http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 第 一 章 概 率 与 统 计 知 识 网 络 一 随 机 变 量 教 学 指 导 一 基 础 知 识 梳 理 与 重 点 难 点 和 疑 点 ( 一 ) 基 础 知 识. 随 机 变 量 如 果 随 机 试 验 的 结 果 可 以 用 一 个 变 量 来 表 示, 那 么 这 样 的 变 量 叫 做 随 机 变 量, 随 机 变 量 常 用 希 腊 字 母 ξ η 等 表 示.. 离 散 型 随 机 变 量 对 于 随 机 变 量 可 能 取 的 值, 可 以 按 一 定 次 序 一 一 列 出, 这 样 的 随 机 变 量 叫 做 离 散 型 随 机 变 量.. 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 () 设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 可 能 取 的 值 为 x, x, x i,,ξ 取 每 一 个 值 x i 的 概 率 P(ξ= x i )= p i, 则 称 表 ξ x x x i P p p p i 为 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列. () 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 具 有 两 个 性 质 :p i 0;p + p + + p i + =(i=,,, ).. 常 见 的 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 ()0~ 分 布 分 布 列 为 ξ 0 P P -p (0<p<). () 二 项 分 布 在 n 次 独 立 重 复 试 验 中, 事 件 A 发 生 的 次 数 ξ 是 一 个 随 机 变 量, 其 所 有 可 能 取 的 值 为 0,,,,,n, 并 且 P(ξ=)= n p q n- ( 其 中 =0,,,,n,q=-p), 显 然 P(ξ=) 0(=0,,,,n), n 0 n p q n- =(p+q) n =. 称 这 样 的 随 机 变 量 ξ 服 从 参 数 n 和 p 的 二 项 分 布, 记 为 ξ~b(n,p). () 几 何 分 布 在 独 立 重 复 试 验 中, 某 事 件 第 一 次 发 生 时 所 做 试 验 的 次 数 ξ 也 是 一 个 取 值 为 正 整 数 的 离 散 型 随 机 变 量. ξ= 表 示 在 第 次 独 立 重 复 试 验 时 事 件 第 一 次 发 生. 如 果 把 第 次 试 验 时
事 件 A 发 生 记 为 A, 事 件 A 不 发 生 记 为 P(ξ=)=P( A A A A A ), 根 据 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 公 式, P(ξ=)=P( A ) P( A ) P( A ) P( A 称 这 样 的 随 机 变 量 ξ 随 从 几 何 分 布, 记 为 g(,p)=q - p, 其 中 q=-p,=,,,.. 期 望 一 般 地, 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 列 为 http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn A,P(A )=p,p( A )=q, 那 么 ) P(A )=q - p(=,,, ), ξ x x x i P p p P i 则 称 x p +x p + +x n p n + 为 随 机 变 量 ξ 的 数 学 期 望, 简 称 为 期 望, 记 作 Eξ. 即 Eξ=x p +x p + + x n p n +. 注 意 :() 期 望 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平. () 若 ξ 为 随 机 变 量,η=aξ+b(a,b 为 常 数 ) 也 是 随 机 变 量, 且 Eη=aEξ+b. () 对 于 二 项 分 布 ξ~b (n,p) 有 Eξ=np. () 对 于 几 何 分 布 ξ~g (,p) 有 Eξ= p. 6. 方 差 如 果 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 ξ x x x n P p p p n 则 (x -Eξ) p +(x -Eξ) p + +(x n -Eξ) p n + 叫 做 随 机 变 量 ξ 的 均 方 差, 简 称 方 差, 记 作 Dξ. 即 Dξ=(x -Eξ) p +(x -Eξ) p + +(x n -Eξ) p n +. 