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第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型 -1 数 学 模 型 概 述 - 控 制 系 统 微 分 方 程 的 建 立 -3 传 递 函 数 rnfer funcion -4 状 态 方 程 -5 传 递 函 数 与 状 态 方 程 的 转 换 -6 动 态 结 构 图 -7 脉 冲 响 应 阶 跃 响 应 和 频 率 特 性 -8 系 统 建 模 返 回 主 目 录 u ujw.7 实 验 特 性 参 数 模 型 微 分 方 程, 传 递 函 数, 状 态 方 程 结 构 图 参 数 模 型 的 图 形 表 示 : 化 简 非 参 数 模 型 : 实 验 特 性 A 输 入 为 时 域 信 号 时, 时 域 响 应, 性 能 表 现 直 观, 易 于 实 验 得 到 B 输 入 为 频 域 信 号 时, 频 域 响 应, 物 理 意 义 明 确, 易 于 实 验 测 量 G y yjw 3 1

时 域 响 应 特 性 系 统 对 典 型 输 入 信 号 的 时 间 响 应 来 作 为 系 统 模 型 表 现 典 型 信 号 : 单 位 脉 冲, 阶 跃, 单 位 速 度 斜 坡 函 数 单 位 脉 冲 响 应 的 物 理 意 义 g -1 [G] g 或 者 是 解 析 表 达 式 ; 或 者 是 实 验 测 得 的 响 应 曲 线 b 理 想 输 入 的 近 似 实 现 及 其 表 现 f 低 频 段 非 常 接 近, 仅 在 高 频 段 略 有 差 异 f f f δ e i i c d b O O O O b c d 图 6 1 c 卷 积 应 用 : 输 入 是 复 杂 函 数 ; 无 法 解 析 YGU yg u u-xgdx 图 O b 4 系 统 或 元 件 的 传 函 的 拉 氏 反 变 换 就 等 于 它 的 脉 冲 响 应 对 于 任 意 输 入 信 号 r, 系 统 输 出 为 c, 则 C G 用 拉 氏 变 换 的 卷 积 定 理 可 得 : c r τ g τ dτ 由 此 可 知, 对 于 线 性 系 统, 只 要 知 道 它 的 脉 冲 过 渡 函 数 g, 就 可 以 计 算 出 系 统 对 任 意 输 入 信 号 r 的 时 间 响 应 过 程 c 5

下 面 用 线 性 系 统 的 叠 加 原 理 说 明 卷 积 式 的 物 理 含 义 6 设 任 意 输 入 信 号 r, 如 上 图 所 示, 分 成 一 系 列 宽 度 为 的 相 邻 矩 形 脉 冲 则 一 矩 形 脉 冲 可 表 为 Δ rn Δ Δ δ nδ 5 式 中 δ nδ 是 发 生 在 nδ 时 刻 的 理 想 脉 冲 则 上 式 表 示 的 矩 形 脉 冲 引 起 的 系 统 输 出 rn Δ Δ k nδ, 由 物 理 系 统 的 因 果 关 系, 可 知 当 nδ 时, g 有 nδ 由 叠 加 原 理 得 : c r nδ g nδ Δ nδ 7 3

当 Δ 时, 记 Δ dτ, nδ τ, 上 式 可 写 为 c r τ g τ dτ 当 系 统 输 入 为 单 位 阶 跃 信 号 时, 则 单 位 阶 跃 响 应 记 作 h, 得 h 1 τ g τ dτ g τ dτ 所 以 知 道 系 统 的 脉 冲 响 应, 就 可 以 惟 一 确 定 其 单 位 阶 跃 响 应, 反 之 亦 然, 即 dh g 8 单 位 阶 跃 响 应 物 理 意 义, 稳, 准, 快 y 瞬 态 过 程 稳 态 过 程 单 位 阶 跃 函 数 对 系 统 的 稳, 准, 快 有 较 好 的 直 观 表 现 当 系 统 的 输 入 具 有 突 变 性 质 时, 可 选 择 阶 跃 函 数 为 典 型 输 入 信 号 ; 当 系 统 的 输 入 是 随 时 间 增 长 变 化 时, 可 选 择 斜 坡 函 数 为 典 型 输 入 信 号 9 4

