2015 年 考 研 数 学 二 考 试 大 纲 考 试 科 目 : 高 等 数 学 线 性 代 数 考 试 形 式 和 试 卷 结 构 一 试 卷 满 分 及 考 试 时 间 试 卷 满 分 为 150 分, 考 试 时 间 为 180 分 钟. 二 答 题 方 式 答 题 方 式 为 闭 卷 笔 试. 三 试 卷 内 容 结 构 高 等 教 学 约 78% 线 性 代 数 约 22% 四 试 卷 题 型 结 构 单 项 选 择 题 8 小 题, 每 小 题 4 分, 共 32 分 填 空 题 6 小 题, 每 小 题 4 分, 共 24 分 解 答 题 ( 包 括 证 明 题 ) 9 小 题, 共 94 分 高 等 数 学 一 函 数 极 限 连 续 函 数 的 概 念 及 表 示 法 函 数 的 有 界 性 单 调 性 周 期 性 和 奇 偶 性 复 合 函 数 反 函 数 分 段 函 数 和 隐 函 数 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 初 等 函 数 函 数 关 系 的 建 立 数 列 极 限 与 函 数 极 限 的 定 义 及 其 性 质 函 数 的 左 极 限 与 右 极 限 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量 的 概 念 及 其 关 系 无 穷 小 量 的 性 质 及 无 穷 小 量 的 比 较 极 限 的 四 则 运 算 极 限 存 在 的 两 个 准 则 : 单 调 有 界 准 则 和 夹 逼 准 则 两 个 重 要 极 限 : 函 数 连 续 的 概 念 函 数 间 断 点 的 类 型 初 等 函 数 的 连 续 性 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 1. 理 解 函 数 的 概 念, 掌 握 函 数 的 表 示 法, 并 会 建 立 应 用 问 题 的 函 数 关 系. 2. 了 解 函 数 的 有 界 性 单 调 性 周 期 性 和 奇 偶 性. 3. 理 解 复 合 函 数 及 分 段 函 数 的 概 念, 了 解 反 函 数 及 隐 函 数 的 概 念. 4. 掌 握 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形, 了 解 初 等 函 数 的 概 念. 5. 理 解 极 限 的 概 念, 理 解 函 数 左 极 限 与 右 极 限 的 概 念 以 及 函 数 极 限 存 在 与 左 极 限 右 极 限 之 间 的 关 系. 6. 掌 握 极 限 的 性 质 及 四 则 运 算 法 则. 7. 掌 握 极 限 存 在 的 两 个 准 则, 并 会 利 用 它 们 求 极 限, 掌 握 利 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限 的 方 法. 8. 理 解 无 穷 小 量 无 穷 大 量 的 概 念, 掌 握 无 穷 小 量 的 比 较 方 法, 会 用 等 价 无 穷 小 量 求 极 限. 9. 理 解 函 数 连 续 性 的 概 念 ( 含 左 连 续 与 右 连 续 ), 会 判 别 函 数 间 断 点 的 类 型. 10. 了 解 连 续 函 数 的 性 质 和 初 等 函 数 的 连 续 性, 理 解 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 ( 有 界 性 最 大 值 和 最 小 值 定 理 介 值 定 理 ), 并 会 应 用 这 些 性 质. 二 一 元 函 数 微 分 学 1
导 数 和 微 分 的 概 念 导 数 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系 平 面 曲 线 的 切 线 和 法 线 导 数 和 微 分 的 四 则 运 算 基 本 初 等 函 数 的 导 数 复 合 函 数 反 函 数 隐 函 数 以 及 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 微 分 法 高 阶 导 数 一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性 微 分 中 值 定 理 洛 必 达 (L'Hospital) 法 则 函 数 单 调 性 的 判 别 函 数 的 极 值 函 数 图 形 的 凹 凸 性 拐 点 及 渐 近 线 函 数 图 形 的 描 绘 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 弧 微 分 曲 率 的 概 念 曲 率 圆 与 曲 率 半 径 1. 