 唯 一 离 散 型 分 布 的 最 可 能 值 指 的 是 该 随 机 变 量 取 值 中 那 些 使 概 率 达 到 最 大 的 值 即 若 任 意 一 个 离 散 型 分 布 p p L L p L 若 p sup L L L k p p p 则 称 为 此 分 布 的 最 可 能 值 k. 一 般 离 散 型 分 布 的 最 可 能 值 不 唯 一 比 如 : 二 项 分 布 Bp 中 当 p 为. 非 负 整 数 时 恰 有 两 个 最 可 能 值 : p 与 p. 如 二 项 分 布 B8/3 其 最 可 能 值 为 k 或 3. 可 以 证 明 任 何 离 散 型 分 布 的 最 可 能 值 一 定 存 在 而 且 至 少 有 一 个 证 明 见 王 梓 坤 概 率 论 基 础 及 其 应 用 科 学 出 版 社

. 单 调 不 降 右 连 续 是 分 布 函 数 的 必 要 条 件 分 布 函 数 一 定 是 单 调 不 降 右 连 续 的 函 数 反 之 命 题 不 成 立 例 如 取 < F < F 显 然 是 调 调 不 降 函 数 且 右 连 续 可 是 F 所 以 F 不 可 能 是 某 个 随 机 变 量 的 分 布 函 数 因 为 只 有 当 一 个 函 数 满 足 单 调 不 见 非 负 有 界 F F 且 右 连 续 或 左 连 续 时 才 能 成 为 某 个 随 机 变 量 的 分 布 函 数 3. 既 非 离 散 型 又 非 连 续 型 的 分 布 函 数 是 否 存 在 如 果 一 个 分 布 函 数 F 是 连 续 的 并 且 其 导 函 数 几 乎 处 处 等 于 零 关 于 勒 贝 格 测 度 而 言 则 称 F 为 奇 异 型 分 布 函 数 如 果 随 机 变 量 的 分 布 函 数 是 奇 异 型 的 则 称 为 奇 异 型 随 机 变 量 任 何 一 个 奇 异 型 的 分 布 函 数 都 是 一 个 既 非 离 散 型 又 非 连 续 型 的 分 布 函 数 有 没 有 非 奇 异 型 的 分 布 函 数 属 于 既 非 离 散 型 又 非 连 续 型 的 分 布 函 数? < 有 请 看 下 例 : 设 F < 由 分 布 函 数 的 定 义 又 知 F 是 ' 分 布 函 数 又 F 故 F 不 是 奇 异 型 的 分 布 函 数 与 F 对 应 的 随 机 变 量 不 是 取 有 限 个 或 可 列 多 个 值 故 F 不 是 离 散 型 的 分 布 函 数 又 ' d F d 故 F 也 不 是 连 续 的 分 布 函 数 4. 具 有 无 记 忆 性 的 离 散 型 分 布 是 否 存 在 d 设 随 机 变 量 服 从 某 个 分 布 若 它 满 足 P > s t > s P > t 则 称 概 分 布 具 有 无 记 忆 性 对 于 连 续 型 分 布 来 说 指 数 分 布 是 唯 一 的 具 有 无 记 忆 性 的 证 明 可 见 复 旦 大 学 概 率 论 人 们 教 育 出 版 社 P.5-6 在 可 靠 性 问 题 中 把 理 解 为 某 元 件 的 寿 命 则 无 记 忆

