数 值 积 分 和 数 值 微 分
I = f(x)dx 由 微 积 分 学 基 本 定 理, 当 f(x) 在 [,] 上 连 续 时, 存 在 原 函 数 F(x), 由 Newto-Leiits 公 式 I= f(x)dx = F() F() 有 时, 用 上 面 的 方 法 计 算 定 积 分 有 困 难.. 不 易 求 f(x) 的 原 函 数 F(x).f(x) 的 原 函 数 表 达 式 很 复 杂 ( 计 算 量 大 ).f(x) 用 列 表 给 出 ( 观 测 所 得 数 据 表 ) six e.g.,,e x lx e.g. x + x 4 dx 所 以, 讨 论 数 值 积 分, 即 用 数 值 方 法 计 算 定 积 分 的 近 似 值.
机 械 求 积 对 于, 若 f(x)> 时, 则 I 对 应 于 曲 边 梯 形 的 面 积. I = f(x)dx 当 f(x) 在 [,] 上 连 续, 由 积 分 中 值 定 理. ξ [,] f(x)dx = ( )f( ξ) I 是 以 - 为 底, 高 为 f(ξ) 的 矩 形 的 面 积. f(ξ) 称 为 [,] 上 的 平 均 高 度.. 梯 形 公 式 f() + f() 取 f() ξ f() + f() ( ) ( ) f(x)dx ( ) = f() + ) f(. 中 矩 形 公 式 + + f( ξ) f( ) f(x)dx ( 取 )f( )
. Simpso 公 式 + 取 f( ξ ) [f() + 4f( ) + f()] 6 ( ) + f(x)dx [f() + 4f( ) + f()] 6 4( ) + f(x)dx f() + f( ) + f() 6 6 6
机 械 求 积 公 式 : 在 [,] 中 有 + 个 互 异 的 节 点 x, x, x,, x. f(x)dx Af(x ) + Af(x ) +... + Af(x ) (.) 称 上 式 为 机 械 求 积 公 式, 其 中 x ~ x 为 求 积 节 点, A i (i=,,,) 为 求 积 系 数 ( 权 ). 注 :. 求 积 系 数 A 仅 与 节 点 x i 的 选 取 有 关, 而 不 依 赖 于 被 积 函 数 f(x) 的 具 体 形 式.. 通 过 机 械 求 积, 把 求 积 分 值 转 化 为 求 函 数 值, 避 免 了 Newto-Leiits 求 原 函 数 的 困 难.. 机 械 求 积 是 求 定 积 分 的 近 似 方 法. R ( f) = I Af(x ) i i i = 求 积 公 式 (.) 的 截 断 误 差 或 余 项.
代 数 精 度 对 于 机 械 求 积 公 式 f(x)dx Af(x) i i i= 定 义 若 上 述 公 式 对 所 有 次 数 不 超 过 m 的 多 项 式 P m (x) 都 精 确 成 立, 即 R (P m )=, 而 对 某 一 个 m+ 次 多 项 式 P m+ (x) 近 似 成 立, 即 R (P m+ ). 则 称 机 械 求 积 公 式 具 有 m 次 代 数 精 度. 梯 形 公 式 f(x)dx [f() + f()] 的 代 数 精 度 为. R ( f) = I Af(x ) i i i = ( )
证 明 : 当 f(x)=,x,x,,x m 时, 求 积 公 式 精 确 成 立, 而 f(x)= x m+ 时 公 式 近 似 成 立, 必 要 性 显 然. 下 证 充 分 性 对 任 意 次 数 低 / 等 于 m 的 多 项 式 P m (x)= + x+ x + + m x m, 由 于 求 积 公 式 判 断 代 数 精 度 的 方 法 f(x)dx Af(x) i i i= 对 于 f(x)=,x,x,,x m 时 精 确 成 立 m m dx = A, xdx = Ax,..., x dx = A x = + + + m m P(x)dx m dx xdx... m xdx = A + Ax +... + m Ax = = = = m A( + x +... + x m ) = AP(x m ) = = 求 积 公 式 对 P m (x) 精 确 成 立. 但 对 m+ 次 多 项 式, 公 式 近 似 成 立 (R ), 由 定 义 知 该 公 式 的 代 数 精 度 是 m 次 求 积 公 式 的 代 数 精 度 为 m 次.