理 解 导 数 和 微 分 的 概 念, 理 解 导 数 与 微 分 的 关 系, 理 解 导 数 的 几 何 意 义, 会 求 平 面 曲 线 的 切 线 方 程 和 法 线 方 程, 了 解 导 数 的 物 理 意 义, 会 用 导 数 描 述 一 些 物 理 量, 理 解 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系. 2. 掌 握 导 数 的 四 则 运 算 法 则 和 复 合 函 数 的 求 导 法 则, 掌 握 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式. 了 解 微 分 的 四 则 运 算 法 则 和 一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性, 会 求 函 数 的 微 分. 3. 了 解 高 阶 导 数 的 概 念, 会 求 简 单 函 数 的 高 阶 导 数. 4. 会 求 分 段 函 数 的 导 数, 会 求 隐 函 数 和 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 以 及 反 函 数 的 导 数. 5. 理 解 并 会 用 罗 尔 (Rolle) 定 理 拉 格 朗 日 (Lagrange) 中 值 定 理 和 泰 勒 (Taylor) 定 理, 了 解 并 会 用 柯 西 (Cauchy) 中 值 定 理. 6. 掌 握 用 洛 必 达 法 则 求 未 定 式 极 限 的 方 法. 7. 理 解 函 数 的 极 值 概 念, 掌 握 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 和 求 函 数 极 值 的 方 法, 掌 握 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 的 求 法 及 其 应 用. 8. 会 用 导 数 判 断 函 数 图 形 的 凹 凸 性 ( 注 : 在 区 间 内, 设 函 数 具 有 二 阶 导 数. 当 时, 的 图 形 是 凹 的 ; 当 时, 的 图 形 是 凸 的 ), 会 求 函 数 图 形 的 拐 点 以 及 水 平 铅 直 和 斜 渐 近 线, 会 描 绘 函 数 的 图 形. 9. 了 解 曲 率 曲 率 圆 和 曲 率 半 径 的 概 念, 会 计 算 曲 率 和 曲 率 半 径. 三 一 元 函 数 积 分 学 原 函 数 和 不 定 积 分 的 概 念 不 定 积 分 的 基 本 性 质 基 本 积 分 公 式 定 积 分 的 概 念 和 基 本 性 质 定 积 分 中 值 定 理 积 分 上 限 的 函 数 及 其 导 数 牛 顿 - 莱 布 尼 茨 (Newton-Leibniz) 公 式 不 定 积 分 和 定 积 分 的 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 有 理 函 数 三 角 函 数 的 有 理 式 和 简 单 无 理 函 数 的 积 分 反 常 ( 广 义 ) 积 分 定 积 分 的 应 用 1. 理 解 原 函 数 的 概 念, 理 解 不 定 积 分 和 定 积 分 的 概 念. 2. 掌 握 不 定 积 分 的 基 本 公 式, 掌 握 不 定 积 分 和 定 积 分 的 性 质 及 定 积 分 中 值 定 理, 掌 握 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法. 3. 会 求 有 理 函 数 三 角 函 数 有 理 式 和 简 单 无 理 函 数 的 积 分. 4. 理 解 积 分 上 限 的 函 数, 会 求 它 的 导 数, 掌 握 牛 顿 - 莱 布 尼 茨 公 式. 5. 了 解 反 常 积 分 的 概 念, 会 计 算 反 常 积 分. 6. 掌 握 用 定 积 分 表 达 和 计 算 一 些 几 何 量 与 物 理 量 ( 平 面 图 形 的 面 积 平 面 曲 线 的 弧 长 旋 转 体 的 体 积 及 侧 面 积 平 行 截 面 面 积 为 已 知 的 立 体 体 积 功 引 力 压 力 质 心 形 心 等 ) 及 函 数 平 均 值. 四 多 元 函 数 微 积 分 学 2
多 元 函 数 的 概 念 二 元 函 数 的 几 何 意 义 二 元 函 数 的 极 限 与 连 续 的 概 念 有 界 闭 区 域 上 二 元 连 续 函 数 的 性 质 多 元 函 数 的 偏 导 数 和 全 微 分 多 元 复 合 函 数 隐 函 数 的 求 导 法 二 阶 偏 导 数 多 元 函 数 的 极 值 和 条 件 极 值 最 大 值 和 最 小 值 二 重 积 分 的 概 念 基 本 性 质 和 计 算 1. 了 解 多 元 函 数 的 概 念, 了 解 二 元 函 数 的 几 何 意 义. 2. 了 解 二 元 函 数 的 极 限 与 连 续 的 概 念, 了 解 有 界 闭 区 域 上 二 元 连 续 函 数 的 性 质. 3. 