性 表 示 某 元 件 的 寿 命 如 果 已 知 大 于 5 年 则 其 寿 命 再 延 长 七 年 的 概 率 与 年 令 无 关 具 有 无 记 忆 性 的 离 散 型 分 布 也 是 存 在 且 唯 一 的 那 就 是 几 何 分 布 P k p p k k L 几 何 分 布 是 一 种 等 待 分 布 例 如 在 事 件 A 发 生 的 概 率 为 p 的 贝 努 里 试 验 之 中 A 首 次 出 现 时 的 等 待 次 数 的 分 布 为 几 何 分 布 5. 不 几 乎 相 等 的 随 机 变 量 是 否 有 相 同 的 分 布 若 两 个 随 机 变 量 满 足 P 则 称 与 几 乎 相 等 可 以 证 明 : 几 乎 相 等 的 随 机 变 量 具 有 相 同 的 分 布 反 之 都 不 成 立 例 如 设 与 具 有 相 同 的 分 布 并 设 与 相 互 独 立 据 此 可 算 得 P 从 而 P 即 与 不 几 乎 相 等 所 以 不 几 乎 相 等 得 随 机 变 量 可 以 有 相 同 的 分 布 6. 联 合 分 布 与 其 边 缘 分 布 未 必 是 同 类 型 分 布 我 们 知 道 二 维 正 态 分 布 的 边 缘 分 布 仍 为 正 态 分 布 多 项 分 布 的 边 缘 分 布 亦 为 多 项 分 布 那 么 联 合 分 布 与 边 缘 分 布 是 否 都 是 为 同 类 型 分 布 呢? 答 案 是 否 定 的 例 如 二 维 均 匀 分 布 的 边 缘 分 布 可 以 仍 是 均 匀 分 布 也 可 以 不 是 均 匀 分 布 边 与 坐 标 轴 平 行 的 矩 形 域 上 的 二 维 均 匀 分 布 的 边 缘 分 布 仍 是 均 匀 分 布 而 圆 域 上 的 二 维 均 匀 分 布 的 边 缘 分 布 不 再 是 均 匀 分 布 7. 边 缘 分 布 不 能 决 定 联 合 分 布 一 般 边 缘 分 布 由 联 合 分 布 所 决 定 反 之 不 真 µ µ ρ µ µ 例 如 : ~ N ; ; 则 有 ~ N ~ N µ µ 反 之 已 知 ~ N ~ N 却 得 不 出 一 定 是 二 维 µ 正 态 分 布 的 结 论 若 添 加 与 相 互 独 立 的 条 件 则 可 得 ~ N ; ; 除 连 续 型 分 布 外 还 可 举 出 离 散 型 分 布 的 例 子 µ

8. 不 同 的 联 合 分 布 可 具 有 相 同 的 边 缘 分 布 如 下 二 个 相 异 的 联 合 分 布 :....5 它 们 的 边 缘 分 布 完 全 相 同.5.5.5.55 P.3.7 P.3.7 由 此 可 见 边 缘 分 布 由 联 合 分 布 唯 一 决 定 反 之 不 成 立 除 离 散 型 分 布 外 还 可 举 出 连 续 型 分 布 的 例 子 9. 正 态 边 缘 分 布 可 由 非 正 态 联 合 分 布 导 出 正 态 分 布 具 有 许 多 好 的 性 质 其 中 之 一 是 : 二 维 正 态 分 布 的 边 缘 分 布 仍 是 正 态 分 布 反 之 两 边 缘 分 布 都 是 正 态 分 布 起 联 合 分 布 未 必 是 正 态 分 布 例 如 : y 设 ~ y e ssy < y< π 则 y dy e < < π y y y d e < π y< 即 ~N. ~N. 显 然 并 不 服 从 联 合 正 态 分 布. 均 匀 分 布 不 具 有 可 加 性 若 独 立 同 分 布 的 两 随 机 变 量 之 和 仍 服 从 原 分 布 则 称 该 分 布 具 有 可 加 性 可 以 证 明 二 项 分 布 泊 松 Posso 分 布 正 态 分 布 均 具 有 可 加 性 而 均 匀 分 布 不 具 有 这 个 性 质 设 相 互 独 立 且 都 服 从 ab 上 的 均 匀 分 布 令 Z 则 Z 的 密 度 函 数 为 :