时 域 响 应 重 点 : 1. 脉 冲 响 应 函 数 与 传 递 函 数 之 间 的 关 系 ;. 单 位 阶 跃 响 应 的 物 理 意 义 3. 脉 冲 响 应 函 数 和 单 位 阶 跃 响 应 函 数 之 间 的 关 系 [ 提 示 ]: 上 述 几 种 典 型 响 应 有 如 下 关 系 : 单 位 脉 冲 函 数 响 应 积 分 积 分 积 分 单 位 阶 跃 函 数 响 应 单 位 斜 坡 函 数 响 应 微 分 微 分 微 分 单 位 抛 物 线 函 数 响 应 1 频 率 特 性 的 基 本 概 念 频 率 特 性 又 称 频 率 响 应, 它 是 系 统 或 元 件 对 不 同 频 率 正 弦 输 入 信 号 的 稳 态 响 应 特 性 5 4 1.5 1.5 ujw 线 性 系 统 yjw 3 1-1 -.5 - -1-1.5 -.5 1 1.5.5 3 G jw 输 出 的 振 幅 和 相 位 一 般 均 不 同 于 输 入 量, 且 随 着 输 入 信 号 频 率 的 变 化 而 变 化 ϕy w y jw Ay w e ϕu w u jw Au w e -3-4 -5.5 1 1.5.5 3 A w e ϕ w 11 5

频 率 响 应 特 性 频 域 特 性 的 表 示 及 物 理 意 义 : 幅 频 特 性, 相 频 特 性 幅 频 特 性 Aw 相 频 特 性 度 ϕw 5 15 1 5-45 -9 频 率 特 性 响 应 图 1 1 1 1 Frequency rd/ec 1 频 域 特 性 重 点 : 根 据 拉 氏 变 换 的 定 义 傅 立 叶 单 边 变 换 GjwG jw 频 域 特 性 与 传 递 函 数 之 间 的 关 系 ; 可 以 通 过 实 验 建 模 F F jw f e f e 图 形 表 示 : 分 析 与 设 计 的 方 便 工 具 经 典 控 制 理 论 的 主 要 方 法 jw 13 6

本 章 引 入 了 传 递 函 数 这 一 基 本 概 念, 概 念 的 引 入 过 程 所 介 绍 的 主 要 内 容 以 及 这 些 内 容 间 的 关 系 可 以 用 示 意 图 表 示 如 下 : 简 化 假 定 自 动 控 制 系 统 抽 象 物 理 模 型 系 统 拉 氏 变 换 零 初 条 件 零 初 条 件 系 统 象 函 数 方 程 组 克 莱 姆 法 则 系 统 原 理 方 块 图 物 理 化 学 定 律 考 虑 负 载 效 应 部 件 微 分 方 程 组 线 性 化 方 法 系 统 增 量 动 态 方 程 组 梅 森 公 式 系 统 动 态 结 构 图 信 号 流 图 传 递 函 数 结 构 图 等 效 变 换 法 则 消 元 法 系 统 输 入 输 出 动 态 关 系 式 拉 氏 变 换 C 零 初 条 件 14 传 递 函 数 概 念 与 后 几 章 的 关 系 可 用 下 图 来 表 示 拉 氏 反 变 换 传 递 函 数 单 位 脉 冲 响 应 函 数 jω 第 三 章 时 域 分 析 根 轨 迹 法 第 五 章 频 率 域 分 析 15 7

-8 机 电 系 统 建 模 非 线 性 系 统 线 性 化 典 型 机 电 系 统 的 数 学 模 型 16 一 非 线 性 系 统 的 线 性 化 在 实 际 工 程 中, 构 成 系 统 的 元 件 都 具 有 不 同 程 度 的 非 线 性, 如 下 图 所 示 返 回 子 目 录 17 8