例 验 证 梯 形 公 式 的 代 数 精 度 为. 解 : 梯 形 公 式 令 f(x)= 令 f(x)=x f(x)dx [f() + f()] 左 = dx=, 右 = [+ ] =, 左 = 右 公 式 对 f(x)= 精 确 成 立. xdx =, 右 = [+ ] =, 左 = 右 公 式 对 f(x)=x 精 确 成 立 令 f(x)=x 左 = xdx =, 右 = [ + ] 左 公 式 对 f(x)=x 不 再 精 确 成 立 梯 形 公 式 代 数 精 度 为. 例 Simpso 公 式 的 代 数 精 度 为 + f(x)dx [f() + 4f( ) + f()] 6
求 积 公 式 的 构 造 方 法 一 例 设 有 求 积 公 式 f(x)dx Af( ) + Af() + Af() 试 确 定 系 数 A,A,A, 使 这 个 公 式 具 有 最 高 的 代 数 精 度. 分 析 : 要 确 定 公 式 中 个 待 定 常 数 A,A,A, 可 令 公 式 对,x,x 都 精 确 成 立. 解 : 令 f(x)=,x,x. 公 式 都 精 确 成 立, 则 A + A + A = A + A = A + A = 解 得 A =/,A =4/,A =/ 该 求 积 公 式 为 易 验 证 :f(x)= x 时, 求 积 公 式 也 精 确 成 立 而 f(x)= x 4 时 f(x)dx [f( ) + 4f() + f()] xdx [( ) 4 ] 5 4 4 4 = = + + 该 求 积 公 式 具 有 次 代 数 精 度, 它 是 [-,] 上 的 Simpso 公 式.
一 般, 对 于 + 给 节 点 上 的 机 械 求 积 公 式 f(x)dx Af(x ) 若 使 其 代 数 精 度 至 少 为, 则 可 确 定 A, 构 造 出 求 积 公 式. 只 需 令 上 式 对 f(x)=,x,x,,x 都 精 确 成 立, 则 A + A + A +... + A = Ax + Ax +... + Ax =...... Ax + Ax +... + Ax = + + + (.4) 上 面 是 关 于 A, A, A,,A 的 线 性 方 程 组, 其 系 数 行 列 式 为 范 德 蒙 行 列 式, 其 值 非 零, 可 求 得 唯 一 解. =
求 积 公 式 的 构 造 方 法 二 插 值 法 Prolem 已 知 给 定 的 一 组 节 点 x <x <x < <x 及 函 数 值 f(x ),f(x ),f(x ),,f(x ) 构 造 : 求 积 公 式 = f(x)dx Af(x ) 思 想 : 构 造 f(x) 在 + 个 插 值 节 点 上 的 Lgrge 插 值 多 项 式 x x j = = Π = j= x xj j P(x) f(x )l (x) l(x), 其 中 为 Lgrge 插 值 基 函 数 f(x) P(x) Q = = P(x)dx [ f(x )l (x)]dx (*) 式 为 所 求 的 求 积 公 式.( 称 为 插 值 型 求 积 公 式 ) 求 积 系 数 A = l(x)dx = ( ) f(x)dx l(x)dx f(x ) ( ) f(x)dx P(x)dx = f(x ) = l(x)dx
考 虑 : 插 值 型 求 积 公 式 (*) 的 代 数 精 度 是 多 少?. 任 意 次 数 的 多 项 式 f(x), 其 次 Lgrge 插 值 多 项 式 P (x)= f(x) f(x)dx = P(x)dx 插 值 型 求 积 公 式 对 f(x) 精 确 成 立, 其 至 少 具 有 次 代 数 精 度.. 反 之, 假 设 f(x)dx Af(x ) 至 少 具 有 次 代 数 精 度. = 求 积 公 式 对 任 意 次 数 的 多 项 式 精 确 成 立 又 在 x, x, x,, x. 上 的 Lgrge 插 值 基 函 数 l (x) 为 次 多 项 式. l(x)dx = Al(x) j j 而 l(x j) j j= = A l(x)dx 该 求 积 公 式 就 是 (*), 为 插 值 型 的. =j =δ j
综 合, 有 : Th. 求 积 公 式 小 结 : 已 知 f(x) 的 函 数 表 x i 互 异,x i [,] f(x)dx = Af(x) 至 少 具 有 次 代 数 精 度 的 充 要 条 件 是 : 它 是 插 值 型 的. 构 造 其 求 积 公 式, 有 两 种 方 法 :. 解 线 性 方 程 组, 求 A. 利 用 插 值 型 公 式 x x x x y f(x ) f(x ) f(x ) A = l(x)dx
Newto-Cotes 求 积 公 式 下 面 介 绍 一 种 特 殊 的 插 值 型 求 积 公 式 : 等 距 节 点 的 求 积 公 式. 对 于 [,] 中 的 + 个 互 异 节 点 x, x, x,, x. 可 构 造 插 值 型 求 积 公 式 : f(x)dx Af(x ) 次 代 数 精 度. 现 在 取 x, x, x,, x. 为 [,] 的 等 分 点. 即 x = + h (=,,...,.), h= = x x, 则 (x x) x= + th j ( t j) A = Π dx = === Π hdt ( j) (x x) j = j j + = = A l(x)dx dx (x x) (x x )(x x + ) (x x) = = (x x) (x x )(x x ) (x x) j= j t(t ) (t + )(t ) (t ) ( ) ( + )( ) ( ) hdt
Newto-Cotes 求 积 公 式 ( ) h A = t(t ) (t + )(t ) (t )dt!( )! ( ) = ( ) Π (t j)dt!( )! j= j ( ) C 其 中 ( ) C = Π (t j)dt!( )! j= j 称 为 Cotes 系 数 f(x)dx ( )C f(x ) = ( ) Cf(x ) = = 称 = I ( ) C f(x ) = 为 阶 Newto Cotes 公 式 注 : Newto Cotes 公 式 为 等 距 节 点 插 值 型 求 积 公 式
Cotes 系 数 ( ) C = Π(t j)dt!( )! j= j 注 : Cotes 系 数 不 仅 与 函 数 f(x) 无 关, 而 且 与 积 分 区 间 [,] 无 关 例 := 时, ( ) () - C = ( t- dt ) =!! ( ) ( ) - C = ( t- dt ) =!! 例 := 时, ( ) () () ( ) - - C = ( )( )( ) ( )( )( )!! t- t- t- dt= C =!! t- t- t- dt = 8 8 () ( ) () ( ) - - C = ( t )( t )( t dt ) C ( t )( t )( t dt )!! - - - = = 8!! - - - = 8 当 =,., 8 时, Cotes 系 数 见 书 本 上 第 65 页
Cotes 系 数
Cotes 系 数 的 性 质 性 质. Cotes 系 数 的 和 等 于, 即 = C ( ) = 证 明 : 设 f(x)=. 则 f(x)=p(x)=. p ( x) dx= f( x) dx= dx = 而 pxdx () = ( ) C = = ( ) ( ) ( x) = ( ) = = 性 质. Cotes 系 数 具 有 对 称 性, 即 C()=C-(),=,,,. C f C ( ) 性 质. 对 7 时, C() 都 是 正 数, 8 时 不 成 立.
