华 南 农 业 大 学 2014 年 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 自 命 题 数 学 分 析 考 试 大 纲 一 考 试 性 质 华 南 农 业 大 学 硕 士 研 究 生 入 学 数 学 分 析 考 试 是 为 招 收 理 学 类 硕 士 研 究 生 而 设 置 的 选 拔 考 试 它 的 主 要 目 的 是 测 试 考 生 的 数 学 素 质, 包 括 对 数 学 分 析 各 项 内 容 的 掌 握 程 度 和 应 用 相 关 知 识 解 决 问 题 的 能 力 考 试 对 象 为 参 加 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 报 考 数 学 专 业 的 考 生 二 考 试 方 式 和 考 试 时 间 数 学 分 析 考 试 采 用 闭 卷 笔 试 形 式, 试 卷 满 分 为 150 分, 考 试 时 间 为 3 小 时 三 试 卷 结 构 1 填 空 选 择 题 : 占 总 分 的 50 分 左 右, 内 容 为 概 念 和 基 本 计 算, 主 要 覆 盖 本 门 课 程 的 各 部 分 知 识 点 2 计 算 或 解 答 题 : 占 总 分 的 70 分 左 右, 主 要 为 各 部 分 的 重 要 计 算 题 应 用 题 3 证 明 题 : 占 总 分 的 30 分 左 右 四 考 试 内 容 和 考 试 要 求 ( 一 ) 实 数 集 与 函 数 实 数 性 质 确 界 原 理 函 数 概 念 及 其 性 质 数 列 极 限 概 念 及 性 质 数 列 极 限 存 在 的 条 件 1. 了 解 实 数 域 及 性 质 2. 掌 握 几 种 主 要 不 等 式 及 应 用 3. 熟 练 掌 握 领 域, 上 确 界, 下 确 界, 确 界 原 理 4. 牢 固 掌 握 函 数 复 合 基 本 初 等 涵 数 初 等 函 数 及 某 些 特 性 ( 单 调 性 周 期 性 奇 偶 性 有 界 性 等 ) ( 二 ) 数 列 极 限 数 列 极 限 的 定 义 收 敛 数 列 的 若 干 性 质 数 列 收 敛 的 条 件 1. 熟 练 掌 握 数 列 极 限 的 定 义 1
2. 掌 握 收 敛 数 列 的 若 干 性 质 ( 惟 一 性 保 序 性 等 ) 3. 掌 握 数 列 收 敛 的 条 件 ( 单 调 有 界 原 理 迫 敛 法 则 柯 西 准 则 等 ) ( 三 ) 函 数 极 限 函 数 极 限 的 概 念 及 性 质 函 数 极 限 的 条 件 两 个 重 要 极 限 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 熟 练 掌 握 使 用 ε-δ 语 言, 叙 述 各 类 型 函 数 极 限 1. 掌 握 函 数 极 限 的 若 干 性 质 2. 掌 握 函 数 极 限 存 在 的 条 件 ( 归 结 原 则, 柯 西 准 则, 左 右 极 限 单 调 有 界 ) 3. 熟 练 应 用 两 个 特 殊 极 限 求 函 数 的 极 限 4. 牢 固 掌 握 无 穷 小 ( 大 ) 的 定 义 性 质 阶 的 比 较 ( 四 ) 函 数 连 续 性 连 续 性 的 定 义 间 断 点 定 义 及 分 类 连 续 函 数 的 性 质 一 致 连 续 反 函 数 的 连 续 性 初 等 函 数 的 连 续 性 1. 熟 练 掌 握 在 X0 点 连 续 的 定 义 及 其 等 价 定 义 2. 掌 握 间 断 点 定 以 及 分 类 3. 了 解 在 区 间 上 连 续 的 定 义, 能 使 用 左 右 极 限 的 方 法 求 极 限 4. 掌 握 在 一 点 连 续 性 质 及 在 区 间 上 连 续 性 质 5. 了 解 初 等 函 数 的 连 续 性 ( 五 ) 导 数 与 微 分 导 数 的 概 念 几 何 意 义 求 导 法 则 含 参 变 量 的 导 数 高 价 导 数 微 分 的 定 义 运 算 法 则 及 应 用 1. 