概 率 的 定 义 及 其 确 定 方 法 研 究 随 机 现 象 不 仅 关 心 试 验 中 会 出 现 哪 些 事 件, 或 者 某 事 件 发 生 的 可 能 性 大 不 大, 即 只 有 一 个 定 性 的 描 述 是 不 够 的, 准 确 了 解 事 件 发 生 的 可 能 性 即 概 率 的 大 小, 对 人 们 的 生 活 有 重 要 意 义. 例 如, 了 解 发 生 意 外 人 身 事 故 的 可 能 性 大 小, 确 定 保 险 金 额. 了 解 来 商 场 购 物 的 顾 客 人 数 的 各 种 可 能 性 大 小, 合 理 配 置 服 务 人 员. 了 解 每 年 最 大 洪 水 超 警 戒 线 可 能 性 大 小, 合 理 确 定 堤 坝 高 度. 更 重 要 的 是 对 事 件 出 现 的 可 能 性 的 大 小 有 一 个 定 量 的 描 述. 这 就 需 要 有 一 个 度 量 事 件 发 生 可 能 性 大 小 的 数 量 指 标, 事 件 的 概 率 就 是 事 件 发 生 的 可 能 性 大 小 的 一 个 数 值 度 量.
特 殊 古 典 几 何 定 义 频 率 定 义 公 理 化 定 义 输 光 得 分 问 题 随 机 试 验 所 有 可 能 结 果 为 有 限 个 等 可 能 的 情 形 ; 将 等 可 能 思 想 发 展 到 含 无 穷 多 个 元 素 的 样 本 空 间 克 服 等 可 能 观 点 不 易 解 决 的 问 题 1933 年, kolmogorov 柯 尔 莫 哥 洛 夫
1..1 概 率 的 公 理 化 定 义 设 是 一 个 样 本 空 间, F 为 的 某 些 子 集 组 成 的 一 个 事 件 域, 定 义 若 对 于 中 的 每 一 个 事 件 AF, 定 义 在 F 上 的 一 个 实 值 函 数 P(A) 满 足 : 非 负 性 (1) 若 事 件 A F, 则 P(A) 0, () P( )= 1, 正 则 性 可 列 可 加 性 (3) 若 事 件 A 1, A,, A, 两 两 互 不 相 容, 则 有 P A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) ( 1 1 称 P(A) 为 事 件 A 的 概 率, 称 三 元 素 (,F, P ) 为 概 率 空 间. 数 学 上 所 说 的 公 理, 就 是 一 些 不 加 证 明 而 公 认 的 前 提, 然 后 以 此 为 基 础, 推 演 出 所 讨 论 对 象 的 进 一 步 的 内 容. 在 学 习 几 何 和 代 数 时, 我 们 已 经 知 道 公 理 是 数 学 体 系 的 基 础. 柯 尔 莫 哥 洛 夫 提 出 的 公 理 为 数 很 少 且 极 为 简 单, 上 建 立 起 了 概 率 论 的 宏 伟 大 厦. 但 在 此 基 础 由 概 率 的 三 条 公 理, 我 们 可 推 导 出 概 率 的 若 干 重 要 性 质. 在 计 算 概 率 时 很 有 用, 尤 其 是 加 法 公 式. 它 们
1.. 排 列 与 组 合 公 式 这 里 我 们 先 简 要 复 习 一 下 计 算 古 典 概 率 所 要 用 到 的 两 个 基 本 计 数 原 理. 它 们 不 但 可 以 直 接 解 决 不 少 具 体 问 题, 同 时 也 是 推 导 常 用 排 列 组 合 公 式 的 基 础. (1) 加 法 原 理 设 完 成 一 件 事 有 m 种 方 式, 第 一 种 方 式 有 1 种 方 法, 第 二 种 方 式 有 种 方 法, ; 第 m 种 方 式 有 m 种 方 法, 无 论 通 过 哪 种 方 法 都 可 以 完 成 这 件 事, 则 完 成 这 件 事 总 共 有 1 + + + m 种 方 法. 例 如, 甲 城 到 乙 城 有 3 条 旅 游 路 线, 乙 城 到 丙 城 有 条 旅 游 路 线, 则 从 甲 城 经 乙 城 到 丙 城 就 有 3= 6 条 旅 游 路 线. () 乘 法 原 理 设 完 成 一 件 事 有 m 个 步 骤, 第 一 个 步 骤 有 1 种 方 法, 第 二 个 步 骤 有 种 方 法, ; 第 m 个 步 骤 有 m 种 方 法, 则 完 成 这 件 事 共 有 1 m 种 不 同 的 方 法. 例 如, 甲 城 到 乙 城 去 旅 游 有 3 类 交 通 工 具 : 汽 车 火 车 和 飞 机, 而 汽 车 有 5 个 班 次, 火 车 有 5 个 班 次, 飞 机 有 个 班 次, 则 从 甲 城 到 乙 城 去 旅 游 就 有 5+3+= 10 个 班 次 可 供 选 择.
