第 三 十 二 單 元 三 元 一 次 聯 立 方 程 組 解 決 許 多 實 際 問 題 時, 通 常 我 們 假 設 未 知 數, 根 據 問 題 的 條 件 限 制, 可 以 形 成 型 如 (A) 或 (B) 的 一 次 聯 立 方 程 式 : (A) (B) 我 們 用 幾 何 的 觀 點 來 看 (A)(B) 的 解 : 坐 標 平 面 上, 二 元 一 次 方 程 式 的 圖 形 是 一 條 直 線, 討 論 型 如 (A) 的 解, 就 相 當 於 討 論 兩 直 線 在 平 面 上 的 相 交 情 形 空 間 坐 標 中, 三 元 一 次 方 程 式 的 圖 形 是 一 個 平 面, 同 樣 的, 討 論 型 如 (B) 的 解, 就 相 當 於 討 論 三 個 平 面 在 空 間 中 的 相 交 情 形 透 過 消 去 法 或 二 階 行 列 式 來 得 到 二 元 一 次 方 程 組 的 解 ( 克 拉 瑪 公 式 ), 並 且 判 別 兩 直 線 的 關 係, 本 單 元 會 有 類 似 的 想 法 () 用 消 去 法 來 解 三 元 一 次 方 程 組 () 用 三 階 行 列 式 來 表 示 三 元 一 次 方 程 組 的 解 ( 克 拉 瑪 公 式 ) () 用 平 面 的 法 向 量 或 三 階 行 列 式 來 判 別 三 平 面 的 關 係 ( 甲 ) 消 去 法 透 過 假 設 未 知 數, 解 決 許 多 實 際 的 問 題 會 形 成 解 幾 個 三 元 一 次 的 方 程 式 的 共 同 解, 以 下 面 的 例 子 來 說 : 某 群 顧 客 到 早 餐 店 買 了 個 漢 堡, 個 貝 果, 杯 牛 奶, 共 計 元 ; 第 二 群 顧 客 買 個 漢 堡, 個 貝 果, 杯 牛 奶, 共 計 6 元 ; 第 三 群 顧 客 買 個 漢 堡, 個 貝 果, 杯 牛 奶, 共 計 元 問 漢 堡 貝 果 與 牛 奶 的 單 價 各 為 多 少 元? 假 設 每 個 漢 堡 元, 每 個 貝 果 元, 每 杯 牛 奶 元, 根 據 問 題 的 內 容, 可 以 列 出 三 元 一 次 聯 立 方 程 式 (*): 6 由 幾 個 三 元 一 次 方 程 式 所 形 成 的 一 次 聯 立 方 程 式, 我 們 統 稱 為 三 元 一 次 方 程 組 解 三 元 一 次 方 程 組 的 方 法, 使 用 加 減 消 去 法 是 一 個 很 自 然 的 想 法, 先 消 去 一 個 未 知 數, 形 成 二 元 一 次 方 程 組, 再 利 用 二 元 一 次 方 程 組 的 解 法, 將 三 元 一 次 方 程 組 的 解 依 序 求 出 來 我 們 以 解 方 程 組 (*) 為 例, 來 說 明 如 何 用 加 減 消 去 法 解 三 元 一 次 方 程 組 : ~~
~~ () () () () ()() ()) [ 例 題 ] 試 求 三 元 一 次 方 程 式 組 : 6 的 解 [ 解 法 ]: 利 用 加 減 消 去 法 來 求 三 元 一 次 方 程 式 組 (A):...() 6...()...() 的 解 :...() 6...()...()...()...() 根 據 上 面 的 步 驟, 可 將 三 元 一 次 方 程 組 消 去 一 個 未 知 數, 產 生, 的 二 元 一 次 方 程 組, 接 下 來 利 用 加 減 消 去 法 求 出 一 次 方 程 組...()...() 的 解, 將 () (), 得 6, 解 得, 代 入 第 () 式, 得 最 後 再 以, 代 入 第 () 式, 得 所 以 得 知 漢 堡 一 個 元, 貝 果 一 個 元, 牛 奶 一 杯 元 [ 例 題 ] 試 求 三 元 一 次 方 程 組 : 的 解 [ 解 法 ]: 利 用 加 減 消 去 法 來 求 三 元 一 次 方 程 式 組 () () () 的 解 : () () ()...() 6 6...() 根 據 上 面 的 步 驟, 可 將 三 元 一 次 方 程 組 消 去 一 個 未 知 數, 產 生, 的 二 元 一 次 方 程 組, 因 為 二 元 一 次 方 程 組...() 6 6...() 代 表 同 一 個 方 程 式, 令 t, 則 t 再 代 入 () 解 得 t 所 以 原 方 程 組 的 解 為 t t t, 其 中 t 為 任 意 實 數
