优 佳 成 长 教 育 辅 导 资 料 严 禁 盗 用 上 传 和 复 印. 联 系 电 话 :1808170430 孙 老 师.1818946568 赵 老 师. 真 正 名 师 执 教, 伴 你 成 长 圆 梦! 016 年 春 季 班 报 名 中, 月 8 号 开 课. 四 七 九 名 校 冲 刺, 小 班 教 学, 专 门 定 制. 地 址 : 成 都 市 锦 绣 路 1 号 ( 美 国 领 事 馆 路 东 00 米 ) 保 利 中 心 二 栋 B 座 四 楼 第 41 号 成 都 市 百 草 东 路 14 号 ( 成 都 外 语 学 校 大 门 对 面 国 际 私 塾 旁 ) 四 七 九 高 分 冲 刺 : 九 下 数 学 (B 卷 第 8 题 专 练 ) 成 都 市 008-015 年 中 考 B 卷 压 轴 题 第 8 题 ( 满 分 1 分 ) 汇 编 B 卷 第 8 题 考 点 分 析 年 份 B 卷 第 8 题 考 点 年 份 B 卷 第 8 题 考 点 008 年 (1) 求 二 次 函 数 解 析 式 () 梯 形 分 类, 求 点 的 坐 标 01 年 (1) 求 二 次 函 数 解 析 式 () 平 行 四 边 形 分 类, 求 点 的 坐 标 (3) 求 不 确 定 抛 物 线 下 含 参 数 三 角 形 面 积 比 009 年 (1) 求 二 次 函 数 解 析 式 () 直 角 三 角 形 分 类, 求 点 的 坐 标 (3) 平 移 抛 物 线 与 定 直 线 有 公 共 点, 求 平 移 范 围 010 年 (1) 求 二 次 函 数 解 析 式 () 面 积 比 为 定 值 时, 求 点 的 坐 标 (3) 动 圆 与 两 定 直 线 相 切 时, 求 动 圆 半 径 011 年 (1) 求 二 次 函 数 解 析 式 () 正 方 形 分 类, 求 边 长 (3) 三 角 形 高 定 值 探 究, 求 点 的 坐 标 三 角 形 周 长 最 小, 线 段 比 定 值 探 究 013 年 (1) 求 二 次 函 数 解 析 式 () 等 腰 直 角 三 角 形 分 类, 求 点 的 坐 标 线 段 比 最 值 探 究 014 年 (1) 求 二 次 函 数 解 析 式 () 相 似 分 类, 求 点 的 坐 标 (3) 线 段 和 最 小 值 015 年 (1) 求 二 次 函 数 解 析 式 () 配 方, 求 面 积 最 大 值 (3) 矩 形 分 类, 勾 股 定 理, 求 点 的 坐 标 B 卷 第 8 题 难 点 分 析 及 答 题 分 析 年 份 B 卷 第 8 题 难 点 及 答 题 分 析 年 份 B 卷 第 8 题 难 点 及 答 题 分 析 008 年 01 年 009 年 013 年 010 年 014 年 011 年 015 年 1
1.( 成 都 市 015 年 中 考 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, 抛 物 线 =a -a-3a (a<0) 与 轴 交 于 A B 两 点 ( 点 A 在 点 B 的 左 侧 ), 经 过 点 A 的 直 线 l:=k+b 与 轴 负 半 轴 交 于 点, 与 抛 物 线 的 另 一 个 交 点 为 D, 且 D=4A. (1) 直 接 写 出 点 A 的 坐 标, 并 求 直 线 l 的 函 数 表 达 式 ( 其 中 k b 用 含 a 的 式 子 表 示 ); () 点 E 是 直 线 l 上 方 的 抛 物 线 上 的 动 点, 若 AE 的 面 积 的 最 大 值 为 5 4, 求 a 的 值 ; (3) 设 P 是 抛 物 线 的 对 称 轴 上 的 一 点, 点 Q 在 抛 物 线 上, 以 点 A D P Q 为 顶 点 的 四 边 形 能 否 成 为 矩 形? 若 能, 求 出 点 P 的 坐 标 ; 若 不 能, 请 说 明 理 由. A O E B D l A O B D l A O B D l 备 用 备 用
.( 成 都 市 014 年 中 考 ) 如 图, 已 知 抛 物 线 = (+)(-4)(k 为 常 数, 且 k>0) 与 轴 从 左 至 右 依 次 交 于 A,B 两 点, 与 轴 交 于 点, 经 过 点 B 的 直 线 =- +b 与 抛 物 线 的 另 一 交 点 为 D. (1) 若 点 D 的 横 坐 标 为 -5, 求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 若 在 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 上 有 点 P, 使 得 以 A,B,P 为 顶 点 的 三 角 形 与 AB 相 似, 求 k 的 值 ; (3) 在 (1) 的 条 件 下, 设 F 为 线 段 BD 上 一 点 ( 不 含 端 点 ), 连 接 AF, 一 动 点 M 从 点 A 出 发, 沿 线 段 AF 以 每 秒 1 个 单 位 的 速 度 运 动 到 F, 再 沿 线 段 FD 以 每 秒 个 单 位 的 速 度 运 动 到 D 后 停 止, 当 点 F 的 坐 标 是 多 少 时, 点 M 在 整 个 运 动 过 程 中 用 时 最 少? 3
1 3.( 成 都 市 013 年 中 考 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中, 已 知 抛 物 线 b c ( b, c 为 常 数 ) 的 顶 点 为 P, 等 腰 直 角 三 角 形 AB 的 定 点 A 的 坐 标 为 (0, 1), 的 坐 标 为 (4,3), 直 角 顶 点 B 在 第 四 象 限. (1) 如 图, 若 该 抛 物 线 过 A, B 两 点, 求 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 平 移 (1) 中 的 抛 物 线, 使 顶 点 P 在 直 线 A 上 滑 动, 且 与 A 交 于 另 一 点 Q. i) 若 点 M 在 直 线 A 下 方, 且 为 平 移 前 (1) 中 的 抛 物 线 上 的 点, 当 以 M P Q 三 点 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 直 角 三 角 形 时, 求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 M 的 坐 标 ; ii) 取 B 的 中 点 N, 连 接 NP, BQ. 试 探 究 最 大 值 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由. PQ 是 否 存 在 最 大 值? 若 存 在, 求 出 该 NP BQ 4