排 列 组 合 的 定 义 及 其 计 算 公 式 (1) 排 列 从 个 不 同 元 素 取 r 个 (r ) 排 成 一 列 ( 考 虑 先 后 顺 序 ), 称 其 为 一 个 排 列. 由 乘 法 原 理, 此 种 排 列 的 总 数 为! p k ( 1)( ) ( k 1) ( k)! r = 时 称 全 排 列. P p ( 1)( ) 1! 显 然 () 重 复 排 列 从 个 不 同 元 素 中 每 次 取 1 个, 放 回 后 再 取 下 一 个, 如 此 连 续 取 r 次 (r 可 以 大 于 ) 所 得 的 排 列 称 为 重 复 排 列, 此 种 重 复 排 列 的 总 数 为 r
(3) 组 合 从 个 不 同 元 素 任 取 k 个 (k ) 并 成 一 组 ( 不 考 虑 先 后 顺 序 ), 称 其 为 一 个 组 合. 此 种 组 合 的 总 数 记 为 或 k, 由 乘 法 原 理, k 组 合 总 数 为 k k P! k! ( k)! k! () 重 复 组 合 从 个 不 同 元 素 中 每 次 取 1 个, 放 回 后 再 取 下 一 个, 如 此 连 续 取 r 次 (r 可 以 大 于 ) 所 得 的 组 合 称 为 重 复 组 合, 此 种 重 复 组 合 的 总 数 为 r 1 r 使 用 排 列 组 合 的 概 念 与 公 式 时, 应 注 意 其 对 有 序 与 无 序 重 复 与 不 重 复 的 要 求.
1..3 确 定 概 率 的 频 率 方 法 定 义 1 如 果 在 次 重 复 试 验 中 事 件 A 发 生 了 (A) 次, 则 称 (A) 为 事 件 A 发 生 的 频 数, 称 比 值 ( A) 为 事 件 A 在 次 试 验 中 出 现 的 频 率, 记 为 f (A), 即 稳 定 性 f ( A) 基 本 性 质 ( 1) 0 ( A) 1; f ( ) ( ) f 1; ( A ) A 发 生 的 频 繁 程 度 事 件 的 统 计 规 律 性 (3) 设 A 1, A,, A k 两 两 互 不 相 容 的 事 件, 则 f A A A ) f ( A ) f ( A ) f ( A ( 1 k 1 k 即 满 足 公 理 化 定 义. 非 负 性 正 规 性 ) 有 限 可 加 性? 参 见 P14 的 三 个 例 子
用 频 率 确 定 概 率 是 一 种 常 用 的 方 法. 其 基 本 思 想 是 : (1) 与 考 察 事 件 A 有 关 的 随 机 现 象 可 大 量 重 复 进 行 ; () 人 们 长 期 实 践 表 明 : 随 着 实 验 重 复 次 数 的 增 加, 频 率 f (A) 会 稳 定 在 某 一 常 数 a 附 近, 称 常 数 a 为 频 率 的 稳 定 值 ; 这 个 频 率 的 稳 定 值 就 是 我 们 所 求 的 概 率 ; (3) 频 率 方 法 的 缺 点 现 实 中, 人 们 无 法 把 一 个 实 验 无 限 次 地 重 复 下 去, 因 此 要 精 确 地 得 到 频 率 的 稳 定 值 是 困 难 的. 但 频 率 方 法 提 供 了 概 率 的 一 个 可 供 想 象 的 具 体 值, 并 且 当 实 验 重 复 次 数 较 大 时, 可 用 频 率 给 出 概 率 的 一 个 近 似 值. 故 称 频 率 为 概 率 的 估 计 值. 这 正 是 频 率 方 法 最 有 价 值 的 地 方.
