Microsoft Word - 2-2排列與組合.doc

2 2 排 列 與 組 合 ( 甲 ) 直 線 排 列 引 入 直 線 排 列 : 例 子 : 從 建 中 高 一 某 班 5 個 同 學 中, 選 出 3 人 排 成 一 列, 有 幾 種 排 法? 解 法 : A 5 個 同 學 以 ABCDE 表 示, 選 出 3 人 排 成 一 列, 我 們 將 這 個 過 程, 分 成 3 個 步 驟, 配 合 樹 狀 圖, 可 得 排 法 共 有 5 4 3 種 方 法 B B C D E B D E 數 學 上, 將 這 樣 的 排 列 方 法 稱 為 在 5 個 不 同 的 事 物 中, 5 選 取 3 個 安 排 到 3 個 不 同 的 位 置, 符 號 上 以 P 3 來 表 示 即 P 5 3=5 4 3 E 直 線 排 列 的 定 義 : 從 n 個 不 同 的 物 件 中, 選 取 m 個 物 件 (1 m n) 安 排 到 m 個 不 同 的 位 置, 共 有 n(n 1)(n 2) (n m+1) 種 方 法, 這 樣 的 方 法 數 用 P n m 來 表 示 即 P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1) [n 往 下 乘 m 個 ] 為 了 方 便 表 示, 規 定 n!=1 2 3 n,0!=1, 因 此 P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1)= n(n 1)(n 2) (n m+1)(n m) 2 1 n! = (n m) 2 1 (n m)! 特 別 P n n= n! 0! =n! 結 論 : (1) 從 n 個 不 同 的 事 物 中, 選 取 m 個 物 件 (1 m n) 安 排 到 m 個 不 同 的 位 置, 共 有 P n m 種 方 法 n! (2) P n m= n(n 1)(n 2) (n m+1)= (n m)! 例 子 :3!=6,4!=24,5!=120,6!=720 例 子 :P 6 4=6 5 4 3= 6! (6 4)! = 6! 2!,P10 4=10 9 8 7= 10! 6! C D ~2 2 1~

[ 例 題 1] 請 計 算 下 列 各 小 題 : (1)2P n 3=3 P n+1 2+6P n 1, 求 n=?(2)5p 9 n=6p 10 n 1, 求 n=? Ans:(1)n=5 (2)n=7 [ 例 題 2] 請 求 出 下 列 各 小 題 的 方 法 數 : (1) 甲 乙 丙 三 人 在 排 成 一 列 的 8 個 座 位 中, 選 坐 相 連 的 三 個 座 位, 則 有 幾 種 坐 法? (2)9 個 人 組 成 一 個 少 棒 隊, 已 知 三 四 棒 的 人 選 已 定, 而 投 手 與 捕 手 要 安 排 在 第 七 八 九 棒, 請 問 教 練 可 以 排 出 幾 種 不 同 的 打 擊 順 序? Ans:(1)36 (2)720 ( 練 習 1) 設 P 3 n+1 =10P 2 n 1, 求 n=? Ans:n=4 或 5 ( 練 習 2) 若 2P 8 n 2=P 8 n, 則 n=? Ans:8 n n 1 n 1 ( 練 習 3) 請 證 明 : P = r P + r r P r 1 這 個 式 子 可 以 做 這 樣 的 解 釋 : 假 設 50 個 人 中 含 有 一 人 為 甲, 則 從 50 個 人 中 選 取 6 個 之 排 列 數 為 P 50 6 利 用 加 法 原 理, 可 將 這 樣 的 過 程 分 成 兩 類 : 不 含 甲 之 排 列 數 為 P 49 6 與 含 甲 的 排 列 數 為 P 6 1 P 49 5( 某 甲 先 選 座 位, 剩 下 5 個 座 位 再 由 其 他 49 人 選 取 排 列 ) 因 此 可 得 P 50 6= P 49 6+ P 6 1 P 49 5 ( 練 習 4) 某 桌 球 隊 要 從 10 名 選 手 中 排 出 5 名, 分 別 參 加 五 場 單 打 友 誼 賽,10 名 選 手 中 近 況 特 佳 的 有 3 位, 教 練 決 定 任 意 安 排 他 們 分 別 在 第 一 三 ~2 2 2~

五 場 出 賽, 另 外 兩 場 則 由 其 餘 選 手 任 意 選 出 排 定, 則 此 球 隊 出 場 比 賽 的 名 單 順 序 一 共 可 以 有 種 Ans:252 ( 練 習 5) 甲 乙 丙 三 人 在 排 成 一 列 的 八 個 座 位 中 選 坐 三 個 座 位, 但 不 能 三 個 座 位 全 相 連, 共 有 種 坐 法 Ans:300 ( 練 習 6) 將 三 個 不 同 的 球, 放 入 五 個 不 同 的 箱 子 中, 但 每 箱 最 多 放 一 球, 則 有 多 少 種 不 同 的 放 法 Ans:60 ( 乙 ) 有 相 同 物 的 直 線 排 列 與 重 複 排 列 有 相 同 物 的 直 線 排 列 : 例 子 : 四 個 英 文 字 母 AAAB 排 成 一 列, 請 問 有 幾 種 排 法? [ 方 法 ]: 先 將 AAA 這 三 個 相 同 的 字 母 視 為 不 同, 設 為 A 1 A 2 A 3 所 以 先 視 為 A 1 A 2 A 3 B 這 4 個 不 同 字 母 的 排 列, 共 有 4! 種, 如 下 所 示 : A 1 A 2 A 3 B,A 1 A 3 A 2 B,A 2 A 1 A 3 B,A 2 A 3 A 1 B,A 3 A 1 A 2 B,A 3 A 2 A 1 B A 1 A 2 BA 3,A 1 A 3 BA 2,A 2 A 1 BA 3,A 2 A 3 BA 1,A 3 A 1 BA 2,A 3 A 2 BA 1 A 1 BA 2 A 3,A 1 BA 3 A 2,A 2 BA 1 A 3,A 2 BA 3 A 1,A 3 BA 1 A 2,A 3 BA 2 A 1 BA 1 A 2 A 3,BA 1 A 3 A 2,BA 2 A 1 A 3,BA 2 A 3 A 1,BA 3 A 1 A 2,BA 3 A 2 A 1 但 是 當 我 們 將 A 1 A 2 A 3 還 原 成 AAA 的 時 候 A 1 A 2 A 3 B,A 1 A 3 A 2 B,A 2 A 1 A 3 B, A 2 A 3 A 1 B,A 3 A 1 A 2 B,A 3 A 2 A 1 B 以 上 6 種 排 列 情 形, 均 代 表 同 一 種 AAAB 換 4! 句 話 說 3! 種 的 排 列 要 視 為 同 一 種, 因 此 排 列 方 法 有 3! =4 種 結 論 : 設 有 n 件 物 品, 共 有 k 種 不 同 種 類, 第 一 類 有 m 1 個, 第 二 類 有 m 2 個,., 第 k 類 有 m k 個 ( 此 處 n=m 1 +m 2 +m 3 +.+m k ), 此 處 此 n 件 物 品 排 成 一 列, n! 共 有 種 不 同 的 排 法 m 1! m 2! m k! 例 如 : 用 3 個 相 同 的 紅 球,2 個 相 同 的 黃 球,4 個 相 同 的 黑 球, 排 成 一 列 有 幾 種 排 法? 9! [ 解 法 ]: 3! 2! 4! 重 複 排 列 的 定 義 : 例 子 : 用 12345 五 個 字 母 排 成 一 個 三 位 數, (1) 數 字 可 重 複, 可 作 出 幾 個 三 位 數? (2) 數 字 不 可 重 複, 可 作 出 幾 個 三 位 數? [ 解 法 ]: (1) 百 位 數 十 位 數 個 位 數 都 有 5 種 方 法 5 3 種 三 位 數 字 ( 重 複 排 列 ) (2) 百 位 數 十 位 數 個 位 數 分 別 有 5 4 3 種 方 法 5 4 3 種 三 位 數 字 ~2 2 3~

