第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形, 此 正 六 邊 形 的 面 積 為 88 年 3. 在 坐 標 平 面 上, 根 據 方 程 式 x + 5y 7 = 0,2x + y + 4 = 0,x y 1 = 0 畫 出 三 條 直 線 L, L 2, L 3, 如 圖 所 示 試 選 出 方 程 式 與 直 線 間 正 確 的 配 置? (1) L 1 :x + 5y 7 = 0;L 2 :2x + y + 4 = 0;L 3 :x y 1 = 0 (2) L 1 :x y 1 = 0;L 2 :x + 5y 7 = 0;L 3 :2x + y + 4 = 0 (3) L 1 :2x + y + 4 = 0;L 2 :x + 5y 7 = 0;L 3 :x y 1 = 0 (4) L 1 :x y 1 = 0;L 2 :2x + y + 4 = 0;L 3 :x + 5y 7 = 0 (5) L 1 :2x + y + 4 = 0;L 2 :x y 1 = 0;L 3 :x + 5y 7 = 0 89 年 4. 今 年 ( 公 元 2000 年 是 閏 年 ) 的 1 月 1 日 是 星 期 六, 試 問 下 一 個 1 月 1 日 也 是 星 期 六, 發 生 在 公 元 哪 一 年? 89 年 5. 古 代 的 足 球 運 動, 有 一 種 計 分 法, 規 定 踢 進 一 球 得 16 分, 犯 規 後 的 罰 踢, 進 一 球 得 6 分 請 問 下 列 哪 些 得 分 數 有 可 能 在 計 分 板 上 出 現? (1) 26 (2) 28 (3) 82 (4) 103 (5) 284 90 年
6. 在 坐 標 平 面 上,A(150, 200), B(146, 203), C( 4, 3), O(0, 0), 則 下 列 選 項 何 者 為 真? (1) 四 邊 形 ABCO 是 一 個 平 行 四 邊 形 (2) 四 邊 形 ABCO 是 一 個 長 方 形 (3) 四 邊 形 ABCO 的 兩 對 角 線 互 相 垂 直 (4) 四 邊 形 ABCO 的 對 角 線 AC 長 度 大 於 251 (5) 四 邊 形 ABCO 的 面 積 為 1250 90 年 7. 將 一 張 B4 的 長 方 形 紙 張 對 折 剪 開 之 後, 成 為 B5 的 紙 張, 其 形 狀 跟 原 來 B4 的 形 狀 相 似 已 知 B4 紙 張 的 長 邊 為 36.4 公 分, 則 B4 紙 張 的 短 邊 長 為 公 分 ( 小 數 點 後 第 二 位 四 捨 五 入 ) 90 年 8. 在 一 個 圓 的 圓 周 上, 平 均 分 佈 了 60 個 洞, 兩 洞 間 稱 為 一 間 隔 在 A 洞 打 上 一 支 木 椿 並 綁 上 線, 然 後 依 逆 時 針 方 向 前 進 每 隔 9 個 間 隔 就 再 打 一 支 木 椿, 並 綁 上 線, 依 此 繼 續 操 作, 如 右 圖 所 示 試 問 輪 回 到 A 洞 需 再 打 椿 前, 總 共 已 經 打 了 幾 支 木 椿? 答 : 支 91 學 測 1 2 10 9. 試 問 有 多 少 個 正 整 數 n 使 得 + + L L+ 為 整 數? n n n (1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 5 個 92 學 測 10. 如 右 圖, 兩 直 線 L 1 L 2 之 方 程 式 分 別 為 L 1 :x + ay + b = 0,L 2 :x + cy + d = 0; 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的? (1) a > 0 (2) b > 0 (3) c > 0 (4) d > 0 (5) a > c 92 學 測 11. 