注 意 :() 方 差 反 映 了 随 机 变 量 取 值 的 稳 定 与 波 动 集 中 与 离 散 的 程 度. () 方 差 Dξ 的 算 术 平 方 根 D 叫 做 随 机 变 量 ξ 的 标 准 差. 记 作 σξ, 即 ( x E ) p ( x E ) p ( x E p, n ) 标 准 差 与 随 机 变 量 ξ 有 相 同 的 单 位, 较 之 方 差 使 用 起 来 更 为 方 便. ()D(aξ+b)=a Dξ,Dξ=Eξ -(Eξ). () 对 于 二 项 分 布 ξ~b(n,p) 有 Dξ=np(-p). p () 对 于 几 何 分 布 ξ~g(,p) 有 Dξ=. p 7. 期 望 值 的 性 质 ()E=( 为 常 数 ). ()E(aξ+b)=aEξ+b. ()E(ξ +ξ )=Eξ +Eξ. () 如 果 ξ ξ 相 互 独 立, 那 么 E(ξ ξ )=(Eξ ) (Eξ ). n
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn ( 二 ) 内 容 分 析 离 散 型 随 机 变 量 是 本 章 的 基 础 内 容, 期 望 值 方 差 标 准 差 都 是 离 散 型 随 机 变 量 最 重 要 的 数 字 特 征, 它 们 分 别 反 映 了 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 稳 定 程 度 集 中 与 离 散 的 程 度. 这 些 内 容 是 近 几 年 来 新 增 的 考 点 之 一, 要 会 求 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 期 望 值 方 差 标 准 差, 并 能 应 用 它 们 解 决 一 些 实 际 问 题.. 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 期 望 方 差 标 准 差 的 意 义 与 应 用 是 本 章 内 容 的 重 点, 要 求 学 生 切 实 理 解 掌 握.. 随 机 变 量 离 散 型 随 机 变 量 概 念 的 建 立 及 其 数 字 特 征 与 意 义 是 本 单 元 的 难 点, 要 结 合 实 例, 让 学 生 体 会.. 离 散 型 随 机 变 量 的 取 值 二 项 分 布 几 何 分 布 的 意 义 是 本 单 元 的 疑 点, 要 通 过 具 体 实 例 的 分 析 使 学 生 掌 握. 二 解 题 规 律 总 结. 随 机 变 量 与 函 数 的 关 系 函 数 f(x) 是 研 究 确 定 性 现 象 的, 它 定 义 在 实 数 轴 上, 有 确 定 的 因 果 关 系. 概 率 中 的 随 机 变 量 是 研 究 随 机 现 象 的, 它 定 义 在 由 全 部 试 验 结 果 所 组 成 的 集 合 上, 它 的 取 值 是 不 能 预 知 的, 但 它 取 值 有 一 定 的 概 率. 我 们 研 究 随 机 变 量 时, 关 心 的 是, 随 机 变 量 能 取 哪 些 值, 即 都 包 含 哪 些 试 验 结 果 ( 基 本 事 件 ), 以 及 注 意 研 究 它 的 统 计 规 律, 也 就 是 事 件 概 率 的 大 小.. 本 单 元 的 内 容 与 高 中 数 学 中 的 排 列 组 合 和 概 率 ( 等 可 能 事 件 的 概 率, 互 斥 事 件 和 的 概 率, 相 互 独 立 事 件 积 的 概 率, 独 立 重 复 试 验 ) 的 内 容 有 着 密 切 的 联 系, 在 学 习 中 要 注 意 分 析 这 些 相 关 内 容 适 用 的 条 件, 能 正 确 运 用 有 关 概 率 公 式 求 得 所 求 事 件 的 概 率 大 小.. 事 件 的 概 率 着 眼 于 随 机 现 象 的 局 部 问 题, 与 此 不 同, 随 机 变 量 的 概 率 分 布 及 其 期 望 与 方 差 则 着 眼 于 随 机 现 象 的 整 体 和 全 局 问 题. 教 学 中, 要 注 意 讲 解 各 种 模 型 的 概 率 分 布 列 及 其 期 望 与 方 差.. 解 题 时 要 认 真 审 题 读 题, 弄 清 随 机 变 量 及 其 取 值. 计 算 要 准 确, 正 确 应 用 期 望 值 方 差 标 准 差 等 知 识 解 决 实 际 问 题. 范 题 精 讲 例 一 袋 中 装 有 个 白 球 和 个 黑 球, 每 次 从 袋 中 任 取 个 球, 直 到 取 到 白 球 为 止, 若 () 每 次 取 出 黑 球 不 再 放 回 去,() 每 次 取 出 黑 球 仍 放 回, 分 别 求 取 球 次 数 的 概 率 分 布. 