序： - PDF 免费下载

序言当接到燕姿老师的序言邀请时, 还是有点受宠若惊的, 虽说这套书是我一点点看着燕姿老师编写的, 也知道它的妙用及优势但是如何写点推荐的东西还是有些愁人, 毕竟感觉大家不怎么看序言, 而且我不太擅长忽悠思来想去莫不如写写关于奥数及升学的东西, 谈谈经验, 或许会给在这条道路上迷失的家长一些建议大家都知道, 全国各大城市将奥数和升学挂钩已经不是一天两天了很多家长逼迫自己孩子学习奥数其实只是为了升学, 并不考虑自己孩子适不适合, 喜不喜欢, 将来有没有用那作为一个教育工作者, 我一定要自己先弄明白一件事情, 为什么要学习奥数? 可能很多家长心中已经有答案了, 问过了这么多家长和老师, 简单总结一下, 无非是以下几个理由功利一点的是为了升学, 提高学校内的学习成绩, 为了孩子初中高中数学及理科学习做铺垫不得不说这些家长还是很有远见的, 在中国现有的教育国情中这些家长的做法亦无可厚非甚至很多孩子回过头来会感谢家长当初逼迫自己学习了奥数那么不太功利的答案就是可以启迪孩子的思维习惯, 培养孩子对理科的学习兴趣, 开发智商这些想法也都很好, 奥数也确实能够达到这些目的我不对这些家长的看法做评价, 那么我认为为什么要学习奥数? 首先奥数是什么? 通俗一点来讲就是很深奥的数学知识既然深奥就必然会让人感觉难, 其实在中国普遍浮躁的社会中, 说自己有兴趣很简单, 但是如果一旦与困难沾了边就会遭受非议问题随之而来, 有人就会问 : 为什么让孩子接受这么难的东西? 显然是不合理的那么我首先解释一下什么人适合学习奥数其实奥数并不适合每一个孩子学习, 他只适合一少批有数学天赋的人, 通俗来讲就是非常聪明的孩子, 学校吃不饱, 可以到外面学习一点奥数但是因为学校有选人的需求, 而学习奥数的孩子恰好又是我们常说的好学生自然的, 奥数就跟各个学校的升学挂上了勾而导致很多不太适合学习它的孩子也要额外来学习适合学习奥数的孩子, 自然会受到很多的裨益比如开发思维, 培养数学兴趣, 养成逻辑思维能力, 做事做人都会变得不一样而不适合的孩子往往会变

得厌学, 甚至畏惧学习那么我们作为一个教育工作者不能一棒打死说你孩子不适合学习奥数, 就不教, 拒之门外, 毕竟大家的需求也是能够理解如果我们能够做出一套书, 将内容分层次, 看清楚学习奥数的目的和动因那么其实也可以解决广大家长和学子的问题适合学习奥数的, 我们就讲的难一点, 深入一点, 透彻一点, 功利性弱一点可以讲讲数学故事, 讲讲数学历史及这种思维方法的发展及应用而不太适合学校奥数又为了升学不得不学习的孩子我们就讲的针对性强一点, 简单一点, 更容易接受一点, 功利性强一点我们会多讲讲这道题的用法, 他的体系是什么, 学校会怎么考, 哪些地方喜欢考, 会有什么变化难度因人而异, 按阶梯把知识点讲清楚, 讲透彻而这本书恰好做到了些最终, 给大家一个建议, 学习数学是要成体系的, 并不是今天学一点, 明天学一道就可以说掌握好了所以体系这个东西很重要, 适合你的需求的体系更重要另外都说万事开头难, 其实要我来看, 万事开头易, 坚持下来才难, 所有东西都是做了一点才会发现还有这样或那样想象不到的困难那么对于使用这本书的小同学, 我的建议就只有一个 : 这本书是有体系的, 学会利用它, 坚持下去, 才会有成绩! 最后预祝每一个学习这本书的小同学都能学有所成! 奥数资深教师 : 刘宗师

第一讲平面几何问题 1 第二讲数论问题 17 第三讲立体几何 33 第四讲逻辑与组合计数 47 第五讲高斯函数及应用问题 63 第六讲组合最值问题 77

第一讲分百及工程问题

第一讲平面几何问题课堂笔记模块一角度问题模块二周长问题模块三面积问题模块一角度问题 BF 在 ABC 中, AB=AC, CAB 80. 若 BD. 求 : A EDF 的度数. D, E, F 分别在边 BC, AC, AB 上, CE CD, F E B D C 下图中如图所示, 已知 A 40 E F., B 60, C 60, D 45 ; H 35, G 42 则 A H G B F C D E 第 1 讲平面几何问题 1

课堂笔记模块二周长问题下图是一个边长为 6 厘米的正五边形, 分别以正五边形的顶点为圆心, 以 6 厘米长为半径画弧在正五边形内围城一个曲边五边形, 求图中阴影曲边五边形的周长 ( 取 3.14 ) A B A 1 B 1 E 1 E C 1 D 1 C D 如图, ABCDEFGH 是一个正八边形, 边长为 3 厘米, 分别以各顶点为圆心, 以 3 厘米长为半径画弧, 在正八边形中围成了一个曲边八边形, 求这个阴影的曲边八边形的周长.( 取 3.14 ). H A G B F C D E 2 六年级寒假集训队

模块三面积问题课堂笔记如图所示, 在四边形 ABCD 中, 作线段 EA, EB, EC, ED. 有 AB EC, BC 13 厘米, 从内部的点 E 向其顶点 A B C 分别 EB CD 外, 四边形 BCDE 的面积为 30 平方厘米. 求 DE 的长度. A, ABE ECD 45, AED 90. 另 E D B C 三角形 ABC 中, 线段 AR, BQ 分别是 BC, AC 边上的中线, 且 BQ 与 AR 互相垂直, 如图所示, 已知 AC=8, BC=6. 请问 A AB BC CA 2 2 2 等于多少? B Q R C 第 1 讲平面几何问题 3

课堂笔记如图, DCB 45 积是多少? ED 垂直于等腰梯形 ABCD 的上底 AD, 并交 BC 于 F, AE 平行于 BD, 且三角形 ABD 和三角形 EDC 的面积分别为 75, 45, 那么三角形 AED 的面 E, A D B F C 如图, 三角形 ABC 中, D E F G H I 是各边长的三等分点, 请回答下列问题 : ⑴ 若 DO=10, 则 OF= ; ⑵ 若 OX=2, 则 AH= ; ⑶ 若 PX=4, 则 BI=. 4 六年级寒假集训队