若 六 位 數 92a92b 可 被 9 整 除, 則 a + b 之 值 可 能 為? (1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 (5) 9 92 學 測 補 考 12. 在 坐 標 平 面 上, 一 道 光 線 通 過 原 點 O 後, 沿 著 y 軸 射 向 直 線 L:y = 2 1 x + 1, 碰 到 直 線 L 後, 假 設 光 線 依 光 學 原 理 ( 入 射 角 等 於 反 射 角 ) 反 射 後 通 過 x 軸 上 的 R 點, 則 R 點 的 x 坐 標 為 ( 化 成 最 簡 分 數 ) 92 學 測 補 考
13. 某 高 中 招 收 高 一 新 生 共 有 男 生 1008 人 女 生 924 人 報 到 學 校 想 將 他 們 依 男 女 合 班 的 原 則 平 均 分 班, 且 要 求 各 班 有 同 樣 多 的 男 生, 也 有 同 樣 多 的 女 生 ; 考 量 教 學 效 益, 並 限 制 各 班 總 人 數 在 40 與 50 人 之 間, 則 共 分 成 班 93 學 測 14. 試 問 整 數 43659 共 有 多 少 個 不 同 的 質 因 數? (1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)5 個 94 學 測 15. 如 右 圖 所 示, 坐 標 平 面 上 一 鳶 形 ABCD, 其 中 A,C 在 y 軸 上, B,D 在 x 軸 上, 且 AB = AD = 2, BC = CD = 4, AC = 5 令 m AB m BC m CD m DA 分 別 表 直 線 AB BC CD DA 之 斜 率 試 問 以 下 哪 些 敘 述 成 立? (1) 此 四 數 值 中 以 m AB 為 最 大 (2) 此 四 數 值 中 以 m BC 為 最 小 (3)m BC = m CD (4)m AB m BC = 1 (5)m CD + m DA > 0 94 學 測 16. 在 坐 標 平 面 上, 正 方 形 ABCD 的 四 個 頂 點 坐 標 分 別 為 A(0, 1) B(0, 0) C(1, 0) D(1, 1) 設 P 為 正 方 形 ABCD 內 部 的 一 點, 若 PDA 與 PBC 的 面 積 比 為 1:2, 且 PAB 與 PCD 的 面 積 比 為 2:3, 則 P 點 的 坐 標 為 (, ) ( 化 成 最 簡 分 數 ) 94 學 測 17. 假 設 a, b, c 是 三 個 正 整 數 若 25 是 a, b 的 最 大 公 因 數, 且 3, 4, 14 都 是 b, c 的 公 因 數, 則 下 列 何 者 正 確? (1) c 一 定 可 以 被 56 整 除 (2) b 2100 (3) 若 a 100, 則 a = 25 (4) a, b, c 三 個 數 的 最 大 公 因 數 是 25 的 因 數 (5) a, b, c 三 個 數 的 最 小 公 倍 數 大 於 或 等 於 25 3 4 14 95 學 測
18. 將 正 整 數 18 分 解 成 兩 個 正 整 數 的 乘 積 有 1 18, 2 9, 3 6 三 種, 又 3 6 是 這 三 種 分 解 中, 兩 數 的 差 最 小 的, 我 們 稱 3 6 為 18 的 最 佳 分 解 當 p q (p q) 是 正 整 數 n 的 最 佳 分 解 時, 我 們 規 定 函 數 F(n) = q p, 例 如 F(18) = 6 3 = 2 1 下 列 有 關 函 數 F(n) 的 敘 述, 何 者 正 確? (1) F(4) = 1 (2) F(24) = 8 3 (3) F(27) = 3 1 (4) 若 n 是 一 個 質 數, 則 F(n) = n 1 (5) 若 n 是 一 個 完 全 平 方 數, 則 F(n) = 1 95 學 測 19. A(0, 0), B(10, 0), C(10, 6), D(0, 6) 為 坐 標 平 面 上 的 四 個 點 如 果 直 線 y = m(x 7) + 4, 將 四 邊 形 ABCD 分 成 面 積 相 等 的 兩 塊, 那 麼 m = ( 化 成 最 簡 分 數 ) 95 學 測 20. 