2013 年 四 川 省 宜 宾 市 中 考 真 题 数 学 一 选 择 题 ( 本 大 题 共 8 小 题, 每 小 题 3 分, 满 分 24 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 个 是 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 选 项 填 在 括 号 内 ) 1.(3 分 ) 下 列 各 数 中, 最 小 的 数 是 ( ) A. 2 B. -3 C. - D. 0 解 析 : -3<- <0<2, 最 小 的 数 是 -3; 答 案 :B. 2.(3 分 ) 据 宜 宾 市 旅 游 局 公 布 的 数 据, 今 年 五 一 小 长 假 期 间, 全 市 实 现 旅 游 总 收 入 330000000 元. 将 330000000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( ) A.3.3 10 8 B. 3.3 10 9 C. 3.3 10 7 D. 0.33 10 10 解 析 :330000000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 3.3 10 8. 答 案 :A. 3.(3 分 ) 下 列 水 平 放 置 的 四 个 几 何 体 中, 主 视 图 与 其 它 三 个 不 相 同 的 是 ( ) A. B. C.
D. 解 析 :A 主 视 图 为 长 方 形 ; B 主 视 图 为 长 方 形 ; C 主 视 图 为 长 方 形 ; D 主 视 图 为 三 角 形. 则 主 视 图 与 其 它 三 个 不 相 同 的 是 D. 答 案 :D. 4.(3 分 ) 要 判 断 小 强 同 学 的 数 学 考 试 成 绩 是 否 稳 定, 那 么 需 要 知 道 他 最 近 几 次 数 学 考 试 成 绩 的 ( ) A. 方 差 B. 众 数 C. 平 均 数 D. 中 位 数 解 析 : 要 判 断 小 强 同 学 的 数 学 考 试 成 绩 是 否 稳 定, 只 需 要 知 道 他 最 近 几 次 数 学 考 试 成 绩 的 方 差 即 可. 答 案 :A. 5.(3 分 ) 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2 +2x+k=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根, 则 k 的 取 值 范 围 是 ( ) A. k<1 B. k>1 C. k=1 D. k 0 解 析 : 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2 +2x+k=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根,a=1,b=2,c=k, =b 2-4ac=2 2-4 1 k>0, k<1, 答 案 :A. 6.(3 分 ) 矩 形 具 有 而 菱 形 不 具 有 的 性 质 是 ( ) A. 两 组 对 边 分 别 平 行 B. 对 角 线 相 等 C. 对 角 线 互 相 平 分 D. 两 组 对 角 分 别 相 等 解 析 :A 矩 形 与 菱 形 的 两 组 对 边 都 分 别 平 行, 故 本 选 项 错 误 ; B 矩 形 的 对 角 线 相 等, 菱 形 的 对 角 线 不 相 等, 故 本 选 项 正 确 ; C 矩 形 与 菱 形 的 对 角 线 都 互 相 平 分, 故 本 选 项 错 误 ; D 矩 形 与 菱 形 的 两 组 对 角 都 分 别 相 等, 故 本 选 项 错 误. 答 案 :B.
7.(3 分 ) 某 棵 果 树 前 x 年 的 总 产 量 y 与 x 之 间 的 关 系 如 图 所 示, 从 目 前 记 录 的 结 果 看, 前 x 年 的 年 平 均 产 量 最 高, 则 x 的 值 为 ( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 解 析 : 利 用 前 x 年 的 年 平 均 产 量 增 加 越 快, 则 总 产 量 增 加 就 越 快, 根 据 图 象 可 得 出 第 7 年 总 产 量 增 加 最 快, 即 前 7 年 的 年 平 均 产 量 最 高,x=7. 答 案 :C. 8.(3 分 ) 对 于 实 数 a b, 定 义 一 种 运 算 为 :a b=a 2 +ab-2, 有 下 列 命 题 : 11 3=2; 2 方 程 x 1=0 的 根 为 :x1=-2,x2=1; 3 不 等 式 组 的 解 集 为 :-1<x<4; 4 点 (, ) 在 函 数 y=x (-1) 的 图 象 上. 其 中 正 确 的 是 ( ) A. 1234 B. 13 C. 123 D. 34 解 析 :1 3=1 2 +1 3-2=2, 所 以 1 正 确 ; x 1=0, x 2 +x-2=0, x1=-2,x2=1, 所 以 2 正 确 ; (-2) x-4=4-2x-2-4=-2x-2,1 x-3=1+x-2-3=x-4,, 解 得 -1<x<4, 所 以 3 正 确 ; y=x (-1)=x 2 -x-2, 当 x= 时,y= - -2=-, 所 以 4 错 误. 答 案 :C.