從 m 種 不 同 之 事 物 ( 每 種 事 物 的 個 數 超 過 n 個 ) 選 取 n 個 安 排 到 n 個 不 同 的 位 置 (n,m 無 大 小 關 係 ), 但 可 以 重 複 選 取, 這 種 計 數 方 式 稱 為 重 複 排 列, 排 列 方 法 有 m n 個 [ 例 題 3] 請 求 出 下 列 各 小 題 的 排 列 數 : (1) 有 10 位 選 舉 人,3 位 候 選 人, 採 計 名 投 票, 每 人 都 要 投 一 票 ( 沒 有 廢 票 ), 請 問 有 候 選 人 得 票 的 情 形 有 幾 種? (2) 一 個 多 重 選 擇 題, 有 A,B,C,D,E 五 個 選 項, 請 問 答 案 有 幾 種 型 式? (3)10 名 學 生 要 爭 奪 3 項 比 賽 的 錦 標, 請 問 得 到 冠 軍 的 可 能 性 有 幾 種? (4)5 個 人 於 十 字 路 口 話 別 後, 同 時 離 開 ( 沒 有 5 人 同 走 一 條 路 ) 共 有 幾 種 可 能 情 形? Ans:(1)3 10 (2)2 5 1 (3)10 3 (4)4 5 4 有 限 制 條 件 之 排 列 : (a) 若 要 求 k 個 人 相 連, 先 將 這 k 個 人 視 為 一 整 體, 排 定 後 再 排 此 k 個 人 (b) 若 要 求 k 個 人 分 開, 則 先 排 其 他 人, 在 將 這 k 個 人 安 排 至 其 他 人 的 空 隙 中 (c) 考 慮 反 面 計 算 : 全 部 方 法 不 合 的 方 法 (d) 應 用 取 捨 原 理 (e) 應 用 1 1 原 理 (f) 利 用 遞 迴 方 法 [ 例 題 4] 甲 乙 丙 丁 等 7 人 排 成 一 列, 請 求 出 下 列 情 形 的 方 法 數 : (1) 甲 乙 丙 三 人 相 鄰 (2) 甲 乙 丙 分 開 (3) 甲 乙 相 鄰, 丙 丁 不 相 鄰 (4) 甲 乙 相 鄰, 甲 丙 不 相 鄰 Ans:(1)3! 5!=720 (2)4! P 5 3=1440 (3)4! 2! P 5 2=960(4)1200 ~2 2 4~

[ 例 題 5] pallmall 一 字 中 各 字 母 排 成 一 列 (1) 有 幾 種 排 法?(2) 所 有 之 l 皆 相 鄰 而 兩 個 a 分 開 (3) 其 中 三 個 l 在 一 起, 另 一 l 分 離 Ans:(1)840(2)36 (3)240 [ 例 題 6] 用 0,1,2,3,4,5 作 相 異 數 字 之 四 位 數, 請 求 出 滿 足 下 列 要 求 的 四 位 數 個 數? (1) 數 字 相 異 四 位 數 (2) 偶 數 (3)3 的 倍 數 (4)4 的 倍 數 (5)5 的 倍 數 Ans:(1)300 (2)156 (3)96 (4)72 (5)108 [ 例 題 7] A,B,C,D,E,F,G 排 成 一 列, 求 下 列 排 列 數 : (1)A,B,C 順 序 不 變 (2)A 在 B,C 之 前 (3)A 在 B 之 前,F 在 G 之 後 (4)A,B 在 C,D,E 之 前 Ans:(1)840 (2)1680 (3)1260 (4)504 ~2 2 5~

[ 例 題 8] 有 5 封 不 同 的 信 件, 投 入 甲 乙 丙 丁 4 個 不 同 的 郵 筒, 則 甲 乙 丙 三 郵 筒 均 至 少 投 入 一 封 郵 件 的 投 法 有 幾 種? Ans:390 [ 例 題 9] 鳴 放 氣 笛 作 信 號, 長 鳴 一 次 需 4 秒, 短 鳴 一 次 需 1 秒, 每 次 間 隔 時 間 為 1 秒, 請 問 30 秒 的 時 間 可 作 出 多 少 種 的 信 號?Ans:235 [1 1 原 理 ]: [ 遞 迴 方 法 ]: [ 例 題 10] 如 圖, 一 人 走 捷 徑 由 A 到 B( 即 只 能 走 ) (1) 走 捷 徑 有 幾 種 走 法? (2) 若 每 次 需 經 過 D, 其 走 法 有 幾 種? (3) 若 不 經 過 C 且 不 經 過 D, 其 走 法 有 幾 種? Ans:(1)210 (2)100 (3)80 C D B E A ~2 2 6~

[ 例 題 11] 如 圖, 由 A 走 到 B 走 捷 徑, 但 不 走 斜 線 部 分 區 域 之 路 徑, 依 下 列 情 形 求 走 法 數 (1) 經 C (2) 經 D (3) 自 由 走 但 不 經 斜 線 區 域 Ans:(1)50 (2)8 (3)23 E B D C A [ 例 題 12] ( 錯 排 問 題 ) 設 1,2,3,,n 這 n 個 數 重 新 排 成 一 列 為 a 1,a 2,a 3,,a n, 若 a i i, 我 們 稱 之 為 n 的 錯 排, 它 的 個 數 以 g n 來 表 示,g 1 =0,g 2 =1 請 找 出 數 列 {g n } 的 遞 迴 關 係 式 Ans:g n =(n 1)(g n 1 +g n 2 ),n 3 ~2 2 7~

( 練 習 7) 一 對 新 婚 夫 妻 家 庭 有 6 人 排 成 一 列 拍 結 婚 照, 但 新 婚 夫 妻 一 定 排 在 中 間 的 兩 個 位 置, 請 問 共 有 幾 種 排 法? Ans:48 ( 練 習 8) 有 4 個 女 生 3 個 男 生 排 成 一 列, 若 要 求 男 生 排 在 一 起, 女 生 排 在 一 起, 則 其 排 列 方 法 有 種 ; 若 要 求 男 女 相 間 隔 排 列, 排 列 方 法 有 種,3 個 男 生 要 分 開 排 列 的 方 法 有 種 Ans:288,144,1440 ( 練 習 9) 甲 乙 丙 丁 戊 己 六 人 排 成 一 列, 求 下 列 的 排 列 數? (1) 乙 丙 均 與 甲 相 鄰 (2) 甲 乙 相 鄰, 甲 丙 不 相 鄰 (3) 甲 乙 丙 中 恰 二 人 相 鄰 Ans:(1)48 (2)192 (3)432 ( 練 習 10) 某 班 一 天 有 七 節 課, 每 一 節 課 均 排 不 同 的 科 目, 其 中 體 育 課 不 排 第 四 節, 數 學 課 不 排 第 七 節, 請 問 這 一 天 的 課 表 有 幾 種 排 法?Ans:3720 ( 練 習 11) 用 2,3,4,5,6 五 個 數 字 排 成 三 位 數 (1) 數 字 可 以 重 複, 有 多 少 個 不 同 的 三 位 數 (2) 數 字 不 可 以 重 複, 則 所 有 三 位 數 的 和 =? Ans:(1)125 (2)26640 ( 練 習 12) 二 位 數 中 :(1) 個 位 數 字 > 十 位 數 字 共 有 幾 個?(2) 十 位 數 字 > 個 位 數 字 共 右 幾 個? Ans:(1)36 (2)45 ( 練 習 13) 設 A,B,C,D 等 十 人 排 成 一 列, 規 定 A,B 不 排 首,C,D 不 排 末 之 方 法 有 幾 種? Ans:8! 58 [ 提 示 : 全 部 (A,B 排 首 ) (C,D 排 末 )+(A,B 排 首 且 C,D 排 末 )] ( 練 習 14) 七 本 書 分 給 10 個 人, 每 人 至 多 一 本 (1) 書 本 相 同 有 幾 種 分 法? (2) 書 本 不 同 有 幾 種 分 法? Ans:(1)120 (2)604800 ( 練 習 15) 甲, 乙, 丙,, 庚 等 7 人 排 成 一 列, 甲 在 乙 的 左 方, 且 在 丙 的 左 方 有 種 排 法 Ans: 1680 ( 練 習 16)LKKLMM 排 成 一 列, 要 求 同 字 不 相 鄰, 方 法 有 幾 種?Ans:30 ( 練 習 17)pontoon 一 字, 各 字 母 排 成 一 列, 求 下 列 各 排 列 數 : (1) 全 部 任 意 排 成 一 列 (2) 三 個 o 完 全 在 一 起 (3) 恰 有 兩 個 o 在 一 起 (4) 三 個 o 完 全 分 開 Ans:(1)420 (2)60 (3)240 (4)120 ( 練 習 18)factoring 中 各 字 母, 每 次 全 取 排 列 (1) 母 音 保 持 a,o,i 之 順 序 有 幾 種 排 法? (2) 母 音 保 持 a,o,i 之 順 序, 同 時 子 音 保 持 f,c,t,r,n,g 之 順 序 有 幾 種 排 法? ~2 2 8~