1..4 确 定 概 率 的 古 典 方 法 古 典 方 法 的 基 本 思 想 : (1) 样 本 空 间 只 有 有 限 多 个 样 本 点, 即 () 每 个 样 本 点 发 生 的 可 能 性 相 等, 设 事 件 A 由 k 个 样 本 点 组 成, 即 由 可 加 性 知 A 的 概 率 为 : P( A) k A包 含 的 样 本 点 数 中 的 样 本 点 总 数 P( i ) P( i ) P( 1 k 这 样 就 把 求 概 率 问 题 转 化 为 计 数 问 题. i {,,, 1 等 可 能 性 A { i, i,, i ) k 1 k }, A 包 含 的 样 本 点 数 中 的 样 本 点 总 数 称 此 概 率 为 古 典 概 率. 这 种 确 定 概 率 的 方 法 称 为 古 典 方 法. } ;
例 1(P14 例 9) 同 时 掷 两 枚 均 匀 硬 币, 分 别 求 事 件 A={ 两 枚 都 出 现 正 面 }, B={ 一 枚 出 现 反 面 } 和 ={ 两 枚 都 出 现 反 面 } 的 概 率. 解 同 时 掷 两 枚 硬 币 有 4 个 等 可 能 的 结 果, 即 样 本 空 间 为 ={( 正, 正 ), ( 正, 反 ), ( 反, 正 ), ( 反, 反 )} 古 典 概 型 又 事 件 A, B, 分 别 包 含 1 个 个 和 1 个 样 本 点, 1 P ( A) 1 ; ( ) 1 P B 4 ; P( ). 4 4 列 举 法 排 列 组 合 是 计 算 古 典 概 率 的 重 要 工 具
一 个 盒 子 中 装 有 10 个 大 小 形 状 完 全 相 同 的 晶 体 管, 其 中 3 只 是 次 品. 按 下 列 两 种 方 法 抽 取 晶 体 管 : (1) 先 任 取 一 只, 作 测 试 后 放 回 盒 中, 再 任 取 下 一 只 ; 有 放 回 抽 样 () 先 任 取 一 只, 作 测 试 后 不 放 回, 在 剩 下 的 中 再 任 取 一 只. 试 分 别 对 这 两 种 抽 样 方 法, 求 从 这 10 只 晶 体 无 放 回 抽 样 管 任 取 只 中, 恰 有 一 只 是 次 品 的 概 率. 例 (P14 例 10) 解 设 A={ 抽 取 的 只 晶 体 管 中 恰 有 一 只 是 次 品 } (1) 有 放 回 抽 样 : 由 于 每 次 都 是 从 10 只 中 取 1010 种 取 法 即 的 样 本 点 数 = 10, 古 典 概 型 第 1 次 取 到 合 格 品, 且 第 次 取 到 次 品 7 3 A: 共 有 73 + 37 = 4 种 取 法 P( A) 4. 第 1 次 取 到 次 品, 且 第 次 取 到 合 格 品 3 7 100 () 无 放 回 抽 样 : 第 1 次 是 从 10 只 中 取, 第 次 是 从 9 只 中 取, 即 的 样 本 点 数 = 109, 古 典 概 型 A: 共 有 73 + 37 = 4 种 取 法 109 种 取 法 P( A) 4. 90
例 3( 抽 样 模 型 ) 设 有 N 件 产 品, 其 中 有 M 件 次 品, 现 从 这 N 件 中 任 取 件 ( 不 放 回 ), 求 其 中 恰 有 m 件 次 品 的 概 率. 解 含 的 样 本 点 数 为 N, 设 A = { 恰 抽 到 m 件 次 品 } m A 的 次 品 有 M 种 取 法, m N M A 的 正 品 有 种 取 法, m M 故 A 含 的 样 本 点 数 为, N M 件 正 品 只 能 取 自 M 件 次 品 m N M 次 品 正 品 ( ) M m m P A N N M, m 1,,, mi{ M, }. 超 几 何 分 布 的 概 率 公 式
