Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 高 考 中 不 等 式 问 题 的 解 决 方 法 通 润 达 久 王 力 前 言 : 近 年 来 不 等 式 问 题 正 越 来 越 多 的 出 现 在 调 研 题 和 高 考 试 题 中 而 且 大 多 出 现 在 江 苏 高 考 的 填 空 压 轴 题 中 是 高 考 考 察 的 重 点 和 难 点 由 于 一 元 二 次 不 等 式 和 基 本 不 等 式 是 江 苏 高 考 的 八 个 C 级 考 点 中 的 两 个 重 要 性 不 言 而 喻 本 次 讲 座 从 一 些 不 同 的 角 度 对 高 考 和 模 考 中 的 一 些 常 见 题 型 发 表 一 些 拙 见 希 望 各 位 老 师 批 评 与 指 正 一 一 般 常 用 几 种 方 法 介 绍 一 配 凑 技 巧. 从 系 数 上 调 节 例 已 知 0 求 函 数 的 最 大 值 解 析 所 以 函 数 的 最 大 值 为 取 时 评 注 本 题 是 积 的 形 式 要 求 函 数 的 最 大 值 和 必 为 定 值 要 想 使 和 为 定 值 只 需 把 函 数 当 中 的 变 为 但 在 配 凑 时 要 注 意 运 用 均 值 不 等 式 的 单 个 条 件 即 : 一 正 二 定 三 相 等 例 已 知 z 是 实 数 满 足 z 求 证 : z 证 明 z z z z 取 时 z 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8 例 设 为 实 数 若 则 的 最 大 值 是 解 析 则 有 0 0 取 时 则 最 大 值 为 0 评 注 本 题 是 求 和 的 最 大 值 可 以 转 化 为 和 定 积 最 大 的 思 想 将 和 化 为 积 的 形 式. 从 项 上 调 节 例 求 函 数 的 最 小 值 解 析 设 则 有 由 所 以 当 且 仅 当 且 是 取 号 由 故 所 求 函 数 的 最 小 值 为 评 注 本 题 以 和 的 形 式 给 出 要 求 其 最 小 值 必 须 积 为 定 值 且 满 足 一 正 二 定 三 相 等 三 个 条 件 极 大 此 题 是 要 注 意 配 凑 之 后 之 后 等 号 不 能 取 一 般 老 师 大 多 用 对 勾 函 数 去 解 决 单 此 处 本 人 给 的 是 巧 妙 的 凑 系 数
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer. 从 次 数 上 调 节 例 求 函 数 解 析 的 值 域 当 且 仅 当 时 取 等 号 有 所 以 原 函 数 的 值 域 为 评 注 本 题 不 能 直 接 运 用 基 本 不 等 式 原 因 有 正 不 满 足 即 的 符 号 不 确 定 ; 本 题 是 积 的 形 式 要 想 运 用 基 本 不 等 式 和 必 为 定 值 经 过 观 察 函 数 式 的 特 点 两 边 平 方 再 把 灯 饰 两 边 乘 以 即 可 例 设 为 实 数 若 则 的 最 大 值 是 解 析 8 0 0 取 时 则 最 大 值 为 0 评 注 此 题 主 要 是 平 方 凑 成 齐 次 式 之 后 利 用 基 本 不 等 式 此 题 是 例 的 一 题 多 解 的 形 式. 消 元 与 变 元 例 设 0 求 的 最 小 值 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8 解 析 思 路 : 消 去 符 合 等 号 两 次 成 立 的 条 件 为 思 路 : 变 元 把 中 的 换 成 符 合 等 号 两 次 成 立 的 条 件 为 评 注 本 题 有 两 个 变 量 无 法 直 接 运 用 基 本 不 等 式 可 考 虑 消 掉 一 个 变 量 思 路 和 思 路 在 解 题 的 过 程 中 实 际 上 都 两 次 运 用 均 值 不 等 式 要 注 意 等 号 的 连 续 性 即 每 个 思 路 中 的 两 个 等 号 必 须 同 时 成 立. 从 结 构 特 征 上 调 节 例 若 0 求 的 最 小 值 解 析 当 且 仅 当 取 等 号 所 以 所 求 代 数 式 的 最 小 值 为 评 注 本 题 给 定 式 子 表 面 上 不 符 合 基 本 不 等 式 的 结 构 但 是 把 式 子 稍 加 变 形 就 是 我 们 熟 悉 的 基 本 不 等 式 的 额 模 型 了 所 以 在 结 构 特 征 上 我 们 要 善 于 观 察 代 数 式 的 特 点 例 已 知 非 负 实 数 满 足 求 的 最 小 值 解 析 由 则 有
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8 取 等 号 的 条 件 是 例 已 知 为 正 实 数 且 则 的 最 小 值 为 解 析 取 " " 时 故 原 式 的 最 小 值 是 二 判 别 式 法 例 设 0 求 证 : 0 证 明 由 0 带 代 数 式 则 有 不 等 式 左 边
整 理 后 得 原 式 0 8 0 8 0 所 以 对 于 任 意 实 数 不 等 式 0 均 成 立 通 锡 苏 学 大 教 育 个 性 化 学 习 中 心 Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 评 注 此 题 是 道 证 明 题 方 法 有 多 种 本 处 给 出 了 判 别 式 的 方 法 但 是 还 有 配 方 等 方 法 但 是 总 体 上 利 用 判 别 式 法 减 小 了 计 算 量 体 现 了 判 别 式 方 法 的 优 势 例 设 为 实 数 若 则 的 最 大 值 是 解 析 设 m m m m 化 简 得 到 m m 0 因 为 为 实 数 则 有 m m 0 所 以 最 大 值 为 0 0 m 评 注 此 题 是 例 的 一 题 多 解 之 判 别 式 方 法 在 教 学 过 程 中 不 等 式 的 常 见 解 决 方 法 一 定 要 给 学 生 讲 到 当 一 种 思 路 出 现 问 题 的 时 候 可 以 有 其 他 的 方 法 在 限 定 时 间 的 高 考 考 试 中 才 能 取 得 成 功 0 例 设 R 且 求 证 : 解 析 设 m m 将 m 代 入 中 有 m m 0 m m 0 因 为 R 且 0 则 上 面 方 程 有 根 由 方 程 判 别 式 得 到 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 