熟 练 掌 握 导 数 的 定 义, 几 何 物 理 意 义 2. 牢 固 记 住 求 导 法 则 求 导 公 式 3. 会 求 各 类 的 导 数 ( 复 合 参 量 隐 函 数 幂 指 函 数 高 阶 导 数 ( 莱 布 尼 兹 公 式 )) 4. 掌 握 微 分 的 概 念, 并 会 用 微 分 进 行 近 似 计 算 5. 深 刻 理 解 连 续 可 导 可 微 之 关 系 ( 六 ) 微 分 中 值 定 理 及 其 运 用 罗 尔 定 理 拉 格 朗 日 定 理 单 调 函 数 柯 西 中 值 定 理 不 定 式 极 限 泰 勒 中 值 定 理 函 数 的 极 值 和 最 值 函 数 的 凸 凹 性 拐 点 渐 进 线 近 似 解 1. 牢 固 掌 握 微 分 中 值 定 理 及 应 用 ( 包 括 罗 尔 定 理 拉 格 朗 日 定 理 柯 西 定 理 泰 勒 定 理 ) 2. 会 用 洛 比 达 法 则 求 极 限,( 掌 握 如 何 将 其 他 类 型 的 不 定 型 转 化 为 0/0 型 ) 3. 掌 握 单 调 与 符 号 的 关 系, 并 用 它 证 明 f(x) 单 调, 不 等 式 求 单 调 区 间 极 值 等 4. 利 用 判 定 凹 凸 性 及 拐 点 5. 了 解 凸 函 数 及 性 质 6. 会 求 曲 线 各 种 类 型 的 渐 近 线 性 7. 了 解 方 程 近 似 解 的 牛 顿 切 线 法 2
( 七 ) 实 数 的 完 备 性 实 数 完 备 性 基 本 定 理 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质 的 证 明 上 极 限 和 下 极 限 1. 掌 握 下 列 基 本 概 念 : 区 间 套 柯 西 列 聚 点 予 列 2. 了 解 刻 划 实 数 完 备 性 的 几 个 定 理 的 等 阶 性, 并 掌 握 各 定 理 的 条 件 与 结 论 3. 学 会 用 上 述 定 理 证 明 其 他 问 题, 如 连 续 函 数 性 质 定 理 等 ( 八 ) 不 定 积 分 原 函 数 与 不 定 积 分 换 元 积 分 法 分 部 积 分 法 有 理 函 数 积 分 可 化 为 有 理 函 数 的 积 分 1. 掌 握 原 函 数 与 不 定 积 分 的 概 念 2. 记 住 基 本 积 分 公 式 3. 熟 练 掌 握 换 元 法 分 部 积 分 法 4. 了 解 有 理 函 数 积 分 步 骤, 并 会 求 可 化 为 有 理 函 数 的 积 分 ( 九 ) 定 积 分 定 积 分 的 概 念 牛 顿 - 莱 布 尼 兹 公 式 可 积 条 件 定 积 分 的 性 质 微 积 分 基 本 定 理 定 积 分 的 计 算 变 限 积 分 换 元 积 分 法 分 部 积 分 法 可 积 充 要 条 件 1. 掌 握 定 积 分 定 义 性 质 2. 了 解 可 积 条 件, 可 积 类 3. 深 刻 理 解 微 积 分 基 本 定 理, 并 会 熟 练 应 用 4. 熟 练 计 算 定 积 分 ( 十 ) 定 积 分 应 用 平 面 图 形 的 面 积 平 面 曲 线 的 弧 长 ; 已 知 平 行 截 面 面 积 的 立 体 的 体 积 旋 转 曲 面 的 面 积 微 元 法 积 分 在 物 理 中 的 某 些 应 用 定 积 分 的 近 似 计 算 1. 熟 练 计 算 各 种 平 面 图 形 面 积 2. 会 求 旋 转 体 或 已 知 截 面 面 积 的 体 积 3. 会 利 用 定 积 分 求 孤 长 曲 率 旋 转 体 的 侧 面 积 4. 会 用 微 元 法 求 解 某 些 物 理 问 题 ( 压 力 变 力 功 静 力 矩 重 心 等 ) ( 十 一 ) 反 常 积 分 反 常 积 分 ( 无 穷 积 分 暇 积 分 ) 的 定 义 及 性 质 收 敛 判 别 法 1. 理 解 两 种 类 型 反 常 积 分 的 定 义 性 质. 2. 会 用 定 义 与 性 质 计 算 两 种 反 常 积 分 值 3