如图, 三角形 ABC 的面积为 1, D, E 分别为 AB, AC 的四等分点. F, G 是 BC 边上的三等分点. 请问 : 三角形 DEF 的面积是多少? 三角形 DOE 的面积是多少? 课堂笔记 A D E O B F G C 如图, 在三角形 ABC 中, IF 和 BC 平行, GD 和 AB 平行, HE 和 AC 平行. 已知 AG : GF : FC 5: 2 : 4, 那么 AH : HI : IB 和 BD : DE : EC 分别是多少? I A H O G F B D E C 第 1 讲平面几何问题 5

课堂笔记小学平面几何模型包含有直线型模型和曲线型模型其中直线型模型包含有等积模型一半模型鸟头模型蝴蝶模型 ( 包含风筝模型 ) 燕尾模型这五种基本模型 ; 曲线形模型包含有圆形, 扇形以及弯角, 弓形及谷子等而华杯赛决赛里面考试的几何题目大多是这几种模型的组合图形, 例如等高与燕尾 ; 等高与鸟头 ; 蝴蝶与燕尾等的组合, 而这些组合需要同学们根据每种模型的特点去拆分出或者是做辅助线画出除了这几种模型的综合之外, 解决平面几何问题的时候我们还有一下方法会经常被用到 : 割补法, 平移旋转对称法, 容斥法 6 六年级寒假集训队

课后反思度数. 如图, 在 ABC 中, D 是 BC 上的点, AD BD AC, BAC 69, 求 BAD 的下图三角形 ABC 是等腰三角形, AB=AC, BAC=120. 三角形 ADE 是正三角形, 点 D 在 BC 边上, 是多少? BD : DC 2:3 A. 当三角形 ABC 的面积是 50 平方厘米时, 三角形 ADE 的面积 B D E C 第 1 讲平面几何问题 7

课堂笔记 BC 12 如图所示, 多边形, ED DF 13, ABCFDE 中, AE CF ABC BCF FDE EAB 90, 求多边形 ABCFDE 的面积., AB 8, A E D F B C 如图, 三角形 DOE 的面积为 1, D, E 分别为 AB, AC 的中点. F, G 是 BC 边上的三等分点. 请问 : 三角形 ABC 的面积是多少? A D E O B F G C 8 六年级寒假集训队

如图, P 是三角形 ABC 内一点, DE 平行于 AB, FG 平行于 BC, HI 平行于 CA, 四边形 AIPD 的面积是 12, 四边形 PGCH 的面积是 15, 四边形 BEPF 的面积是 20, 请问 : 三角形 ABC 的面积是多少? 课后反思 F B A I 12 D G 20 P 15 E H C 在图中, ABCD 是平行四边形, AM=MB, DN=CN, BE=EF=FC, 四边形 EFGH 的面积是 1, 求平行四边形 ABCD 的面积. A D M N B E F C 第 1 讲平面几何问题 9

课堂笔记如右图, 三角形 ABC 中, AD=2BD, AD=EC, BC=18. 三角形 AFC 的面积和四边形 DBEF 的面积相等. 那么 AB 的长度是多少? A D B F E C 如图, 长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米. B(- -;)=3cm, DF=2cm. 请你回答 : 三角形 AEF 的面积是多少? 10 六年级寒假集训队

小升初模块训练小刚和叔叔一起搬运很多箱水果, 第一次运了全部的来的恰好是没运来的 5 7. 问还有多少箱水果没有运来? 3 8, 第二次运了 50 箱, 这时已运课后反思甲乙两校参加数学竞赛的人数之比是 7:8, 获奖的人数之比是 2:3, 两校各有 320 人未获奖, 那么两校参赛的学生共有人. 将一堆糖果全部分给甲乙丙三个小朋友. 原计划甲乙丙三人所得的糖果数比为 5:4:3. 实际上, 甲乙丙三人所得糖果数的比为 7:6:5, 其中有一位小朋友比原计划多了 15 块糖果. 那么这位小朋友是 ( 填甲乙或丙 ), 他实际所得的糖果数为块. 第 1 讲平面几何问题 11

课后反思某学校入学考试, 参加的男生与女生人数之比是 4:3. 结果录取 91 人, 其中男生与女生的人数之比是 8:5. 未被录取的学生中, 男生与女生的人数之比是 3:4. 问报考的共有多少人? 康师傅加工一批零件, 加工了 720 个之后, 他的工作效率提高了 20%, 结果提前 4 天完成任务 ; 如果康师傅从一开始就把工作效率提高 12.5%, 那么也可以提前 4 天完成任务, 问 : 这批零件共有多少个? 小高从家去学校, 平时总是 7:50 到校. 有一天他起晚了, 结果晚出发了 10 分钟. 为了不 1 至于迟到, 他将速度提高了 5, 跑步前往学校, 最后在 7:55 到校. 请问 : 小高这天是几点出发的? 12 六年级寒假集训队

搬运一个仓库的货物, 甲需要 10 小时, 乙需要 12 小时, 丙需要 15 小时. 有同样的仓库 A 和 B, 甲在 A 仓库, 乙在 B 仓库同时开始搬运货物, 丙开始帮甲搬运, 中途又转向帮乙搬运, 最后同时搬完两个仓库的货物. 丙帮助甲乙各搬运了几个小时? 课后反思甲乙丙三人做一件工作, 原计划按甲乙丙的顺序每人一天轮流去做, 恰好整数天做完, 若按乙丙甲的顺序轮流去做, 则比计划多用半天 ; 若按丙甲乙的顺序轮流去做, 则也比计划多用半天. 已知甲单独做完这件工作要 10 天, 且这三个人的工作效率各不相同, 那么这项工作由甲乙丙三人一起做, 要用多少天才能完成? 一项工程, 乙单独做要 17 天完成. 如果第一天甲做, 第二天乙做, 这样交替轮流做, 那么恰好用整天数完成 ; 如果第一天乙做, 第二天甲做, 这样交替轮流做, 那么比上次轮流的做法多用半天完工. 问 : 甲单独做需要几天? 第 1 讲平面几何问题 13

课后反思计算下列各题 : ⑴ 1 7 1 1 1 48 999+0.487 2 100 10 2 3 6 ⑵ 1 + 1 + 1 + + 1 1 1+2 1+2+3 1+2+ +100 ⑶ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + +1 +1 + + + + 3 5 7 3 5 7 3 5 7 3 5 7 2 14 六年级寒假集训队

⑷ 980 65-320 66+98 64 课后反思 ⑸ 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 1995 1995 1995 1995 ⑹ 1 1 1 1 1 2 3 10 2 6 12 110 第 1 讲平面几何问题 15

课后反思第二讲数论问题 16 六年级寒假集训队

第二讲数论问题课堂笔记模块一位置原理模块二综合应用模块一位置原理 abcd, abc, ab, a 依次表示四位数三位数两位数及一位数, 且满足 abcd abc ab a = 1787, 则这四位数 abcd = 或. 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和, 正好等于这个自然数, 我们就称这个自然数为巧数例如, 99 就是一个巧数, 因为 9 9+(9+9)=99 可以证明, 所有的巧数都是两位数请你写出所有的巧数第 2 讲数论问题 17

