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9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 9 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 数 学 二 试 题 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 把 所 选 项 前 的 字 母 填 在 题 后 的 括 号 内 ( 函 数 f ( 的 可 去 间 断 点 的 个 数 则 ( si (A (B (C (D 无 穷 多 个 解 析 与 点 评 考 点 : 简 单 极 限 运 算 与 间 断 点 的 分 类 水 木 艾 迪 辅 导 的 星 级 考 点 参 见 水 木 艾 迪 考 研 数 学 6 计 例 --- 等 题 目 答 案 C f ( 则 当 取 整 数 时 f ( 无 定 义 si f ( 的 间 断 点 有 无 穷 多 个 应 是 的 解 可 去 间 断 点 为 个 即 lim o si lim cos lim si lim cos lim si lim cos ( 当 时 f ( si 与 g( l( b 是 等 价 无 穷 小 则 ( (A b (B b (C b (D b 6 6 6 6 解 析 与 点 评 考 点 : 无 穷 小 量 比 阶 的 概 念 与 极 限 运 算 法 则 此 为 水 木 艾 迪 强 调 的 星 级 考 点 参 见 木 艾 迪 考 研 数 学 春 季 基 础 班 教 材 考 研 数 学 通 用 辅 导 讲 义 例.67 强 化 班 教 材 大 学 数 学 强 化 99 6 7 等 例 题 答 案 A lim si si lim cos lim b l( b ( b si lim 6b si lim 6b 6b cos 6b 意 味 选 项 B C 错 误 再 由 lim 存 在 应 有 b cos ( 故 D 错 误 所 以 选 A ( 函 数 z f ( 的 全 微 分 为 dz d d 则 点 (( (A 不 是 f ( 的 连 续 点 (B 不 是 f ( 的 极 值 点 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 (C 是 f ( 的 极 大 值 点 (D 是 f ( 的 极 小 值 点 解 析 与 点 评 ( 方 法 dz d d d( z ( 有 最 小 值 立 即 有 结 果 D 这 是 水 木 艾 迪 一 再 强 调 的 凑 微 分 方 法 ( 方 法 由 dz d d 可 得 z A z z z B C 在 ( 处 AC B > 故 ( 为 函 数 z f ( 的 一 个 极 小 值 点 答 案 D ( 设 函 数 f ( 连 续 则 d f ( d d f ( d ( (A d f ( d (B d f ( d (C d f ( d (D d f ( d 解 析 d f ( d d f ( d 的 积 分 区 域 为 两 部 分 : D { } D {( } ( D {( } 将 二 次 积 分 交 换 积 分 秩 序 得 到 d f ( d 答 案 C (5 若 f ( 不 变 号 且 曲 线 f ( 在 点 ( 上 的 曲 率 圆 为 则 f ( 在 区 间 ( 内 ( (A 有 极 值 点 无 零 点 (B 无 极 值 点 有 零 点 (C 有 极 值 点 有 零 点 (D 无 极 值 点 无 零 点 解 析 与 点 评 在 点 ( 处 的 领 域 内 f ( 凸 性 不 变 ( 上 凸 即 f ( < 概 念 得 到 f ( ( f ( 与 ( f ( 在 [ ] 上 f ( f ( < 即 f ( 单 调 减 少 没 有 极 值 点 f ( f ( f ( ξ < ξ ( f ( < f ( > 由 零 点 定 理 f ( 在 [ ] 上 有 零 点 应 选 (B 答 案 B 由 曲 率 圆 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 考 点 : 曲 率 圆 概 念 零 点 定 理 与 拉 格 朗 日 微 分 中 值 定 理 是 水 木 艾 迪 辅 导 的 星 级 考 点 尤 其 是 拉 格 朗 日 微 分 中 值 定 理 的 桥 梁 功 能 与 逐 点 控 制 功 能 ( 连 锁 控 制 功 能 是 我 们 教 学 中 一 再 强 调 的 概 念 与 方 法 参 见 水 木 艾 迪 考 研 数 学 通 用 教 材 ----- 微 积 分 ( 清 华 大 学 出 版 社.5 节 与 相 关 例 题 考 研 数 学 6 技 例 --- 等 题 目 (6 设 函 数 f ( 在 区 间 [ 上 的 图 形 为 f ( ] - - - 则 函 数 F ( f( t dt为 F ( F( - - - - (A (B (C F ( F( - - (D 解 析 与 点 评 考 点 : 函 数 与 其 变 限 积 分 函 数 的 关 系 函 数 与 其 导 函 数 之 间 的 关 系 定 积 分 的 几 何 意 义 由 f ( ( 的 图 形 可 见 其 图 像 与 轴 及 轴 所 围 的 图 形 的 代 数 面 积 应 为 函 数 F 由 