若 描 述 系 统 的 数 学 模 型 是 非 线 性 微 分 方 程, 则 相 应 的 系 统 称 为 非 线 性 系 统, 这 种 系 统 不 能 用 线 性 叠 加 原 理 在 经 典 控 制 领 域 对 非 线 性 环 节 的 处 理 能 力 是 很 小 的 但 在 工 程 中, 除 了 含 有 强 非 线 性 环 节 或 系 统 参 数 随 时 间 变 化 较 大 的 情 况, 一 般 采 用 近 似 的 线 性 化 方 法 对 于 非 线 性 方 程, 可 在 工 作 点 附 近 用 泰 勒 级 数 展 开, 取 前 面 的 线 性 项 可 以 得 到 等 效 的 线 性 环 节 对 弱 非 线 性 的 线 性 化 如 上 图, 当 输 入 信 号 很 小 时, 忽 略 非 线 性 影 响, 近 似 为 放 大 特 性 对 b 和 c, 当 死 区 或 间 隙 很 小 时 相 对 于 输 入 信 号 同 样 忽 略 其 影 响, 也 近 似 为 放 大 特 性, 如 图 中 虚 线 所 示 平 衡 位 置 附 近 的 小 偏 差 线 性 化 输 入 和 输 出 关 系 具 有 如 下 图 所 示 的 非 线 性 特 性 18 在 平 衡 点 Ax,y 处, 当 系 统 受 到 干 扰,y 只 在 A 附 近 变 化, 则 可 对 A 处 的 输 出 输 入 关 系 函 数 按 泰 勒 级 数 展 开, 由 数 学 关 系 可 知, 当 x 很 小 时, 可 用 A 处 的 切 线 方 程 代 替 曲 线 方 程 非 线 性, 即 小 偏 差 线 性 化 19 9

df 可 得 y x x k x, 简 记 为 ykx dx 若 非 线 性 函 数 由 两 个 自 变 量, 如 zfx,y, 则 在 平 衡 点 处 可 展 成 忽 略 高 次 项 f f z x, y x x, y y x y v 经 过 上 述 线 性 化 后, 就 把 非 线 性 关 系 变 成 了 线 性 关 系, 从 而 使 问 题 大 大 简 化 但 对 于 如 图 d 所 示 为 强 非 线 性, 只 能 采 用 第 七 章 的 非 线 性 理 论 来 分 析 对 于 线 性 系 统, 可 采 用 叠 加 原 理 来 分 析 系 统 多 输 入 线 性 系 统, 两 个 外 作 用 同 时 加 于 系 统 产 生 的 响 应 等 于 各 个 外 作 用 单 独 作 用 于 系 统 产 生 的 响 应 之 和, 而 且 外 作 用 增 强 若 干 倍, 系 统 响 应 也 增 强 若 干 倍, 这 就 是 叠 加 原 理 线 性 化 : 工 作 点 附 近 的 小 信 号 分 析 1. 稳 态 非 静 态 工 作 点. 关 系 式 : 标 准 微 分 方 程 组 3. 偏 微 分 ilor 展 开 [ 注 意 ]:⑴ 上 述 非 线 性 环 节 不 是 指 典 型 的 非 线 性 特 性 如 间 隙 库 仑 干 摩 擦 饱 和 特 性 等, 它 是 可 以 用 泰 勒 级 数 展 开 的 ⑵ 实 际 的 工 作 情 况 在 工 作 点 附 近 ⑶ 变 量 的 变 化 必 须 是 小 范 围 的 其 近 似 程 度 与 工 作 点 附 近 的 非 线 性 情 况 及 变 量 变 化 范 围 有 关 1 1