课堂笔记少? 现有三个自然数, 它们的和是 1111, 这样的三个自然数的公约数中, 最大的可以是多若 n 为小于 30 的自然数, 求代数式 3n+5 和 5n+6 的值有大于 1 的公因数的所有的 n 的值. 18 六年级寒假集训队

值. 若 n 为小于 30 的自然数, 求代数式 5n+9 和 7n+6 的值有大于 1 的公因数的所有的 n 的课堂笔记在 1 到 50 中, 找到所有的正整数 n, 使得 2 n 1能被 7 整除. 第 2 讲数论问题 19

课堂笔记模块二对任意的自然数 n, 证明 n n n n A 2903 803 464 261 能被 1897 整除. 2 倍, 甲乙丙三数分别为 603, 939, 393. 某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍. 求 A 等于多少? 值. 已知 60, 154, 200 被某自然数除所得的余数分别是 a 1, 2 a, 3 a 1, 求该自然数的 20 六年级寒假集训队

课堂笔记 1. 整除约数倍数整除的常用性质 : (1) 若 c b,b a, 则 c a, (2) 若 c a,c b, 则对于任意整数 m,n, 有 c ma+nb, (3) 若 a,b 为正整数, 且 a b,b a, 则 a=b, (4) 若 b a,m 0, 则 mb ma. 2. 奇数偶数奇偶分析关于奇偶性的常用结论 : (1) 奇数不等于偶数 ; (2) 奇数 ± 奇数 = 偶数, 偶数 ± 偶数 = 偶数, 奇数 ± 偶数 = 奇数 ; (3) 奇数个奇数的和为奇数, 偶数个奇数的和为偶数, 任意多个偶数的和为偶数 ; (4) 奇数奇数 = 奇数, 偶数整数 = 偶数 ; (5) 整数的乘方与它本身同奇偶 ; (6) 两数之和与它们的差同奇偶 ; (7) 奇数的平方除以 8 的余数为 1. 3. 质数合数质因数分解算数基本定理 : 任一大于 1 的整数 a 都可以分解为质因数的乘积, 如果不计因数的次序, 则这种分解是唯一的, 即 : a p p p, 0 i 1,2, 1 2 1 2 s s i, s, 其中 1 1 2 1 s a 的正约数个数为 1 p p 1 2 p s, 其正约数的和为是质数. 1 2 p p p 1 p p p 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 p p s 2 s p 4. 最大公约数最小公倍数互质设 a 1, a2,, an 是 n 个整数, 若 d 是这些整数中每一个的约数 ( 倍数 ), 则称 d 是这 n 个整数的公约数 ( 公倍数 ). 不全为零的 a, a2,, 1 a n s s (n 2) 的一切公约数 ( 正公倍数 ) 中的最大 ( 小 ) 数 d 叫做这 n 个整数的最大公约数 ( 最小公倍数 ), 记作 (a 1, a2,, a n ). a, a2,, 1 a n 如果两个整数的最大公约数是 1, 则称这两个数互质. 第 2 讲数论问题 21

课堂笔记常用结论 : 设 a,b 是不同为 0 的整数, 则对任意整数 k 有 (1)(a,b)=(a,b+ka); (2)(ka,kb)=k(a,b), 其中 k 为正整数 ; (3) 若 (a,b)=1, 则 (ka,b)=(k,b); (4) 若 (a,c)=1 且 c ab, 则 c b; (5) 若 (b,c)=1 且 b a,c a, 则 bc a; (6) 若 ab>0, 则 (a,b)[a,b]=ab; (7) 若 (a,b)=d, 则 a a d, b 1 b1d (8) 若 [a,b]=m, 则 m aa 1 bb1, 且 b 1 a ; 1, 1, 且 b 1 a. 1, 1 裴蜀定理 : 设 a,b 为整数, 则存在整数 x,y 使 ax+by=(a,b), 特别地,(a,b)=1 当且仅当存在整数 x,y, 使 ax+by=1. 5. 带余除法同余若 a,b 是正整数, 则有且仅有一对整数 q,r 使得 a=bq+r(0 r<b) 成立, 其中 q 和 r 分别称为 b 除 a 的商和余数. 定义 : 若 a,b 是整数, 如果 a,b 用正整数 m 除所得的余数相同, 则称 a 与 b 对于模 m 同余, 记作 a bmod m a / b modm 由定义知, a b mod m 同余的常用性质 : 若 (1) 当且仅当 m, a b mod m a1 b1 mod 2 2 a a b 1 2 1 b 2 mod m (2) 对任意整数 k 有 (3). a a 1 2 b b 1 2 6. 完全平方数 mod m ka 1., 则, 否则称 a,b 模 m 不同余, 记作 m a b kb mod m 若 a 是整数, 则称 a² 为完全平方数. 完全平方数的常用性质 : (1) 完全平方数的末位只能是 0,1,4,5,6,9. 1 (2) 两个相邻的完全平方数之间的所有整数都不是完全平方数. (3) 互质两数之积为完全平方数, 则这两个数都是完全平方数. 7. 进制转化 k 进制数转化为十进制数 : A 0 a a a a a k a. k. a k n n1 n n1 1 0 n n 1 1 a k 十进制数转化为 k 进制数 : 除 k 取余法.. 22 六年级寒假集训队

课堂笔记若 r 是 3157, 4142, 5324 被 d 除的余数, 这里 d 是大于 1 的整数, 求 dr 的值. 两数之和为 667, 他们的最小公倍数除以最大公因数所得的商等于 120. 求这两个数. 若 n 为小于 50 的自然数, 求使代数式 4n 5和 7n 6的值有大于 1 的公因数的所有的 n 的值. 第 2 讲数论问题 23

课后反思的数. 一个自然数在 1000 和 1200 之间, 且被 3 除余 1, 被 5 除余 2, 被 7 除余 3, 求符合条件一个数除以 3 5 7 11 的余数分别是 2 3 4 5, 求符合条件的最小的数. 若 2836, 4582, 5164, 6522 四个自然数都被同一个自然数相除, 所得余数相同且为两位数, 除数和余数的和为. 24 六年级寒假集训队

小升初模块训练把浓度为 20% 的糖水和 30% 的糖水混合在一起, 想配成浓度为 24% 的糖水, 可是一不小心把比例弄反了, 请问配错了的糖水浓度是. 课后反思甲瓶中酒精的浓度为 70%, 乙瓶中酒精浓度为 60%, 两瓶酒精混合后的浓度是 66%. 如果两瓶酒精各用去 5 升后再混合, 则混合后的浓度是 66.25%. 问原来甲乙两瓶酒精分别有多少升? 甲容器中有纯酒精 11 升, 乙容器中有水 15 升, 第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器, 使酒精与水混合. 第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器. 这样甲容器中纯酒精含量为 62.5%, 乙容器中纯酒精的含量为 40%. 那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升? 第 2 讲数论问题 25