于 ( 由 第 一 类 间 断 点 f ( - F 只 能 为 连 续 函 数 不 可 导 ( 时 ( > 且 为 常 数 应 有 F 单 调 递 增 且 为 直 线 函 数 f ( ( ( 时 f ( < F 且 单 调 递 减 ( 时 ( > F 单 调 递 增 ( 时 f ( F 为 常 值 函 数 f ( ( 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 正 确 选 项 为 D 答 案 D (7 设 A B 均 为 阶 矩 阵 且 A B 分 别 为 A B 的 伴 随 矩 阵 若 A B 则 分 O A 块 矩 阵 B O 的 伴 随 矩 阵 为 ( O B O B O A O (A (B (C (D A O A O B O B 答 案 B A 解 析 由 于 分 块 矩 阵 的 行 列 式 B B 阵 可 逆 根 据 公 式 C * C C B A B A B A 6 A A ( B 6 * A A * * A O A B 6 即 分 块 矩 B B * B * B 6 故 答 案 为 B * * A A 讲 评 本 题 考 查 的 知 识 点 有 : 伴 随 矩 阵 和 逆 矩 阵 的 关 系 分 块 矩 阵 的 行 列 式 分 块 矩 阵 的 逆 矩 阵 等 二 填 空 题 :9- 小 题 每 小 题 分 共 分 请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 t u (9 曲 线 du 在 ( 处 的 切 线 方 程 为 t l( t 答 案 解 析 与 点 评 考 点 : 参 数 方 程 的 导 数 变 限 积 分 的 导 数 导 数 的 几 何 应 用 d t d (t t l( t t t ( t dt t dt d 切 线 方 程 为 dt 导 数 与 积 分 的 几 何 应 用 是 水 木 艾 迪 考 研 数 学 辅 导 的 星 级 考 点 可 参 见 水 木 艾 迪 春 级 班 模 拟 试 题 - 题 ( 已 知 d 答 案 - 则 b d d lim b 解 析 * 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 此 极 限 存 在 必 有 < 于 是 有 ( lim si d 答 案 解 析 与 点 评 定 积 分 的 分 部 积 分 法 与 回 归 法 是 水 木 艾 迪 辅 导 的 星 级 考 点 我 们 一 再 强 调 : 与 积 分 有 关 的 极 限 问 题 不 一 定 把 积 分 完 全 算 出 来 ( 方 法 I si d cos d cos cos d cos lim I ( 方 法 I si d si cosd si cosd si cos I si cos I cos si lim I lim( d ( 设 ( 是 方 程 确 定 的 隐 函 数 则 d 解 析 与 点 评 方 程 两 边 关 于 求 导 得 两 边 再 次 求 导 可 得 ( ( 得 当 时 ( ( 答 案 - ( 函 数 在 区 间 ( ] 上 的 最 小 值 为 解 析 与 点 评 初 等 函 数 性 质 及 其 运 算 最 大 最 小 值 问 题 是 水 木 艾 迪 考 研 数 学 辅 导 的 星 级 考 点 可 参 见 大 学 数 学 同 步 强 化 99 5 题 l (l 令 得 驻 点 为 当 ( ] 时 有 l l (l > ( 可 不 必 求 出! 又 省 时 间 了 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 5 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 l 故 为 的 极 小 值 点 当 时 ( < 在 上 递 减 且 ( lim ; 当 时 ( > 在 ( ] 上 递 增 且 ( 故 在 区 间 ( ] 上 的 最 小 值 为 答 案 T ( 设 α β 为 维 列 向 量 为 答 案 T β β 的 转 置 向 量 若 αβ 相 似 于 则 β T α T T 解 析 因 为 αβ 相 似 于 根 据 相 似 矩 阵 有 相 同 的 特 征 值 得 到 αβ 的 特 征 值 是 而 β T α 是 一 个 常 数 是 矩 阵 αβ T 的 对 角 元 素 之 和 则 β T α 点 讲 本 题 考 查 的 知 识 点 有 : 相 似 矩 阵 有 相 同 的 特 征 值 矩 阵 的 特 征 值 的 和 等 于 矩 阵 的 迹 等 性 质 三 解 答 题 :5- 小 题 共 9 分 请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 的 位 置 上 解 答 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 [ ] lim ( cos l( t (5( 本 题 满 分 9 分 求 极 限 si 解 析 与 点 评 本 题 属 于 普 通 极 限 运 算 与 无 穷 小 量 的 等 价 关 系 以 及 罗 必 达 法 则 参 见 木 艾 迪 考 研 数 学 春 季 基 础 班 教 材 考 研 数 学 通 用 辅 导 讲 义 例.68 强 化 班 教 材 大 学 数 学 强 化 99 例 - 等 例 题 ( cos lim si [ ] lim [ l( t ] l( t sc l( t lim lim t t sc t sc lim lim ( t (6( 本 题 满 分 分 sc lim sc t 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 6 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 计 算 不 定 积 分 l( d ( > 解 析 与 点 评 定 积 分 的 分 部 积 分 法 ( 独 到 之 处! 