= 时, I 低 阶 Newto Cotes 公 式 I 此 即 梯 形 公 式, 即 = 时, = ( )[ f() + f()] = ( )[f() + f()] T = I = ( )[f() + f()] + + = ( )[ f() + f( ) + f()] = ( )[f() + 4f( ) + f()] 6 6 6 + S = I = ( )[f() + 4f( ) + f()] 6 此 即 Simpso 公 式 =4 时, 4 阶 Newto Cotes 公 式 称 为 Cotes 公 式. C = I4 = ( )[7f(x ) + f(x ) + f(x ) + f(x ) + 7f(x 4 )] 9 注 : 梯 形 公 式 由 线 性 插 值 推 导 而 得. Simpso 公 式 由 抛 物 插 值 推 导 而 得. Cotes 公 式 由 4 次 插 值 推 导 而 得.
R R = I I = Q f(x)dx P(x)dx (+ ) f ( ξx) (x x)(x x) (x x) x 又 f(x ) P(x) = ξ [,] (+ )! (+ ) f ( ξx) (x x)(x x) (x x)dx R = I I = (+ )! 其 中 低 阶 Newto Cotes 公 式 的 截 断 误 差 或 余 项 [f(x) P(x)]dx x=x +h (=,,...,) x = 为 Newto-Cotes 公 式 的 余 项 对 以 上 积 分 进 行 变 量 代 换 x=x+th, 并 使 用 积 分 定 理, 有 定 理 : 若 函 数 f(x) 在 [,] 上 有 连 续 的 + 阶 导 数, 则 Newto-Cotes 公 式 余 项 为 + (+ ) h f () ξ + t(t ) (t )dt 是 奇 ( )! - = 其 中 h = ξ [,] + ( + ) h f () ξ + (t )t(t ) (t )dt 是 偶 ( )!
由 定 理 易 知 : 阶 Newto-Cotes 公 式 至 少 有 次 代 数 精 度 ( 因 该 公 式 为 插 值 型 ) 而 当 为 偶 数 时, 它 有 + 次 代 数 精 度. 积 分 中 值 定 理 : 若 f(x) 在 [,] 上 连 续,g(x) 是 在 [,] 上 保 号 的 可 积 函 数, 则 存 在 ξ (,) 使 f() xgxdx ( ) = f() ξ () 梯 形 公 式 的 余 项 (=) () 若 f (x) C[,] Q (x )(x ) x [,] () f ( ξx) RT = I T = (x )(x )dx! () f () ξ ξ (, ) R T = (x )(x ) dx () f () ξ RT = ( ) = O( ) ξ (,) 注 : 此 结 论 可 由 余 项 定 理 直 接 得 到 gxdx
Simpso 公 式 的 余 项 直 接 由 定 理 得 Simpso 公 式 (=) 的 余 项 5 (4) 5 hf () ξ h (4) R S = I S = (t )t(t )(t )dt = f () ξ 4! 9 ( ) 4 (4) 5 R = ( ) f ( ξ ) = O( ) S 8 分 析 :Simpso 公 式 是 由, 及 其 中 点 c 进 行 抛 物 插 值 得 到 的, 其 代 数 精 度 是, 为 证 明 以 上 余 项 公 式, 构 造 f(x) 的 次 插 值 多 项 式 H (x), 即 考 虑 如 下 插 值 问 题 : 已 知 f(x) 的 函 数 表 c = (+ ) x c y f() f() f(c) f (x) 求 f(x) 的 Hermite 插 值 多 项 式 H (x), 使 f (c) H ()=f(), H ()=f(), H (c)=f(c), H (c)=f (c).