Z a Z ba bz ba Z < a Z b az < a b a bz < b 可 见 Z 服 从 辛 卜 生 Smpso 分 布 不 再 是 均 匀 分 布. 分 布 函 数 之 和 不 是 分 布 函 数 设 FG 均 为 分 布 函 数 其 和 H F G 显 然 不 是 分 布 函 数 因 为 此 时 H F G 若 令 J α F βg 当 非 负 实 数 满 足 α β 时 J 可 作 为 某 随 机 变 量 的 分 布 函 数 证 明 见 王 梓 坤 概 率 论 基 础 及 其 应 用 P46 顺 便 指 出 : 分 布 函 数 之 积 必 是 分 布 函 数. 第 三 章 独 立 性 与 相 关 性 相 容 性. 两 两 独 立 但 不 相 互 独 立 例 设 有 一 个 均 匀 的 正 四 面 体 第 一 二 三 面 分 别 涂 上 红 黄 兰 一 种 颜 色 第 四 面 涂 上 红 黄 兰 三 种 颜 色 现 以 ABC 分 别 记 投 一 次 四 面 体 底 面 出 现 红 黄 兰 颜 色 的 事 件 则 P A P B P C P AB P AC P BC 4 所 以 ABC 两 两 独 立 但 P ABC P A P B P C 4 8 因 而 ABC 不 相 互 独 立 例 设 有 四 张 形 状 大 小 质 量 完 全 一 样 的 卡 片 上 面 分 别 标 有 数 字 现 从 四 张 卡 片 中 任 抽 一 张 以 随 机 变 量 Z 分 别 表 示 抽 到 卡 片 上 的 第 一 二 三 位 数 字 则 P P P P Z P Z P Z 4 所 以 Z 两 两 独 立 但 P Z P P P Z 8

因 而 Z 不 相 互 独 立. PABCPAPBPC 成 立 但 ABC 不 两 两 独 立. 设 有 一 均 匀 正 八 面 体 其 第 34 面 涂 有 红 色 第 35 面 图 黄 色 第 678 面 涂 兰 色 现 以 ABC 分 别 表 示 投 一 次 正 八 面 体 底 面 出 现 红 黄 兰 颜 色 的 事 件 则 P A P B P C P ABC 8 P A P B P C 3 但 是 P AB P A P B 8 4 P AC P A P C 8 4 P BC P B P C 8 4 所 以 ABC 不 两 两 独 立 3. 独 立 关 系 不 具 有 传 递 性 设 三 事 件 ABC 若 由 A 与 B 独 立 且 B 与 C 独 立 得 到 A 与 C 独 立 我 们 就 称 ABC 的 独 立 关 系 具 有 传 递 性 考 虑 有 两 个 孩 子 和 家 庭 全 体 假 定 生 男 生 女 是 等 可 能 的 因 而 样 本 空 间 Ω { b b b g g b g g} 其 中 b 为 男 孩 g 为 女 孩 每 一 对 里 的 次 序 是 指 出 生 的 次 序. 现 在 从 全 体 有 两 个 孩 子 的 家 庭 中 随 机 地 选 择 一 个 家 庭 并 考 虑 下 面 三 个 事 件 : A 为 第 一 个 孩 子 是 男 孩 B 为 两 个 孩 子 不 同 性 别 C 为 第 一 个 孩 子 是 女 孩 则 有 AB { b g} BC { g b} AC Φ P AB P A P B P BC P B P C 4 4 即 A 与 B 独 立 B 与 C 独 立 但 是 P AC P A P C 4 因 此 A 与 C 不 独 立. 顺 便 指 出 不 独 立 关 系 也 不 具 有 传 递 性 即 若 AB 不 独 立 BC 不 独 立 则 AC 可 以 独 立 考 察 掷 三 枚 均 匀 硬 币 的 试 验 A 为 全 正 面 或 全 反 面 B 为 至 多 两 个 正 面 C 为 至 多 一 个 正 面 试 验 的 样 本 空 间 为