二 填 空 题 ( 本 大 题 共 8 小 题, 每 小 题 3 分, 满 分 24 分 请 把 答 案 直 接 填 在 题 中 横 线 上 ) 9.(3 分 ) 分 式 方 程 的 解 为. 解 析 : 去 分 母 得 :2x+1=3x, 解 得 :x=1, 经 检 验 x=1 是 分 式 方 程 的 解. 答 案 :x=1 10.(3 分 ) 分 解 因 式 :am 2-4an 2 =. 解 析 :am 2-4an 2 =a(m 2-4n 2 )=a(m+2n)(m-2n), 答 案 :a(m+2n)(m-2n). 11.(3 分 ) 如 图, 一 个 含 有 30 角 的 直 角 三 角 形 的 两 个 顶 点 放 在 一 个 矩 形 的 对 边 上, 若 1=25, 则 2=. 解 析 : 四 边 形 ABCD 是 矩 形, AD BC, 2= DEG= 1+ FEG=115. 答 案 :115. 12.(3 分 ) 某 企 业 五 月 份 的 利 润 是 25 万 元, 预 计 七 月 份 的 利 润 将 达 到 36 万 元. 设 平 均 月 增 长 率 为 x, 根 据 题 意 所 列 方 程 是. 解 析 : 本 题 为 增 长 率 问 题, 一 般 用 增 长 后 的 量 = 增 长 前 的 量 (1+ 增 长 率 ), 如 果 设 这 个 增 长 率 为 x, 根 据 五 月 份 的 利 润 是 25 万 元, 预 计 七 月 份 的 利 润 将 达 到 36 万 元, 即 可 得 出 方 程. 答 案 : 设 这 个 增 长 率 为 x, 根 据 题 意 可 得 :25(1+x) 2 =36, 故 答 案 为 :25(1+x) 2 =36. 13.(3 分 ) 如 图, 将 面 积 为 5 的 ABC 沿 BC 方 向 平 移 至 DEF 的 位 置, 平 移 的 距 离 是 边 BC 长 的 两 倍, 那 么 图 中 的 四 边 形 ACED 的 面 积 为.
解 析 : 设 点 A 到 BC 的 距 离 为 h, 则 S ABC= BC h=5, 平 移 的 距 离 是 BC 的 长 的 2 倍, AD=2BC,CE=BC, 四 边 形 ACED 的 面 积 = (AD+CE) h= (2BC+BC) h=3 BC h=3 5=15. 答 案 :15. 14.(3 分 ) 如 图, ABC 是 正 三 角 形, 曲 线 CDEF 叫 做 正 三 角 形 的 渐 开 线, 其 中 弧 CD 弧 DE 弧 EF 的 圆 心 依 次 是 A B C, 如 果 AB=1, 那 么 曲 线 CDEF 的 长 是. 解 析 : 弧 CD 的 长 是 =, 弧 DE 的 长 是 : =, 弧 EF 的 长 是 : =2π, 则 曲 线 CDEF 的 长 是 : + +2π=4π. 答 案 :4π. 15.(3 分 ) 如 图, 在 ABC 中, ABC=90,BD 为 AC 的 中 线, 过 点 C 作 CE BD 于 点 E, 过 点 A 作 BD 的 平 行 线, 交 CE 的 延 长 线 于 点 F, 在 AF 的 延 长 线 上 截 取 FG=BD, 连 接 BG DF. 若 AG=13, CF=6, 则 四 边 形 BDFG 的 周 长 为. 解 析 : AG BD,BD=FG,