( 練 習 ) 試 說 明 三 平 面 6 相 交 情 形 Ans: 三 平 面 交 於 一 點, ( 練 習 ) 試 解 三 元 一 次 方 程 組,, 並 解 釋 其 所 代 表 的 三 平 面 相 交 情 形. Ans: 無 解, 三 平 面 兩 兩 相 交 於 一 直 線, 三 直 線 不 相 交 () 加 減 消 去 法 的 原 理 在 例 題 一 的 解 法 中, 我 們 可 以 觀 察 出 解 一 次 方 程 組 6 的 解, 透 過 加 減 消 去 法 轉 化 成 解 一 次 方 程 組 的 解, 這 兩 個 方 程 組 的 解 會 相 同 嗎? 使 用 加 減 消 去 法 做 一 次 方 程 組 間 的 轉 化, 前 後 方 程 組 的 解 會 有 什 麼 關 係 : 若 E E 代 表 三 元 一 次 方 程 式, 使 用 加 減 消 去 法 作 兩 個 一 次 方 程 組 間 的 轉 化 : E (*) : E...()...() () () () ( ) () E...() (**) : E E...() 若 (,, ) 為 (*) 的 解, (,, ) 代 入 E E 也 會 成 立, 因 此 (,, ) 也 是 (**) 的 解 反 過 來 說, 若 (m,n,l) 為 (**) 的 解, (m,n,l) 代 入 () E ( E E ) 也 會 成 立, 即 代 入 E 會 成 立, 因 此 (m,n,l) 也 會 是 (*) 的 解 即 一 次 方 程 組 (B) 與 (C) 解 的 形 式 是 相 同 的 故 可 以 得 知 一 次 方 程 組 經 過 加 減 消 去 法 的 轉 化, 前 後 的 解 會 保 持 不 變 若 適 當 選 取, 就 可 以 使 得 E E 轉 化 成 二 元 一 次 方 程 式, 因 此 在 求 解 三 元 一 次 方 程 組 時, 可 以 利 用 加 減 消 去 法 先 消 去 一 個 未 知 數, 使 得 原 方 程 組 轉 化 成 二 元 一 次 方 程 組, 再 解 出 二 元 一 次 方 程 組 的 解, 進 而 求 出 三 元 一 次 方 程 組 的 解 ( 練 習 ) 設 f() 為 一 個 二 次 多 項 式 函 數, 且 滿 足 f(),f(),f()9, 試 求 f() Ans:f() ~~
~~ ( 乙 ) 克 拉 瑪 公 式 回 顧 二 元 一 次 方 程 組, 的 克 拉 瑪 公 式 令 Δ,Δ,Δ, 若 Δ, 則 二 元 一 次 方 程 組, 恰 有 一 組 解 Δ Δ, Δ Δ () 三 元 一 次 方 程 組 的 克 拉 瑪 公 式 : 考 慮 三 元 一 次 方 程 組 () () (), 其 中,, 為 未 知 數, 使 用 代 入 消 去 法 解 之 : 由 (), 由 () 由 二 元 一 次 方 程 組 之 求 解 可 知, 整 理 可 得..()..() 將 () 得 (6) ()() 代 入 (6), 消 去, 兩 個 未 知 數 ( ) ( ) 整 理 之 後 得 ( ) (**), 為 未 知 數, 引 用 三 階 行 列 式 的 符 號,
令 Δ,Δ,Δ,Δ Δ Δ 則 可 得 Δ Δ Δ Δ, 當 Δ, 可 得 Δ Δ, Δ Δ, Δ Δ 稱 為 克 拉 瑪 公 式 結 論 : Δ Δ Δ () 若 Δ, 則 方 程 組 恰 有 一 解 : (,, ) [ 克 拉 瑪 公 式 ] Δ Δ Δ () 若 Δ Δ Δ Δ, 則 方 程 組 無 解 或 無 限 多 解 () 若 Δ, Δ Δ Δ 有 一 不 為, 則 方 程 組 無 解 - [ 例 題 ] 試 利 用 克 拉 瑪 公 式, 解 一 次 方 程 組 [ 解 法 ]: - Δ -6, 所 以 原 方 程 組 恰 有 一 組 解 - Δ -, Δ 6--6-9, - Δ ---6, 故 9,-, -- ( 練 習 ) 試 以 克 拉 瑪 公 式 解 方 程 組 -Ans:,, -- () 三 元 一 次 方 程 組 的 解 之 幾 何 意 義 : 前 面 利 用 三 階 行 列 式 推 導 了 三 元 一 次 方 程 組 的 克 拉 瑪 公 式, 現 在 用 幾 何 的 角 度 來 探 討 ~~