课后反思一杯盐水, 第一次加入一定量的水后, 盐水的含盐百分比变为 15%; 第二次又加入同样多的水, 盐水的含盐百分比变为 12%; 第三次再加入同样多的水, 盐水的含盐百分比将变为多少? 商店以每件 50 元的价格购进一批衬衫, 售价为 70 元, 当卖到只剩下 7 件的时候, 商店以原售价的八折售出, 最后商店一共获利 702 元, 那么商店一共进了多少件衬衫? 某种商品的进价为 800 元, 出售时标价为 1200 元. 后来由于该商品积压, 商店准备打折出售, 但要保证利润率不低于 5%, 最多可以打折. 26 六年级寒假集训队

甲乙两种商品成本共 200 元. 商品甲按 30% 的利润定价, 商品乙按 20% 的利润定价. 后来两种商品都按定价的九折销售, 结果仍获得利润 27.7 元. 问甲种商品的成本是多少元? 课后反思小敏香水店以每瓶 130 元购进一批香水, 售价是 148 元, 卖到还剩 5 瓶时, 除去购进这批香水的全部开销外获利 880 元. 问这批香水共有多少瓶? 书店以每本 10.8 元的价格购进某种图书, 每本售价 16.8 元, 卖到还剩 10 本时, 除了收回全部成本外, 还获利 504 元. 这个书店购进该种图书多少本? 第 2 讲数论问题 27

课后反思计算下面各题 : ⑴3.14 43+7.2 31.4 150 0.314 ⑵ 2 2 3 2 3 4 2+3+4+ +2015 + 1+2 1 2 3 1 2 3 4 1+2+3+ +2015 ⑶ 1 +2 +3 +23 +24 3 3 3 3 3 28 六年级寒假集训队

⑷ 11 6 3 4 11 5 +4 +0.6 4 5 15 17 5 15 17 课后反思 ⑸ 1 4x 2.5 4 1 2 ⑹ 3.6 0.8 x 1.2 第 2 讲数论问题 29

课后反思第三讲立体几何 30 六年级寒假集训队

第三讲立体几何课堂笔记模块一基础立体几何问题模块二三视图问题模块三综合类问题模块一基础立体几何问题一个透明的封闭盛水容器, 由一个圆柱体和一个圆锥体组成, 圆柱体的底面直径和高都是 12 厘米. 其内有一些水, 正放时水面离容器顶 11 厘米, 倒放时水面离顶部 5 厘米, 那么这个容器的容积是多少立方厘米?( π 3) 11cm 5cm 第 3 讲立体几何 31

模块二三视图课堂笔记小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块, 摆完后从正面看如左下图, 从侧面看如下图, 那么他最多用了块木块, 最少用了块木块如下图, 用若干块单位正方体积木堆成一个立体, 小明正确地画出了这个立体的正视图俯视图和侧视图, 问 : 所堆的立体的体积至少是多少? 正视图俯视图侧视图 32 六年级寒假集训队

下图给出了一个立方体图形的正视图左视图俯视图, 图中尺寸单位为厘米则立体图形的体积为 ( ) 立方厘米课堂笔记已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标示的尺寸 ( 单位 : 厘米 ), 计算出这个几何体的体积. 20 20 正视图 20 20 左视图俯视图 10 10 第 3 讲立体几何 33

模块三水中浸物问题课堂笔记一个正方体容器, 容器内部边长为 24 厘米, 存有若干水, 水深 17.2 厘米, 现将一些碎铁块放入容器中, 铁块沉入水底, 水面上升 2.5 厘米, 如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱, 重新放入池中, 则水面升高几厘米? 如图, 有一个棱长为 10 厘米的正方体铁块, 现已在每两个对面的中央钻一个边长为 4 厘米的正方形孔 ( 边平行于正方体的棱 ), 且穿透. 另有一长方体容器, 从内部量, 长宽高分别为 15 厘米 12 厘米 9 厘米, 内部有水, 水深 3 厘米. 若将正方体铁块平放入长方体容器中, 则铁块在水下部分的体积为立方厘米. 34 六年级寒假集训队

模块三综合类问题课堂笔记把 1 个棱长是 3 厘米的正方体分割成若干个小的正方体, 这些小正方体的棱长必须是整厘米数. 如果这些小正方体的体积不要求都相等, 那么最少可分割成个小正方体. 有甲乙丙 3 种大小的正方体木块, 棱长比是 1: 2 : 3. 如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体, 且每种都至少用一个, 则最少需要这三种正方体共多少? 第 3 讲立体几何 35

课堂笔记如图, 把正方体用两个与它的底面平行的平面切开, 分成三个长方体. 这三个长方体的表面积比是 3: 4:5 时比 : : :., 用最简单的整数比表示这三个长方体的体积下图中, 左图是正方形的边长为 4, 右图中是正方形对角线长度为 6. 如果按照图中所示的方式旋转, 那么得到的两个旋转体的体积之比是多少? 36 六年级寒假集训队

如图, ABCD 是矩形, BC 6cm, AB 10cm, 对角线 AC BD 相交 O. E F 分别是 AD 与 BC 的中点, 图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周, 则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米?( π 取 3) A E D 课堂笔记 O B F C 第 3 讲立体几何 37

课堂笔记一立体几何基本公式名称图形表面积公式体积公式长方体表面积 =2( 长宽 + 长高 + 宽高 ) 体积 = 长宽高正方体表面积 =6 棱长棱长体积 = 棱长棱长棱长圆柱 r h 底面半径为 r, 高位 h 2 表面积 = 2r 2rh 2 体积 = rh 圆锥 r h 底面半径为 r, 高位 h, 母线 l 表面积 = r 2 rl 体积 = 1 2 3 rh 二立体几何相关题型 1 不规则图形表面积问题 ; 2 不规则图形体积问题 ; 3 水中浸物问题三不规则形体的体积常用方法 : 1 化虚为实法 ; 2 切片转化法 ; 3 先补后去法 ; 4 实际操作法 ; 5 画图建模法. 38 六年级寒假集训队

课后反思有黑白两种颜色的正方体积木, 把它摆成右图所示的形状, 已知相邻 ( 有公共面 ) 的积木颜色不同, 标 A 的为黑色, 图中共有黑色积木多少块? A 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体, 这个几何体从正面看如下图左, 从上面看如下图右. 那么这个几何体至少用了块木块. 一个圆柱形玻璃杯内盛有水, 水面高 2.5 厘米, 玻璃杯内侧的底面积是 72 平方厘米. 在这个杯中放进棱长 6 厘米的正方体铁块后, 水面没有淹没铁块. 这时水面高多少厘米? 第 3 讲立体几何 39