Ans:(1) 9! 3! (2) 9! 3!6! ( 練 習 19)cabbage 一 字, 各 字 母 排 成 一 列, 其 中 相 同 字 母 不 相 鄰, 有 幾 種 排 法? Ans:660[ 提 示 : 考 慮 反 面 情 形 的 計 算 ] ( 練 習 20) 一 樓 梯 有 8 級, 某 人 上 樓, 每 步 走 一 級 或 二 級 或 三 級, 則 此 人 上 樓 的 方 法 有 幾 種? Ans:81 ( 練 習 21) 設 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 是 1,2,3,4,5 的 一 種 排 列 ( 例 如 13254,15432, 等 均 是 1,2,3,4,5 的 一 種 排 列 ) 求 滿 足 下 列 各 式 的 排 列 數 : (1)(2 a 4 )(1 a 3 )=0 (2)(1 a 1 )(3 a 3 ) 0 (3) (1 a 1 )(2 a 2 )(3 a 3 )(4 a 4 )(5 a 5 ) 0 Ans:(1)42 (2)78 (3)44 ( 練 習 22)7 個 不 同 的 書 本 分 贈 給 4 人, 請 求 依 下 列 情 形 分 配 的 方 法 有 幾 種? (1) 甲 至 少 分 得 一 本 書 (2) 甲 恰 得 一 本 書 (3) 甲 至 少 二 本 書 (4) 每 人 至 少 一 本 書 Ans:(1)47 37 (2)7 36 (3)47 37 7 36 (4)47 4 37+6 27 4 17+1 07 ( 練 習 23)5 本 不 同 的 玩 具, 分 贈 給 甲 乙 丙 3 人, 每 人 至 少 得 一 件 之 方 法 有 幾 種? Ans:150 ( 練 習 24) 渡 船 三 隻, 每 船 可 載 6 人, 則 (1) 8 人 過 渡, 有 種 安 全 渡 法 (2) 7 人 過 渡, 但 甲 坐 A 船, 有 種 安 全 渡 法 Ans: (1) 6510(2) 728 ( 練 習 25) 棋 盤 街 道 如 右 圖, 南 北 街 道 有 8 條, 東 西 街 道 有 6 條, 某 人 自 A 取 捷 徑 走 到 B, 下 列 走 法 各 有 多 少 種? (1) 走 捷 徑 (2) 必 須 經 過 P (3) 必 須 經 過 P 與 Q (4) 不 許 經 過 P,Q Ans:(1)792 (2)350 (3)180 (4)286 P Q B ( 練 習 26) 如 右 圖, 由 A 走 到 B 取 捷 徑 但 不 許 經 過 斜 線 區 之 方 法 有 幾 種? Ans:108 A ~2 2 9~

( 練 習 27) 在 坐 標 平 面 上, 自 A( 4, 3) 走 捷 徑 到 B(3,3), (1) 要 經 過 第 二 象 限, 請 問 有 幾 種 走 法? (2) 不 經 過 原 點 有 幾 種 走 法? ~2 2 10~

綜 合 練 習 ( 一 ) (1) 若 P 10 n =6 P 10 n-2, 求 n 之 值 (2) 甲 乙 丙 丁 等 7 人 排 成 一 列, 試 求 下 列 排 法 各 有 幾 種 : (a) 任 意 排 (b) 甲 乙 丙 三 人 須 排 在 一 起 (c) 甲 乙 丙 三 人 必 須 完 全 分 開 (d) 甲 乙 相 鄰, 丙 丁 不 相 鄰 (3) 從 玫 瑰 菊 花 杜 鵑 蘭 花 山 茶 水 仙 繡 球 等 七 盆 花 中 選 出 四 盆 靠 在 牆 邊 排 成 一 列, 其 中 杜 鵑 及 山 茶 都 被 選 到, 且 此 兩 盆 花 位 置 相 鄰 的 排 法 有 種 (2013 指 定 乙 ) (4) 將 builder 一 字 之 字 母 排 列, 試 求 下 列 排 法 各 有 多 少 種 : (a) 子 音 與 母 音 必 須 相 間 隔 (b) 母 音 皆 不 相 鄰 (5) 將 7 張 椅 子 排 成 一 列, 現 有 5 個 人 入 坐, 每 人 只 坐 一 張 椅 子 試 問 : (a) 坐 法 有 幾 種? (b) 5 個 人 必 須 連 坐 在 一 起 的 坐 法 有 幾 種? (6) 某 地 共 有 9 個 電 視 頻 道, 將 其 分 配 給 3 個 新 聞 台 4 個 綜 藝 台 及 2 個 體 育 台 共 三 種 類 型 若 同 類 型 電 視 台 的 頻 道 要 相 鄰, 而 且 前 兩 個 頻 道 保 留 給 體 育 台, 則 頻 道 的 分 配 方 式 共 有 種 (2006 學 科 ) (7) 從 0,1,2,3,4,5 六 個 數 字 中, 選 取 4 個 排 成 四 位 數 ( 數 字 不 可 重 複 ) (a) 共 可 排 成 多 少 個 四 位 數? (b) 共 可 排 成 多 少 個 偶 數? (c) 共 可 排 成 多 少 個 4 的 倍 數? (d) 這 些 四 位 數 的 總 和 是 多 少? (8) 有 相 同 的 白 球 5 個, 紅 球 2 個, 黑 球 1 個 試 問 : (a) 將 此 8 球 排 成 一 列, 且 兩 端 都 是 白 球 的 排 法 有 幾 種? (b) 從 此 8 球 中 取 出 7 球 排 成 一 列, 排 法 有 幾 種? (9) 甲 乙 丙 丁 戊 己 六 人 排 成 一 列, 試 求 下 列 排 列 法 各 有 幾 種 : (a) 甲 在 乙 之 左 方 (b) 甲 在 乙 丙 之 右 方 (10) 將 一 寸 光 陰 一 寸 金 七 個 字 排 列, 同 字 不 相 鄰 的 排 法 有 幾 種? (11) 由 A 地 到 B 地 的 街 道 是 棋 盤 式, 如 右 圖, 某 人 沿 著 街 道 以 走 捷 徑 的 方 式 由 A 地 到 B 地, 試 問 : (a) 共 有 多 少 種 走 法? (b) 經 過 C 且 經 過 D 的 走 法 有 多 少 種? (c) 經 過 C 或 經 過 D 的 走 法 有 多 少 種? ~2 2 11~

(12) 用 長 4 公 分 與 3 公 分 兩 種 紙 條, 自 上 往 下 黏 成 長 16 公 分 的 紙 條, 若 每 一 連 結 處 為 1 公 分, 試 問 共 有 幾 種 連 結 法? (13) 將 5 件 不 同 的 獎 品, 分 給 甲 乙 丙 丁 四 人, 求 下 列 分 法 各 有 幾 種?( 獎 品 必 須 全 部 分 完 ) (a) 任 意 給 ( 每 人 可 得 多 於 1 件 可 不 得 ) (b) 甲 恰 得 一 件 (c) 甲 至 少 得 一 件 (d) 甲 乙 均 至 少 得 一 件 (14) 用 0,1,2,3,4 五 個 數 字, 作 出 數 字 可 重 複 的 四 位 數 共 有 多 少 個? 其 中 有 相 同 數 字 者 有 多 少 個? ~2 2 12~