E : 三 元 一 次 方 程 組 (L): E : 的 解, 而 討 論 (L) 的 解, 就 相 當 於 討 論 空 E : 間 中 三 平 面 E E E 的 相 交 情 形 先 考 慮 E 與 E 相 交 情 形 重 合 平 行 交 於 一 線, 然 後 再 加 入 E 一 併 考 慮 三 平 面 的 相 交 情 形 我 們 將 三 平 面 相 交 的 情 形 與 對 應 一 次 方 程 組 的 解 列 表 如 下 : 當 Δ 時, 可 以 利 用 三 階 行 列 式 可 以 推 導 三 元 一 次 方 程 組 的 克 拉 瑪 公 式, 上 面 表 格 中 三 平 面 相 交 的 情 形, 也 可 以 用 Δ 是 否 等 於 來 做 一 些 分 類 設 三 平 面 E E E 的 法 向 量 依 序 為 n (,, ) n (,, ) n (,, ), Δ ~6~
(,, ) (,, ) n ( n n ) () 若 E 與 E 平 行 或 重 合, 則 n // n, 因 此 n n, 故 Δ n ( n n ) () 若 E 與 E 交 於 一 直 線 L, 則 n 不 平 行 n, 因 此 n n, 此 時 n n 為 交 線 L 的 方 向 向 量 ( ) 若 E 與 L 平 行 或 重 合 ( 三 平 面 兩 兩 相 交 於 一 直 線 或 三 平 面 交 於 一 直 線 ), 此 時 n ( n n ), 故 Δ n ( n n ) ( ) 若 E 與 L 恰 交 於 一 點 ( 三 平 面 交 於 一 點 ), 此 時 n 與 ( n n ) 不 垂 直, 故 Δ n ( n n ) 根 據 前 面 的 討 論, 我 們 將 這 些 結 果 整 理 如 下 : E : ( 一 ) 三 平 面 E : 的 相 交 情 形 與 對 應 解 的 個 數 有 以 下 幾 種 情 形 : E : (A)Δ, 三 平 面 的 關 係 有 下 列 七 種 : ( ) 至 少 兩 個 平 面 平 行 或 重 合 ( 至 少 兩 個 平 面 的 法 向 量 平 行 ) ~~
( ) 三 平 面 中 任 兩 平 面 均 不 平 行 與 重 合 ( 三 平 面 的 法 向 量 均 不 互 相 平 行 ) (B)Δ, 三 平 面 恰 相 交 於 一 點 ( 三 平 面 法 向 量 不 共 平 面 ) ( 二 ) 一 次 方 程 組 ()Δ 時, 方 程 組 可 能 無 解 或 無 限 多 解 ()Δ 時, 方 程 組 恰 有 一 組 解 的 解 依 Δ 來 分 類, 可 以 分 成 : [ 例 題 ] 試 判 別 方 程 組 中 三 平 面 的 關 係, 並 求 其 解 [ 分 析 ]: Q 三 平 面 的 法 向 量 均 不 互 相 平 行, 且 Δ 根 據 三 平 面 的 相 交 情 形, 可 以 得 知 它 們 的 相 交 情 形 只 可 能 為 : 三 平 面 兩 兩 相 交 於 一 直 線, 三 直 線 沒 有 交 點 或 三 平 面 相 交 於 一 直 線 因 此 我 們 可 以 先 求 出 二 平 面 的 交 線 L, 再 討 論 L 與 另 一 平 面 相 交 情 形 [ 解 法 ]: 先 求 二 平 面 的 交 線, 令 t, 代 入 平 面 的 方 程 式 得 tll(),() () 可 得 t, 代 入 () 得 到 t t LL() ~~