课后反思有甲乙两只圆柱形玻璃杯, 其内直径依次是 10 厘米 20 厘米, 杯中盛有适量的水. 甲杯中沉没着一铁块, 当取出此铁块后, 甲杯中的水位下降了 2 厘米 ; 然后将铁块沉没于乙杯, 且乙杯中的水未外溢. 问 : 这时乙杯中的水位上升了多少厘米? 如图, 厚度为 0.25 毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱 ( 纸卷得很紧, 没有空隙 ), 它的外直径是 180 厘米, 内直径是 50 厘米. 这卷铜版纸的总长是多少米? 如图, ABCD 是矩形, BC 6cm, AB 10cm, 对角线 AC BD 相交 O. 图中的阴影部分以 CD 为轴旋转一周, 则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米? A D O B C 40 六年级寒假集训队

小升初模块训练 ⑴ 各位数字均取自 1,2,3,4,5( 可重复选取 ), 并且任意相邻两位数字 ( 大减小 ) 的差都是 1 的四位数共有个. 课后反思 ⑵ 在不大于 1000 的自然数中, 不能被 3 5 7 中任何一个整除的数共有个. 如果在一个平面上画出 4 条直线, 最多可以把平面分成几个部分? 如果画 20 条直线, 最多可以分成几个部分? 第 3 讲立体几何 41

课后反思将一个三角形各边七等分后再连接相应的线段得到下图, 问图中共有多少个三角形? 如下图, 从 A 到 B, 有条不同的路线.( 不能重复经过同一个点 ) C A O B D 七个同学照相, 分别求出在下列条件下有多少种站法 : ⑴ 七个人排成一排, 张明站在最左边, 有多少种站法? ⑵ 七个人排成一排, 某两个同学不能站在边上有多少种站法? ⑶ 张明和李强至少有一人站在边上, 有多少种站法? ⑷ 张明和李强必须相邻, 有多少站法? ⑸ 张明李强文华赵悦四人任意两人都不相邻, 有多少种站法? 42 六年级寒假集训队

已知 13 45 ab c 能被 792 整除, 求 abc,, 的值. 课后反思一个四位整数. 在它的某位数字前面加上一个小数点, 再和这个四位数相加, 得数是 2000.81. 求这个四位数. 数. 已知两个自然数的差为 4, 它们的最大公因数与最小公倍数的积为 252, 求这两个自然第 3 讲立体几何 43

课后反思甲乙丙三数分别为 603 939 393. 某数 A 除甲数所得的余数是 A 除以乙数所得余数的 2 倍, A 除以乙数所得的余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍. 求 A 等于多少? 计算下列各题 : 1 1 1 1 1 1 ⑴1993 1992 1991 1990 1 2 3 2 3 2 3 251 251 251 251 251 ⑵ 48 812 12 16 2000 2004 2004 2008 44 六年级寒假集训队

⑶ 7 4.5 0.16 18 1 1 1 1 1 13 3.753.2 3 15 35 63 3 课后反思 ⑷ PQ, 表示数, PQ P Q 表示, 求 2 3 68 ⑸[A] 表示自然数 A 的约数的个数. 例如 4 有 1,2,4 三个约数, 可以表示成 [4]=3. 计算 : ([18] [22]) [7]= ⑹ x x 4 3 3x 2x1 2 第 3 讲立体几何 45

课后反思第四讲逻辑与组合计数 46 六年级寒假集训队

第四讲逻辑与组合计数课堂笔记模块一逻辑推理模块二组合计数模块三容斥原理模块一逻辑推理在期末考试前, 学生 W X Y Z 分别预测他们的成绩是 A B C 或 D, 评分标准是 A 比 B 是 D. 到 B. 好, B 比 C 好, C 比 D 好. W 说 : 我们的成绩都将不相同. 若我的成绩得 A X 说 : 若 Y 的成绩得 C Y 说 : 若 X 的成绩不是得到 A Z 说 : 若 Y 的成绩得到 A, 则 Y 将得 D., 则 W 将得 D.W 的成绩将比 Z 好., 则 W 将得 C. 若我的成绩得到 B, 则 Z 的成绩将不, 则我将得到 B. 若 X 的成绩不是得到 B, 则我也将不会得当期末考试的成绩公布, 每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测. 请问这四位学生的成绩分别是什么? 第 4 讲逻辑与组合计数 47

课堂笔记春季开学后, 有不少同学都把部分压岁钱捐给山区的贫困学生 ; 事后, 甲乙丙丁 4 位同学有如下的对话 : 甲 : 丙丁之中至少有 1 人捐了款. 乙 : 丁甲之中至多有 1 人捐了款. 丙 : 你们 3 人中至少有 2 人捐了款. 丁 : 你们 3 人中至多有 2 人捐了款. 已知这 4 位同学说的都是真话, 且其中恰好有 2 位同学捐了款, 那么, 是哪 2 位同学捐了款? 模块二组合计数某城市在中心广场建造一个花圃, 花圃分为 6 个部分 ( 如图 ), 现要栽种 4 种不同颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 不同的栽种方法有多少种? 48 六年级寒假集训队

从 1 到 8 中选出三个数, 要求这三个数两两不相邻, 有多少种选择方法? 课堂笔记甲射击员在练习射击, 前方有三种不同类型的气球, 共 3 串, 有一串是红气球 3 个, 有一串是黄气球 2 个, 有一串是绿气球 4 个, 而且每次射击必须射最下面的气球, 问有多少种不同的射法? 红黄绿第 4 讲逻辑与组合计数 49

课堂笔记设 ABCDEF 为正六边形, 一只青蛙开始在顶点 A 处, 它每次可随意地跳到相邻两顶点之一. 若在 5 次之内跳到 D 点, 则停止跳动 ; 若 5 次之内不能到达 D 点, 则跳完 5 次也停止跳动, 那么这只青蛙从开始到停止, 可能出现的不同跳法共种一个七位数的 7 个数字是 1,2,3,4,5,6 和 7, 且偶数位的数字等于相邻两个数字的差 ( 大减小 ), 这样的七位数共有多少个? 50 六年级寒假集训队

一次数学竞赛中, 参赛各队每题的得分只有 0 分, 3 分和 5 分三种可能. 比赛结束时, 有三个队的总得分之和为 32 分. 若任何一个队的总得分都可能达到 32 分, 那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况? 课堂笔记对于 155 个装有红黄蓝三种颜色球的盒子, 有三种分类方法 : 对于每种颜色, 将该颜色的球数目相同的盒子归为一类. 若从 1 到 30 之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数, 那么, (1) 三种分类的类数之和是多少? (2) 说明 : 可以找到三个盒子, 其中至少有两种颜色的球, 它们的数目分别相同. 第 4 讲逻辑与组合计数 51