四 边 形 BGFD 是 平 行 四 边 形, CF BD, CF AG, 又 点 D 是 AC 中 点, BD=DF= AC, 四 边 形 BGFD 是 菱 形, 设 GF=x, 则 AF=13-x,AC=2x, 在 Rt ACF 中, CFA=90, AF 2 +CF 2 =AC 2, 即 (13-x) 2 +6 2 =(2x) 2, 解 得 :x=5, 故 四 边 形 BDFG 的 周 长 =4GF=20. 答 案 :20. 16.(3 分 ) 如 图,AB 是 O 的 直 径, 弦 CD AB 于 点 G, 点 F 是 CD 上 一 点, 且 满 足 =, 连 接 AF 并 延 长 交 O 于 点 E, 连 接 AD DE, 若 CF=2,AF=3. 给 出 下 列 结 论 : 1 ADF AED;2FG=2;3tan E= ;4S DEF=4. 其 中 正 确 的 是 ( 写 出 所 有 正 确 结 论 的 序 号 ). 解 析 :1 AB 是 O 的 直 径, 弦 CD AB, =,DG=CG, ADF= AED, FAD= DAE( 公 共 角 ), ADF AED; 故 1 正 确 ; 2 =,CF=2, FD=6, CD=DF+CF=8, CG=DG=4, FG=CG-CF=2; 故 2 正 确 ; 3 AF=3,FG=2, AG= =,
在 Rt AGD 中,tan ADG= =, tan E= ; 故 3 错 误 ; 4 DF=DG+FG=6,AD= =, S ADF= DF AG= 6 =3, ADF AED, =( ) 2, =, S AED=7, S DEF=S AED-S ADF=4 ; 故 4 正 确. 答 案 :124. 三 解 答 题 ( 本 大 题 共 8 小 题, 满 分 72 分. 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明, 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ) 17.(10 分 )(1) 计 算 : -2 + -4sin45-1 -2 (2) 化 简 :. 解 析 :(1) 本 题 涉 及 绝 对 值 二 次 根 式 的 化 简 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 负 整 数 指 数 幂 等 知 识, 直 接 根 据 定 义 或 性 质 解 答 即 可 ; (2) 将 括 号 内 的 部 分 通 分, 将 分 子 分 母 因 式 分 解, 然 后 将 除 法 转 化 为 乘 法 解 答 即 可. 答 案 :(1) 原 式 =2+2-4 -1 =2+2-2 -1 =1; (2) 原 式 = ( - ) = = =. 18.(6 分 ) 如 图 : 已 知 D E 分 别 在 AB AC 上,AB=AC, B= C, 求 证 :BE=CD.