試 問 共 有 多 少 個 正 整 數 n 使 得 坐 標 平 面 上 通 過 點 A( n, 0) 與 點 B(0, 2) 的 直 線 亦 通 過 點 P(7, k), 其 中 k 為 某 一 正 整 數? (1) 2 個 (2) 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5) 無 窮 多 個 96 學 測 21. 在 職 棒 比 賽 中 ERA 值 是 了 解 一 個 投 手 表 現 的 重 要 統 計 數 值 其 計 算 方 式 如 E 下 : 若 此 投 手 共 主 投 n 局, 其 總 責 任 失 分 為 E, 則 其 ERA 值 為 9 有 一 位 n 投 手 在 之 前 的 比 賽 中 共 主 投 了 90 局, 且 這 90 局 中 他 的 ERA 值 為 3.2 在 最 新 的 一 場 比 賽 中 此 投 手 主 投 6 局 無 責 任 失 分, 則 打 完 這 一 場 比 賽 後, 此 投 手 的 ERA 值 成 為 (1) 2.9 (2) 3.0 (3) 3.1 (4) 3.2 (5) 3.3 97 學 測 22. 有 一 個 圓 形 跑 道 分 內 外 兩 圈, 半 徑 分 別 為 30 50 公 尺 今 甲 在 內 圈 以 等 速 行 走 乙 在 外 圈 以 等 速 跑 步, 且 知 甲 每 走 一 圈, 乙 恰 跑 了 兩 圈 若 甲 走 了 45 公 尺, 則 同 時 段 乙 跑 了 (1) 90 公 尺 (2) 120 公 尺 (3) 135 公 尺 (4) 150 公 尺 (5) 180 公 尺 97 學 測
23. 在 坐 標 平 面 上, 設 A 為 直 線 3x y = 0 上 一 點,B 為 x 軸 上 一 點 若 線 段 AB 的 中 點 坐 標 為 ( 2 7, 6), 則 點 A 的 坐 標 為, 點 B 的 坐 標 為 97 學 測 24. 坐 標 平 面 上 有 兩 條 平 行 直 線 它 們 的 x 截 距 相 差 20,y 截 距 相 差 15 則 這 兩 條 平 行 直 線 的 距 離 為 98 學 測 25. 坐 標 平 面 上 四 條 直 線 L 1, L 2, L 3, L 4 與 x 軸 y 軸 及 直 線 y = x 的 相 關 位 置 如 圖 所 示, 其 中 L 1 與 L 3 垂 直, 而 L 3 與 L 4 平 行 設 L 1, L 2, L 3, L 4 的 方 程 式 分 別 為 y = m 1 x, y = m 2 x, y = m 3 x 以 及 y = m 4 x + c 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的? (1) m 3 > m 2 > m 1 (2) m 1 m 4 = 1 (3) m 1 < 1 (4) m 2 m 3 < 1 (5) c > 0 98 學 測 26. 從 1 到 100 的 正 整 數 中 刪 去 所 有 的 質 數 2 的 倍 數 及 3 的 倍 數 之 後, 剩 下 最 大 的 數 為 98 學 測 27. 試 問 下 列 哪 些 選 項 中 的 數 是 有 理 數? (1) 3.1416 (2) 3 (3) log 10 5 + sin15 cos15 log 10 2 (4) + (5) 方 程 式 x 3 2x 2 + x 1 = 0 的 唯 一 實 根 cos15 sin15 98 學 測 第 二 類 近 年 大 學 聯 考 試 題 觀 摩 1. 設 a, b 均 為 整 數 且 方 程 式 x 2 ax + 817 = 0 與 x 2 bx + 3553 = 0 有 一 共 同 的 質 數 根, 則 數 對 (a, b) = 88 社