课堂笔记模块一逻辑推理逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念法则公式进行运算, 而是根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理, 做到正确的判断, 最终找到问题的答案逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性, 并且没有一定的解题模式因此, 要正确解决这类问题, 不仅需要始终保持灵活的头脑, 更需要遵循逻辑思维的基本规律, 最主要的方法有两种 :1 假设法 2 列表法模块二组合计数一加法原理和乘法原理加法原理 : 如果完成一件任务有 n 类方法, 在第一类方法中有 m 1 种不同的方法, 在第二类方法中有 m 2 种不同的方法, 在第一类方法中有法, 则完成这件任务共有 : m m m 种不同的方法 1 2 n m n 种不同的方乘法原理 : 如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行, 做第 1 步有 m 1 种方法, 不管第 1 步用哪一种方法, 第 2 步总有 m 2 种方法, 不管前面 n-1 步用哪一种方法, 第 n 步总有同的方法二排列组合 m n 种方法, 那么完成这件任务共有 m m m 种不 1 2 n 排列 : 一般地, 从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重复排列的方法数叫排列数, 记为 r P n, P n ( n 1) ( n r 1) r n 1 2 3 n 我们记 n! 表示 n 的阶乘, 即 n!= 组合 : 一般的, 从 n 个不同元素中任取 r 个不同元素, 不考虑取出元素的顺序并成一组, 这类任务叫做从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重复组合组合与排列的区别在于取出元素是否考虑它们的位置或顺序符号 r C n 表示从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重复组合数 C r n n! r!( n r)! 52 六年级寒假集训队

课后反思有 8 本不同的书, 其中数学书 3 本, 外语书 2 本, 其它学科书 3 本若将这些书排成一列放在书架上, 让数学书排在一起, 外语书也恰好排在一起的排法共有多少种? 在一张节目单中原有 6 个节目, 若保持这些节目相对顺序不变, 再添加进去 3 个节目, 则所有不同的添加方法共有多少种? 从 1 到 100 的自然数中 ⑴ 不能被 6 和 10 整除的数有多少个? ⑵ 至少能被 2, 3, 5 中一个数整除的数有多少个? 第 4 讲逻辑与组合计数 53

课后反思有 11 名外语翻译人员, 其中 5 名是英语翻译员, 4 名是日语翻译员, 另外两名英语日语都精通. 从中找出 8 人, 使他们组成两个翻译小组, 其中 4 人翻译英文, 另 4 人翻译日文, 这两个小组能同时工作. 问这样的分配名单共可以开出多少张? 在 10 名学生中, 有 5 人会装电脑, 有 3 人会安装音响设备, 其余 2 人既会安装电脑, 又会安装音响设备, 今选派由 6 人组成的安装小组, 组内安装电脑要 3 人, 安装音响设备要 3 人, 共有多少种不同的选人方案? 在一个正六边形的 6 个区域栽种观赏植物, 如右图, 要求同一块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物. 现有四种不同的植物可供选择, 则有种栽种方案 ; 若要求四种不同的植物全部栽种, 则有种栽种方案. 54 六年级寒假集训队

小升初模块训练课后反思小张与小王分别从甲乙两村同时出发, 在两村之间往返行走 ( 到达另一村后就马上返回 ), 他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇, 在离乙村 2 千米处第二次相遇. 问他们两人第五次相遇的地点离乙村多远 ( 相遇指迎面相遇 )? A B 两地相距 7200 米, 甲乙分别从 A, B 两地同时出发, 结果在距 B 地 2400 米处相遇. 如果乙的速度提高到原来的 3 倍, 那么两人可提前 10 分钟相遇, 则甲的速度是每分钟行多少米? 第 4 讲逻辑与组合计数 55

课后反思一辆汽车从甲地开往乙地, 如果车速提高 20% 可以提前 1 小时到达. 如果按原速行驶一段距离后, 再将速度提高 30%, 也可以提前 1 小时到达, 那么按原速行驶了全部路程的几分之几? 甲乙两车分别从 A B 两地同时出发, 相向而行. 出发时, 甲乙的速度之比是 5 : 4, 相遇后甲的速度减少 20%, 乙的速度增加 20%. 这样当甲到达 B 地时, 乙离 A 地还有 10 千米. 那么 A B 两地相距多少千米? 56 六年级寒假集训队

猎狗追赶前方 15 米处的野兔. 猎狗跑 3 步的时间野兔跑 5 步, 猎狗跑 4 步的距离野兔要跑 7 步. 猎狗至少跑出多少米才能追上野兔? 课后反思龟兔赛跑, 全程 6 千米, 兔子每小时跑 15 千米, 乌龟每小时跑 3 千米, 乌龟不停的跑, 但兔子边跑边玩, 它先跑 1 分钟后玩 20 分钟, 又跑 2 分钟后玩 20 分钟, 再跑 3 分钟后玩 20 分钟问它们谁胜利了? 胜利者到终点时, 另一个距离终点还有多远? 第 4 讲逻辑与组合计数 57

课后反思甲乙两人同时从 A 地出发, 以相同的速度向 B 地前进甲每行 5 分钟休息 2 分钟 ; 乙每行 210 米休息 3 分钟甲出发后 50 分钟到达 B 地, 乙到达 B 地比甲迟了 10 分钟已知两人最后一次的休息地点相距 70 米, 两人的速度是每分钟行多少米? 甲乙两班学生到离校 39 千米的博物馆参观, 但只有一辆汽车, 一次只能乘坐一个班的学生. 为了尽快到达博物馆, 两个班商定, 由甲班先坐车, 乙班先步行, 同时出发, 甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆, 汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生. 如果甲乙两班学生步行速度相同, 汽车速度是他们步行速度的 10 倍, 那么汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生, 才能使两班同时到达博物馆? 58 六年级寒假集训队

某人沿公路前进, 迎面来了一辆汽车, 他问司机 : 后面有骑自行车的人吗? 司机回答 : 10 分钟前我超过一个骑自行车的人. 这人继续走了 10 分钟, 遇到了这个骑自行车的人. 如果自行车的速度是人步行速度的 3 倍, 那么, 汽车速度是人步行速度的多少倍? 课后反思计算 : x x1 ⑴ 1 ⑵ 1 1 1 + 24+0.6253.8+ 5 3.2+ 5 2 3 2 3 6 8 8 第 4 讲逻辑与组合计数 59

课后反思 1 2 1 ⑶ 已知 : 13.5 11+ 4 1 7 1 =1, 那么 =. 1 6 ⑷ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + 9 10 11 10 11 12 9 10 11 12 10 11 2013 ⑸ 2005 2014 60 六年级寒假集训队