0 m m 0 m 所 以 m 即 例 已 知 实 数 d e 满 足 d e 8 d e 求 实 数 e 的 取 值 范 围 解 析 由 已 知 两 个 等 式 消 去 得 到 8 d e d e 整 理 成 关 于 的 一 元 二 次 方 程 得 到 : 8 d e 8 d e d e 0 因 为 为 实 数 则 有 : d e d e 0 8 d e 8 8 整 理 成 关 于 的 一 元 二 次 不 等 式 有 : 8 d e 8 d e d e 0 因 为 是 实 数 则 有 : d e d e 0 8 d e 8 整 理 成 关 于 d 的 一 元 二 次 不 等 式 有 : d 8 e d 8 e 因 为 d 是 实 数 则 有 : e 0 e e 0 8 e 8 整 理 得 到 e e 0 解 得 三 换 元 法 0 e 例 已 知 求 证 : 的 取 值 范 围 r os 解 析 设 0 r 0 于 是 有 r si r r os si os r os r r si si 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 则 所 求 代 数 式 的 取 值 范 围 为 例 设 为 实 数 若 则 的 最 大 值 是 解 析 设 os os si si si os os si 0 0 取 时 则 最 大 值 为 0 例 若 不 等 式 k 对 于 任 意 的 正 实 数 成 立 求 实 数 k 的 取 值 范 围 os 解 析 令 则 可 设 0 si 则 不 等 式 可 变 形 为 os si k k os si si 所 以 k 的 取 值 范 围 为 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8 8
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8 例 若 0 求 的 最 小 值 解 析 由 0 0 则 可 设 0 si 所 以 有 o o os si 例 求 使 关 于 的 不 等 式 k 有 解 得 实 数 k 的 最 大 值 解 析 令 则 可 令 0 os 则 有 : si si os os os 由 0 m 所 以 k
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 例 若 R 求 函 数 f 的 最 大 值 解 析 令 则 有 f g si os si si os si si os 所 以 函 数 的 最 大 值 为 例 已 知 0 求 的 最 小 值 解 析 令 k k 0 则 有 8 k k k k 当 且 仅 当 k 时 等 号 成 立 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8 0
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8 例 若 R z 求 8 z z z z 的 最 小 值 解 析 ] 8 z z z z z z 令 z 则 原 式 若 同 号 则 原 式 大 于 0 若 异 号 则 原 式 所 以 原 式 的 最 小 值 为 二 常 见 经 典 题 目 的 分 析 例 在 ABC 中 B 求 证 : 证 明 由 余 弦 定 理 得 到 所 以
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8 例 已 知 正 实 数 满 足 则 的 最 小 值 为 解 法 一 : 基 本 不 等 式 令 有 则 原 式 取 " " 时 8 即 原 式 的 最 小 值 为 解 法 二 : 柯 西 不 等 式 由 柯 西 不 等 式 得 : 8 8 两 式 相 加 得 : 8 8 8 8 即 8 当 且 仅 当 等 号 成 立 解 法 三 : 判 别 式 法 : 0 0 : 0 mi so f le
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 时 不 满 足 题 意 应 舍 去 解 法 四 : 换 元 法 接 解 法 三 le f : le : 00 真 题 :0 年 镇 江 高 三 期 末 已 知 正 数 满 足 则 的 最 小 值 为 si 例 0 年 南 京 二 模 题 已 知 均 为 锐 角 且 os 则 的 最 大 值 si 是 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8
解 法 一 : 由 题 os 步 骤 的 目 的 为 化 其 次 时 取 等 号 si os si si si 化 简 可 得 通 锡 苏 学 大 教 育 个 性 化 学 习 中 心 Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer os si os si si os si 当 且 仅 当 即 此 解 法 二 : 接 解 法 一 0 将 此 方 程 看 成 以 为 主 元 的 一 元 二 次 方 程 则 有 8 0 m 三 如 何 构 造 数 学 模 型 证 明 不 等 式. 构 造 函 数 模 型 例 证 明 不 等 式 0 证 明 : 设 f 0 则 f f 所 以 f 为 偶 函 数 当 0 0 f 0 根 据 偶 函 数 的 性 质 可 知 当 0 时 f 0 即 0. 构 造 对 偶 式 模 型 例 对 于 一 切 大 于 的 自 然 数 求 证 :... 解 析 设... 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8 则 有 : 即 故 原 命 题 得 证. 构 造 平 面 图 形 例 已 知 f 当 时 求 证 f f 解 析 构 造 直 角 三 角 形 如 上 图 所 示 不 妨 设 则 有 故 此 题 得 证. 构 造 向 量 模 型 例 已 知 R 求 证 :
Togisu XueD Persolized Eduio Developme Ceer. 构 造 几 何 模 型 例 已 知 求 证 : 证 明 构 造 点 到 直 线 的 距 离 即 到 直 线 0 的 距 离. 构 造 数 列 模 型 例 设 0 则 N 证 明 构 造 数 列 s. 0 则 有 为 单 调 递 减 数 列 所 以 有 即 通 锡 苏 学 大 个 性 化 研 究 院 全 国 免 费 咨 询 热 线 :00-80-8
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