Simpso 公 式 的 余 项 的 证 明 证 明 : f(x)-h (x) 有 根 c( 二 重 ), 易 知 其 插 值 余 项 又 Simpso 公 式 代 数 精 度 为. H(x)dx = [ H() + 4 H(c) + H() ] = [f() + 4f(c) + f()] = S 6 6 R = I S = f(x)dx H(x)dx = [ f(x) H(x) ]dx S (4) f ( η) = η 依 赖 于 x, 且 η [,] f(x)-h(x) (x ) (x ) (x c) 4! (4) f () η RS = (x )(x )(x c) 4! dx 根 据 积 分 中 值 定 理 (4) f () ξ 4 (4) R S = (x )(x )(x c) dx = ( ) f (), ξ ξ (,). 4! 8 Cotes 公 式 的 余 项 (=4, 代 数 精 度 为 5) 8 7 (6) ( ) 6 ( 6) 7 R C= I C= h f () ξ = ( )f () ξ== O( ), ξ [,] 945 945 4
例. 分 别 用 梯 形 公 式,Simpso 公 式,Cotes 公 式 和 =8 的 Newto- Cotes 公 式 计 算 xdx ( =.496446) 解 :() 利 用 梯 形 公 式 () 利 用 Simpso 公 式 () 利 用 Cotes 公 式.5.5.5.5 xdx (.5+ ).467767.5 xdx (.5+ 4.75+ ).494 6.5 5 6 7 xdx (7.5 + + + + 7 ).49647 9 8 8 8 (4) 利 用 =8 的 Newto-Cotes 公 式 计 算.5.5 9 5 xdx [ 989(.5 + ) + 5888( + ) 85 6 6 4 98( + ) + 496( + ) 454 ] 6 6 6 6 6.496446 较 大 时, 结 果 较 精 确
Newto-Cotes 公 式 的 算 法 数 值 稳 定 性 数 值 稳 定 性 指 舍 入 误 差 在 运 算 中 的 传 播 强 度, 即 舍 入 误 差 对 计 算 结 果 的 影 响 程 度. Def. 设 给 定 的 算 法 在 执 行 某 一 步 时 产 生 误 差 ε, 相 继 的 步 运 算 后 的 结 果 的 误 差 为 e 且 仅 由 ε 引 起, () 如 e Cε, 其 中 C 是 与 无 关 的 常 数, 则 称 误 差 的 增 长 是 线 性 级 的. () 如 e K ε, 其 中 K> 为 常 数, 则 称 误 差 的 增 长 是 指 数 级 的. 注 : 误 差 线 性 级 增 长 是 可 以 控 制 的, 这 样 的 算 法 是 数 值 稳 定 的, 其 运 算 结 果 可 靠. 误 差 指 数 级 增 长 难 于 控 制, 这 样 的 算 法 是 数 值 不 稳 定 的, 其 运 算 结 果 不 可 靠.
Newto-Cotes 公 式 的 数 值 稳 定 性 I = ( ) Cf(x ) = 若 计 算 函 数 值 f(x ) 有 舍 入 误 差 ε = f f(x ) 设 计 算 C 没 有 误 差, 计 算 过 程 的 舍 入 误 差 也 不 考 虑, 则 由 ε 引 起 的 计 算 结 果 的 误 差 为 f = = C = = e = ( ) C ( ) C f( x ) 令 ε= mx ε 应 用, 则 e ( ) C ε ( ) ε C = () 当 7 时, C > = e ( ) ε,=,,,,. 此 时 e 有 界, 舍 入 误 差 的 增 长 受 到 控 制, 公 式 是 数 值 稳 定 的. () 当 8 时, C 有 正 有 负, 且 随 增 大 而 增 大, = C > 此 时 Newto-Cotes 公 式 不 能 保 证 数 值 稳 定 性. = ( ) Cε =
R 小 结 I = ( ) Cf(x ) = + (+ ) h f () ξ + t(t ) (t )dt 是 奇 ( )! - = 其 中 h = ξ [,] + ( + ) h f () ξ + (t )t(t ) (t )dt 是 偶 ( )! 注 : 越 大, 其 Newto-Cotes 公 式 I 的 截 断 误 差 越 小, 那 么 是 否 越 大 越 好 呢? 否! 大, 计 算 量 大, 误 差 积 累 越 严 重. 8 时, 不 能 保 证 数 值 稳 定 性. 一 般 采 用 低 阶 的 Newto-Cotes 公 式 (T,S,C). HW: p.8 # 4(), 6, 9(Simpso) 但 使 用 T,S,C 公 式, 要 控 制 其 截 断 误 差 R. How?