Ω { HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT} 其 中 H 表 示 正 面 T 表 示 反 正 容 易 算 出 : 7 P A P B P C P AB P BC P AC 4 8 8 8 于 是 有 7 P AB P A P B 8 3 7 P BC P B P C 6 P AC P A P C 8 可 见 AB 不 独 立 BC 不 独 立 AC 却 独 立. 4. 随 机 变 量 不 独 立 但 其 函 数 可 以 独 立 正 态 分 布 有 个 特 性 : 任 何 > 维 正 态 随 机 变 量 可 由 坐 标 轴 的 旋 转 转 变 为 一 组 几 个 独 立 的 正 态 随 机 变 量. 参 见 丁 寿 田 译 的 前 苏 联 概 率 论 教 程 P57 例 如 即 使 不 独 立 当 服 从 二 维 正 态 分 布 令 Z cos s W s cos 则 ZW 仍 服 从 二 维 正 态 分 布 其 联 合 密 度 函 数 为 : Z W e π ρ ρ 只 要 适 当 地 选 择 : tg AZ BZW CW ρ 则 B 此 时 Z 与 W 独 立 5. 与 不 独 立 但 与 独 立 若 随 机 变 量 与 独 立 则 与 必 相 互 独 立 其 逆 不 真 例 如 : 设 的 联 合 密 度 函 数 为 y y 4 < y < 其 他 F P uy dy du 4 < <

F F y y y y< y< y y y < 或 y< < y y< < y< y 对 于 一 切 y 恒 有 F y F F 所 以 与 相 互 独 立 y < 其 他 y y < 其 他 显 然 y y 所 以 与 不 独 立. 6. 与 不 独 立 但 有 相 同 分 布 观 察 如 下 的 的 联 合 分 布 及 其 边 缘 分 布 的 分 布 /9 /6 /9 7/8 /6 /3 / /9 /9 的 分 布 7/8 / /9 由 于 P PP j 3 j j 故 与 不 独 立 但 与 的 分 布 显 然 相 同. 7. 既 不 相 关 也 不 独 立 的 随 机 变 量 若 随 机 变 量 相 互 独 立 则 不 相 关 反 之 不 真 这 方 面 的 反 例 很 多 离 散 型 与 连 续 型 各 举 一 例.

例. 设 的 分 布 为 : - - /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 容 易 验 证 cov 不 相 关 P PP j 3 不 独 立. j j 例. 设 服 从 单 位 圆 域 上 的 均 匀 分 布 但 其 密 度 函 数 y π 容 易 验 证 y y > cov 不 相 关 y y 不 独 立. 8. 随 机 变 量 独 立 但 它 们 的 函 数 未 必 独 立 设 Z W g. 为 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ZW 独 立 的 例 子 设 独 立 且 有 相 同 分 布 N 取 Z W 则 ZW 的 联 合 密 度 为 z z w e z π ω z z< 边 缘 密 度 为 Z z z e z z z< W w < w< π w 则 z w z w Z W

故 Z 与 W 独 立 ZW 不 独 立 的 例 子 设 不 独 立 且 都 服 从 如 下 分 布 / 6 / 6 3 / 6 4 / 6 5 / 6 6 / 6 取 Z W 此 时 Z 与 W 或 者 同 为 奇 数 或 者 同 为 9. 独 立 性 与 相 容 性 偶 数 所 以 Z 与 W 不 独 立. 独 立 性 是 问 题 间 的 概 率 属 性 相 容 性 是 事 件 间 本 身 的 关 系 由 第 一 章 4 可 知 由 概 率 关 系 推 不 出 事 件 间 关 系 所 以 由 独 立 性 推 不 出 不 相 容 性 看 如 下 一 个 命 题 : 若 AB 为 两 个 独 立 事 件 且 P A > P B > 且 AB 不 能 不 相 容 用 反 证 法 证 明 此 命 题 若 AB Φ 则 P AB 由 AB 独 立 且 P A > P B > 得 P AB P A P B > 矛 盾 因 而 AB Φ 可 见 在 题 设 条 件 下 A 与 B 独 立 同 A 与 B 互 不 相 容 不 能 同 时 成 立 但 若 AB 中 有 一 个 概 率 为 则 A 与 B 独 立 同 A 与 B 互 不 相 容 可 同 时 成 立. 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 是 否 必 相 等 设 互 相 独 立 且 都 服 从 两 点 分 布 则 未 必 有 / / 事 实 上 由 的 独 立 性 有 P P P P P P P 4 4 显 然 不 是 必 然 事 件.. 有 函 数 关 系 的 随 机 变 量 是 否 一 定 不 独 立 考 验 如 下 三 个 随 机 变 量 和 Z: 假 定 与 独 立 且 都 服 从 参 数 为 p 的 - 分 布 令 Z 为 与 的 函 数 为 偶 数 Z 为 奇 数