在 电 话 号 码 簿 中 任 取 一 个 电 话 号 码, 求 后 面 4 个 数 字 全 不 同 的 概 率 ( 设 后 面 4 个 数 中 的 每 一 个 数 都 是 等 可 能 地 取 自 0-9 这 10 个 数 ). 允 许 重 复 解 所 求 概 率 与 号 码 的 位 数 无 关, 含 样 本 点 数 : 10 4, 设 A={ 后 4 位 数 字 全 不 相 同 }, 例 4(P15 例 1) 4 A 10 A 所 含 样 本 点 数 为, 4 A P( A) 4 10 10 0. 504. 从 10 个 不 同 数 字 中 取 4 个 的 排 列 求 样 本 空 间 样 本 点 总 数 和 求 事 件 所 含 样 本 点 数 的 计 数 方 法 不 同
例 5(P16 例 13) 5 双 不 同 的 鞋 中 任 取 4 只, 求 这 4 只 鞋 子 中 至 少 有 只 配 成 一 双 鞋 的 概 率? 解 4 样 本 空 间 样 本 点 数 为, 10 设 A={ 取 的 4 只 鞋 子 中 至 少 有 只 配 成 一 双 }, 方 法 1 A={4 只 鞋 中 恰 有 只 配 成 一 双 } {4 只 鞋 恰 好 配 成 两 双 } 先 从 5 双 中 任 取 1 双 从 这 双 中 各 任 取 1 只 1 5 4 1 从 余 下 的 4 双 中 任 取 双 1 1 5 4 1 5 13 P( A). 所 求 为 至 少 或 4 至 多 的 问 题 1, 用 余 概 公 式 简 单 10 方 法 A { 取 的 4 只 鞋 子 中 没 有 成 双 的 }, 先 从 5 双 中 任 取 4 双 在 从 这 4 双 中 各 取 1 只 1 5 1 1 1 5 4 5 4 1 1 1 1 5 4 1 1 1 1 5 8 13 P( A) 1 P( A) 1 1. 4 还 有 其 它 解 法 吗? 10 1 1
P( A) 从 5 双 不 同 的 鞋 中 任 取 4 只, 求 这 4 只 鞋 中 至 少 有 只 配 成 一 双 鞋 的 概 率? 先 从 5 双 中 任 取 1 双 解 法 3 1 5 8 4 3 错 在 何 处? 10 同 样 的 4 只 配 成 两 双 算 了 两 次 1 5 P( A) 从 余 下 的 8 只 中 任 取 只 1 5 8 4 10 在 用 排 列 组 合 公 式 计 算 古 典 概 型 时 必 须 注 意 不 要 重 复 计 数, 也 不 要 遗 漏 5 8 这 只 鞋 有 不 成 双 和 成 双 两 种 情 形 与 5 双 中 任 取 一 双 时 已 出 现 4 只 恰 有 两 双 的 情 形 重 复 正 确 做 法 多 算 了 种 5
再 次 提 醒 注 意 : 1 在 应 用 古 典 概 型 时 必 须 注 意 等 可 能 性 的 条 件 例 6 掷 两 枚 骰 子 出 现 的 点 数 之 和 等 于 3 的 概 率. 解 掷 两 枚 骰 子 出 现 的 点 数 之 和 的 可 能 数 值 为 {, 3, 4,, 1},. 11 1 ={(1,1), (1,), (,1), (1,3),, (6,6) } P( A) P(A)= 66. 18 1 等 可 能 性 是 一 种 假 设, 在 实 际 应 用 中, 我 们 需 要 根 据 实 际 情 况 去 判 断 是 否 可 以 认 为 各 基 本 事 件 或 样 本 点 是 等 可 能 的. 在 实 际 应 用 中, 往 往 只 能 近 似 地 出 现 等 可 能, 完 全 地 等 可 能 是 很 难 见 到 的 在. 许 多 场 合, 由 对 称 性 和 均 衡 性, 我 们 就 可 以 认 为 基 本 事 件 是 等 可 能 的 并 在 此 基 础 上 计 算 事 件 的 概 率. 用 排 列 组 合 公 式 计 算 样 本 点 数 时 必 须 注 意 不 要 重 复 计 数, 也 不 要 遗 漏 3 所 求 为 至 少 或 至 多 的 问 题, 用 余 概 公 式 简 单 4 许 多 表 面 上 提 法 不 同 的 问 题 实 质 上 属 于 同 一 类 型 例 5