t 所 以 交 線 L 可 表 為 t,t 為 實 數 t 接 下 來 考 慮 直 線 L 與 平 面 的 關 係 : 將 L 的 參 數 式 代 入 (t)(t)t 這 代 表 直 線 L 上 的 任 一 點 都 在 平 面 上 t 故 三 平 面 相 交 於 一 直 線, 即 一 次 方 程 組 的 解 為 t,t 為 實 數 t [ 例 題 ] 就 k 值, 討 論 下 列 三 平 面 相 交 的 情 形 : k [ 解 法 ]: 因 為 Δ, 且 三 平 面 的 法 向 量 均 不 平 行, 因 此 三 平 面 的 相 交 情 形 只 可 能 為 : 三 平 面 兩 兩 相 交 於 一 直 線, 三 直 線 沒 有 交 點 或 三 平 面 相 交 於 一 直 線 接 下 來 我 們 先 求 二 平 面 的 交 線 : t LL() 令 t, 代 入 上 面 二 平 面, 可 得 t LL() () () 可 得 t, 再 代 入 (), 得 到 t t 將 直 線 L 的 參 數 式 t (t 為 實 數 ), 再 代 入 平 面 k t (t)(t)tk, tk..(*) 當 k 時 (*) 為 恆 等 式, 即 直 線 L 會 落 在 平 面 上, 此 時 三 平 面 交 於 一 直 線 當 k 時,(*) 無 解, 即 直 線 L 與 平 面 平 行, 此 時 三 平 面 兩 兩 相 交 於 一 直 線, 三 直 線 沒 有 交 點 ~9~
~~ [ 例 題 6] 齊 次 方 程 組 : : : : E E E 至 少 會 有 (,,) 的 解, 試 證 明 :Δ 結 論 : 齊 次 方 程 組 : : : : E E E 至 少 會 有 (,,) 的 解, 所 以 () 若 Δ, 則 齊 次 方 程 組 只 有 一 組 解 (,,) () 若 Δ, 則 齊 次 方 程 組 除 了 (,,) 之 外, 尚 有 其 他 的 解 ( 練 習 ) 已 知 方 程 組 恰 有 一 組 解 (α,β γ ),αβγ 則 方 程 組 之 解 為 何?Ans:(α,β, γ ) ( 練 習 6) 解 下 列 方 程 組, 並 判 斷 其 幾 何 關 係 : () () () Ans:() 三 平 面 交 於 一 點 ( 9, 9, 9 ) () 三 平 面 交 於 一 線 (t, t,t) () 三 平 面 兩 兩 相 交 於 一 直 線 且 三 交 線 不 共 點 ( 練 習 ) 說 明 下 列 各 方 程 組 所 表 示 的 平 面 相 交 的 情 形 () - 6- -- Ans: 三 平 面 相 交 於 一 點 (,,)
() () - -6 6 Ans: 兩 面 平 行, 另 一 面 交 兩 線 Ans: 三 平 面 兩 兩 相 交 於 一 直 線 且 三 交 線 不 共 點 林 信 安 老 師 編 寫 ( 練 習 ) 試 就 值 討 論 方 程 組 的 解 Ans: 若, 時, 恰 有 一 解 (,, ); 若,(,,)(s,t,st) 若 時, 無 解 ( 丙 ) 空 間 向 量 的 線 性 組 合 回 顧 平 面 向 量 的 線 性 組 合 : 若 給 定 不 平 行 的 平 面 向 量 與, 則 平 面 上 任 一 向 量 都 能 唯 一 表 成 與 的 線 性 組 合 這 個 結 果, 用 坐 標 的 語 言 來 描 述, 可 以 寫 成 以 下 的 結 果 : 設 (, ), (, ), (, ), 則 可 以 唯 一 表 成 與 的 線 性 組 合 之 充 要 條 件 是 ( 即 不 平 行 ) 給 定 空 間 向 量 與, 我 們 稱 型 如 (,, 為 實 數 ) 的 向 量 為 與 的 線 性 組 合 接 下 來, 我 們 要 問 : 與 要 滿 足 什 麼 條 件, 才 會 使 得 空 間 中 任 一 向 量 可 以 唯 一 表 成 與 的 線 性 組 合? 給 定 (,, ) (,, ) (,, ), 則 對 於 任 意 向 量 (,, ), 可 以 唯 一 表 成 與 的 線 性 組 合 可 以 找 到 唯 一 的 一 組 實 數,, 使 得 可 以 找 到 唯 一 的 一 組 實 數,, 使 得 ~~