(1) 9 綜 合 練 習 解 答 (2) (a)5040 (b)720 (c)1440 (d)960 (3) 120 (4) (a)144 (b)1440 (5) (a)2520 (b)360 (6) 576 (7) (a)300 (b)156 (c)72 (d)979920 (8) (a)60 (b) 168[ 提 示 : 將 8 球 排 成 一 列 後, 將 最 後 1 球 拿 掉, 即 為 任 取 7 球 的 排 列 法, 共 有 (9) (a)360 (b)240 8! 5! 2! =168 ( 種 ) ] (10) 660[ 提 示 : 7! 2! 2! -2 6! 2! +5!=660 ( 種 ) ] (11) (a)330 (b)72 (c)236 (12) 28 (13) (a)4 5 =1024 (b)405 (c)781 (d)570 (14) 500 404 ~2 2 13~

( 丙 ) 組 合 組 合 的 意 義 : 例 子 : 從 建 中 高 一 某 班 5 個 同 學 中, 選 出 3 人 參 加 辯 論 比 賽, 有 幾 種 選 法? [ 解 法 一 ]:( 以 分 類 的 觀 點 ) 5 個 同 學 以 ABCDE 表 示, 先 考 慮 選 出 3 人 排 成 一 列, 配 合 樹 狀 圖, 可 得 排 法 共 有 P 5 3=5 4 3 種 方 法 但 選 人 的 觀 點 是 不 論 次 序 的, 即 ABC ACB BAC BCA CAB CBA 是 算 一 樣 的, 都 是 選 中 ABC 三 個 人, 因 此 每 3! 種 排 法 算 成 一 種, 因 此 從 5 個 人 中, 選 取 3 個 人 ( 不 考 慮 排 列 順 序 ) 的 P 5 3 方 法 有 3! =5 4 3 種 1 2 3 [ 解 法 二 ]:( 以 1 1 原 理 的 觀 點 ) 如 圖, 將 A,B,C,D,E 與 3 個 黑 球,2 個 白 球 做 對 應, 對 到 黑 球 的 人 被 選 取, 我 們 可 以 得 知 不 同 的 排 法 會 對 應 不 同 的 選 取 A B C D E 法, 而 不 同 的 選 取 方 法 會 對 應 不 同 的 排 法, 即 排 法 與 選 取 的 5! 方 法 一 樣 多, 因 此 5 個 人 中 選 取 3 人 的 方 法 有 3!2! = 5 4 3 種 1 2 3 (1) 組 合 的 定 義 : 從 n 個 不 同 的 事 物 中, 選 取 m 個 (1 m n), 共 有 P n m m! =n(n 1)(n 2) (n m+1) 種 方 法 1 2 3 m ( 分 子 由 n 往 下 乘 m 個, 分 母 由 1 往 上 乘 m 個 ) 將 這 樣 的 方 法 數, 用 C n m 來 表 示 即 C n m= n(n 1)(n 2) (n m+1) n! = 1 2 3 m m! (n m)! 10! 例 如 :C 10 3= 3!7! =10 9 8 n! 1 2 3,Cn 0= 0! n! =1,Cn n= (2) 組 合 的 性 質 : n! n! 0! =1, 用 組 合 的 觀 點 解 釋 性 質 : (a) 要 從 ABCDE 中 選 出 三 人 去 打 掃 環 境, 今 抽 籤 決 定, 籤 的 作 法 有 兩 種 : 一 種 是 五 支 籤 中,3 支 籤 做 記 號, 抽 中 的 人 去 打 掃, 其 抽 中 的 組 合 數 為 C 5 3 ; 另 一 種 是 五 支 籤 中,2 支 作 記 號, 抽 中 的 人 不 去 打 掃, 其 抽 中 的 組 合 數 為 C 5 2, 故 可 得 C 5 3 = C 5 2 (b) 要 從 ABCDE 中 選 出 三 人 去 打 掃 環 境, 今 有 C 5 3 種 選 法, 選 出 來 的 3 人 之 中, 我 們 可 分 成 兩 類 : 第 一 類 是 若 A 去 打 掃, 則 必 須 從 其 他 4 人 中 再 選 2 人 一 起 打 掃, 其 組 合 數 共 有 C 4 2 種 方 法 ; 第 二 類 是 若 A 沒 去 打 掃, 則 從 其 他 4 人 中 選 3 人 去 打 掃, 其 組 合 數 共 有 C 4 3 種 方 法, 所 以 C 5 3 = C 4 2 + C 4 3 (a) C n m = C n n m n n 1 1 (b) 巴 斯 卡 定 理 : = n C C + C 1 m n 1 [ 證 明 ]: m m m 1 ~2 2 14~

(n 1)! n 1 1 C + n m Cm 1 = m!(n 1 m)! + (n 1)! (m 1)!(n m)! = (n 1)!(n m) m!(n m)! + (n 1)!m m! (n m)! = (n 1)!(n m+m) m!(n m)! = n! m!(n m)! = C n m 例 如 :C 10 7= 10! 7! 3! = 10! 3! 7! =C10 3 C 10 6=C 9 6+C 9 5 [ 例 題 13] 求 下 列 各 小 題 的 n 值 : (1)12C n+2 4=7C n+4 3 (2)C 10 n=c 10 3n 2 (3)11C n n 3=24C n+1 n 1 Ans:(1)n=6 (2)n=1 或 3 (3)10 2 [ 例 題 14] (1) 請 計 算 C 2 + C 3 2 + C 4 2 + + C 19 2 的 值 2 (2) 請 計 算 C 0 + C 3 1 + C 4 2 + + C 10 8 的 值 Ans:(1)1140 (2)165 [ 例 題 15] 自 棒 球 選 手 6 人, 游 泳 選 手 7 人 中 選 出 4 人 擔 任 福 利 委 員 (1) 選 法 有 幾 種? (2) 至 少 有 2 位 游 泳 選 手 之 選 法 有 幾 種? Ans:(1)715 (2)560 ~2 2 15~

[ 例 題 16] 從 1~20 這 20 個 號 碼 中, 取 出 4 個 數 使 得 這 四 個 數 都 不 是 相 鄰 的 正 整 數 Ans:C 17 4 ( 練 習 28) 設 C 2n n 1:C 2n 2 n=132:35, 則 n=?ans:n=6 ( 練 習 29) 設 n,r 均 為 自 然 數, 且 C n 1 r:c n r:c n+1 r=6:9:13, 則 數 對 (n,r)=? Ans:(n,r)=(12,4) ( 練 習 30) 求 C 1 0+C 2 1+C 3 2+ +C 13 12=? Ans:C 14 2 ( 練 習 31) 某 拳 擊 比 賽, 規 定 每 位 選 手 和 其 他 選 手 各 比 賽 一 場, 賽 程 總 計 為 45 場, 請 問 有 幾 位 選 手 參 加 比 賽? Ans:10 ( 練 習 32) 從 男 生 4 人 和 女 生 3 人 中, 排 出 3 名 男 生 和 2 名 女 生 並 排 成 一 列, 請 問 有 幾 種 排 法? Ans:1440 ( 練 習 33) 凸 20 邊 形 有 幾 條 對 角 線?Ans:170 ( 練 習 34) 從 1,2,3,,10 中 選 出 3 個 相 異 數 a,b,c 滿 足 a<b<c 的 (a,b,c) 有 幾 組? Ans:120 ( 練 習 35) 一 列 火 車 從 第 一 車 至 第 十 車 共 有 十 節 車 廂 要 指 定 其 中 4 節 車 廂 安 裝 行 動 電 話, 則 共 有 幾 種 指 定 的 方 法? 若 更 要 求 此 四 節 車 廂 兩 兩 不 相 銜 接, 則 共 有 幾 種 指 定 方 法? Ans:210,35 ( 練 習 36) 由 1 到 20 的 自 然 數 中 取 出 不 同 的 三 個 數, 則 (a) 取 出 的 三 數 成 等 差 的 取 法 ( 不 考 慮 排 列 ) 有 幾 種? (b) 取 出 的 三 數 中 沒 有 二 個 連 續 整 數 的 取 法 有 幾 種? (c) 取 出 的 三 數 乘 積 為 偶 數 的 取 法 有 幾 種? Ans:(a)90 (b)816 (c)1020 ( 練 習 37) 某 次 考 試, 規 定 13 題 中 選 做 10 題, 求 下 列 各 選 法? (1) 任 意 選 (2) 前 兩 題 必 須 作 答 (3) 前 五 題 必 須 選 做 3 題 且 只 做 3 題 (4) 前 5 題 中 至 少 選 做 3 題 Ans:(1)286 (2)165 (3)80 (4)276 ( 練 習 38) 平 面 上 有 15 個 相 異 點, 其 中 除 了 7 點 共 線 外, 其 他 各 點 之 中 任 三 點 不 共 線, 任 意 連 接 各 點, 則 可 決 定 ~2 2 16~