由 于 独 立 可 得 的 联 合 分 布 律 p p p Z 的 概 率 分 布 为 : p p p p Z 的 联 合 分 布 率 为 p p Z Z 的 分 布 p p p p 的 分 布 p p p p p p p p 显 然 当 P/Z 与 相 互 独 立 可 见 尽 管 Z 与 之 间 存 在 函 数 关 系 但 它 们 可 以 相 互 独 立. 第 四 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征. 随 机 变 量 的 数 学 期 望 未 必 都 存 在 在 数 学 期 望 的 定 义 中 要 求 级 数 绝 对 收 敛 或 积 分 绝 对 可 积 我 们 知 道 绝 对 收 敛 的 级 数 一 定 收 敛 绝 对 可 积 的 函 数 一 定 可 积 反 之 都 不 真 故 有 数 学 期 望 不 存 在 的 随 机 变 量 存 在 离 散 的 例 子 设 随 机 变 量 取 值 k L pk k 由 于 p k k k k k k k k k L 相 应 的 概 率 为 所 以 的 数 学 期 望 不 存 在 k k 然 而 k pk L l k 3 4 k k

若 把 上 式 左 边 级 数 中 的 各 项 进 行 重 排 会 收 敛 到 不 同 的 数 3 例 如 : L l 3 5 7 4 L l 4 3 6 8 一 个 随 机 变 量 的 数 学 期 望 只 能 是 一 个 数 因 此 数 学 期 望 定 义 中 要 求 的 绝 对 收 敛 是 必 要 的 它 们 可 以 保 证 顺 序 的 变 化 不 影 响 数 学 期 望 中 级 数 的 收 敛 性 连 续 的 例 子 见 教 材 P.4 例 5 柯 西 Cauchy 分 布 k. 随 机 变 量 的 方 差 未 必 都 存 在 按 定 义 D 由 于 方 差 被 定 义 为 一 种 特 殊 形 式 即 随 机 变 量 的 函 数 的 数 学 期 望 而 随 机 变 量 及 随 机 变 量 函 数 的 数 学 期 望 都 未 必 存 在 所 以 随 机 变 量 的 方 差 也 未 必 存 在 本 章 中 所 举 两 例 中 的 随 机 变 量 的 方 差 都 不 存 在. 3. 数 学 期 望 存 在 但 方 差 不 存 在 参 数 为 的 t 分 布 的 密 度 函 数 是 Γ πγ 设 随 机 变 量 ~t 则 其 密 度 函 数 < < 3 4 d 的 数 学 期 望 不 存 在 所 以 的 方 差 不 存 在 r 关 于 t 分 布 其 矩 有 一 个 特 点 当 r< 时 有 矩 但 不 存 在 而 且 当 > 时 D 故 在 时 D. 4. 的 函 数 的 期 望 是 否 等 于 的 期 望 的 函 数 一 般 [ ] [ ] 例 如 : 设 服 从 如 下 分 布 : / 4 / 4 / 4 / 4