4.( 成 都 市 01 中 考 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, 一 次 函 数 = 5 4 +m(m 为 常 数 ) 的 图 象 与 轴 交 于 点 A(-3,0), 与 轴 交 于 点. 以 直 线 =1 为 对 称 轴 的 抛 物 线 =a +b+c(a,b, c 为 常 数, 且 a 0) 经 过 A, 两 点, 并 与 轴 的 正 半 轴 交 于 点 B. (1) 求 m 的 值 及 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 设 E 是 轴 右 侧 抛 物 线 上 一 点, 过 点 E 作 直 线 A 的 平 行 线 交 轴 于 点 F. 是 否 存 在 这 样 的 点 E, 使 得 以 A,,E,F 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形? 若 存 在, 求 出 点 E 的 坐 标 及 相 应 的 平 行 四 边 形 的 面 积 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由 ; (3) 若 P 是 抛 物 线 对 称 轴 上 使 AP 的 周 长 取 得 最 小 值 的 点, 过 点 P 任 意 作 一 条 与 轴 不 M1P MP 平 行 的 直 线 交 抛 物 线 于 M 1( 1, 1),M (, ) 两 点, 试 探 究 是 否 为 定 值, 并 写 出 探 究 过 程. M1M A O B A O B =1 =1 5
5.( 成 都 市 011 年 中 考 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, AB 的 A B 两 个 顶 点 在 轴 上, 顶 点 在 轴 的 负 半 轴 上. 已 知 OA : OB 1: 5, OB O S 15, 抛 物 线 a b c( a 0) 经 过 A B 三 点 AB (1) 求 此 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ;, AB 的 面 积 () 设 E 是 轴 右 侧 抛 物 线 上 异 于 点 B 的 一 个 动 点, 过 点 E 作 轴 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 另 一 点 F, 过 点 F 作 FG 垂 直 于 轴 于 点 G, 再 过 点 E 作 EH 垂 直 于 轴 于 点 H, 得 到 矩 形 EFGH. 则 在 点 E 的 运 动 过 程 中, 当 矩 形 EFGH 为 正 方 形 时, 求 出 该 正 方 形 的 边 长 ; (3) 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 异 于 B 的 点 M, 使 MB 中 B 边 上 的 高 为 7? 若 存 在, 求 出 点 M 的 坐 标 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由. 6
6.( 成 都 市 010 年 中 考 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, 抛 物 线 a b c 与 轴 交 于 A B 两 点 ( 点 A 在 点 B 的 左 侧 ), 与 轴 交 于 点, 点 A 的 坐 标 为 ( 3, 0), 若 将 经 过 A 两 点 的 直 线 k b1 沿 轴 向 下 平 移 3 个 单 位 后 恰 好 经 过 原 点, 且 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线.(1) 求 直 线 A 及 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 如 果 P 是 线 段 A 上 一 点, 设 ABP BP 的 面 积 分 别 为 S ABP S BP, 且 S ABP : S BP : 3, 求 点 P 的 坐 标 ; (3) 设 Q 的 半 径 为 l, 圆 心 Q 在 抛 物 线 上 运 动, 则 在 运 动 过 程 中 是 否 存 在 Q 与 坐 标 轴 相 切 的 情 况? 若 存 在, 求 出 圆 心 Q 的 坐 标 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由. 并 探 究 : 若 设 Q 的 半 径 为 r, 圆 心 Q 在 抛 物 线 上 运 动, 则 当 r 取 何 值 时, Q 与 两 坐 轴 同 时 相 切 7
7.( 成 都 市 009 年 中 考 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, 已 知 抛 物 线 a 1 c (a>0) 与 轴 交 于 A B 两 点 ( 点 A 在 点 B 的 左 侧 ), 与 轴 交 于 点, 其 顶 点 为 M, 若 直 线 M 的 函 数 表 达 式 为 k 3, 与 轴 的 交 点 为 N, 且 OS BO= 3 10. 10 (1) 求 此 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 在 此 抛 物 线 上 是 否 存 在 异 于 点 的 点 P, 使 以 N P 为 顶 点 的 三 角 形 是 以 N 为 一 条 直 角 边 的 直 角 三 角 形? 若 存 在, 求 出 点 P 的 坐 标 : 若 不 存 在, 请 说 明 理 由 ; (3) 过 点 A 作 轴 的 垂 线, 交 直 线 M 于 点 Q. 若 将 抛 物 线 沿 其 对 称 轴 上 下 平 移, 使 抛 物 线 与 线 段 NQ 总 有 公 共 点, 则 抛 物 线 向 上 最 多 可 平 移 多 少 个 单 位 长 度? 向 下 最 多 可 平 移 多 少 个 单 位 长 度? 8
8.( 成 都 市 008 年 中 考 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, OAB 的 顶 点 A 的 坐 标 为 (10,0), 顶 点 B 在 第 一 象 限 内, 且 AB =3 5,sin OAB= 5 5. (1) 若 点 是 点 B 关 于 轴 的 对 称 点, 求 经 过 O A 三 点 的 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 在 (1) 中, 抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 P, 使 以 P O A 为 顶 点 的 四 边 形 为 梯 形? 若 存 在, 求 出 点 P 的 坐 标 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由 ; (3) 若 将 点 O 点 A 分 别 变 换 为 点 Q( -k,0) 点 R(5k,0)(k>1 的 常 数 ), 设 过 Q R 两 点, 且 以 QR 的 垂 直 平 分 线 为 对 称 轴 的 抛 物 线 与 轴 的 交 点 为 N, 其 顶 点 为 M, 记 QNM 的 面 积 为 S QMN, QNR 的 面 积 S QNR, 求 S QMN S QNR 的 值. 9