与 变 量 替 换 是 水 木 艾 迪 辅 导 的 星 级 考 点 令 t 得 t tdt d ( t t l( t l( t ( t ( t 原 式 dt t d( l( t l( t d( dt t t t t l( t t ( t ( t ( t dt l( t t l t t C ( t l( l C ( l( l( ( l( ( C (7( 本 题 满 分 分 设 z f ( 其 中 f 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 求 dz 与 z 解 析 与 点 评 f f f z f f [ f f ( f ] f f ( f f f f f f f ( f ( f f ( dz d d f 考 点 复 合 函 数 求 偏 导 参 见 水 木 艾 迪 考 研 大 学 数 学 同 步 强 化 99 例...5 等 考 研 数 学 三 十 六 技 例 5-5-5-5 等 以 及 考 研 数 学 通 用 辅 导 讲 义 ----- 微 积 分 等 题 (8( 本 题 满 分 分 设 非 负 函 数 ( ( 满 足 微 分 方 程 当 曲 f 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 7 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 线 ( 过 原 点 时 其 与 直 线 及 围 成 平 面 区 域 D 的 面 积 为 求 D 绕 轴 旋 转 所 得 旋 转 体 体 积 考 点 微 分 方 程 求 解 定 积 分 应 用 解 析 与 点 评 解 法 一 : t 上 述 方 程 为 Eulr 方 程 记 则 d d d d dt d d d dt dt d d dt dt t t t C C C C 为 微 分 方 程 的 通 解 其 中 C C 为 任 意 常 数 又 因 为 ( 通 过 原 点 时 与 直 线 及 围 成 平 面 区 域 的 面 积 为 于 是 可 得 C C C ( d ( C d ( 从 而 C 于 是 所 求 非 负 函 数 ( 又 由 可 得 在 第 一 象 限 曲 线 f ( 表 示 为 ( 于 是 D 围 绕 轴 旋 转 所 得 旋 转 体 的 体 积 为 V 5 V 其 中 5 5 5 V d ( d ( 9 9 d 9 5 7 V 5 8 8 6 解 法 二 : 为 可 降 阶 二 次 方 程 记 p 则 9 8 p p dp p d C C C p 后 面 同 解 法 一 水 木 艾 迪 考 研 大 学 数 学 同 步 强 化 99 例 75- 例 78- 考 研 数 学 三 十 六 技 例 -5 例 -6 例 8-8 考 研 数 学 通 用 辅 导 讲 义 ---- 微 积 分 例 7.6 例 7.7.5 例 8. 例 8. (9( 本 题 满 分 分 求 二 重 积 分 ( dd 其 中 D {( ( ( } D 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 8 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 考 点 二 重 积 分 极 坐 标 解 析 与 点 评 以 下 解 法 一 为 水 木 艾 迪 的 特 别 推 荐 方 法 解 法 一 : 作 变 量 代 换 ( 平 移 v D u D {( u v u v v u} 5 ( dd dθ 解 法 二 : 由 ( ( 得 r (siθ cosθ D ( dd dθ (siθ cosθ 8 ( r cosθ r siθ rdr ( r cosθ r siθ rdr (cosθ siθ r (siθ cosθ dθ 8 (cosθ siθ (siθ cosθ (siθ cosθ 8 (cosθ siθ (siθ cosθ dθ dθ 8 8 (si cos (si cos (si cos θ θ d θ θ θ θ 8 参 见 水 木 艾 迪 考 研 大 学 数 学 同 步 强 化 99 考 研 数 学 三 十 六 技 例 7- 以 及 考 研 数 学 通 用 辅 导 讲 义 ----- 微 积 分 例.7.7 (( 本 题 满 分 分 设 ( 是 区 间 ( 内 过 ( 的 光 滑 曲 线 当 < < 时 曲 线 上 任 一 点 处 的 法 线 都 过 原 点 当 时 函 数 ( 满 足 求 ( 的 表 达 式 考 点 微 分 方 程 分 段 函 数 的 光 滑 性 解 析 与 点 评 由 题 意 当 < < 时 即 d d 得 c 又 ( 代 