例 试 把 非 线 性 方 程 zxy 在 区 域 5 x 7 1 y 1 上 线 性 化 求 用 线 性 化 方 程 来 计 算 当 x5, y1 时 z 值 所 产 生 的 误 差 解 : 由 于 研 究 的 区 域 为 5 x 7 1 y 1, 故 选 择 工 作 点 x 6,y 11 于 是 z x y 6 1166. 求 在 点 x 6,y 11,z 66 附 近 非 线 性 方 程 的 线 性 化 表 达 式 将 非 线 性 方 程 在 点 x,y,z 处 展 开 成 泰 勒 级 数, 并 忽 略 其 高 阶 项, 则 有 Δ z Δ x bδy z x z b y x x y y y x x x y y 11 因 此, 线 性 化 方 程 式 为 : z11x6y 当 x5,y1 时,z 的 精 确 值 为 zxy5 15 由 线 性 化 方 程 求 得 的 z 值 为 zz dz6611-16-149 6 O y u [ 例 ]: 求 倒 立 摆 系 统 微 分 方 程 x x coθ coθ P θ g M x 该 系 统 由 小 车 和 安 装 在 小 车 上 的 倒 立 摆 构 成 倒 立 摆 是 不 稳 定 的, 如 果 没 有 适 当 的 控 制 力 作 用 到 它 上 面, 它 将 随 时 可 能 向 任 何 方 向 倾 倒 这 里 我 们 只 考 虑 二 维 问 题, 即 认 为 倒 立 摆 只 在 图 所 在 的 平 面 内 运 动 若 有 合 适 的 控 制 力 u 作 用 于 小 车 上 可 使 摆 杆 维 持 直 立 不 倒 这 实 际 是 一 个 空 间 起 飞 助 推 器 的 姿 态 控 制 模 型 姿 态 控 制 问 题 的 目 的 是 要 把 空 间 助 推 器 保 持 在 垂 直 位 置 设 小 车 和 摆 杆 的 质 量 分 别 为 M 和, 摆 杆 长 为 l, 且 重 心 位 于 几 何 中 点 处, 小 车 距 参 考 坐 标 的 位 置 为 x, 摆 杆 与 铅 垂 线 的 夹 角 为 θ, 摆 杆 重 心 的 水 平 位 置 为 xlinθ, 垂 直 位 置 为 lcoθ 3 11

y θ x V g H H x O u M V 画 出 倒 立 摆 系 统 隔 离 体 受 力 图 设 摆 杆 和 小 车 结 合 部 的 水 平 反 力 和 垂 直 反 力 为 H 和 V, 略 去 摆 杆 与 小 车 小 车 与 地 面 的 摩 擦 力 可 得 方 程 如 下 : d θ ⒈ 摆 杆 围 绕 其 重 心 的 转 动 运 动 V in θ H co θ ⑴ 式 中 为 摆 杆 围 绕 其 重 心 的 转 动 惯 量, V inθ 为 垂 直 力 关 于 其 重 心 的 力 矩, H coθ 为 水 平 力 关 于 其 重 心 的 力 矩 ⒉ 摆 杆 重 心 的 水 平 运 动 d x inθ H ⒊ 摆 杆 重 心 的 垂 直 运 动 d coθ V g ⒋ 小 车 的 水 平 运 动 d x M u H ⑵ ⑶ ⑷ 4 因 为 在 这 些 方 程 中 包 含 inθ 和 coθ, 所 以 它 们 是 非 线 性 方 程 若 假 设 角 度 θ 很 小, 则 inθ 和 coθ 1 可 得 线 性 化 方 程 : d θ V in θ H co θ ⑴ θ V θ H d x inθ H ⑵ x θ H d co θ V g ⑶ d x M u H ⑷ M x u H 由 ⑹ 和 ⑻ 可 得 M x θ u 由 ⑸ ⑺ 和 ⑻ 得 当 考 虑 转 动 惯 量 3 θ x g θ 时 3 x g θ 4 M 3 M θ 4M ⑸ ⑹ V g ⑺ 4 u 4 M g 3u θ 4M ⑻ ⑼ ⑽ 5 1