4 许 多 表 面 上 提 法 不 同 的 问 题 实 质 上 属 于 同 一 类 型 有 个 人, 每 个 人 都 以 相 同 的 概 率 1/N(N ) 被 分 在 N 间 房 的 每 一 间 中, 求 指 定 的 间 房 中 各 有 一 人 的 概 率. 有 个 人, 设 每 个 人 的 生 日 是 任 一 天 的 概 率 为 1/365. 求 这 ( 365) 个 人 的 生 日 互 不 相 同 的 概 率. 有 个 旅 客, 乘 火 车 途 经 N 个 车 站, 设 每 个 人 在 每 站 下 车 的 概 率 为 1/ N(N ), 求 指 定 的 个 站 各 有 一 人 下 车 的 概 率. 某 城 市 每 周 发 生 7 次 车 祸, 假 设 每 天 发 生 车 祸 的 概 率 相 同. 求 每 天 恰 好 发 生 一 次 车 祸 的 概 率. 分 球 入 箱 人 房 人 任 一 天 旅 客 车 站 车 祸 天
我 们 介 绍 了 古 典 概 型. 古 典 概 型 的 定 义 简 单, 但 计 算 复 杂, 应 用 方 面 多. 随 机 取 数 分 球 入 箱 箱 中 摸 球 例 5 例 3 分 组 分 配 是 常 见 的 几 种 模 型. 设 有 个 球, 每 个 都 以 相 同 的 概 率 1/N(N) 落 入 N 个 箱 子 中 的 每 一 个 中. 根 据 不 同 条 件, 分 别 求 事 件 A={ 某 预 先 指 定 的 个 箱 子 中 各 有 一 球 } 的 概 率 p. 1. 球 编 号. 球 不 编 号 每 个 箱 子 只 容 纳 一 个 球 每 个 箱 子 容 纳 的 球 数 不 限 每 个 箱 子 只 容 纳 一 个 球 每 个 箱 子 容 纳 的 球 数 不 限 N( N 1) ( N 1) N N N 1
早 在 概 率 论 发 展 初 期, 人 们 就 认 识 到, 只 考 虑 有 限 个 等 可 能 样 本 点 的 古 典 方 法 是 不 够 的. 借 助 于 古 典 概 率 的 定 义, 设 想 仍 用 事 件 的 概 率 等 于 部 分 比 全 体 的 方 法 来 规 定 事 件 的 不 概 过 率 现. 在 的 部 分 和 全 体 所 包 含 的 样 本 点 是 无 限 的. 几 何 的 观 念 用 什 么 数 学 工 具 可 以 构 造 出 这 样 的 数 学 模 型? 这 无 限 多 个 样 本 点 可 表 示 为 一 个 有 度 量 的 几 何 区 域 时, 成 了 确 定 概 率 的 另 一 方 法 几 何 方 法.. 1..5 确 定 概 率 的 几 何 方 法 就 形.... 定 义 (P.17) 若 随 机 试 验 E 具 有 以 下 两 个 特 征 : (1) E 的 样 本 空 间 有 无 穷 多 个 样 本 点, 且 可 用 一 个 有 度 量 的 几 何 区 域 来 表 示 ; 有 度 量 的 区 域 () 试 验 中 每 个 样 本 点 出 现 的 可 能 性 相 同 ( 即 样 本 点 落 入 某 区 域 内 可 能 性 的 大 小 仅 与 该 区 域 的 度 量 成 比 例, 而 与 该 区 域 的 位 置 和 形 状 无 关 ), A的 度 量 P( A) 则 称 E 为 几 何 概 型. 的 度 量 长 度 面 积 体 积 事 件 A 对 应 的 区 域 仍 以 A 表 示