(1) 多 少 條 直 線? (2) 多 少 個 線 段? (3) 多 少 個 三 角 形? Ans:(1)85 (2)105 (3)420 ( 練 習 39) 右 圖 中 的 每 個 小 格 皆 為 全 等 的 正 方 形, 試 問 圖 中 12 個 點 (1) 可 作 出 幾 條 直 線? (2) 可 決 定 幾 個 三 角 形? Ans:(1)35 (2)200 ( 練 習 40) 5 對 夫 妻 中 選 出 4 人, (1) 恰 有 2 對 夫 妻 (2) 恰 有 一 對 夫 妻 (3)4 人 皆 沒 有 夫 妻 關 係 Ans:(1)10 (2)120 (3)80 ( 丁 ) 重 複 組 合 重 複 排 列 與 重 複 組 合 例 子 :ABCD 等 4 人 到 麥 當 勞 點 1~6 號 套 餐, 每 個 人 限 點 一 份 套 餐, 請 問 : (a) 這 4 個 人 有 幾 種 點 餐 的 情 形? (b) 店 員 有 幾 種 給 餐 點 的 方 式? [ 說 明 ]: (a)abcd 每 個 人 都 有 6 種 套 餐 可 點, 故 這 4 個 人 有 幾 種 點 餐 的 情 形 共 有 6 4 種 (b) 就 店 員 而 言, 他 不 在 乎 每 個 人 點 了 那 些 餐, 他 只 在 乎 每 種 套 餐 被 點 了 幾 次, 因 此 假 設 第 i 號 餐 被 點 了 x i 次, 其 中 x i 為 非 負 整 數, 不 定 方 程 式 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 =4 的 非 負 整 數 解 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ) 就 代 表 一 種 店 員 給 餐 點 的 方 式 故 只 要 能 求 出 方 程 式 有 幾 個 非 負 整 數 解, 就 可 以 求 出 店 員 有 幾 種 給 餐 點 的 方 式 從 另 一 個 角 度 來 看, 店 員 給 餐 點 的 方 式 也 可 以 看 成 是 1~6 號 套 餐 重 複 選 取 出 4 份 套 餐 的 方 式 如 何 求 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 =4 非 負 整 數 解 個 數? (0,0,2,1,1,0) (0,1,1,1,1,0) 非 負 整 數 解 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ) 可 以 和 5 個 與 4 個 Ο 的 排 列 情 形 1 對 1 對 應, 9! 因 此 非 負 整 數 解 個 數 = 4!5! = 9 C 4 ( 從 9 個 不 同 的 位 置, 選 取 4 個 位 置, 排 入 4 個 Ο) [ 重 複 排 列 與 重 複 組 合 ] 設 (A,1) 代 表 A 點 了 1 號 餐, 設 有 兩 種 點 法 (A,1)(B,3)(C,1)(D,2) 與 (A,3)(B,1)(C,2)(D,1), 在 (a) 中 他 代 表 兩 種 點 餐 的 方 式, 換 句 話 說 1,3,1,2 與 3,1,2,1 是 有 順 序 的, 不 過 就 店 員 而 言, 都 代 表 1 號 餐 2 份,2 號 餐 1 份,3 號 ~2 2 17~

餐 1 份, 因 此 店 員 給 餐 的 方 式 都 一 樣, 也 就 是 沒 有 順 序 可 言 在 (a) 中 我 們 可 以 重 複 點 套 餐, 但 是 有 順 序 的, 即 1,1,3,2 1,3,2,1 是 不 同 的, 這 是 重 複 排 列 ; 而 (b) 中 的 情 形, 我 們 可 以 重 複 點 餐, 但 是 不 考 慮 順 序, 即 1,1,3,2 1,3,2,1 都 代 表 x 1 =2 x 2 =1 x 3 =1 x 4 =0 x 5 =0 x 6 =0 這 一 組 解, 稱 為 重 複 組 合 (1) 重 複 組 合 的 定 義 : 從 n 類 物 件 中 取 出 m 件,( 每 類 至 少 有 m 件 ) 的 組 合 數 = 不 定 方 程 式 x 1 +x 2 + +x n =m 的 非 負 整 數 解 個 數 (n+m 1)! =(n 1) 個 與 m 個 Ο 的 排 列 數 = m!(n 1)! = n+m 1 C m (n+m 1 個 不 同 位 置, 選 m 個 位 置 排 入 m 個 Ο ) 註 : 也 可 以 定 義 C n+m 1 m 為 n H m, 即 n H = C m n+ m 1 m 當 我 們 從 n 類 東 西 中 取 出 m 件, 或 問 題 的 方 法 數 可 以 化 成 不 定 方 程 組 x 1 +x 2 + +x n =m 的 非 負 整 數 解 的 個 數, 這 都 是 使 用 重 複 組 合 的 時 機 [ 例 題 17] 求 下 列 各 小 題 的 方 法 數 : (1) 同 時 擲 2 粒 相 同 的 骰 子, 有 幾 種 可 能 的 情 形? (2) 有 4 名 候 選 人,18 名 選 舉 人, 記 名 投 票 時, 有 幾 種 情 形? 不 記 名 投 票 時, 有 幾 種 情 形?( 假 設 每 個 人 都 去 投 票, 而 且 沒 有 廢 票 ) (3) 將 6 件 相 同 的 玩 具 分 給 4 個 小 朋 友, 任 意 的 分 配, 有 幾 種 分 法? Ans:(1)21 (2)4 18, C 21 18 (3) C 9 6 [ 例 題 18] 求 下 列 各 小 題 : (1)x+y+z+u=100 之 非 負 整 數 解 個 數? (2)x+y+z+u=100 之 正 整 數 解 個 數? (3)x+y+z+u=100, 且 滿 足 x> 1,y>2,z>3,u 2 的 整 數 解 個 數? Ans:(1) C (2) C (3) 103 100 99 96 98 C 95 ~2 2 18~

[ 例 題 19] (x+y+z) 8 的 展 開 式 中 (1) 請 問 有 幾 個 不 同 類 項?(2) 請 求 出 x 2 y 4 z 2 項 的 係 數 =? 8! 10 Ans:(1) C 8 (2) 2!4!2! [ 例 題 20] x+y+z 8 之 非 負 整 數 解 個 數? Ans: C 11 8 ( 練 習 41) 投 擲 4 粒 骰 子 (1) 骰 子 不 同 有 幾 種 可 能 的 情 形? (2) 骰 子 相 同 有 幾 種 可 能 的 情 形? Ans:(1)6 4 (2) C 9 4 ( 練 習 42) 將 9 件 相 同 的 玩 具 分 給 4 個 小 朋 友, 每 個 人 至 少 一 件, 有 幾 種 分 法? Ans:56 ( 練 習 43) 設 (a+b+c) 7 的 展 開 式 中, (1) 請 問 有 幾 個 不 同 類 項?(2) 請 問 a 2 bc 4 的 係 數 =? 7! 9 Ans:(1) C 7 (2) 2!1!4! ( 練 習 44) 方 程 式 x+y+z+u=12 的 非 負 整 數 解 有 個, 正 整 數 解 有 個 Ans:455,165 ( 練 習 45) 方 程 式 x+y+z+u 9 之 正 整 數 解 之 個 數 為 何? Ans:126 ~2 2 19~