2. 設 實 係 數 二 次 方 程 式 x 2 1 1 + x + c = 0 的 兩 根 a, b 都 不 是 實 數, 而 且, 也 正 是 a b 此 方 程 式 的 兩 根, 則 a 2 + b 2 的 數 值 為 89 自 3. 天 干 地 支 記 日 是 分 別 以 甲 子 乙 丑 丙 寅 丁 卯 戊 辰 己 巳 庚 午 辛 未 壬 申 癸 酉 甲 戌 乙 亥 丙 子 丁 丑... 癸 亥, 六 十 天 為 一 週 期 循 環 記 日 已 知 民 國 89 年 7 月 3 日 是 壬 戌 日, 那 麼 推 算 民 國 90 年 1 月 1 日 以 天 干 地 支 記 日 是 89 社 4. 設 方 程 式 x 5 = 1 的 五 個 根 為 1, ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, 則 (3 ω 1 ) (3 ω 2 ) (3 ω 3 ) (3 ω 4 ) = (1) 81 (2)162 (3)121 (4)242 93 甲 1 a b 5. 設 a, b 為 整 數, 滿 足 = + 下 列 選 項 有 哪 些 是 正 確 的? 143 11 13 (1)a, b 除 ±1 外 無 公 因 數 (2) 若 a < 11, 則 b < 13 (3) 若 a > 11, 則 b > 13 (4) a < b 93 甲 ( 敏 督 利 ) 6. 標 準 身 材 的 定 義 是 肚 臍 高 度 肚 臍 與 頭 頂 距 離 = 身 高 肚 臍 高 度 有 一 身 高 150 公 分, 肚 臍 高 度 90 公 分 的 女 孩, 欲 借 穿 高 跟 鞋 來 提 高 身 高 與 肚 臍 高 度, 滿 足 標 準 身 材 的 定 義 試 問 該 女 孩 穿 多 少 公 分 的 高 跟 鞋 較 恰 當 ( 取 最 接 近 的 整 數 ) (1)1 (2)3 (3)5 (4)7 (5)9 93 乙 ( 敏 督 利 ) 7. 在 坐 標 平 面 上, ABC 的 三 個 頂 點 坐 標 分 別 為 A(0, 0), B(2, 1), C(3, 0), 作 ABC 的 一 個 內 接 正 方 形 DEFG, 使 DE 落 在 AC 邊 上 則 此 內 接 正 方 形 DEFG 的 面 積 為 93 乙 ( 敏 督 利 )
8. 圖 案 是 由 11 個 正 三 角 形 形 成, 形 成 過 程 中 內 一 層 的 正 三 角 形 頂 點 落 在 外 一 層 三 角 形 的 邊 上, 且 頂 點 的 分 點 比 例 一 定 是 1:9, 如 下 圖 所 示, 即 AA 1 : A 1 B = BB 1 : A 1 B 1 = 93 乙 ( 敏 督 利 ) AB B 1 C = CC 1 : A C 1 = 1:9 則 9. 令 i = 1, z 表 複 數 z 的 共 軛 複 數 在 複 數 平 面 上, 所 有 滿 足 方 程 式 (1 + i)z (1 i) z = 0 的 複 數 z, 會 形 成 下 列 哪 種 圖 形? (1) 一 點 (2) 一 圓 (3) 一 直 線 (4) 兩 直 線 94 指 考 數 甲 10. 小 明 玩 戰 爭 網 路 遊 戲, 在 螢 幕 上 有 一 坐 標 平 面, 飛 機 P 以 等 速 直 線 前 進, 在 坐 標 ( 12, 4) 的 位 置 被 發 現, 經 過 1 秒 後 到 達 坐 標 ( 10, 4), 再 經 1 秒 後, 小 明 從 原 點 選 一 方 向 發 射 一 飛 彈 R, 假 設 R 也 以 直 線 前 進 且 速 率 跟 P 相 同, 而 且 R 剛 好 擊 中 P 試 求 R 擊 中 P 的 坐 標 (a, b) 為 (, ) 94 指 考 數 乙 11. (1) 將 48510 分 解 成 質 因 數 的 乘 積 (3 分 ) (2) 寫 出 在 1 和 250 之 間 且 與 48510 互 質 的 所 有 合 數 ( 合 數 就 是 比 1 大 而 不 是 質 數 的 整 數 ) (7 分 ) 95 甲