成 都 市 008-015 年 中 考 B 卷 第 8 题 汇 编 答 案 1.( 成 都 市 015 年 中 考, 满 分 1 分 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, 抛 物 线 =a -a-3a(a<0) 与 轴 交 于 A B 两 点 ( 点 A 在 点 B 的 左 侧 ), 经 过 点 A 的 直 线 l:=k+b 与 轴 负 半 轴 交 于 点, 与 抛 物 线 的 另 一 个 交 点 为 D, 且 D=4A. (1) 直 接 写 出 点 A 的 坐 标, 并 求 直 线 l 的 函 数 表 达 式 ( 其 中 k b 用 含 a 的 式 子 表 示 ); () 点 E 是 直 线 l 上 方 的 抛 物 线 上 的 动 点, 若 AE 的 面 积 的 最 大 值 为 5 4, 求 a 的 值 ; (3) 设 P 是 抛 物 线 的 对 称 轴 上 的 一 点, 点 Q 在 抛 物 线 上, 以 点 A D P Q 为 顶 点 的 四 边 形 能 否 成 为 矩 形? 若 能, 求 出 点 P 的 坐 标 ; 若 不 能, 请 说 明 理 由. A O E B D l A O B D l 备 用 答 案 :(1)A(-1,0),=a+a; ()a=- 5 ; (3)P 的 坐 标 为 (1,- 6 7 7 ) 或 (1,-4) 解 析 :(1)A(-1,0), 直 线 l 经 过 点 A, 0=-k+b,b=k, =k+k, 令 a -a -3a=k+k, 即 a -(a+k)-3a-k=0 D=4A, 点 D 的 横 坐 标 为 4, -3- k a =-1 4, k=a, 直 线 l 的 函 数 表 达 式 为 =a+a () 过 点 E 作 EF 轴, 交 直 线 l 于 点 F, 设 E(,a -a-3a), 则 F(,a+a) EF=a -a-3a-( a+a)=a -3a-4a S AE =S AFE - S FE= 1 (a -3a-4a)(+1)- 1 (a -3a-4a)= 1 (a -3a-4a) = 1 a( - 3 ) - 5 8 a, AE 的 面 积 的 最 大 值 为 - 5 8 a AE 的 面 积 的 最 大 值 为 5 4, -5 8 a= 5 4, 解 得 a=- 5 (3) 令 a -a-3a=a+a, 即 a -3a-4a=0, 解 得 1=-1,=4, D(4,5a) =a -a-3a, 抛 物 线 的 对 称 轴 为 =1, 设 P(1,m) 1 若 AD 是 矩 形 的 一 条 边, 则 Q(-4,1a),m=1a+5a=6a, 则 P(1,6a) 四 边 形 ADPQ 为 矩 形, ADP=90, AD +PD =AP 5 +(5a) +(1-4) +(6a -5a) =( -1-1) +(6a), 即 a = 1 7, 10
a<0, a=- 7 6 7, P1(1,- 7 7 ) 若 AD 是 矩 形 的 一 条 对 角 线, 则 线 段 AD 的 中 点 坐 标 为 ( 3,5a ),Q(,-3a),m=5a- ( -3a)=8a, 则 P(1,8a) 四 边 形 APDQ 为 矩 形, APD=90, AP +PD =AD, ( -1-1) +(8a) +(1-4) +(8a-5a) =5 +(5a) 即 a = 1 4, a<0, a=- 1, P(1,-4), 综 上 所 述, 以 点 A D P Q 为 顶 点 的 四 边 形 能 成 为 矩 形,P(1,- 6 7 7 ) 或 (1,-4) A O E F B D l A O Q B D l A O B D l P Q P.( 成 都 市 014 年 中 考, 满 分 1 分 ) 如 图, 已 知 抛 物 线 = (+)(-4)(k 为 常 数, 且 k>0) 与 轴 从 左 至 右 依 次 交 于 A,B 两 点, 与 轴 交 于 点, 经 过 点 B 的 直 线 = - +b 与 抛 物 线 的 另 一 交 点 为 D. (1) 若 点 D 的 横 坐 标 为 -5, 求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 若 在 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 上 有 点 P, 使 得 以 A,B,P 为 顶 点 的 三 角 形 与 AB 相 似, 求 k 的 值 ; (3) 在 (1) 的 条 件 下, 设 F 为 线 段 BD 上 一 点 ( 不 含 端 点 ), 连 接 AF, 一 动 点 M 从 点 A 出 发, 沿 线 段 AF 以 每 秒 1 个 单 位 的 速 度 运 动 到 F, 再 沿 线 段 FD 以 每 秒 个 单 位 的 速 度 运 动 到 D 后 停 止, 当 点 F 的 坐 标 是 多 少 时, 点 M 在 整 个 运 动 过 程 中 用 时 最 少? 考 点 : 二 次 函 数 综 合 题. 分 析 :(1) 首 先 求 出 点 A B 坐 标, 然 后 求 出 直 线 BD 的 解 析 式, 求 得 点 D 坐 标, 代 入 抛 物 线 解 析 式, 求 得 k 的 值 ; () 因 为 点 P 在 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 上, 所 以 ABP 为 钝 角. 因 此 若 两 个 三 角 形 相 似, 只 可 能 是 AB APB 或 AB ABP. 如 答 图, 按 照 以 上 两 种 情 况 进 行 11
分 类 讨 论, 分 别 计 算 ; (3) 由 题 意, 动 点 M 运 动 的 路 径 为 折 线 AF+DF, 运 动 时 间 :t=af+ DF. 如 答 图 3, 作 辅 助 线, 将 AF+ DF 转 化 为 AF+FG; 再 由 垂 线 段 最 短, 得 到 垂 线 段 AH 与 直 线 BD 解 答 的 交 点, 即 为 所 求 的 F 点. 解 :(1) 抛 物 线 = (+)(-4), 令 =0, 解 得 =- 或 =4, A(-,0),B (4,0). 直 线 =- +b 经 过 点 B(4,0), - 4+b=0, 解 得 b=, 直 线 BD 解 析 式 为 :=- +. 当 =-5 时,=3, D(-5,3 ). 点 D(-5,3 ) 在 抛 物 线 = (+)(-4) 上, (-5+)(-5-4)=3, k=. () 由 抛 物 线 解 析 式, 令 =0, 得 =k, (0,-k),O=k. 因 为 点 P 在 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 上, 所 以 ABP 为 钝 角. 