入 c 得 c 从 而 有 ; 当 < 时 齐 次 方 程 的 通 解 为 c cos c si 令 非 齐 次 方 程 的 特 解 为 A b 则 有 A b 得 A b 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 9 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 的 通 解 为 c cos c si 由 于 ( 是 ( 内 的 光 滑 曲 线 故 在 处 连 续 于 是 由 ( ± ( c 可 得 c ± 时 ( 在 处 连 续 ; 又 当 < < 时 有 得 ( 当 < 时 有 c si c cos 得 ( c 由 ( ( 得 c 即 c 故 ( 的 表 达 式 为 cos si < < 或 cos si < < < < 因 为 曲 线 过 点 所 以 曲 线 方 程 为 cos si 水 木 艾 迪 考 研 大 学 数 学 同 步 强 化 99 5 考 研 数 学 三 十 六 技 例 - 例 - 例 - 例 - 例 - 例 - 例 - 微 积 分 通 用 辅 导 讲 义 例 8. 例 8. 例.7 例.8 (( 本 题 满 分 分 (Ⅰ 证 明 拉 格 朗 日 中 值 定 理 : 若 函 数 f ( 在 [ b] 上 连 续 在 ( b 可 导 则 存 在 ξ ( b 使 得 f ( b f ( f ( ξ ( b (Ⅱ 证 明 : 若 函 数 f ( 在 处 连 续 在 ( δ ( δ > 内 可 导 且 lim f ( A 则 f ( 存 在 且 f A ( 解 析 与 点 评 (Ⅰ 过 ( f ( 与 ( b f ( b 的 直 线 方 程 为 f ( b f ( ( f ( ( b f ( b f ( 取 辅 助 函 数 F( f ( f ( ( 则 F ( F( b ; b f ( b f ( F ( 在 [ b] 上 连 续 在 ( b 内 可 导 且 F ( f ( b 由 罗 尔 定 理 存 在 ξ ( b 使 F ( ξ 即 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 f ( b f ( f ( ξ 或 f ( b f ( f ( ξ ( b b (Ⅱ 任 取 ( δ 则 函 数 f ( 满 足 : 在 闭 区 间 [ ] 上 连 续 开 区 间 ( 内 可 导 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 可 得 : ( f ( f ( ξ ( ( δ 使 得 f ( ξ 两 边 取 时 的 极 限 注 意 到 lim f ( A ( ( f ( f f ( lim lim f ξ ξ 于 是 f 存 在 且 f ( A ( A 可 得 导 数 定 义 与 拉 格 朗 日 微 分 中 值 定 理 是 水 木 艾 迪 辅 导 的 星 级 考 点 尤 其 是 拉 格 朗 日 微 分 中 值 定 理 本 身 的 证 明 方 法 及 其 在 处 理 问 题 中 的 桥 梁 功 能 与 逐 点 控 制 功 能 ( 连 锁 控 制 功 能 是 我 们 教 学 中 一 再 强 调 的 概 念 与 方 法 相 关 例 题 参 见 水 木 艾 迪 考 研 数 学 通 用 教 材 ----- 微 积 分 ( 清 华 大 学 出 版 社 (( 本 题 满 分 分 设 A (Ⅰ 求 满 足 ξ ξ ξ A ξ ξ 的 所 有 向 量 ξ ξ ; A (Ⅱ 对 (Ⅰ 中 的 任 一 向 量 ξ 解 析 (Ⅰ 解 方 程 A ξ ξ ξ 证 明 : ξ ξ ξ 线 性 无 关 故 ξ 其 中 为 任 意 常 数 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室

9 考 研 数 学 试 题 详 解 与 评 析 水 木 艾 迪 考 研 辅 导 班 教 务 电 话 :6755\87885 水 木 艾 迪 www.tsighu.org 解 方 程 ξ ξ A A 故 ξ 其 中 为 任 意 常 数 (Ⅱ 证 明 : 由 于 ( 故 ξ ξ ξ 线 性 无 关 讲 评 本 题 考 查 的 知 识 点 有 : 矩 阵 的 运 算 非 齐 次 线 性 方 程 组 求 解 解 的 结 构 线 性 无 关 的 概 念 三 个 三 维 向 量 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是 行 列 式 不 为 零 行 列 式 的 计 算 等 (( 本 题 满 分 分 设 二 次 型 ( ( f (Ⅰ 求 二 次 型 的 矩 阵 的 所 有 特 征 值 ;(Ⅱ 若 二 次 型 的 规 范 形 为 求 的 值 f f 解 析 (Ⅰ A A E ( ( ( ( ( ( ( 所 以 二 次 型 的 矩 阵 A 的 特 征 值 为 (Ⅱ 若 规 范 形 为 说 明 有 两 个 特 征 值 为 正 一 个 为 当 时 三 个 特 征 值 为 这 时 二 次 型 的 规 范 形 为 讲 评 本 题 考 查 的 知 识 点 有 : 二 次 型 的 矩 阵 求 矩 阵 的 特 征 值 二 次 型 的 规 范 形 惯 性 定 理 等 地 址 : 清 华 同 方 科 技 广 场 B 座 69 室