分 析 取 出 黑 球 不 再 放 回 去 要 影 响 下 面 取 法 的 概 率, 而 每 次 取 出 黑 球 仍 放 回 却 不 影 响. 解 由 题 意 得 取 球 次 数 ξ 是 一 随 机 变 量. () 因 为 每 次 取 出 黑 球 不 再 放 回, 所 以 ξ 的 可 能 取 值 为,ξ= 表 示 从 袋 中 取 个 球, 就 取 到 了 白 球, 则 P(ξ=)= A = ;ξ= 表 示 从 袋 中 取 个 球, 第 一 次 取 到 黑 球, 第 二 次 取 A A 到 白 球, 则 P(ξ=)= =, A 同 理 P(ξ=)= A =,P(ξ=)= A A =,P(ξ=)= A =. A 若 每 次 取 出 黑 球 不 再 放 回 去, 取 球 次 数 ξ 的 分 布 列 为 ξ P () 由 题 意, 若 取 出 黑 球 仍 放 回, 随 机 变 量 ξ 的 取 值 可 为 一 切 正 整 数,,,,,ξ= 表 示 每 次
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 从 袋 中 取 一 个 球, 前 - 次 取 到 的 都 是 黑 球, 且 每 次 都 放 回, 第 次 才 取 到 白 球, 则 P(ξ=)=( ) - (=,, ), 若 每 次 取 出 黑 球 再 放 回, 取 球 次 数 ξ 的 分 布 列 为 ξ K P 6 ( ) - 点 评 : 在 总 体 中 取 个 体, 常 有 两 种 不 同 取 法, 一 是 取 出 后 不 放 回, 二 是 取 出 后 放 回, 注 意 区 别 二 者 在 解 题 中 的 不 同. 本 题 () 中, 取 球 次 数 ξ 服 从 几 何 分 布. 例 (00 年 全 国 高 考, 理 ) 粒 种 子 分 种 在 个 坑 内, 每 坑 粒, 每 粒 种 子 发 芽 的 概 率 为 0.. 若 一 个 坑 内 至 少 有 粒 种 子 发 芽, 则 这 个 坑 不 需 要 补 种 ; 若 一 个 坑 内 的 种 子 都 没 发 芽, 则 这 个 坑 需 要 补 种. 假 定 每 个 坑 至 多 补 种 一 次, 每 补 种 个 坑 需 0 元, 用 ξ 表 示 补 种 费 用, 写 出 ξ 的 分 布 列 并 求 ξ 的 数 学 期 望.( 精 确 到 0.0) 分 析 本 题 考 查 相 互 独 立 事 件 和 互 斥 事 件 有 一 个 发 生 的 概 率 的 计 算 方 法, 考 查 随 机 变 量 数 学 期 望 等 知 识, 考 查 运 用 概 率 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力. 解 因 为 单 个 坑 内 的 粒 种 子 都 不 发 芽 的 概 率 为 (-0.) = 8, 所 以 单 个 坑 不 需 要 补 种 的 概 率 为 - 8 = 8 7, 个 坑 都 不 需 要 补 种 的 概 率 为 ( 8 7 ) 0.670, 7 恰 有 个 坑 需 要 补 种 的 概 率 为 ( ) 0.87; 8 8 7 恰 有 个 坑 需 要 补 种 的 概 率 为 ([]8) 0.0; 8 7 个 坑 都 需 要 补 种 的 概 率 为 ( ) ( ) 0 0.00. 8 8 补 种 费 用 ξ 的 分 布 列 为 ξ 0 0 0 0 P 0.670 0.87 0.0 0.00 ξ 的 数 学 期 望 为 Eξ=0 0.670+0 0.87+0 0.0+0 0.00=.7. 点 评 : 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 是 概 率 与 统 计 中 的 重 点 和 难 点, 它 直 接 影 响 着 期 望 与 方 差 的 计 算. 求 分 布 列 时 常 出 现 以 下 错 误 : () 没 有 弄 清 题 意 ;() 随 机 变 量 的 取 值 不 准 确 ;() 忽 视 二 项 分 布 的 前 提 条 件 ;() 遗 漏 二 项 分 布 P(ξ=)= p q n- 中 的 系 数 ;() 概 率 计 算 不 准 确. n n 例 根 据 气 象 预 报, 某 地 区 近 期 有 小 洪 水 的 概 率 为 0., 有 大 洪 水 的 概 率 为 0.0. 该 地 区 某 工 地 上 有 一 台 大 型 设 备, 遇 到 大 洪 水 时 要 损 失 60 000 元, 遇 到 小 洪 水 时 要 损 失 0 000 元. 为 保 护 设 备, 有 以 下 种 方 案 : 方 案 一 : 运 走 设 备, 搬 运 费 为 800 元. 方 案 二 : 建 保 护 围 墙, 建 设 费 为 000 元. 但 围 墙 只 能 防 小 洪 水. 方 案 三 : 不 采 取 措 施, 希 望 不 发 生 洪 水. 试 比 较 哪 一 种 方 案 好?