了 解 多 元 函 数 偏 导 数 与 全 微 分 的 概 念, 会 求 多 元 复 合 函 数 一 阶 二 阶 偏 导 数, 会 求 全 微 分, 了 解 隐 函 数 存 在 定 理, 会 求 多 元 隐 函 数 的 偏 导 数. 4. 了 解 多 元 函 数 极 值 和 条 件 极 值 的 概 念, 掌 握 多 元 函 数 极 值 存 在 的 必 要 条 件, 了 解 二 元 函 数 极 值 存 在 的 充 分 条 件, 会 求 二 元 函 数 的 极 值, 会 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 求 条 件 极 值, 会 求 简 单 多 元 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值, 并 会 解 决 一 些 简 单 的 应 用 问 题. 5. 了 解 二 重 积 分 的 概 念 与 基 本 性 质, 掌 握 二 重 积 分 的 计 算 方 法 ( 直 角 坐 标 极 坐 标 ). 五 常 微 分 方 程 常 微 分 方 程 的 基 本 概 念 变 量 可 分 离 的 微 分 方 程 齐 次 微 分 方 程 一 阶 线 性 微 分 方 程 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 线 性 微 分 方 程 解 的 性 质 及 解 的 结 构 定 理 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 高 于 二 阶 的 某 些 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 简 单 的 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 微 分 方 程 的 简 单 应 用 1. 了 解 微 分 方 程 及 其 阶 解 通 解 初 始 条 件 和 特 解 等 概 念. 2. 掌 握 变 量 可 分 离 的 微 分 方 程 及 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 解 法, 会 解 齐 次 微 分 方 程. 3. 会 用 降 阶 法 解 下 列 形 式 的 微 分 方 程 : 和. 4. 理 解 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 性 质 及 解 的 结 构 定 理. 5. 掌 握 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法, 并 会 解 某 些 高 于 二 阶 的 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程. 6. 会 解 自 由 项 为 多 项 式 指 数 函 数 正 弦 函 数 余 弦 函 数 以 及 它 们 的 和 与 积 的 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程. 7. 会 用 微 分 方 程 解 决 一 些 简 单 的 应 用 问 题. 线 性 代 数 一 行 列 式 行 列 式 的 概 念 和 基 本 性 质 行 列 式 按 行 ( 列 ) 展 开 定 理 1. 了 解 行 列 式 的 概 念, 掌 握 行 列 式 的 性 质. 2. 会 应 用 行 列 式 的 性 质 和 行 列 式 按 行 ( 列 ) 展 开 定 理 计 算 行 列 式. 二 矩 阵 矩 阵 的 概 念 矩 阵 的 线 性 运 算 矩 阵 的 乘 法 方 阵 的 幂 方 阵 乘 积 的 行 列 式 矩 阵 的 转 置 逆 矩 阵 的 概 念 和 性 质 矩 阵 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 伴 随 矩 阵 矩 阵 的 初 等 变 换 初 等 矩 阵 3
矩 阵 的 秩 矩 阵 的 等 价 分 块 矩 阵 及 其 运 算 1. 理 解 矩 阵 的 概 念, 了 解 单 位 矩 阵 数 量 矩 阵 对 角 矩 阵 三 角 矩 阵 对 称 矩 阵 反 对 称 矩 阵 和 正 交 矩 阵 以 及 它 们 的 性 质. 2. 掌 握 矩 阵 的 线 性 运 算 乘 法 转 置 以 及 它 们 的 运 算 规 律, 了 解 方 阵 的 幂 与 方 阵 乘 积 的 行 列 式 的 性 质. 3. 理 解 逆 矩 阵 的 概 念, 掌 握 逆 矩 阵 的 性 质 以 及 矩 阵 可 逆 的 充 分 必 要 条 件. 理 解 伴 随 矩 阵 的 概 念, 会 用 伴 随 矩 阵 求 逆 矩 阵. 4. 了 解 矩 阵 初 等 变 换 的 概 念, 了 解 初 等 矩 阵 的 性 质 和 矩 阵 等 价 的 概 念, 理 解 矩 阵 的 秩 的 概 念, 掌 握 用 初 等 变 换 求 矩 阵 的 秩 和 逆 矩 阵 的 方 法. 5. 