复 化 求 积 法 复 化 求 积 : 将 积 分 区 间 划 分 成 若 干 小 区 间, 在 每 个 小 区 间 上 构 造 相 应 的 低 阶 求 积 公 式, 再 把 它 们 加 起 来 作 为 整 个 区 间 的 求 积 公 式.------ 分 段 求 积, 然 后 求 和.( 积 分 对 区 间 有 可 加 性 ) 复 化 梯 形 公 式 把 [,] 等 分, 分 点 x =+h, =~, h= - - x + I= f(x)dx= f(x)dx = x + x x - x f(x)dx [f( x ) +f (x+ )] x + - h h - I [f(x )+f(x +)] = [f()+ f( x )+f()] = = =T
复 化 Simpso 公 式 + S = I = ( )[f() + 4f( ) + f()] 6 构 造 复 化 Simpso 公 式 时, 应 如 何 划 分 [,]? 必 须 将 [,] 偶 数 等 分. 令 =m,m 为 正 整 数 h= - 对 每 个 区 间 [x -, x ] 应 用 Simpso 公 式.(=,, m) I= f(x)dx= f(x)dx x - x x- m = x f(x)dx (x -x - )[f(x - )+4f(x - )+f(x )] 6 h I m [f(x -)+ 4f(x -)+f(x )] = h m m- I [f()+4 f( x - )+ f( x )+f()]=s = =
复 化 Cotes 公 式 求 积 Cotes 公 式 (5 点 公 式 ) - C=I 4= [7f(x )+f(x )+f(x )+f(x )+7f(x 4)] 9 构 造 复 化 Cotes 公 式 时, 如 何 划 分 [,]? =4m,m 为 正 整 数 复 化 Cotes 公 式 如 何 推 导? 4h m m C= [7f()+ f( x 4-)+ f( x 4-) 9 = = m m- + f( x )+4 f( x )+7f()] 4- = = 小 结 :() 对 数 值 求 积 进 行 区 间 分 段 处 理 是 一 种 有 效 的 手 段, 4 可 以 对 许 多 公 式 进 行 复 化 处 理. () 复 化 求 积 公 式 仍 然 是 机 械 求 积 公 式
复 化 求 积 公 式 的 截 断 误 差 T 的 积 分 余 项 在 每 个 小 区 间 [x,x+] 上, 梯 形 公 式 的 积 分 余 项 为 x + h f(x)dx- [f(x )+f(x +)] = f''( ξ)h ξ (x,x +) x x = + h I-T { f(x)dx- [(f(x )+f(x )]} x + = [- hf''( ξ )] = = 而 由 定 积 分 的 定 义 和 Newto-Leiitz 公 式 可 得 = hf''( ξ ) f''(x)dx=f'()-f'() h I -T 类 似 可 得 [f'()-f'()]=o (h ) 4 4 I- S - h [f'''()-f'''()]=o 8 (h ) 6 (5) (5) 6 I- C - h [f ()-f ()]=O(h ) 945
复 化 求 积 公 式 的 截 断 误 差 ( 续 ) x = + h I -T [ f( x)dx- (f(x )+f( x+) ] = [- hf''( ξ )] x = = I-T = f''( - h ξ ) = 如 果 f (x) C[,], 由 连 续 函 数 的 平 均 值 定 理 I-T - = h f"( ξ) = O(h ), ξ (,) 类 似 可 得 如 果 f (4) (x) C[,] 如 果 f (6) (x) C[,] - 4 (4) IS - =- h f ( ξ ) 8 6 () 6 I- C =- (-)h f ( ξ) 945
小 结 名 称 阶 符 号 代 数 精 度 余 项 代 数 精 度 + 梯 形 公 式 T,I I-T=- (-) f''( ξ )=O(-) Simpso S,I - - I-S=- ( )f ( ξ)=o(-) 8 4 (4) 5 Cotes 4 C,I 4 5 (-) - I-C=- ( )f ( ξ)=o(-) 945 6 (6) 7 复 化 公 式 I-T O(h ) h 4 T - I-S O(h ) h= = [f()+ f( x )+ f()] = 6 I-C O(h ) 代 数 精 度 + -
例 题 例 : 分 别 用 种 复 化 求 积 公 式 计 算 积 分 要 求 误 差 不 超 过 解 : ε = -6 six Q f(x)= = costxdt x () d six d f (x)= ( ) dx x dx = (costx)dt six I= dx. x =? mx f (x) mx t cos(tx+ ) dt () π x x t dt = + π = tcos(tx+ )dt mx f ( ) ( x). mx f ( 4) ( x). mx f ( 6) ( x). x x 5 x 7
. 用 复 化 梯 形 公 式 - Q 由 I-T = - hf''( ξ) x ( ξ [,]) ε = 6 取 =6. 得 h -6 <, h=. 6 h=. 6 5 si I T 6 = [ + + si ] 6 6 = 6. 用 复 化 Simpso 公 式 Q - 4 (4) I-S = - hf () ξ ξ [,] 8 4-6 h<, h= 9 h mx f''(x) h 6 > 57. 6 8 94686.. > 6.8 4 6 456 取 =8 ( 7?) h= 8 I 4 8 8 S8 = + 4 + + ] 4 8 8 = = [ si si si.9468
. 用 复 化 Cotes 公 式 (-) 6 (6) Q I-C = - hf (ξ), ξ [, ] 945 h <, h= 6 6 665 4 > ( 6 ) 6. 665 9 取 =4, h=.5 4 I C4 = [7+ 7si+ 4si + si + si ].94684 9 4 4 事 实 上, I 准 确 到 小 数 点 后 7 位 的 值 是 I=.9468. I-T 6 =.48-6. I-S 8 =. -6. I-C 4 =.96-6 按 同 样 精 度 要 求, 用 复 化 Cotes 公 式 优 于 其 他 两 种 算 法, 其 计 算 量 最 小, 精 度 最 高. 因 此 预 先 确 定 步 长 时, 宜 选 用 复 化 Cotes 公 式, 其 计 算 效 率 高.