3 再 设 { } 于 是 随 机 变 量 函 数 ~ 3/ 4 6 / 4 3 故 得 [ ] 由 于 / 可 得 [ ] [ ] [ ] 3 3 所 以 8 5. 的 各 阶 矩 都 存 在 也 不 能 确 定 的 分 布 函 数 若 已 经 属 于 某 个 分 布 且 又 知 道 其 某 些 矩 便 可 确 定 的 分 布 函 数 比 如 知 道 一 阶 原 点 矩 即 数 学 期 望 就 能 确 定 - 分 布 的 泊 松 分 布 指 数 分 布 的 分 布 函 数 若 进 一 步 还 知 道 二 阶 中 心 矩 便 能 确 定 二 项 分 布 均 匀 分 布 正 态 分 布 的 分 布 函 数 由 此 是 否 能 推 断 : 知 道 的 各 阶 矩 就 一 定 能 确 定 的 分 布 函 数 呢? 回 答 是 否 定 的 事 实 上 存 在 着 不 同 的 分 布 函 数 其 各 阶 矩 都 一 样 例 如 设 随 机 变 量 与 的 密 度 函 数 分 别 是 ce a cosaπ > a c[ s cosaπ ] > 其 中 <a</ c acosaπ Γ a a 显 然 从 而 与 各 自 的 分 布 函 数 F F 但 它 们 却 有 相 同 的 各 阶 矩 : Γ a a cos L d aπ d Γ a 结 论 : 由 随 机 变 量 的 分 布 函 数 可 以 确 定 随 机 变 量 的 数 字 特 征 反 之 不 然. 6. 满 足 的 未 必 独 立 若 随 机 变 量 独 立 且 各 自 数 学 期 望 存 在 则 反 之 不 真 例 如 : 设 随 机 变 量 Z 服 从 [ π ] 上 的 均 匀 分 布 cosz cos Z π

π π π cos cos zdz z dz π π π π π cos cos cos z z dz π 于 是 即 不 相 关 而 满 足 所 以 不 独 立. 第 五 章 参 数 估 计 与 假 设 检 验. 矩 估 计 是 否 有 唯 一 性 以 样 本 矩 阵 作 为 相 应 的 总 体 矩 的 估 计 量 以 样 本 矩 的 连 续 函 数 作 为 相 应 的 总 体 矩 的 连 续 函 数 的 估 计 量 这 种 估 计 的 方 法 被 称 为 矩 估 计 法 我 们 知 道 矩 有 原 点 矩 与 中 心 矩 之 分 如 果 样 本 原 点 矩 与 样 本 中 心 矩 都 可 作 为 相 应 总 体 矩 的 估 计 则 显 然 矩 估 计 不 具 有 唯 一 性 即 使 规 定 只 用 样 本 的 k 阶 原 点 矩 作 为 相 应 总 体 k 阶 矩 的 估 计 那 么 参 数 的 矩 估 计 也 不 是 唯 一 的 社 例 如 设 总 体 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 Posso 分 布 由 于 λ D 估 计 法 知 : ˆ λ ˆ λ 都 为 参 数 λ 的 矩 估 计 量. 故 由 矩. 矩 估 计 不 具 有 不 变 性 所 谓 极 大 似 然 估 计 具 有 不 变 性 是 指 : 若 ˆ 为 的 一 个 极 大 似 然 估 计 则 当 函 数 g 具 有 单 值 反 函 数 时 g ˆ 为 g 的 一 个 极 大 的 似 然 估 计 对 矩 估 计 而 言 不 变 性 不 成 立 例 如 : 对 反 射 正 态 分 布 e π > > 用 矩 估 计 法 分 别 对 和 作 估 计 d π

π dt e t d t 设 L 为 取 自 反 射 正 态 总 体 的 样 本 由 矩 阵 令 π 得 : ˆ π 由 此 可 见 ˆ π 所 以 矩 估 计 不 满 足 不 变 性. 3. 极 大 的 似 然 估 计 是 否 有 唯 一 性 极 大 似 然 估 计 不 具 有 唯 一 性 例 如 设 均 匀 分 布 的 密 度 函 数 为 待 估 参 数 其 他 ; 似 然 函 数 : 其 他 其 他 - 其 他 ; ; L L 显 然 区 间 ] [ 中 的 每 一 点 均 为 L 的 最 大 值 点 于 是 ] [ ˆ t t 均 为 的 极 大 似 然 估 计 量 注 : 当 时 的 极 大 似 然 估 计 唯 一