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 分 析 本 题 考 查 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列, 准 确 把 握 随 机 变 量 的 取 值 是 解 题 的 关 键. 解 用 x x 和 x 分 别 表 示 三 种 方 案 的 损 失. 采 用 第 一 种 方 案, 无 论 有 无 洪 水, 都 损 失 800 元, 即 x = 800. 采 用 第 二 种 方 案, 遇 到 大 洪 水 时, 损 失 000+60 000=6 000 元 ; 没 有 大 洪 水 时, 损 失 000 元, 即 6000, 有 大 洪 水, x = 000, 无 大 洪 水. 同 样, 采 用 第 三 种 方 案, 有 60000, 有 大 洪 水, x = 0000, 有 小 洪 水, 0, 无 洪 水. 于 是, Ex = 800, Ex =6 000 P(x =6 000)+ 000 P(x = 000)=6 000 0.0+ 000 (-0.0)= 600, Ex =60 000 P(x =60 000)+0 000 P(x =0 000)+0 P(x =0)=60 000 0.0+0 000 0.= 00. 采 用 方 案 二 的 平 均 损 失 最 小, 所 以 可 以 选 择 方 案 二. 点 评 : 值 得 注 意 的 是, 上 述 结 论 是 通 过 比 较 平 均 损 失 而 得 出 的. 一 般 地, 我 们 可 以 这 样 来 理 解 平 均 损 失 : 假 设 问 题 中 的 气 象 情 况 多 次 发 生, 那 么 采 用 方 案 二 将 会 使 损 失 减 到 最 小. 由 于 洪 水 是 否 发 生 以 及 洪 水 发 生 的 大 小 都 是 随 机 的, 所 以 对 于 个 别 的 一 次 决 策, 采 用 方 案 二 也 不 一 定 是 最 好 的. 例 A B 两 个 代 表 队 进 行 乒 乓 球 对 抗 赛, 每 队 三 名 队 员,A 队 队 员 是 A A A,B 队 队 员 是 B B B, 按 以 往 多 次 比 赛 的 统 计, 对 阵 队 员 之 间 胜 负 概 率 如 下 : 对 阵 队 员 A 队 队 员 胜 的 概 率 A 队 队 员 负 的 概 率 A 对 B A 对 B A 对 B 现 按 表 中 对 阵 方 式 出 场, 每 场 胜 队 得 分, 负 队 得 0 分. 设 A 队 B 队 最 后 所 得 总 分 分 别 为 ξ η. () 求 ξ η 的 概 率 分 布 ; () 求 Eξ Eη. 分 析 : 本 题 考 查 如 何 构 筑 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 及 其 期 望 的 求 法. 问 题 的 关 键 是 搞 清 随 机 试 验 的 结 果 能 否 用 一 个 变 量 来 表 示, 它 可 能 取 的 值 是 什 么, 以 及 取 每 个 值 的 概 率 是 什 么. 解 :()ξ η 的 可 能 取 值 分 别 为,,,0. P(ξ=)= P(ξ=)= P(ξ=)= 8 =, 7 8 + + =, 7 + + =,
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn P(ξ=0)= = ; 根 据 题 意, 知 ξ+η=, 所 以 8 P(η=0)=P(ξ=)=, 7 8 P(η=)=P(ξ=)=, 7 P(η=)=P(ξ=)=, P(η=)=P(ξ=0)=. 8 8 ()Eξ= + 7 + +0 =. 7 因 为 ξ+η=, 所 以 Eη=-Eξ=. 点 评 :. 求 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 期 望 的 步 骤 : () 理 解 ξ 的 意 义, 写 出 ξ 可 能 取 的 全 部 值 ; () 求 ξ 取 每 个 值 的 概 率 ; () 写 出 ξ 的 分 布 列 ; () 由 分 布 列 和 期 望 的 定 义 求 出 Eξ.. 若 ξ~b(n,p), 则 可 直 接 利 用 公 式 求 Eξ=np. 高 三 数 学 同 步 检 测 ( 一 ) 随 机 变 量 说 明 : 本 试 卷 分 为 第 Ⅰ Ⅱ 卷 两 部 分, 请 将 第 Ⅰ 卷 选 择 题 的 答 案 填 入 题 后 括 号 内, 第 Ⅱ 卷 可 在 各 题 后 直 接 作 答. 共 00 分, 考 试 时 间 0 分 钟. 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 共 0 分 ) 一 选 择 题 ( 本 大 题 共 0 小 题, 每 小 题 分, 共 0 分 ). 一 个 袋 中 有 个 白 球 和 个 红 球, 从 中 任 取 个, 则 随 机 变 量 为 ( ) A. 所 取 球 的 个 数 B. 其 中 所 含 白 球 的 个 数. 所 取 白 球 和 红 球 的 总 数 D. 袋 中 球 的 总 数 解 析 : 根 据 离 散 型 随 机 变 量 的 定 义, 可 知 B 中 的 试 验 结 果 ξ 可 能 取 得 的 值 是 一 个 变 量, 并 可 以 按 一 定 次 序 一 一 列 出. 而 A D 中 的 试 验 结 果 是 一 常 量, 不 符 合 随 机 变 量 的 定 义. 答 案 :B. 下 面 表 可 以 作 为 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列. ( ) A. B. ξ - 0 P ξ 0 - P. ξ 0 D. P ξ P