例 7(P17 例 14) 公 共 汽 车 站 每 隔 5 分 钟 有 一 辆 汽 车 通 过, 乘 客 到 达 车 站 的 任 意 时 刻 是 等 可 能 的, 求 乘 客 候 车 时 间 不 超 过 3 分 钟 的 概 率. 解 x 乘 客 到 达 车 站 的 时 刻 一 个 实 验 结 果, t 乘 客 到 达 车 站 后 的 第 一 辆 公 共 汽 车 的 时 刻, 由 题 意 知, 乘 客 只 能 是 在 时 间 间 隔 (t-5,t] 内 来 到 车 站 的, 故 样 本 空 间 = {t -5 < x t}, 且 的 度 量 = t-(t -5 )= 5. 而 事 件 A={ 乘 客 候 车 时 间 不 超 过 3 分 钟 } A={ x t -3 x t }, 且 A 的 度 量 = 3. A的 度 量 3 P( A) 0.6. 的 度 量 5
例 8(P18 例 15) 设 某 吸 毒 人 员 强 制 戒 毒 期 满 后 在 家 接 受 监 控, 监 控 期 为 L 单 位 时 间, 该 期 间 内 随 时 可 提 取 尿 样 化 验. 设 该 人 员 随 时 可 能 复 吸, 且 复 吸 后 S 单 位 时 间 内 尿 样 呈 阳 性 反 应, 问 该 人 员 复 吸 且 被 检 验 出 的 概 率 是 多 少? 解 x 复 吸 时 刻 ; y 提 取 尿 样 的 时 刻, (x, y) 样 本 点, y 样 本 空 间 = {(x,y ) 0 x L, 0 y L}, y = x L 则 的 度 量 = L. A={ 该 人 员 复 吸 且 被 检 验 出 } S A A={ (x, y) 0 y -x S }, 1 1 则 A 的 度 量 = L [ ( ) ] L L S. 1 1 L [ ( ) ] ( ) L L S P A. L 0 L x
几 何 方 法 的 要 点 : 1. 样 本 空 间 是 平 面 上 某 个 区 域 ( 一 线 段, 或 平 面 空 间 中 某 个 区 域 ), 它 的 面 积 ( 长 度 或 体 积 ) 记 为 ();. 向 区 域 上 随 机 投 掷 一 点 满 足 : 该 点 落 入 内 任 何 部 分 区 域 A ( 线 段 平 面 或 空 间 区 域 ) 内 的 可 能 性 只 与 这 部 分 区 域 的 面 积 成 比 例, 与 这 部 分 区 域 的 位 置 和 形 状 无 关. 几 何 方 法 的 正 确 运 用, 有 赖 于 等 可 能 性 的 正 确 规 定. 应 用 的 难 度 : 如 何 确 定 样 本 空 间.. A.
例 9 在 一 个 圆 上 任 取 三 点 A B, 求 能 构 成 锐 角 三 角 形 的 概 率. 解 在 一 个 圆 上 任 取 三 点 A B 构 成 的 三 角 形 的 内 角 分 别 为 A B, A. 设 A 的 取 值 为 x, B 的 取 值 为 y, x 0 x, 则 有 0 y x,. y B 即 ={(x, y) 0 < x<, 0<y<- x },. 能 构 成 锐 角 三 角 形 的 (x, y) 所 应 y y = - x 满 足 的 条 件 是 : 0 x /, 0 y /, x y /, ( ) / 即 A ={(x, y) 0 < x< /, 0 <y<( /)- x }, 0 / 由 几 何 概 型 计 算 得 所 求 概 率 为 x P(A)= = 1/4.