例. 若 用 复 化 梯 形 公 式, 复 化 Simpso 公 式 计 算 xdx,.5 要 使 精 度 达 到 -4, 问 各 取 多 少? 解 : T f''(x) = x () = <.8 4 7 7 (4) 5 5 5 6 6 f (x) = x () = <.7 R T h.8 4 >.9 = 4.5 = ( ).8 4 4 Rs < ( ) mx f (x) <, 4 (4) 4 8 4 4.7 > 7.5 6 8 >.469 = 4 R = hf''( η) 4 (4) Rs = hf ( η) 8 η (,)
5 6 7 用 S 4 计 算, 其 分 点 为,,,,,h = 8 8 8 8 h 5 7 6 S 4 = [f( ) + 4f( ) + 4f( ) + f( ) + f()] 8 8 8 5 7 6 = [ + 4 + 4 + + ] 4 8 8 8 = [.5 + + 4 + + ] 4 = [.77 +.68 +.7466 +.75 + ].4 4 x xdx = d x = x d x===== y dy = y + C = x + C ( ) y= x x xdx = x = [ ()] = (.77).4
Romerg 求 积 算 法 Prolem: 计 算 I f(x)dx 使 误 差 = ε< 8 如 用 复 化 公 式 求 积 分, 则 必 须 事 先 确 定 =? (h=?). I T = hf''( ξ ) = O(h ) 4 6 I-S =O(h ) I C = O(h ) ()h 大, 不 精 确 ()h 小, 计 算 量 大 而 用 误 差 公 式 确 定 h, 有 如 下 弊 端 : () 含 f(x) 高 阶 导 数, 估 计 f () (x) 的 最 大 值 较 困 难. () 用 此 法 估 计 的 h 很 保 守, 偏 小, 增 大 了 计 算 量. 实 际 上, 可 以 让 计 算 机 自 动 选 择 数 值 积 分 的 步 长 h. 即 采 用 变 步 长 求 积 公 式.
变 步 长 的 梯 形 公 式 f(x)dx 变 步 长 的 思 想 : 计 算 的 数 值 积 分, 先 确 定 初 始 步 长 h, 按 某 一 复 化 公 式 求 积, 再 将 步 长 折 半 为 h/ 后, 利 用 同 一 公 式 求 积, 反 复 进 行, 直 到 达 到 精 度 要 求. 两 个 问 题 : () 如 何 知 道 达 到 了 精 度 要 求 ( I 未 知,I-T=?). () 步 长 折 半 前 后 的 两 次 结 果 有 何 关 系? 解 : 误 差 的 事 后 估 计 法. h =, 等 分 [,], I-T=O(h ) h =, 等 分 [,], I-T h =O( ) h O( ) I T = I T O(h ) 4 I T T T 4 4 4 4 I T I T 4 4 I T (T T )
定 理 : 若 T T <ε, 则 I T <ε 因 此, 对 给 定 的 误 差 限 ε, 计 算 机 自 动 选 择 步 长 如 下 : Algorithm: Step h=-; =; 算 T ; T ; Step while( T -T ε) {=; 算 T ; T =T ;T =T } Step. I T. 解 : 梯 形 公 式 的 递 推 化. () 先 将 [,] 等 分, h =, 分 点 x =+h,=,,. h T = [f() + f(x ) + f()] = () 将 步 长 减 半, 将 每 个 小 区 间 [x,x + ] 二 等 分, 其 中 点 为 = + + x ( )h,=,, -. +
h 这 时 [,] 被 分 为 个 长 度 为 的 小 区 间. h + = = T = [f() + f(x ) + f(x ) + f()] h h = [f() + f(x ) + f()] + x + = = T f( ) h T f( x ) + = = + T 递 推 公 式 注 : () 计 算 T 时, 只 需 在 T 的 基 础 上, 再 计 算 个 点 x +.5 (=,, ) 处 f(x) 的 函 数 值. () 将 递 推 公 式 代 入 Algorthm, 便 可 编 制 变 步 长 梯 形 算 法 的 程 序.
six 例.4 用 变 步 长 算 法 计 算 I = dx, 并 要 求 误 差 ε<. x 解 : () 取 h=,=. T = [f() + f()] = (+.8447) =.9755,, T = T + f( ) = (.9755+.9588) =.9979 而 T T =.9578 > () 将 步 长 折 半 为, 分 点 为. 则 () 将 步 长 折 半 为, 分 点 为,,,,. 4 4 4 T4= T + [f( ) + f( )] =.9979 + (.989658+.98856) =.9 455 4 4 4 其 中 T4 T =.47 < = I T 4.94455
Romerg 公 式 用 误 差 的 事 后 估 计 法 得 到 复 化 梯 形 公 式 的 误 差 : I T (T T) (T T) T 的 误 差 约 为 T 若 将 此 误 差 补 偿 给, 可 以 得 到 更 精 确 的 结 果. _ T= T + (T T) 4 = I T T T 这 是 I 的 一 个 更 好 的 近 似 值, 称 为 外 推 公 式. 通 过 外 推 公 式 可 以 加 快 收 敛. 可 以 验 证 : S = 4 T T (.) 上 式 有 如 下 意 义 : 复 杂 公 式 S 可 以 有 T 表 示.