当 > 时 的 极 大 似 然 估 计 不 存 在. 4. 似 然 方 程 的 解 未 必 是 极 大 似 然 估 计 设 L 是 取 自 柯 西 Cauchy 分 布 的 样 本 当 时 似 然 函 数 为 ; < < π[ ] L π[ ll lπ l[ ll 似 然 方 程 为 ˆ 是 的 极 大 似 然 估 计 量 故 ] ] 当 时 似 然 函 数 为 L π[ ][ ] 要 使 L 达 到 最 大 只 要 的 分 母 最 小 令 其 分 母 的 变 量 部 分 为 [ ][ 由 [ ] 得 三 个 解 : 3 [ ± 4]/ 通 过 的 正 负 可 判 得 : 当 为 的 极 大 似 然 估 计 时 3 不 是 的 极 大 似 然 估 计 ; 反 之 当 3 为 的 极 大 似 然 估 计 时 不 是 的 极 大 似 然 估 计 而 无 论 发 生 什 么 情 况 似 然 方 程 的 三 个 解 不 全 是 的 极 大 似 然 估 计 极 大 似 然 估 计 就 是 求 似 然 函 数 的 极 大 值 点 似 然 函 数 是 样 本 的 联 合 分 布 密 度 似 然 方 程 是 似 然 函 数 的 导 函 数 为 零 的 函 数 我 们 知 道 导 函 数 为 零 的 点 是 函 数 的 驻 点 而 驻 点 未 必 是 函 数 的 极 大 值 点 所 以 似 然 方 程 的 解 未 必 是 极 大 似 然 估 计. ]

5. 参 数 估 计 的 无 偏 性 与 一 致 性 有 无 关 系 两 者 间 没 有 一 定 的 关 系 下 表 中 所 列 的 四 种 情 况 均 可 以 发 生 无 偏 性 有 偏 性 一 致 性 非 一 致 以 均 匀 分 布 为 例 L 为 如 下 均 为 总 体 的 一 个 样 本 < 其 他 ; ~ 由 极 大 似 然 估 计 法 可 得 ˆ 的 总 体 参 数 的 一 个 极 大 似 然 估 计 且 唯 一 的 概 率 密 度 为 < 其 他 d 可 见 不 是 的 无 偏 估 计 是 的 无 偏 估 计 D 由 切 贝 雪 夫 不 等 式 的 推 广 Beayme 不 等 式 的 特 例 / ] [ D P 由 切 贝 雪 夫 不 等 式 D P 由 此 知 有 偏 估 计 和 无 偏 估 计 都 是 的 一 致 估 计 再 引 进 的 两 个 估 计 与 d 可 见 是 的 有 偏 估 计 是 的 无 偏 估 计

对 任 意 > 有 d d P ; ] [ ; d d d P 由 此 得 有 偏 估 计 和 无 偏 估 计 都 不 是 的 一 致 估 计. 6. 无 偏 估 计 是 否 唯 一 的 仅 由 估 计 量 的 数 学 期 望 等 于 被 估 计 的 参 数 这 一 要 求 并 不 能 保 证 估 计 量 的 唯 一 性 例 如 : 设 L 是 来 自 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 的 总 体 的 一 个 简 单 随 即 样 本 则 ˆ ˆ S λ λ 都 是 λ 的 无 偏 估 计 事 实 上 由 基 本 统 计 量 的 性 质 知 λ λ λ λ ˆ ˆ D S 又 如 设 总 体 ] ~ U 的 一 个 简 单 随 机 样 本 为 L 则 的 估 计 量 } ma{ ˆ ˆ L 与 均 为 的 无 偏 估 计 事 实 上 ydy y ˆ ˆ 其 中 } ma{ L 其 密 度 函 数 为 < 其 他 y y y 7. 零 假 设 与 备 择 假 设 是 否 处 于 对 等 的 地 位 在 假 设 检 验 中 首 先 要 针 对 具 体 问 题 提 出 零 假 设 H 和 备 择 假 设 H 由 于 零 假 设 是 作 为 检 验 的 前 提 而 提 出 来 的 因 此 零 假 设 通 常 应 受 到 保 护 没 有 充 足 的 证 据 是 不 能 备 拒 绝 的 而 备 择 假 设 只 有 当 零 假 设 备 被 拒 绝 后 才 能 被 接 受 这 就 决 定 了 零 假 设 与 备 择 假 设 不 是 处 于 对 等 的 地 位 下 面 举 例 说 明 交 换 零 假 设 与 备 择 假 设 可 能 会 得 出 截 然 相 反 的 检 验 结 论 问 题 某 厂 方 断 言 本 产 生 产 的 小 型 电 动 机 在 正 常 负 载 条 件 下 平 均 电 流 不 会 超 过