解 析 : 要 证 明 BE=CD, 把 BE 与 CD 分 别 放 在 两 三 角 形 中, 证 明 两 三 角 形 全 等 即 可 得 到, 而 证 明 两 三 角 形 全 等 需 要 三 个 条 件, 题 中 已 知 一 对 边 和 一 对 角 对 应 相 等, 观 察 图 形 可 得 出 一 对 公 共 角, 进 而 利 用 ASA 可 得 出 三 角 形 ABE 与 三 角 形 ACD 全 等, 利 用 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 可 得 证. 答 案 : 在 ABE 和 ACD 中,, ABE ACD(ASA), BE=CD( 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 ). 19.(8 分 ) 为 响 应 我 市 中 国 梦 宜 宾 梦 主 题 教 育 活 动, 某 中 学 在 全 校 学 生 中 开 展 了 以 中 国 梦 我 的 梦 为 主 题 的 征 文 比 赛, 评 选 出 一 二 三 等 奖 和 优 秀 奖. 小 明 同 学 根 据 获 奖 结 果, 绘 制 成 如 图 所 示 的 统 计 表 和 数 学 统 计 图. 请 你 根 据 以 上 图 表 提 供 的 信 息, 解 答 下 列 问 题 : (1)a=,b=,n=. (2) 学 校 决 定 在 获 得 一 等 奖 的 作 者 中, 随 机 推 荐 两 名 作 者 代 表 学 校 参 加 市 级 比 赛, 其 中 王 梦 李 刚 都 获 得 一 等 奖, 请 用 画 树 状 图 或 列 表 的 方 法, 求 恰 好 选 中 这 二 人 的 概 率. 解 析 :(1) 首 先 利 用 频 数 频 率 之 间 的 关 系 求 得 参 赛 人 数, 然 后 乘 以 一 等 奖 的 频 率 即 可 求 得 a 值, 乘 以 三 等 奖 的 频 率 即 可 求 得 b 值, 用 三 等 奖 的 频 率 乘 以 360 即 可 求 得 n 值 ; (2) 列 表 后 即 可 将 所 有 情 况 全 部 列 举 出 来, 从 而 求 得 恰 好 抽 中 者 两 人 的 概 率 ; 答 案 :(1) 观 察 统 计 表 知, 二 等 奖 的 有 10 人, 频 率 为 0.2, 故 参 赛 的 总 人 数 为 10 0.2=50 人,
a=50 0.1=5 人,b=50 0.4=20. n=0.4 360 =144, 故 答 案 为 :5,20,144; (2) 列 表 得 : 共 有 20 种 等 可 能 的 情 况, 恰 好 是 王 梦 李 刚 的 有 2 种 情 况, 恰 好 选 中 王 梦 和 李 刚 两 位 同 学 的 概 率 P= =. 20.(8 分 )2013 年 4 月 20 日, 我 省 芦 山 县 发 生 7.0 级 强 烈 地 震, 造 成 大 量 的 房 屋 损 毁, 急 需 大 量 帐 篷. 某 企 业 接 到 任 务, 须 在 规 定 时 间 内 生 产 一 批 帐 篷. 如 果 按 原 来 的 生 产 速 度, 每 天 生 产 120 顶 帐 篷, 那 么 在 规 定 时 间 内 只 能 完 成 任 务 的 90%. 为 按 时 完 成 任 务, 该 企 业 所 有 人 员 都 支 援 到 生 产 第 一 线, 这 样, 每 天 能 生 产 160 顶 帐 篷, 刚 好 提 前 一 天 完 成 任 务. 问 规 定 时 间 是 多 少 天? 生 产 任 务 是 多 少 顶 帐 篷? 解 析 : 设 规 定 时 间 为 x 天, 生 产 任 务 是 y 顶 帐 篷, 根 据 不 提 速 在 规 定 时 间 内 只 能 完 成 任 务 的 90%, 即 提 速 后 刚 好 提 前 一 天 完 成 任 务, 可 得 出 方 程 组, 解 出 即 可. 答 案 : 设 规 定 时 间 为 x 天, 生 产 任 务 是 y 顶 帐 篷, 由 题 意 得,, 解 得 :. 答 : 规 定 时 间 是 6 天, 生 产 任 务 是 800 顶 帐 篷. 21.(8 分 ) 宜 宾 是 国 家 级 历 史 文 化 名 城, 大 观 楼 是 标 志 性 建 筑 之 一 ( 如 图 1). 喜 爱 数 学 实 践 活 动 的 小 伟 查 资 料 得 知 : 大 观 楼 始 建 于 明 代 ( 一 说 是 唐 代 韦 皋 所 建 ), 后 毁 于 兵 火, 乾 隆 乙 酉 年 (1765 年 ) 重 建, 它 是 我 国 目 前 现 存 最 高 大 最 古 老 的 楼 阁 之 一. 小 伟 决 定 用 自 己 所 学 习 的 知 识 测 量 大 观 楼 的 高 度. 如 图 2, 他 利 用 测 角 仪 站 在 B 处 测 得 大 观 楼 最 高 点 P 的 仰 角 为 45, 又 前 进 了 12 米 到 达 A 处, 在 A 处 测 得 P 的 仰 角 为 60. 请 你 帮 助 小 伟 算 算 大 观 楼 的 高 度.( 测 角 仪 高 度 忽 略 不 计, 1.7, 结 果 保 留 整 数 ).