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 分 析 : 本 题 主 要 考 查 任 一 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 所 具 有 的 两 个 性 质 : ()P i 0,i=,,, ; ()P +P + =. 解 : 对 于 B, 由 于 P(0)=- <0, 不 符 合 离 散 型 随 机 变 量 概 率 分 布 的 性 质 (); 对 于, 由 于 P(0)+ P()+P()= + + = 6 >, 不 符 合 离 散 型 随 机 变 量 的 性 质 (); 对 于 D, 随 机 变 量 ξ 的 取 值 x =x =, 不 符 合 随 机 变 量 的 意 义 ; 只 有 A 完 全 符 合 离 散 型 随 机 变 量 的 要 求. 答 案 :A. 某 射 手 射 击 所 得 环 数 ξ 的 分 布 列 如 下 : ξ 6 7 8 0 P 0.0 0.0 0.06 0.0 0.8 0. 0. 如 果 命 中 8~0 环 为 优 秀, 那 么 他 射 击 一 次 为 优 秀 的 概 率 是 ( ) A.0. B.0.7.0.7 D.0. 分 析 : 一 般 地, 离 散 型 随 机 变 量 在 某 一 范 围 内 取 值 的 概 率 等 于 它 取 这 个 范 围 内 各 个 值 的 概 率 之 和. 解 : 根 据 射 手 射 击 所 得 环 数 的 分 布 列, 有 P(ξ=8)=0.8,P(ξ=)=0.,P(ξ=0)=0., 所 求 概 率 为 P(ξ 8)=0.8+0.+0.=0.7. 答 案 :. 已 知 ξ 的 分 布 列 为 且 设 η=ξ+, 则 η 的 数 学 期 望 Eη 的 值 是 ( ) A. B.. D. 6 6 分 析 : 本 题 考 查 期 望 的 计 算 公 式,E(aξ+b)=aEξ+b. 解 : 因 为 Eξ=- +0 + =, 6 6 所 以 Eη=E(ξ+)=Eξ+= ( )+=. 6 答 案 :B. 设 某 批 电 子 管 正 品 率 为, 次 品 率 为, 现 对 这 批 电 子 管 进 行 测 试, 设 第 ξ 次 首 次 测 到 正 品, 则 P(ξ=) 等 于 ( ) A. ( ) ξ - 0 P 6 B.( ). ( ) D.( ) 分 析 : 本 题 考 查 离 散 型 随 机 变 量 的 几 何 分 布. 解 : 根 据 相 互 独 立 事 件 的 概 率 计 算 公 式, 有 P(ξ=)= 答 案 :B =( ).
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 6. 箱 子 里 有 个 黑 球, 个 白 球, 每 次 随 机 取 出 一 个 球, 若 取 出 黑 球, 则 放 回 箱 中, 重 新 取 球 ; 若 取 出 白 球, 则 停 止 取 球, 那 么 在 第 次 取 球 之 后 停 止 的 概 率 为 ( ) A. B.( ). D. ( ) 分 析 : 本 题 中, 每 次 随 机 取 出 一 个 球 是 等 可 能 性 事 件, 取 出 的 是 黑 球 或 白 球 应 用 的 是 等 可 能 性 事 件 的 概 率 公 式. 由 于 放 回 取 球 使 得 各 次 取 球 之 间 取 得 黑 球 或 白 球 的 概 率 互 不 影 响, 因 而 各 次 取 球 才 构 成 相 互 独 立 事 件, 才 可 以 利 用 相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 计 算 公 式. 解 : 由 题 意, 第 次 取 球 后 停 止 的 事 件 应 是 前 次 取 出 的 均 是 黑 球, 第 次 取 出 的 是 白 球. 因 为 取 出 黑 球 后 要 放 回 箱 中 重 新 取 球, 故 前 次 每 次 取 出 黑 球 的 概 率 都 是 =. 第 次 取 出 白 球 的 概 率 是 =, 次 取 球 是 相 互 独 立 事 件, 彼 此 概 率 不 受 影 响, 利 用 相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 的 乘 法 公 式 可 得 在 第 次 取 球 之 后 停 止 的 概 率 为 答 案 :B 7. 若 ξ~b(,0.), 那 么 P(ξ ) 等 于 ( ) A.0.07 B.0.008 6.0.8 D.0. =( ) ( ). 分 析 : 本 题 考 查 二 项 分 布 中 互 斥 事 件 和 的 概 率. 一 般 地, 离 散 型 随 机 变 量 在 某 一 范 围 内 取 值 的 概 率 等 于 它 取 这 个 范 围 内 各 个 值 的 概 率 之 和. 解 :P(ξ )=P(ξ=0)+P(ξ=)+P(ξ=) = 0 - (0.) (0.) =(0.) + (0.) (0.) + (0.) (0.) =0.0 +0.8 0+0.07 =0.. 答 案 :D a 8. 随 机 变 量 ξ 的 分 布 规 律 为 P(ξ=n)= (n=,,,), 其 中 a 是 常 数, 则 P( <ξ< ) n( n ) 的 值 为 ( ) A. B.. D. 6 分 析 : 本 题 考 查 离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 的 性 质 及 互 斥 事 件 和 的 概 率 计 算. 解 : 由 题 意 可 知 a a a a, 可 得 a=.