⑹ 2 2 1 1 1 3.62 6.38 7 1.82 1 0.82 3 15 2 3 课后反思第 4 讲逻辑与组合计数 61

课后反思第五讲高斯函数及应用问题 62 六年级寒假集训队

第五讲高斯函数及应用问题课堂笔记模块一高斯函数模块二高斯方程模块三高斯方程组模块一高斯函数用 [ a ] 表示不超过 a 的最大整数, 则 [ a] [ a ] 是多少? 在数列 2 2 2 2 1 2 3 1980 [ ],[ ],[ ],,[ ] 1980 1980 1980 1980 中有多少个不同的数? 第 5 讲高斯函数及应用问题 63

模块二高斯方程课堂笔记解方程 :[x] + 2 x =10 解方程 : 5 6x [ ] 8 = 15x 7 5 求方程 x x x x x 69 2 3 4 5 6 的正整数解. 64 六年级寒假集训队

模块三高斯方程组课堂笔记求方程组 13 3x y 2 7 2x y 3 的解, 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数. 模块三立体几何设 x, y 满足方程组 y2 x 2 7 3 x 2 y 3, 则 [ ] 等于多少? x y 第 5 讲高斯函数及应用问题 65

课堂笔记求方程组 x 3 y 2x x 3 y 0.6 的解 66 六年级寒假集训队

课堂笔记高斯函数这一讲介绍重要的数论函数定义 : 对任意实数义 { } [ ] x, [ x] x x x 为 x 的小数部分. y [x], 称为高斯函数, 又称取整函数. 是不超过 x 的最大整数, 称例如 :[4.5] 4,[ 2.8] 3,{3.2} 0.2,{ 1.2} 0.8. 由上述定义可见 : 对任意实数由 [x] ⑴ 对任意实数 {x} 的定义不难得到如下性质 : x x x x, 都有 [ ] { } x x x, x 1 [ x] x ; x, 都有 [ ] [ ] 1 [x] 为 x 的整数部分. 定, 且 0 { } 1 x ⑵ 若 [] x n, 则 n x n 1. 特别的, 当 n 0 时, 即若 [ ] 0, 则 0 1 ; x x ⑶ 对任意实数 x 和整数 n 有 1[ ] [ ] x n x n,{ } { } nx n x x n x n ;2[ ] [ ] ⑷ 对任意实数 x 和 y 有 1 若 [ x] [ y], 则 x y 1 ; 2 [ x] [ y] [ x y] [ x] [ y] 1 高斯方程方程中含有高斯函数的定义 [ ] { } [x] 的称之为高斯方程, 而求高斯方程最常规的手段就是利用 x x x 思路 : 先定范围, 后定值 ) 高斯方程组, 且 0 { x } 1 先确定 [x] 再代回方程即可 ( 核心由几个高斯方程组成的方程组称为高斯方程组, 高斯方程组有很多解法, 本节课主要要介绍以下几种解法 : ⑴ 定义法 : ⑵ 性质法 : ⑶ 分类讨论第 5 讲高斯函数及应用问题 67

z 课后反思若设 [ ] 5 x,[ y] 3,[ z] 1, 则 [ ] x y z 可以取值的个数是 ( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个解方程 :2 x - [x] =4 解方程 : 3 4x [ ] 6 = 12 x 4 5 68 六年级寒假集训队

求方程组 2x y 9 2, 3 x [ y] 8 3 的解, 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数. 课后反思求方程组 [ ] 4[ ] [2 ], x y x { x} 4[ y] 0.8 的解求满足等式 n n n n 2 3 6 且 n 2016 的正整数 n 的个数. 第 5 讲高斯函数及应用问题 69

z 课后反思小升初模块训练如图, 三角形 ABC 中, DC=2BD, CE=3AE, 三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米, 三角形 ABC 的面积是多少? A E B D C 如图, 大长方形由面积是 12 平方厘米 24 平方厘米 36 平方厘米 48 平方厘米的四个小长方形组合而成. 求阴影部分的面积. 12cm 2 36cm 2 24cm 2 48cm 2 70 六年级寒假集训队

如图, 三角形 ABC 的面积为 1, D E F 分别是三条边上的三等分点, 求阴影三角形的面积. 课后反思如图所示, 正方形 ABCD 边长为 6 厘米, AE= 1 3 AC, CF= 1 3 BC, 求阴影面积. A D E B F C 第 5 讲高斯函数及应用问题 71

z 课后反思如图所示, 正方形 ABCD 的面积为 1.E F 分别是 BC 和 DC 的中点, DE 与 BF 交于 M 点, DE 与 AF 交于 N 点, 那么阴影三角形 MFN 的面积为多少? 如图, 有 8 个半径为 1 厘米的小圆, 用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形, 图中的黑点是这些圆的圆心. 则花瓣图形的面积是多少平方厘米? ( π 取 3) 草场上有一个长 20 米宽 10 米的关闭着的羊圈, 在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊 ( 如图 ). 问 : 这只羊能够活动的范围有多大? 72 六年级寒假集训队

下图左边正方形的边长为 8, 右边正方形对角线长度为 12. 如果按照图中的方式旋转, 那么得到的两个旋转体的体积之比是多少? 课后反思如图一个底面长 30 分米, 宽 10 分米, 高 12 分米的长方体水池, 存有 3 4 池水, 请问 : ⑴ 将一个高 1 1 分米, 体积 330 立方分米的圆柱放入池中, 水面的高度变为多少分米? ⑵ 如果再放入一个同样的圆柱, 水面高度又变成了多少分米? ⑶ 如果再放入一个同样的圆柱, 水面高度又变成了多少分米? 第 5 讲高斯函数及应用问题 73

z 课后反思计算 : 1 ⑴ 一个数的 40% 比 18 的多 2, 求这个数 3 ⑵9999 2222+3333 3334 ⑶ 1 1 1 1 1 1 1 1 49 + 46 + 43 + + 1 8 8 8 8 8 8 8 8 74 六年级寒假集训队

⑷ 有这样一串数 : 1 第 407 个分数是多少? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2,,,,,,,,,, 3 3 4 4 4 5 5 5 5 课后反思 2 从 1 2 开始, 前 407 个分数的和是多少? ⑸ 已知和分别表示两个自然数, 并且 37, 则 =, =. 5 11 55 4 b 5 ⑹ 若 a 和 b 均为自然数, ab 19, 且, 则 a = b =. 7 a 8 第 5 讲高斯函数及应用问题 75

z 课后反思第六讲组合最值问题 76 六年级寒假集训队

第六讲组合最值问题课堂笔记模块一抽屉原理模块二组合最值问题模块一抽屉原理从 1, 2, 3,, 99, 100 这 100 个数中任意选出 51 个数. 证明 : (1) 在这 51 个数中, 一定有两个数互质 ; (2) 在这 51 个数中, 一定有两个数的差等于 50; (3) 在这 51 个数中, 一定存在 9 个数, 它们的最大公约数大于 1. 第 6 讲组合最值问题 77