(,, ) (,, ) (,, ) (,, ) 三 元 一 次 方 程 組 恰 有 一 組 解 (,, ) ( 即 與 不 共 平 面 ) 上 面 的 結 果 用 幾 何 的 觀 點 來 說, 當 空 間 中 任 一 向 量 可 以 唯 一 表 成 與 的 線 性 組 合 時, 則 三 向 量 與 不 共 平 面 ; 反 過 來 說, 當 空 間 中 三 向 量 與 不 共 平 面 時, 那 麼 空 間 中 任 一 向 量 可 以 唯 一 表 成 與 的 線 性 組 合 舉 例 來 說, 空 間 坐 標 中, 考 慮 標 準 單 位 向 量 i (,,) j (,,) k (,,), 顯 然 這 三 個 向 量 不 共 平 面, 因 此 空 間 中 任 一 向 量 (,, ) 都 可 以 唯 一 表 成 i j k 的 線 性 組 合, 即 i j k 的 表 示 法 是 唯 一 的 我 們 將 前 面 的 結 果 整 理 如 下 : 向 量 線 性 組 合 的 唯 一 性 設 (,, ) (,, ) (,, ) 與 (,, ), 則 可 以 唯 一 表 成 與 的 線 性 組 合 之 充 要 條 件 是 ( 即 不 共 平 面 ) ~~
[ 例 題 ] 空 間 中 不 共 線 三 相 異 點 A(,, ) B(,, ) C(,, ), 試 證 明 平 面 ABC 的 方 程 式 為 ( 練 習 9) 試 判 斷 下 列 各 題 中, 是 否 可 以 唯 一 表 成 與 的 線 性 組 合 : () (,,) (,,) (,,) () (,,) (,,) (,,) Ans:() 否 () 是 ~~
~~ 綜 合 練 習 () 請 判 斷 各 小 題 中 三 平 面 的 關 係, 並 在 每 個 小 題 之 後, 填 入 適 當 的 編 號 來 代 表 三 平 面 的 關 係 : () 6 () () () (e) 6 () 試 判 別 下 列 各 小 題 中 三 平 面 的 關 係, 並 求 一 次 方 程 組 的 解 () 9 () 6 () ()
~~ () 設 為 不 等 於 的 實 數, 關 於 方 程 式 組 的 解, 下 列 選 項 那 些 是 正 確 的?(A) 當 時, 無 解 (B) 當 時, 恰 有 一 組 解 (C) 當 時, 恰 有 一 組 解 (D) 當 時, 有 無 限 多 組 解 (E) 當 時, 有 無 限 多 組 解 () 若 9 與 為 同 義 方 程 組, 且 恰 有 一 解, 則 (,,)? () 已 知 方 程 組 恰 有 一 組 解 (, ), 則 方 程 組 ) ( ) ( ) ( 之 解 為 何? (6) 若 有 無 限 多 解, 則 ()?? () 方 程 組 的 解 () 齊 次 方 程 組 : () 除 (,) 外 尚 有 其 他 解, 則?? () 有 異 於 (,,) 的 解, 則? 解 為 何? () 三 元 一 次 方 程 組 的 幾 何 意 義 : () 就 k 值 討 論 下 列 三 平 面 相 交 的 情 形 k () 就 值 討 論 下 列 四 平 面 相 交 的 情 形 9
(9) 王 先 生 去 歐 洲 旅 行, 他 在 法 國 每 天 的 食 宿 保 險 費 分 別 為 元, 元, 元 ; 在 德 國 的 食 宿 保 險 費 分 別 為 元, 元, 元 ; 在 西 班 牙 的 食 宿 保 險 費 分 別 為 元, 元, 元 已 知 他 在 這 三 個 國 家 總 共 的 食 宿 保 險 費 各 花 了 元, 元, 元 問 他 在 這 三 個 國 家 分 別 停 留 幾 天? () 相 傳 包 子 是 三 國 時 白 羅 家 族 發 明 的 孔 明 最 喜 歡 吃 他 們 所 做 的 包 子, 因 此 白 羅 包 子 店 門 庭 若 市, 一 包 難 求, 必 須 一 大 早 去 排 隊 才 買 的 到 事 實 上, 白 羅 包 子 店 只 賣 一 種 包 子, 每 天 限 量 供 應 999 個, 且 規 定 每 位 顧 客 限 購 三 個 ; 而 購 買 一 個 兩 個 或 三 個 包 子 的 價 錢 分 別 是 分 錢 在 那 三 國 戰 亂 的 某 一 天, 包 子 賣 完 後, 老 闆 與 老 闆 娘 有 如 下 的 對 話 : 老 闆 說 : 賺 錢 真 辛 苦, 一 個 包 子 成 本 就 要 分 錢, 今 天 到 底 賺 了 多 少 錢? 