因 此 若 两 个 三 角 形 相 似, 只 可 能 是 AB APB 或 AB ABP. 1 若 AB APB, 则 有 BA= PAB, 如 答 图 -1 所 示. 设 P(,), 过 点 P 作 PN 轴 于 点 N, 则 ON=,PN=. tan BA=tan PAB, 即 :, = +k. D(, +k), 代 入 抛 物 线 解 析 式 = (+)(-4), 得 (+)(-4)= +k, 整 理 得 : -6-16=0, 解 得 :=8 或 =( 与 点 A 重 合, 舍 去 ), P(8,5k). AB APB,, 即, 解 得 :k=. 若 AB ABP, 则 有 AB= PAB, 如 答 图 - 所 示. 与 1 同 理, 可 求 得 :k=. 综 上 所 述,k= 或 k=. (3) 由 (1) 知 :D(-5,3 ), 如 答 图 -, 过 点 D 作 DN 轴 于 点 N, 则 DN=3,ON=5,BN=4+5=9, tan DBA= = =, DBA=30. 过 点 D 作 DK 轴, 则 KDF= DBA=30. 过 点 F 作 FG DK 于 点 G, 则 FG= DF. 1
由 题 意, 动 点 M 运 动 的 路 径 为 折 线 AF+DF, 运 动 时 间 :t=af+ DF, t=af+fg, 即 运 动 时 间 等 于 折 线 AF+FG 的 长 度. 由 垂 线 段 最 短 可 知, 折 线 AF+FG 的 长 度 的 最 小 值 为 DK 与 轴 之 间 的 垂 线 段. 过 点 A 作 AH DK 于 点 H, 则 t 最 小 =AH,AH 与 直 线 BD 的 交 点, 即 为 所 求 之 F 点. A 点 横 坐 标 为 -, 直 线 BD 解 析 式 为 :=- +, =- (-)+ =, F(-, ). 综 上 所 述, 当 点 F 坐 标 为 (-, ) 时, 点 M 在 整 个 运 动 过 程 中 用 时 最 少. 点 评 : 本 题 是 二 次 函 数 压 轴 题, 难 度 很 大. 第 () 问 中 需 要 分 类 讨 论, 避 免 漏 解 ; 在 计 算 过 程 中, 解 析 式 中 含 有 未 知 数 k, 增 加 了 计 算 的 难 度, 注 意 解 题 过 程 中 的 技 巧 ; 第 (3) 问 中, 运 用 了 转 化 思 想 使 得 试 题 难 度 大 大 降 低, 需 要 认 真 体 会. 3.( 成 都 市 013 年 中 考, 满 分 l 分 ) 1 在 平 面 直 角 坐 标 系 中, 已 知 抛 物 线 b c ( b, c 为 常 数 ) 的 顶 点 为 P, 等 腰 直 角 三 角 形 AB 的 定 点 A 的 坐 标 为 (0, 1), 的 坐 标 为 (4,3), 直 角 顶 点 B 在 第 四 象 限. (1) 如 图, 若 该 抛 物 线 过 A, B 两 点, 求 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 平 移 (1) 中 的 抛 物 线, 使 顶 点 P 在 直 线 A 上 滑 动, 且 与 A 交 于 另 一 点 Q. i) 若 点 M 在 直 线 A 下 方, 且 为 平 移 前 (1) 中 的 抛 物 线 上 的 点, 当 以 M P Q 三 点 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 直 角 三 角 形 时, 求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 M 的 坐 标 ; ii) 取 B 的 中 点 N, 连 接 NP, BQ. 试 探 究 最 大 值 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由. PQ 是 否 存 在 最 大 值? 若 存 在, 求 出 该 NP BQ 分 析 :(1) 先 求 出 点 B 的 坐 标, 然 后 利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; ()i) 首 先 求 出 直 线 A 的 解 析 式 和 线 段 PQ 的 长 度, 作 为 后 续 计 算 的 基 础. 若 MPQ 为 等 腰 直 角 三 角 形, 则 可 分 为 以 下 两 种 情 况 : 1 当 PQ 为 直 角 边 时 : 点 M 到 PQ 的 距 离 为. 此 时, 将 直 线 A 向 右 平 移 4 个 单 位 后 所 得 直 线 (=-5) 与 抛 物 线 的 交 点, 即 为 所 求 之 M 点 ; 当 PQ 为 斜 边 时 : 点 M 到 PQ 的 距 离 为. 此 时, 将 直 线 A 向 右 平 移 个 单 位 后 所 得 直 线 (=-3) 与 抛 物 线 的 交 点, 即 为 所 求 之 M 点. ii) 由 (i) 可 知,PQ= 为 定 值, 因 此 当 NP+BQ 取 最 小 值 时, 有 最 大 值. 13
如 答 图 所 示, 作 点 B 关 于 直 线 A 的 对 称 点 Bʹ, 由 分 析 可 知, 当 Bʹ Q F(AB 中 点 ) 三 点 共 线 时,NP+BQ 最 小, 最 小 值 为 线 段 BʹF 的 长 度. 解 答 : 解 :(1) 由 题 意, 得 点 B 的 坐 标 为 (4,-1). 抛 物 线 过 A(0,-1),B(4,-1) 两 点,, 解 得 :b=,c=-1, 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 := +-1. ()i) A(0,-1),(4,3), 直 线 A 的 解 析 式 为 :=-1. 设 平 移 前 抛 物 线 顶 点 为 P0, 则 由 (1) 可 得 P0 的 坐 标 为 (,1), 且 P0 在 直 线 A 上. 点 P 在 直 线 A 上 滑 动, 可 设 P 的 坐 标 为 (m,m-1), 则 平 移 后 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 := (-m) +m-1. 解 方 程 组 :, 解 得, P(m,m-1),Q(m-,m-3). 过 点 P 作 PE 轴, 过 点 Q 作 QE 轴, 则 PE=m-(m-)=,QE=(m-1)-(m-3)=. PQ= =AP0. 若 MPQ 为 等 腰 直 角 三 角 形, 则 可 分 为 以 下 两 种 情 况 : 1 当 PQ 为 直 角 边 时 : 点 M 到 PQ 的 距 离 为 ( 即 为 PQ 的 长 ). 由 A(0,-1),B(4,-1),P0(,1) 可 知, ABP0 为 等 腰 直 角 三 角 形, 且 BP0 A,BP0=. 如 答 图 1, 过 点 B 作 直 线 l1 A, 交 抛 物 线 = +-1 于 点 M, 则 M 为 符 合 条 件 点. 可 设 直 线 l1 的 解 析 式 为 :=+b1, B(4,-1), -1=4+b1, 解 得 b1=-5, 直 线 l1 的 解 析 式 为 :=-5. 解 方 程 组, 得 :, M1(4,-1),M(-,-7). 当 PQ 为 斜 边 时 :MP=MQ=, 可 求 得 点 M 到 PQ 的 距 离 为. 如 答 图 1, 取 AB 的 中 点 F, 则 点 F 的 坐 标 为 (,-1). 由 A(0,-1),F(,-1),P0(,1) 可 知 : AFP0 为 等 腰 直 角 三 角 形, 且 点 F 到 直 线 A 的 距 离 为. 14