课堂笔记圆周上有 2000 个点, 在其上任意地标上 0,1,2,,1999 ( 每一点只标一个数, 不同的点标上不同的数 ). 证明必然存在一点, 与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于 2999 模块二组合最值从 1, 2,, 205 共 205 个正整数中, 最多能取出多少个数, 使得对于取出来的数中的任意三个数 a, b, c( a b c), 均有 ab c. 78 六年级寒假集训队

由 9 名裁判员给参加健美比赛的 12 名运动员评分. 每名裁判员对他认为的第 1 名运动员给 1 分, 第 2 名运动员给 2 分, 第 12 名运动员给 12 分. 最后评分结果显示 : 每名运动员所得的九个分数中高低分之差均不大于 3. 设各运动员的得分总和分别为且 c c c 1 2 12. 求 c 1 的最大值. c, c c 1 2 12, 课堂笔记设 x, x 1 2 100 x1 x2 x50 x 是正整数, 且的最大值是多少? x x x 1 2 100. 若 x x x 1 2 100 7001, 则第 6 讲组合最值问题 79

课堂笔记从 1, 2,, 2 004 中任选 k 个数, 使得所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数 ( 要求互不相等 ). 试问 : 满足条件的 k 的最小值是多少? 设 x, x 1 2 2006 x1 x2 x2006 200 值. x 是整数, 且满足下列条件 : 一 1, x x x 2 2 2 1 2 2006 2006 x n 2( n =1, 2,, 2 006),. 求 x x x 3 3 3 1 2 2006 的最小值和最大 80 六年级寒假集训队

课堂笔记模块一抽屉原理抽屉原理有两条 : ⑴ 如果把 n+1 个元素放到 n 个抽屉里, 那么至少有一个抽屉里含有 2 个或 2 个以上的元素 ⑵ 如果把 m n 个元素放到 n 个抽屉里, 那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是抽屉? 哪些是元素? 然后按以下步骤解答 :a 构造抽屉, 指出元素 b 把元素放入 ( 或取出 ) 抽屉 c 说明理由, 得出结论模块二组合最值问题在数学竞赛中, 经常有一些与组合问题相关的整数最值问题, 简称组合最值. 此类问题常以整数不等式抽屉原理数论等对象为背景, 求满足某些约束条件的极大值或极小值解决此类问题时, 要针具体问题, 细心观察, 选用灵活的策略与方法 ( 如构造法分类讨论正难则反极端原理等 ). 大体思路一般都是先定范围, 再定值. ⑴ 构造 ⑵ 分类讨论 ⑶ 极端原理第 6 讲组合最值问题 81

课后反思有 49 个小孩, 每人胸前有一个号码, 号码从 1 到 49 各不相同. 现在请你挑选若干个小孩, 排成一个圆圈, 使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于 100, 那么你最多能挑选出多少个孩子? 7 4 如果 11 5. 成立, 则与中可以填入的非零自然数之和最大为 82 六年级寒假集训队

如右图, 三个圆交出七个部分. 将证书 1~7 分别填到七个部分中, 使得每个圆内得四个数字的和都相等, 那么和的最大值是. 课后反思从连续自然数 1,2,3,,2014 中取出 n 个数, 使这 n 个数满足 : 任意取其中两个数, 不会有一个数是另外一个数的 7 倍. 试求 n 的最大值, 并说明理由. 第 6 讲组合最值问题 83

课后反思 (1) 设 x x x 取值 7 或一 7, 且满足 1, 2 n x1 x2 x n 0 (2) x1 2x2 nx n 2009. 试确定 n 的最小值. ; 84 六年级寒假集训队

小升初模块训练课后反思徐王陈赵四位师傅分别是工厂的木工车工电工和钳工, 他们都是象棋迷 ⑴ 电工只和车工下棋 ; ⑵ 王陈两位师傅经常与木工下棋 ; ⑶ 徐师傅与电工下棋互有胜负 ; ⑷ 陈师傅比钳工下得好问 : 徐王陈赵四位师傅各从事什么工种? 四个小朋友 A B C 和 D 在院子里踢足球, 一阵响声, 惊动了正在读书的陆老师, 陆老师跑出来查看, 发现一块窗户玻璃被打破了陆老师问 : 是谁打破了玻璃? A 说 : 是 B 无意打破的 B 说 : 是 D 打破的 D 说 : B 说谎 C 说 : 反正不是我打破的如果只有一个孩子说了实话, 那么这个孩子是谁? 是谁打破了玻璃? 八一队北京队江苏队山东队广东队五队进行象棋友谊赛, 每两个队都要赛一场, 一个月过后, 八一队赛了 4 场, 北京队赛了 3 场, 江苏队赛了 2 场, 山东队赛了 1 场. 那么广东队赛了几场? 第 6 讲组合最值问题 85

课后反思五个足球队进行循环比赛, 即每两个队之间都要赛一场. 每场比赛胜者得 2 分负者得 0 分打平两队各得 1 分. 比赛结果各队得分互不相同. 已知 :⑴ 第 1 名的队没有平过 ; ⑵ 第 2 名的队没有负过 ; ⑶ 第 4 名的队没有胜过. 问全部比赛共打平了场. 100 个苹果最多分给多少个学生, 能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于 12 个. 一次测验共有 10 道问答题, 每题的评分标准是 : 回答完全正确, 得 5 分 ; 回答不完全正确, 得 3 分, 回答完全错误或不回答, 得 0 分. 至少有多少人参加这次测验, 才能保证至少有 3 人的得分相同. 86 六年级寒假集训队

要把 61 个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中, 每个盒子最多可以装 5 个乒乓球, 问 : 至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同? 课后反思一支勘探队在五个山头 A B C D E 设立了基地, 人数如图所示. 为使各基地人数相同, 如何调动最方便?( 调动时不考虑路程远近 ) A B 4 17 9 E 16 14 C D 用 10 尺长的竹竿做原材料, 来截取 3 尺 4 尺长的甲乙两种短竹竿各 100 根, 至少要用去原材料几根? 怎么截法最合算? 第 6 讲组合最值问题 87

课后反思计算 : ⑴ 1 0.5 75% 8 x ⑵ 规定 a b ab, b a 则 2 53 的值为. ⑶ 2x5 3 x 1 6 4 ⑷ 2008 1 1 9 8 2 2009 2009 2 88 六年级寒假集训队

⑸ 1 1 1 1 1 1 + + + + + 2 6 12 20 90 课后反思 ⑹ 9 除以 1.8 的商, 加上 1.8, 所得和的 25% 是多少? 第 6 讲组合最值问题 89