[ 例 ]: 求 倒 立 摆 系 统 状 态 方 程, 取 状 态 变 量 得 状 态 方 程 : x x 1 x x 3 x 4 x x1 θ, x θ, x3 x, x4 x 3 M g 3 x1 u 4M l 4M l 4 3g 4 x1 u 4M 4M x Ax Bu y Cx Du 3 M g A 4M l 3g 4M 3u B 4M l 4 u 4M C [ 1 ] D 1 1 6 建 模 步 骤 : ⑴ 确 定 系 统 和 各 元 部 件 的 输 入 量 和 输 出 量 ⑵ 对 系 统 中 每 一 个 元 件 列 写 出 与 其 输 入 输 出 量 有 关 的 物 理 的 方 程 ⑶ 对 上 述 方 程 进 行 适 当 的 简 化, 比 如 略 去 一 些 对 系 统 影 响 小 的 次 要 因 素, 对 非 线 性 元 部 件 进 行 线 性 化 等 ⑷ 化 简 : A 从 系 统 的 输 入 端 开 始, 按 照 信 号 的 传 递 顺 序, 在 所 有 元 部 件 的 方 程 中 消 去 中 间 变 量 手 工 计 算, 最 后 得 到 描 述 系 统 输 入 和 输 出 关 系 的 微 分 方 程 B 找 出 输 入 输 出 中 间 变 量 ; 列 关 系 式 ; 拉 氏 变 换 ; 画 结 构 图 ; 化 简 得 传 递 函 数 C 找 出 输 入 输 出 ; 列 关 系 式 ; 状 态 方 程 ; 公 式 待 入 ; 化 简 I-A -1 的 问 题 计 算 机 计 算 ;GCI-A -1 BD 储 能 元 件 : 系 统 阶 数 7 13

二 典 型 系 统 的 模 型 典 型 系 统 机 械 系 统, 电 机 系 统, 电 路 系 统, 热 工 流 体 转 动 系 统 转 动 惯 量 ; 阻 尼 ; 弹 性 轴, 电 机 系 统 : 电 机 部 分 : 理 想 无 阻 尼 和 刚 性 轴 电 路 关 系 ; 转 速 关 系 ; 力 矩 关 系 减 速 环 节 的 折 算 : 高 速, 低 速 阶 数 分 析 图.31,.33 开 环 与 闭 环 的 认 识 8 电 路 系 统 直 接 采 用 电 路 得 复 阻 抗 来 求 传 递 函 数 不 用 经 过 微 分 方 程 步 骤 : 1,, C i I 根 据 欧 姆 定 律, 基 尔 霍 夫 电 流 和 电 压 定 律 列 关 系 式 阻 抗 的 串 并 联 ; 叠 加 定 理 和 戴 维 南 定 理 u U 9 14

例 图 -3 所 示 为 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 的 原 理 图, 要 求 取 电 枢 电 压 U v 为 输 入 量, 电 动 机 转 速 ω rd/ 为 输 出 量, 列 写 微 分 方 程 图 中 Ω H 分 别 是 电 枢 电 路 的 电 阻 和 电 感,M c N M 是 折 合 到 电 动 机 轴 上 的 总 负 载 转 距 激 磁 磁 通 Φ 为 常 值 - U - i E if SM W 负 载 图 -3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图,f 3 解 : 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 的 工 作 实 质 是 将 输 入 的 电 能 转 换 为 机 械 能, 也 就 是 由 输 入 的 电 枢 电 压 U 在 电 枢 回 路 中 产 生 电 枢 电 流 i, 再 由 电 流 i 与 激 磁 磁 通 相 互 作 用 产 生 电 磁 转 距 M, 从 而 拖 动 负 载 运 动 因 此, 直 流 电 动 机 的 运 动 方 程 可 由 以 下 三 部 分 组 成 电 枢 回 路 电 压 平 衡 方 程 电 磁 转 距 方 程 电 动 机 轴 上 的 转 距 平 衡 方 程 31 15

电 枢 回 路 电 压 平 衡 方 程 : di U i E U E I 1 E 是 电 枢 反 电 势, 它 是 当 电 枢 旋 转 时 产 生 的 反 电 势, 其 大 小 与 激 磁 磁 通 及 转 速 成 正 比, 方 向 与 电 枢 电 压 U 相 反, 即 E K b ω E K b ω K b C e ø- 反 电 势 系 数 v/rd/ 3 电 磁 转 距 方 程 : M Ki M K I i i 3 K i C φ M - 电 动 机 转 距 系 数 N /A 是 电 动 机 转 距 系 数 - 是 由 电 枢 电 流 产 生 的 电 磁 转 距 N 33 16