了 解 分 块 矩 阵 及 其 运 算. 三 向 量 向 量 的 概 念 向 量 的 线 性 组 合 和 线 性 表 示 向 量 组 的 线 性 相 关 与 线 性 无 关 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 等 价 向 量 组 向 量 组 的 秩 向 量 组 的 秩 与 矩 阵 的 秩 之 间 的 关 系 向 量 的 内 积 线 性 无 关 向 量 组 的 的 正 交 规 范 化 方 法 1. 理 解 维 向 量 向 量 的 线 性 组 合 与 线 性 表 示 的 概 念. 2. 理 解 向 量 组 线 性 相 关 线 性 无 关 的 概 念, 掌 握 向 量 组 线 性 相 关 线 性 无 关 的 有 关 性 质 及 判 别 法. 3. 了 解 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 和 向 量 组 的 秩 的 概 念, 会 求 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 及 秩. 4. 了 解 向 量 组 等 价 的 概 念, 了 解 矩 阵 的 秩 与 其 行 ( 列 ) 向 量 组 的 秩 的 关 系. 5. 了 解 内 积 的 概 念, 掌 握 线 性 无 关 向 量 组 正 交 规 范 化 的 施 密 特 (Schmidt) 方 法. 四 线 性 方 程 组 线 性 方 程 组 的 克 拉 默 (Cramer) 法 则 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 充 分 必 要 条 件 线 性 方 程 组 解 的 性 质 和 解 的 结 构 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 和 通 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解 1. 会 用 克 拉 默 法 则. 2. 理 解 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 及 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 充 分 必 要 条 件. 3. 理 解 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 及 通 解 的 概 念, 掌 握 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 和 通 解 的 求 法. 4. 理 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 的 结 构 及 通 解 的 概 念. 5. 会 用 初 等 行 变 换 求 解 线 性 方 程 组 五 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 概 念 性 质 相 似 矩 阵 的 概 念 及 性 质 矩 阵 可 相 似 对 角 化 的 充 分 必 要 条 件 及 相 似 对 角 矩 阵 实 对 称 矩 阵 的 特 征 值 特 征 向 量 及 其 相 似 对 角 矩 阵 4
1. 理 解 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 概 念 及 性 质, 会 求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量. 2. 理 解 相 似 矩 阵 的 概 念 性 质 及 矩 阵 可 相 似 对 角 化 的 充 分 必 要 条 件, 会 将 矩 阵 化 为 相 似 对 角 矩 阵. 3. 理 解 实 对 称 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 性 质. 六 二 次 型 二 次 型 及 其 矩 阵 表 示 合 同 变 换 与 合 同 矩 阵 二 次 型 的 秩 惯 性 定 理 二 次 型 的 标 准 形 和 规 范 形 用 正 交 变 换 和 配 方 法 化 二 次 型 为 标 准 形 二 次 型 及 其 矩 阵 的 正 定 性 1. 了 解 二 次 型 的 概 念, 会 用 矩 阵 形 式 表 示 二 次 型, 了 解 合 同 变 换 与 合 同 矩 阵 的 概 念. 2. 了 解 二 次 型 的 秩 的 概 念, 了 解 二 次 型 的 标 准 形 规 范 形 等 概 念, 了 解 惯 性 定 理, 会 用 正 交 变 换 和 配 方 法 化 二 次 型 为 标 准 形. 3. 理 解 正 定 二 次 型 正 定 矩 阵 的 概 念, 并 掌 握 其 判 别 法. 5