12. 某 大 學 數 學 系 甄 選 入 學 的 篩 選 方 式 如 下 : 先 就 學 科 能 力 測 驗 國 文 英 文 和 社 會 這 三 科 成 績 ( 級 分 ) 加 總 做 第 一 次 篩 選 然 後 從 通 過 篩 選 的 學 生 當 中, 以 自 然 科 的 成 績 做 第 二 次 篩 選 最 後 再 從 通 過 的 學 生 當 中, 以 數 學 科 的 成 績 做 第 三 次 篩 選, 選 出 一 些 學 生 參 加 面 試 13 12 9 11 13 現 在 有 五 位 報 名 該 系 的 學 生 的 學 科 能 力 測 驗 成 績 如 下 表 : 8 14 15 11 12 12 12 12 13 15 8 15 12 13 10 13 15 11 7 12 已 知 這 五 位 學 生 當 中, 通 過 第 一 次 篩 選 的 有 四 位, 通 過 第 二 次 篩 選 的 有 三 位, 通 過 第 三 次 篩 選 可 以 參 加 面 試 的 只 剩 下 一 位 請 問 哪 一 位 學 生 參 加 面 試? (1) 甲 (2) 乙 (3) 丙 (4) 丁 (5) 戊 95 乙 13. 一 農 夫 想 用 66 公 尺 長 之 竹 籬 圍 成 一 長 方 形 菜 圃, 並 在 其 中 一 邊 正 中 央 留 著 寬 2 公 尺 的 出 入 口, 如 右 圖 示 此 農 夫 所 能 圍 成 的 最 大 面 積 為 平 方 公 尺 95 乙 14. 珈 慶 杯 撞 球 大 賽 的 勝 負 是 這 樣 決 定 的 : 裁 判 將 寬 16 公 分 長 7 公 分 的 千 元 鈔 票 貼 邊 放 置 在 長 方 形 球 台 的 左 下 角, 如 下 圖 所 示 甲 乙 兩 參 賽 者 分 別 擊 球, 球 靜 止 位 置 離 鈔 票 中 心 點 較 近 者 獲 勝 甲 乙 擊 球 後, 裁 判 拿 尺 仔 細 量 得 甲 所 擊 球 停 在 離 球 台 左 緣 23 公 分, 離 球 台 下 邊 39.5 公 分 處 ; 乙 所 擊 球 停 在 離 球 台 左 緣 40 公 分, 離 球 台 下 邊 27.5 公 分 處 (1) 已 知 1521 是 一 個 正 整 數, 求 此 正 整 數 (3 分 ) (2) 求 甲 所 擊 球 停 止 位 置 與 鈔 票 中 心 點 的 距 離 ( 答 案 必 須 以 最 簡 單 的 形 式 表 示 )(4 分 ) (3) 如 果 你 是 裁 判, 你 會 裁 定 甲 或 乙 獲 勝? 理 由 為 何?(6 分 ) 95 乙
15. 設 f (x) = x 3 6x 2 x + 30, 且 a, b 是 方 程 式 f (x) = 0 的 兩 正 根 (1) (3 分 ) 求 解 三 次 方 程 式 f (x) = 0 (2) (8 分 ) 若 ABC 中, AC = a, BC = b, ACB = 120, 且 D, E 是 AB 上 兩 點, 滿 足 BD = BC, AE = AC, 試 求 CDE 的 面 積 96 甲 16. 科 學 家 測 得 南 極 上 空 臭 氧 層 的 破 洞 面 積 大 約 是 2300 萬 平 方 公 里, 約 相 當 於 北 美 洲 的 面 積 根 據 上 述 數 據, 估 計 地 球 的 表 面 積, 請 選 出 最 接 近 地 球 表 面 積 的 選 項 : (1) 5 10 6 平 方 公 里 (2) 5 10 7 平 方 公 里 (3) 5 10 8 平 方 公 里 (4) 5 10 9 平 方 公 里 (5) 5 10 10 平 方 公 里 96 乙 17. 中 國 古 代 流 傳 的 一 本 數 學 書 中 有 下 面 這 段 文 字 :( 標 點 符 號 為 現 代 人 所 加 ) 今 有 多 數 21, 少 數 15, 問 等 數 幾 何? 