( 戊 ) 排 列 組 合 的 綜 合 運 用 (1) 分 組 與 分 堆 問 題 : 例 子 : 有 ABCDEF 六 人 按 照 下 列 人 數 來 分 組, 請 問 有 幾 種 分 組 的 方 法? (1) 按 3,2,1 分 成 三 組 (2) 按 2,2,2 分 成 三 組 [ 解 法 ]: (1) 考 慮 C 6 3.C 3 2.C 1 1 這 個 式 子, 根 據 乘 法 原 理 或 樹 狀 圖, 可 以 得 知, 按 3,2,1 分 成 三 組 的 方 法 有 C 6 3.C 3 2.C 1 1 種 (2) 考 慮 C 6 2.C 4 2.C 2 2 這 個 式 子, 根 據 乘 法 原 理 或 樹 狀 圖, 我 們 可 以 發 現 AB CD EF,AB EF CD,CD AB EF,CD EF AB,EF AB CD, EF CD AB, 這 6 種 分 組 方 式 並 沒 有 差 別, 而 算 式 C 6 2.C 4 2.C 2 2 中, 卻 將 其 算 了 6 次, 因 此 按 2,2,2 分 成 三 組 的 分 組 方 法 只 有 C 6 2.C 4 2.C 2 2. 1 種 3! [ 例 題 21] ( 分 組 與 給 物 的 問 題 ) 有 8 本 不 同 的 書 本, (1) 平 分 成 兩 堆 (2) 按 照 4,2,2 分 成 三 堆 (3) 按 照 4,3,1 分 成 三 堆 (4) 平 分 給 甲 乙 兩 人 (5) 甲 給 4 本, 乙 給 2 本, 丙 給 2 本 (6) 按 照 4,3,1 自 由 分 配 給 甲 乙 丙 三 人 Ans:(1)35 (2)210 (3)280 (4)70 (5)420(6)1680 [ 例 題 22] ( 有 特 定 條 件 的 分 組 問 題 ) (1)9 人 平 分 成 三 組, 其 中 甲 乙 丙 三 人 必 不 在 同 一 組 的 方 法 有 幾 種? (2)9 人 平 分 成 三 組, 其 中 甲 乙 在 同 一 組 的 方 法 有 幾 種? Ans:(1)90 (2)70 ~2 2 20~

( 練 習 46) 籃 球 3 人 鬥 牛 賽, 共 有 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 9 人 參 加, 組 成 3 隊, 且 甲 乙 兩 人 不 在 同 一 隊 的 組 隊 方 法 有 多 少 種? Ans:210 (90 學 科 ) ( 練 習 47) 有 學 生 10 人, 住 A,B,C 三 間 房, 若 A 房 住 4 人,B,C 各 住 3 人 (1) 住 法 有 幾 種? (2) 若 甲 乙 兩 人 住 同 房, 其 住 法 有 幾 種? Ans:(1)4200 (2)1120 ( 練 習 48) 有 八 本 不 同 的 書, 按 3,3,2 自 由 分 配 給 甲 乙 丙 三 人, 請 問 有 幾 種 給 法? Ans:1680 ( 練 習 49) HBL 的 複 賽 共 有 8 支 隊 伍 入 圍 參 加 比 賽, 現 在 要 作 淘 汰 賽, 如 圖 為 本 次 的 賽 程 表, 請 問 共 有 幾 種 安 排 賽 程 的 方 式?Ans:315 ( 練 習 50) S={1,2,3,4,5,6,7,8,9} (1) 將 S 的 元 素 分 成 4 個,5 個 的 兩 組,1,2 要 在 同 一 組 的 選 法 有 幾 種? (2) 從 S 中 任 取 3 個 數 的 和 為 奇 數 的 取 法 有 幾 種? Ans:(1)56 (2)40 ( 練 習 51) 高 二 三 班 各 派 2 名 羽 球 選 手, 作 羽 球 的 單 打 排 名 賽, 比 賽 賽 程 表 如 圖 所 示, 而 且 要 求 同 班 派 出 的 選 手 在 冠 亞 軍 以 外 不 比 賽, 則 賽 程 有 幾 種 排 法?Ans:36 (2) 排 列 與 組 合 的 綜 合 運 用 : [ 例 題 23] 7 個 球 放 入 3 個 箱 子, 每 個 箱 子 都 夠 大 能 放 入 7 個 球, 亦 可 以 留 有 空 箱 子 (1) 球 相 同, 箱 子 相 同 有 幾 種 存 放 的 方 法? (2) 球 相 同, 箱 子 相 異 有 幾 種 存 放 的 方 法? (3) 球 相 異, 箱 子 相 同 有 幾 種 存 放 的 方 法? (4) 球 相 異, 箱 子 相 異 有 幾 種 存 放 的 方 法? Ans:(1)8 (2)36 (3)365 (4)2187 ~2 2 21~

[ 例 題 24] 下 列 哪 一 個 選 項 的 答 案 為 C 7 3? (1) 舞 蹈 社 有 3 個 男 生 4 個 女 生, 要 選 出 3 人 代 表 獻 花, 則 選 法 有 幾 種? (2) 甲 乙 丙 3 人 從 7 件 不 同 的 禮 物 中, 每 人 選 1 件, 則 選 法 有 幾 種? (3) 將 庭 院 深 深 深 幾 許 7 個 字 任 意 排 列 的 方 法 數 有 幾 種? (4) 如 右 圖 的 棋 盤 式 街 道, 從 A 到 B 走 捷 徑 ( 只 能 向 右 或 向 上 ) 則 走 法 有 幾 種? (5) 4 枝 相 同 的 筆, 任 意 分 給 4 個 人, 則 分 法 有 幾 種? Ans:(1)(4)(5) [ 例 題 25] 設 A={1,2,3,4},B={5,6,7} (1) 從 A 映 至 B 的 函 數 有 幾 個? (2) 從 A 到 B 的 映 成 函 數 有 幾 個? (3) 從 B 映 到 A 的 函 數 有 幾 個? (4) 從 B 到 A 之 一 對 一 函 數 有 幾 個? Ans:(1)81 (2)36 (3)64 (4)24 [ 例 題 26] 請 求 出 下 列 集 合 的 元 素 個 數 : A={(x,y,z) 1 x,y,z 9,x,y,z 為 整 數, 且 x,y,z 互 異 }, B={(x,y,z) 1 x,y,z 9,x,y,z 為 整 數 } C={(x,y,z) 1 x<y<z 9,x,y,z 為 整 數 } D={(x,y,z) 1 x y z 9,x,y,z 為 整 數 } Ans:n(A)=504,n(B)=729,n(C)=84,n(D)=165 ~2 2 22~

[ 例 題 27] 由 mathematical 中 的 字 母, 每 次 取 4 個 的 組 合 數 有 幾 個? 排 列 數 有 幾 個? Ans:143,2482 ( 練 習 52) 將 10 件 相 同 物 分 給 甲 乙 丙 三 人 (1) 每 人 至 少 一 件, 有 幾 種 分 法? (2) 其 中 一 人 至 少 得 一 件, 一 人 至 少 得 二 件, 一 人 至 少 得 三 件, 有 幾 種 分 法?Ans:(1)36 (2)33 ( 練 習 53) 五 件 不 同 的 玩 具 分 給 甲 乙 丙 三 人, 求 下 列 的 分 法? (1) 每 人 至 少 得 一 件 (2) 甲 得 2 件, 乙 得 2 件, 丙 得 1 件 Ans:(1)150 (2)30 ( 練 習 54)( 函 數 的 個 數 )f:g H 為 一 個 函 數 (1) 若 n(g)=6,n(h)=3, 則 f 的 個 數 有 幾 種? (2) 若 n(g)=3,n(h)=7, 且 f 為 一 對 一 函 數, 則 f 的 個 數 有 幾 種? (3) 若 n(g)=9,n(h)=2, 且 f 為 映 成 函 數, 則 f 的 個 數 有 幾 種? Ans:(1)729 (2)210 (3)510 ( 練 習 55) 自 ATTENTION 一 字 中, 每 次 取 5 個 字 母, 共 有 幾 種 取 法? 幾 種 不 同 的 排 列 法? Ans:41,2250 ( 練 習 56) 設 A={1,2,3,4}, B={1,2,3,4,5,6}, 則 從 A 到 B 的 函 數 中, 滿 足 (1)f(1) f(2) f(3) f(4) 者 共 有 幾 個?(2) f(1)<f(2)<f(3)<f(4) 者 共 有 幾 個? Ans:(1)126 (2)15 ( 練 習 57) 袋 中 有 相 同 的 紅 球 5 個, 相 同 的 白 球 4 個, 相 同 的 黑 球 2 個, 相 同 的 黃 球 2 個, 綠 球 1 個, 自 袋 中 任 取 4 球 (1) 有 幾 種 取 法? (2) 取 4 球 排 成 一 列 有 幾 種 取 法? (3) 從 袋 中 至 少 取 一 球 有 幾 種 取 法?Ans:(1)45 (2)478 (3)539 ~2 2 23~