解 析 : 设 大 观 楼 的 高 OP=x, 在 Rt POB 中 表 示 出 OB, 在 Rt POA 中 表 示 出 OA, 再 由 AB=12 米, 可 得 出 方 程, 解 出 即 可 得 出 答 案. 答 案 : 设 大 观 楼 的 高 OP=x, 在 Rt POB 中, OBP=45, 则 OB=OP=x, 在 Rt POA 中, OAP=60, 则 OA= = x, 由 题 意 得,AB=OB-OA=12m, 即 x- x=12, 解 得 :x=18+6, 故 大 观 楼 的 高 度 OP=18+6 28( 米 ). 答 : 大 观 楼 的 高 度 约 为 28 米. 22.(10 分 ) 如 图, 直 线 y=x-1 与 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 交 于 A B 两 点, 与 x 轴 交 于 点 C, 已 知 点 A 的 坐 标 为 (-1,m). (1) 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ; (2) 若 点 P(n,-1) 是 反 比 例 函 数 图 象 上 一 点, 过 点 P 作 PE x 轴 于 点 E, 延 长 EP 交 直 线 AB 于 点 F, 求 CEF 的 面 积. 解 析 :(1) 将 点 A 的 坐 标 代 入 直 线 解 析 式 求 出 m 的 值, 再 将 点 A 的 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 可 求 出 k 的 值, 继 而 得 出 反 比 例 函 数 关 系 式 ;
(2) 将 点 P 的 纵 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 可 求 出 点 P 的 横 坐 标, 将 点 P 的 横 坐 标 和 点 F 的 横 坐 标 相 等, 将 点 F 的 横 坐 标 代 入 直 线 解 析 式 可 求 出 点 F 的 纵 坐 标, 将 点 的 坐 标 转 换 为 线 段 的 长 度 后, 即 可 计 算 CEF 的 面 积. 答 案 :(1) 将 点 A 的 坐 标 代 入 y=x-1, 可 得 :m=-1-1=-2, 将 点 A(-1,-2) 代 入 反 比 例 函 数 y=, 可 得 :k=-1 (-2)=2, 故 反 比 例 函 数 解 析 式 为 :y=. (2) 将 点 P 的 纵 坐 标 y=-1, 代 入 反 比 例 函 数 关 系 式 可 得 :x=-2, 将 点 F 的 横 坐 标 x=-2 代 入 直 线 解 析 式 可 得 :y=-3, 故 可 得 EF=3,CE=OE+OC=2+1=3, 故 可 得 S CEF= CE EF=. 23.(10 分 ) 如 图,AB 是 O 的 直 径, B= CAD. (1) 求 证 :AC 是 O 的 切 线 ; (2) 若 点 E 是 的 中 点, 连 接 AE 交 BC 于 点 F, 当 BD=5,CD=4 时, 求 AF 的 值. 解 析 :(1) 证 明 ADC BAC, 可 得 BAC= ADC=90, 继 而 可 判 断 AC 是 O 的 切 线. (2) 根 据 (1) 所 得 ADC BAC, 可 得 出 CA 的 长 度, 继 而 判 断 CFA= CAF, 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 AF 的 长 度, 继 而 得 出 DF 的 长, 在 Rt AFD 中 利 用 勾 股 定 理 可 得 出 AF 的 长. 答 案 :(1) AB 是 O 的 直 径, ADB= ADC=90, B= CAD, C= C, ADC BAC, BAC= ADC=90, BA AC, AC 是 O 的 切 线. (2) BD=5,CD=4, BC=9, ADC BAC( 已 证 ), =, 即 AC 2 =BC CD=36, 解 得 :AC=6, 在 Rt ACD 中,AD= =2,