草 曰 : 置 21 於 上,15 於 下, 以 下 15 除 去 上 21, 上 餘 6; 又 以 上 6 除 去 下 15, 下 餘 3; 又 以 下 3 除 去 上 6, 適 盡 則 下 3 為 等 數 合 問 在 上 文 中 等 數 指 的 是 : (1) 兩 數 之 和 (2) 兩 數 之 差 (3) 兩 數 之 積 (4) 兩 數 之 商 (5) 兩 數 之 最 大 公 因 數 96 乙 a b 2 18. 假 設 a, b 是 整 數, 且 b 0 已 知 c = i 3 + 是 實 係 數 一 元 二 次 方 程 式 x 2 + kx 3 1 + 1 = 0 的 一 個 解 請 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的? (1) 是 上 述 方 程 式 的 另 外 c 1 a b 2 1 一 個 解 (2) = i (3) c + = k (4) k 一 定 是 整 數 (5) a 一 定 是 奇 c 3 3 c 數 96 乙 19. 平 面 上 坐 標 皆 為 整 數 的 點 稱 為 格 子 點 我 們 將 原 點 以 外 的 格 子 點 分 層, 方 法 如 下 : 若 (a, b) 是 原 點 (0, 0) 以 外 的 格 子 點, 且 a 和 b 中 最 大 值 為 n, 則 稱 (a, b) 是 在 第 n 層 的 格 子 點 ( 例 如 (3, 4) 是 在 第 4 層 ;(8, 8) 是 在 第 8 層 ) 則 在 第 15 層 的 格 子 點 個 數 為 96 乙
20. 某 別 墅 有 一 個 由 四 塊 正 方 形 的 玻 璃 拼 成 的 田 字 形 窗 戶, 窗 外 路 燈 的 光 線 ( 假 設 路 燈 是 一 個 點 光 源 ) 透 過 窗 戶 在 地 板 上 形 成 一 個 變 形 的 田 字 形 光 影 在 地 板 上 建 置 一 個 直 角 坐 標 系, 發 現 田 字 形 光 影 外 框 的 四 個 頂 點 的 坐 標 分 別 為 ( 4, 40), (16, 0), (16, 40) 和 (28, 16) 求 田 字 形 窗 戶 的 中 心 投 影 在 地 板 上 的 坐 標 (13 分 ) 96 乙 21. 設 r, s 為 整 數, 已 知 整 係 數 多 項 式 x 3 + rx + s 的 因 式 分 解 是 x 3 + rx + s = (x + a) 2 (x + b), 其 中 a, b 為 相 異 實 數, 求 證 a, b 都 是 有 理 數 (13 分 ) 96 乙 22. 已 知 正 整 數 n 可 以 寫 成 兩 個 整 數 的 平 方 和 試 問 n 除 以 8 的 餘 數 不 可 能 為 以 下 哪 一 選 項? (1)1 (2)2 (3)4 (4)5 (5)6 97 甲
解 答 : 第 一 類 大 學 入 學 試 試 題 評 量 1. (4) 2. 24 3. (4) 4. 2005 5. (2)(3)(5) 6. (1)(2)(5) 7. 25.7 8. 20 9. (4) 10. (4)(5) 4 11. (3) 12. 3 13. 42 14. (3) 15. (2)(3)(5) 16. ( 2, 5 2 3 ) 17. (2)(3)(4) 18. (1)(3)(4)(5) 19. 2 1 20. (2) 21. (2) 22. (4) 23. (4,12),(3, 0) 24. 12 25. (2)(3)(4) 26. 95 27. (1)(3)(4) 第 二 類 近 年 大 學 聯 考 試 題 觀 摩 9 1. (62, 206) 2. 1 3. 甲 子 4. (3) 5. (1)(2)(3)(4) 6. (4) 7. 16 8. 73 10 9. (3) 10. ( 3, 4) 11. (1) 48510 = 2 3 2 5 7 2 11 (2) 169, 221, 247 12. (4) 13. 289 15 14. (1) 39 (2) 39 (3) 甲, 因 為 甲 較 近 15. (1) 2, 3, 5 (2) 3 28 17. (5) 18. (1)(2)(5) 19. 120 20. (16, 25) 21. 略 22. (5) 16. (3)