綜 合 練 習 ( 二 ) (15) 設 n 為 正 整 數,C 29 n+3=c 29 2n-4, 試 求 n 之 值 (16) (a) 若 C 30=C 56 5 r6,r 30, 求 r 之 值 (b) 求 C 2 2+C 3 2+C 4 2+ +C 1 9 2 之 值 (17) 從 五 位 男 生 六 位 女 生 中, 選 出 五 人 組 成 委 員 會, 試 問 : (a) 共 有 多 少 種 選 法? (b) 規 定 男 女 各 至 少 有 兩 人, 有 多 少 種 選 法? (18) 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 共 7 人, 從 中 選 出 4 人, 求 下 列 選 法 各 有 幾 種 : (a) 任 意 選 (b) 甲 乙 同 時 入 選 (c) 甲 乙 不 能 同 時 入 選 (d) 甲 乙 丙 三 人 至 少 有 一 人 入 選 (19) 某 公 寓 住 戶, 欲 從 六 對 夫 婦 中, 選 出 5 人 組 成 管 理 委 員 會, 求 下 列 選 法 各 有 幾 種? (a) 任 意 選 (b) 5 人 中 恰 有 一 對 夫 婦 (c) 夫 婦 不 得 同 時 入 選 (20) 若 數 列 a 1,a 2,a k,,a 10 中 每 一 項 皆 為 1 或 1, 則 a 1 + +a k + +a 10 之 值 有 多 少 種 可 能?(1)10 (2)11 (3) P (4) C (5)2 10 (2010 學 科 ) 10 2 10 2 (21) 有 6 男 4 女 共 10 名 學 生 擔 任 本 週 值 日 生, 導 師 規 定 在 本 週 五 個 上 課 日 中, 每 天 兩 名 值 日 生, 且 至 少 需 有 1 名 男 生, 試 問 本 週 安 排 值 日 生 的 方 式 有 種 (90 大 學 社 ) (22) 因 乾 旱 水 源 不 足 自 來 水 公 司 計 畫 在 下 周 一 至 週 日 的 7 天 中 選 擇 2 天 停 止 供 水 若 要 求 停 水 的 兩 天 不 相 連, 則 自 來 水 公 司 共 有 幾 種 選 擇 方 式?(2002 指 定 乙 ) (23) 新 新 鞋 店 為 與 同 業 進 行 促 銷 戰, 推 出 第 二 雙 不 用 錢 --- 買 一 送 一 的 活 動 該 鞋 店 共 有 八 款 鞋 可 供 選 擇, 其 價 格 如 下 : 規 定 所 送 的 鞋 之 價 格 一 定 少 於 所 買 的 價 格 ( 例 如 : 買 一 個 丁 款 鞋, 可 送 甲 乙 兩 款 鞋 之 一 ) 若 有 一 位 新 新 鞋 店 的 顧 客 買 一 送 一, 則 該 顧 客 所 帶 走 的 兩 雙 鞋, 其 搭 配 方 法 一 共 有 種 (2006 學 科 ) (24) 將 24 顆 雞 蛋 分 裝 到 紅 黃 綠 的 三 個 籃 子 每 個 籃 子 都 要 有 雞 蛋, 且 黃 綠 兩 個 籃 子 裡 都 裝 奇 數 顆 請 選 出 分 裝 的 方 法 數 (1) 55 (2) 66 (3) 132 (4) 198 (5) 253 (2013 學 科 能 力 測 驗 ) ~2 2 24~

(25) 有 一 個 兩 列 三 行 的 表 格 如 右 下 圖 在 六 個 空 格 中 分 別 填 入 數 字 1 2 3 4 5 6( 不 得 重 複 ), 則 1 2 這 兩 個 數 字 在 同 一 行 或 同 一 列 的 方 法 有 種 (2010 學 科 ) (26) 一 副 撲 克 牌 共 52 張, 由 其 中 取 出 5 張, 求 : (a) 5 張 為 同 一 花 色 的 情 形 共 有 種 (b) 5 張 中 有 3 張 同 點 數, 另 外 2 張 也 同 點 數 ( 如 xxxyy,x y ) 的 情 形 有 種 (27) 平 面 上 有 8 個 點, 若 其 中 恰 有 4 點 共 線, 如 右 圖 (a) 這 8 個 點 可 作 出 幾 條 相 異 直 線? (b) 這 8 個 點 可 決 定 幾 個 三 角 形? (28) 兩 個 凸 多 邊 形, 共 有 16 個 邊,41 條 對 角 線, 則 此 兩 個 多 邊 形 的 邊 數 分 別 為 多 少? (29) 將 八 位 新 轉 來 的 學 生 分 到 甲 乙 丙 丁 四 班 (a) 每 班 2 人, 有 幾 種 分 法? (b) 甲 班 2 人, 乙 班 2 人, 丙 班 1 人, 丁 班 3 人, 有 幾 種 分 法? (c) 其 中 有 兩 班 各 2 人, 另 外 一 班 1 人, 一 班 3 人, 分 法 有 幾 種? (30) 有 甲 乙 丙 等 12 人 平 分 為 四 隊, 每 隊 三 人, 若 甲 乙 兩 人 不 同 隊, 則 有 種 分 法 (31) 方 程 式 x+y+z+u=10 的 (a) 非 負 整 數 解 有 幾 組? (b) 正 整 數 解 有 幾 組? (c) 非 負 偶 數 解 有 幾 組? (d) 正 奇 數 解 有 幾 組? (32) 某 一 跳 棋 盒 內, 有 紅 黃 藍 三 種 顏 色 的 棋 子, 每 種 顏 色 各 有 15 顆, 若 隨 意 從 盒 中 抓 出 10 個, 則 有 幾 種 情 形? (33) 有 四 種 大 小 相 同 的 色 球 各 6 個, 從 中 任 取 5 個, (a) 任 意 取, 方 法 有 幾 種? (b) 恰 含 兩 種 色 球, 方 法 有 幾 種? (34) 某 水 果 店 販 售 的 水 果 有 蘋 果 梨 子 芒 果 橘 子 某 人 欲 購 買 12 顆 裝 的 水 果 禮 盒 一 盒, 但 要 求 每 種 水 果 至 少 裝 一 顆, 請 問 老 闆 有 多 少 種 裝 法? (35) 將 3 個 蘋 果 4 個 梨 子 分 給 甲 乙 丙 三 人 (a) 分 法 有 幾 種? (b) 每 種 水 果 每 人 至 少 須 得 一 個, 分 法 有 幾 種? (c) 每 人 至 少 得 一 個 水 果, 分 法 有 幾 種? (36) 將 3 本 書 全 分 給 5 人, 依 下 列 情 形, 方 法 各 有 幾 種 : (a) 書 不 同, 每 人 所 得 不 限, 有 種 (b) 書 相 同, 每 人 至 多 一 本, 有 種 ~2 2 25~