过 点 F 作 直 线 l A, 交 抛 物 线 = +-1 于 点 M, 则 M 为 符 合 条 件 的 点. 可 设 直 线 l 的 解 析 式 为 :=+b, F(,-1), -1=+b, 解 得 b1=-3, 直 线 l 的 解 析 式 为 :=-3. 解 方 程 组, 得 :, M3(1+,-+ ),M4(1-,-- ). 综 上 所 述, 所 有 符 合 条 件 的 点 M 的 坐 标 为 : M1(4,-1),M(-,-7),M3(1+,-+ ),M4(1-,-- ). ii) 存 在 最 大 值. 理 由 如 下 : 由 i) 知 PQ= 为 定 值, 则 当 NP+BQ 取 最 小 值 时, 有 最 大 值. 如 答 图, 取 点 B 关 于 A 的 对 称 点 Bʹ, 易 得 点 Bʹ 的 坐 标 为 (0,3),BQ=BʹQ. 连 接 QF,FN,QBʹ, 易 得 FN PQ, 且 FN=PQ, 四 边 形 PQFN 为 平 行 四 边 形. NP=FQ. NP+BQ=FQ+BʹP FBʹ= =. 当 Bʹ Q F 三 点 共 线 时,NP+BQ 最 小, 最 小 值 为. 的 最 大 值 为 =. 点 评 : 本 题 为 二 次 函 数 中 考 压 轴 题, 考 查 了 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质 待 定 系 数 法 一 次 函 数 几 何 变 换 ( 平 移, 对 称 ) 等 腰 直 角 三 角 形 平 行 四 边 形 轴 对 称 - 最 短 路 线 问 题 等 知 识 点, 考 查 了 存 在 型 问 题 和 分 类 讨 论 数 学 思 想, 试 题 难 度 较 大. 4.( 成 都 市 01 中 考, 满 分 l 分 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, 一 次 函 数 = 5 4 +m(m 为 常 数 ) 的 图 象 与 轴 交 于 点 A(-3,0), 与 轴 交 于 点. 以 直 线 =1 为 对 称 轴 的 抛 物 线 =a +b+c(a,b, c 为 常 数, 且 a 0) 经 过 A, 两 点, 并 与 轴 的 正 半 轴 交 于 点 B. (1) 求 m 的 值 及 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 设 E 是 轴 右 侧 抛 物 线 上 一 点, 过 点 E 作 直 线 A 的 平 行 线 交 轴 于 点 F. 是 否 存 在 这 样 的 点 E, 使 得 以 A,,E,F 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形? 若 存 在, 求 出 点 E 的 坐 标 及 相 应 的 平 行 四 边 形 的 面 积 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由 ; (3) 若 P 是 抛 物 线 对 称 轴 上 使 AP 的 周 长 取 得 最 小 值 的 点, 过 点 P 任 意 作 一 条 与 轴 不 M1P MP 平 行 的 直 线 交 抛 物 线 于 M1(1,1),M(,) 两 点, 试 探 究 是 否 为 定 值, 并 写 出 探 究 过 程. M1M A O B =1 15
解 法 1:(1) 经 过 点 (-3,0), 0= +m, 解 得 m=, 直 线 解 析 式 为,(0, ). 抛 物 线 =a +b+c 对 称 轴 为 =1, 且 与 轴 交 于 A(-3,0), 另 一 交 点 为 B(5,0), 设 抛 物 线 解 析 式 为 =a(+3)(-5), 抛 物 线 经 过 (0, ), =a 3(-5), 解 得 a=, 抛 物 线 为 = + + ; () 假 设 存 在 点 E 使 得 以 A E F 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形, 则 A EF 且 A=EF. 如 答 图 1, (i) 当 点 E 在 点 E 位 置 时, 过 点 E 作 EG 轴 于 点 G, A EF, AO= EFG, 又, AO EFG, EG=O=, 即 E=, = E + E+, 解 得 E=(E=0 与 点 重 合, 舍 去 ), E(, ),S AEF= ; (ii) 当 点 E 在 点 E 位 置 时, 过 点 E 作 E G 轴 于 点 G, 同 理 可 求 得 E ( +1, ),S AE F =. (3) 要 使 AP 的 周 长 最 小, 只 需 AP+P 最 小 即 可. 如 答 图, 连 接 B 交 =1 于 P 点, 因 为 点 A B 关 于 =1 对 称, 根 据 轴 对 称 性 质 以 及 两 点 之 间 线 段 最 短, 可 知 此 时 AP+P 最 小 (AP+P 最 小 值 为 线 段 B 的 长 度 ). B(5,0),(0, ), 直 线 B 解 析 式 为 = +, P=1, P=3, 即 P(1,3). 令 经 过 点 P(1,3) 的 直 线 为 =k+3-k, =k+3-k,= + +, 联 立 化 简 得 : +(4k-)-4k-3=0, 1+=-4k,1=-4k-3. 1=k1+3-k,=k+3-k, 1-=k(1-). 根 据 两 点 间 距 离 公 式 得 到 : M1M= = = 16
M1M= = =4(1+k ). M1P= = = ; 同 理 MP = M1P MP =(1+k ) =(1+k ) =(1+k ) = 4(1+k ). M1P MP=M1M, =1 为 定 值. 解 法 :(1) 一 次 函 数 = 5 4 +m 的 图 象 与 轴 交 于 点 A(-3,0) 5 4 ( -3 )+m=0, 解 得 m= 15 4 点 的 坐 标 是 (0, 15 4 ) 抛 物 线 =a +b+c 经 过 A, 两 点, 且 对 称 轴 为 直 线 =1 9a-3b+c=0 a=- 1 4 c= 15 4 解 得 b= 1 - b a =1 c= 15 4 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 =- 1 4 + 1 + 15 4 () 假 设 存 在 点 E, 使 得 以 A,,E,F 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 (ⅰ) 当 E AF 时, 点 E 在 轴 上 方, E= = 15 4 由 - 1 4 + 1 + 15 4 = 15 4, 解 得 1=0( 舍 去 ), = E 15 1(, 4 ), 此 时 S AE 1F 1 = 15 4 = 15 (ⅱ) 当 AE F 时, 点 E 在 轴 下 方, E=- =- 15 4 由 - 1 4 + 1 E (1+ 31,- 15 4 ) 15 15 + =- 4 4, 解 得 1=1+ 31, =1-31( 舍 去 ) A F1 O E1 B H F 过 E 作 EH 轴 于 H, 则 EHF OA HF=AO=3,AF=7+ 31 E =1 17