CAF= CAD+ DAE= ABF+ BAE= AFD, CA=CF=6, DF=CA-CD=2, 在 Rt AFD 中,AF= =2. 24.(12 分 ) 如 图, 抛 物 线 y1=x 2-1 交 x 轴 的 正 半 轴 于 点 A, 交 y 轴 于 点 B, 将 此 抛 物 线 向 右 平 移 4 个 单 位 得 抛 物 线 y2, 两 条 抛 物 线 相 交 于 点 C. (1) 请 直 接 写 出 抛 物 线 y2 的 解 析 式 ; (2) 若 点 P 是 x 轴 上 一 动 点, 且 满 足 CPA= OBA, 求 出 所 有 满 足 条 件 的 P 点 坐 标 ; (3) 在 第 四 象 限 内 抛 物 线 y2 上, 是 否 存 在 点 Q, 使 得 QOC 中 OC 边 上 的 高 h 有 最 大 值? 若 存 在, 请 求 出 点 Q 的 坐 标 及 h 的 最 大 值 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由. 解 析 :(1) 写 出 平 移 后 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标, 然 后 利 用 顶 点 式 解 析 式 写 出 即 可 ; (2) 根 据 抛 物 线 解 析 式 求 出 点 A B 的 坐 标, 然 后 求 出 OBA=45, 再 联 立 两 抛 物 线 解 析 式 求 出 交 点 C 的 坐 标, 再 根 据 CPA= OBA 分 点 P 在 点 A 的 左 边 和 右 边 两 种 情 况 求 解 ; (3) 先 求 出 直 线 OC 的 解 析 式 为 y= x, 设 与 OC 平 行 的 直 线 y= x+b, 与 抛 物 线 y2 联 立 消 掉 y 得 到 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程, 再 根 据 与 OC 的 距 离 最 大 时 方 程 有 且 只 有 一 个 根, 然 后 利 用 根 的 判 别 式 =0 列 式 求 出 b 的 值, 从 而 得 到 直 线 的 解 析 式, 再 求 出 与 x 轴 的 交 点 E 的 坐 标, 得 到 OE 的 长 度, 再 过 点 C 作 CD x 轴 于 D, 然 后 根 据 COD 的 正 弦 值 求 解 即 可 得 到 h 的 值. 答 案 :(1) 抛 物 线 y1=x 2-1 向 右 平 移 4 个 单 位 的 顶 点 坐 标 为 (4,-1), 所 以, 抛 物 线 y2 的 解 析 式 为 y2=(x-4) 2-1; (2)x=0 时,y=-1, y=0 时,x 2-1=0, 解 得 x1=1,x2=-1, 所 以, 点 A(1,0),B(0,-1), OBA=45, 联 立, 解 得, 点 C 的 坐 标 为 (2,3), CPA= OBA, 点 P 在 点 A 的 左 边 时, 坐 标 为 (-1,0), 在 点 A 的 右 边 时, 坐 标 为 (5,0),
所 以, 点 P 的 坐 标 为 (-1,0) 或 (5,0); (3) 存 在. 点 C(2,3), 直 线 OC 的 解 析 式 为 y= x, 设 与 OC 平 行 的 直 线 y= x+b, 联 立, 消 掉 y 得,2x 2-19x+30-2b=0, 当 =0, 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 时, QOC 中 OC 边 上 的 高 h 有 最 大 值, 此 时 x1=x2= (- )=, 此 时 y=( -4) 2-1=-, 存 在 第 四 象 限 的 点 Q(,- ), 使 得 QOC 中 OC 边 上 的 高 h 有 最 大 值, 此 时 =19 2-4 2 (30-2b)=0, 解 得 b=-, 过 点 Q 与 OC 平 行 的 直 线 解 析 式 为 y= x-, 令 y=0, 则 x- =0, 解 得 x=, 设 直 线 与 x 轴 的 交 点 为 E, 则 E(,0), 过 点 C 作 CD x 轴 于 D, 根 据 勾 股 定 理,OC= =, 则 sin COD= =, 解 得 h 最 大 = =.