3. 掌 握 两 种 反 常 积 分 收 敛 的 判 断 法 : 比 较 判 别 法 Cauchy 判 别 法 Abel 判 别 法 和 Dirichlet 判 别 法 来 判 别 积 分 收 敛 4. 能 用 比 较 判 别 法 Cauchy 判 别 法 Cauchy 收 敛 原 理 判 别 反 常 积 分 的 敛 散 性 5. 掌 握 两 类 积 分 绝 对 收 敛 和 条 件 收 敛 概 念 ( 十 二 ) 数 项 级 数 数 项 级 数 敛 散 的 定 义 性 质 正 项 级 数 的 敛 散 判 别 法 条 件 绝 对 收 敛 莱 布 尼 兹 定 理 1. 理 解 数 项 级 数 和 数 列 极 限 的 关 系, 会 用 -N 语 言 表 述 级 数 收 敛 或 发 散 2. 掌 握 Cauchy 收 敛 原 理, 能 用 Cauchy 原 理 证 明 级 数 收 敛 与 发 散, 熟 练 掌 握 级 数 的 必 要 条 件 3. 掌 握 正 项 级 数 敛 散 的 比 较 原 则,Cauchy 判 别 法, 达 朗 贝 尔 判 别 法,Cauchy 积 分 判 别 法 4. 掌 握 Leibniz 判 别 法,Abel 判 别 法 和 Dirichlet 判 别 法, 判 断 级 数 的 条 件 收 敛 5. 理 解 级 数 收 敛 绝 对 收 敛 条 件 收 敛 之 间 的 关 系, 了 解 绝 对 收 敛 和 条 件 收 敛 级 数 的 主 要 性 质, 会 对 含 有 一 个 参 数 的 级 数 确 定 其 绝 对 收 敛 域 和 条 件 收 敛 域 ( 十 三 ) 函 数 列 与 函 数 项 级 数 函 数 序 列 与 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 性 的 定 义 一 致 收 敛 性 判 别 的 柯 西 准 则 魏 尔 斯 特 拉 斯 判 别 法 一 致 收 敛 函 数 序 列 与 函 数 项 级 数 的 连 续 性 的 判 别 可 积 性 的 判 别 可 微 性 的 判 别 1. 能 用 数 项 级 数 收 敛 判 别 法 讨 论 函 数 项 级 数 的 收 敛 性, 研 究 函 数 项 级 数 与 函 数 列 收 敛 域 2. 理 解 一 致 收 敛 概 念, 能 从 定 义 出 发 证 明 函 数 列 或 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 和 非 一 致 收 敛 3. 掌 握 Cauchy 收 敛 原 理, 并 能 应 用 于 判 别 一 致 收 敛 与 非 一 致 收 敛 4. 掌 握 各 种 判 别 法, 研 究 函 数 列 或 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 5. 利 用 一 致 收 敛 性 证 明 极 限 函 数 和 函 数 的 连 续 性 可 微 性 与 可 积 性 反 过 来, 从 和 函 数 或 极 限 函 数 的 分 析 性 质 研 究 函 数 项 级 数 或 函 数 列 的 一 致 收 敛 性 (Dini 定 理 ) ( 十 四 ) 幂 级 数 教 学 内 容 : 幂 级 数 收 敛 半 径 和 收 敛 区 间 收 敛 域 的 定 义 与 求 法 泰 勒 级 数 和 麦 克 劳 林 级 数 展 开 式 的 定 义 五 种 基 本 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开 展 式 1. 熟 练 幂 级 数 收 敛 域, 收 敛 半 径, 及 和 函 数 的 求 法 2. 了 解 幂 级 数 的 若 干 性 质 3. 了 解 求 一 般 任 意 阶 可 微 函 数 的 幂 级 数 展 式 的 方 法 特 别 牢 固 记 住 六 种 基 本 初 等 函 数 的 马 克 劳 林 4. 会 利 用 间 接 法 求 一 些 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 式 ( 十 五 ) 付 里 叶 级 数 教 学 内 容 : 三 角 级 数 正 交 函 数 系 傅 里 叶 级 数 定 义 傅 里 叶 级 数 的 收 敛 定 理 对 以 2 l 为 周 期 的 函 数 作 傅 叶 4