15(7+ 31) S AF E =S AF =AF O= 4 综 上 所 述, 存 在 符 合 条 件 的 点 E 15 15 1(, ),E(1+ 31,- 4 4 ), 使 得 以 A,,E,F 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形, 相 应 的 面 积 分 别 是 15 31),15(7+ 4 (3) 方 法 一 : A,B 两 点 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 =1 对 称 AP+P=BP+P B 当 P B 三 点 在 一 条 直 线 上 时, AP 的 周 长 取 得 最 小 值 此 时 点 P 的 坐 标 为 (1,3) 分 别 过 点 M1,M 作 直 线 =1 的 垂 线, 垂 足 为 N1,N 在 Rt M1PN1 中, 由 勾 股 定 理 得 N M M1P =M1N1 +PN1 =( 1-1) +(1-3) 1 1=- 1 4 1 + 1 1+ 15 4 =- 1 4 ( 1-1) +4 即 ( 1-1) =4(4-1), 将 其 代 入 1, 得 M1P =(5-1) A M1 O N1 B M1P=5-1(1<5) 同 理 MP=5- =1 由 M1N1 MN, 得 M1PN1 MPN M1P MP = N1P NP, 5-1 即 = 3-1 5- -3, 整 理 得 1=4(1+ )-15 M1P MP M1M = (5-1)(5-) 1-5(1+ )+5 = =1 (5-1)+(5-) 10-(1+ ) 故 M1P MP M1M 是 定 值, 其 值 为 1 方 法 二 : 同 方 法 一 得 点 P 的 坐 标 为 (1,3), 设 过 点 P 的 直 线 表 达 式 为 =k+3-k 联 立 =k+3-k =- 1 4 + 1 +15 4 1+=-4k,1=-( 4k+3) 消 去, 整 理 得 +(4k-)-(4k+3)=0 由 1=k1+3-k,=k+3-k, 得 1-=k(1-) M1P MP =[(1-1) +(1-3) ][(-1) +(-3 ) ] =[(1-1) +k ( 1-1) ][(-1 ) +k ( -1 ) ] =(k +1) ( 1-1) (-1) =(k +1) (1-1-+1) =16(k +1) M1M =(1-) +(1-) =(k +1)(1-) =(k +1 )[(1+) -41] =16(k +1) M1P MP =M1M, 即 M1P MP=M1M 故 M1P MP M1M 是 定 值, 其 值 为 1 18
5.( 成 都 市 011 年 中 考, 满 分 1 分 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, AB 的 A B 两 个 顶 点 在 轴 上, 顶 点 在 轴 的 负 半 轴 上. 已 知 OA : OB 1: 5, OB O, AB 的 面 积 S 15, 抛 物 线 a b c a ( 0) 经 过 A B 三 点 (1) 求 此 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 设 E 是 轴 右 侧 抛 物 线 上 异 于 点 B 的 一 个 动 点, 过 点 E 作 轴 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 另 一 点 F, 过 点 F 作 FG 垂 直 于 轴 于 点 G, 再 过 点 E 作 EH 垂 直 于 轴 于 点 H, 得 到 矩 形 EFGH. 则 在 点 E 的 运 动 过 程 中, 当 矩 形 EFGH 为 正 方 形 时, 求 出 该 正 方 形 的 边 长 ; (3) 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 异 于 B 的 点 M, 使 MB 中 B 边 上 的 高 为 7? 若 存 在, 求 出 点 M 的 坐 标 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由. 分 析 :(1) 由 已 知 设 OA=m, 则 OB=O=5m,AB=6m, 由 AB AB= AB O=15, 可 求 m 的 值, 确 定 A B 三 点 坐 标, 由 A B 两 点 坐 标 设 抛 物 线 交 点 式, 将 点 坐 标 代 入 即 可 ; () 设 E 点 坐 标 为 (m,m -4m-5), 抛 物 线 对 称 轴 为 =, 根 据 (m-)=eh, 列 方 程 求 解 ; (3) 存 在. 因 为 OB=O=5, OB 为 等 腰 直 角 三 角 形, 直 线 B 解 析 式 为 =-5, 则 直 线 =+9 或 直 线 =-19 与 B 的 距 离 为 7, 将 直 线 解 析 式 与 抛 物 线 解 析 式 联 立, 求 M 点 的 坐 标 即 可. 解 答 : 解 :(1) OA : OB =1:5, OB = O, 设 OA=m, 则 OB=O=5m,AB=6m, 由 AB= AB O=15, 得 6m 5m=15, 解 得 m=1( 舍 去 负 值 ), A(-1,0),B(5,0),(0,-5), 设 抛 物 线 解 析 式 为 =a(+1)(-5), 将 点 坐 标 代 入, 得 a=1, 抛 物 线 解 析 式 为 =(+1)(-5), 即 = -4-5; () 设 E 点 坐 标 为 (m,m -4m-5), 抛 物 线 对 称 轴 为 =, 由 (m-)=eh, 得 (m-)=-(m -4m-5) 或 (m-)=m -4m-5, 解 得 m=1± 或 m=3±, m>, m=1+ 或 m=3+, 边 长 EF=(m-)= - 或 +; (3) 存 在. 由 (1) 可 知 OB=O=5, OB 为 等 腰 直 角 三 角 形, 直 线 B 解 析 式 为 = -5, 依 题 意, 直 线 =+9 或 直 线 =-19 与 B 的 距 离 为 7, 联 立,, 解 得 或, 19