4 Q I S O(h ) 类 似 = h 4 I S O( ) = 4 I S O(h ) 6 I S (I 6 S ) 注 : 步 长 折 半 后, 误 差 是 原 来 的 I S ( ) 5 S S 从 而, 也 有 外 推 公 式 I 6 6 5 S 5 S! 可 得 误 差 事 后 估 计 式 易 证 6 C = S S (.) 5 5 C 可 由 Simpso 公 式 步 长 二 分 前 后 两 个 值 的 线 性 组 合 表 示.
Q 6 I C = O(h ) h 6 I C O( ) I C O(h ) 64 = 6 可 导 出 如 下 加 速 收 敛 的 外 推 公 式 :Romerg 公 式. 64 R = C C (.) 6 6 注 : ()R 是 一 种 变 步 长 梯 形 公 式 的 外 推 公 式, 其 收 敛 速 度 快. = () 如 何 用 Romerg 公 式 计 算 I f(x)dx, 并 要 求 误 差 ε<? Romerg 算 法 : 将 T 序 列 加 工 成 Romerg 序 列 R, 从 而 加 速 收 敛.
T T S T 4 S C T 8 S 4 C R T 6 S 8 C 4 R T S 6 C 8 R 4 if R -R <ε, 则 R 即 为 所 求 else 计 算 R 4, 判 断 R 4 -R <ε?
Romerg 算 法 h () 置 =; 精 度 要 求 ε;h=- ; T = [f() + f()] ; h () h ; = + ; () (4) (5) (6) T 4 T = + hf( + h) ; S = T T h T 4 h ; = + ; T = + h[f(+ h) + f(+ h)] ; ; 4 6 S = T T ; C = S S ; 4 5 5 4 h 8 4 i = h ; = + ; T = T + h f( + (i )h) ; 4 6 64 S = T T ; C = S S ; R = C C ; 4 8 4 5 4 5 6 6 h ; = + ; = + - i = + ; h T T h f[( (i )h)] 4 6 64 S = T T ; C = S S ; R = C C ; if 5 5 6 6 - - - - - - - - R R < ε, I R, stop - -4 - else goto <5> 注 : 可 达 到 任 意 精 度.
解 : 例 用 变 步 长 计 算 = 4 6 I dx = π, 并 要 求 误 差 ε<. + x h 4 4 () T = [f( ) + f( )] = + + () () (4) T = + =., 4.5 +. 4 4 T 4 = + [ + ] =.765 4 +.5 +.75 4 6 S = T4 T =.45686, C = S S =.477 5 5 T 4 4 4 4 T = + [ + + + ] 4 8 5 7 8 + ( 8) + ( 8) + ( 8) + ( 8) =.89885 S =. =. 4 S = T,T =.4595,C = S,S =.4594, 4 6 4 8 4 5 4 5 R = C,C =.45858 64 6 6
T 8 8 4 T = + 6 [ ] =.4946 (5) 6 i= i + ( ) 6 S =.4597,C =.4597, 8 4 R =.45969 (6) Q R R =.689 6 8 4 7 6 (7) Q R4 R =.5 < I R4 =.459644 HW: 用 至 少 三 种 方 法 求 5 T =.4499,S =.4596,C =.4596, R =.459644 6 > go o (5).8 x dx, ε =.5
f(+ h) f() 由 微 积 分 的 知 识 f'() = lim (*) h h 而 实 际 中, 通 常 f(x) 会 出 现 : ()f(x) 由 函 数 表 给 出 ;()f(x) 非 常 复 杂, 不 便 求 导 以 上 的 f(x) 难 于 用 (*) 式 求 导, 通 常 用 近 似 的 方 法. 求 函 数 的 导 数 ---- 数 值 微 分 一. 差 商 法 向 前 差 商 向 后 差 商 数 值 微 分 将 两 式 平 均 得 : 中 点 法 f'() f(+ h) f() f'() = f[,+ h] h f() f( h) f'() = f[ h,] h f(+ h) f( h) = h G(h) AB 的 斜 率 AC 的 斜 率 BC 的 斜 率 由 泰 勒 公 式, 中 点 公 式 的 截 断 误 差 为 : f'() G(h) O(h )
中 点 公 式 分 析 f(+ h) f( h) f'( ) G( h) = f'() G(h) O(h ) h 注 :() 由 截 断 误 差, 步 长 h 越 小, 精 度 越 高. () 但 步 长 h 越 小,f(+h) 与 f(-h) 越 接 近. () 由 舍 入 误 差 分 析, 应 避 免 相 近 的 数 相 减,h 不 宜 太 小. 用 二 分 步 长 及 误 差 的 事 后 估 计 法 自 动 选 择 步 长 变 步 长 算 法 记 D = Gh ( ), D = G( ) ' ' f () D Oh ( ), f () D O() h ' f D D D () ( ) = 4 h ' 4 G ( h) = G( ) G( h) 且 f ( ) G ( h) O ( h ) 根 据 Richrdso 外 推 法 还 可 进 一 步 外 推 6 h 64 G ( h) = G( ) G( h) G ( h) = G ( h ) G ( h) h ' 4 f ( ) D D G 5 5 ' f () D () D 4 ' f 事 后 误 差 估 计 法 ( D D ε) 6 6