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn a a P( <ξ< )=P(ξ=)+P(ξ=)= = a = =. 6 6 答 案 :D. 设 ξ~b(n,p) 且 Eξ=,Dξ=, 则 n p 的 值 分 别 是 ( ) A.0, B.60,.0, D.60, 分 析 : 本 题 考 查 二 项 分 布 的 期 望 与 方 差. np, 解 : 由 题 意, 得 np( p). n 60, 解 得 p. 答 案 :B 0. 一 射 手 对 靶 射 击, 直 到 第 一 次 击 中 为 止, 每 次 命 中 的 概 率 为 0.6, 现 有 颗 子 弹, 命 中 后 尚 余 子 弹 数 目 ξ 的 数 学 期 望 为 ( ) A.. B..86..76 D.. 分 析 : 本 题 主 要 考 查 离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 以 及 数 学 期 望 的 求 法. 解 答 本 题 要 注 意 不 要 忽 略 ξ=0 的 情 况. ξ=0 的 含 义 说 明 前 次 一 定 没 有 命 中, 但 第 次 有 可 能 命 中, 也 有 可 能 没 有 命 中. 解 : ξ 0 P 0. 0. 0.6 0. 0.6 0.6 Eξ=0 0. + 0. 0.6+ 0. 0.6+ 0.6=.76. 答 案 : 第 Ⅱ 卷 ( 非 选 择 题 共 60 分 ) 二 填 空 题 ( 本 大 题 共 小 题, 每 小 题 分, 共 6 分. 把 答 案 填 在 题 中 横 线 上 ). 若 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 ξ 0 P c -c -8c 则 常 数 c 的 值 为. 分 析 : 考 查 离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 的 两 个 性 质. 由 0 P(ξ=0),0 P(ξ=) 及 P(ξ=0)+P(ξ=)=, 即 可 求 出 c 的 值. 解 : 由 离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 的 性 质, 知 c -c+-8c= 且 0 c -c,0-8c, 解 得 常 数 c=. 答 案 :. 从 装 有 个 红 球 个 白 球 的 袋 中 随 机 取 出 个 球, 设 其 中 有 ξ 个 红 球, 则 随 机 变 量 ξ 的 概 率 分 布 为 : ξ 0 分 析 : 本 题 考 查 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 及 等 可 能 事 件 的 概 率 计 算 问 题. 解 : 由 等 可 能 事 件 的 概 率 计 算 公 式 可 知 :
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn P(ξ=0)= =0, P(ξ=)= =, P(ξ=)= =0. 答 案 : ξ 0 P 0. 某 射 手 射 击 次, 击 中 目 标 的 概 率 是 0.. 他 连 续 射 击 次, 且 各 次 射 击 是 否 击 中 目 标 相 互 之 间 没 有 影 响. 有 下 列 结 论 : 他 第 次 击 中 目 标 的 概 率 是 0.; 他 恰 好 击 中 目 标 次 的 概 率 是 0. 0.; 他 至 少 击 中 目 标 次 的 概 率 是 -0.. 其 中 正 确 结 论 的 序 号 是 ( 写 出 所 有 正 确 结 论 的 序 号 ). 分 析 : 本 题 主 要 考 查 相 互 独 立 事 件 的 概 率 等 基 础 知 识. 解 题 的 关 键 是 正 确 使 用 相 互 独 立 事 件 的 概 率 公 式. 解 : 因 为 各 次 射 击 是 否 击 中 目 标 相 互 之 间 没 有 影 响, 所 以 第 次 击 中 目 标 的 概 率 是 0.. 正 确. 恰 好 次 击 中 目 标 的 概 率 应 为 0. 0.. 次 射 击 都 未 击 中 目 标 的 概 率 为 0., 所 以 至 少 击 中 次 目 标 的 概 率 为 -0.. 答 案 :. 设 ξ 是 离 散 型 随 机 变 量,P(ξ=x )=,P(ξ=x )=, 且 x <x, 又 已 知 Eξ=,Dξ=, 则 0 x +x 的 值 为. 解 析 : 由 题 意 可 知 x ( x ) x, ( x ), x 解 得 x,. x +x =+=. 答 案 : 三 解 答 题 ( 本 大 题 共 小 题, 共 分. 解 答 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ).( 本 小 题 满 分 8 分 ) 有 甲 乙 两 个 单 位 都 愿 意 聘 用 你, 而 你 能 获 得 如 下 信 息 : 甲 单 位 不 同 职 位 月 工 资 x / 元 00 00 600 800 获 得 相 应 职 位 的 概 率 P 0. 0. 0. 0.