M 点 的 坐 标 为 (-,7),(7,16). 点 评 : 本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 综 合 运 用. 关 键 是 采 用 形 数 结 合 的 方 法, 准 确 地 用 点 的 坐 标 表 示 线 段 的 长, 根 据 图 形 的 特 点, 列 方 程 求 解, 注 意 分 类 讨 论. 6.( 成 都 市 010 年 中 考, 满 分 1 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, 抛 物 线 a b c 与 轴 交 于 A B 两 点 ( 点 A 在 点 B 的 左 侧 ), 与 轴 交 于 点, 点 A 的 坐 标 为 ( 3, 0), 若 将 经 过 A 两 点 的 直 线 k b1 沿 轴 向 下 平 移 3 个 单 位 后 恰 好 经 过 原 点, 且 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线.(1) 求 直 线 A 及 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 如 果 P 是 线 段 A 上 一 点, 设 ABP BP 的 面 积 分 别 为 S ABP S BP, 且 S ABP : S BP : 3, 求 点 P 的 坐 标 ; (3) 设 Q 的 半 径 为 l, 圆 心 Q 在 抛 物 线 上 运 动, 则 在 运 动 过 程 中 是 否 存 在 Q 与 坐 标 轴 相 切 的 情 况? 若 存 在, 求 出 圆 心 Q 的 坐 标 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由. 并 探 究 : 若 设 Q 的 半 径 为 r, 圆 心 Q 在 抛 物 线 上 运 动, 则 当 r 取 何 值 时, Q 与 两 坐 轴 同 时 相 切 考 点 : 待 定 系 数 法 求 一 次 函 数 解 析 式 及 二 次 函 数 解 析 式, 相 似 三 角 形 的 判 定 及 性 质, 切 线 与 过 切 点 的 半 径 之 间 的 关 系, 解 答 :(1) k b 沿 轴 向 下 平 移 3 个 单 位 后 恰 好 经 过 原 点, b 3, (0, 3) 将 A ( 3, 0) 代 入 k 3, 得 3k 3 0, 解 得 k 1, 直 线 A 的 函 数 表 达 式 为 3, 抛 物 线 的 对 称 轴 是 直 线 9a 3b c 0 a 1 b 解 得 b 4 a c 3 c 3, 抛 物 线 为 4 3 解 法 : 由 题 意, 抛 物 线 过 点 A(-3,0),B(-1,0), (0, 3) 设 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 a (+3)(+1), 3a=3,a=1 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 =(+3)(+1)= 4 3 点 评 : 解 法 通 过 数 形 结 合, 将 文 字 条 件 转 化 为 图 形 条 件, 抓 住 了 求 抛 物 线 解 析 式 所 需 的 关 键 条 件, 即 与 两 轴 的 交 点 坐 标, 求 解 析 式 的 方 法 更 为 简 便 () 如 图, 过 点 B 作 BD A 于 点 D, 过 点 P 作 PE 轴 于 点 E, 设 点 P 的 横 坐 标 为 S : S : 3 ABP BP, 1 1 PE O, APE AO, PE AP, O A 5 PE ( AP BD ) : ( P BD ) : 3, AP : P : 3 6 O, 6 3 5 5, 解 得 = 9, 点 P 的 坐 标 为 9 6 (,) 5 5 5 5 点 评 : 本 题 的 关 键 是 将 等 高 的 三 角 形 的 面 积 比 转 化 为 线 段 比, 把 求 点 的 坐 标 的 问 题 转 化 为 求 有 关 线 段 的 长, 进 而 构 造 相 似 三 角 形, 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出 有 关 线 段 的 长 (3)(Ⅰ) 假 设 Q 在 运 动 过 程 中, 存 在 Q 与 坐 标 轴 相 切 的 情 况 设 点 Q 的 坐 标 为 ( 0, 0) 1 当 Q 与 轴 相 切 时, 有 0 1, 即 0 1 当 0 1 时, 得 0 ( 1) 4 ( 1) 3 0, Q 1 ( 1, 0), 当 0 1 时, 得 0 1 4 1 3 8, Q (1, 8) 当 Q 与 轴 相 切 时, 有 0 1, 即 0 1 0
当 0 1时, 得 1 0 40 3, 即 0 40 4 0, 解 得 0, Q 3 (, 1) 当 0 1 时, 得 1 0 40 3, 即 0 40 0, 解 得 0, Q (, 1) 4, Q (, 1) 5 综 上 所 述, 存 在 符 合 条 件 的 Q, 其 圆 心 Q 的 坐 标 分 别 为 Q ( 1, 0) 1, Q (1, 8), Q (, 1) 3, Q (, 1) 4, Q (, 1) 5 (Ⅱ) 设 点 Q 的 坐 标 为 ( 0, 0), 当 Q 与 两 坐 标 轴 同 时 相 切 时, 有 0 0. 时, 4 3, 3 3 0, = 3 4 1 3 0, 此 方 程 0 0 0 0 0 0 0 无 解, 0 0 时, 得 0 40 3 0, 即 5 3 0, 解 得 0 0 当 Q 的 半 径 5 13 5 13 时, Q 与 两 坐 标 轴 同 时 相 切 r 0 0 5 13 点 评 : 全 题 共 分 三 小 题, 各 小 题 间 承 接 性 明 显, 全 题 所 呈 现 的 数 学 思 想 与 方 法 有 : 图 形 的 变 换 思 想 方 程 的 思 想 类 比 的 思 想 分 类 讨 论 的 思 想 数 形 结 合 的 思 想 轴 对 称 思 想 ( 点 对 称 ), 所 涉 及 到 的 数 学 知 识 有 : 二 次 函 数 三 角 形 面 积 点 到 直 线 的 距 离 和 点 到 点 的 距 离 特 殊 四 边 形 等 腰 三 角 形 解 方 程 轴 对 称 等 的 知 识. 7.( 成 都 市 009 年 中 考, 满 分 1 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, 已 知 抛 物 线 与 轴 交 于 A B 两 点 ( 点 A 在 点 B 的 左 侧 ), 与 轴 交 于 点, 其 顶 点 为 M, 若 直 线 M 的 函 数 表 达 式 为 k 3, 与 轴 的 交 点 为 N, 且 OS BO= 3 10. (1) 求 此 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 在 此 抛 物 线 上 是 否 存 在 异 于 点 的 点 P, 使 以 N P 为 顶 点 的 三 角 形 是 以 N 为 一 条 直 角 边 的 直 角 三 角 形? 若 存 在, 求 出 点 P 的 坐 标 : 若 不 存 在, 请 说 明 理 由 ; (3) 过 点 A 作 轴 的 垂 线, 交 直 线 M 于 点 Q. 若 将 抛 物 线 沿 其 对 称 轴 上 下 平 移, 使 抛 物 线 与 线 段 NQ 总 有 公 共 点, 则 抛 物 线 向 上 最 多 可 平 移 多 少 个 单 位 长 度? 向 下 最 多 可 平 移 多 少 个 单 位 长 度? 10 1