级 数 展 开 的 基 本 方 法 偶 函 数 和 奇 函 数 的 傅 里 叶 级 数 的 展 开 正 弦 级 数 余 弦 级 数 贝 塞 尔 不 等 式 黎 曼 - 勒 贝 格 定 理 收 敛 定 理 1. 熟 记 付 里 叶 系 数 公 式, 并 会 求 之 2. 掌 握 以 2π 为 周 期 函 数 的 付 里 叶 展 式 3. 理 解 掌 握 定 义 在 (0,1) 上 的 函 数 可 以 展 成 余 弦 级 数, 正 弦 级 数, 一 般 付 里 叶 级 数 4. 了 解 收 敛 性 定 理, 并 掌 握, 贝 塞 尔 不 等 式, 勒 贝 格 引 理 等 ( 十 六 ) 多 元 函 数 极 限 与 连 续 平 面 点 集 概 念 ( 邻 域 内 点 界 点 开 集 闭 集 开 域 闭 域 ) 平 面 点 集 的 基 本 定 理 二 元 函 数 概 念 二 重 极 限 累 次 极 限 二 元 函 数 的 连 续 性 复 合 函 数 的 连 续 性 定 理 有 界 闭 域 上 连 续 函 数 的 性 质 1. 了 解 平 面 点 集 的 若 干 概 念 2. 掌 握 二 元 函 数 二 重 极 限 定 义 性 质 3. 掌 握 二 次 极 限, 并 掌 握 二 重 极 限 与 二 次 极 限 的 关 系 4. 掌 握 二 元 连 续 函 数 的 定 义 性 质 5. 了 解 二 元 函 数 关 于 两 个 变 量 全 体 连 续 与 分 别 连 续 的 关 系 ( 十 七 ) 多 元 函 数 微 分 学 偏 导 数 及 其 几 何 意 义 全 微 分 概 念 全 微 分 的 几 何 意 义 全 微 分 存 在 的 充 分 条 件 全 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 复 合 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 方 向 导 数 与 梯 度 混 合 偏 导 数 与 其 顺 序 无 关 性 高 阶 导 数 高 阶 微 分 二 元 函 数 的 泰 勒 定 理 极 值 问 题 1. 熟 练 掌 握, 可 微, 偏 导 的 意 义 2. 掌 握 二 元 函 数 可 微, 偏 导, 连 续 以 及 偏 导 函 数 连 续, 概 念 之 间 关 系 3. 会 计 算 各 种 类 型 的 偏 导, 全 微 分 4. 会 求 空 间 曲 面 的 切 平 面, 法 线, 空 间 曲 线 的 法 平 面 与 切 线 5. 会 求 函 数 的 方 向 导 数 与 梯 度 6. 会 求 二 元 函 数 的 泰 勒 展 式 及 无 条 件 极 值 ( 十 八 ) 隐 函 数 定 理 及 其 应 用 隐 函 数 定 理 及 其 应 用 隐 函 数 求 导 隐 函 数 组 概 念 隐 函 数 组 定 理 隐 函 数 组 求 导 反 函 数 组 与 坐 标 变 换 条 件 极 值 与 拉 格 朗 日 乘 数 法 1. 理 解 隐 函 数 定 理 的 有 关 概 念, 及 隐 函 数 存 在 的 条 2. 了 解 隐 函 数 组, 反 函 数 组 的 有 关 概 念, 理 解 二 元 隐 函 数 组 存 在 的 条 件, 了 解 反 函 数 组 存 在 的 条 件 3. 掌 握 隐 函 数 的 微 分 法 在 几 何 方 面 的 应 用, 会 把 实 际 问 题 抽 象 为 条 件 极 值 并 予 以 解 决 ( 十 九 ) 含 参 量 积 分 5