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 乙 单 位 不 同 职 位 月 工 资 x / 元 000 00 600 00 获 得 相 应 职 位 的 概 率 P 0. 0. 0. 0. 根 据 工 资 待 遇 的 差 异 情 况, 你 愿 意 选 择 哪 家 单 位? 解 : 根 据 月 工 资 的 分 布 列, 计 算 得 Ex = 00 0.+ 00 0.+ 600 0.+ 800 0.= 00, Dx =( 00-00) 0.+( 00-00) 0.+( 600-00) 0.+( 800-00) 0.=0 000; 分 Ex = 000 0.+ 00 0.+ 800 0.+ 00 0.= 00, Dx =( 000-00) 0.+( 00-00) 0.+( 800-00) 0.+( 00-00) 0.= 000. 6 分 因 为 Ex =Ex,Dx <Dx, 所 以 两 家 单 位 的 工 资 均 值 相 等, 但 甲 单 位 不 同 职 位 的 工 资 相 对 集 中, 乙 单 位 不 同 职 位 的 工 资 相 对 分 散. 这 样, 如 果 你 希 望 不 同 职 位 的 工 资 差 距 小 一 些, 就 选 择 甲 单 位 ; 如 果 你 希 望 不 同 职 位 的 工 资 差 距 大 一 些, 就 选 择 乙 单 位. 8 分 6.( 本 小 题 满 分 8 分 ) 某 同 学 参 加 科 普 知 识 竞 赛, 需 回 答 三 个 问 题, 竞 赛 规 则 规 定 : 每 题 回 答 正 确 得 00 分, 回 答 不 正 确 得 -00 分. 假 设 这 名 同 学 每 题 回 答 正 确 的 概 率 均 为 0.8, 且 各 题 回 答 正 确 与 否 相 互 之 间 没 有 影 响. () 求 这 名 同 学 回 答 这 三 个 问 题 的 总 得 分 ξ 的 概 率 分 布 和 数 学 期 望 ; () 求 这 名 同 学 总 得 分 不 为 负 分 ( 即 ξ 0) 的 概 率. 分 析 : 本 题 主 要 考 查 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 数 学 期 望 等 概 念, 以 及 运 用 统 计 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力. 求 解 的 关 键 是 搞 清 随 机 变 量 ξ 的 可 能 取 值, 即 所 得 分 数. 其 中, 答 对 0 道 题 得 -00 分, 答 对 道 题 得 00-00=-00 分, 答 对 道 题 得 00-00=00 分, 答 对 道 题 得 00 分. 总 分 不 为 负 共 包 括 : 总 分 为 00 分, 总 分 为 00 分 两 种 情 况. 解 :()ξ 的 可 能 取 值 为 -00,-00,00,00. 分 P(ξ=-00)=0. =0.008, P(ξ=-00)= 0. 0.8=0.06, P(ξ=00)= 0. 0.8 =0.8, P(ξ=00)=0.8 =0.. 所 以 ξ 的 概 率 分 布 为 ξ -00-00 00 00 P 0.008 0.06 0.8 0. 分 Eξ=(-00) 0.008+(-00) 0.06+00 0.8+00 0.=80. 7 分 () 这 名 同 学 总 得 分 不 为 负 分 的 概 率 为 P(ξ 0)=0.8+0.=0.86. 8 分 7. ( 本 小 题 满 分 8 分 ) 某 同 学 向 如 图 所 示 的 圆 形 靶 投 掷 飞 镖, 飞 镖 落 在 靶 外 的 概 率 为 0., 飞 镖 落 在 靶 内 的 各 个 点 是 随 机 的. 已 知 圆 形 靶 中 三 个 圆 为 同 心 圆, 半 径 分 别 为 0 cm,0 cm,0 cm, 飞 镖 落 在 不 同 区 域 的 环 数 如 图 中 标 示. 设 这 位 同 学 投 掷 一 次 得 到 的 环 数 这 个 随 机 变 量 为 x, 求 x 的 分 布 列. 解 : 由 题 意 可 知, 飞 镖 落 在 靶 内 各 个 区 域 的 概 率 与 它 们 的 面 积 成 正 比, 而 与 它 们 的 位 置 和 形 状 无 关. 分