.8A 随 机 抽 取 该 型 号 电 动 机 6 台 发 现 其 平 均 电 流 为.9A 而 由 该 样 本 求 出 的 标 准 差 是.3A 假 定 这 种 电 动 机 的 工 作 电 流 服 从 正 态 分 布 问 根 据 这 一 抽 样 结 果 能 否 否 定 厂 方 断 言? 取 显 著 性 水 平 α. 5 解 : 本 题 假 定 ~ N µ 未 知 以 厂 方 断 言 作 为 零 假 设 则 得 假 设 检 验 问 题 : H µ.8 ; H : µ. 8 : > 此 时 6.9 S.3 α. 5 由 t 检 验 法 可 知 拒 绝 域 为.3.3 >.8 t. 5 6.8.753.94 由 于.9<. 94 故 不 应 该 6 6 拒 绝 零 假 设 H 即 在 所 给 数 据 和 检 验 水 平 下 没 有 充 分 理 由 否 定 厂 方 的 断 言 现 在 若 把 厂 方 断 言 的 对 立 面 即 µ >. 8 作 为 零 假 设 则 得 假 设 检 验 问 题 : H : µ >.8 ; H : µ.8.3 由 t 检 验 法 此 时 的 拒 绝 域 为.8 t. 5 6. 66 因 为 观 测 值 6.9>.66 所 以 应 接 受 零 假 设 即 接 受 厂 方 断 言 的 对 立 面 由 此 可 见 随 着 问 题 提 法 的 不 同 得 出 了 截 然 相 反 的 结 论 这 一 点 会 使 初 学 者 感 到 迷 惑 不 解 实 际 上 这 里 有 个 着 眼 点 不 同 的 问 题 当 把 厂 方 断 言 正 确 作 为 零 假 设 时 我 们 根 据 该 厂 以 往 的 表 现 和 信 誉 对 其 断 言 已 有 了 较 大 的 信 任 只 有 很 不 利 于 它 的 观 察 结 果 才 能 改 变 我 们 的 看 法 因 而 一 般 难 以 拒 绝 这 个 断 言 反 之 当 把 厂 方 断 言 不 正 确 作 为 零 假 设 时 我 们 一 开 始 就 对 该 厂 产 品 抱 怀 疑 态 度 只 有 很 有 利 于 该 厂 的 观 察 结 果 才 能 改 变 我 们 的 看 法 因 此 在 所 得 观 察 数 据 并 非 决 定 性 地 偏 于 一 方 时 我 们 的 着 眼 点 即 最 初 立 场 决 定 了 所 得 的 结 论 打 一 个 通 俗 的 比 喻 : 某 人 是 嫌 疑 犯 有 些 不 利 于 他 的 证 据 但 并 非 是 起 决 定 性 作 用 的 若 我 们 要 求 只 有 决 定 性 的 不 利 于 他 的 证 据 才 能 判 他 有 罪 则 他 将 被 判 为 无 罪 反 之 若 要 只 有 决 定 性 的 有 利 于 他 的 证 据 才 能 判 他 无 罪 则 他 将 被 判 有 罪 在 这 里 也 是 着 眼 点 的 不 同 决 定 了 看 法 这 类 事 件 在 日 常 生 活 中 并 不 少 见 原 本 不 足 为 奇.