17 34 c c d f M M M M f ω ω ω ω 4 电 动 机 轴 上 的 转 距 平 衡 方 程 : f - 电 动 机 和 负 载 折 合 到 电 动 机 轴 上 的 粘 性 摩 擦 系 数 N /rd/ - 转 动 惯 量 电 动 机 和 负 载 折 合 到 电 动 机 轴 上 的 kg 35 G 1 Kb - - U W Mc G 1 1 G K i f G 1 画 出 结 构 图 : b i i f K K f K U ω b i c f K K f U M 由 传 递 函 数 或 直 接 消 去 中 间 变 量 I,M 得 : M dm K U K K f d f d c c i b i ω ω ω 5

T T f C C e 在 工 程 应 用 中, 由 于 电 枢 电 路 电 感 较 小, 通 常 忽 略 不 计, 因 而 5 可 简 化 为 dω T ω K1U K M c 6 Ki K1 K f K K f K K i b 电 动 机 电 磁 时 间 常 数 电 动 机 机 电 时 间 常 数 如 果 电 枢 电 阻 和 电 动 机 的 转 动 惯 量 都 很 小 而 忽 略 不 计 时 6 还 可 进 一 步 简 化 为 K ω U b 电 动 机 的 转 速 ω 与 电 枢 电 压 U 成 正 比, 于 是 电 动 机 可 作 为 测 速 发 电 机 使 用 i b 36 二 机 械 转 动 系 统 位 移 和 转 动 对 应 关 系 质 量 位 移 x 速 度 dx/ 弹 簧 弹 力 F 转 动 惯 量 角 位 移 θ 角 速 度 ωdθ/ 扭 力 矩 T 阻 尼 器 F f 摩 擦 力 矩 T f 力 F 力 矩 T F x T ω θ 达 朗 贝 尔 定 理 37 18

减 速 器 环 节 的 折 算 : 负 载 的 转 动 惯 量 及 阻 力 矩 折 算 到 电 机 轴 : 负 载 轴 减 速 比 :n T nm nt M n T n 电 机 轴 T M M 38 其 它 系 统 与 电 路 系 统 的 类 比 : 热 力 系 统 : 热 容 C, 热 阻, 温 差 U 热 量 : 电 荷 Q 液 态 流 体 : 液 阻, 容 积 C, 流 速 I 液 位 高 度 压 力 U, 流 体 惯 性 39 19

小 结 1. 参 数 型 数 学 模 型 及 其 相 互 转 换 传 递 函 数 高 阶 微 分 方 程 状 态 方 程 传 递 函 数 性 质 及 意 义. 结 构 图 的 表 示, 化 简, Mon 公 式 3. 实 验 特 性 意 义 : 时 域 单 位 脉 冲, 阶 跃, 频 域 4. 系 统 建 模 非 线 性 系 统 线 性 化 模 型 分 类 : 电 路 模 型 复 阻 抗 求 传 递 函 数 机 械 系 统 直 线, 回 转 运 动 直 流 电 机 模 型 热 工 流 体 电 路 类 比 纯 延 时 环 节 4 MATAB 应 用 传 递 函 数 模 型 输 入 传 递 函 数 分 子 分 母 多 项 式 系 数 按 降 幂 以 向 量 形 式 输 入 两 个 变 量 部 分 分 式 展 开 [r, p, k]reiduenu,den nu[3 9 7] den[1 4 5 ] 零 极 点 增 益 模 型 [z,p,k] 状 态 空 间 模 型 [A,B,C,D] 模 型 转 换 的 结 果 : 能 控 标 准 型 fzp,zpf, zp,zp, zpf, fzp 结 构 图 化 简 函 数 COOP 单 位 反 馈 PAAE, SEIES, nd FEEDBACK. BKBUID, CONNECT 41