老 闆 娘 說 : 今 天 共 賣 了 9 分 錢, 只 有 位 顧 客 買 到 包 子 () 請 問 當 天 白 羅 包 子 店 淨 賺 多 少 錢? () 聰 明 的 你, 請 幫 忙 分 析 當 天 購 買 一 個 兩 個 及 三 個 包 子 的 人 數 各 是 多 少 人? () 設,,, 是 從,, 這 三 個 整 數 中 取 值 的 數 列 若... 9 且 ( ) ( )... ( ), 則,,, 當 中 有 幾 項 是? ( 學 科 能 力 測 驗 ) () 一 礦 物 內 含 A B C 三 種 放 射 性 物 質, 放 射 出 同 一 種 輻 射 已 知 A B C 每 公 克 分 別 釋 出 單 位 單 位 單 位 的 輻 射 強 度, 又 已 知 A B C 每 過 半 年 其 質 量 分 別 變 為 原 質 量 的 倍 於 一 年 前 測 得 此 礦 物 的 輻 射 強 度 為 66 單 位, 而 半 年 前 測 得 此 礦 物 的 輻 射 強 度 為 單 位, 且 目 前 此 礦 物 的 輻 射 強 度 為 單 位, 則 目 前 此 礦 物 中 A B C 物 質 之 質 量 分 別 為 多 少 公 克 ( 年 學 科 能 力 測 驗 ) () 設 空 間 坐 標 中 (,,) (,,) (,,), 若 u (,,) 可 以 表 成 的 形 式, 試 求 實 數,, () 設 三 個 相 異 平 面 相 交 於 直 線 L, 點 A(,,) 落 在 L 上 現 在 考 慮 三 元 一 次 聯 立 方 程 式 :..(*), 設 (,,)(,,) 為 (*) 的 一 個 解, 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的? (A) 向 量 (,,) 為 L 的 方 向 向 量 (B) 行 列 式 (C)(,,)(,,) 為 (*) 的 解 (D)(*) 恰 有 一 組 解 (E)(*) 的 解 可 以 表 為 (,,)(t,t,t), 其 中 t 為 實 數 ~6~
- () 設 方 程 組 (L) 為 - 若 (L) 除,, 之 解 外, 尚 有 其 他 解, - 求 之 值 ~~
綜 合 練 習 解 答 林 信 安 老 師 編 寫 () () (C) ()(H) ()(G) ()(F) (e)(e) () () 三 平 面 恰 交 於 一 點 (6,,) 6t () 三 平 面 交 於 一 直 線, 解 t t 為 實 數 t () 三 平 面 兩 兩 相 交 於 一 直 線, 三 直 線 沒 有 交 點, 無 解 () 兩 平 面 平 行, 另 一 平 面 與 兩 平 行 平 面 交 於 平 行 兩 直 線, 無 解 () (C)(D) () (,,) () (,9,) (6) (), () t, t,t () ()6, () 解 為 (t,t,t) () () k 時, 共 線 ;k 時, 三 平 面 各 交 一 線, 三 線 平 行 () 時, 共 線 ; 時, 前 三 平 面 的 交 線 與 第 四 平 面 平 行 [ 提 示 : 先 考 慮 前 三 個 平 面 的 相 交 狀 況, 結 果 為 三 平 面 交 於 一 直 線, 將 此 直 線 的 參 數 式 代 入, 得 到 值, 所 以 時, 共 線 ; 時, 前 三 平 面 的 交 線 與 第 四 平 面 平 行 ] (9) 法 國 天 德 國 天 西 班 牙 天 () () 分 錢 () 買 一 個 包 子 有 9 人, 買 二 個 包 子 有 人, 買 三 個 包 子 有 人 () () A B C 物 質 之 質 量 分 別 為 公 克 (),, () (A)(B)(C)(E) [ 提 示 : 三 平 面 經 過 平 移 可 得 三 平 面, 而 交 線 的 方 向 向 量 不 變 ] () 或 [ 提 示 Δ] ~~