(37) 6 件 不 同 的 禮 物, 要 分 給 甲 乙 丙 等 三 個 人, 每 人 至 少 得 1 件, 有 種 方 法 (38) 自 attention 中, 每 次 取 出 四 個 字 母, 則 : (a) 組 合 數 為 個 (b) 排 列 數 為 個 (39) 設 a b c 為 三 位 數, 滿 足 下 列 條 件 的 三 位 數 各 有 幾 個 : (a) a>b>c (b) a<b<c (c) a b c (d) a b c 進 階 問 題 (40) 將 5 個 + 號,6 個 - 號 排 成 一 列, 若 變 號 數 ( + 號 後 面 接 - 號 或 - 號 後 面 接 + 號, 各 稱 為 一 個 變 號 數 ) 為 4, 則 其 排 法 有 種 (41) 將 5 個 A 和 3 個 B 任 意 排 列, 我 們 將 連 續 相 同 的 字 母 畫 一 底 線 定 義 為 一 個 連 串, 例 如 ABBABAAA 畫 記 為 A BB A B AAA, 其 連 串 數 為 5 又 如 BB AAAAA B 其 連 串 數 為, 試 問 5 個 A 和 3 個 B 任 意 排 列 後, 連 串 數 為 3 的 排 法 共 有 多 少 種? (42) 有 8 個 人 身 高 均 相 異, 今 8 人 排 成 一 列, 但 任 一 人 都 不 排 在 比 自 己 高 的 兩 人 之 間, 共 有 種 排 法 (43) 連 接 正 12 邊 形 之 任 3 個 頂 點, 可 得 (a) 多 少 個 直 角 三 角 形? (b) 多 少 個 銳 角 三 角 形? (c) 多 少 個 鈍 角 三 角 形? (44) 以 245000 為 最 小 公 倍 數 的 兩 個 正 整 數 A 與 B, 請 問 數 對 (A,B) 有 幾 組? (45) 平 面 上 有 11 個 相 異 點, 任 意 連 接 兩 點, 共 可 得 48 條 不 同 的 直 線 (a) 在 這 11 點 中, 含 3 點 以 上 的 相 異 直 線 有 幾 條? (b) 在 這 11 點 中, 任 取 3 點, 可 決 定 幾 個 三 角 形?(2004 台 大 電 機 甄 試 ) (46) A B 兩 人 競 選, 選 舉 得 票 數 共 11 張, 唱 票 時,A 一 直 保 持 領 先, 且 最 後 A 恰 以 多 一 票 獲 勝, 則 唱 票 的 情 形 有 多 少 種? (47) 如 右 圖, 棋 盤 式 街 道 中 由 A 到 B 走 捷 徑, 恰 轉 彎 4 次 的 走 法 有 幾 種? B A ~2 2 26~

(15) n=7 或 10 綜 合 練 習 解 答 (16) (a)26 (b)1140 (17) (a)462 (b)350 (18) (a)35 (b)10 (c)25 (d)34 (19) (a)792 (b)480 (c)192 (20) (2) (21) 43200 (22) 15 (23) 21 (24) (5) (25) 432 (26) (a)5148 (b)3744 (27) (a)23 (b)52 (28) 9 與 7 (29) (a)2520 (b)1680 (c)20160 [ 提 示 :(a) 共 有 C 8 2C 6 2C 4 2C 2 2 1 2! 2! =2520 ( 種 ) 分 法 (b) 共 有 C 8 2C 6 2C 4 1C 3 3 1 2! 2! =1680 ( 種 ) 分 法 (c) ( C 8 2C 6 2C 4 1C 3 3 1 2! ) 4!=20160 ] (30) 12600 (31) (a) C 13 10=286 (b) C 9 6=84 (c) C 5 4+5-1 =C 8 5=56 (d) C 6 3=20 (32) 66 (33) (a)56 (b)24 (34) 165 (35) (a) C 3+3-1 3 C 3+4-1 4 =C 5 3C 6 4=150 (b) C 3+0-1 0 C 3+1-1 3 =C 2 0C 3 1=3 (c)93 [ 每 人 至 少 得 1 個 水 果, 分 法 有 ( 全 部 分 法 )-( 其 中 一 人 沒 得 )+ ( 其 中 二 人 沒 得 )-( 三 人 沒 得 )] (36) (a)125 (b)10 (37) 540 ~2 2 27~

(38) (a)41 (b)626 (39) (a)120 (b)84 (c)219 (d)165 (40) 70 (41) 6 (42) 128 (43) (a)60 (b)40 (c)120 [ 提 示 :(a) 任 選 一 條 直 徑 A 1 A 7, 可 得 10 個 直 角 三 角 形, 所 以 有 6 10=60 A 8 A 7 A 6 個 直 角 三 角 形 (b) 取 A 1 為 頂 點, 以 A 1 A 2 為 邊, 形 成 0 個 銳 角 三 角 形, 以 A 1 A 3 為 邊, 形 成 1 個 銳 角 三 角 形 (ΔA 1 A 3 A 8 ), 以 A 1 A 4 為 邊, 形 成 2 個 銳 角 三 角 形 (ΔA 1 A 4 A 8 ΔA 1 A 4 A 9 ), 以 A 1 A 5 為 邊, 形 成 3 個 銳 角 三 角 形, 以 A 1 A 6 為 邊, 形 成 4 個 銳 角 三 角 形 (ΔA 1 A 3 A 8 ), 所 以 取 A 1 為 頂 點, 可 形 成 (1+2+3+4)=10 個 銳 角 三 A 9 A 5 A 10 A 4 A 11 A 3 A 12 A 2 角 形, 共 有 10 12 1 3 =40 個 銳 角 三 角 形 A 1 (c)c 12 3 60 40=120 ] (44) 315 [ 提 示 :245000=2 3 5 4 7 2, 設 A=2 a 5 b 7 c,b=2 α 5 β 7 γ, 討 論 a,b,c,α,β,γ 有 幾 種 情 形, 就 可 以 得 知 (A,B) 的 數 對 有 幾 組, 因 為 (a,α) 有 2 4 1=7 種 情 形 ((3,0) (3,1) (3,2) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3)), 同 理 (b,β) 有 2 5 1=9 種 情 形,(c,γ) 有 2 3 1=5 種, 因 此 數 對 (A,B) 有 7 9 5=315 組 ] (45) (a)2 (b)160 [ 提 示 :(a) 若 11 個 相 異 點 中, 任 三 點 不 共 線, 則 可 決 定 C 11 2=55 條 直 線, 因 為 只 決 定 了 48 條 直 線, 則 可 知 少 了 7 條 直 線, 另 外, 若 有 一 直 線 上 有 三 點, 則 直 線 會 減 少 C 3 2 1=2 條, 若 有 一 直 線 上 有 四 點, 則 直 線 會 減 少 C 4 2 1=5 條, 若 有 一 直 線 上 有 五 點, 則 直 線 會 減 少 C 5 2 1=9 條, 此 不 可 能, 所 以 在 這 11 點 中 有 一 條 直 線 恰 有 3 點, 令 一 直 線 恰 有 4 點 (b)c 11 3 C 3 3 C 4 3=160] (46) 42 [ 提 示 : 將 A 的 得 票 數 與 B 的 得 票 數 分 別 記 在 x 軸,y 軸, 唱 票 時 A 一 直 保 持 領 先, 故 第 一 票 為 A 所 得, 即 自 P(1,0) 出 發, 第 二 票 必 是 A 獲 得, 故 由 (1,0) 移 動 到 (2,0), 令 A B 的 得 票 數 分 別 為 a,b, 則 形 成 點 (a,b), 其 中 a>b 最 後 A 恰 以 一 票 獲 勝, 因 此 終 點 為 Q(6,5), 即 自 P 點 開 始 沿 實 線 取 捷 徑 走 到 Q 點 的 方 法, 會 與 唱 票 時, A 一 直 保 持 領 先, 且 最 後 A 恰 以 多 一 票 獲 勝 的 唱 票 情 形 一 一 對 應 ] ~2 2 28~

(47) 198 [ 提 示 : 從 A 到 B 走 捷 徑, 相 當 於 10 個 5 個, 而 轉 彎 4 次 代 表 有 4 個, 因 此 可 分 成 或 兩 種, (1) : 剩 下 7 個 要 排 在 的 位 置, 而 3 個 要 排 在 的 位 置, 因 此 有 H 3 7 H 2 3 種 ; 同 理 有 H 3 2 2 H 8 種 ] ~2 2 29~