8.( 成 都 市 008 年 中 考, 满 分 1 分 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中, OAB 的 顶 点 A 的 坐 标 为 (10,0), 顶 点 B 在 第 一 象 限 内, 且 AB =3 5,sin OAB= 5 5. (1) 若 点 是 点 B 关 于 轴 的 对 称 点, 求 经 过 O A 三 点 的 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ; () 在 (1) 中, 抛 物 线 上 是 否 存 在 一 点 P, 使 以 P O A 为 顶 点 的 四 边 形 为 梯 形? 若 存 在, 求 出 点 P 的 坐 标 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由 ; (3) 若 将 点 O 点 A 分 别 变 换 为 点 Q( -k,0) 点 R(5k,0)(k>1 的 常 数 ), 设 过 Q R 两 点, 且 以 QR 的 垂 直 平 分 线 为 对 称 轴 的 抛 物 线 与 轴 的 交 点 为 N, 其 顶 点 为 M, 记 QNM 的 面 积 为 S QMN, QNR 的 面 积 S QNR, 求 S QMN S QNR 的 值. P B P3 E O D P1 A F 解 :(1) 如 图, 过 点 B 作 BD OA 于 点 D. 在 Rt ABD 中, AB 3 5, 5 sin OAB, 5 BD AB OAB 5 sin 3 5 3. 5 又 由 勾 股 定 理, 得 (3 5) 3 6. AD AB BD OD OA AD 10 6 4. 点 B 在 第 一 象 限 内, 点 B 的 坐 标 为 (4, 3). 点 B 关 于 轴 对 称 的 点 的 坐 标 为 (4, 3). 分 设 经 过 O(0,, 0) (4, 3), A(10, 0) 三 点 的 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 a b a ( 0). 由 1 a 16a 4b 3, 8 100a 10b 0 5 b. 4 1 5 8 4 经 过 O,, A 三 点 的 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为. 分 () 假 设 在 (1) 中 的 抛 物 线 上 存 在 点 P, 使 以 P, O,, A 为 顶 点 的 四 边 形 为 梯 形. 1 5 1 点 (4, 3) 不 是 抛 物 线 的 顶 点, 8 4 过 点 作 直 线 OA 的 平 行 线 与 抛 物 线 交 于 点 P 1. 则 直 线 P 1 的 函 数 表 达 式 为 3. 对 于 1 5, 令 3 4 或 6. 8 4 1 4, 6, 而 点 (4, 3), P 1 (6, 3). 1 3; 3.
在 四 边 形 P1 AO 中, P 1 OA, 显 然 P1 OA. 点 P 1 (6, 3) 是 符 合 要 求 的 点.1 分 若 AP O. 设 直 线 O 的 函 数 表 达 式 为 k1. 3 3 将 点 (4, 3) 代 入, 得 4k1 3. k 1. 直 线 O 的 函 数 表 达 式 为. 4 4 于 是 可 设 直 线 AP 的 函 数 表 达 式 为 3 b1. 4 将 点 A (10, 0) 代 入, 得 3 15 10 b 0 1. b 1. 直 线 AP 表 达 式 为 3 15. 4 4 3 15 4 4 60 0 1 5 8 4 由, 即 ( 10)( 6) 0. 10, 1 1 0; 6, 1; 而 点 A (10, 0), P ( 6, 1). 过 点 P 作 P E 轴 于 点 E, 则 P E 1. Rt AP E 中, 由 勾 股 定 理, 得 在 AP P E AE 1 16 0. 而 O OB 5. 在 四 边 形 P OA 中, AP O, 但 AP 3 若 OP3 O. 点 P ( 6, 1) 是 符 合 要 求 的 点. 1 分 A. 设 直 线 A 的 函 数 表 达 式 为 k b. 1 10k b 0 k, 4k b 3 b 5. 将 点 A(10,, 0) (4, 3) 代 入, 得 1 直 线 A 的 函 数 表 达 式 为 5. 1 直 线 OP 3 的 函 数 表 达 式 为. 由 1 8 4 1 5 14 0, 即 ( 14) 0. 1 1 0, 0; 14, 7. 而 点 O (0, 0), P 3 (14, 7). 过 点 P 3 作 P3 F 轴 于 点 F, 则 P3 F 7. Q O G R N M Rt OP F 中, 由 勾 股 定 理, OP3 P3 F OF 7 14 7 5. 在 3 而 A AB 3 5. 在 四 边 形 POA 3 中, OP 3 A, 但 OP3 点 P 3 (14, 7) 是 符 合 要 求 的 点. 1 分 A. 综 上 可 知, 在 (1) 中 的 抛 物 线 上 存 在 点 P1 (6, 3), P ( 6, 1), P3 (14, 7), 3
使 以 P, O,, A 为 顶 点 的 四 边 形 为 梯 形. 1 分 (3) 由 题 知, 抛 物 线 的 开 口 可 能 向 上, 也 可 能 向 下. 1 当 抛 物 线 开 口 向 上 时, 则 此 抛 物 线 与 轴 的 负 半 轴 交 于 点 N. 可 设 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 a( k)( 5 k)( a 0). 即 a 3ak 10ak 3 49 a k ak. 4 如 图, 过 点 M 作 MG 轴 于 点 G. 3 Q( k,, 0) R(5k,, 0) G k, 0, 3 49 N(0, 10 ak ), M k, ak, 3 QO k, QR 7 k, OG k, 4 7 49 QG k ON 10 ak MG ak 4 1 1 7 10 35,,. 3 S QNR QR ON k ak ak S S S S QNM QNO 梯 形 ONMG QMG 1 1 49 3 1 7 49 k 10ak 10ak ak k k ak 4 4 1 49 49 1 0 15 3 7 ak 8 8 4 1 1 1 QO ON ( ON GM ) OG QG GM 1 : : (35 ) 3: 0. 分 4 3 3 ak. 3 3 S QNM S QNR ak ak 当 抛 物 线 开 口 向 下 时, 则 此 抛 物 线 与 轴 的 正 半 轴 交 于 点 N. 同 理, 可 得 S QNM : S QNR 3: 0. 综 上 可 知, S QNM : S QNR 的 值 为 3: 0. 分. 4