http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn 由 圆 的 半 径 值 可 得 到 三 个 同 心 圆 的 半 径 比 为, 面 积 比 为, 所 以 8 环 区 域, 环 区 域,0 环 区 域 的 面 积 比 为, 则 掷 得 8 环, 环,0 环 的 概 率 可 分 别 设 为,,, 根 据 离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 的 性 质 () 有 0.+++=, 6 分 解 得 =0.. 得 到 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 列 为 X 0 8 0 P 0. 0. 0. 0. 8 分 8.( 本 小 题 满 分 0 分 ) 某 厂 生 产 电 子 元 件, 其 产 品 的 次 品 率 为 %, 现 从 一 批 产 品 中 任 意 地 连 续 取 出 件. () 写 出 其 中 次 品 数 ξ 的 分 布 列 ; () 求 P(ξ ). 分 析 : 本 题 考 查 二 项 分 布 的 概 率 分 布 公 式 和 某 些 简 单 的 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 以 及 由 分 布 列 求 出 一 些 事 件 的 概 率. 这 是 n 次 独 立 重 复 试 验, 出 现 次 品 数 ξ 服 从 二 项 分 布, 由 概 率 公 式 P(ξ=)= p q n- (0<p<,p+q= 且 =0,,,,n) 就 可 求 出 ξ 的 分 布 列, 从 而 求 出 P(ξ ). n 解 : 依 题 意, 随 机 变 量 ξ~b(,%). P(ξ=0)= 0 (%) =0.0, 分 分 P(ξ=)= (%)(%)=0.0, 分 P(ξ=)= (%) =0.00. 6 分 因 此, () 次 品 数 ξ 的 分 布 列 是 ξ 0 P 0.0 0.0 0.00 8 分 ()P(ξ )=P(ξ=)+P(ξ=)=0.0+0.00 =0.07. 0 分. ( 本 小 题 满 分 0 分 ) 西 安 市 一 中 高 二 年 级 研 究 性 学 习 组 在 网 上 查 到 某 种 子 在 一 定 条 件 下 发 芽 成 功 的 概 率 为, 该 研 究 性 学 习 组 分 成 三 个 小 组 开 展 了 验 证 性 试 验 ( 每 次 均 种 下 一 粒 种 子 ). () 求 第 一 小 组 种 下 的 前 粒 种 子 未 发 芽, 第 粒 种 子 发 芽 的 概 率 ; () 第 二 小 组 做 了 若 干 次 发 芽 试 验, 如 果 在 试 验 中 种 子 发 芽 成 功 就 终 止 试 验, 否 则 就 将 继 续 进 行 试 验, 直 到 种 子 发 芽 成 功 为 止, 但 试 验 的 次 数 最 多 不 超 过 次, 求 试 验 次 数 ξ 的 分 布 列 和 期 望. 分 析 : 本 题 考 查 相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率, 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列, 数 学 期 望 等 概 念, 以 及 运 用 概 率 统 计 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力. 解 :() 前 粒 未 发 芽, 第 粒 才 发 芽, P=(- ) (- ) = 7. 分 () 发 芽 试 验 次 数 ξ 取 ~ 的 整 数, 种 子 发 芽 成 功 的 概 率 为, 不 成 功 的 概 率 为, 则 前 - 次 发 芽 不 成 功 而 第 次 发 芽 成 功 的 概 率 为
P(ξ=)=( ) - (=,,,). 分 进 行 第 次 发 芽 试 验 前 次 不 成 功 的 概 率 为 http://www.zhnet.com.cn 或 http://www.e.com.cn P(ξ=)=( ). 7 分 由 此 可 得 ξ 的 概 率 分 布 为 ξ P 8 6 Eξ= + + + + =. 0 分 7 8 8 8 7 8 8 6 8