含 参 变 量 积 分 连 续 性 可 微 性 和 可 积 性 的 条 件 含 参 量 广 义 积 分 及 一 致 收 敛 概 念 M- 判 别 法 Dirichlet 判 别 法 Abel 判 别 法, 判 别 一 些 常 见 积 分 的 一 致 收 敛 性 含 参 量 广 义 积 分 连 续 性 可 微 性 可 积 性 Euler 积 分 的 定 义 性 质 1. 理 解 含 参 变 量 常 见 积 分 作 为 参 量 的 函 数, 掌 握 它 的 连 续 性 可 微 性 和 可 积 性 的 条 件, 并 能 应 用 这 些 条 件 讨 论 一 些 含 参 量 常 见 积 分 的 有 关 性 质 2. 理 解 含 参 量 广 义 积 分 及 一 致 收 敛 概 念, 会 从 定 义 或 Cauchy 收 敛 原 理 出 发 证 明 积 分 的 一 致 收 敛 性 或 非 一 致 收 敛 性 3. 掌 握 和 利 用 M- 判 别 法 Dirichlet 判 别 法 Abel 判 别 法, 判 别 一 些 常 见 积 分 的 一 致 收 敛 性 ; 4. 掌 握 含 参 量 广 义 积 分 的 分 析 性 质 : 连 续 性 可 微 性 可 积 性 ; 5. 了 解 Euler 积 分 的 定 义 性 质 递 推 公 式 及 它 们 之 间 的 关 系, 并 用 于 计 算 积 分 ( 二 十 ) 曲 线 积 分 第 一 型 曲 线 积 分 的 定 义 及 计 算 第 二 型 曲 线 积 分 的 定 义 及 计 算 两 类 曲 线 积 分 的 关 系 1. 掌 握 第 一 型 曲 线 积 分 的 定 义 第 一 型 曲 线 积 分 的 计 算 第 二 型 曲 线 积 分 的 定 义 第 二 型 曲 线 积 分 的 计 算 2. 了 解 第 一 型 曲 线 积 分 的 意 义 第 二 型 曲 线 积 分 的 意 义, 掌 握 两 类 曲 线 积 分 的 关 系 ( 二 十 一 ) 重 积 分 二 重 积 分 定 义 与 存 在 性 二 重 积 分 性 质 二 重 积 分 计 算 ( 化 为 累 次 积 分 ) 二 重 积 分 的 换 元 法 ( 极 坐 标 与 一 般 变 换 ) 格 林 公 式 三 重 积 分 定 义 与 计 算 三 重 积 分 的 换 元 法 ( 柱 坐 标 球 坐 标 与 一 般 变 换 ) 重 积 分 应 用 ( 体 积, 曲 面 面 积, 重 心 转 动 惯 量 引 力 等 ) 1. 掌 握 将 重 积 分 化 为 累 次 积 分 的 计 算 方 法, 并 会 交 换 积 分 顺 序. 2. 掌 握 二 重 积 分 的 极 坐 标 变 换, 三 重 积 分 的 柱 坐 标 球 坐 标 变 化, 掌 握 一 些 简 单 的 一 般 变 换, 以 达 到 简 化 重 积 分 计 算 的 目 的 3. 能 正 确 地 使 用 对 称 性 ; 正 确 地 处 理 被 积 函 数 中 含 有 绝 对 值 符 号 及 一 般 分 段 函 数 的 重 积 分 计 算 4. 能 用 重 积 分 计 算 平 面 图 形 的 面 积, 空 间 立 体 的 体 积 物 体 的 质 量 重 心 转 动 惯 量 等 5. 掌 握 格 林 公 式 ( 二 十 二 ) 曲 面 积 分 6
第 一 型 曲 面 积 分 的 概 念 几 何 意 义 计 算 方 法 第 一 型 曲 面 积 分 的 概 念 几 何 意 义 计 算 方 法 第 二 型 曲 面 积 分 的 定 义 物 理 意 义 计 算 两 类 曲 面 积 分 的 联 系 Gauss 公 式 Stokes 公 式 1. 掌 握 第 一 型 曲 面 积 分 的 概 念 几 何 意 义 和 计 算 2. 理 解 曲 面 的 侧, 熟 练 掌 握 第 二 型 曲 面 积 分 的 定 义 物 理 意 义 和 计 算, 了 解 两 类 曲 面 积 分 的 联 系 3. 掌 握 Gauss 公 式 与 Stokes 公 式 7