例. 用 变 步 长 中 点 法 求 e x 在 x= 处 的 导 数 值. 初 始 h=.8, 精 度 要 求 ε =.5-4. 分 析 : f(x) = e x, 则 f (x)= e x, f ()= e 解 : 由 中 点 公 式 f'( ) G( h) = h f(+ h) f( h) h G(h) f () = e ( e e ) ' + h h h G(.5h)-G(h).8.4...765.795.7644.78.6.549.6
二. 插 值 求 导 已 知,f(x) 函 数 表 : x x x x x f(x) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) 构 造 f(x) 的 Lgrge 插 值 公 式 P(x). ( f ) ( ) 且 ξ ϖ ( + )! fx () Px () fx () Px () = () x 于 是, 可 构 造 如 下 近 似 求 导 公 式 : 插 值 型 求 导 公 式 f () () P () (); 当 =, + f () P (), 注 : 即 使 f(x) 与 P(x) 相 差 不 大, 但 可 能 它 们 的 导 数 相 差 很 大! f'() P'() = [ f(x) P( x) ]' x= = ( + ) ( + ) f (ξ) (+ )! f (ξ) (+ )! (+ ) [ w(x)]' f ( ξ) (+ )! f'() P'() = {[ ]' w(x) + w'(x)} 由 于 ξ 是 x 的 未 知 函 数, 上 式 无 法 估 计. 若 为 插 值 节 点 时,w()=. x= (+ ) f () x= ξ f'() P'() = w'() (+ )! f () P (), 使 : 让 为 插 值 节 点 ; 且 用 等 距 节 点 插 值 公 式.
例. 三 点 公 式 =, 在 x,x =x +h, x =x +h 进 行 二 次 插 值, 令 x=x+th 则 (x x)(x x) (x x)(x x) (x x)(x x) = + + (x x)(x x) (x x)(x x) (x x)(x x) P(x) f(x) f(x) f(x) P(x) = P(x + th) = (t )(t )f(x ) t(t )f(x) + (t )(t )f(x ) 对 t 求 导 P'(x + th)h = (t )f(x ) (t )f(x) + (t )f(x ) P'(x + t h) = [(t )f(x) 4(t )f(x) + (t )f(x )] h 将 t=,, 代 入, 得 截 断 误 差 分 别 为 : f'(x ) P'(x ) = [f(x ) + 4f(x ) f(x )] h f'(x ) P'(x ) = [f(x ) + f(x )] h f'(x ) P'(x ) = [f(x ) 4f(x ) + f(x )] h h f'(x ) P'(x ) = f'''( ξ) h f'(x ) P'(x ) = f'''( ξ) 6 h f'(x ) P'(x ) = f'''( ξ) 其 中 ξ (x,x)
例. 已 知 y=e x 的 函 数 表. x.5.6.7.8.9 y.85.467 4.8797 6.446 8.74 试 用 三 点 数 值 微 分 公 式 计 算.7 处 的 导 数 值. f'(x ) P'(x ) = [ f(x ) f(x )], x =. 7 h f'(.7) (8.74.85) 4.979. 分 析 : 用 中 点 公 式 + 解 : h=. 时 = h=. 时 f'(.7) (6.4446.467) = 4.945. h Q f'(x ) P'(x ) = f'''( ξ) 其 中 ξ (x,x) 6 '''.9 mx f ( x) = e < 7 < ( = ' ' f (.7) p(.7).45 h.) 注 :f'(.7) = 4.8797...
小 结. 机 械 求 积 公 式 f(x)dx Af(x ) + Af(x ) +... + Af(x ). 求 积 公 式 的 代 数 精 度. 插 值 型 求 积 公 式 : A = l(x)dx iff 至 少 具 有 次 代 数 精 度 4.Newto-Cotes 求 积 公 式 : 等 距 节 点 的 插 值 型 求 积 公 式 = I ( ) C f(x ) = () f () ξ RT = ( ) = O( ) ξ (,) + 5 R = O( ) T = I = ( )[f() + f()] S = I = ( )[f() + 4f( ) + f()] 6 h 5. 复 化 求 积 公 式 T - = [f() + f( x )+ f()] h I - T [f'()-f'()]= O(h ) - I-T = h f"( ξ ), ξ (,) = 6. 变 步 长 的 梯 形 公 式 与 Romerg 算 法 7. 插 值 型 求 导 公 式 : 中 点 公 式 S